Memecahkan sistem persamaan aljabar. Apa yang dimaksud dengan sistem persamaan linear homogen? Hormati privasi Anda di tingkat perusahaan
Dalam pelajaran ini, kita akan mempertimbangkan metode untuk menyelesaikan sistem persamaan linear... Dalam mata pelajaran matematika yang lebih tinggi, sistem persamaan linier harus diselesaikan baik dalam bentuk tugas terpisah, misalnya, "Memecahkan sistem menggunakan rumus Cramer", dan dalam menyelesaikan masalah lain. Sistem persamaan linier harus ditangani di hampir semua cabang matematika yang lebih tinggi.
Pertama, sedikit teori. Apa arti kata matematika "linier" dalam kasus ini? Ini berarti bahwa persamaan sistem semua variabel disertakan di tingkat pertama: tanpa barang mewah seperti 
dan seterusnya, dari mana hanya peserta olimpiade matematika yang senang.
Dalam matematika yang lebih tinggi, tidak hanya huruf-huruf yang akrab sejak kecil yang digunakan untuk menunjuk variabel.
Pilihan yang cukup populer adalah variabel dengan indeks:.
Atau huruf awal alfabet Latin, kecil dan besar:
Tidak jarang menemukan huruf Yunani: - dikenal banyak "alpha, beta, gamma". Dan juga satu set dengan indeks, katakanlah, dengan huruf "mu":
Penggunaan satu set huruf tertentu tergantung pada cabang matematika yang lebih tinggi di mana kita dihadapkan dengan sistem persamaan linier. Jadi, misalnya, dalam sistem persamaan linier yang terjadi ketika menyelesaikan integral, persamaan diferensial, secara tradisional diterima untuk menggunakan notasi
Tetapi tidak peduli bagaimana variabel ditetapkan, prinsip, metode, dan metode penyelesaian sistem persamaan linier tidak berubah dari ini. Jadi, jika Anda menemukan sesuatu yang menakutkan seperti, jangan buru-buru menutup buku karena takut, pada akhirnya, Anda dapat menggambar matahari sebagai gantinya, bukan burung, dan bukannya wajah (guru). Dan, lucu kedengarannya, sistem persamaan linier dengan sebutan ini juga dapat diselesaikan.
Sesuatu yang saya punya firasat bahwa artikel itu akan menjadi cukup panjang, jadi daftar isi kecil. Jadi, pembekalan berurutan akan seperti ini:
- Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode substitusi ("metode sekolah");
- Penyelesaian sistem dengan metode penambahan suku demi suku (pengurangan) dari persamaan sistem;
- Solusi sistem menggunakan rumus Cramer;
- Memecahkan sistem menggunakan matriks terbalik;
- Solusi sistem dengan metode Gauss.
Semua orang akrab dengan sistem persamaan linier dari kursus matematika sekolah. Pada dasarnya, kita mulai dengan pengulangan.
Penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode substitusi
Metode ini juga bisa disebut "metode sekolah" atau metode mengecualikan yang tidak diketahui. Secara kiasan, itu juga bisa disebut "metode Gauss yang belum selesai."
Contoh 1
Di sini kita memiliki sistem dua persamaan dengan dua yang tidak diketahui. Perhatikan bahwa suku bebas (nomor 5 dan 7) terletak di sisi kiri persamaan. Secara umum, tidak masalah di mana mereka berada, ke kiri atau ke kanan, hanya saja dalam masalah matematika yang lebih tinggi mereka sering ditempatkan begitu saja. Dan catatan seperti itu seharusnya tidak membingungkan, jika perlu, sistem selalu dapat ditulis "seperti biasa" :. Jangan lupa bahwa ketika mentransfer istilah dari bagian ke bagian, perlu mengubah tandanya.
Apa yang dimaksud dengan penyelesaian sistem persamaan linear? Menyelesaikan sistem persamaan berarti menemukan himpunan penyelesaiannya. Solusi dari sistem adalah kumpulan nilai dari semua variabel yang termasuk di dalamnya, yang mengubah SETIAP persamaan dalam sistem menjadi persamaan sejati. Selain itu, sistem dapat tidak konsisten (tidak punya solusi).Jangan berkecil hati, ini definisi umum=) Kita hanya akan memiliki satu nilai "x" dan satu nilai "y", yang memenuhi setiap persamaan c-we.
Ada metode grafis untuk memecahkan sistem, yang dapat ditemukan dalam pelajaran. Tugas paling sederhana dengan garis lurus... Saya juga berbicara tentang pengertian geometris sistem dua persamaan linier dalam dua yang tidak diketahui. Tapi sekarang era aljabar ada di halaman, dan angka-angka, tindakan-tindakan.
Kami memecahkan: dari persamaan pertama kita nyatakan:
Kami mengganti ekspresi yang dihasilkan ke dalam persamaan kedua:
Kami membuka tanda kurung, memberikan istilah serupa dan menemukan nilainya: 
Selanjutnya, kami mengingat dari mana kami menari:
Kami sudah tahu nilainya, masih mencari:
Menjawab:
Setelah menyelesaikan sistem persamaan APAPUN dengan cara APAPUN, saya sangat menyarankan Anda memeriksa (secara lisan, pada draft atau kalkulator)... Untungnya, ini dilakukan dengan mudah dan cepat.
1) Substitusikan jawaban yang ditemukan ke persamaan pertama:
- kesetaraan yang benar diperoleh.
2) Substitusikan jawaban yang ditemukan ke persamaan kedua: 
- kesetaraan yang benar diperoleh.
Atau, sederhananya, "semuanya datang bersama-sama"
Solusi yang dipertimbangkan bukan satu-satunya, dari persamaan pertama dimungkinkan untuk diungkapkan, bukan.
Atau, Anda dapat mengungkapkan sesuatu dari persamaan kedua dan mensubstitusikannya ke persamaan pertama. Omong-omong, perhatikan bahwa cara yang paling tidak menguntungkan dari keempat cara tersebut adalah dengan menyatakan dari persamaan kedua:
Pecahan diperoleh, tetapi mengapa demikian? Ada solusi yang lebih rasional.
Namun demikian, dalam beberapa kasus, pecahan masih sangat diperlukan. Dalam hal ini, saya ingin menarik perhatian Anda untuk BAGAIMANA saya menuliskan ekspresi. Tidak seperti ini:, dan tidak berarti seperti ini: 
.
Jika dalam matematika tingkat tinggi Anda berurusan dengan bilangan pecahan, maka cobalah untuk melakukan semua perhitungan dalam pecahan biasa yang tidak beraturan.
Tepat, tidak atau!
Koma hanya dapat digunakan sesekali, khususnya, jika itu adalah jawaban akhir untuk suatu masalah, dan Anda tidak perlu lagi melakukan tindakan apa pun dengan nomor ini.
Banyak pembaca mungkin berpikir "mengapa penjelasan yang begitu rinci, seperti untuk kelas koreksi, dan semuanya jelas". Tidak ada yang seperti itu, seperti contoh sekolah yang sederhana, tetapi berapa banyak kesimpulan yang SANGAT penting! Ini satu lagi:
Anda harus berusaha menyelesaikan tugas apa pun dengan cara yang paling rasional.... Jika hanya karena menghemat waktu dan saraf, dan juga mengurangi kemungkinan membuat kesalahan.
Jika dalam masalah matematika tingkat tinggi Anda menemukan sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui, maka Anda selalu dapat menggunakan metode substitusi (kecuali jika sistem tersebut perlu diselesaikan dengan metode lain) Tidak ada guru yang akan berpikir bahwa Anda adalah pengisap untuk menurunkan tanda untuk menggunakan "metode sekolah" ".
Selain itu, dalam beberapa kasus, metode substitusi disarankan untuk digunakan bahkan dengan jumlah variabel yang lebih banyak.
Contoh 2
Memecahkan sistem persamaan linear dengan tiga yang tidak diketahui
Sistem persamaan serupa sering muncul ketika menggunakan apa yang disebut metode koefisien tak tentu, ketika kita menemukan integral dari fungsi rasional pecahan. Sistem yang dimaksud diambil oleh saya dari sana.
Menemukan integral - tujuannya dengan cepat temukan nilai koefisien, dan jangan terlalu tertarik dengan rumus Cramer, metode matriks terbalik, dll. Oleh karena itu, dalam hal ini, metode substitusi yang tepat.
Ketika sistem persamaan diberikan, pertama-tama, diinginkan untuk mencari tahu, tetapi apakah mungkin untuk menyederhanakannya SEGERA? Menganalisis persamaan sistem, kita melihat bahwa persamaan kedua sistem dapat dibagi 2, yang kita lakukan:
Referensi: tanda matematika berarti "itu mengikuti dari ini", sering digunakan dalam penyelesaian masalah.
Sekarang kita menganalisis persamaan, kita perlu mengekspresikan beberapa variabel melalui sisanya. Persamaan mana yang harus Anda pilih? Anda mungkin sudah menebak bahwa cara termudah untuk tujuan ini adalah dengan mengambil persamaan pertama dari sistem:
Di sini, tidak ada bedanya variabel mana yang akan diekspresikan, Anda bisa juga mengekspresikan atau.
Selanjutnya, kami mengganti ekspresi untuk ke dalam persamaan kedua dan ketiga dari sistem: 
Kami membuka tanda kurung dan memberikan istilah serupa: 
Bagi persamaan ketiga dengan 2: 
Dari persamaan kedua, kita nyatakan dan substitusikan ke persamaan ketiga:
Hampir semuanya sudah siap, dari persamaan ketiga kami menemukan:
Dari persamaan kedua: 
Dari persamaan pertama:
Periksa: Substitusikan nilai-nilai variabel yang ditemukan ke sisi kiri setiap persamaan sistem:
1)
2)
3)
Sisi kanan yang sesuai dari persamaan diperoleh, dengan demikian, solusinya ditemukan dengan benar.
Contoh 3
Memecahkan sistem persamaan linear dengan 4 yang tidak diketahui
Ini adalah contoh untuk solusi independen (jawaban di akhir tutorial).
Penyelesaian sistem dengan metode penambahan suku demi suku (pengurangan) dari persamaan sistem
Dalam menyelesaikan sistem persamaan linier, seseorang harus mencoba untuk tidak menggunakan "metode sekolah", tetapi metode penambahan suku demi suku (pengurangan) dari persamaan sistem. Mengapa? Ini menghemat waktu dan menyederhanakan perhitungan, namun, sekarang akan menjadi lebih jelas.
Contoh 4
Memecahkan sistem persamaan linear: 
Saya mengambil sistem yang sama seperti pada contoh pertama.
Menganalisis sistem persamaan, kita melihat bahwa koefisien variabel adalah sama dalam modulus dan berlawanan dalam tanda (-1 dan 1). Dalam situasi seperti itu, persamaan dapat ditambahkan istilah demi istilah: 
Tindakan yang disorot dengan warna merah dilakukan dengan BERPIKIR.
Seperti yang Anda lihat, sebagai hasil dari penambahan suku demi suku, variabel telah menghilang. Ini, sebenarnya, adalah inti dari metode ini adalah untuk menyingkirkan salah satu variabel.
Persamaan memiliki solusi: jika setidaknya salah satu koefisien dari yang tidak diketahui adalah bukan nol. Dalam hal ini, vektor berdimensi apa pun disebut solusi persamaan jika, setelah mensubstitusi koordinatnya, persamaan berubah menjadi identitas.
Karakteristik umum dari sistem persamaan yang diselesaikan
Contoh 20.1Jelaskan sistem persamaan.
Larutan:
1. Apakah ada persamaan yang bertentangan?(Jika koefisien, dalam hal ini persamaan memiliki bentuk: dan disebut kontradiktif.)
- Jika sistem mengandung kontradiksi, maka sistem seperti itu tidak kompatibel dan tidak memiliki solusi
2. Temukan Semua Variabel yang Diizinkan. (Tidak diketahui disebutdiizinkan untuk sistem persamaan jika masuk ke salah satu persamaan sistem dengan koefisien +1, dan tidak masuk ke persamaan lainnya (yaitu, masuk dengan koefisien sama dengan nol).
3. Apakah sistem persamaan diperbolehkan? (Sistem persamaan disebut diperbolehkan jika setiap persamaan sistem berisi yang tidak diketahui yang diselesaikan, di antaranya tidak ada yang bertepatan)
Dalam kasus umum, sistem persamaan yang diselesaikan memiliki bentuk:Yang tidak diketahui yang diizinkan, diambil satu dari setiap persamaan sistem, bentuk set lengkap yang tidak diketahui diselesaikan sistem. (dalam contoh kita adalah)
Yang tidak diketahui yang diselesaikan termasuk dalam set lengkap juga disebut dasar() dan tidak termasuk dalam set - Gratis ().
Pada tahap ini, hal utama adalah memahami apa itu diselesaikan tidak diketahui(termasuk dalam dasar dan gratis).
Solusi Dasar Parsial Umum
Dengan keputusan umum dari sistem persamaan yang diizinkan disebut himpunan ekspresi dari yang tidak diketahui yang diizinkan dalam istilah bebas dan tidak diketahui bebas:
Dengan keputusan pribadi disebut solusi yang diperoleh dari umum untuk nilai spesifik variabel bebas dan tidak diketahui.
Solusi dasar disebut solusi khusus yang diperoleh dari solusi umum untuk nilai nol variabel bebas.
- Solusi dasar (vektor) disebut merosot jika jumlah koordinatnya bukan nol, jumlah yang lebih sedikit diselesaikan tidak diketahui.
- Solusi dasar disebut tidak merosot jika jumlah koordinat bukan nolnya sama dengan jumlah yang tidak diketahui yang diizinkan dari sistem yang termasuk dalam himpunan lengkap.
Contoh 1. Temukan solusi umum, dasar, dan khusus dari sistem persamaan:Teorema (1)
Sistem persamaan yang diizinkan selalu konsisten(karena memiliki setidaknya satu solusi); dan jika sistem tidak memiliki variabel bebas yang tidak diketahui,(yaitu, dalam sistem persamaan, semua yang diizinkan termasuk dalam basis) maka didefinisikan(hanya memiliki satu solusi); jika setidaknya ada satu variabel bebas, maka sistem tidak terdefinisi(memiliki jumlah solusi tak terbatas).
Larutan:
1. Memeriksa apakah sistemnya legal?
- Sistem diselesaikan (karena masing-masing persamaan berisi yang tidak diketahui diselesaikan)
2. Kami memasukkan dalam set yang tidak diketahui yang diselesaikan - satu dari setiap persamaan.
3. Kami menuliskan solusi umum tergantung pada yang tidak diketahui yang diselesaikan yang kami sertakan dalam set.
4. Kami menemukan solusi tertentu... Untuk melakukan ini, kami menyamakan variabel bebas yang tidak kami sertakan dalam himpunan untuk menyamakan angka arbitrer.
Menjawab: solusi pribadi(salah satu pilihan)
5. Menemukan solusi dasar... Untuk melakukan ini, kami menyamakan variabel bebas yang tidak kami sertakan dalam himpunan dengan nol.
Transformasi dasar persamaan linear
Sistem persamaan linier direduksi menjadi sistem setara yang diizinkan menggunakan transformasi dasar.
Teorema (2)
Jika ada kalikan persamaan sistem dengan beberapa bilangan bukan nol, dan biarkan sisa persamaan tidak berubah. (yaitu, jika Anda mengalikan sisi kiri dan kanan persamaan dengan angka yang sama, Anda mendapatkan persamaan yang setara dengan ini)
Teorema (3)
Jika ke beberapa persamaan sistem tambahkan yang lain, dan biarkan semua persamaan lainnya tidak berubah, maka kita mendapatkan sistem yang setara dengan yang diberikan... (yaitu, jika Anda menambahkan dua persamaan (menjumlahkan sisi kiri dan kanannya), Anda mendapatkan persamaan yang setara dengan data)
Akibat wajar dari Teorema (2 dan 3)
Jika ke beberapa persamaan tambahkan yang lain, dikalikan dengan beberapa angka, dan biarkan semua persamaan lainnya tidak berubah, maka kita mendapatkan sistem yang setara dengan yang diberikan.
Rumus konversi untuk koefisien sistem
Jika kita memiliki sistem persamaan dan ingin mengubahnya menjadi sistem persamaan yang diselesaikan, metode Jordan-Gauss akan membantu kita.
Transformasi Yordania dengan elemen penyelesaian memungkinkan Anda untuk mendapatkan yang tidak diketahui diselesaikan dalam persamaan dengan angka untuk sistem persamaan. (contoh 2).
Transformasi Jordan terdiri dari dua jenis transformasi elementer:Katakanlah kita ingin membuat yang tidak diketahui dalam persamaan yang lebih rendah menjadi tidak diketahui yang diselesaikan. Untuk melakukan ini, kita harus membagi dengan, sehingga jumlahnya.
Contoh 2 Mari kita hitung ulang koefisien sistem
Saat membagi persamaan dengan angka, koefisiennya dihitung ulang sesuai dengan rumus:
Untuk menghilangkan dari persamaan dengan angka, Anda perlu mengalikan persamaan dengan angka dan menambahkan ke persamaan ini.
Teorema (4) Tentang pengurangan jumlah persamaan dalam sistem.
Jika sistem persamaan berisi persamaan sepele, maka dapat dikeluarkan dari sistem, dan sistem setara dengan yang asli.
Teorema (5) Tentang ketidakcocokan sistem persamaan.
Jika suatu sistem persamaan mengandung persamaan yang kontradiktif, maka sistem tersebut tidak konsisten.
Algoritma metode Jordan-Gauss
Algoritme untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan metode Jordan-Gauss terdiri dari sejumlah langkah dengan tipe yang sama, di mana masing-masing tindakan dilakukan dalam urutan berikut:
- Memeriksa untuk melihat apakah sistem tidak konsisten. Jika sistem berisi persamaan yang tidak konsisten, maka sistem tersebut tidak konsisten.
- Kemungkinan mengurangi jumlah persamaan diperiksa. Jika sistem berisi persamaan sepele, itu dihapus.
- Jika sistem persamaan diselesaikan, maka solusi umum dari sistem tersebut ditulis dan, jika perlu, solusi khusus.
- Jika sistem tidak terpecahkan, maka dalam persamaan yang tidak mengandung diselesaikan tidak diketahui, elemen menyelesaikan dipilih dan transformasi Jordan dilakukan dengan elemen ini.
- Kemudian lanjutkan ke langkah 1 lagi.
Menemukan: dua solusi umum dan dua solusi dasar yang sesuai
Larutan:
Perhitungannya ditunjukkan pada tabel berikut ini:
Tindakan pada persamaan ditampilkan di sebelah kanan tabel. Panah menunjukkan ke persamaan mana persamaan dengan elemen penyelesaian ditambahkan, dikalikan dengan faktor yang sesuai.
Tiga baris pertama dari tabel berisi koefisien untuk yang tidak diketahui dan ruas kanan dari sistem asli. Hasil transformasi Jordan pertama dengan elemen penyelesaian sama dengan satu ditunjukkan pada baris 4, 5, 6. Hasil transformasi Jordan kedua dengan elemen penyelesaian sama dengan (-1) diberikan pada baris 7, 8, 9 Karena persamaan ketiga sepele, dapat dipertimbangkan.
- Sistem M persamaan linier dengan n tidak dikenal.
Memecahkan sistem persamaan linear Apakah himpunan bilangan seperti itu ( x 1, x 2, ..., x n), ketika disubstitusikan ke setiap persamaan sistem, persamaan yang benar diperoleh.
di mana a ij, i = 1, ..., m; j = 1,…, n- koefisien sistem;
b i, i = 1, ..., m- anggota gratis;
x j, j = 1, ..., n- tidak dikenal.
Sistem di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks: A X = B,
di mana ( A|B) Apakah matriks utama dari sistem;
A- matriks sistem yang diperluas;
x- kolom yang tidak diketahui;
B- kolom anggota gratis.
Jika matriks B bukan matriks nol , maka sistem persamaan linier ini disebut tidak homogen.
Jika matriks B= , maka sistem persamaan linear ini disebut homogen. Sistem homogen selalu memiliki solusi nol (sepele): x 1 = x 2 =…, x n = 0.
Sistem gabungan persamaan linier Merupakan sistem persamaan linear yang memiliki penyelesaian.
Sistem persamaan linear yang tidak konsisten Merupakan sistem persamaan linear yang tidak memiliki solusi.
Sistem persamaan linear pasti Merupakan sistem persamaan linear yang memiliki penyelesaian unik.
Sistem persamaan linear tak tentu Adalah sistem persamaan linear yang memiliki himpunan penyelesaian tak terhingga. - Sistem dari n persamaan linier dengan n yang tidak diketahui
Jika jumlah yang tidak diketahui sama dengan jumlah persamaan, maka matriksnya persegi. Determinan suatu matriks disebut sebagai determinan utama suatu sistem persamaan linear dan dilambangkan dengan simbol .
Metode Cramer untuk memecahkan sistem n persamaan linier dengan n tidak dikenal.
aturan Cramer.
Jika determinan utama suatu sistem persamaan linear tidak sama dengan nol, maka sistem tersebut konsisten dan terdefinisi, dan satu-satunya solusi dihitung dengan rumus Cramer:
dimana i - determinan yang diperoleh dari determinan utama sistem dengan mengganti Saya kolom th per kolom anggota bebas. ... - Sistem persamaan linier m dengan n tidak diketahui
Teorema Kronecker-Capelli.
Agar sistem persamaan linier tertentu menjadi konsisten, pangkat matriks sistem tersebut perlu dan cukup untuk sama dengan pangkat matriks yang diperluas dari sistem tersebut, rang (Α) = rang (Α | B).
Jika rang (Α) rang (Α | B), maka sistem pasti tidak memiliki solusi.
Jika rang (Α) = rang (Α | B), maka dua kasus dimungkinkan:
1) rang (Α) = n(untuk jumlah yang tidak diketahui) - solusinya unik dan dapat diperoleh dengan rumus Cramer;
2) berdering (Α)< n - ada banyak sekali solusi. - Metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan linear
Mari kita buat matriks diperluas ( A|B) dari sistem koefisien tertentu di sisi yang tidak diketahui dan sisi kanan.
Metode Gauss atau metode menghilangkan yang tidak diketahui terdiri dari pengurangan matriks yang diperluas ( A|B) dengan bantuan transformasi dasar atas baris-barisnya ke bentuk diagonal (ke bentuk segitiga atas). Kembali ke sistem persamaan, semua yang tidak diketahui ditentukan.
Transformasi dasar atas string meliputi:
1) menukar dua baris;
2) mengalikan string dengan angka selain 0;
3) menambahkan string lain dikalikan dengan angka arbitrer;
4) membuang string nol.
Matriks yang diperluas yang direduksi menjadi bentuk diagonal sesuai dengan sistem linier yang setara dengan yang diberikan, yang solusinya tidak menimbulkan kesulitan. ... - Sistem persamaan linear homogen.
Sebuah sistem homogen terlihat seperti:
itu sesuai dengan persamaan matriks A X = 0.
1) Sistem homogen selalu kompatibel, karena r (A) = r (A | B), selalu ada solusi nol (0, 0,…, 0).
2) Agar sistem homogen memiliki solusi bukan nol, perlu dan cukup bahwa r = r (A)< n , yang setara dengan = 0.
3) Jika R< n , maka dengan sengaja = 0, maka timbul ketidaktahuan bebas c 1, c 2, ..., c n-r, sistem memiliki solusi nontrivial, dan jumlahnya tak terhingga.
4) solusi umum x pada R< n dapat dituliskan dalam bentuk matriks sebagai berikut:
X = c 1 X 1 + c 2 X 2 +… + c n-r X n-r,
dimana solusinya X 1, X 2, ..., X n-r membentuk sistem dasar keputusan.
5) Solusi sistem fundamental dapat diperoleh dari solusi umum sistem homogen:
,
jika nilai parameter secara berurutan diasumsikan (1, 0,…, 0), (0, 1,…, 0),…, (0, 0,…, 1).
Dekomposisi solusi umum dalam hal sistem dasar solusi Merupakan catatan solusi umum berupa kombinasi linear dari solusi-solusi yang termasuk ke dalam sistem fundamental.
Dalil... Agar sistem persamaan linier homogen memiliki solusi bukan nol, perlu dan cukup bahwa 0.
Jadi, jika determinan 0, maka sistem tersebut memiliki solusi unik.
Jika 0, maka sistem persamaan linear homogen memiliki himpunan penyelesaian tak terhingga.
Dalil... Agar sistem homogen memiliki solusi bukan nol, perlu dan cukup bahwa r (A)< n .
Bukti:
1) R tidak bisa lebih n(peringkat matriks tidak melebihi jumlah kolom atau baris);
2) R< n sejak jika r = n, maka determinan utama sistem tersebut adalah 0, dan, menurut rumus Cramer, ada solusi sepele yang unik x 1 = x 2 =… = x n = 0, yang bertentangan dengan kondisi. Cara, r (A)< n .
Konsekuensi... Agar sistem homogen n persamaan linier dengan n tidak diketahui memiliki solusi bukan nol, perlu dan cukup bahwa = 0.
Metode Gauss memiliki sejumlah kelemahan: tidak mungkin untuk mengetahui apakah sistem tersebut kompatibel atau tidak sampai semua transformasi yang diperlukan dalam metode Gauss telah dilakukan; Metode Gaussian tidak cocok untuk sistem dengan koefisien huruf.
Pertimbangkan metode lain untuk memecahkan sistem persamaan linier. Metode-metode ini menggunakan konsep pangkat suatu matriks dan mereduksi solusi dari sistem gabungan apa pun menjadi solusi sistem yang menerapkan aturan Cramer.
Contoh 1. Temukan solusi umum dari sistem persamaan linier berikut menggunakan sistem dasar solusi dari sistem homogen tereduksi dan solusi khusus dari sistem tidak homogen.
1. Menyusun matriks A dan matriks sistem yang diperluas (1)
2. Periksa sistemnya (1) untuk kompatibilitas. Untuk melakukan ini, kami menemukan jajaran matriks A dan https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif "width =" 17"height =" 26 src = ">). Jika ternyata begitu, maka sistem (1) tidak konsisten. Jika kita mendapatkan itu , maka sistem ini kompatibel dan kami akan menyelesaikannya. (Studi konsistensi didasarkan pada teorema Kronecker-Capelli.)
A. Kami menemukan rA.
Mencari rA, kita akan mempertimbangkan secara berurutan bukan nol minor dari orde pertama, kedua, dst., dari matriks A dan anak-anak di bawah umur yang membatasi mereka.
M1= 1 0 (1 diambil dari sudut kiri atas matriks A).
Berbatasan M1 baris kedua dan kolom kedua matriks ini. 
... Kami terus berbatasan M1 baris kedua dan kolom ketiga..gif "width =" 37 "height =" 20 src = ">. Sekarang kita batasi minor bukan nol M2 pesanan kedua.
Kita punya: 
(karena dua kolom pertama adalah sama)
(karena garis kedua dan ketiga proporsional).
Kami melihat itu rA = 2, a adalah minor dasar dari matriks A.
B. Kami menemukan.
Dasar cukup kecil M2 matriks A berbatasan dengan kolom anggota bebas dan semua baris (kami hanya memiliki baris terakhir).
... Oleh karena itu berikut ini 3 tetap menjadi minor dasar dari matriks https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif "width =" 168 height = 75 "height =" 75 "> (2)
Karena M2- dasar minor dari matriks A sistem (2) , maka sistem ini ekuivalen dengan sistem (3) terdiri dari dua persamaan pertama dari sistem (2) (untuk M2 berada di dua baris pertama matriks A).
(3)
Sejak kecil dasar https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif "width =" 153 "height =" 51 "> (4)
Dalam sistem ini, dua tidak diketahui bebas ( x2 dan x4 ). Itu sebabnya FSR sistem (4) terdiri dari dua solusi. Untuk menemukannya, mari kita tambahkan yang tidak dikenal gratis di (4) nilai terlebih dahulu x2 = 1 , x4 = 0 , lalu - x2 = 0 , x4 = 1 .
Pada x2 = 1 , x4 = 0 kita mendapatkan:
.
Sistem ini sudah memiliki satu-satunya solusi (dapat ditemukan dengan aturan Cramer atau dengan cara lain). Mengurangkan yang pertama dari persamaan kedua, kita mendapatkan:
Solusinya adalah x1 = -1 , x3 = 0 ... Mengingat nilai-nilai x2 dan x4 yang telah kami berikan, kami mendapatkan solusi mendasar pertama untuk sistem (2) : .
Sekarang kita masukkan (4) x2 = 0 , x4 = 1 ... Kita mendapatkan:
.
Kami memecahkan sistem ini dengan teorema Cramer:
.
Kami mendapatkan solusi fundamental kedua untuk sistem (2) : .
Solusi 1 , 2 dan make up FSR sistem (2) ... Maka solusi umumnya adalah
γ= C1 1 + C2β2 = C1 (‑1, 1, 0, 0) + C2 (5, 0, 4, 1) = (- C1 + 5C2, C1, 4C2, C2)
Di Sini C1 , C2 - konstanta sewenang-wenang.
4. Temukan satu pribadi larutan sistem heterogen(1) ... Seperti pada paragraf 3 , alih-alih sistem (1) pertimbangkan sistem yang setara (5) terdiri dari dua persamaan pertama dari sistem (1) .
(5)
Pindahkan yang tidak diketahui gratis ke sisi kanan x2 dan x4.
(6)
Ayo berikan yang tidak diketahui gratis x2 dan x4 nilai arbitrer, misalnya x2 = 2 , x4 = 1 dan gantikan dengan (6) ... Kami mendapatkan sistemnya
Sistem ini memiliki solusi unik (karena determinannya 2′0). Memecahkannya (dengan teorema Cramer atau dengan metode Gauss), kita memperoleh x1 = 3 , x3 = 3 ... Mengingat nilai-nilai yang tidak diketahui gratis x2 dan x4 , kita mendapatkan solusi khusus dari sistem heterogen(1)1 = (3,2,3,1).
5. Sekarang tinggal menulis solusi umum sistem tak homogen(1) : sama dengan jumlah solusi pribadi sistem ini dan solusi umum dari sistem homogen tereduksinya (2) :
= 1 + = (3, 2, 3, 1) + (- C1 + 5C2, C1, 4C2, C2).
Ini berarti: 
(7)
6. Penyelidikan. Untuk memeriksa apakah Anda telah memecahkan sistem dengan benar (1) , kita membutuhkan solusi umum (7) pengganti di (1) ... Jika setiap persamaan menjadi identitas ( C1 dan C2 harus dimusnahkan), maka solusinya ditemukan dengan benar.
Kami akan mengganti (7) misalnya, hanya persamaan terakhir dari sistem (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .
Didapatkan: (3 – 1 + 5С2) + (2 + 1) + (3 + 4С2) –9 (1 + 2) = - 1
(C1 – C1) + (5C2 + 4C2–9C2) + (3 + 2 + 3-9) = - 1
Dari mana -1 = -1. Kami mendapat identitas. Kami melakukan ini dengan semua persamaan lain dari sistem (1) .
Komentar. Cek biasanya cukup rumit. "Pemeriksaan sebagian" berikut dapat direkomendasikan: dalam solusi keseluruhan sistem (1) untuk menetapkan beberapa nilai ke konstanta arbitrer dan mengganti solusi tertentu yang diperoleh hanya ke dalam persamaan yang dibuang (yaitu, ke dalam persamaan dari (1) yang tidak termasuk dalam (5) ). Jika Anda mendapatkan identitas, maka, yang paling disukai, solusi sistem (1) ditemukan dengan benar (tetapi pemeriksaan seperti itu tidak memberikan jaminan kebenaran yang lengkap!). Misalnya, jika dalam (7) taruh C2 =- 1 , C1 = 1, maka diperoleh: x1 = -3, x2 = 3, x3 = -1, x4 = 0. Substitusi ke persamaan terakhir sistem (1), kita dapatkan: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , yaitu -1 = -1. Kami mendapat identitas.
Contoh 2. Tentukan solusi umum dari sistem persamaan linear (1) , mengungkapkan hal-hal yang tidak diketahui dasar dalam istilah yang gratis.
Larutan. Seperti dalam Contoh 1, buat matriks A dan https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif "width =" 156 "height =" 50 "> dari matriks ini. Sekarang kita hanya meninggalkan persamaan sistem tersebut (1) , koefisien yang termasuk dalam minor dasar ini (yaitu, kami memiliki dua persamaan pertama) dan mempertimbangkan sistem yang terdiri dari mereka, yang setara dengan sistem (1).
Kami mentransfer tidak diketahui bebas ke sisi kanan persamaan ini.
Sistem (9) kita selesaikan dengan metode Gauss, dengan menganggap ruas kanan adalah suku bebas.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif "lebar =" 202 tinggi = 106 "tinggi =" 106 ">
Pilihan 2.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif "lebar =" 192 "tinggi =" 106 src = ">
Opsi 4.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif "lebar =" 172 "tinggi =" 80 ">
Opsi 5.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif "lebar =" 179 tinggi = 106 "tinggi =" 106 ">
Opsi 6.
https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif "lebar =" 195 "tinggi =" 106 ">
Solusi sistem persamaan aljabar linier (SLAE) tidak diragukan lagi topik yang paling penting dari kursus aljabar linier. Sejumlah besar masalah dari semua cabang matematika direduksi menjadi sistem penyelesaian persamaan linier. Faktor-faktor ini menjelaskan alasan untuk membuat artikel ini. Materi artikel dipilih dan disusun sehingga dengan bantuannya Anda dapat
- pilih metode optimal untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier Anda,
- mempelajari teori metode yang dipilih,
- selesaikan sistem persamaan linier Anda dengan mempertimbangkan secara rinci solusi yang dianalisis dari contoh dan masalah tipikal.
Deskripsi singkat tentang materi artikel.
Pertama, kami memberikan semua definisi dan konsep yang diperlukan dan memperkenalkan notasi.
Selanjutnya, kami mempertimbangkan metode untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier di mana jumlah persamaan sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui dan yang memiliki solusi unik. Pertama, mari kita membahas metode Cramer, kedua, menunjukkan metode matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan seperti itu, dan ketiga, menganalisis metode Gauss (metode penghapusan variabel yang tidak diketahui secara berurutan). Untuk mengkonsolidasikan teori, kami pasti akan memecahkan beberapa SLAE dengan cara yang berbeda.
Setelah itu, kita beralih ke penyelesaian sistem persamaan aljabar linier bentuk umum, di mana jumlah persamaan tidak sesuai dengan jumlah variabel yang tidak diketahui atau matriks utama sistem merosot. Mari kita rumuskan teorema Kronecker - Capelli, yang memungkinkan kita untuk menetapkan kompatibilitas SLAE. Mari kita menganalisis solusi sistem (dalam hal kompatibilitasnya) menggunakan konsep minor dasar dari sebuah matriks. Kami juga akan mempertimbangkan metode Gaussian dan menjelaskan secara rinci solusi dari contoh.
Kami pasti akan memikirkan struktur solusi umum sistem persamaan aljabar linier homogen dan tidak homogen. Mari kita berikan konsep sistem solusi fundamental dan tunjukkan bagaimana solusi umum SLAE ditulis menggunakan vektor sistem solusi fundamental. Untuk pemahaman yang lebih baik, mari kita lihat beberapa contoh.
Sebagai kesimpulan, kami mempertimbangkan sistem persamaan yang direduksi menjadi persamaan linier, serta berbagai masalah, dalam penyelesaiannya SLAE muncul.
Navigasi halaman.
Definisi, konsep, sebutan.
Kami akan mempertimbangkan sistem persamaan aljabar linier p dengan n variabel yang tidak diketahui (p dapat sama dengan n) dalam bentuk
Variabel tidak diketahui, - koefisien (beberapa bilangan real atau kompleks), - suku bebas (juga bilangan real atau kompleks).
Bentuk notasi SLAE ini disebut koordinat.
V bentuk matriks notasi, sistem persamaan ini memiliki bentuk,
di mana 
- matriks utama sistem, - matriks-kolom variabel yang tidak diketahui, - matriks-kolom anggota bebas.
Jika ke matriks A kita tambahkan sebagai kolom ke (n + 1) kolom matriks suku bebas, maka kita mendapatkan apa yang disebut matriks diperluas sistem persamaan linear. Biasanya, matriks diperluas dilambangkan dengan huruf T, dan kolom anggota bebas dipisahkan oleh garis vertikal dari kolom lainnya, yaitu, 
Dengan memecahkan sistem persamaan aljabar linier adalah sekumpulan nilai variabel yang tidak diketahui yang mengubah semua persamaan sistem menjadi identitas. Persamaan matriks untuk nilai yang diberikan dari variabel yang tidak diketahui juga berubah menjadi identitas.
Jika sistem persamaan memiliki setidaknya satu solusi, maka itu disebut persendian.
Jika sistem persamaan tidak memiliki solusi, maka disebut tidak konsisten.
Jika SLAE memiliki solusi unik, maka itu disebut yakin; jika ada lebih dari satu solusi, maka - tidak terdefinisi.
Jika suku bebas semua persamaan sistem sama dengan nol 
, maka sistem tersebut disebut homogen, sebaliknya - heterogen.
Solusi sistem dasar persamaan aljabar linier.
Jika jumlah persamaan sistem sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks dasarnya tidak sama dengan nol, maka SLAE tersebut akan disebut dasar... Sistem persamaan tersebut memiliki solusi yang unik, dan dalam kasus sistem homogen, semua variabel yang tidak diketahui sama dengan nol.
Kami mulai mempelajari SLAU semacam itu di sekolah menengah. Ketika menyelesaikannya, kami mengambil satu persamaan, menyatakan satu variabel yang tidak diketahui dalam hal yang lain dan mensubstitusikannya ke dalam persamaan yang tersisa, kemudian mengambil persamaan berikutnya, menyatakan variabel yang tidak diketahui berikutnya dan mensubstitusikannya ke persamaan lain, dan seterusnya. Atau mereka menggunakan metode penjumlahan, yaitu mereka menambahkan dua atau lebih persamaan untuk menghilangkan beberapa variabel yang tidak diketahui. Kami tidak akan membahas metode ini secara rinci, karena sebenarnya metode tersebut merupakan modifikasi dari metode Gauss.
Metode utama untuk menyelesaikan sistem dasar persamaan linier adalah metode Cramer, metode matriks dan metode Gauss. Mari kita menganalisis mereka.
Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Cramer.
Misalkan kita perlu menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier 
di mana jumlah persamaan sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui dan determinan matriks utama sistem adalah bukan nol, yaitu .
Membiarkan menjadi determinan dari matriks utama sistem, dan 
- determinan matriks, yang diperoleh dari A dengan mengganti 1, 2, ..., n kolom, masing-masing, ke kolom anggota bebas: 
Dengan notasi ini, variabel yang tidak diketahui dihitung dengan rumus metode Cramer sebagai 
... Ini adalah bagaimana solusi dari sistem persamaan aljabar linier dengan metode Cramer ditemukan.
Contoh.
Metode Cramer 
.
Larutan.
Matriks utama dari sistem memiliki bentuk 
... Mari kita hitung determinannya (jika perlu, lihat artikel): 
Karena determinan matriks utama sistem adalah bukan nol, sistem tersebut memiliki solusi unik yang dapat ditemukan dengan metode Cramer.
Mari kita buat dan hitung determinan yang diperlukan 
(determinan diperoleh dengan mengganti kolom pertama pada matriks A dengan kolom anggota bebas, determinan - dengan mengganti kolom kedua dengan kolom anggota bebas, - dengan mengganti kolom ketiga matriks A dengan kolom anggota bebas ): 
Temukan variabel yang tidak diketahui dengan rumus 
:
Menjawab:
Kelemahan utama dari metode Cramer (jika bisa disebut kelemahan) adalah rumitnya menghitung determinan ketika jumlah persamaan dalam sistem lebih dari tiga.
Memecahkan sistem persamaan aljabar linier dengan metode matriks (menggunakan matriks terbalik).
Biarkan sistem persamaan aljabar linier diberikan dalam bentuk matriks, di mana matriks A berdimensi n kali n dan determinannya bukan nol.
Karena, matriks A dapat dibalik, yaitu ada matriks terbalik. Jika kita mengalikan kedua sisi persamaan dengan kiri, maka kita mendapatkan rumus untuk menemukan matriks kolom dari variabel yang tidak diketahui. Jadi kami mendapatkan solusi dari sistem persamaan aljabar linier dengan metode matriks.
Contoh.
Memecahkan sistem persamaan linear metode matriks.
Larutan.
Mari kita tulis ulang sistem persamaan dalam bentuk matriks: 
Karena
maka SLAE dapat diselesaikan dengan metode matriks. Menggunakan matriks terbalik, solusi untuk sistem ini dapat ditemukan sebagai: 
.
Mari kita bangun matriks invers menggunakan matriks komplemen aljabar dari elemen matriks A (jika perlu, lihat artikel): 
Tetap menghitung - matriks variabel yang tidak diketahui dengan mengalikan matriks terbalik 
ke matriks kolom anggota bebas (lihat artikel jika perlu): 
Menjawab:
atau dalam notasi lain x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Masalah utama dalam mencari solusi sistem persamaan aljabar linier dengan metode matriks adalah rumitnya mencari matriks invers, terutama untuk matriks kuadrat berorde lebih tinggi dari ketiga.
Solusi sistem persamaan linier dengan metode Gauss.
Misalkan kita perlu mencari solusi untuk sistem n persamaan linier dengan n variabel yang tidak diketahui 
determinan dari matriks utama yang bukan nol.
Inti dari metode Gauss terdiri dari penghapusan berturut-turut variabel yang tidak diketahui: pertama, x 1 dikeluarkan dari semua persamaan sistem, dimulai dengan yang kedua, kemudian x 2 dikeluarkan dari semua persamaan, dimulai dengan yang ketiga, dan seterusnya, sampai hanya variabel yang tidak diketahui. xn tetap dalam persamaan terakhir. Proses transformasi persamaan sistem untuk eliminasi variabel yang tidak diketahui secara berurutan disebut dengan kursus langsung dari metode Gauss... Setelah menyelesaikan proses maju metode Gauss, x n ditemukan dari persamaan terakhir, dengan menggunakan nilai ini, x n-1 dihitung dari persamaan kedua dari belakang, dan seterusnya, x 1 ditemukan dari persamaan pertama. Proses menghitung variabel yang tidak diketahui ketika berpindah dari persamaan terakhir sistem ke persamaan pertama disebut metode Gaussian mundur.
Mari kita jelaskan secara singkat algoritma untuk menghilangkan variabel yang tidak diketahui.
Kami akan berasumsi bahwa, karena kami selalu dapat mencapai ini dengan mengatur ulang persamaan sistem. Hilangkan variabel x 1 yang tidak diketahui dari semua persamaan sistem, dimulai dengan yang kedua. Untuk melakukan ini, ke persamaan kedua sistem kita tambahkan yang pertama, dikalikan, ke persamaan ketiga kita tambahkan yang pertama, dikalikan, dan seterusnya, ke persamaan ke-n kita tambahkan yang pertama, dikalikan. Sistem persamaan setelah transformasi tersebut mengambil bentuk 
dimana, dan 
.
Kami akan mendapatkan hasil yang sama jika kami menyatakan x 1 dalam hal variabel lain yang tidak diketahui dalam persamaan pertama sistem dan menggantikan ekspresi yang dihasilkan dalam semua persamaan lainnya. Dengan demikian, variabel x 1 dikeluarkan dari semua persamaan, dimulai dengan yang kedua.
Selanjutnya, kami bertindak dengan cara yang sama, tetapi hanya dengan bagian dari sistem yang dihasilkan, yang ditandai pada gambar 
Untuk melakukan ini, ke persamaan ketiga dari sistem kita menambahkan yang kedua dikalikan, ke persamaan keempat kita menambahkan yang kedua dikalikan dengan, dan seterusnya, ke persamaan ke-n kita menambahkan yang kedua dikalikan. Sistem persamaan setelah transformasi tersebut mengambil bentuk 
dimana, dan 
... Dengan demikian, variabel x 2 dikeluarkan dari semua persamaan, dimulai dengan yang ketiga.
Selanjutnya, kami melanjutkan ke penghapusan x 3 yang tidak diketahui, sementara kami bertindak serupa dengan bagian sistem yang ditandai pada gambar 
Jadi kami melanjutkan kursus langsung dari metode Gauss sampai sistem mengambil bentuk 
Mulai saat ini, kita mulai kebalikan dari metode Gauss: kita menghitung xn dari persamaan terakhir sebagai, dengan menggunakan nilai xn yang diperoleh, kita menemukan x n-1 dari persamaan kedua dari belakang, dan seterusnya, kita menemukan x 1 dari persamaan pertama.
Contoh.
Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Gauss.
Larutan.
Hilangkan variabel yang tidak diketahui x 1 dari persamaan kedua dan ketiga dari sistem. Untuk melakukan ini, tambahkan bagian yang sesuai dari persamaan pertama, dikalikan dengan dan dengan, ke kedua sisi persamaan kedua dan ketiga: 
Sekarang kami mengecualikan x 2 dari persamaan ketiga dengan menambahkan ke kiri dan kanannya sisi kiri dan kanan persamaan kedua, dikalikan dengan: 
Pada titik ini, gerakan maju metode Gauss selesai, kita mulai gerakan mundur.
Dari persamaan terakhir dari sistem persamaan yang dihasilkan, kami menemukan x 3: 
Dari persamaan kedua kita dapatkan.
Dari persamaan pertama, kami menemukan variabel yang tidak diketahui yang tersisa dan ini melengkapi kebalikan dari metode Gauss.
Menjawab:
X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.
Solusi sistem persamaan aljabar linier bentuk umum.
Dalam kasus umum, jumlah persamaan dalam sistem p tidak bertepatan dengan jumlah variabel yang tidak diketahui n:
SLAE tersebut mungkin tidak memiliki solusi, memiliki solusi tunggal, atau memiliki banyak solusi. Pernyataan ini juga berlaku untuk sistem persamaan, yang matriks dasarnya adalah persegi dan degenerasi.
Teorema Kronecker - Capelli.
Sebelum menemukan solusi untuk sistem persamaan linier, perlu untuk menetapkan kompatibilitasnya. Jawaban atas pertanyaan kapan SLAE kompatibel dan tidak kompatibel diberikan oleh teorema Kronecker - Capelli:
agar sistem persamaan p dengan n yang tidak diketahui (p dapat sama dengan n) menjadi konsisten, maka rank dari matriks utama sistem harus sama dengan rank dari matriks yang diperluas, yaitu Rank (A) = Peringkat (T).
Mari kita perhatikan dengan contoh penerapan teorema Kronecker - Capelli untuk menentukan kompatibilitas sistem persamaan linier.
Contoh.
Cari tahu apakah sistem persamaan linear memiliki 
solusi.
Larutan.
... Mari kita gunakan metode bordering minors. Minor orde kedua 
bukan nol. Mari kita urutkan anak di bawah umur orde ketiga yang berbatasan dengannya: 
Karena semua minor yang berbatasan dengan orde ketiga sama dengan nol, pangkat matriks utama sama dengan dua.
Pada gilirannya, pangkat dari matriks yang diperluas 
sama dengan tiga, karena minor orde ketiga 
bukan nol.
Dengan demikian, Rang (A), oleh karena itu, dengan teorema Kronecker - Capelli, kita dapat menyimpulkan bahwa sistem persamaan linier asli tidak konsisten.
Menjawab:
Sistem tidak memiliki solusi.
Jadi, kita telah belajar untuk menetapkan inkonsistensi sistem menggunakan teorema Kronecker - Capelli.
Tetapi bagaimana menemukan solusi untuk SLAE jika kompatibilitasnya telah ditetapkan?
Untuk melakukan ini, kita memerlukan konsep minor dasar suatu matriks dan teorema pangkat suatu matriks.
Minor urutan tertinggi matriks A, berbeda dari nol, disebut dasar.
Ini mengikuti dari definisi minor dasar bahwa urutannya sama dengan pangkat matriks. Untuk matriks A bukan nol, mungkin ada beberapa minor dasar; selalu ada satu minor dasar.
Sebagai contoh, perhatikan matriks 
.
Semua minor orde ketiga dari matriks ini sama dengan nol, karena elemen-elemen baris ketiga matriks ini adalah jumlah elemen-elemen baris pertama dan kedua yang bersesuaian.
Minor orde kedua berikut adalah dasar, karena bukan nol 
Anak di bawah umur 
tidak dasar, karena mereka sama dengan nol.
Teorema peringkat matriks.
Jika pangkat suatu matriks orde p oleh n sama dengan r, maka semua elemen baris (dan kolom) matriks yang tidak membentuk minor dasar terpilih dinyatakan secara linear dalam elemen-elemen baris yang bersesuaian ( dan kolom) yang membentuk minor dasar.
Apa yang diberikan teorema peringkat matriks kepada kita?
Jika, menurut teorema Kronecker - Capelli, kami telah menetapkan kompatibilitas sistem, maka kami memilih minor dasar apa pun dari matriks dasar sistem (urutannya sama dengan r), dan kami mengecualikan dari sistem semua persamaan yang tidak membentuk minor dasar yang dipilih. SLAE yang diperoleh dengan cara ini akan setara dengan yang asli, karena persamaan yang dibuang masih berlebihan (menurut teorema peringkat matriks, mereka adalah kombinasi linier dari persamaan yang tersisa).
Akibatnya, setelah membuang persamaan sistem yang tidak perlu, dua kasus dimungkinkan.
Jika jumlah persamaan r dalam sistem yang dihasilkan sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui, maka akan pasti dan satu-satunya solusi dapat ditemukan dengan metode Cramer, metode matriks, atau metode Gauss.
Contoh.
.
Larutan.
Pangkat matriks utama sistem 
sama dengan dua, karena orde kedua minor 
bukan nol. Peringkat Matriks Diperpanjang 
juga sama dengan dua, karena satu-satunya minor dari orde ketiga sama dengan nol 
dan minor orde kedua yang dipertimbangkan di atas bukan nol. Berdasarkan teorema Kronecker - Capelli, kita dapat menyatakan kompatibilitas sistem persamaan linier asli, karena Rank (A) = Rank (T) = 2.
Kami menganggapnya sebagai anak di bawah umur dasar ... Ini dibentuk oleh koefisien persamaan pertama dan kedua: 
Persamaan ketiga dari sistem tidak berpartisipasi dalam pembentukan minor dasar, oleh karena itu, kami mengecualikannya dari sistem berdasarkan teorema pada peringkat matriks: 
Ini adalah bagaimana kita mendapatkan sistem dasar persamaan aljabar linier. Mari kita selesaikan menggunakan metode Cramer: 
Menjawab:
x 1 = 1, x 2 = 2.
Jika jumlah persamaan r dalam SLAE yang diperoleh lebih kecil dari jumlah variabel yang tidak diketahui n, maka di ruas kiri persamaan kita biarkan suku-suku yang membentuk minor dasar, suku-suku lainnya dipindahkan ke kanan- sisi-sisi persamaan sistem dengan tanda yang berlawanan.
Variabel yang tidak diketahui (ada r dari mereka) yang tersisa di sisi kiri persamaan disebut utama.
Variabel yang tidak diketahui (ada n - r buah) yang muncul di ruas kanan disebut Gratis.
Sekarang kita asumsikan bahwa variabel bebas yang tidak diketahui dapat mengambil nilai arbitrer, dan r variabel dasar yang tidak diketahui akan diekspresikan dalam variabel bebas yang tidak diketahui dengan cara yang unik. Ekspresinya dapat ditemukan dengan menyelesaikan SLAE yang diperoleh dengan metode Cramer, dengan metode matriks, atau dengan metode Gaussian.
Mari kita ambil contoh.
Contoh.
Memecahkan sistem persamaan aljabar linier 
.
Larutan.
Tentukan pangkat matriks utama sistem tersebut 
dengan cara membatasi anak di bawah umur. Kami mengambil 1 1 = 1 sebagai minor orde pertama bukan nol. Mari kita mulai mencari minor orde kedua bukan nol yang mengelilingi minor ini: 
Ini adalah bagaimana kami menemukan minor orde kedua bukan nol. Mari kita mulai mencari minor yang berbatasan dengan bukan nol orde ketiga: 
Dengan demikian, pangkat matriks utama adalah tiga. Pangkat matriks yang diperluas juga tiga, yaitu sistemnya konsisten.
Kami mengambil minor orde ketiga bukan nol yang ditemukan sebagai yang dasar.
Untuk kejelasan, kami menunjukkan elemen-elemen yang membentuk minor dasar: 
Kami meninggalkan di sisi kiri persamaan sistem istilah yang berpartisipasi dalam minor dasar, mentransfer sisanya dari tanda berlawanan ke kanan: 
Mari kita berikan nilai arbitrer ke variabel bebas yang tidak diketahui x 2 dan x 5, yaitu, kita ambil 
, di mana adalah angka arbitrer. Dalam hal ini, SLAE akan berbentuk 
Sistem dasar persamaan aljabar linier yang dihasilkan diselesaikan dengan metode Cramer: 
Karenanya, .
Jangan lupa untuk menunjukkan variabel bebas yang tidak diketahui dalam jawaban Anda.
Menjawab:
Dimana angka arbitrer.
Meringkaskan.
Untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier bentuk umum, pertama-tama kita mencari kompatibilitasnya menggunakan teorema Kronecker - Capelli. Jika rank dari matriks utama tidak sama dengan rank dari matriks yang diperluas, maka kita simpulkan bahwa sistem tersebut tidak kompatibel.
Jika pangkat matriks utama sama dengan pangkat matriks yang diperluas, maka kita memilih minor dasar dan membuang persamaan sistem yang tidak berpartisipasi dalam pembentukan minor dasar yang dipilih.
Jika orde minor dasar sama dengan jumlah variabel yang tidak diketahui, maka SLAE memiliki solusi unik, yang kita temukan dengan metode apa pun yang diketahui.
Jika orde minor dasar lebih kecil dari jumlah variabel yang tidak diketahui, maka di ruas kiri persamaan sistem kita tinggalkan suku dengan variabel dasar yang tidak diketahui, pindahkan suku yang tersisa ke ruas kanan dan memberikan nilai arbitrer ke variabel bebas yang tidak diketahui. Dari sistem persamaan linier yang dihasilkan, kami menemukan variabel utama yang tidak diketahui dengan metode Cramer, metode matriks, atau metode Gauss.
Metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier bentuk umum.
Metode Gauss dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier jenis apa pun tanpa terlebih dahulu memeriksa kompatibilitasnya. Proses eliminasi berturut-turut dari variabel yang tidak diketahui memungkinkan untuk menyimpulkan kompatibilitas dan ketidakcocokan SLAE, dan jika ada solusi, itu memungkinkan untuk menemukannya.
Dari sudut pandang pekerjaan komputasi, metode Gaussian lebih disukai.
Awas Detil Deskripsi dan membahas contoh dalam artikel metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier bentuk umum.
Menulis solusi umum sistem aljabar linier homogen dan tidak homogen menggunakan vektor sistem dasar solusi.
Pada bagian ini, kita akan fokus pada sistem persamaan aljabar linier homogen dan tidak homogen yang kompatibel dengan himpunan solusi tak terhingga.
Mari kita berurusan dengan sistem homogen.
Sistem keputusan mendasar Sistem homogen dari p persamaan aljabar linier dengan n variabel yang tidak diketahui adalah himpunan (n - r) dari solusi bebas linier dari sistem ini, di mana r adalah orde minor dasar dari matriks dasar sistem.
Jika kita menyatakan solusi bebas linier dari SLAE homogen sebagai X (1), X (2),…, X (nr) (X (1), X (2),…, X (nr) adalah n-kali-1 matriks kolom) , maka solusi umum dari sistem homogen ini direpresentasikan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor sistem fundamental solusi dengan koefisien konstanta arbitrer 1, 2, ..., (nr), yaitu,.
Apa arti istilah solusi umum sistem homogen persamaan aljabar linier (oroslau)?
Artinya sederhana: rumus menentukan semua solusi yang mungkin untuk SLAE asli, dengan kata lain, mengambil set nilai konstanta arbitrer С 1, 2, ..., (nr), sesuai dengan rumus kita dapatkan salah satu solusi dari SLAE homogen asli.
Jadi, jika kita menemukan sistem solusi fundamental, maka kita dapat menetapkan semua solusi dari SLAE homogen ini sebagai.
Mari kita tunjukkan proses membangun sistem dasar solusi untuk SLAE homogen.
Kami memilih minor dasar dari sistem persamaan linier asli, mengecualikan semua persamaan lain dari sistem, dan mentransfer semua suku yang mengandung variabel bebas yang tidak diketahui ke ruas kanan persamaan sistem dengan tanda yang berlawanan. Mari kita beri nilai pada variabel bebas yang tidak diketahui 1,0,0, ..., 0 dan hitung yang tidak diketahui utama dengan menyelesaikan sistem dasar persamaan linier yang diperoleh dengan cara apa pun, misalnya, dengan metode Cramer. Ini akan memberikan X (1) - solusi pertama untuk sistem fundamental. Jika kita memberikan nilai yang tidak diketahui gratis 0,1,0,0, ..., 0 dan menghitung yang tidak diketahui utama, kita mendapatkan X (2). Dll. Jika kita memberikan nilai 0,0, ..., 0,1 pada variabel bebas yang tidak diketahui dan menghitung dasar yang tidak diketahui, kita mendapatkan X (n-r). Ini adalah bagaimana sistem dasar solusi dari SLAE homogen akan dibangun dan solusi umumnya dapat ditulis dalam bentuk.
Untuk sistem persamaan aljabar linier yang tidak homogen, solusi umum direpresentasikan dalam bentuk, di mana adalah solusi umum dari sistem homogen yang sesuai, dan merupakan solusi khusus dari SLAE tidak homogen asli, yang kita peroleh dengan memberikan nilai-nilai yang tidak diketahui bebas 0,0, ..., 0 dan menghitung nilai-nilai yang tidak diketahui utama.
Mari kita lihat contoh.
Contoh.
Temukan sistem solusi fundamental dan solusi umum sistem homogen persamaan aljabar linier 
.
Larutan.
Pangkat matriks utama sistem persamaan linier homogen selalu sama dengan pangkat matriks yang diperluas. Mari kita cari rank dari matriks utama dengan metode bordering minors. Sebagai minor orde pertama bukan nol, kita ambil elemen a 1 1 = 9 dari matriks utama sistem. Temukan minor orde kedua yang berbatasan dengan bukan nol: 
Minor orde kedua bukan nol telah ditemukan. Mari kita pergi melalui anak di bawah umur tingkat ketiga yang berbatasan dengannya untuk mencari yang bukan nol: 
Semua minor yang berbatasan dari orde ketiga sama dengan nol, oleh karena itu, pangkat matriks utama dan matriks diperluas sama dengan dua. Ambil sebagai anak di bawah umur dasar. Untuk kejelasan, kami mencatat elemen-elemen sistem yang membentuknya: 
Persamaan ketiga dari SLAE asli tidak berpartisipasi dalam pembentukan minor dasar, oleh karena itu, dapat dikecualikan: 
Kami meninggalkan di sisi kanan persamaan istilah yang mengandung tidak diketahui utama, dan di sisi kanan kami mentransfer istilah dengan tidak diketahui gratis:
Mari kita membangun sistem dasar solusi untuk sistem persamaan linier homogen asli. Sistem dasar solusi SLAE ini terdiri dari dua solusi, karena SLAE asli berisi empat variabel yang tidak diketahui, dan urutan minor dasarnya adalah dua. Untuk mencari X (1), kita berikan variabel bebas yang tidak diketahui nilainya x 2 = 1, x 4 = 0, kemudian kita cari variabel utama yang tidak diketahui dari sistem persamaan 
.
