Găsiți online distanța de la un punct la un avion. Distanța de la punct la plan: definiție și exemple de găsire. Algoritm general pentru găsirea distanței de la punctul $ M_0 $ la plan

Condiții de paralelism și perpendicularitate

1 °. Condiția de coplanaritate a două planuri

Să fie date două planuri:

A 1 X + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, n 1 = {A 1 ; B 1 ; C 1 } ≠ 0 ;(1)

A 2 X + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, n 2 = {A 2 ; B 2 ; C 2 } ≠ 0 .(2)

Când sunt ele coplanare (adică paralele sau la fel)? Evident, aceasta va fi dacă și numai dacă vectorii lor normali sunt coliniari. Aplicând criteriul de coplanaritate, obținem

Propunerea 1. Două plane sunt coplanare dacă și numai dacă produsul vectorial al vectorilor lor normali este egal cu vectorul zero:

[n 1 , n 2 ] = 0 .

2 °. Condiția coincidenței a două planuri

Propunerea 2. Planurile (1) și (2) coincid dacă și numai dacă toți cei patru coeficienți ai lor sunt proporționali, adică există un număr λ astfel încât

A 2 = λ A 1 , B 2 = λ B 1 , C 2 = λ C 1 , D 2 = λ D 1 . (3)

Dovada. Fie îndeplinite condițiile (3). Atunci ecuația celui de-al doilea plan poate fi scrisă după cum urmează:

λ A 1 X + λ B 1 y + λ C 1 z + λ D 1 = 0.

λ ≠ 0, altfel ar fi A 2 = B 2 = C 2 = D 2 = 0, ceea ce contrazice condiția n 2 ≠ 0 ... Prin urmare, ultima ecuație este echivalentă cu ecuația (1), ceea ce înseamnă că cele două plane coincid.

Să presupunem că acum, dimpotrivă, se știe că aceste avioane coincid. Atunci vectorii lor normali sunt coliniari, adică există un număr λ astfel încât

A 2 = λ A 1 , B 2 = λ B 1 , C 2 = λ C 1 .

Ecuația (2) poate fi acum rescrisă ca:

λ A 1 X + λ B 1 y + λ C 1 z + D 2 = 0.

Înmulțind ecuația (1) cu λ, obținem o ecuație echivalentă pentru primul plan (deoarece λ ≠ 0):

λ A 1 X + λ B 1 y + λ C 1 z + λ D 1 = 0.

Să luăm un punct ( X 0 , y 0 , z 0) din primul (și deci al doilea) plan și înlocuiți coordonatele acestuia în ultimele două ecuații; obținem egalitățile corecte:

λ A 1 X 0 + λ B 1 y 0 + λ C 1 z 0 + D 2 = 0 ;

λ A 1 X 0 + λ B 1 y 0 + λ C 1 z 0 + λ D 1 = 0.

Scăzând partea de jos din partea de sus, obținem D 2 - λ D 1 = 0, adică D 2 = λ D 1, QED.

3 °. Condiția de perpendicularitate a două plane

Evident, pentru aceasta este necesar și suficient ca vectorii normali să fie perpendiculari.

Propunerea 3. Două plane sunt perpendiculare dacă și numai dacă produsul scalar al vectorilor normali este zero:

(n 1 , n 2) = 0 .

Să fie dată ecuația planului

Topor + De + Cz + D = 0, n = {A; B; C} ≠ 0 ,

și punct M 0 = (X 0 , y 0 , z 0). Obținem formula pentru distanța de la un punct la un plan:

Luați un punct arbitrar Q = (X 1 , y 1 , z 1) culcat în acest plan. Coordonatele sale satisfac ecuația plană:

Topor 1 + De 1 + Cz 1 + D = 0.

Rețineți acum că distanța necesară d este egală cu valoarea absolută a proiecției vectoriale pe direcția vectorului n (aici luăm proiecția ca valoare numerică, nu ca vector). Apoi, aplicăm formula pentru a calcula proiecția:

O formulă similară este valabilă pentru distanță d din punct M 0 = (X 0 , y 0) plan pe o dreaptă dată de ecuația generală Topor + De + C = 0.

PROBLEME C2 ALE EXAMENULUI DE STAT UNIFICAT LA MATEMATICĂ PENTRU GĂSIREA DISTANȚEI DE LA UN PUNCT LA UN AVION

Kulikova Anastasia Iurievna

Student anul 5, catedra mat. analiză, algebră și geometrie EI KFU, RF, Republica Tatarstan, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

consilier științific, dr. ped. Sci., Profesor asociat, EI KFU, RF, Republica Tatarstan, Elabuga

În ultimii ani, în sarcinile examenului la matematică au apărut sarcini de calcul a distanței de la un punct la un plan. În acest articol, folosind exemplul unei probleme, sunt luate în considerare diferite metode de găsire a distanței de la un punct la un plan. Metoda cea mai potrivită poate fi folosită pentru a rezolva diverse probleme. După rezolvarea problemei cu o metodă, o altă metodă poate verifica corectitudinea rezultatului obținut.

Definiție. Distanța de la un punct la un plan care nu conține acest punct este lungimea segmentului perpendicular coborât din acest punct pe planul dat.

Sarcină. Dat un paralelipiped dreptunghiular ABCUDA 1 B 1 C 1 D 1 cu laterale AB=2, î.Hr=4, AA 1 = 6. Găsiți distanța de la punct D randul de sus LA FEL DED 1 .

1 cale. Folosind definiție... Aflați distanța r ( D, LA FEL DED 1) de la punct D randul de sus LA FEL DED 1 (fig. 1).

Figura 1. Prima metodă

Vom duce la îndeplinire DH⊥LA FEL DE, prin urmare, prin teorema despre trei perpendiculare D 1 H⊥LA FEL DEși (DD 1 H)⊥LA FEL DE... Vom duce la îndeplinire Drept DT perpendicular D 1 H... Drept DT zace în avion DD 1 H, prin urmare DT⊥AC... Prin urmare, DT⊥LA FEL DED 1.

ADC afla ipotenuza LA FEL DE si inaltime DH

Dintr-un triunghi dreptunghic D 1 DH afla ipotenuza D 1 H si inaltime DT

Răspuns: .

Metoda 2.Metoda volumului (folosind o piramidă auxiliară). Problema de acest tip poate fi redusă la problema calculării înălțimii unei piramide, unde înălțimea piramidei este distanța dorită de la un punct la un plan. Demonstrați că această înălțime este distanța dorită; găsiți volumul acestei piramide în două moduri și exprimați această înălțime.

Rețineți că cu această metodă nu este nevoie să construiți o perpendiculară dintr-un punct dat la un plan dat.

Paralepiped dreptunghiular - un paralelipiped, ale cărui fețe sunt dreptunghiuri.

AB=CD=2, î.Hr=ANUNȚ=4, AA 1 =6.

Distanța dorită este înălțimea h piramide ACD 1 D scăpat de sus D pe baza ACD 1 (fig. 2).

Să calculăm volumul piramidei ACD 1 D doua feluri.

Calculând, în primul mod luăm ca bază ∆ ACD 1, atunci

Calculând, în al doilea mod luăm ca bază ∆ ACD, atunci

Echivalând părțile drepte ale ultimelor două egalități, obținem

Figura 2. A doua metodă

Din triunghiuri dreptunghiulare LA FEL DED, ADĂUGA 1 , CDD 1 găsiți ipotenuzele folosind teorema lui Pitagora

ACD

Calculăm aria triunghiului LA FEL DED 1 folosind formula lui Heron

Răspuns: .

Metoda 3. Metoda coordonatelor.

Să se acorde un punct M(X 0 ,y 0 ,z 0) și avionul α dat de ecuație topor+de+cz+d= 0 într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare. Distanța de la punct M la planul α poate fi calculat prin formula:

Să introducem un sistem de coordonate (Fig. 3). Originea coordonatelor într-un punct V;

Drept AB- axa X, Drept Soare- axa y, Drept BB 1 - axa z.

Figura 3. A treia metodă

B(0,0,0), A(2,0,0), CU(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Lăsa Ax +de+ cz+ d= 0 - ecuație plană ACD unu . Substituind coordonatele punctelor în ea A, C, D 1 obținem:

Ecuația plană ACD 1 va lua forma

Răspuns: .

Metoda 4. Metoda vectorială.

Să introducem o bază (Fig. 4),.

Figura 4. A patra metodă

Găsirea distanței de la un punct la un plan este o sarcină frecventă care apare atunci când se rezolvă diverse probleme de geometrie analitică, de exemplu, această sarcină poate fi redusă la găsirea distanței dintre două drepte care se încrucișează sau între o linie dreaptă și un plan paralel cu aceasta.

Se consideră planul $ β $ și punctul $ M_0 $ cu coordonatele $ (x_0; y_0; z_0) $, care nu aparține planului $ β $.

Definiția 1

Cea mai scurtă distanță dintre punct și plan va fi perpendiculara coborâtă de la punctul $ М_0 $ la planul $ β $.

Figura 1. Distanța de la punct la plan. Autor24 - schimb online de lucrări ale studenților

Mai jos este cum să găsiți distanța de la un punct la un plan folosind metoda coordonatelor.

Derivarea formulei pentru metoda coordonatelor pentru găsirea distanței de la un punct la un plan în spațiu

Perpendiculara din punctul $ M_0 $, care intersectează planul $ β $ în punctul $ M_1 $ cu coordonatele $ (x_1; y_1; z_1) $, se află pe o dreaptă al cărei vector direcție este vectorul normal al planului $ β $. În acest caz, lungimea vectorului unitar $ n $ este egală cu unu. În consecință, distanța de la $ β $ până la punctul $ M_0 $ va fi:

$ ρ = | \ vec (n) \ cdot \ vec (M_1M_0) | \ stânga (1 \ dreapta) $, unde $ \ vec (M_1M_0) $ este vectorul normal al planului $ β $ și $ \ vec ( n) $ este vectorul normal unitar al planului luat în considerare.

În cazul în care ecuația planului este dată în forma generală $ Ax + By + Cz + D = 0 $, coordonatele vectorului normal al planului sunt coeficienții ecuației $ \ (A; B; C). \) $, iar vectorul normal unitar în acest caz are coordonatele calculate prin următoarea ecuație:

$ \ vec (n) = \ frac (\ (A; B; C \)) (\ sqrt (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2)) \ stânga (2 \ dreapta) $.

Acum puteți găsi coordonatele vectorului normal $ \ vec (M_1M_0) $:

$ \ vec (M_0M_1) = \ (x_0 - x_1; y_0-y_1; z_0-z_1 \) \ stânga (3 \ dreapta) $.

De asemenea, exprimăm coeficientul $ D $ folosind coordonatele unui punct situat în plan $ β $:

$ D = Ax_1 + By_1 + Cz_1 $

Coordonatele vectorului normal unitar din egalitatea $ (2) $ pot fi substituite în ecuația planului $ β $, atunci avem:

$ ρ = \ frac (| A (x_0 -x_1) + B (y_0-y_1) + C (z_0-z_1) |) (\ sqrt (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2)) = \ frac ( | Ax_0 + By_0 + Cz_0- (Ax_1 + By_1 + Cz_1) |) (\ sqrt (A ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2))) = \ frac (Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D) (\ sqrt (A) ^ 2 + B ^ 2 + C ^ 2)) \ stânga (4 \ dreapta) $

Egalitatea $ (4) $ este o formulă pentru găsirea distanței de la un punct la un plan în spațiu.

Algoritm general pentru găsirea distanței de la punctul $ M_0 $ la plan

1. Dacă ecuația planului nu este dată într-o formă generală, mai întâi trebuie să o aduceți la una generală.
2. După aceea, este necesar să se exprimă din ecuația generală a planului vectorul normal al planului dat prin punctul $ M_0 $ și punctul aparținând planului dat; pentru aceasta, ar trebui să se folosească egalitatea $ (3) $ .
3. Următoarea etapă este căutarea coordonatelor vectorului normal unitar al planului folosind formula $ (2) $.
4. În cele din urmă, puteți începe să găsiți distanța de la un punct la un plan, acest lucru se face prin calcularea produsului scalar al vectorilor $ \ vec (n) $ și $ \ vec (M_1M_0) $.

, Concurs „Prezentare pentru lecție”

Clasă: 11

Prezentarea lecției

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate opțiunile de prezentare. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Obiective:

• generalizarea și sistematizarea cunoștințelor și aptitudinilor elevilor;
• dezvoltarea abilităților de a analiza, compara, trage concluzii.

Echipament:

• proiector multimedia;
• calculator;
• fișe de lucru cu texte ale sarcinilor

PROCESUL LECȚIEI

I. Moment organizatoric

II. Etapa de actualizare a cunoștințelor(diapozitivul 2)

Repetăm ​​modul în care se determină distanța de la un punct la un plan

III. Lectura(diapozitivele 3-15)

În această lecție, vom analiza diferite moduri de a găsi distanța de la un punct la un plan.

Prima metoda: de calcul pas cu pas

Distanța de la punctul M la planul α:
- egală cu distanța până la planul α de la un punct arbitrar P situat pe dreapta a, care trece prin punctul M și este paralel cu planul α;
- este egală cu distanța până la planul α de la un punct arbitrar P situat pe planul β, care trece prin punctul M și este paralel cu planul α.

Să rezolvăm următoarele sarcini:

№1. În cubul A ... D 1 găsiți distanța de la punctul C 1 la planul AB 1 C.

Rămâne de calculat valoarea lungimii segmentului O 1 N.

№2. Într-o prismă hexagonală regulată A ... F 1, ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, găsiți distanța de la punctul A la planul DEA 1.

Următoarea metodă: metoda volumului.

Dacă volumul piramidei ABCM este egal cu V, atunci distanța de la punctul M până la planul α care conține ∆ABS se calculează prin formula ρ (M; α) = ρ (M; ABC) =
Când rezolvăm probleme, folosim egalitatea volumelor unei figuri, exprimată în două moduri diferite.

Să rezolvăm următoarea problemă:

№3. Muchia AD a piramidei DABC este perpendiculară pe planul bazei ABC. Aflați distanța de la A până la planul care trece prin punctele mijlocii ale nervurilor AB, AC și AD, dacă.

La rezolvarea problemelor metoda coordonatelor distanța de la punctul M la planul α poate fi calculată prin formula ρ (M; α) = , unde M (x 0; y 0; z 0), iar planul este dat de ecuația ax + by + cz + d = 0

Să rezolvăm următoarea problemă:

№4. În cubul unității A ... D 1 găsiți distanța de la punctul A1 la planul BDC 1.

Introducem un sistem de coordonate cu originea în punctul A, axa y va rula de-a lungul muchiei AB, axa x de-a lungul muchiei AD și axa z de-a lungul muchiei AA 1. Apoi coordonatele punctelor B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1)
Să compunem ecuația planului care trece prin punctele B, D, C 1.

Atunci - dx - dy + dz + d = 0 x + y - z - 1 = 0. Prin urmare, ρ =

Următoarea metodă care poate fi utilizată la rezolvarea problemelor de acest tip este - metoda sarcinilor suport.

Aplicarea acestei metode constă în aplicarea unor probleme de suport cunoscute, care sunt formulate ca teoreme.

Să rezolvăm următoarea problemă:

№5. În cubul unității A ... D 1 găsiți distanța de la punctul D 1 la planul AB 1 C.

Luați în considerare aplicația metoda vectoriala.

№6. În cubul unității A ... D 1 găsiți distanța de la punctul A 1 la planul BDC 1.

Deci, ne-am uitat la diferite metode care pot fi folosite pentru a rezolva acest tip de problemă. Alegerea acestei sau acelei metode depinde de sarcina specifică și de preferințele dvs.

IV. Lucrul în grupuri

Încercați să rezolvați problema în moduri diferite.

№1. Muchia cubului A ... D 1 este egală. Aflați distanța de la vârful C la planul BDC 1.

№2. Aflați distanța de la punctul A la planul BDC într-un tetraedru regulat ABCD cu muchie

№3. Într-o prismă triunghiulară regulată ABCA 1 B 1 C 1, ale cărei toate muchiile sunt egale cu 1, găsiți distanța de la A la planul BCA 1.

№4. Într-o piramidă dreptunghiulară regulată SABCD cu toate muchiile egale cu 1, găsiți distanța de la A la planul SCD.

V. Rezumatul lecției, temele, reflecția

Acest articol vorbește despre determinarea distanței de la un punct la un plan. vom analiza metoda coordonatelor, care ne va permite să găsim distanța de la un punct dat din spațiul tridimensional. Pentru a consolida, luați în considerare exemple de mai multe sarcini.

Distanța de la un punct la un plan se găsește prin intermediul unei distanțe cunoscute de la un punct la un punct, unde unul dintre ele este dat, iar celălalt este o proiecție pe un plan dat.

Când un punct M 1 cu un plan χ este specificat în spațiu, atunci prin punct poate fi trasată o dreaptă perpendiculară pe plan. H 1 este punctul comun al intersecției lor. Prin urmare, constatăm că segmentul M 1 H 1 este o perpendiculară trasată din punctul M 1 în planul χ, unde punctul H 1 este baza perpendicularei.

Definiția 1

Se numește distanța de la un punct dat la baza perpendicularei, care a fost trasată de la un punct dat la un plan dat.

Definiția poate fi scrisă în diferite formulări.

Definiția 2

Distanța de la punct la plan numită lungimea perpendicularei, care a fost trasată dintr-un punct dat pe un plan dat.

Distanța de la punctul M 1 la planul χ se determină astfel: distanța de la punctul M 1 la planul χ va fi cea mai mică de la un punct dat la orice punct din plan. Dacă punctul Н 2 este situat în planul χ și nu este egal cu punctul Н 2, atunci obținem un triunghi dreptunghic de forma М 2 H 1 H 2 , care este dreptunghiular, unde există un picior M 2 H 1, M 2 H 2 - ipotenuza. Prin urmare, aceasta implică că M 1 H 1< M 1 H 2 . Тогда отрезок М 2 H 1 este considerat a fi înclinat, care este trasat din punctul M 1 spre planul χ. Avem că perpendiculara trasată dintr-un punct dat pe plan este mai puțin înclinată, care este trasată dintr-un punct către un plan dat. Luați în considerare acest caz în figura de mai jos.

Distanța de la punct la plan - teorie, exemple, soluții

Există o serie de probleme geometrice ale căror soluții trebuie să conțină distanța de la un punct la un plan. Modul de a detecta acest lucru poate fi diferit. Pentru rezoluție, utilizați teorema lui Pitagora sau asemănarea triunghiurilor. Când, conform condiției, este necesar să se calculeze distanța de la un punct la un plan, dată într-un sistem de coordonate dreptunghiular al spațiului tridimensional, se decide prin metoda coordonatelor. Această clauză discută această metodă.

Prin condiția problemei, avem că este dat un punct al spațiului tridimensional cu coordonatele M 1 (x 1, y 1, z 1) cu planul χ, este necesar să se determine distanța de la M 1 la planul χ. Există mai multe modalități de a rezolva această problemă.

Prima cale

Această metodă se bazează pe găsirea distanței de la un punct la un plan folosind coordonatele punctului H 1, care sunt baza perpendicularei de la punctul M 1 la planul χ. Apoi, trebuie să calculați distanța dintre M 1 și H 1.

Pentru a rezolva problema în al doilea mod, se folosește ecuația normală a unui plan dat.

A doua cale

Prin condiție, avem că H 1 este baza perpendicularei, care a fost coborâtă din punctul M 1 în planul χ. Apoi determinăm coordonatele (x 2, y 2, z 2) ale punctului H 1. Distanța necesară de la М 1 la planul χ se găsește prin formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2, unde M 1 (x 1, y 1, z 1) şi H 1 (x 2, y 2, z 2). Pentru a o rezolva, trebuie să aflați coordonatele punctului H 1.

Avem că H 1 este punctul de intersecție al planului χ cu dreapta a, care trece prin punctul M 1, care este perpendicular pe planul χ. De aici rezultă că este necesar să se întocmească o ecuație a unei drepte care trece printr-un punct dat perpendicular pe un plan dat. Atunci vom putea determina coordonatele punctului H 1. Este necesar să se calculeze coordonatele punctului de intersecție a dreptei și a planului.

Algoritm pentru găsirea distanței de la un punct cu coordonatele M 1 (x 1, y 1, z 1) la planul χ:

Definiția 3

• întocmeşte ecuaţia dreptei a care trece prin punctul M 1 şi în acelaşi timp
• perpendicular pe planul χ;
• găsiți și calculați coordonatele (x 2, y 2, z 2) ale punctului H 1, care sunt puncte
• intersecția dreptei a cu planul χ;
• calculați distanța de la М 1 la χ folosind formula M 1 H 1 = (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + z 2 - z 1 2.

A treia cale

Într-un sistem de coordonate dreptunghiular dat O x y z există un plan χ, atunci obținem o ecuație normală a planului de forma cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0. Se obține astfel că distanța M 1 H 1 cu punctul M 1 (x 1, y 1, z 1) trasat în planul χ, calculată prin formula M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z - p. Această formulă este valabilă, deoarece a fost stabilită în virtutea teoremei.

Teorema

Dacă este dat un punct M 1 (x 1, y 1, z 1) din spațiul tridimensional, având o ecuație normală a planului χ de forma cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0, atunci calculul distanței de la punct la planul M 1 H 1 se realizează din formula M 1 H 1 = cos α x + cos β y + cos γ z - p, deoarece x = x 1, y = y 1, z = z 1.

Dovada

Demonstrarea teoremei se reduce la găsirea distanței de la un punct la o dreaptă. Prin urmare, aflăm că distanța de la M 1 la planul χ este modulul diferenței dintre proiecția numerică a vectorului rază M 1 cu distanța de la origine la planul χ. Atunci obținem expresia M 1 H 1 = n p n → O M → - p. Vectorul normal al planului χ are forma n → = cos α, cos β, cos γ, iar lungimea lui este egală cu unu, npn → OM → este proiecția numerică a vectorului OM → = (x 1, y 1 , z 1) în direcția determinată de vectorul n →.

Să aplicăm formula pentru calcularea vectorilor scalari. Apoi obținem o expresie pentru găsirea unui vector de forma n →, OM → = n → npn → OM → = 1 npn → OM → = npn → OM →, deoarece n → = cos α, cos β, cos γ z și OM → = (x 1, y 1, z 1). Notația de coordonate va lua forma n →, OM → = cos α x 1 + cos β y 1 + cos γ z 1, apoi M 1 H 1 = npn → OM → - p = cos α x 1 + cos β Y 1 + cos γ z 1 - p. Teorema este demonstrată.

Astfel, obținem că distanța de la punctul M 1 (x 1, y 1, z 1) la planul χ se calculează prin substituirea în partea stângă a ecuației normale a planului cos α x + cos β y + cos γ z - p = 0 în loc de coordonatele x, y, z x 1, y 1 și z 1, referitor la punctul M 1, luând valoarea absolută a valorii obţinute.

Să luăm în considerare exemple de găsire a distanței de la un punct cu coordonate la un plan dat.

Exemplul 1

Calculați distanța de la punctul cu coordonatele M 1 (5, - 3, 10) până la planul 2 x - y + 5 z - 3 = 0.

Soluţie

Să rezolvăm problema în două moduri.

Prima metodă începe cu calcularea vectorului direcție al dreptei a. Prin ipoteză, avem că ecuația dată 2 x - y + 5 z - 3 = 0 este o ecuație a planului de formă generală, iar n → = (2, - 1, 5) este vectorul normal al planului dat. . Este folosit ca vector de direcție al unei drepte a, care este perpendiculară pe un plan dat. Ar trebui să scrieți ecuația canonică a unei drepte în spațiu care trece prin M 1 (5, - 3, 10) cu un vector de direcție cu coordonatele 2, - 1, 5.

Ecuația va lua forma x - 5 2 = y - (- 3) - 1 = z - 10 5 ⇔ x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5.

Punctele de intersecție ar trebui determinate. Pentru a face acest lucru, este ușor să combinați ecuațiile într-un sistem pentru trecerea de la ecuațiile canonice la ecuațiile a două linii drepte care se intersectează. Vom lua acest punct ca H 1. Înțelegem asta

x - 5 2 = y + 3 - 1 = z - 10 5 ⇔ - 1 (x - 5) = 2 (y + 3) 5 (x - 5) = 2 (z - 10) 5 y + 3) = - 1 (z - 10) ⇔ ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 5 y + z + 5 = 0 ⇔ x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0

Apoi trebuie să permiteți sistemul

x + 2 y + 1 = 0 5 x - 2 z - 5 = 0 2 x - y + 5 z - 3 = 0 ⇔ x + 2 y = 1 5 x - 2 z = 5 2 x - y + 5 z = 3

Să ne întoarcem la regula pentru rezolvarea sistemului conform Gaussian:

1 2 0 - 1 5 0 - 2 5 2 - 1 5 3 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 - 5 5 5 ~ 1 2 0 - 1 0 - 10 - 2 10 0 0 6 0 ⇒ ⇒ z = 0 6 = 0, y = - 1 10 10 + 2 z = - 1, x = - 1 - 2 y = 1

Obținem că H 1 (1, - 1, 0).

Calculăm distanța de la un punct dat la plan. Luăm punctele M 1 (5, - 3, 10) și H 1 (1, - 1, 0) și obținem

M 1 H 1 = (1 - 5) 2 + (- 1 - (- 3)) 2 + (0 - 10) 2 = 2 30

A doua soluție este să aducem mai întâi ecuația dată 2 x - y + 5 z - 3 = 0 la forma sa normală. Determinați factorul de normalizare și obțineți 1 2 2 + (- 1) 2 + 5 2 = 1 30. Din aceasta derivăm ecuația planului 2 30 x - 1 30 y + 5 30 z - 3 30 = 0. Calculul părții stângi a ecuației se realizează prin înlocuirea x = 5, y = - 3, z = 10 și trebuie să luați distanța de la M 1 (5, - 3, 10) la 2 x - y + 5 z - 3 = 0 modulo. Obținem expresia:

M 1 H 1 = 2 30 5 - 1 30 - 3 + 5 30 10 - 3 30 = 60 30 = 2 30

Răspuns: 2 30.

Când planul χ este specificat printr-una dintre metodele de specificare a planului, atunci trebuie mai întâi să obțineți ecuația planului χ și să calculați distanța dorită folosind orice metodă.

Exemplul 2

Punctele cu coordonatele M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - 1) sunt specificate în spațiul tridimensional. Calculați distanța de la M 1 la planul A B C.

Soluţie

În primul rând, trebuie să scrieți ecuația planului care trece prin cele trei puncte date cu coordonatele M 1 (5, - 3, 10), A (0, 2, 1), B (2, 6, 1), C (4, 0, - unu) .

x - 0 y - 2 z - 1 2 - 0 6 - 2 1 - 1 4 - 0 0 - 2 - 1 - 1 = 0 ⇔ xy - 2 z - 1 2 4 0 4 - 2 - 2 = 0 ⇔ ⇔ - 8 x + 4 y - 20 z + 12 = 0 ⇔ 2 x - y + 5 z - 3 = 0

Rezultă că problema are o soluție similară celei precedente. Aceasta înseamnă că distanța de la punctul M 1 la planul A B C are o valoare de 2 30.

Răspuns: 2 30.

Găsirea distanței de la un punct dat de pe plan sau de planul la care sunt paralele este mai convenabilă prin aplicarea formulei M 1 H 1 = cos α x 1 + cos β y 1 + cos γ z 1 - p. Din aceasta obținem că ecuațiile normale ale planelor se obțin în mai multe acțiuni.

Exemplul 3

Aflați distanța de la un punct dat cu coordonatele M 1 (- 3, 2, - 7) până la planul de coordonate O x y z și planul dat de ecuația 2 y - 5 = 0.

Soluţie

Planul de coordonate O y z corespunde unei ecuații de forma x = 0. Pentru planul O y z, este normal. Prin urmare, este necesar să se înlocuiască valoarea x = - 3 în partea stângă a expresiei și să se ia modulul valorii distanței de la punctul cu coordonatele M 1 (- 3, 2, - 7) la plan. Obținem valoarea egală cu - 3 = 3.

După transformare, ecuația normală a planului 2 y - 5 = 0 va obține forma y - 5 2 = 0. Apoi puteți găsi distanța necesară de la punctul cu coordonatele M 1 (- 3, 2, - 7) până la planul 2 y - 5 = 0. Înlocuind și calculând, obținem 2 - 5 2 = 5 2 - 2.

Răspuns: Distanța dorită de la M 1 (- 3, 2, - 7) la O y z are valoarea 3, iar la 2 y - 5 = 0 are valoarea 5 2 - 2.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o selectați și să apăsați Ctrl + Enter