Determinarea momentului de forță în jurul axei. Statică. Moment de putere. cantitatea vectorială

Care este egal cu produsul forței pe umărul ei.

Momentul forței se calculează folosind formula:

Unde F- putere, l- brațul forței.

Umărul Forței este cea mai scurtă distanță de la linia de acțiune a forței până la axa de rotație a corpului. Figura de mai jos prezintă un corp rigid care se poate roti în jurul unei axe. Axa de rotație a acestui corp este perpendiculară pe planul figurii și trece printr-un punct, care este desemnat ca litera O. Umărul forței F t aici este distanta l, de la axa de rotație la linia de acțiune a forței. Este definit în acest fel. Primul pas este trasarea unei linii de acțiune a forței, apoi din punctul O, prin care trece axa de rotație a corpului, se coboară o perpendiculară pe linia de acțiune a forței. Lungimea acestei perpendiculare se dovedește a fi brațul forței date.

Momentul forței caracterizează acțiunea de rotație a forței. Această acțiune depinde atât de putere, cât și de pârghie. Cu cât umărul este mai mare, cu atât trebuie aplicată mai puțină forță pentru a obține rezultatul dorit, adică același moment de forță (vezi figura de mai sus). De aceea este mult mai dificil să deschideți ușa împingând-o lângă balamale decât ținând mânerul și este mult mai ușor să deșurubați piulița cu o cheie lungă decât cu o cheie scurtă.

Unitatea de măsură a forței în SI este considerată un moment de forță de 1 N, al cărui braț este de 1 m - un newton metru (N m).

Regula momentului.

Un corp rigid care se poate roti în jurul unei axe fixe este în echilibru dacă momentul forței M 1 rotirea lui în sensul acelor de ceasornic este egală cu momentul forței M 2 , care îl rotește în sens invers acelor de ceasornic:

Regula momentelor este o consecință a uneia dintre teoremele mecanicii, care a fost formulată de omul de știință francez P. Varignon în 1687.

Câteva puteri.

Dacă un corp este acționat de 2 forțe egale și direcționate opus, care nu se află pe o singură linie dreaptă, atunci un astfel de corp nu este în echilibru, deoarece momentul rezultat al acestor forțe față de orice axă nu este egal cu zero, deoarece ambele forțele au momente îndreptate în aceeași direcție. Două astfel de forțe care acționează simultan asupra unui corp sunt numite câteva forțe. Dacă corpul este fixat pe o axă, atunci sub acțiunea unei perechi de forțe se va roti. Dacă o pereche de forțe este aplicată unui corp liber, atunci acesta se va roti în jurul axei. trecând prin centrul de greutate al corpului, figura b.

Momentul unei perechi de forțe este același în jurul oricărei axe perpendiculare pe planul perechii. Moment total M perechea este întotdeauna egală cu produsul uneia dintre forțe F de la distanță lîntre forţe numite cupluri de umăr, indiferent de segmente l, și împărtășește poziția axei brațului perechii:

Momentul mai multor forțe, a căror rezultată este egală cu zero, va fi același față de toate axele paralele între ele, prin urmare acțiunea tuturor acestor forțe asupra corpului poate fi înlocuită cu acțiunea unei perechi de forțe. cu acelasi moment.

Definiții ale momentului de forță despre un punct și o axă. Definiția brațului de forță relativ la un punct. Formulări și dovezi ale proprietăților momentului de forță. Expresia valorii absolute a momentului sub forma produsului dintre umărul forței și modulul forței.

Conţinut

Momentul relativ la punctul O, din forța a cărei linie de acțiune trece prin acest punct, este egal cu zero.

.

Același lucru se aplică forțelor ale căror linii de prelungire se intersectează într-un punct. În acest caz, punctul de intersecție al liniilor de acțiune a acestora este luat ca punct de aplicare al sumei forțelor.

,
.

Momentul forței este pseudovector sau, care este la fel, vector axial.

Această proprietate decurge din proprietatea produsului vectorial. Întrucât vectorii și sunt Adevărat(sau polar), atunci produsul lor vectorial este pseudovector. Aceasta înseamnă că putem determina doar valoarea absolută și axa de-a lungul căreia este îndreptat produsul vectorial. Direcția de-a lungul acestei axe o setăm în mod arbitrar, folosind regula șurubului drept. Adică, punem deoparte mental vectori dintr-un centru. Apoi rotiți mânerul din poziție în poziție. Ca urmare, șurubul din dreapta este deplasat într-o direcție perpendiculară pe planul în care se află vectorii. Luăm această direcție ca direcție a produsului vectorial.

Dar dacă am determinat direcția conform regulii șurubului din stânga, atunci produsul vectorial ar fi îndreptat în direcția opusă. În acest caz, nu apare nicio contradicție. Adică, de fapt, vectorii axiali pot avea două direcții reciproc opuse. Pentru a nu complica formulele matematice, alegem una dintre ele aplicând regula corectă a șurubului. Din acest motiv, pseudovectorii nu pot fi adăugați geometric la vectorii adevărați. Dar ele pot fi multiplicate folosind produsul scalar sau vectorial.

Moment de forță în jurul axei

Definiție

Adesea există cazuri când nu trebuie să cunoaștem toate componentele momentului de forță despre un punct selectat, ci trebuie să cunoaștem doar momentul de forță despre o axă selectată.

Momentul de forță în jurul unei axe este proiecția vectorului momentului de forță în jurul unui punct arbitrar aparținând acestei axe pe direcția axei.

Fie un vector unitar îndreptat de-a lungul axei. Și să fie O un punct arbitrar aparținând acestuia. Atunci momentul de forță în jurul axei este produsul scalar:
.
O astfel de definiție este posibilă, deoarece pentru oricare două puncte O și O′ aparținând axei, proiecțiile momentelor în jurul acestor puncte de pe axă sunt egale. Să o arătăm.

Să folosim ecuația vectorială:

;
.
Înmulțim scalar această ecuație cu vectorul unitar direcționat de-a lungul axei:
.
Deoarece vectorul este paralel cu axa, atunci . De aici
.
Adică proiecțiile momentelor pe axă, raportate la punctele O și O′ aparținând acestei axe, sunt egale.

Proprietăți

Momentul în jurul axei de la forță, a cărei linie de acțiune trece prin această axă, este egal cu zero.

Dovada proprietății

Deplasarea punctului de aplicare a forței de-a lungul liniei de acțiune a acesteia

Dacă punctul de aplicare al forței este deplasat de-a lungul liniei de acțiune a forței, atunci momentul, în timpul unei astfel de mișcări, nu se va schimba.

Dovada

Aplicați forța în punctul A. Desenați o dreaptă prin punctul A paralelă cu vectorul forță. Această linie este linia acțiunii sale. Să mutăm punctul A de aplicare a forței în punctul A′ aparținând dreptei de acțiune. Apoi
.
Vectorul este trasat prin două puncte ale liniei de acțiune. Prin urmare, direcția sa coincide sau este opusă direcției vectorului forță. Atunci , unde λ este un parametru; . , dacă punctul A′ este deplasat față de A în direcția vectorului . In caz contrar .

Astfel, vectorul tras de la O la A′ are forma:
.
Să aflăm momentul forței aplicate în punctul A , folosind proprietățile produsului vectorial:

.
Vedem că momentul nu s-a schimbat:
.

Proprietatea a fost dovedită.

Valoarea absolută a momentului de forță

Valoarea absolută a momentului de forță relativ la un anumit punct este egală cu produsul dintre valoarea absolută a forței de către brațul acestei forțe în raport cu punctul selectat.

Dovada

Valoarea absolută a momentului M relativ la punctul O este egală cu produsul dintre forța F și brațul său d = |OD| .

Să avem o forță aplicată în punctul A . Se consideră momentul acestei forțe relativ la un punct O . Rețineți că punctele O , A și vectorul se află în același plan. Să o reprezentăm în imagine. Prin punctul A, în direcția vectorului, trasăm o dreaptă AB. Această linie se numește linia de acțiune a forței. Prin punctul O coborâm perpendiculara OD pe linia de acțiune. Și fie D punctul de intersecție al dreptei de acțiune și al perpendicularei. Apoi - umărul forței în raport cu centrul O. Să o notăm cu o literă. Să folosim , conform căruia punctul de aplicare a forței poate fi deplasat de-a lungul liniei sale de acțiune. Să-l mutăm la punctul D. Moment de putere:
.
Deoarece vectorii și sunt perpendiculari, atunci prin proprietatea produsului vectorial, valoarea absolută a momentului:
,
unde este valoarea absolută a forței.

Rețineți că vectorul moment este perpendicular pe planul figurii. Direcția sa este determinată de regula șurubului drept. Dacă rotim șurubul trecând prin punctul O perpendicular pe planul figurii, în direcția forței F, atunci acesta se va deplasa spre noi. Prin urmare, vectorul moment este perpendicular pe planul figurii și îndreptat spre noi.

Proprietatea a fost dovedită.

Moment în jurul unui punct dintr-o forță care trece prin acel punct

Momentul relativ la punctul O, din forța a cărei linie de acțiune trece prin acest punct, este egal cu zero.

Dovada

Să treacă linia de acțiune a forței prin punctul O. Atunci brațul acestei forțe în raport cu O este egal cu zero: . Conform , valoarea absolută a momentului de forță relativ la punctul selectat este zero:
.

Proprietatea a fost dovedită.

Momentul sumei forțelor aplicate într-un punct

Momentul din suma vectorială a forțelor aplicate unui punct al corpului este egal cu suma vectorială a momentelor din fiecare dintre forțele aplicate în același punct:
.

Dovada

Fie aplicate forțe într-un punct A . Fie suma vectorială a acestor forțe. Găsim momentul relativ la un punct O din suma vectorială aplicată în punctul A . Pentru a face acest lucru, folosim proprietățile produsului vectorial:

.

Proprietatea a fost dovedită.

Momentul unui sistem de forțe a cărui sumă vectorială este egală cu zero

Dacă suma vectorială a forțelor este zero:
,
atunci suma momentelor din aceste forțe nu depinde de poziția centrului, raportat la care se calculează momentele:
.

Dovada

Să fie aplicate forțe în punctele , respectiv. Și să fie punctele O și C să desemneze doi centre față de care vom calcula momentele. Atunci sunt valabile următoarele ecuații vectoriale:
.
Le folosim atunci când calculăm suma momentelor despre punctul O:

se indică faptul că momentul forței în jurul unei axe este proiecția vectorului momentului forței în jurul unui punct arbitrar aparținând acestei axe pe direcția axei. Ca atare punct, luăm punctul de intersecție al liniei de acțiune a forței cu axa. Dar, conform , momentul în jurul acestui punct este egal cu zero. Prin urmare, proiecția sa pe această axă este, de asemenea, egală cu zero.

Proprietatea a fost dovedită.

Moment în jurul unei axe dintr-o forță paralelă cu axa respectivă

Momentul în jurul unei axe dintr-o forță paralelă cu această axă este zero.

Dovada

Fie O un punct arbitrar pe axă. Luați în considerare momentul de forță despre acest punct. Prin definitie:
.
Conform proprietății produsului încrucișat, vectorul moment este perpendicular pe vectorul forță. Deoarece vectorul forță este paralel cu axa, vectorul moment este perpendicular pe aceasta. Prin urmare, proiecția momentului în jurul punctului O de pe axă este zero.

Proprietatea a fost dovedită.

La rezolvarea problemelor obiectelor în mișcare, în unele cazuri, dimensiunile lor spațiale sunt neglijate, introducând conceptul de punct material. Pentru un alt tip de probleme, în care se iau în considerare corpurile în repaus sau corpurile în rotație, este important să se cunoască parametrii acestora și punctele de aplicare a forțelor externe. În acest caz, vorbim despre momentul forțelor despre axa de rotație. Să luăm în considerare această problemă în articol.

Conceptul de moment al forței

Înainte de a realiza o axă fixă ​​de rotație, este necesar să clarificăm despre ce fenomen va fi discutat. Mai jos este o figură care arată o cheie cu lungimea d, la capătul acesteia este aplicată o forță F. Este ușor de imaginat că rezultatul acțiunii sale va fi rotirea cheii în sens invers acelor de ceasornic și deșurubarea piuliței.

Conform definiției, momentul forței este relativ produsul dintre umărul (d în acest caz) și forța (F), adică se poate scrie următoarea expresie: M = d * F. Trebuie remarcat imediat că formula de mai sus este scrisă în formă scalară, adică vă permite să calculați valoarea absolută a momentului M. După cum se poate observa din formulă, unitatea de măsură a cantității luate în considerare este newtoni. pe metru (N * m).

- cantitatea vectorială

După cum sa discutat mai sus, momentul M este de fapt un vector. Pentru a clarifica această afirmație, luați în considerare o altă cifră.

Aici vedem o pârghie de lungime L, care este fixată pe axă (indicată de săgeată). O forță F este aplicată la capătul său la un unghi Φ. Nu este greu de imaginat că această forță va face ca pârghia să se ridice. Formula pentru moment în formă vectorială în acest caz se va scrie astfel: M¯ = L¯*F¯, aici bara de deasupra simbolului înseamnă că cantitatea în cauză este un vector. Trebuie clarificat faptul că L¯ este direcționat de la axa de rotație către punctul de aplicare a forței F¯.

Expresia de mai sus este un produs vectorial. Vectorul său rezultat (M¯) va fi perpendicular pe planul format din L¯ și F¯. Pentru a determina direcția momentului M¯, există mai multe reguli (mâna dreaptă, braț). Pentru a nu le memora și a nu vă confunda în ordinea înmulțirii vectorilor L¯ și F¯ (direcția lui M¯ depinde de aceasta), ar trebui să vă amintiți un lucru simplu: momentul forței va fi direcționat într-un astfel de un mod în care, dacă priviți de la capătul vectorului său, atunci forța care acționează F ¯ va roti pârghia în sens invers acelor de ceasornic. Această direcție a momentului este considerată condiționat ca pozitivă. Dacă sistemul se rotește în sensul acelor de ceasornic, atunci momentul de forță rezultat are o valoare negativă.

Astfel, în cazul considerat cu pârghia L, valoarea lui M¯ este îndreptată în sus (de la figură la cititor).

În formă scalară, formula momentului se scrie ca: M = L*F*sin(180-Φ) sau M = L*F*sin(Φ) (sin(180-Φ) = sin(Φ)). Conform definiției sinusului, putem scrie egalitatea: M = d*F, unde d = L*sin(Φ) (vezi figura și triunghiul dreptunghic corespunzător). Ultima formulă este similară cu cea dată în paragraful anterior.

Calculele de mai sus demonstrează cum se lucrează cu cantități vectoriale și scalare ale momentelor de forță pentru a evita erorile.

Sensul fizic al lui M¯

Deoarece cele două cazuri luate în considerare în paragrafele precedente sunt asociate cu mișcarea de rotație, se poate ghici ce semnificație are momentul forței. Dacă forța care acționează asupra unui punct material este o măsură a creșterii vitezei deplasării liniare a acestuia din urmă, atunci momentul forței este o măsură a capacității sale de rotație în raport cu sistemul luat în considerare.

Să luăm un exemplu ilustrativ. Orice persoană deschide ușa ținându-i mânerul. Se poate face și prin împingerea ușii în zona mânerului. De ce nu o deschide nimeni împingând în zona balamalei? Foarte simplu: cu cât forța este aplicată mai aproape de balamale, cu atât este mai dificil să deschideți ușa și invers. Derivarea propoziției anterioare rezultă din formula pentru moment (M = d*F), care arată că atunci când M = const, mărimile d și F sunt invers legate.

Moment de forță - cantitate aditivă

În toate cazurile considerate mai sus, a existat o singură forță care acționează. La rezolvarea unor probleme reale, situația este mult mai complicată. De obicei, sistemele care se rotesc sau sunt în echilibru sunt supuse mai multor forțe de torsiune, fiecare creând propriul moment. În acest caz, rezolvarea problemelor se reduce la găsirea momentului total al forțelor raportat la axa de rotație.

Momentul total este găsit prin suma obișnuită a momentelor individuale pentru fiecare forță, totuși, nu uitați să folosiți semnul corect pentru fiecare dintre ele.

Exemplu de rezolvare a problemei

Pentru consolidarea cunoștințelor dobândite, se propune rezolvarea următoarei probleme: este necesar să se calculeze momentul total al forței pentru sistemul prezentat în figura de mai jos.

Vedem că trei forțe (F1, F2, F3) acționează asupra unei pârghii de 7 m lungime și au puncte de aplicare diferite față de axa de rotație. Deoarece direcția forțelor este perpendiculară pe pârghie, nu este nevoie să folosiți o expresie vectorială pentru momentul de torsiune. Este posibil să se calculeze momentul total M folosind o formulă scalară și amintindu-ne să se stabilească semnul dorit. Deoarece forțele F1 și F3 tind să rotească pârghia în sens invers acelor de ceasornic, iar F2 - în sensul acelor de ceasornic, momentul de rotație pentru prima va fi pozitiv, iar pentru al doilea - negativ. Avem: M \u003d F1 * 7-F2 * 5 + F3 * 3 \u003d 140-50 + 75 \u003d 165 N * m. Adică momentul total este pozitiv și îndreptat în sus (spre cititor).

În articol vom vorbi despre momentul forței despre un punct și o axă, definiții, desene și grafice, ce unitate de măsură a momentului de forță, lucru și forță în mișcare de rotație, precum și exemple și sarcini.

Moment de putere este un vector al mărimii fizice egal cu produsul vectorilor puterea umerilor(raza-vector al particulei) și putere acţionând asupra unui punct. Pârghia de forță este un vector care leagă punctul prin care trece axa de rotație a corpului rigid cu punctul în care se aplică forța.

unde: r este umărul forței, F este forța aplicată corpului.

direcția vectorială forta momentuluiîntotdeauna perpendicular pe planul definit de vectorii r și F.

Punctul principal- orice sistem de forțe pe plan față de polul acceptat se numește momentul algebric al momentului tuturor forțelor acestui sistem față de acest pol.

În mișcările de rotație, nu numai mărimile fizice în sine sunt importante, ci și modul în care sunt situate în raport cu axa de rotație, adică momente. Știm deja că în mișcarea de rotație, nu numai masa este importantă, ci și. În cazul unei forțe, eficiența acesteia în declanșarea accelerației este determinată de modul în care forța este aplicată pe axa de rotație.

Relația dintre putere și modul în care este folosită descrie MOMENT DE PUTEREA. Momentul forței este produsul vectorial al brațului de forță R la vectorul forță F:

Ca în orice produs vectorial, așa și aici

Prin urmare, forța nu va afecta rotația când unghiul dintre vectorii forței Fși pârghie R este 0 o sau 180 o . Care este efectul aplicării unui moment de forță M?

Folosim a doua lege a mișcării a lui Newton și relația dintre frânghie și viteza unghiulară v = Rωîn formă scalară sunt valabile atunci când vectorii RȘi ω perpendiculare unele pe altele

Înmulțind ambele părți ale ecuației cu R, obținem

Deoarece mR 2 = I, tragem concluzia că

Dependența de mai sus este valabilă și pentru cazul unui corp material. Rețineți că în timp ce o forță externă dă o accelerație liniară A, momentul forței exterioare dă accelerația unghiulară ε.

Unitatea de măsură a forței

Principala măsură a momentului de forță în coordonatele sistemului SI este: [M]=N m

La CGS: [M]=dyn cm

Munca și forța în mișcare de rotație

Lucrul în mișcare liniară este definit de expresia generală,

dar în rotaţie

si in consecinta

Pe baza proprietăților produsului mixt a trei vectori, putem scrie

Prin urmare, avem o expresie pentru lucru rotativ:

Puterea rotativă:

Găsi moment de putere, acţionând asupra corpului în situaţiile prezentate în figurile de mai jos. Să presupunem că r = 1m și F = 2N.

dar)întrucât unghiul dintre vectorii r și F este de 90°, atunci sin(a)=1:

M = r F = 1m 2N = 2Nm

b) deoarece unghiul dintre vectorii r și F este 0°, deci sin(a)=0:

M=0
da directionala putere nu pot da un punct mișcare de rotație.

c)întrucât unghiul dintre vectorii r și F este de 30°, atunci sin(a)=0,5:

M = 0,5 r F = 1 N m.

Astfel, o forță direcțională va provoca rotația corpului, dar efectul său va fi mai mic decât în ​​cazul respectiv A).

Moment de forță în jurul axei

Să presupunem că datele sunt un punct O(stâlp) și putere P. La punctul O luăm originea sistemului de coordonate dreptunghiulare. Moment de putere R în raport cu polii O este un vector M afară (R), (poza de mai jos) .

Orice punct A pe linia P are coordonate (xo, yo, zo).
Vector de forță P are coordonate Px, Py, Pz. Punct de combinare A (xo, yo, zo) odată cu începutul sistemului, obținem un vector p. Coordonatele vectorului de forță P relativ la stâlp O marcate cu simboluri Mx, al meu, Mz. Aceste coordonate pot fi calculate ca minime ale determinantului dat, unde ( i, j, k) sunt vectori unitari pe axele de coordonate (opțiuni): i, j, k

După rezolvarea determinantului, coordonatele momentului vor fi egale cu:

Coordonatele vectorului momentului lu (P) se numesc momente de forță în jurul axei corespunzătoare. De exemplu, momentul de forță P despre axa Ozînconjoară șablonul:

Mz = Pyxo - Pxyo

Acest model este interpretat geometric așa cum se arată în figura de mai jos.

Pe baza acestei interpretări, momentul forței în jurul axei Oz poate fi definit ca momentul proiecției forței P perpendicular pe ax Oz raportat la punctul de patrundere al acestui plan de catre axa. Proiecția forței P pe axa perpendiculară este indicată Pxy , și punctul de penetrare al avionului Oxy- axa OS simbol Oh
Din definiția de mai sus a momentului de forță în jurul unei axe, rezultă că momentul de forță în jurul unei axe este zero atunci când forța și axa sunt egale, în același plan (când forța este paralelă cu axa sau când forța traversează axa).
Folosind formule pe Mx, al meu, Mz, putem calcula valoarea momentului de forta P relativ la punct Oşi determinaţi unghiurile cuprinse între vector M și axele sistemului:

Dacă puterea stă în avioane, apoi zo = 0 și pz = 0 (vezi poza de mai jos).

Moment de putere P în raport cu punctul (polul) O este:
Mx=0,
al meu = 0
Mo (P) \u003d Mz \u003d Pyxo - Pxy.

Marcaj cuplului:
plus (+) - rotația forței în jurul axei O în sensul acelor de ceasornic,
minus (-) - rotația forței în jurul axei O în sens invers acelor de ceasornic.

Notând momentul de forță relativ la axele , și , putem scrie:

unde , și module de proiecții ale forțelor pe plane perpendiculare pe axa față de care este determinat momentul; l - umerii egali ca lungime

perpendiculare de la punctul de intersecție a axei cu planul până la proiecție sau continuarea acesteia; semnul plus sau minus este plasat în funcție de direcția în care se întoarce umărul l vectorul de proiecție, dacă priviți planul de proiecție din direcția pozitivă a axei; când vectorul de proiecție tinde să rotească brațul în sens invers acelor de ceasornic, suntem de acord să considerăm momentul ca pozitiv și invers.

Prin urmare, moment de forță în jurul axei numită mărime algebrică (scalară) egală cu momentul proiecției forței pe un plan perpendicular pe axă, raportat la punctul de intersecție a axei cu planul.

Figura anterioară ilustrează succesiunea determinării momentului de forță în jurul axei Z. Dacă forța este dată și axa este selectată (sau specificată), atunci: a) este selectat un plan perpendicular pe axă (planul XOY) ; b) se proiectează forţa F pe acest plan şi se determină modulul acestei proiecţii; c) din punctul 0 al intersecției axei cu planul se coboară perpendiculara OS pe proiecție și se determină umărul l = OS; d) privind planul XOU din direcția pozitivă a axei Z (adică, în acest caz, de sus), vedem că OS este rotit de vector contra cronometru, ceea ce înseamnă

Momentul forței în jurul axei este zero dacă forța și axa se află în același plan: a) forța intersectează axa (în acest caz l = 0);

b) forța este paralelă cu axa ();

c) forța acționează de-a lungul axei ( l=0 și ).

Sistem spațial de forțe localizate în mod arbitrar.

Stare de echilibru

Anterior, procesul de aducere a forțelor la un punct a fost descris în detaliu și s-a dovedit că orice sistem plat de forțe se reduce la o forță - vectorul principal și o pereche, al cărui moment se numește momentul principal și forța. iar perechea echivalentă cu acest sistem de forțe acționează în același plan cu sistemul dat. Aceasta înseamnă că, dacă momentul principal este reprezentat ca un vector, atunci vectorul principal și momentul principal al unui sistem plan de forțe sunt întotdeauna perpendiculare unul pe celălalt.

Argumentând în mod similar, se poate aduce în mod constant la punctul de forță al sistemului spațial. Dar acum vectorul principal este vectorul de închidere al poligonului forței spațiale (mai degrabă decât plat); momentul principal nu mai poate fi obținut prin adăugarea algebrică a momentelor acestor forțe față de punctul de reducere. Când sunt reduse la un punct al unui sistem spațial de forțe, perechile atașate acționează în planuri diferite și este indicat să-și reprezinte momentele sub formă de vectori și să le adunăm geometric. Prin urmare, vectorul principal (suma geometrică a forțelor sistemului) și momentul principal (suma geometrică a momentelor forțelor raportate la punctul de reducere) obținute ca urmare a reducerii sistemului spațial de forțe, în general, nu sunt perpendiculare între ele.

Egalități vectoriale și exprimă condiția necesară și suficientă pentru echilibrul unui sistem spațial de forțe situate arbitrar.

Dacă vectorul principal este egal cu zero, atunci proiecțiile sale pe trei axe reciproc perpendiculare sunt, de asemenea, egale cu zero. Dacă momentul principal este egal cu zero, atunci trei dintre componentele sale de pe aceeași axă sunt egale cu zero.

Aceasta înseamnă că un sistem spațial arbitrar de forțe este determinabil static numai dacă numărul de necunoscute nu depășește șase.

Printre problemele staticii se numara adesea acelea in care asupra corpului actioneaza un sistem spatial de forte paralele intre ele.

Într-un sistem spațial de forțe paralele, nu ar trebui să existe mai mult de trei necunoscute, altfel problema devine static nedeterminată.

Capitolul 6

Concepte de bază de cinematică

Ramura mecanicii care studiaza miscarea corpurilor materiale fara a lua in considerare masele lor si fortele care actioneaza asupra lor se numeste cinematică.

Mişcare- principala formă de existență a întregii lumi materiale, pace și echilibru- cazuri speciale.

Orice mișcare, inclusiv mișcarea mecanică, are loc în spațiu și timp.

Toate corpurile constau din puncte materiale. Pentru a vă face o idee corectă despre mișcarea corpurilor, trebuie să începeți să studiați cu mișcarea unui punct. Mișcarea unui punct în spațiu este exprimată în metri, precum și în unități submultiple (cm, mm) sau multiple (km) de lungime, timp - în secunde. În practică sau în situații de viață, timpul este adesea exprimat în minute sau ore. Când luăm în considerare una sau alta mișcare a unui punct, timpul se numără de la un anumit moment inițial prestabilit ( t= 0).

Locul pozițiilor unui punct în mișcare în cadrul de referință luat în considerare este numit traiectorie. După tipul de traiectorie, mișcarea unui punct este împărțită în rectilinieȘi curbilinii. Traiectoria unui punct poate fi definită și prestabilită. De exemplu, traiectoriile sateliților artificiali Pământului și ale stațiilor interplanetare sunt calculate în avans, sau dacă luăm autobuze care se deplasează în jurul orașului ca puncte materiale, atunci sunt cunoscute și traiectoriile (rutele) acestora. În astfel de cazuri, poziția unui punct în fiecare moment de timp este determinată de distanța (coordonata arcului) S, adică. lungimea secțiunii traiectoriei, socotită din unele dintre punctele sale fixe, luate ca origine. Numărarea distanțelor de la începutul traiectoriei poate fi efectuată în ambele direcții, prin urmare, numărarea într-o direcție este considerată condiționat ca pozitivă, iar în

opus - pentru negativ , acestea. distanța S este o mărime algebrică. Poate fi pozitiv (S > 0) sau negativ (S<0).

Când se mișcă, un punct pentru o anumită perioadă de timp trece cale L , care se măsoară de-a lungul căii în direcția de mers.

Dacă punctul a început să se miște nu de la originea O, ci de la o poziție la distanța inițială S o atunci

Se numește mărimea vectorială care caracterizează la un moment dat direcția și viteza mișcării unui punct viteză.

Viteza unui punct în orice moment al mișcării sale este direcționată tangențial la traiectorie.

Rețineți că această egalitate vectorială caracterizează doar poziția și modulul vitezei medii în timp:

unde este calea parcursă de punctul în timp.

Modulul vitezei medii este egal cu distanța parcursă împărțit la timpul în care a fost parcursă această cale.

Se numește mărimea vectorială care caracterizează viteza de schimbare a direcției și valoarea numerică a vitezei accelerare.

Cu mișcare uniformă de-a lungul unei traiectorii curbilinii, punctul are și accelerație, deoarece în acest caz se schimbă și direcția vitezei.

Unitatea de accelerație este de obicei luată ca .

6.2. Metode de precizare a mișcării unui punct

Există trei moduri: natural, coordona, vector.

Modul natural de a specifica mișcarea unui punct. Dacă pe lângă traiectoria pe care este marcată originea O, dependenţa

între distanța S și timpul t, această ecuație se numește legea mișcării unui punct de-a lungul unei traiectorii date.

Să fie dată, de exemplu, o traiectorie, mișcarea unui punct de-a lungul căreia este determinată de ecuația . Apoi, la timp, i.e. punctul este la originea O; la un moment dat, punctul se află la o distanţă; la un moment dat, punctul se află la o distanță de originea O.

Metoda de coordonare de specificare a mișcării punctului. Când traiectoria unui punct nu este cunoscută în prealabil, poziția punctului în spațiu este determinată de trei coordonate: abscisa X, ordonata Y și aplicata Z.

Sau excluzând timpul.

Aceste ecuații exprimă legea mișcării unui punct dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular (OXYZ).

În cazul particular, dacă punctul se mișcă într-un plan, legea mișcării punctului este exprimată prin două ecuații: sau .

De exemplu. Mișcarea unui punct într-un sistem de coordonate plan este dată de ecuațiile și ( XȘi Y– cm, t – c). Apoi la timp și , i.e. punctul este la origine; la un moment dat coordonatele punctului , ; la un moment dat coordonatele punctului , etc.

Cunoscând legea mișcării unui punct dintr-un sistem de coordonate dreptunghiular, se poate determina ecuația traiectoriei punctului.

De exemplu, eliminând timpul t din ecuațiile de mai sus și , obținem ecuația traiectoriei . După cum puteți vedea, în acest caz punctul se mișcă de-a lungul unei linii drepte care trece prin origine.

6.3. Determinarea vitezei unui punct în mod natural
sarcinile mișcării ei

Fie că punctul A se mișcă pe o traiectorie dată conform ecuației, este necesar să se determine viteza punctului la momentul t.

Pentru o perioadă de timp, punctul a parcurs o cale , se numește valoarea vitezei medii pe această cale tangentă, sau accelerația tangențială. Modulul de accelerație tangențială

,

egală cu derivata vitezei la un moment dat în timp, sau, în caz contrar, derivata a doua a distanței în timp, caracterizează viteza de modificare a valorii vitezei.

Se dovedește că vectorul este perpendicular pe tangente în orice moment, așa că se numește accelerație normală.

Aceasta înseamnă că modulul de accelerație normală este proporțional cu a doua putere a modulului de viteză la un moment dat, invers proporțional cu raza de curbură a traiectoriei la un punct dat și caracterizează viteza de schimbare a direcției vitezei. .

Modul de accelerare