Determinați momentele axiale de inerție față de axele centrale. Axele de inerție. Exemple de rezolvare a problemelor

Din formulele (6.29) - (6.31) se poate observa că atunci când axele de coordonate sunt rotite, momentul de inerție centrifugal își schimbă semnul și, prin urmare, există o poziție a axelor la care momentul centrifug este zero.

Axele față de care dispare momentul de inerție centrifugal al secțiunii se numesc axe principale, iar axele principale care trec prin centrul de greutate al secțiunii se numesc principalele axe centrale de inerție ale secțiunii.

Se numesc momentele de inerție în jurul axelor principale de inerție ale secțiunii principalele momente de inerţie ale secţiuniiși sunt notate cu eu 1 și eu 2 în plus eu 1 > eu 2 ... De obicei, vorbind despre momentele principale, ele înseamnă momente axiale de inerție față de principalele axe centrale de inerție.

Să presupunem că axele uși v cele principale. Atunci

.

Ecuația (6.32) determină poziția axelor principale de inerție ale secțiunii într-un punct dat față de axele de coordonate originale. Când axele de coordonate sunt rotite, momentele axiale de inerție se modifică și ele. Să găsim poziția axelor față de care momentele axiale de inerție ating valori extreme. Pentru aceasta luăm prima derivată a euu pe α și echivalează-l cu zero:

.

Conditia dIv/dα . Comparând ultima expresie cu formula (6.32), ajungem la concluzia că principalele axe de inerție sunt axele față de care momentele axiale de inerție ale secțiunii ating valori extreme.

Pentru a simplifica calculul principalelor momente de inerție, formulele (6.29) - (6.31) sunt transformate, excluzând funcțiile trigonometrice din ele folosind relația (6.32):

.

Semnul plus din fața radicalului corespunde celui mai mare eu 1 , iar semnul minus este mai mic eu 2 din momentele de inerţie ale secţiunii.

Să subliniem o proprietate importantă a secțiunilor pentru care momentele axiale de inerție față de axele principale sunt aceleași. Să presupunem că axele yși z principal ( euyz= 0), și euy=euz... Apoi, conform egalităților (6.29) - (6.31), pentru orice unghi de rotație al axelor α moment de inerție centrifugal euuv= 0 și axială euu= euv.

Deci, dacă momentele de inerție ale secțiunii în jurul axelor principale sunt aceleași, atunci toate axele care trec prin același punct al secțiunii sunt cele principale, iar momentele de inerție axiale despre toate aceste axe sunt aceleași: euu= euv= euy= euz. Această proprietate este deținută, de exemplu, de secțiuni pătrate, rotunde, inelare.

Formula (6.33) este similară cu formulele (3.25) pentru tensiunile principale. În consecință, principalele momente de inerție pot fi determinate grafic prin metoda lui Mohr.

Momentele axiale de inerție ale secțiuniiîn raport cu axele Xși la(vezi fig. 32, A) integrale definite ale formei

La determinarea momentelor axiale de inerție, în unele cazuri trebuie să se întâlnească o altă caracteristică geometrică nouă a secțiunii - momentul de inerție centrifugal.

Momentul de inerție centrifugal secțiuni despre două axe reciproc perpendiculare X y(vezi fig. 32, A)

Momentul polar de inerție secţiune relativă la origine O(vezi fig. 32, A) se numește integrală definită a formei

Unde R- distanta de la origine la locul elementar dA.

Momentele de inerție axiale și polare sunt întotdeauna pozitive, iar momentul centrifug, în funcție de alegerea axelor, poate fi pozitiv, negativ sau zero. Unități de desemnare a momentelor de inerție - cm 4, mm 4.

Există următoarea relație între momentele de inerție polar și axial:

Conform formulei (41), suma momentelor axiale de inerție în jurul a două axe reciproc perpendiculare este egală cu momentul polar de inerție în jurul punctului de intersecție a acestor axe (origine).

Momentele de inerție ale secțiunilor despre axe paralele, dintre care unele sunt centrale (x s, mustață)> sunt determinate din expresiile:

Unde și iv- coordonatele centrului de greutate al secțiunii C (Fig. 34).

Formulele (42), care au o mare aplicație practică, citesc după cum urmează: momentul de inerție al unei secțiuni în jurul oricărei axe este egal cu momentul de inerție în jurul unei axe paralele cu aceasta și care trece prin centrul de greutate al secțiunii, plus produsul ariei secțiunii cu pătratul distanței dintre axe.

Notă: coordonate a și b trebuie înlocuite în formulele de mai sus (42) ținând cont de semnele acestora.

Orez. 34.

Din formulele (42) rezultă că dintre toate momentele de inerție în jurul axelor paralele, cel mai mic moment va fi în jurul axei care trece prin centrul de greutate al secțiunii, adică momentul central de inerție.

Formulele de determinare a rezistenței și rigidității unei structuri includ momente de inerție, care sunt calculate în raport cu axele, care sunt nu numai centrale, ci și principalele. Pentru a determina care axe care trec prin centrul de greutate sunt principalele, trebuie să se poată determina momentele de inerție în jurul axelor rotite între ele cu un anumit unghi.

Dependența dintre momentele de inerție la rotirea axelor de coordonate (Fig. 35) sunt următoarele:

Unde A- unghiul de rotatie al axelor șiși vîn raport cu axele henna respectiv. Se consideră unghiul a pozitiv dacă rotirea axelor și si se intampla în sens invers acelor de ceasornic.

Orez. 35.

Suma momentelor axiale de inerție față de orice axe reciproc perpendiculare nu se modifică atunci când sunt rotite:

Când axele sunt rotite în jurul originii, momentul de inerție centrifugal se modifică continuu prin urmare, la o anumită poziție a axelor, devine egală cu zero.

Două axe reciproc perpendiculare, în jurul cărora momentul de inerție centrifugal al secțiunii este egal cu zero, se numesc principalele axe de inerție.

Direcția axelor principale de inerție poate fi definită după cum urmează:

Cele două valori ale unghiului obținute din formula (43) A diferă între ele cu 90 ° și dau poziția axelor principale. După cum puteți vedea, cel mai mic dintre aceste unghiuri în valoare absolută nu depășește l/4.În cele ce urmează, vom folosi doar un unghi mai mic. Axa principală desenată în acest unghi va fi indicată cu literă și.În fig. 36 prezintă câteva exemple de desemnare a axelor principale în conformitate cu regula specificată. Axele de start sunt desemnate prin litere hee y.

Orez. 36.

În problemele de încovoiere, este important să se cunoască momentele axiale de inerție ale secțiunilor în raport cu acele axe principale care trec prin centrul de greutate al secțiunii.

Se numesc axele principale care trec prin centrul de greutate al secțiunii principalele axe centrale.În cele ce urmează, de regulă, pentru concizie vom numi aceste axe simplu axe principale, omițând cuvântul „central”.

Axa de simetrie a unei secțiuni plane este axa centrală principală de inerție a acestei secțiuni, a doua axă fiind perpendiculară pe aceasta. Cu alte cuvinte, axa de simetrie și oricare perpendiculară pe aceasta formează un sistem de axe principale.

Dacă o secțiune plană are cel puțin două axe de simetrie care nu sunt perpendiculare una pe cealaltă, atunci toate axele care trec prin centrul de greutate al unei astfel de secțiuni sunt principalele sale axe centrale de inerție. Deci, în fig. 37 prezintă câteva tipuri de secțiuni (cerc, inel, pătrat, hexagon regulat etc.) cu următoarea proprietate: orice axă care trece prin centrul lor de greutate este cea principală.

Orez. 37.

Trebuie menționat că axele principale non-centrale nu ne interesează.

În teoria încovoierii, momentele de inerție față de principalele axe centrale sunt de cea mai mare importanță.

Principalele momente centrale de inerție sau principalele momente de inerție momentele de inerţie în jurul axelor centrale principale se numesc. Mai mult, raportat la una dintre axele principale, momentul de inerție maximal, în raport cu celălalt - minim:

Momentele axiale de inerție ale secțiunilor prezentate în Fig. 37, calculate în raport cu axele centrale principale, sunt egale între ele: J y, atunci: J u = J x cos 2 a + J y sin a = J x.

Momentele de inerție ale unei secțiuni complexe sunt egale cu suma momentelor de inerție ale părților sale. Prin urmare, pentru a determina momentele de inerție ale unei secțiuni complexe, puteți scrie:

gd eJ xi, J y „J xiyi sunt momentele de inerție ale părților individuale ale secțiunii.

NB: dacă secțiunea are o gaură, atunci este convenabil să o considerați ca o secțiune cu o zonă negativă.

Pentru a efectua calcule suplimentare de rezistență, introducem o nouă caracteristică geometrică a rezistenței unei bare care funcționează într-o curbă dreaptă. Această caracteristică geometrică se numește momentul axial de rezistență sau momentul de rezistență la încovoiere.

Raportul dintre momentul de inerție al secțiunii în jurul axei și distanța de la această axă până la punctul cel mai îndepărtat al secțiunii se numește moment axial de rezistenta:

Momentul de rezistență are o dimensiune de mm 3, cm 3.

Momentele de inerție și momentele de rezistență ale celor mai comune secțiuni simple sunt determinate de formulele date în tabel. 3.

Pentru grinzile de oțel laminate (grinzi în I, grinzi în U, grinzi unghiulare etc.), momentele de inerție și momentele de rezistență sunt date în tabelele sortimentului de oțel laminat, unde, pe lângă dimensiuni, secțiunea transversală. sunt date zonele, pozițiile centrelor de greutate și alte caracteristici.

În concluzie, introducem conceptul rază de girație secţiuni relativ la axele de coordonate Xși la - eu xși eu y respectiv, care sunt determinate de următoarele formule.

Formulele (31.5), (32.5) și (34.5) permit stabilirea modului în care se modifică valorile momentelor de inerție ale secțiunii atunci când axele sunt rotite cu un unghi arbitrar a. Pentru unele valori ale unghiului a, valorile momentelor axiale de inerție ating un maxim și un minim. Valorile extreme (maximum și minim) ale momentelor axiale de inerție ale secțiunii se numesc momente principale de inerție. Axele față de care momentele axiale de inerție au valori extreme se numesc axe principale de inerție.

Din formula (33.5) rezultă că, dacă momentul axial de inerție în jurul unei axe este maxim (adică, această axă este principala), atunci momentul axial de inerție în jurul axei perpendiculare pe aceasta este minim (adică, această axă este, de asemenea, principal), astfel că suma momentelor axiale de inerție în jurul a două axe reciproc perpendiculare nu depinde de unghiul a.

Astfel, principalele axe de inerție sunt reciproc perpendiculare.

Pentru a afla momentele principale de inerție și poziția axelor principale de inerție, definim derivata întâi față de unghiul a din momentul de inerție [vezi. formula (31.5) și Fig. 19.5]:

Echivalăm acest rezultat cu zero:

unde este unghiul cu care trebuie rotite axele coordonatelor y astfel încât să coincidă cu axele principale.

Comparând expresiile (35.5) și (34.5), stabilim că

Prin urmare, în raport cu axele principale de inerție, momentul de inerție centrifugal este zero. Prin urmare, axele principale de inerție pot fi numite axe față de care momentul de inerție centrifugal este egal cu zero.

După cum se știe deja, momentul de inerție centrifugal al secțiunii în jurul axelor, dintre care una sau ambele coincid cu axele de simetrie, este egal cu zero.

În consecință, axele reciproc perpendiculare, dintre care una sau ambele coincid cu axele de simetrie ale secțiunii, sunt întotdeauna axele principale de inerție. Această regulă permite în multe cazuri să se stabilească direct (fără calcul) poziția axelor principale.

Rezolvați ecuația (35.5) în raport cu unghiul

Ecuația (36.5) în fiecare caz specific este satisfăcută de un număr de valori, oricare dintre ele este selectată. Dacă este pozitiv, atunci pentru a determina poziția uneia dintre axele principale de inerție, axa trebuie rotită cu un unghi în sens invers acelor de ceasornic, iar dacă este negativ, atunci în sensul acelor de ceasornic; cealaltă axă principală de inerție este perpendiculară pe prima. Una dintre principalele axe de inerție este axa maximă (față de aceasta, momentul axial de inerție al secțiunii este maxim), iar cealaltă este axa minimă (față de aceasta, momentul axial de inerție al secțiunii este minim). ).

Axa maximă formează întotdeauna un unghi mai mic cu cel al axelor (y sau), față de care momentul axial de inerție are o importanță mai mare. Această împrejurare face ușor de stabilit care dintre axele principale de inerție este axa maximă și care este axa minimă. Deci, de exemplu, dacă a sunt situate axele principale de inerție u și v, așa cum se arată în Fig. 20.5, atunci axa este axa maximă (deoarece formează un unghi mai mic cu axa y decât cu axa), iar axa v este axa minimă.

Când se rezolvă o problemă numerică specifică pentru a determina principalele momente de inerție, valoarea selectată a unghiului și valoarea pot fi înlocuite în formula (31.5) sau (32.5).

Să rezolvăm această problemă în general. Prin formule din trigonometrie, folosind expresia (36.5), găsim

Înlocuind aceste expresii în formula (31.5), după transformări simple obținem

Axele principale de inerție pot fi trasate prin orice punct luat în planul de secțiune. Cu toate acestea, doar axele principale care trec prin centrul de greutate al secțiunii, adică inerția centrală principală, sunt de importanță practică pentru calculul elementelor structurale. Momentele de inerție în jurul acestor axe (principalele momente centrale de inerție) vor fi notate de acum înainte prin

Să luăm în considerare câteva cazuri speciale.

1. Dacă atunci formula (34.5) dă valoarea momentului de inerție centrifugal relativ la orice pereche de axe reciproc perpendiculare egale cu zero și, prin urmare, orice axe obținute prin rotirea sistemului de coordonate sunt principalele axe de inerție (ca precum și topoare). În acest caz

2. Pentru figurile cu mai mult de două axe de simetrie, momentele axiale de inerție față de toate axele centrale sunt egale între ele. Într-adevăr, să direcționăm una dintre axe () de-a lungul uneia dintre axele de simetrie, iar cealaltă - perpendiculară pe aceasta. Pentru aceste axe Dacă figura are mai mult de două axe de simetrie, atunci oricare dintre ele formează un unghi ascuțit cu axa. Să notăm o astfel de axă și axa perpendiculară pe aceasta

Momentul de inerție centrifugal deoarece axa este axa de simetrie. Prin formula (34.5).

axele majore - acestea sunt axele în jurul cărora momentele axiale de inerţie iau valori extreme: minime şi maxime.

Momentele de inerție majore ale centrului sunt calculate în raport cu axele majore care trec prin centrul de greutate.

Exemple de rezolvare a problemelor

Exemplul 1. Determinați valoarea momentelor axiale de inerție ale unei figuri plane în raport cu axele Ohși OU(fig. 25.5).

Soluţie

1. Determinați momentul axial de inerție în jurul axei Oh. Folosim formule pentru punctele focale principale. Reprezentăm momentul de inerție al secțiunii ca diferență dintre momentele de inerție ale unui cerc și ale unui dreptunghi.

Pentru cerc

Pentru dreptunghi

Pentru un dreptunghi, axa Oh nu trece prin CG. Momentul de inerție al unui dreptunghi în jurul unei axe Oh:

unde A este aria secțiunii transversale; a - distanta dintre axe Ohși Oh oh.

Momentul de inerție al secțiunii

Exemplul 2. Găsiți momentul central principal de inerție al secțiunii în jurul axei Oh(fig. 25.6).

Soluţie

1. Secțiunea este alcătuită din profile standard, ale căror principale momente de inerție centrale sunt date în tabelele GOST, vezi Anexa 1. Pentru grinda I nr. 14 conform GOST 8239-89 Jox 1 = 572 cm 4.

Pentru canalul nr. 16 în conformitate cu GOST 8240-89 Jox 2 = 757 cm 4.

Aria A 2 = 18,1 cm 2, Jo y 2 = 63,3 cm 4.

2. Determinați coordonatele centrului de greutate al canalului în raport cu axa Oh.Într-o secțiune dată, canalul este rotit și ridicat. În același timp, principalele axe centrale au fost schimbate.

y 2 = (h 1/2) + d 2-zo 2, conform GOST găsim h 1 = 14 cm; d 2= 5 mm; z o = 1,8 cm.

Momentul de inerție al secțiunii este egal cu suma momentelor de inerție ale canalelor și fasciculul I față de axă Oh. Folosim formula pentru momentele de inerție relativ la axele paralele:

În acest caz

Exemplul 3. Pentru o secțiune dată (Fig. 2.45), se calculează principalele momente centrale de inerție.

Soluţie

Secțiunea are două axe de simetrie, care sunt principalele sale axe centrale.

Împărțim secțiunea în două forme simple: un dreptunghi ( eu) și două cercuri (II).

Momentul de inerție al secțiunii în jurul axei X

Axă X(linia centrală a secțiunii) nu este linia centrală a cercului. Prin urmare, momentul de inerție al cercului ar trebui calculat prin formula

Înlocuirea valorilor J x '', a, F „în formulă, primim

Axă la este centrul dreptunghiului și al cercurilor. Prin urmare,

Exemplul 4. Pentru o secțiune dată (Figura 2.46), determinați poziția axelor centrale principale și calculați momentele centrale de inerție principale.

Soluţie

Centrul de greutate se află pe axa Oy, deoarece este axa de simetrie a secțiunii. Prin împărțirea secțiunii în două dreptunghiuri eu(160 x 100) și II(140 x 80) și alegând axa auxiliară și definiți coordonatele centrului de greutate v 0 conform formulei

Axe Ohși OU- principalele axe centrale ale secțiunii ( OU- axa de simetrie, axa Oh trece prin centrul de greutate al secțiunii și este perpendicular pe OU).

Calculăm principalele momente de inerție ale secțiunii J xși J y:

Axa Oy este axa centrală pentru dreptunghiuri 1 și 11. Prin urmare,

Pentru a verifica corectitudinea soluției, puteți împărți secțiunea în dreptunghiuri într-un alt mod și puteți efectua din nou calculul. Coincidența rezultatelor va fi o confirmare a corectitudinii lor.

Exemplul 5. Calculați momentele centrale de inerție principale ale secțiunii (Fig. 2.47).

Soluţie

Secțiunea are două axe de simetrie, care sunt principalele sale axe centrale.

Împărțim secțiunea în două dreptunghiuri cu b * h = 140 x 8 și două canale rulate. Pentru canalul nr. 16 din tabelul GOST 8240 - 72 avem J X 1 = J x = 747 cm 4; J y 1 = 63, 3 cm 9, F 1= 18,1 cm 2, z 0= 1,8 cm.

Calculați J x și J y:

Exemplul 6. Determinați poziția axelor centrale principale și calculați momentele de inerție centrale principale ale unei secțiuni date (Fig. 2.48).

Soluţie

Împărțim secțiunea dată în profile rulante: canal euși două grinzi în I II. Preluăm caracteristicile geometrice ale canalului și ale fasciculului I de pe tabelele din oțel laminat GOST 8240-72 și GOST 8239 - 72.

Pentru canalul nr. 20 J Xl = 113 cm 4 (în tabel J y); J y 1 = 1520 cm 4 (în tabel J x); F 1= 23,4 cm2; G 0 = 2,07 cm.

Pentru grinda I nr. 18 J x 2= 1330 cm 4 (în tabelul J x); Jy 2 = 94,6 cm 4 (în tabelul J y); F 2 = 23,8 cm 2.

Una dintre axele principale este axa de simetrie OU, cealaltă axă principală Oh trece prin centrul de greutate al secțiunii perpendicular pe primul.

Selectarea axei auxiliare șiși definiți coordonatele v 0:

Unde v 1= 180 + 20,7 = 200,7 mm și v 2= 180/2 = 90 mm. Noi calculăm J xși J la:

Testați întrebări și sarcini

1. Diametrul arborelui plin a fost dublat. De câte ori vor crește momentele axiale de inerție?

2. Momentele axiale ale secțiunii sunt, respectiv, egale J x = 2,5 mm 4 și J y = 6,5 mm. Determinați momentul polar al secțiunii.

3. Momentul de inerție axial al inelului în jurul axei Oh J x = 4 cm 4. Determinați valoarea J p.

4. În ce caz J x cel mai mic (fig. 25.7)?

5. Care dintre formulele de mai sus pentru determinarea J x potrivit pentru secțiunea prezentată în fig. 25,8?

6. Momentul de inerție al canalului nr. 10 față de axa centrală principală J XQ= 174cm 4; aria secțiunii transversale 10,9 cm2.

Determinaţi momentul axial de inerţie în jurul axei care trece prin baza canalului (fig. 25.9).

7. Comparați momentele polare de inerție a două secțiuni care au practic aceeași arie (Fig. 25.10).

8. Comparați momentele axiale de inerție în jurul axei Oh un dreptunghi și un pătrat care au aceeași zonă (Fig. 25.11).

Principalele, trei axe reciproc perpendiculare, trasate prin K.-L. punct al corpului și având proprietatea că dacă sunt luate drept axe de coordonate, atunci momentele de inerție centrifuge ale corpului față de aceste axe vor fi egale cu zero. Dacă tv. corpul, fixat într-un punct, este adus în rotație în jurul axei, muchii la un punct dat yavl. principal O. și., atunci corpul în absența forțelor exterioare va continua să se rotească în jurul acestei axe, ca în jurul uneia nemișcate. Conceptul principalului O. și. joacă un rol important în dinamica TV. corp.

Dicționar enciclopedic fizic. - M .: Enciclopedia sovietică..1983 .

AXELE DE INERTIE

Principalele sunt trei axe reciproc perpendiculare trasate prin doctoratul. punct al corpului, care coincide cu axele elipsoidului de inerție al corpului în acest punct. Principalul O. și. au proprietatea că dacă sunt luate drept axe de coordonate, atunci momentele de inerție centrifuge ale corpului față de aceste axe vor fi egale cu zero. Dacă una dintre axele de coordonate, de exemplu. axă Oh, este pentru punct O principalul O. și., momentele centrifuge de inerție, ai căror indici includ denumirea acestei axe, adică. eu xyși eu xz sunt egale cu zero. Dacă un corp solid, fixat într-un punct, este adus în rotație în jurul unei axe, muchia într-un punct dat este principalul O. și., Atunci corpul, în absența externă. forțele vor continua să se rotească în jurul acestei axe, ca în jurul uneia staționare.

Enciclopedie fizică. În 5 volume. - M .: Enciclopedia sovietică.Redactor-șef A.M. Prokhorov.1988 .