Exemple de proiecție punctuală. Proiectarea unui punct pe trei planuri de proiecție. Ecuația unei drepte pentru spații bidimensionale și tridimensionale

Un punct, ca concept matematic, nu are dimensiuni. Evident, dacă obiectul de proiecție este un obiect cu dimensiune zero, atunci vorbirea despre proiecția sa este lipsită de sens.

Fig. 9 Fig. 10

În geometrie, sub un punct, este indicat să luați un obiect fizic cu dimensiuni liniare. În mod convențional, o minge cu o rază infinit de mică poate fi luată ca punct. Cu o astfel de interpretare a conceptului de punct, se poate vorbi despre proiecțiile acestuia.

Când construim proiecții ortogonale ale unui punct, ar trebui să ne ghidăm după prima proprietate invariantă a proiecției ortogonale: proiecția ortogonală a unui punct este un punct.

Poziția unui punct în spațiu este determinată de trei coordonate: X, Y, Z, arătând valorile distanțelor la care punctul este îndepărtat din planurile de proiecție. Pentru a determina aceste distanțe, este suficient să determinați punctele de întâlnire ale acestor drepte cu planurile de proiecție și să măsurați valorile corespunzătoare, care vor indica valorile abscisei, respectiv X, ordonate Yși aplicații Z puncte (fig. 10).

Proiecția unui punct este baza perpendicularei căzute din punct pe planul de proiecție corespunzător. Proiecție orizontală puncte A se numește proiecție dreptunghiulară a unui punct pe planul orizontal de proiecție, proiecție frontală a /- respectiv pe planul frontal al proiecţiilor şi profil a // - pe planul de profil al proiecţiilor.

Direct Aaaa /și Aa // se numesc linii proiectante. Mai mult, dreapta Aa, punct de proiectare A pe planul orizontal de proiecție, numit linie dreaptă proiectată orizontal, Аa /și Aa //- respectiv: frontalși linii drepte care proiectează profil.

Două linii proeminente care trec printr-un punct A definiți planul, care este de obicei numit proiectand.

La transformarea unui aspect spațial, proiecția frontală a punctului A - a / rămâne pe loc, ca aparținând unui plan, care nu își schimbă poziția în timpul transformării luate în considerare. proiecție orizontală - Aîmpreună cu planul orizontal de proiecție se vor roti în direcția de mișcare în sensul acelor de ceasornic și vor fi situate la una perpendiculară pe axa X cu proiecție frontală. proiecție profil - A // se va roti împreună cu planul profilului și până la sfârșitul transformării va lua poziția prezentată în Figura 10. În acest caz - A // va aparține perpendicular pe ax Z trase din punct A /și va fi îndepărtat de pe axă Z aceeași distanță ca și proiecția orizontală Aîndepărtat de pe axă X... Prin urmare, legătura dintre proiecțiile orizontale și de profil ale unui punct poate fi stabilită folosind două segmente ortogonale aa yși a da //și arcul de cerc care le unește cu centrul în punctul de intersecție a axelor ( O- origine). Conexiunea marcată este folosită pentru a găsi proiecția lipsă (pentru două date date). Poziția proiecției profilului (orizontală) conform proiecțiilor orizontale (profilului) și frontală date poate fi găsită folosind o linie dreaptă trasată la un unghi de 45 0 de la origine la axă. Y(această bisectoare se numește linie dreaptă k- constanta lui Monge). Prima dintre aceste metode este de preferat ca fiind mai precisă.

Prin urmare:

1. Punct din spațiu eliminat:

din planul orizontal H Z,

din planul frontal V prin valoarea coordonatei date Y,

din planul profilului W prin valoarea coordonatei. X.

2. Două proiecții ale oricărui punct aparțin aceleiași perpendiculare (o linie de comunicație):

orizontal și frontal - perpendicular pe ax X,

orizontală și profil - perpendicular pe axa Y,

frontală și de profil - perpendicular pe axa Z.

3. Poziția unui punct în spațiu este complet determinată de poziția celor două proiecții ortogonale ale sale. Prin urmare - oricare două proiecții ortogonale date ale unui punct pot fi întotdeauna folosite pentru a construi a treia proiecție lipsă.

Dacă un punct are trei coordonate definite, atunci se numește un astfel de punct punct de poziţie generală. Dacă un punct are una sau două coordonate de zero, atunci se numește un astfel de punct punct al unei anumite poziții.

Orez. 11 Fig. 12

Figura 11 oferă un desen spațial al punctelor unei anumite poziții, Figura 12 - un desen complex (diagrame) a acestor puncte. Punct A aparține planului frontal al proiecțiilor, punct V- plan orizontal de proiectie, punct CU- planul de profil al proiecţiilor şi punctului D- axele de abscisă ( X).

Aparat de proiectie

Dispozitivul de proiecție (Fig. 1) include trei planuri de proiecție:

π 1 - plan orizontal al proiecțiilor;

π 2 - plan de proiecție frontală;

π 3- planul de profil al proiecţiilor .

Planurile de proiecție sunt situate reciproc perpendicular ( π 1^ π 2^ π 3), iar liniile lor de intersecție formează axele:

Intersectia avioanelor π 1și π 2 formează o axă 0X (π 1∩ π 2 = 0X);

Intersectia avioanelor π 1și π 3 formează o axă 0Y (π 1∩ π 3 = 0Y);

Intersectia avioanelor π 2și π 3 formează o axă 0Z (π 2∩ π 3 = 0Z).

Punctul de intersecție al axelor (ОХ∩OY∩OZ = 0) este considerat a fi originea (punctul 0).

Deoarece planele și axele sunt reciproc perpendiculare, acest aparat este similar cu sistemul de coordonate carteziene.

Planurile de proiecție sunt împărțite în opt octanți (în Fig. 1 sunt desemnați cu cifre romane). Planurile de proiecție sunt considerate opace, iar privitorul este mereu în interior eu-al-lea octant.

Proiecție ortogonală cu centre de proiecție S 1, S 2și S 3 respectiv pentru planurile de proiecție orizontală, frontală și de profil.

A.

Din centrele de proiecție S 1, S 2și S 3 ies fasciculele de proiectie l 1, l 2și l 3 A

- A 1 A;

- A 2- proiecția frontală a unui punct A;

- A 3- proiecția profilului punctului A.

Un punct din spațiu este caracterizat de coordonatele sale A(x, y, z). Puncte A x, Ayși A z respectiv pe axe 0X, 0Yși 0Z arata coordonatele X yși z puncte A... În fig. 1 oferă toate denumirile necesare și arată conexiunile dintre punct A spațiul, proiecțiile și coordonatele acestuia.

Grafice de puncte

Pentru a obține o diagramă a unui punct A(Fig. 2), în aparatul de proiecție (Fig. 1) planul π 1 A 1 0X π 2... Apoi avionul π 3 cu proiecție punctuală A 3, rotiți în sens invers acelor de ceasornic în jurul axei 0Z, înainte de a-l alinia cu planul π 2... Direcția de rotație a planurilor π 2și π 3 prezentată în fig. 1 cu săgeți. Mai mult, direct A 1 A xși A 2 A x 0X perpendicular A 1 A 2 si drept A 2 A xși A 3 A x vor fi situate pe o comună cu axa 0Z perpendicular A 2 A 3... În cele ce urmează, aceste linii vor fi numite, respectiv. vertical și orizontală linii de legătură.

Trebuie remarcat faptul că în trecerea de la aparatul de proiecție la diagramă, obiectul proiectat dispare, dar toate informațiile despre forma sa, dimensiunile geometrice și poziția sa în spațiu sunt păstrate.

A(x A, y A, z Ax A, y Ași z Aîn următoarea secvență (Fig. 2). Această secvență se numește tehnica de reprezentare a punctelor.

1. Axele sunt desenate ortogonal BOU, OYși OZ.

2. Pe axă BOU x A puncte Ași obțineți poziția punctului A x.

3. Prin punct A x perpendicular pe axa BOU

A xîn direcția axei OY valoarea numerică a coordonatei este amânată y A puncte A A 1 pe diagramă.

A xîn direcția axei OZ valoarea numerică a coordonatei este amânată z A puncte A A 2 pe diagramă.

6. Prin punct A 2 paralel cu axa BOU se trasează o linie orizontală de comunicare. Intersecția acestei linii și axa OZ va da poziția punctului A z.

7. Pe linia orizontală de comunicare din punct A zîn direcția axei OY valoarea numerică a coordonatei este amânată y A puncte A iar poziţia proiecţiei de profil a punctului este determinată A 3 pe diagramă.

Caracteristicile punctului

Toate punctele din spațiu sunt împărțite în puncte de prevederi speciale și generale.

Puncte de poziție private. Punctele care aparțin mașinii de proiecție se numesc puncte de poziție private. Acestea includ puncte aparținând planurilor de proiecție, axelor, originii și centrelor de proiecție. Trăsăturile caracteristice ale punctelor unei anumite poziții sunt:

Metamatematice - una, două sau toate valorile numerice ale coordonatelor sunt egale cu zero și (sau) infinit;

Pe diagramă - două sau toate proiecțiile unui punct sunt situate pe axe și (sau) sunt situate la infinit.

Puncte de pozitie generala. Punctele de poziție generală sunt puncte care nu aparțin aparatului de proiecție. De exemplu, punct Aîn fig. 1 și 2.

În cazul general, valorile numerice ale coordonatelor unui punct caracterizează distanța acestuia față de planul de proiecție: coordonata X din avion π 3; coordona y din avion π 2; coordona z din avion π 1... Trebuie remarcat faptul că semnele de la valorile numerice ale coordonatelor indică direcția în care punctul este îndepărtat din planurile de proiecție. În funcție de combinația de semne la valorile numerice ale coordonatelor unui punct, depinde în ce octan se află.

Metoda cu două imagini

În practică, pe lângă metoda de proiecție completă, se folosește metoda a două imagini. Diferă prin faptul că această metodă exclude a treia proiecție a obiectului. Pentru a obține un aparat de proiecție folosind metoda a două imagini, un plan de proiecție de profil cu centrul său de proiecție este exclus din aparatul de proiecție complet (Fig. 3). În plus, pe axă 0X originea este atribuită (punctul 0 ) și de la acesta perpendicular pe ax 0Xîn planuri de proiecţie π 1și π 2 trage axele 0Yși 0Z respectiv.

În acest aparat, întregul spațiu este împărțit în patru cadrane. În fig. 3 sunt desemnate cu cifre romane.

Planurile de proiecție sunt considerate opace, iar privitorul este mereu în interior eu cadranul.

Să luăm în considerare funcționarea dispozitivului folosind exemplul de proiecție a unui punct A.

Din centrele de proiecție S 1și S 2 ies fasciculele de proiectie l 1și l 2... Aceste raze trec prin punct Ași care se intersectează cu planurile de proiecție formează proiecțiile sale:

- A 1- proiecția orizontală a unui punct A;

- A 2- proiecția frontală a unui punct A.

Pentru a obține o diagramă a unui punct A(Fig. 4), în aparatul de proiecție (Fig. 3) planul π 1 cu proiecţia obţinută a punctului A 1 rotiți în sensul acelor de ceasornic în jurul axei 0X, înainte de a-l alinia cu planul π 2... Direcția de rotație a planului π 1 prezentată în fig. 3 săgeți. În acest caz, pe graficul unui punct obținut prin metoda a două imagini, rămâne doar una vertical linie de comunicare A 1 A 2.

În practică, trasarea unui punct A(x A, y A, z A) se efectuează în funcție de valorile numerice ale coordonatelor sale x A, y Ași z Aîn următoarea secvență (fig. 4).

1. Se desenează o axă BOUși originea este atribuită (punctul 0 ).

2. Pe axă BOU valoarea numerică a coordonatei este amânată x A puncte Ași obțineți poziția punctului A x.

3. Prin punct A x perpendicular pe axa BOU se trasează o linie verticală de comunicare.

4. Pe linia verticală de comunicare din punct A xîn direcția axei OY valoarea numerică a coordonatei este amânată y A puncte A iar poziţia proiecţiei orizontale a punctului este determinată A 1 OY nu este reprezentat grafic, dar se presupune că valorile sale pozitive sunt situate sub axă BOU iar cele negative sunt mai mari.

5. Pe linia de comunicație verticală din punct A xîn direcția axei OZ valoarea numerică a coordonatei este amânată z A puncte A iar poziţia proiecţiei frontale a punctului este determinată A 2 pe diagramă. Trebuie remarcat faptul că pe diagramă axa OZ nu este reprezentat grafic, dar se presupune că valorile sale pozitive sunt situate deasupra axei BOU iar cele negative sunt mai mici.

Puncte concurente

Punctele de pe o rază de proiecție se numesc puncte concurente. Au o proiecție comună în direcția razei de proiecție, adică. proiecțiile lor sunt identice. O trăsătură caracteristică a punctelor concurente din complot este coincidența identică a proiecțiilor lor cu același nume. Competiția constă în vizibilitatea acestor proiecții în raport cu observatorul. Cu alte cuvinte, în spațiu pentru observator, unul dintre puncte este vizibil, celălalt nu. Și, în consecință, în desen: una dintre proiecțiile punctelor concurente este vizibilă, iar proiecția celuilalt punct este invizibilă.

Pe modelul de proiecție spațială (Fig. 5) a două puncte concurente Ași V punct vizibil A după două caracteristici complementare reciproc. Judecând după lanț S 1 → A → B punct A mai aproape de observator decât de un punct V... Și, în consecință, - mai departe de planul de proiecție π 1(acestea. z A > z A).

Orez. Fig. 6

Dacă punctul în sine este vizibil A, atunci proiecția sa este și ea vizibilă A 1... În ceea ce privește proiecția care coincide cu aceasta B 1... Pentru claritate și, dacă este necesar, pe diagramă, proiecțiile invizibile ale punctelor sunt de obicei incluse între paranteze.

Să eliminăm punctele de pe model Ași V... Proiecțiile lor coincidente pe avion vor rămâne π 1și proiecții separate - pe π 2... Să lăsăm condiționat proiecția frontală a observatorului (⇩) situată în centrul proiecției S 1... Apoi de-a lungul lanțului de imagini ⇩ → A 2 → B 2 se va putea judeca asta z A > z Bși că punctul în sine este vizibil Ași proiecția acesteia A 1.

Luați în considerare punctele concurente într-un mod similar CUși D aparent relativ la planul π 2. Deoarece raza comună de proiecție a acestor puncte l 2 paralel cu axa 0Y, apoi semnul vizibilității punctelor concurente CUși D este definit de inegalitate y C> y D... Prin urmare, punctul Dînchis cu un punct CUși, în consecință, proiecția punctului D 2 vor fi acoperite de proiecția punctului C 2 la suprafata π 2.

Luați în considerare modul în care este determinată vizibilitatea punctelor concurente într-un desen compozit (Figura 6).

Pe baza proiecțiilor coincidente A 1≡ÎN 1 punctele în sine Ași V sunt pe o rază de proiecție paralelă cu axa 0Z... Aceasta înseamnă că coordonatele sunt supuse comparării z Ași z B aceste puncte. Pentru aceasta, folosim planul de proiecție frontală cu imagini punctuale separate. În acest caz z A > z B... De aici rezultă că proiecția vizibilă A 1.

Puncte Cși Dîn desenul complex considerat (Fig. 6) sunt de asemenea situate pe o rază proeminentă, dar numai paralelă cu axa 0Y... Prin urmare, din comparație y C> y D concluzionăm că proiecţia C 2 este vizibilă.

Regula generala. Vizibilitatea pentru proiecțiile coincidente ale punctelor concurente este determinată prin compararea coordonatelor acestor puncte în direcția razei comune de proiecție. Este vizibilă proiecția punctului în care această coordonată este mai mare. În acest caz, compararea coordonatelor se realizează pe planul de proiecție cu imagini separate ale punctelor.

Luați în considerare proiecția punctelor pe două plane, pentru care luăm două plane perpendiculare (Fig. 4), pe care le vom numi frontal și planuri orizontale. Linia de intersecție a acestor plane se numește axa de proiecție. Pe planurile considerate, proiectăm un punct A folosind o proiecție plană. Pentru a face acest lucru, este necesar să coborâți perpendicularele Aa și A din acest punct la planurile considerate.

Proiecția pe plan orizontal se numește proiecție orizontală puncte Ași proiecția A? pe plan frontal se numeste proiecție frontală.

Punctele care urmează să fie proiectate sunt de obicei notate în geometrie descriptivă folosind litere mari latine. A, B, C... Literele mici sunt folosite pentru a desemna proiecțiile orizontale ale punctelor. a, b, c... Proiecțiile frontale sunt indicate prin litere mici cu o contur în partea de sus a ?, b ?, c?…

Se folosește și desemnarea punctelor cu cifre romane I, II, ..., iar pentru proiecțiile lor - cu cifre arabe 1, 2 ... și 1 ?, 2? ...

Când rotiți planul orizontal cu 90 °, puteți obține un desen în care ambele planuri sunt în același plan (Fig. 5). Această imagine se numește diagramă de puncte.

Prin linii perpendiculare Aași huh? desenați un avion (fig. 4). Planul rezultat este perpendicular pe planurile frontale și orizontale, deoarece conține perpendiculare pe aceste planuri. Prin urmare, acest plan este perpendicular pe linia de intersecție a planurilor. Linia dreaptă rezultată intersectează planul orizontal într-o linie dreaptă aa x, iar planul frontal - în linie dreaptă huh? huh X. Drept aah și huh? huh x sunt perpendiculare pe axa de intersecție a planelor. Acesta este Aaah? este un dreptunghi.

La combinarea planurilor de proiecție orizontală și frontală Ași A? va fi situat pe aceeași perpendiculară pe axa de intersecție a planurilor, deoarece atunci când planul orizontal se rotește, perpendicularitatea segmentelor aa x și huh? huh x nu va fi încălcat.

Obținem asta pe diagrama de proiecție Ași A? un moment dat A se află întotdeauna pe aceeași perpendiculară pe axa de intersecție a planelor.

Două proiecții a și A? un punct A își poate determina în mod unic poziția în spațiu (Fig. 4). Acest lucru este confirmat de faptul că la construirea perpendicularei din proiecția a pe planul orizontal, aceasta va trece prin punctul A. În același mod, perpendiculara din proiecție A? spre planul frontal va trece prin punct A, adică punctul A este situat simultan pe două linii definite. Punctul A este punctul lor de intersecție, adică este definit.

Luați în considerare un dreptunghi Aaa X A?(Fig. 5), pentru care următoarele afirmații sunt adevărate:

1) Distanța punctului A din planul frontal este egală cu distanța proiecției sale orizontale a față de axa de intersecție a planurilor, adică.

huh? = aa X;

2) distanta punctuala A față de planul orizontal de proiecție este egală cu distanța proiecției sale frontale A? din axa de intersectie a planelor, i.e.

Aa = huh? huh X.

Cu alte cuvinte, chiar și fără punctul în sine de pe diagramă, folosind doar două dintre proiecțiile sale, puteți afla la ce distanță de fiecare dintre planurile de proiecție se află un anumit punct.

Intersecția a două planuri de proiecție împarte spațiul în patru părți, care se numesc sferturi(fig. 6).

Axa de intersecție a planurilor împarte planul orizontal în două sferturi - față și spate, iar planul frontal - în sferturi superioare și inferioare. Partea superioară a planului frontal și partea frontală a planului orizontal sunt considerate a fi limitele primului sfert.

La primirea diagramei, planul orizontal se rotește și este aliniat cu planul frontal (Fig. 7). În acest caz, partea din față a planului orizontal va coincide cu partea inferioară a planului frontal, iar partea din spate a planului orizontal - cu partea superioară a planului frontal.

Figurile 8-11 prezintă punctele A, B, C, D situate în diferite sferturi de spațiu. Punctul A este situat în primul trimestru, punctul B în al doilea, punctul C în al treilea și punctul D în al patrulea.

Când punctele sunt situate în primul sau al patrulea trimestru, lor proiecții orizontale sunt în fața planului orizontal, iar pe parcelă se vor afla sub axa de intersecție a planurilor. Când un punct este situat în al doilea sau al treilea trimestru, proiecția sa orizontală se va afla pe spatele planului orizontal, iar pe diagramă se va afla deasupra axei de intersecție a planurilor.

Proiecții frontale punctele care sunt situate în primul sau al doilea sferturi se vor afla în partea superioară a planului frontal, iar pe parcelă se vor afla deasupra axei de intersecție a planurilor. Când un punct este situat în al treilea sau al patrulea sfert, proiecția sa frontală este sub axa de intersecție a planurilor.

Cel mai adesea, în construcțiile reale, figura este plasată în primul sfert al spațiului.

În unele cazuri speciale, punctul ( E) se poate întinde pe un plan orizontal (Fig. 12). În acest caz, proiecția sa orizontală e și punctul însuși vor coincide. Proiecția frontală a unui astfel de punct va fi situată pe axa de intersecție a planurilor.

În cazul în care punctul LA se află pe planul frontal (Fig. 13), proiecția sa orizontală k se află pe axa de intersecție a planurilor și frontală k? arată locația reală a acestui punct.

Pentru astfel de puncte, un semn că se află pe unul dintre planurile de proiecție este că una dintre proiecțiile sale se află pe axa de intersecție a planurilor.

Dacă un punct se află pe axa de intersecție a planurilor de proiecție, el și ambele proiecții coincid.

Când un punct nu se află pe planurile de proiecție, se numește punct de poziţie generală... În cele ce urmează, dacă nu există note speciale, punctul luat în considerare este un punct în poziție generală.

2. Lipsa axei de proiecție

Pentru a clarifica primirea proiecțiilor unui punct pe model perpendicular pe planul de proiecție (Fig. 4), este necesar să luați o bucată de hârtie groasă sub forma unui dreptunghi alungit. Trebuie să fie îndoit între proiecții. Linia de pliere va reprezenta axa de intersecție a planurilor. Dacă, după aceea, bucata de hârtie îndoită este din nou îndreptată, obținem o diagramă similară cu cea prezentată în figură.

Combinând două planuri de proiecție cu planul de desen, nu puteți afișa linia de pliere, adică nu desenați axa de intersecție a planurilor pe diagramă.

Când construiți pe o parcelă, proiecțiile trebuie întotdeauna plasate Ași A? punctul A pe o linie verticală (Fig. 14), care este perpendiculară pe axa de intersecție a planelor. Prin urmare, chiar dacă poziția axei de intersecție a planurilor rămâne nedefinită, dar direcția acesteia este determinată, axa de intersecție a planurilor poate fi pe diagramă doar perpendiculară pe dreapta Ah?.

Dacă nu există o axă de proiecție pe graficul unui punct, ca în prima figură 14 a, puteți reprezenta poziția acestui punct în spațiu. Pentru a face acest lucru, trageți oriunde perpendicular pe o linie dreaptă Ah? axa de proiecție, ca în figura a doua (Fig. 14) și îndoiți desenul de-a lungul acestei axe. Dacă restabilim perpendicularele la puncte Ași A?înainte ca acestea să se intersecteze, puteți obține un punct A... Când schimbați poziția axei de proiecție, se obțin poziții diferite ale unui punct față de planurile de proiecție, dar incertitudinea în poziția axei de proiecție nu afectează poziția relativă a mai multor puncte sau figuri în spațiu.

3. Proiecții ale unui punct pe trei planuri de proiecție

Luați în considerare planul de profil al proiecțiilor. Proiecțiile pe două planuri perpendiculare determină de obicei poziția figurii și fac posibilă aflarea dimensiunii și formei sale reale. Dar sunt momente când două proiecții nu sunt suficiente. Apoi se aplică construcția celei de-a treia proiecții.

Al treilea plan de proiecție este desenat astfel încât să fie perpendicular pe ambele planuri de proiecție simultan (Fig. 15). Cel de-al treilea plan este de obicei numit profil.

În astfel de construcții se numește linia dreaptă comună a planurilor orizontale și frontale axă X , linia dreaptă comună a planurilor orizontale și de profil - axă la , iar linia dreaptă comună a planurilor frontale și de profil este axă z ... Punct O care aparține tuturor celor trei planuri se numește origine.

Figura 15a arată punctul Ași cele trei proiecții ale sale. Proiecția pe planul profilului ( A??) sunt numite proiecția profilului si denota A??.

Pentru a obține o diagramă a punctului A, care constă din trei proiecții a, a a, este necesar să tăiați triedrul format din toate planurile de-a lungul axei y (Fig. 15b) și să combinați toate aceste planuri cu planul de proiecție frontală. Planul orizontal trebuie rotit în jurul axei X, iar planul profilului este în jurul axei zîn direcția indicată de săgeata din figura 15.

Figura 16 arată poziția proiecțiilor huh?și A?? puncte A, rezultat din alinierea tuturor celor trei planuri cu planul desenului.

Ca rezultat al tăierii, axa y apare pe diagramă în două locuri diferite. Pe plan orizontal (Fig. 16), acesta ia o pozitie verticala (perpendiculara pe axa X), iar pe planul profilului - orizontal (perpendicular pe axa z).

Figura 16 prezintă trei proiecții huh?și A?? punctele A au o poziție strict definită pe diagramă și sunt supuse unor condiții clare:

Ași A? ar trebui să fie întotdeauna situat pe aceeași linie verticală perpendiculară pe axă X;

A?și A?? trebuie să fie întotdeauna pe aceeași linie orizontală perpendiculară pe axă z;

3) la desenarea printr-o proiecție orizontală și o linie orizontală și printr-o proiecție de profil A??- o linie dreaptă verticală, liniile drepte construite trebuie să se intersecteze pe bisectoarea unghiului dintre axele de proiecție, deoarece figura Oa la A 0 A n - pătrat.

Atunci când se realizează construcția a trei proiecții ale unui punct, este necesar să se verifice îndeplinirea tuturor celor trei condiții pentru fiecare punct.

4. Coordonatele punctului

Poziția unui punct în spațiu poate fi determinată folosind trei numere numite sale coordonate... Fiecare coordonată corespunde distanței unui punct față de un plan de proiecție.

Distanța punctului definită A la planul profilului este coordonata X, în care X = huh?(Fig. 15), distanța până la planul frontal este coordonatele y și y = huh?, iar distanța până la planul orizontal este coordonata z, în care z = aA.

În Figura 15, punctul A ocupă lățimea unui paralelipiped dreptunghiular, iar măsurătorile acestui paralelipiped corespund coordonatele acestui punct, adică fiecare dintre coordonate este prezentată în Figura 15 de patru ori, adică:

x = a?A = Oa x = a y a = a z a ?;

y = a?A = Oa y = a x a = a z a ?;

z = aA = Oa z = a x a? = a y a ?.

Pe diagramă (Fig. 16), coordonatele x și z apar de trei ori:

x = a z a? = Oa x = a y a,

z = a x a? = Oa z = a y a ?.

Toate segmentele care corespund coordonatei X(sau z) sunt paralele între ele. Coordona la este reprezentată de două ori de axa verticală:

y = Oa y = a x a

și de două ori - situate orizontal:

y = Oa y = a z a ?.

Această diferență a apărut datorită faptului că axa y este prezentă pe parcelă în două poziții diferite.

Trebuie remarcat faptul că poziția fiecărei proiecții este determinată pe diagramă de doar două coordonate, și anume:

1) orizontală - coordonate Xși la,

2) frontală - coordonate Xși z,

3) profil - coordonate lași z.

Utilizarea coordonatelor X yși z, puteți construi proiecții ale unui punct de pe parcelă.

Dacă punctul A este specificat prin coordonate, înregistrarea lor se determină după cum urmează: A ( X; y; z).

La construirea proiecţiilor punctului A trebuie să verificați îndeplinirea următoarelor condiții:

1) proiecție orizontală și frontală Ași A? X X;

2) proiecție frontală și de profil A?și A? trebuie situat pe aceeași perpendiculară pe axă zîntrucât au o coordonată comună z;

3) proiecție orizontală și, de asemenea, îndepărtată din axă X ca o proiecție de profil Aîndepărtat de pe axă z din moment ce proiecţia ah? si nu? au o coordonată comună la.

Dacă un punct se află în oricare dintre planurile de proiecție, atunci una dintre coordonatele sale este zero.

Când un punct se află pe axa de proiecție, cele două coordonate ale sale sunt zero.

Dacă un punct se află la origine, toate cele trei coordonatele sale sunt zero.

Când se rezolvă probleme geometrice în spațiu, apare adesea problema determinării distanței dintre un plan și un punct. În unele cazuri, acest lucru este necesar pentru o soluție cuprinzătoare. Această valoare poate fi calculată prin găsirea proiecției pe planul punctului. Să luăm în considerare această problemă mai detaliat în articol.

Ecuație pentru a descrie un avion

Înainte de a continua să luați în considerare întrebarea cum să găsiți proiecția unui punct pe un plan, ar trebui să vă familiarizați cu tipurile de ecuații care o definesc pe acestea din urmă în spațiul tridimensional. Mai multe detalii mai jos.

Ecuația generală care definește toate punctele care aparțin unui plan dat este următoarea:

A * x + B * y + C * z + D = 0.

Primii trei coeficienți sunt coordonatele vectorului, care se numește ghid pentru plan. Coincide cu normalul pentru el, adică este perpendicular. Acest vector este notat cu n¯ (A; B; C). Coeficientul liber D este determinat în mod unic din cunoașterea coordonatelor oricărui punct aparținând planului.

Conceptul proiecției unui punct și calculul acestuia

Să presupunem că un punct P (x 1; y 1; z 1) și un plan sunt date. Este definit de ecuația generală. Dacă trasăm o dreaptă perpendiculară de la P pe un plan dat, atunci este evident că acesta din urmă îl va intersecta într-un punct definit Q (x 2; y 2; z 2). Q se numește proiecția lui P pe planul în cauză. Lungimea segmentului PQ se numește distanța de la punctul P la plan. Astfel, PQ în sine este perpendicular pe plan.

Cum puteți găsi coordonatele proiecției unui punct pe un plan? Acest lucru nu este greu de făcut. În primul rând, trebuie să întocmiți o ecuație pentru o dreaptă care va fi perpendiculară pe plan. Îi va aparține punctul P. Deoarece vectorul normal n¯ (A; B; C) al acestei drepte trebuie să fie paralel, ecuația lui în forma corespunzătoare se va scrie după cum urmează:

(x; y; z) = (x 1; y 1; z 1) + λ * (A; B; C).

Unde λ este un număr real, care este de obicei numit un parametru al ecuației. Schimbându-l, puteți obține orice punct al dreptei.

După ce se scrie ecuația vectorială pentru dreapta perpendiculară pe plan, este necesar să se găsească un punct de intersecție comun pentru obiectele geometrice luate în considerare. Coordonatele sale vor fi proiecția lui P. Deoarece trebuie să satisfacă ambele egalități (pentru o dreaptă și pentru un plan), problema se reduce la rezolvarea sistemului de ecuații liniare corespunzător.

Conceptul de proiecție este adesea folosit atunci când se studiază desenele. Ele descriu proiecțiile laterale și orizontale ale piesei pe planurile zy, zx și xy.

Calcularea distanței de la un plan la un punct

După cum sa menționat mai sus, cunoașterea coordonatelor proiecției pe planul unui punct vă permite să determinați distanța dintre ele. Folosind notația introdusă în secțiunea anterioară, constatăm că distanța necesară este egală cu lungimea segmentului PQ. Pentru a-l calcula, este suficient să găsiți coordonatele vectorului PQ¯ și apoi să calculați modulul acestuia folosind formula binecunoscută. Expresia finală pentru distanța d dintre punctul P și plan ia forma:

d = | PQ¯ | = √ ((x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2).

Valoarea d rezultată este prezentată în unitățile în care este specificat sistemul de coordonate carteziene curent xyz.

Sarcină de exemplu

Să presupunem că există un punct N (0; -2; 3) și un plan, care este descris de următoarea ecuație:

Este necesar să găsiți punctele proiecției pe plan și să calculați distanța dintre ele.

În primul rând, vom formula ecuația unei drepte care intersectează planul la un unghi de 90 o. Noi avem:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + λ * (2; -1; 1).

Scriind această egalitate în mod explicit, ajungem la următorul sistem de ecuații:

Înlocuind valorile coordonatelor din primele trei egalități în a patra, obținem valoarea λ, care determină coordonatele punctului comun al dreptei și al planului:

2 * (2 * λ) - (-2 - λ) + λ + 3 + 4 = 0 =>

6 * λ + 9 = 0 =>

λ = 9/6 = 3/2 = 1,5.

Înlocuiți parametrul găsit în și găsiți coordonatele proiecției punctului inițial pe plan:

(x; y; z) = (0; -2; 3) + 1,5 * (2; -1; 1) = (3; -3,5; 4,5).

Pentru a calcula distanța dintre obiectele geometrice specificate în enunțul problemei, aplicăm formula pentru d:

d = √ ((3 - 0) 2 + (-3,5 + 2) 2 + (4,5 - 3) 2) = 3,674.

În această sarcină, am arătat cum să găsim proiecția unui punct pe un plan arbitrar și cum să calculăm distanța dintre ele.

Studiul proprietăților figurilor în spațiu și pe un plan este imposibil fără a cunoaște distanțele dintre un punct și obiecte geometrice precum o dreaptă și un plan. În acest articol, vom arăta cum să găsim aceste distanțe, luând în considerare proiecția unui punct pe un plan și pe o dreaptă.

Ecuația unei drepte pentru spații bidimensionale și tridimensionale

Calculul distanțelor unui punct la o dreaptă și un plan se realizează folosind proiecția acestuia pe aceste obiecte. Pentru a putea găsi aceste proiecții, ar trebui să știți sub ce formă sunt date ecuațiile pentru drepte și plane. Să începem cu primele.

O linie dreaptă este o colecție de puncte, fiecare dintre acestea putând fi obținute de la precedentul prin transferarea la vectori paraleli între ei. De exemplu, există un punct M și N. Vectorul MN¯ care le conectează mapează M la N. Există, de asemenea, un al treilea punct P. Dacă vectorul MP¯ sau NP¯ este paralel cu MN¯, atunci toate cele trei puncte se află pe aceeași linie dreaptă și formați-o.

În funcție de dimensiunea spațiului, ecuația care definește linia dreaptă își poate schimba forma. Deci, binecunoscuta dependență liniară a coordonatei y de x în spațiu descrie un plan care este paralel cu a treia axă z. În acest sens, în acest articol vom lua în considerare doar ecuația vectorială pentru linia dreaptă. Are același aspect pentru spațiul plan și tridimensional.

În spațiu, o linie dreaptă poate fi specificată prin următoarea expresie:

(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + α * (a; b; c)

Aici, valorile coordonatelor cu indici zero corespund unui punct aparținând dreptei, u¯ (a; b; c) sunt coordonatele vectorului de direcție care se află pe această dreaptă, α este un număr real arbitrar , schimbând care puteți obține toate punctele liniei drepte. Această ecuație se numește ecuație vectorială.

Adesea, ecuația de mai sus este scrisă într-o formă deschisă:

Într-un mod similar, puteți scrie ecuația pentru o dreaptă situată într-un plan, adică în spațiu bidimensional:

(x; y) = (x 0; y 0) + α * (a; b);

Ecuația plană

Pentru a putea găsi distanța de la un punct la planurile de proiecție, trebuie să știți cum este definit planul. La fel ca linia dreaptă, aceasta poate fi reprezentată în mai multe moduri. Aici vom lua în considerare doar una: ecuația generală.

Să presupunem că punctul M (x 0; y 0; z 0) aparține planului, iar vectorul n¯ (A; B; C) este perpendicular pe acesta, atunci pentru toate punctele (x; y; z) ale plan egalitatea va fi adevărată:

A * x + B * y + C * z + D = 0, unde D = -1 * (A * x 0 + B * y 0 + C * z 0)

Trebuie amintit că în această ecuație generală a planului, coeficienții A, B și C sunt coordonatele vectorului normal la plan.

Calculul distanțelor după coordonate

Înainte de a trece la luarea în considerare a proiecțiilor pe planul unui punct și pe o linie dreaptă, trebuie amintit cum trebuie calculată distanța dintre două puncte cunoscute.

Să fie două puncte spațiale:

A 1 (x 1; y 1; z 1) și A 2 (x 2; y 2; z 2)

Apoi, distanța dintre ele se calculează cu formula:

A 1 A 2 = √ ((x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2 + (z 2 -z 1) 2)

Această expresie este folosită și pentru a determina lungimea vectorului A 1 A 2 ¯.

Pentru cazul unui plan, când două puncte sunt date doar de o pereche de coordonate, se poate scrie o egalitate similară fără prezența unui termen cu z în el:

A 1 A 2 = √ ((x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2)

Acum vom lua în considerare diferite cazuri de proiecție pe un plan a unui punct pe o dreaptă și pe un plan în spațiu.

Punctul, linia și distanța dintre ele

Să presupunem că există un punct și o linie dreaptă:

P2 (x 1; y 1);

(x; y) = (x 0; y 0) + α * (a; b)

Distanța dintre aceste obiecte geometrice va corespunde lungimii vectorului, începutul căruia se află în punctul P 2, iar sfârșitul se află într-un astfel de punct P pe linia dreaptă specificată, pentru care vectorul P 2 P ¯ de această dreaptă este perpendiculară. Punctul P se numește proiecția punctului P 2 pe dreapta luată în considerare.

Mai jos este o figură care arată un punct P 2, distanța sa d la o linie dreaptă și un vector de direcție v 1 ¯. De asemenea, un punct arbitrar P 1 este ales pe linie dreaptă și un vector este trasat de la acesta la P 2. Punctul P coincide aici cu locul în care perpendiculara intersectează dreapta.

Se poate observa că săgețile portocalii și roșii formează un paralelogram, ale cărui laturi sunt vectori P 1 P 2 ¯ și v 1 ¯, iar înălțimea este d. Din geometrie se știe că pentru a găsi înălțimea unui paralelogram, aria acestuia trebuie împărțită la lungimea bazei la care este coborâtă perpendiculara. Deoarece aria unui paralelogram este calculată ca produsul încrucișat al laturilor sale, obținem formula pentru calcularea d:

d = || / | v 1 ¯ |

Toți vectorii și coordonatele punctelor din această expresie sunt cunoscuți, așa că o puteți utiliza fără a efectua transformări.

Această problemă ar fi putut fi rezolvată altfel. Pentru a face acest lucru, scrieți două ecuații:

• produsul scalar al lui P 2 P ¯ cu v 1 ¯ trebuie să fie egal cu zero, deoarece acești vectori sunt reciproc perpendiculari;
• coordonatele punctului P trebuie să satisfacă ecuaţia dreptei.

Aceste ecuații sunt suficiente pentru a găsi coordonatele P și apoi lungimea d după formula dată în paragraful anterior.

Problema găsirii distanței dintre o linie și un punct

Să arătăm cum să folosim aceste informații teoretice pentru a rezolva o problemă specifică. Să presupunem că sunt cunoscute următoarele puncte și drepte:

(x; y) = (3; 1) - α * (0; 2)

Este necesar să găsiți punctele de proiecție pe o dreaptă din plan, precum și distanța de la M la linie dreaptă.

Să notăm proiecția care trebuie găsită prin punctul M 1 (x 1; y 1). Vom rezolva această problemă în două moduri, descrise în paragraful anterior.

Metoda 1. Vectorul de direcție v 1 ¯ coordonatele are (0; 2). Pentru a construi un paralelogram, selectați un punct aparținând dreptei. De exemplu, un punct cu coordonate (3; 1). Atunci vectorul celei de-a doua laturi a paralelogramului va avea coordonatele:

(5; -3) - (3; 1) = (2; -4)

Acum trebuie să calculați produsul vectorilor care definesc laturile paralelogramului:

Înlocuind această valoare în formulă, obținem distanța d de la M la linia dreaptă:

Metoda 2. Acum să găsim într-un mod diferit nu numai distanța, ci și coordonatele proiecției lui M pe o dreaptă, așa cum este cerut de condiția problemei. După cum am menționat mai sus, pentru a rezolva problema, este necesar să se compună un sistem de ecuații. Acesta va lua forma:

(x 1 -5) * 0 + (y 1 +3) * 2 = 0;

(x 1; y 1) = (3; 1) -α * (0; 2)

Rezolvam acest sistem:

Proiecția originii coordonatelor are M 1 (3; -3). Atunci distanța necesară este egală cu:

d = | MM 1 ¯ | = √ (4 + 0) = 2

După cum puteți vedea, ambele metode de rezolvare au dat același rezultat, ceea ce indică corectitudinea operațiilor matematice efectuate.

Proiectia punct la plan

Acum să luăm în considerare care este proiecția unui punct din spațiu pe un anumit plan. Este ușor de ghicit că această proiecție este și un punct, care, împreună cu cel original, formează un vector perpendicular pe plan.

Să presupunem că proiecția pe planul punctului M are următoarele coordonate:

Planul în sine este descris de ecuația:

A * x + B * y + C * z + D = 0

Pe baza acestor date, putem formula ecuația unei drepte care intersectează planul în unghi drept și care trece prin M și M 1:

(x; y; z) = (x 0; y 0; z 0) + α * (A; B; C)

Aici, variabilele cu indici zero sunt coordonatele punctului M. Poziția pe planul punctului M 1 poate fi calculată pe baza faptului că coordonatele acestuia trebuie să satisfacă ambele ecuații scrise. Dacă aceste ecuații sunt insuficiente pentru rezolvarea problemei, atunci se pot folosi condiția de paralelism MM 1 ¯ și vectorul direcție pentru un plan dat.

Evident, proiecția unui punct aparținând planului coincide cu ea însăși, iar distanța corespunzătoare este zero.

Problemă punct și plan

Fie dat un punct M (1; -1; 3) și un plan, care este descris de următoarea ecuație generală:

Calculați coordonatele proiecției pe planul punctului și calculați distanța dintre aceste obiecte geometrice.

Pentru început, construim ecuația unei drepte care trece prin M și perpendiculară pe planul indicat. Arată ca:

(x; y; z) = (1; -1; 3) + α * (- 1; 3; -2)

Să desemnăm punctul în care această dreaptă intersectează planul, M 1. Egalitățile pentru plan și linie dreaptă trebuie îndeplinite dacă coordonatele M 1 sunt substituite în ele. Notând în mod explicit ecuația unei linii drepte, obținem următoarele patru egalități:

X 1 + 3 * y 1 -2 * z 1 + 4 = 0;

y 1 = -1 + 3 * a;

Din ultima egalitate, obținem parametrul α, apoi îl substituim în penultima și în a doua expresie, obținem:

y 1 = -1 + 3 * (3-z 1) / 2 = -3 / 2 * z 1 + 3,5;

x 1 = 1 - (3-z 1) / 2 = 1/2 * z 1 - 1/2

Inlocuim expresia pentru y 1 si x 1 in ecuatia pentru plan, avem:

1 * (1/2 * z 1 - 1/2) + 3 * (- 3/2 * z 1 + 3,5) -2 * z 1 + 4 = 0

De unde obținem:

y 1 = -3 / 2 * 15/7 + 3,5 = 2/7;

x 1 = 1/2 * 15/7 - 1/2 = 4/7

Am stabilit că proiecția punctului M pe planul dat corespunde coordonatelor (4/7; 2/7; 15/7).

Acum să calculăm distanța | MM 1 ¯ |. Coordonatele vectorului corespunzător sunt:

MM 1 ¯ (-3/7; 9/7; -6/7)

Distanța necesară este egală cu:

d = | MM 1 ¯ | = √126 / 7 ≈ 1,6

Trei puncte de proiecție

În timpul fabricării desenelor, este adesea necesar să se obțină proiecții de secțiune pe trei planuri reciproc perpendiculare. Prin urmare, este util să luăm în considerare care vor fi proiecțiile unui punct M cu coordonate (x 0; y 0; z 0) pe trei planuri de coordonate.

Nu este greu de demonstrat că planul xy este descris de ecuația z = 0, planul xz corespunde expresiei y = 0, iar planul yz rămas este notat cu egalitatea x = 0. Este ușor de ghicit că proiecțiile unui punct pe 3 plane vor fi egale:

pentru x = 0: (0; y 0; z 0);

pentru y = 0: (x 0; 0; z 0);

pentru z = 0: (x 0; y 0; 0)

Unde este important să cunoaștem proiecția unui punct și distanța acestuia față de avioane?

Determinarea poziției proiecției punctelor pe un plan dat este importantă atunci când se găsesc cantități precum aria suprafeței și volumul pentru prisme și piramide înclinate. De exemplu, distanța de la vârful piramidei până la planul bazei este înălțimea. Acesta din urmă este inclus în formula pentru volumul acestei cifre.

Formulele și metodele luate în considerare pentru determinarea proiecțiilor și distanțelor de la un punct la o dreaptă și un plan sunt destul de simple. Este important doar să ne amintim formele corespunzătoare ale ecuațiilor planului și dreptei, precum și să aveți o bună imaginație spațială pentru a le aplica cu succes.