Selesaikan persamaan untuk cramer. Memecahkan persamaan linier dengan metode Kramer dalam matematika

Metode Cramer didasarkan pada penggunaan determinan dalam memecahkan sistem persamaan linear... Ini sangat mempercepat proses solusi.

Metode Cramer dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier sebanyak yang tidak diketahui dalam setiap persamaan. Jika determinan sistem tidak sama dengan nol, maka metode Cramer dapat digunakan dalam penyelesaian, jika sama dengan nol, maka tidak bisa. Selain itu, metode Cramer dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier yang memiliki solusi unik.

Definisi... Determinan, terdiri dari koefisien yang tidak diketahui, disebut determinan sistem dan dilambangkan dengan (delta).

Determinan

diperoleh dengan mengganti koefisien dengan suku bebas yang tidak diketahui terkait:

;

.

teorema Cramer. Jika determinan sistemnya bukan nol, maka sistem persamaan linear memiliki satu solusi unik, dan yang tidak diketahui sama dengan rasio determinannya. Penyebut berisi determinan sistem, dan pembilang berisi determinan yang diperoleh dari determinan sistem dengan mengganti koefisien dalam yang tidak diketahui ini dengan suku bebas. Teorema ini berlaku untuk sistem persamaan linier dengan orde apa pun.

Contoh 1. Memecahkan sistem persamaan linier:

Berdasarkan teorema Cramer kita punya:

Jadi, solusi untuk sistem (2):

kalkulator online, metode pemecah Cramer.

Tiga kasus ketika memecahkan sistem persamaan linier

Seperti yang jelas dari Teorema Cramer, ketika memecahkan sistem persamaan linier, tiga kasus dapat terjadi:

Kasus pertama: sistem persamaan linear memiliki solusi unik

(sistemnya konsisten dan pasti)

Kasus kedua: sistem persamaan linier memiliki jumlah solusi yang tak terbatas

(sistem ini konsisten dan tidak terdefinisi)

** ,

itu. koefisien yang tidak diketahui dan istilah bebasnya proporsional.

Kasus ketiga: sistem persamaan linier tidak memiliki solusi

(sistem tidak konsisten)

Jadi sistemnya M persamaan linier dengan n variabel disebut tidak konsisten jika dia tidak memiliki solusi, dan persendian jika memiliki setidaknya satu solusi. Sistem gabungan persamaan yang hanya memiliki satu solusi disebut yang pasti, dan lebih dari satu - tidak terdefinisi.

Contoh penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode Cramer

Biarkan sistem diberikan

.

Berdasarkan teorema Cramer

………….
,

di mana
-

penentu sistem. Sisa dari determinan akan diperoleh dengan mengganti kolom dengan koefisien variabel yang sesuai (tidak diketahui) dengan suku bebas:

Contoh 2.

Oleh karena itu, sistemnya pasti. Untuk menemukan solusinya, kami menghitung determinannya

Menurut rumus Cramer, kami menemukan:

Jadi, (1; 0; -1) adalah satu-satunya solusi untuk sistem.

Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online yang menyelesaikan metode Cramer.

Jika dalam sistem persamaan linier dalam satu atau beberapa persamaan tidak ada variabel, maka dalam determinan elemen-elemen yang bersesuaian sama dengan nol! Ini adalah contoh selanjutnya.

Contoh 3. Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Cramer:

.

Larutan. Kami menemukan determinan sistem:

Perhatikan baik-baik sistem persamaan dan determinan sistem dan ulangi jawaban atas pertanyaan di mana satu atau lebih elemen determinan sama dengan nol. Jadi, determinannya tidak sama dengan nol, oleh karena itu, sistemnya pasti. Untuk menemukan solusinya, kami menghitung determinan untuk yang tidak diketahui

Menurut rumus Cramer, kami menemukan:

Jadi, solusi sistemnya adalah (2; -1; 1).

Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online yang menyelesaikan metode Cramer.

Kembali ke atas halaman

Kami terus memecahkan sistem dengan metode Cramer bersama

Seperti yang telah disebutkan, jika determinan sistem sama dengan nol, dan determinan untuk yang tidak diketahui tidak sama dengan nol, sistem tersebut tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi. Mari kita ilustrasikan dengan contoh berikut.

Contoh 6. Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Cramer:

Larutan. Kami menemukan determinan sistem:

Determinan sistem sama dengan nol, oleh karena itu, sistem persamaan linier tidak konsisten dan pasti, atau tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi. Untuk membuatnya lebih tepat, kami menghitung determinan untuk yang tidak diketahui

Determinan untuk yang tidak diketahui tidak sama dengan nol, oleh karena itu, sistem tidak konsisten, yaitu tidak memiliki solusi.

Untuk memeriksa solusi sistem persamaan 3 X 3 dan 4 X 4, Anda dapat menggunakan kalkulator online yang menyelesaikan metode Cramer.

Pada soal-soal sistem persamaan linier juga terdapat yang selain huruf-huruf yang menyatakan variabel juga terdapat huruf-huruf lainnya. Huruf-huruf ini mewakili angka tertentu, paling sering bilangan real. Dalam praktiknya, persamaan dan sistem persamaan seperti itu dipimpin oleh masalah pencarian sifat umum dari beberapa fenomena dan objek. Artinya, apakah Anda telah menemukan bahan baru atau perangkat, dan untuk menggambarkan propertinya yang umum terlepas dari ukuran atau jumlah instance, Anda perlu menyelesaikan sistem persamaan linier, di mana alih-alih beberapa koefisien variabel - huruf. Anda tidak perlu pergi jauh untuk contoh.

Contoh berikutnya adalah untuk tugas serupa, hanya jumlah persamaan, variabel, dan huruf yang menunjukkan beberapa bilangan real yang bertambah.

Contoh 8. Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Cramer:

Larutan. Kami menemukan determinan sistem:

Temukan determinan untuk yang tidak diketahui

2. Memecahkan sistem persamaan dengan metode matriks (menggunakan matriks invers).
3. Metode Gauss untuk menyelesaikan sistem persamaan.

metode Cramer.

Metode Cramer digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier ( SLAU).

Rumus untuk contoh sistem dua persamaan dalam dua variabel.
Diberikan: Selesaikan sistem dengan metode Cramer

Variabel x dan pada.
Larutan:
Mari kita cari determinan dari matriks, yang terdiri dari koefisien sistem Perhitungan determinan. :

Kami menerapkan rumus Cramer dan menemukan nilai variabel:
dan .
Contoh 1:
Memecahkan sistem persamaan:

tentang variabel x dan pada.
Larutan:


Mari kita ganti kolom pertama dalam determinan ini dengan kolom koefisien dari sisi kanan sistem dan cari nilainya:

Mari kita lakukan tindakan serupa, mengganti kolom kedua di determinan pertama:

Berlaku rumus Cramer dan temukan nilai variabelnya:
dan .
Menjawab:
Komentar: Metode ini dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem dengan dimensi yang lebih tinggi.

Komentar: Jika ternyata, dan tidak mungkin untuk membagi dengan nol, maka mereka mengatakan bahwa sistem tidak memiliki solusi tunggal. Dalam hal ini, sistem memiliki banyak solusi atau tidak ada solusi sama sekali.

Contoh 2(jumlah solusi tak terbatas):

Memecahkan sistem persamaan:

tentang variabel x dan pada.
Larutan:
Mari kita cari determinan matriks, yang terdiri dari koefisien sistem:

Penyelesaian sistem dengan metode substitusi.

Persamaan pertama dalam sistem adalah kesetaraan, yang berlaku untuk semua nilai variabel (karena 4 selalu sama dengan 4). Jadi hanya ada satu persamaan yang tersisa. Ini adalah persamaan untuk hubungan antar variabel.
Didapatkan, solusi sistem adalah sembarang pasangan nilai variabel yang dihubungkan oleh persamaan.
Solusi umum akan ditulis seperti ini:
Solusi tertentu dapat ditentukan dengan memilih nilai sembarang dari y dan menghitung x menggunakan persamaan koneksi ini.

dll.
Ada banyak sekali solusi seperti itu.
Menjawab: keputusan bersama
Solusi pribadi:

Contoh 3(tidak ada solusi, sistem tidak kompatibel):

Memecahkan sistem persamaan:

Larutan:
Mari kita cari determinan matriks, yang terdiri dari koefisien sistem:

Rumus Cramer tidak dapat diterapkan. Selesaikan sistem ini dengan metode substitusi

Persamaan kedua dari sistem adalah kesetaraan, yang tidak berlaku untuk nilai variabel apa pun (tentu saja, karena -15 tidak sama dengan 2). Jika salah satu persamaan sistem tidak benar untuk setiap nilai variabel, maka seluruh sistem tidak memiliki solusi.
Menjawab: tidak ada solusi

Metode Cramer digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier (SLAEs), di mana jumlah variabel yang tidak diketahui sama dengan jumlah persamaan dan determinan matriks dasarnya adalah bukan nol. Pada artikel ini, kami akan menganalisis bagaimana variabel yang tidak diketahui ditemukan menggunakan metode Cramer dan mendapatkan rumus. Setelah itu, kita beralih ke contoh dan menjelaskan secara rinci solusi sistem persamaan aljabar linier dengan metode Cramer.

Navigasi halaman.

Metode Cramer - derivasi formula.

Misalkan kita perlu menyelesaikan sistem persamaan linier berbentuk

Dimana x 1, x 2, ..., x n - variabel yang tidak diketahui, a i j, i = 1, 2,…, n, j = 1, 2,…, n- koefisien numerik, b 1, b 2,…, b n - suku bebas. Solusi SLAE adalah himpunan nilai x 1, x 2,…, x n di mana semua persamaan sistem berubah menjadi identitas.

Dalam bentuk matriks, sistem ini dapat ditulis sebagai A X = B, dimana - matriks utama sistem, elemen-elemennya adalah koefisien variabel yang tidak diketahui, - matriks adalah kolom suku bebas, dan - matriks adalah kolom variabel yang tidak diketahui. Setelah menemukan variabel yang tidak diketahui x 1, x 2,…, x n, matriks menjadi solusi sistem persamaan dan persamaan A X = B menjadi identitas.

Kita akan mengasumsikan bahwa matriks A adalah non-degenerate, yaitu determinannya tidak nol. Dalam hal ini, sistem persamaan aljabar linier memiliki solusi unik yang dapat ditemukan dengan metode Cramer. (Metode penyelesaian sistem di dibahas dalam bagian penyelesaian sistem persamaan aljabar linier).

Metode Cramer didasarkan pada dua sifat determinan matriks:

Jadi, mari kita mulai mencari variabel yang tidak diketahui x 1. Untuk melakukannya, kalikan kedua ruas persamaan pertama sistem dengan A 1 1, kedua ruas persamaan kedua dengan A 2 1, dan seterusnya, kedua ruas persamaan ke-n dengan A n 1 (yaitu, persamaan sistem dikalikan dengan komplemen aljabar yang sesuai dari kolom pertama matriks A):

Mari kita jumlahkan semua ruas kiri persamaan sistem, kelompokkan suku-suku variabel yang tidak diketahui x 1, x 2,…, x n, dan samakan jumlah ini dengan jumlah semua ruas kanan persamaan:

Jika kita beralih ke sifat determinan yang diumumkan sebelumnya, maka kita memiliki

dan persamaan sebelumnya mengambil bentuk

di mana

Temukan x 2 dengan cara yang sama. Untuk melakukan ini, kita mengalikan kedua ruas persamaan sistem dengan komplemen aljabar kolom kedua matriks A:

Kami menjumlahkan semua persamaan sistem, mengelompokkan istilah untuk variabel yang tidak diketahui x 1, x 2, ..., x n dan menerapkan sifat-sifat determinan:

Di mana
.

Variabel yang tidak diketahui yang tersisa ditemukan sama.

Jika kita menunjukkan

Kemudian kita mendapatkan rumus untuk menemukan variabel yang tidak diketahui dengan metode Cramer .

Komentar.

Jika sistem persamaan aljabar linier homogen, yaitu, , maka ia hanya memiliki solusi trivial (at). Memang, untuk nol istilah bebas, semua determinan akan sama dengan nol, karena mereka akan berisi kolom elemen nol. Oleh karena itu, rumus akan memberi.

Algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier dengan metode Cramer.

Ayo tulis algoritma untuk menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier dengan metode Cramer.

Contoh penyelesaian sistem persamaan aljabar linier dengan metode Cramer.

Mari kita lihat solusi dari beberapa contoh.

Contoh.

Temukan solusi untuk sistem persamaan aljabar linier tidak homogen dengan metode Cramer .

Larutan.

Matriks utama dari sistem ini adalah. Mari kita hitung determinannya dengan rumus :

Karena determinan matriks utama sistem adalah bukan nol, SLAE memiliki solusi unik, dan dapat ditemukan dengan metode Cramer. Mari kita tuliskan determinannya dan. Kami mengganti kolom pertama dari matriks utama sistem dengan kolom istilah bebas, dan kami memperoleh determinannya ... Demikian pula, kami mengganti kolom kedua dari matriks utama dengan kolom istilah bebas, dan kami dapatkan.

Kami menghitung determinan ini:

Temukan variabel yang tidak diketahui x 1 dan x 2 dengan rumus :

Mari kita periksa. Substitusikan nilai yang diperoleh x 1 dan x 2 ke dalam sistem persamaan asli:

Kedua persamaan sistem berubah menjadi identitas, oleh karena itu, solusi ditemukan dengan benar.

Menjawab:

.

Beberapa elemen matriks SLAE utama bisa sama dengan nol. Dalam hal ini, variabel yang tidak diketahui terkait tidak akan ada dalam persamaan sistem. Mari kita lihat sebuah contoh.

Contoh.

Temukan solusi dari sistem persamaan linier dengan metode Cramer .

Larutan.

Kami menulis ulang sistem sebagai untuk melihat matriks utama sistem ... Mari kita cari determinannya dengan rumus

Kita punya

Determinan matriks utama adalah bukan nol, oleh karena itu, sistem persamaan linier memiliki solusi yang unik. Mari kita temukan dengan metode Cramer. Kami menghitung determinannya :

Lewat sini,

Menjawab:

Penunjukan variabel yang tidak diketahui dalam persamaan sistem mungkin berbeda dari x 1, x 2,…, x n. Ini tidak mempengaruhi proses pengambilan keputusan. Tetapi urutan variabel yang tidak diketahui dalam persamaan sistem sangat penting ketika menyusun matriks utama dan determinan yang diperlukan dari metode Cramer. Mari kita jelaskan poin ini dengan sebuah contoh.

Contoh.

Dengan menggunakan metode Cramer, temukan solusi untuk sistem tiga persamaan aljabar linier dalam tiga variabel yang tidak diketahui .

Larutan.

Dalam contoh ini, variabel yang tidak diketahui diberi label berbeda (x, y, dan z, bukan x 1, x 2, dan x 3). Ini tidak mempengaruhi jalannya solusi, tetapi berhati-hatilah dengan penunjukan variabel. Sebagai matriks utama sistem, Anda TIDAK BISA mengambil ... Pertama-tama perlu untuk mengurutkan variabel yang tidak diketahui dalam semua persamaan sistem. Untuk ini, kami menulis ulang sistem persamaan sebagai ... Sekarang matriks utama sistem terlihat jelas ... Mari kita hitung determinannya:

Determinan matriks utama adalah bukan nol, oleh karena itu, sistem persamaan memiliki solusi yang unik. Mari kita temukan dengan metode Cramer. Mari kita tuliskan determinannya (perhatikan notasinya) dan hitunglah:

Tetap menemukan variabel yang tidak diketahui dengan rumus :

Mari kita periksa. Untuk melakukan ini, kami mengalikan matriks utama dengan solusi yang dihasilkan (jika perlu, lihat bagian):

Akibatnya, kolom suku bebas dari sistem persamaan asli diperoleh, sehingga solusinya ditemukan dengan benar.

Menjawab:

x = 0, y = -2, z = 3.

Contoh.

Memecahkan sistem persamaan linear dengan metode Cramer di mana a dan b adalah beberapa bilangan real.

Larutan.

Menjawab:

Contoh.

Temukan solusi untuk sistem persamaan dengan metode Cramer, - beberapa bilangan real.

Larutan.

Mari kita hitung determinan matriks utama sistem :. ekspresi adalah interval, oleh karena itu, untuk setiap nilai yang valid. Akibatnya, sistem persamaan memiliki solusi unik yang dapat ditemukan dengan metode Cramer. Kami menghitung dan:

Biarkan sistem persamaan linier berisi persamaan sebanyak jumlah variabel bebas, mis. memiliki bentuk

Sistem persamaan linier seperti itu disebut kuadrat. Determinan yang tersusun dari koefisien-koefisien variabel bebas sistem (1,5) disebut determinan utama sistem. Kami akan menunjukkannya dengan huruf Yunani D. Jadi,

. (1.6)

Jika determinan utama bersifat arbitrer ( J-th) kolom, ganti dengan kolom syarat sistem bebas (1.5), maka kita bisa mendapatkan yang lain n penentu tambahan:

(J = 1, 2, …, n). (1.7)

Aturan Cramer solusi sistem kuadrat dari persamaan linier adalah sebagai berikut. Jika determinan utama D sistem (1,5) bukan nol, maka sistem tersebut memiliki solusi unik, yang dapat ditemukan dengan rumus:

(1.8)

Contoh 1.5. Menggunakan metode Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan

.

Mari kita hitung determinan utama sistem:

Sejak D¹0, sistem memiliki solusi unik, yang dapat ditemukan dengan rumus (1.8):

Lewat sini,

Operasi matriks

1. Perkalian matriks dengan angka. Operasi perkalian matriks dengan bilangan didefinisikan sebagai berikut.

2. Untuk mengalikan matriks dengan angka, Anda perlu mengalikan semua elemennya dengan angka ini. Itu adalah

. (1.9)

Contoh 1.6. .

Penambahan matriks.

Operasi ini diperkenalkan hanya untuk matriks dengan orde yang sama.

Untuk menjumlahkan dua matriks, perlu menambahkan elemen-elemen yang bersesuaian dari matriks lain ke elemen-elemen dari satu matriks:

(1.10)
Operasi penjumlahan matriks memiliki sifat-sifat asosiatif dan komutatif.

Contoh 1.7. .

perkalian matriks.

Jika jumlah kolom matriks SEBUAH cocok dengan jumlah baris matriks V, maka operasi perkalian diperkenalkan untuk matriks tersebut:

2

Jadi, ketika mengalikan matriks SEBUAH ukuran M´ n pada matriks V ukuran n´ k kita mendapatkan matriks DENGAN ukuran M´ k... Selain itu, elemen matriks DENGAN dihitung dengan menggunakan rumus berikut:

Tugas 1.8. Temukan, jika mungkin, produk matriks AB dan BA:

Larutan. 1) Untuk mencari pekerjaan AB, Anda membutuhkan baris matriks SEBUAH kalikan dengan kolom matriks B:

2) Karya Seni BA tidak ada, karena jumlah kolom dalam matriks B tidak cocok dengan jumlah baris dalam matriks SEBUAH.

Matriks terbalik. Solusi matriks sistem persamaan linear

Matriks SEBUAH - 1 disebut invers dari matriks persegi SEBUAH jika persamaan berlaku:

melalui mana Saya menunjukkan matriks identitas dengan orde yang sama dengan matriks SEBUAH:

.

Agar matriks persegi memiliki invers, perlu dan cukup bahwa determinannya bukan nol. Matriks terbalik ditemukan dengan rumus:

, (1.13)

di mana sebuah ij- penambahan aljabar ke elemen sebuah ij matriks SEBUAH(perhatikan bahwa aljabar melengkapi baris-baris matriks SEBUAH terletak di matriks terbalik dalam bentuk kolom yang sesuai).

Contoh 1.9. Temukan Matriks Terbalik SEBUAH - 1 ke matriks

.

Kami menemukan matriks terbalik dengan rumus (1.13), yang untuk kasus ini n= 3 berbentuk:

.

Temukan titik SEBUAH = | SEBUAH| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Karena determinan matriks asalnya bukan nol, maka matriks inversnya ada.

1) Temukan komplemen aljabar sebuah ij:

Untuk memudahkan mencari matriks invers, kami telah menempatkan penambahan aljabar ke baris matriks asli di kolom yang sesuai.

Dari komplemen aljabar yang diperoleh, kami menyusun: matriks baru dan membaginya dengan determinan det SEBUAH... Dengan demikian, kita mendapatkan invers matriks:

Sistem kuadrat dari persamaan linier dengan determinan utama bukan nol dapat diselesaikan dengan menggunakan matriks invers. Untuk ini, sistem (1.5) ditulis dalam bentuk matriks:

di mana

Mengalikan kedua ruas persamaan (1,14) di sebelah kiri dengan SEBUAH - 1, kami mendapatkan solusi dari sistem:

, di mana

Jadi, untuk menemukan solusi sistem kuadrat, Anda perlu mencari matriks invers ke matriks utama sistem dan mengalikannya di sebelah kanan dengan matriks kolom suku bebas.

Tugas 1.10. Memecahkan sistem persamaan linear

menggunakan matriks terbalik.

Larutan. Mari kita tulis sistem dalam bentuk matriks :,

di mana - matriks utama sistem, - kolom tidak diketahui dan - kolom anggota bebas. Karena penentu utama sistem , maka matriks utama sistem SEBUAH memiliki invers SEBUAH-satu . Untuk mencari matriks invers SEBUAH-1, kami menghitung komplemen aljabar untuk semua elemen matriks SEBUAH:

Dari angka-angka yang diperoleh, kami menyusun matriks (selain itu, pelengkap aljabar ke baris matriks SEBUAH kami menulis di kolom yang sesuai) dan membaginya dengan determinan D. Jadi, kami telah menemukan matriks terbalik:

Kami menemukan solusi dari sistem dengan rumus (1.15):

Lewat sini,

Solusi sistem persamaan linier dengan metode pengecualian Jordan biasa

Biarkan sistem persamaan linier arbitrer (tidak harus kuadrat) diberikan:

(1.16)

Diperlukan untuk menemukan solusi untuk sistem, mis. satu set variabel yang memenuhi semua persamaan sistem (1.16). Dalam kasus umum, sistem (1.16) dapat memiliki tidak hanya satu solusi, tetapi juga sejumlah solusi yang tak terbatas. Dia mungkin juga tidak punya solusi sama sekali.

Saat memecahkan masalah seperti itu, metode menghilangkan yang tidak diketahui, yang terkenal dari kursus sekolah, digunakan, yang juga disebut metode pengecualian Jordan biasa. Inti dari metode ini adalah bahwa dalam salah satu persamaan sistem (1.16) salah satu variabel dinyatakan dalam variabel lain. Kemudian variabel ini disubstitusikan ke persamaan lain dari sistem. Hasilnya adalah sistem yang berisi satu persamaan dan satu variabel kurang dari sistem aslinya. Persamaan dari mana variabel itu diekspresikan diingat.

Proses ini diulang sampai satu persamaan terakhir tetap dalam sistem. Dalam proses menghilangkan yang tidak diketahui, beberapa persamaan dapat berubah menjadi identitas sebenarnya, misalnya. Persamaan seperti itu dikeluarkan dari sistem, karena mereka puas untuk nilai variabel apa pun dan, oleh karena itu, tidak memengaruhi solusi sistem. Jika, dalam proses menghilangkan yang tidak diketahui, setidaknya satu persamaan menjadi persamaan yang tidak dapat dipenuhi untuk setiap nilai variabel (misalnya), maka kami menyimpulkan bahwa sistem tidak memiliki solusi.

Jika selama penyelesaian persamaan kontradiktif tidak muncul, maka salah satu variabel yang tersisa di dalamnya ditemukan dari persamaan terakhir. Jika hanya ada satu variabel yang tersisa dalam persamaan terakhir, maka itu dinyatakan sebagai angka. Jika variabel lain tetap dalam persamaan terakhir, maka mereka dianggap parameter, dan variabel yang diekspresikan melalui mereka akan menjadi fungsi dari parameter ini. Kemudian apa yang disebut "gerakan terbalik" terjadi. Variabel yang ditemukan disubstitusikan ke dalam persamaan yang terakhir diingat dan variabel kedua ditemukan. Kemudian dua variabel yang ditemukan disubstitusikan ke dalam persamaan yang diingat kedua dari belakang dan variabel ketiga ditemukan, dan seterusnya, hingga persamaan yang pertama diingat.

Sebagai hasilnya, kami mendapatkan solusi dari sistem. Solusi ini akan menjadi satu-satunya jika variabel yang ditemukan adalah angka. Jika variabel pertama yang ditemukan, dan kemudian yang lainnya, bergantung pada parameter, maka sistem akan memiliki jumlah solusi yang tak terbatas (solusi baru sesuai dengan setiap set parameter). Rumus yang memungkinkan Anda menemukan solusi untuk sistem yang bergantung pada serangkaian parameter tertentu disebut solusi umum sistem.

Contoh 1.11.

x

Setelah menghafal persamaan pertama dan mengurangi suku-suku serupa dalam persamaan kedua dan ketiga, kita sampai pada sistem:

Mari kita berekspresi kamu dari persamaan kedua dan substitusikan ke persamaan pertama:

Mari kita ingat persamaan kedua, dan dari yang pertama kita temukan z:

Membuat langkah sebaliknya, kami berturut-turut menemukan kamu dan z... Untuk melakukan ini, pertama-tama kita substitusikan ke persamaan yang terakhir diingat, dari mana kita menemukan kamu:

.

Kemudian kita substitusikan ke persamaan pertama yang dihafal dari mana kita menemukan x:

Tugas 1.12. Memecahkan sistem persamaan linier dengan menghilangkan yang tidak diketahui:

. (1.17)

Larutan. Mari kita nyatakan dari persamaan pertama variabel x dan substitusikan ke persamaan kedua dan ketiga:

.

Mari kita ingat persamaan pertama

Dalam sistem ini, persamaan pertama dan kedua saling bertentangan. Memang, mengekspresikan kamu , kita mendapatkan bahwa 14 = 17. Persamaan ini tidak berlaku untuk nilai variabel apa pun x, kamu, dan z... Akibatnya, sistem (1.17) tidak konsisten, yaitu, tidak memiliki solusi.

Kami menyarankan pembaca untuk memverifikasi secara independen bahwa determinan utama dari sistem asli (1,17) sama dengan nol.

Pertimbangkan sistem yang berbeda dari sistem (1.17) hanya dengan satu istilah bebas.

Tugas 1.13. Memecahkan sistem persamaan linier dengan menghilangkan yang tidak diketahui:

. (1.18)

Larutan. Seperti sebelumnya, kami menyatakan dari persamaan pertama variabel x dan substitusikan ke persamaan kedua dan ketiga:

.

Mari kita ingat persamaan pertama dan berikan suku-suku yang serupa pada persamaan kedua dan ketiga. Kami datang ke sistem:

Dengan mengungkapkan kamu dari persamaan pertama dan substitusikan ke persamaan kedua , kami mendapatkan identitas 14 = 14, yang tidak mempengaruhi solusi sistem, dan, oleh karena itu, dapat dikeluarkan dari sistem.

Dalam persamaan yang terakhir diingat, variabel z akan dianggap sebagai parameter. Kami percaya. Kemudian

Pengganti kamu dan z ke dalam persamaan hafalan pertama dan temukan x:

.

Dengan demikian, sistem (1,18) memiliki jumlah solusi yang tidak terbatas, dan solusi apa pun dapat ditemukan dengan rumus (1,19), memilih nilai parameter yang berubah-ubah T:

(1.19)
Jadi solusi sistem, misalnya, adalah himpunan variabel berikut (1; 2; 0), (2; 26; 14), dll. Rumus (1.19) menyatakan solusi umum (apa saja) sistem (1.18) .

Dalam kasus ketika sistem asli (1.16) memiliki cukup sejumlah besar persamaan dan yang tidak diketahui, metode yang ditunjukkan dari pengecualian Jordan biasa tampaknya rumit. Namun, tidak. Cukup menyimpulkan algoritma untuk menghitung ulang koefisien sistem pada satu langkah dalam bentuk umum dan merumuskan solusi untuk masalah dalam bentuk tabel Jordan khusus.

Biarkan sistem bentuk linier (persamaan) diberikan:

, (1.20)
di mana x j- variabel independen (dicari), sebuah ij- koefisien konstan
(saya = 1, 2,…, M; J = 1, 2,…, n). Sisi kanan sistem aku (saya = 1, 2,…, M) dapat berupa variabel (tergantung) dan konstanta. Diperlukan untuk menemukan solusi untuk sistem ini dengan menghilangkan yang tidak diketahui.

Pertimbangkan operasi berikut, selanjutnya disebut "satu langkah pengecualian Jordan biasa". Dari sewenang-wenang ( R-th) kesetaraan, kami mengekspresikan variabel arbitrer ( x s) dan substitusikan semua persamaan lainnya. Tentu saja, ini hanya mungkin jika sebuah rs 0. Koefisien sebuah rs disebut elemen permisif (terkadang membimbing atau utama).

Kami mendapatkan sistem berikut:

. (1.21)

Dari S persamaan sistem (1,21), kami kemudian menemukan variabel x s(setelah sisa variabel ditemukan). S Baris -th diingat dan selanjutnya dikeluarkan dari sistem. Sistem yang tersisa akan berisi satu persamaan dan satu variabel bebas yang lebih sedikit daripada sistem aslinya.

Mari kita hitung koefisien sistem yang dihasilkan (1,21) dalam hal koefisien sistem asli (1,20). Mari kita mulai dengan R persamaan -th, yang setelah ekspresi variabel x s melalui sisa variabel akan terlihat seperti ini:

Jadi, koefisien baru R persamaan -th dihitung dengan rumus berikut:

(1.23)
Sekarang mari kita hitung koefisien baru b ij(Saya¹ R) dari persamaan arbitrer. Untuk ini, kami mengganti variabel yang dinyatakan dalam (1.22) x s v Saya persamaan -th sistem (1.20):

Setelah membawa istilah serupa, kami mendapatkan:

(1.24)
Dari persamaan (1.24) kami memperoleh rumus yang dengannya koefisien sistem (1.21) yang tersisa dihitung (dengan pengecualian R persamaan):

(1.25)
Transformasi sistem persamaan linier dengan metode pengecualian Jordan biasa diformalkan dalam bentuk tabel (matriks). Tabel ini disebut tabel "Yordania".

Jadi, masalah (1.20) dikaitkan dengan tabel Jordan berikut:

Tabel 1.1

	x 1	x 2	…	x j	…	x s	…	x n
kamu 1 =	sebuah 11	sebuah 12		sebuah 1J		sebuah 1S		sebuah 1n
…………………………………………………………………..
aku=	aku 1	aku 2		sebuah ij		sebuah is		sebuah masuk
…………………………………………………………………..
y r=	sebuah r 1	sebuah r 2		sebuah rj		sebuah rs		sebuah rn
………………………………………………………………….
y n=	saya 1	saya 2		sebuah mj		sebuah ms		sebuah mn

Tabel Jordan 1.1 berisi kolom header kiri, di mana sisi kanan sistem (1,20) ditulis, dan baris header atas, di mana variabel independen ditulis.

Sisa elemen tabel membentuk matriks utama dari koefisien sistem (1,20). Jika kita mengalikan matriks SEBUAH ke matriks yang terdiri dari elemen-elemen baris heading atas, maka Anda mendapatkan matriks yang terdiri dari elemen-elemen kolom header kiri. Artinya, pada dasarnya, tabel Jordan adalah notasi matriks dari sistem persamaan linier:. Dalam hal ini, tabel Jordan berikut sesuai dengan sistem (1.21):

Tabel 1.2

	x 1	x 2	…	x j	…	y r	…	x n
kamu 1 =	B 11	B 12		B 1 J		B 1 S		B 1 n
…………………………………………………………………..
y saya =	b saya 1	b saya 2		b ij		b adalah		tempat sampah
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		b ms		b mn

Elemen permisif sebuah rs kami akan menyorotnya dalam huruf tebal. Ingat bahwa untuk satu langkah pengecualian Jordan terjadi, elemen penyelesaian harus bukan nol. Baris tabel yang berisi elemen yang mengizinkan disebut baris yang mengizinkan. Kolom yang berisi elemen yang mengizinkan disebut kolom yang mengizinkan. Saat berpindah dari tabel ini ke tabel berikutnya, satu variabel ( x s) dari baris header atas tabel dipindahkan ke kolom header kiri dan, sebaliknya, salah satu anggota bebas sistem ( y r) dari kolom kepala kiri tabel dipindahkan ke baris kepala atas.

Mari kita jelaskan algoritma untuk menghitung ulang koefisien dalam transisi dari tabel Jordan (1.1) ke tabel (1.2), yang mengikuti dari rumus (1.23) dan (1.25).

1. Unsur perijinan diganti dengan timbal balik:

2. Sisa dari elemen garis izin dibagi dengan elemen izin dan ubah tandanya menjadi sebaliknya:

3. Sisa dari elemen kolom penyelesaian dibagi menjadi elemen penyelesaian:

4. Elemen yang tidak termasuk dalam garis pemisah dan kolom penyelesaian dihitung ulang dengan menggunakan rumus:

Rumus terakhir mudah diingat jika Anda memperhatikan bahwa elemen-elemen yang membentuk pecahan , berada di persimpangan Saya th dan R garis -th dan J th dan S kolom -th (baris penyelesaian, kolom penyelesaian, dan baris dan kolom di persimpangan tempat elemen yang dihitung ulang berada). Lebih tepatnya, saat menghafal rumus diagram berikut dapat digunakan:

-21 -26 -13 -37

Mengambil langkah pertama pengecualian Jordan, elemen apa pun dari Tabel 1.3, terletak di kolom x 1 ,…, x 5 (semua elemen yang ditentukan bukan nol). Anda seharusnya tidak hanya memilih elemen penyelesaian di kolom terakhir, karena Anda ingin mencari variabel bebas x 1 ,…, x 5 . Kami memilih, misalnya, koefisien 1 di variabel x 3 di baris ketiga Tabel 1.3 (elemen pengaktif ditampilkan dalam huruf tebal). Saat menuju ke tabel 1.4, variabel x 3 dari baris heading atas ditukar dengan konstanta kolom kepala kiri 0 (baris ketiga). Dalam hal ini, variabel x 3 dinyatakan dalam variabel yang tersisa.

Rangkaian x 3 (Tabel 1.4) dapat, setelah diingat, dikeluarkan dari Tabel 1.4. Kolom ketiga dengan nol di baris judul atas juga dikecualikan dari tabel 1.4. Faktanya adalah bahwa terlepas dari koefisien kolom ini b saya 3 semua suku yang bersesuaian dari setiap persamaan 0 b saya 3 sistem akan menjadi nol. Oleh karena itu, koefisien yang ditunjukkan dapat dihilangkan. Menghilangkan satu variabel x 3 dan mengingat salah satu persamaan, kita sampai pada sistem yang sesuai dengan Tabel 1.4 (dengan garis yang dicoret x 3). Memilih dalam tabel 1.4 sebagai elemen penyelesaian B 14 = -5, lanjut ke tabel 1.5. Pada tabel 1.5, kita mengingat baris pertama dan mengecualikannya dari tabel bersama dengan kolom keempat (dengan nol di atas).

Tabel 1.5 Tabel 1.6

Dari tabel 1.7 terakhir kami menemukan: x 1 = - 3 + 2x 5 .

Secara berurutan mengganti variabel yang sudah ditemukan ke dalam baris yang disimpan, kami menemukan variabel yang tersisa:

Dengan demikian, sistem memiliki solusi yang tak terhitung jumlahnya. Variabel x 5, Anda dapat menetapkan nilai sewenang-wenang. Variabel ini bertindak sebagai parameter x 5 = t. Kami telah membuktikan kompatibilitas sistem dan menemukan solusi umumnya:

x 1 = - 3 + 2T

x 2 = - 1 - 3T

x 3 = - 2 + 4T . (1.27)
x 4 = 4 + 5T

x 5 = T

Dengan memberikan parameter T nilai yang berbeda, kami mendapatkan solusi yang tak terhitung jumlahnya untuk sistem asli. Jadi, misalnya, solusi sistem adalah himpunan variabel berikut (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

Di bagian pertama, kami membahas sedikit bahan teoretis, metode substitusi, serta metode penambahan suku demi suku untuk persamaan sistem. Saya merekomendasikan kepada semua orang yang datang ke situs melalui halaman ini untuk membaca bagian pertama. Mungkin beberapa pengunjung akan menganggap materinya terlalu sederhana, tetapi dalam menyelesaikan sistem persamaan linier, saya membuat sejumlah komentar dan kesimpulan yang sangat penting mengenai penyelesaian masalah matematika secara umum.

Dan sekarang kita akan menganalisis aturan Cramer, serta menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan matriks terbalik (metode matriks). Semua materi disajikan secara sederhana, detail dan mudah dipahami, hampir semua pembaca akan dapat mempelajari cara menyelesaikan sistem dengan cara-cara di atas.

Pertama, kami mempertimbangkan secara rinci aturan Cramer untuk sistem dua persamaan linier dalam dua yang tidak diketahui. Untuk apa? - Lagipula sistem paling sederhana dapat diselesaikan dengan metode sekolah, metode penjumlahan suku!

Faktanya adalah bahwa, bahkan jika kadang-kadang, tugas seperti itu dihadapi - untuk menyelesaikan sistem dua persamaan linier dengan dua yang tidak diketahui menurut rumus Cramer. Kedua, contoh yang lebih sederhana akan membantu Anda memahami cara menggunakan aturan Cramer lebih lanjut kasus yang sulit- sistem tiga persamaan dengan tiga tidak diketahui.

Selain itu, ada sistem persamaan linier dengan dua variabel, yang disarankan untuk diselesaikan dengan tepat sesuai dengan aturan Cramer!

Perhatikan sistem persamaan

Pada langkah pertama, kami menghitung determinan, itu disebut penentu utama sistem.

metode Gauss.

Jika, maka sistem memiliki solusi unik, dan untuk menemukan akarnya, kita harus menghitung dua determinan lagi:
dan

Dalam praktiknya, kualifikasi di atas juga dapat dilambangkan dengan huruf latin.

Kami menemukan akar persamaan dengan rumus:
,

Contoh 7

Memecahkan sistem persamaan linear

Larutan: Kita melihat bahwa koefisien persamaannya cukup besar, di sebelah kanan ada pecahan desimal dengan koma. Koma adalah tamu yang agak langka di tugas praktek dalam matematika, saya mengambil sistem ini dari masalah ekonometrik.

Bagaimana cara mengatasi sistem seperti itu? Anda dapat mencoba untuk mengekspresikan satu variabel dalam hal yang lain, tetapi dalam kasus ini Anda pasti akan mendapatkan pecahan mewah yang mengerikan, yang sangat tidak nyaman untuk digunakan, dan desain solusinya akan terlihat sangat buruk. Anda dapat mengalikan persamaan kedua dengan 6 dan melakukan pengurangan suku demi suku, tetapi pecahan yang sama akan muncul di sini.

Apa yang harus dilakukan? Dalam kasus seperti itu, formula Cramer datang untuk menyelamatkan.

;

;

Menjawab: ,

Kedua akar memiliki ekor tak terbatas, dan ditemukan kira-kira, yang cukup dapat diterima (dan bahkan umum) untuk masalah ekonometrik.

Komentar tidak diperlukan di sini, karena tugas diselesaikan sesuai dengan formula yang sudah jadi, namun, ada satu peringatan. Saat menggunakan metode ini, wajib sebuah fragmen dari tugas adalah fragmen berikut: "Yang berarti bahwa sistem memiliki satu-satunya solusi"... Jika tidak, peninjau dapat menghukum Anda karena tidak menghormati teorema Cramer.

Tidak akan berlebihan untuk memeriksa, yang nyaman untuk dilakukan pada kalkulator: kami mengganti nilai perkiraan ke sisi kiri setiap persamaan dalam sistem. Akibatnya, dengan kesalahan kecil, Anda harus mendapatkan angka yang berada di bagian yang benar.

Contoh 8

Jawabannya disajikan dalam pecahan biasa tidak beraturan. Buat cek.

Ini adalah contoh untuk solusi mandiri (contoh penyelesaian dan jawaban di akhir pelajaran).

Kami sekarang beralih ke pertimbangan aturan Cramer untuk sistem tiga persamaan dengan tiga yang tidak diketahui:

Tentukan determinan utama sistem:

Jika, maka sistem memiliki banyak solusi atau tidak konsisten (tidak memiliki solusi). Dalam hal ini, aturan Cramer tidak akan membantu; Anda perlu menggunakan metode Gaussian.

Jika, maka sistem memiliki solusi unik, dan untuk menemukan akarnya, kita harus menghitung tiga determinan lagi:
, ,

Dan akhirnya, jawabannya dihitung menggunakan rumus:

Seperti yang Anda lihat, kasus "tiga per tiga" pada dasarnya tidak berbeda dengan kasus "dua per dua", kolom anggota bebas secara berurutan "berjalan" dari kiri ke kanan sepanjang kolom determinan utama.

Contoh 9

Selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

Larutan: Mari kita selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

, yang berarti bahwa sistem memiliki solusi unik.

Menjawab: .

Sebenarnya, tidak ada yang istimewa untuk dikomentari lagi di sini, mengingat keputusan dibuat sesuai dengan formula yang sudah jadi. Tapi ada beberapa hal yang perlu diperhatikan.

Kebetulan sebagai hasil perhitungan diperoleh pecahan "buruk" yang tidak dapat direduksi, misalnya :.
Saya merekomendasikan algoritma "penyembuhan" berikut. Jika Anda tidak memiliki komputer, kami melakukan ini:

1) Mungkin ada kesalahan perhitungan. Segera setelah Anda dihadapkan dengan pecahan "buruk", Anda harus segera memeriksa apakah kondisinya ditulis ulang dengan benar... Jika kondisinya ditulis ulang tanpa kesalahan, maka perlu menghitung ulang determinan menggunakan ekspansi oleh baris (kolom) lain.

2) Jika tidak ditemukan kesalahan sebagai hasil pemeriksaan, maka kemungkinan besar ada kesalahan ketik pada kondisi tugas. Dalam hal ini, dengan tenang dan HATI-HATI kami menyelesaikan tugas sampai akhir, dan kemudian pastikan untuk memeriksa dan membuatnya keluar pada salinan bersih setelah keputusan. Tentu saja, memeriksa jawaban pecahan adalah pelajaran yang tidak menyenangkan, tetapi itu akan menjadi argumen yang melucuti senjata bagi seorang guru yang, yah, sangat suka memberi nilai minus untuk byaka apa pun. Cara menangani pecahan dirinci dalam jawaban untuk Contoh 8.

Jika Anda memiliki komputer, gunakan program otomatis untuk memeriksanya, yang dapat diunduh secara gratis di awal pelajaran. Omong-omong, paling menguntungkan untuk menggunakan program segera (bahkan sebelum memulai solusi), Anda akan segera melihat langkah perantara di mana Anda membuat kesalahan! Kalkulator yang sama secara otomatis menghitung solusi sistem dengan metode matriks.

Komentar kedua. Dari waktu ke waktu, ada sistem dalam persamaan yang beberapa variabelnya hilang, misalnya:

Di sini, persamaan pertama tidak memiliki variabel, persamaan kedua tidak memiliki variabel. Dalam kasus seperti itu, sangat penting untuk menuliskan dengan benar dan HATI-HATI penentu utama:
- nol diletakkan di tempat variabel yang hilang.
Omong-omong, rasional untuk membuka determinan dengan nol sesuai dengan baris (kolom) di mana ada nol, karena perhitungannya jauh lebih sedikit.

Contoh 10

Selesaikan sistem menggunakan rumus Cramer.

Ini adalah contoh untuk solusi mandiri (contoh penyelesaian dan jawaban di akhir pelajaran).

Untuk kasus sistem 4 persamaan dengan 4 yang tidak diketahui, rumus Cramer ditulis menurut prinsip yang sama. Contoh langsung dapat ditemukan dalam pelajaran Properti Determinan. Menurunkan urutan determinan - lima determinan dari urutan ke-4 cukup dapat dipecahkan. Meskipun tugasnya sudah cukup mengingatkan pada sepatu profesor di dada seorang siswa yang beruntung.

Memecahkan sistem menggunakan matriks terbalik

Metode matriks terbalik pada dasarnya adalah kasus khusus persamaan matriks(lihat Contoh # 3 dari pelajaran yang ditentukan).

Untuk mempelajari bagian ini, Anda harus dapat memperluas determinan, menemukan matriks invers, dan melakukan perkalian matriks. Tautan yang relevan akan disediakan di sepanjang jalan.

Contoh 11

Selesaikan sistem dengan metode matriks

Larutan: Mari kita tulis sistem dalam bentuk matriks:
, di mana

Silahkan lihat pada sistem persamaan dan matriks. Dengan prinsip apa kami menulis elemen ke dalam matriks, saya pikir semua orang mengerti. Satu-satunya komentar: jika beberapa variabel hilang dalam persamaan, maka nol harus diletakkan di tempat yang sesuai dalam matriks.

Kami menemukan matriks terbalik dengan rumus:
, di mana adalah matriks transpos dari komplemen aljabar dari elemen yang sesuai dari matriks.

Pertama, kita berurusan dengan determinan:

Di sini kualifikasi diperluas di baris pertama.

Perhatian! Jika, maka matriks invers tidak ada, dan sistem tidak mungkin diselesaikan dengan metode matriks. Dalam hal ini, sistem diselesaikan dengan metode eliminasi yang tidak diketahui (metode Gauss).

Sekarang Anda perlu menghitung 9 anak di bawah umur dan menuliskannya ke dalam matriks anak di bawah umur

Referensi: Hal ini berguna untuk mengetahui arti dari subscript ganda dalam aljabar linier. Digit pertama adalah nomor baris di mana elemen ini berada. Digit kedua adalah nomor kolom tempat elemen ini berada:

Artinya, subskrip ganda menunjukkan bahwa item ada di baris pertama, kolom ketiga, sedangkan, misalnya, item ada di baris 3, kolom 2