Acasă » Apartament » Tabelul integralelor complexe este complet. Metode de bază de integrare. Integrarea sumei funcțiilor

Tabelul integralelor complexe este complet. Metode de bază de integrare. Integrarea sumei funcțiilor

Definiția 1

Antiderivata $ F (x) $ pentru funcția $ y = f (x) $ pe segmentul $$ este o funcție care este diferențiabilă în fiecare punct al acestui segment și următoarea egalitate este valabilă pentru derivata sa:

Definiția 2

Colecția tuturor antiderivatelor unei funcții date $ y = f (x) $, definite pe un anumit interval, se numește integrală nedefinită a unei funcții date $ y = f (x) $. Integrala nedefinită se notează cu simbolul $ \ int f (x) dx $.

Din tabelul derivatelor și Definiția 2, obținem un tabel cu integrale de bază.

Exemplul 1

Verificați validitatea formulei 7 din tabelul de integrale:

\ [\ int tgxdx = - \ ln | \ cos x | + C, \, \, C = const. \]

Să diferențiem partea dreaptă: $ - \ ln | \ cos x | + C $.

\ [\ stânga (- \ ln | \ cos x | + C \ dreapta) "= - \ frac (1) (\ cos x) \ cdot (- \ sin x) = \ frac (\ sin x) (\ cos x) = tgx \]

Exemplul 2

Verificați validitatea formulei 8 din tabelul de integrale:

\ [\ int ctgxdx = \ ln | \ sin x | + C, \, \, C = const. \]

Să diferențiem partea dreaptă: $ \ ln | \ sin x | + C $.

\ [\ stânga (\ ln | \ sin x | \ dreapta) "= \ frac (1) (\ sin x) \ cdot \ cos x = ctgx \]

Derivata s-a dovedit a fi egală cu integrandul. Prin urmare, formula este corectă.

Exemplul 3

Verificați validitatea formulei 11 "din tabelul de integrale:

\ [\ int \ frac (dx) (a ^ (2) + x ^ (2)) = \ frac (1) (a) arctg \ frac (x) (a) + C, \, \, C = const . \]

Să diferențiem partea dreaptă: $ \ frac (1) (a) arctg \ frac (x) (a) + C $.

\ [\ stânga (\ frac (1) (a) arctg \ frac (x) (a) + C \ dreapta) "= \ frac (1) (a) \ cdot \ frac (1) (1+ \ stânga ( \ frac (x) (a) \ dreapta) ^ (2)) \ cdot \ frac (1) (a) = \ frac (1) (a ^ (2)) \ cdot \ frac (a ^ (2)) (a ^ (2) + x ^ (2)) \]

Derivata s-a dovedit a fi egală cu integrandul. Prin urmare, formula este corectă.

Exemplul 4

Verificați validitatea formulei 12 din tabelul de integrale:

\ [\ int \ frac (dx) (a ^ (2) -x ^ (2)) = \ frac (1) (2a) \ ln \ stânga | \ frac (a + x) (ax) \ dreapta | + C, \, \, C = const. \]

Să diferențiem partea dreaptă: $ \ frac (1) (2a) \ ln \ left | \ frac (a + x) (a-x) \ right | + C $.

$ \ stânga (\ frac (1) (2a) \ ln \ stânga | \ frac (a + x) (ax) \ dreapta | + C \ dreapta) "= \ frac (1) (2a) \ cdot \ frac ( 1) (\ frac (a + x) (ax)) \ cdot \ stânga (\ frac (a + x) (ax) \ dreapta) "= \ frac (1) (2a) \ cdot \ frac (ax) ( a + x) \ cdot \ frac (ax + a + x) ((ax) ^ (2)) = \ frac (1) (2a) \ cdot \ frac (ax) (a + x) \ cdot \ frac ( 2a) ((ax) ^ (2)) = \ frac (1) (a ^ (2) -x ^ (2)) $ Derivata este egală cu integrandul. Prin urmare, formula este corectă.

Exemplul 5

Verificați validitatea formulei 13 "din tabelul de integrale:

\ [\ int \ frac (dx) (\ sqrt (a ^ (2) -x ^ (2))) = \ arcsin \ frac (x) (a) + C, \, \, C = const. \]

Să diferențiem partea dreaptă: $ \ arcsin \ frac (x) (a) + C $.

\ [\ stânga (\ arcsin \ frac (x) (a) + C \ dreapta) "= \ frac (1) (\ sqrt (1- \ stânga (\ frac (x) (a) \ dreapta) ^ (2 ))) \ cdot \ frac (1) (a) = \ frac (a) (\ sqrt (a ^ (2) -x ^ (2))) \ cdot \ frac (1) (a) = \ frac ( 1) (\ sqrt (a ^ (2) -x ^ (2))) \]

Derivata s-a dovedit a fi egală cu integrandul. Prin urmare, formula este corectă.

Exemplul 6

Verificați validitatea formulei 14 din tabelul de integrale:

\ [\ int \ frac (dx) (\ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) = \ ln | x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2)) | + C, \, \, C = const. \]

Să diferențiem partea dreaptă: $ \ ln | x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2)) | + C $.

\ [\ stânga (\ ln | x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2)) | + C \ dreapta) "= \ frac (1) (x + \ sqrt (x ^ (2)) \ pm a ^ (2))) \ cdot \ stânga (x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2)) \ dreapta) "= \ frac (1) (x + \ sqrt (x ^) (2) \ pm a ^ (2))) \ cdot \ left (1+ \ frac (1) (2 \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) \ cdot 2x \ right) = \] \ [ = \ frac (1) (x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) \ cdot \ frac (\ sqrt (x ^ (2)) \ pm a ^ (2) ) + x) ( \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) = \ frac (1) (\ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) \]

Derivata s-a dovedit a fi egală cu integrandul. Prin urmare, formula este corectă.

Exemplul 7

Găsiți integrala:

\ [\ int \ stânga (\ cos (3x + 2) + 5x \ dreapta) dx. \]

Folosim teorema asupra integralei sumei:

\ [\ int \ stânga (\ cos (3x + 2) + 5x \ dreapta) dx = \ int \ cos (3x + 2) dx + \ int 5xdx. \]

Să folosim teorema pentru a lua un factor constant din semnul integral:

\ [\ int \ cos (3x + 2) dx + \ int 5xdx = \ int \ cos (3x + 2) dx +5 \ int xdx. \]

Conform tabelului de integrale:

\ [\ int \ cos x dx = \ sin x + C; \] \ [\ int xdx = \ frac (x ^ (2)) (2) + C. \]

Când calculăm prima integrală, folosim regula 3:

\ [\ int \ cos (3x + 2) dx = \ frac (1) (3) \ sin (3x + 2) + C_ (1). \]

Prin urmare,

\ [\ int \ left (\ cos (3x + 2) + 5x \ right) dx = \ frac (1) (3) \ sin (3x + 2) + C_ (1) + \ frac (5x ^ (2) ) (2) + C_ (2) = \ frac (1) (3) \ sin (3x + 2) + \ frac (5x ^ (2)) (2) + C, \, \, C = C_ (1 ) + C_ (2) \]

Integrare directă folosind tabele antiderivate (tabele integrale nedefinite)

Tabelul cu antiderivate

Putem găsi antiderivată în raport cu diferenţialul cunoscut al funcţiei dacă folosim proprietăţile integralei nedefinite. Din tabelul funcțiilor elementare de bază, folosind egalitățile ∫ d F (x) = ∫ F "(x) dx = ∫ f (x) dx = F (x) + C și ∫ k f (x) dx = k ∫ f (x) dx puteți crea un tabel de antiderivate.

Să scriem tabelul derivatelor sub formă de diferențiale.

Constanta y = C

C "= 0

Funcția de putere y = x p.

(x p) "= p x p - 1

Constanta y = C

d (C) = 0 d x

Funcția de putere y = x p.

d (x p) = p x p - 1 d x

(a x) "= a x · ln a

Funcția exponențială y = a x.

d (a x) = a x ln α d x

În special, pentru a = e avem y = e x

d (e x) = e x d x

log a x "= 1 x · ln a

Funcții logaritmice y = log a x.

d (log a x) = d x x ln a

În special, pentru a = e, avem y = ln x

d (ln x) = d x x

Funcții trigonometrice.

sin x "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) "= 1 c o s 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x

Funcții trigonometrice.

d sin x = cos x d x d (cos x) = - sin x d x d (t g x) = d x c o s 2 x d (c t g x) = - d x sin 2 x

a r c sin x "= 1 1 - x 2 a r c cos x" = - 1 1 - x 2 a r c t g x "= 1 1 + x 2 a r c c t g x" = - 1 1 + x 2

Funcții trigonometrice inverse.

d a r c sin x = d x 1 - x 2 d a r c cos x = - d x 1 - x 2 d a r c t g x = d x 1 + x 2 d a r c c t g x = - d x 1 + x 2

Să ilustrăm cele de mai sus cu un exemplu. Aflați integrala nedefinită a funcției de putere f (x) = x p.

Conform tabelului diferenţialelor d (x p) = p x p - 1 d x. După proprietățile integralei nedefinite, avem ∫ d (x p) = ∫ p x p - 1 d x = p ∫ x p - 1 d x = x p + C. Prin urmare, ∫ xp - 1 dx = xpp + C p, p ≠ 0. A doua versiune a notației este următoarea: ∫ xp dx = xp + 1 p + 1 + C p + 1 = xp + 1 p + 1 + C 1, p ≠ - 1.

Să luăm egal cu - 1, găsim mulțimea de antiderivate ale funcției de putere f (x) = x p: ∫ x p d x = ∫ x - 1 d x = ∫ d x x.

Acum avem nevoie de un tabel de diferențe pentru logaritmul natural d (ln x) = d x x, x> 0, deci ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x. Prin urmare, ∫ d x x = ln x, x> 0.

Tabel cu antiderivate (integrale nedefinite).

Coloana din stânga a tabelului conține formule care se numesc antiderivate de bază. În coloana din dreapta, formulele nu sunt de bază, dar pot fi folosite pentru a găsi integrale nedefinite. Ele pot fi verificate prin diferențiere.

Integrare directă

Pentru a realiza integrarea directă, vom folosi tabele de antiderivate, regulile de integrare ∫ f (k x + b) dx = 1 k F (k x + b) + C, precum și proprietățile integralelor nedefinite ∫ k f (x) dx = k ∫ f (x) dx ∫ (f (x) ± g (x)) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g (x) dx

Tabelul integralelor de bază și proprietățile integralelor pot fi utilizate numai după o ușoară transformare a integrandului.

Exemplul 1

Aflați integrala ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x

Soluţie

Scoatem coeficientul 3 de sub semnul integral:

∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x

Folosind formulele de trigonometrie, transformăm integrandul:

3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 dx = 3 ∫ sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 dx = = 3 ∫ 1 + 2 sin x 2 cos x 2 dx = 3 ∫ 1 + sin xdx

Întrucât integrala sumei este egală cu suma integralelor, atunci
3 ∫ 1 + sin x d x = 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x

Folosim datele din tabelul de antiderivate: 3 ∫ 1 dx + ∫ sin xdx = 3 (1 x + C 1 - cos x + C 2) = = п у с ть 3 С 1 + С 2 = С = 3 x - 3 cos x + C

Răspuns:∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C.

Exemplul 2

Este necesar să găsim mulțimea de antiderivate ale funcției f (x) = 2 3 4 x - 7.

Soluţie

Folosim tabelul de antiderivate pentru funcția exponențială: ∫ a x d x = a x ln a + C. Aceasta înseamnă că ∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C.

Folosim regula de integrare ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C.

Se obține ∫ 2 3 4 x - 7 d x = 1 3 4 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C.

Răspuns: f (x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C

Folosind tabelul de antiderivate, proprietăți și regula de integrare, putem găsi o mulțime de integrale nedefinite. Acest lucru este posibil atunci când integrandul poate fi transformat.

Pentru a găsi integrala funcției logaritm, a funcției tangentă și cotangentă și o serie de altele, se folosesc metode speciale, pe care le vom lua în considerare în secțiunea „Metode de bază de integrare”.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o selectați și să apăsați Ctrl + Enter

Integrarea este una dintre operațiile de bază în calcul. Tabelele cu antiderivate cunoscute pot fi utile, dar acum își pierd din importanță după apariția sistemelor de algebră computerizată. Mai jos este o listă cu cele mai comune antiderivate.

Tabelul integralelor de bază

O altă opțiune, compactă

Tabel integral al funcțiilor trigonometrice

Din funcţii raţionale

Din funcții iraționale

Integrale ale funcțiilor transcendentale

„C” este o constantă arbitrară de integrare, care este determinată dacă valoarea integralei în orice punct este cunoscută. Fiecare funcție are un număr infinit de antiderivate.

Majoritatea elevilor și elevilor au probleme în calcularea integralelor. Aceasta pagina contine tabele integrale din funcții trigonometrice, raționale, iraționale și transcendentale care vor ajuta la rezolvare. De asemenea, vă va ajuta tabel de derivate.

Video - cum să găsiți integralele

Dacă nu înțelegeți prea bine acest subiect, urmăriți videoclipul, care explică totul în detaliu.

Enumerăm integralele funcțiilor elementare, care sunt uneori numite tabulare:

Oricare dintre formulele de mai sus poate fi demonstrată luând derivata din partea dreaptă (ca urmare, se va obține integrandul).

Metode de integrare

Să luăm în considerare câteva metode de integrare de bază. Acestea includ:

1. Metoda de descompunere(integrare directă).

Această metodă se bazează pe aplicarea directă a integralelor tabulare, precum și pe aplicarea proprietăților 4 și 5 ale integralei nedefinite (adică, scoaterea factorului constant în afara parantezei și/sau reprezentarea integrandul ca sumă de funcții - extinderea integrandului în termeni).

Exemplul 1. De exemplu, pentru a găsi (dx / x 4), puteți utiliza direct integrala tabelară pentru x n dx. Într-adevăr,  (dx / x 4) = x -4 dx = x -3 / (- 3) + C = -1 / 3x 3 + C.

Exemplul 2. Pentru a găsi, folosim aceeași integrală:

Exemplul 3. Pentru a găsi, trebuie să luați

Exemplul 4. Pentru a găsi, reprezentăm integrandul sub formă și folosiți integrala tabelară pentru funcția exponențială:

Luați în considerare utilizarea unui factor constant în afara parantezei.

Exemplul 5.Să găsim, de exemplu ... Având în vedere asta, obținem

Exemplul 6. O vom găsi. În măsura în care , folosim integrala tabelului Primim

De asemenea, puteți utiliza paranteze și integrale de tabel în următoarele două exemple:

Exemplul 7.

(utilizați și );

Exemplul 8.

(utilizare și ).

Să ne uităm la exemple mai complexe folosind integrala sumă.

Exemplul 9. De exemplu, să găsim
... Pentru a aplica metoda expansiunii în numărător, folosim formula pentru cubul sumei , apoi împărțim polinomul rezultat la numitor.

=  ((8x 3/2 + 12x + 6x 1/2 + 1) / (x 3/2)) dx =  (8 + 12x -1/2 + 6 / x + x -3/2) dx = 8 dx + 12x -1/2 dx + + 6dx / x + x -3/2 dx =

Trebuie remarcat faptul că la sfârșitul soluției se scrie o constantă comună C (și nu separată la integrarea fiecărui termen). În viitor, se mai propune omiterea în procesul de rezolvare a constantelor din integrarea termenilor individuali atâta timp cât expresia conține cel puțin o integrală nedefinită (vom scrie o constantă la sfârșitul soluției).

Exemplul 10. Găsi ... Pentru a rezolva această problemă, factorăm numărătorul (după aceea, vom putea reduce numitorul).

Exemplul 11. O vom găsi. Identitățile trigonometrice pot fi folosite aici.

Uneori, pentru a descompune o expresie în termeni, trebuie să folosiți tehnici mai complexe.

Exemplul 12. Găsi ... În integrand, selectați partea întreagă a fracției ... Atunci

Exemplul 13. Găsi

2. Metoda de înlocuire a variabilei (metoda de înlocuire)

Metoda se bazează pe următoarea formulă: f (x) dx = f ( (t)) ` (t) dt, unde x =  (t) este o funcție diferențiabilă pe intervalul luat în considerare.

Dovada. Să găsim derivatele în raport cu variabila t a părților din stânga și din dreapta formulei.

Rețineți că în partea stângă există o funcție complexă, al cărei argument intermediar este x =  (t). Prin urmare, pentru a o diferenția față de t, mai întâi diferențiem integrala față de x și apoi luăm derivata argumentului intermediar față de t.

( f (x) dx) `t = ( f (x) dx)` x * x` t = f (x) ` (t)

Derivat din partea dreaptă:

(f ( (t)) ` (t) dt) `t = f ( (t)) ` (t) = f (x) ` (t)

Deoarece aceste derivate sunt egale, după corolarul teoremei lui Lagrange, laturile stângă și dreaptă ale formulei care se dovedește diferă cu o constantă. Deoarece integralele nedefinite în sine sunt determinate până la un termen constant nedefinit, constanta specificată în notația finală poate fi omisă. Dovedit.

O schimbare cu succes a variabilei face posibilă simplificarea integralei originale și, în cele mai simple cazuri, reducerea acesteia la una tabelară. În aplicarea acestei metode, se face o distincție între metodele de substituție liniară și neliniară.

a) Metoda substituției liniare Să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 1.
... Fie t = 1 - 2x, atunci

dx = d (½ - ½t) = - ½dt

Trebuie remarcat faptul că noua variabilă nu trebuie scrisă în mod explicit. În astfel de cazuri, se vorbește despre transformarea unei funcții sub semn diferențial sau introducerea de constante și variabile sub semn diferențial, i.e. O înlocuirea implicită a variabilei.

Exemplul 2. De exemplu, găsiți cos (3x + 2) dx. Prin proprietățile diferențialei dx = (1/3) d (3x) = (1/3) d (3x + 2), atunci cos (3x + 2) dx =  (1/3) cos (3x + 2) ) d (3x + + 2) = (1/3) cos (3x + 2) d (3x + 2) = (1/3) sin (3x + 2) + C.

În ambele exemple luate în considerare, substituția liniară t = kx + b (k0) a fost folosită pentru a găsi integralele.

În cazul general, următoarea teoremă este adevărată.

Teorema substituției liniare... Fie F (x) o antiderivată pentru funcția f (x). Atunci f (kx + b) dx = (1 / k) F (kx + b) + C, unde k și b sunt niște constante, k0.

Dovada.

După definiția integralei, f (kx + b) d (kx + b) = F (kx + b) + C. Hod (kx + b) = (kx + b) `dx = kdx. Scoateți factorul constant k pentru semnul integral: kf (kx + b) dx = F (kx + b) + C. Acum putem împărți părțile stânga și dreaptă ale egalității în k și obținem aserția care se dovedește până la notarea unui termen constant.

Această teoremă afirmă că dacă expresia (kx + b) este substituită în definiția integralei f (x) dx = F (x) + C în loc de argumentul x, aceasta va duce la apariția unui factor suplimentar 1 / k în fața antiderivatei.

Folosind teorema demonstrată, rezolvăm următoarele exemple.

Exemplul 3.

Găsi ... Aici kx + b = 3 –x, adică k = -1, b = 3. Atunci

Exemplul 4.

O vom găsi. Aici kx + b = 4x + 3, adică k = 4, b = 3. Atunci

Exemplul 5.

Găsi ... Aici kx + b = -2x + 7, adică k = -2, b = 7. Atunci

Exemplul 6. Găsi
... Aici kx + b = 2x + 0, adică k = 2, b = 0.

Să comparăm acest rezultat cu Exemplul 8, care a fost rezolvat prin metoda de descompunere. Rezolvând aceeași problemă cu o metodă diferită, am primit răspunsul
... Să comparăm rezultatele obținute: Astfel, aceste expresii diferă între ele printr-un termen constant , adică răspunsurile primite nu se contrazic.

Exemplul 7. Găsi
... Să selectăm un pătrat complet la numitor.

În unele cazuri, schimbarea unei variabile nu reduce integrala direct la una tabelară, dar poate simplifica soluția, făcând posibilă utilizarea metodei de descompunere la pasul următor.

Exemplul 8. De exemplu, să găsim ... Înlocuiți t = x + 2, apoi dt = d (x + 2) = dx. Atunci

unde С = С 1 - 6 (când înlocuim expresia (x + 2) în loc de primii doi termeni, obținem ½x 2 -2x– 6).

Exemplul 9. Găsi
... Fie t = 2x + 1, apoi dt = 2dx; dx = ½dt; x = (t– 1) / 2.

Înlocuiți expresia (2x + 1) în loc de t, extindeți parantezele și dați altele similare.

Rețineți că în procesul transformărilor am trecut la un alt termen constant, deoarece grupul termenilor constanţi în procesul transformărilor ar putea fi omis.

b) Metoda substituției neliniare Să ne uităm la un exemplu.

Exemplul 1.
... Fie t = -x 2. Mai mult, se poate exprima x prin t, apoi se poate găsi o expresie pentru dx și se poate implementa modificarea variabilei în integrala necesară. Dar, în acest caz, este mai ușor să o faci altfel. Găsiți dt = d (-x 2) = -2xdx. Rețineți că expresia xdx este un factor al integrandului integralei necesare. Să o exprimăm din egalitatea obţinută xdx = - ½dt. Atunci