Un dispozitiv pentru determinarea curburii puțurilor. Suprafețele de bază ale spațiului și construcția lor Ecuații plane comune

unu). Tipuri de curbe p.3-4.

2). Numărul de rotații p. 4-6.

3). Bulge p.6-7.

4). Cea mai mare întrebare este p.7.

5). Micul desen animat p.8-10.

6). Curbe și ecuații p.11.

7). Exemple cu. 12.

opt). Referințe p.13

Câte curbe sunt pe pământ?

Această întrebare pare ciudată. Puteți desena o varietate de curbe de nedescris. Să cădem de acord mai întâi despre ceea ce vom lua în considerare. Aici ar trebui să ne ajute experiența de zi cu zi. O frânghie sau un fir bun rezistent nu are colțuri ascuțite. Prin urmare, vom studia doar curbele netede (fără nicio îndoire) desenate pe suprafața pământului. Astfel de curbe pot avea orice număr de puncte de auto-intersecție.

Tipuri de curbe

O curbă este un obiect matematic popular cu multe caracteristici interesante: curbură, lungime, număr de puncte de auto-intersecție, puncte de inflexiune etc. Toate merită studiate. (Unele dintre ele sunt descrise în articolul lui Tabachnikov „On Plane Curves” în „Quantum” nr. 11, 1988) Și care sunt importante pentru noi? Poate lungimea? Dar există încă prea multe curbe de aceeași lungime. Considerați că curbele cu aceeași curbură sunt aceleași? Atunci vor fi mai multe curbe diferite decât funcții - puțin prea mult... Pentru a nu mai ghici, să uităm de toate caracteristicile curbei deodată.

Vom înțelege expresia „curbele nu diferă foarte mult una de cealaltă literalmente și considerăm aceleași curbe care diferă în „perturbație mică”. Acum trebuie să numărăm oricare două curbe care pot fi deformate (trase) una în alta, astfel încât să rămână netede tot timpul sunt aceleași (Fig. 1). La urma urmei, o astfel de deformare poate fi descompusă într-o serie de „mișcări mici”. Vom numi astfel de curbe curbe de același tip.

Am eliminat orice diferență vizibilă între curbe. Este firesc să presupunem că, cu o convenție atât de naivă, toate curbele sunt de același tip. Acesta este cazul curbelor deschise. Imaginează-ți o frânghie întinsă pe pământ, care începe să se îndrepte la un capăt. O astfel de frânghie se va desfășura fără probleme într-o linie dreaptă (Fig. 2). Deci, este interesant de luat în considerare doar închisth curbe.

Acum sunteți gata să formulați o întrebare riguroasă de matematică:

Câte tipuri diferite de curbe închise există pe Pământ?

Această întrebare are multe variații și completări, conducându-ne la cea mai populară zonă a matematicii moderne. Acest lucru va fi discutat mai târziu, dar pentru moment, să considerăm Pământul plat.

Orez. 1. Fig. 2.

Orez. 3.

Numărul de revoluții

Încercați să deformați „opt” în zero.” S-a întâmplat? Apoi, pe drum, cu siguranță vei avea un vârf de lance (fig, 3). Este posibil să se deformeze astfel încât curba să rămână netedă? Se pare că este imposibil. Cum se poate dovedi acest lucru cu rigurozitate? Primul gând este să numărăm numărul de auto-intersecții ale curbei sau numărul de regiuni în care curba împarte planul. Dar aceste cifre se pot schimba. Am văzut deja în figura 1 cum curba în formă de opt a pierdut câteva puncte de auto-intersecție. Înseamnă că chiarviespifii tu însuți numereleOintersecții ramas neschimbat. (Adevărat, în primul moment, două puncte s-au transformat într-unul, dar ar trebui considerat ca o pereche îmbinată.) Situația este exact aceeași cu numărul de regiuni: ele se formează și dispar în perechi. Deci, „opt” și „zero” sunt de tipuri diferite. Poate că există doar două tipuri de curbe? Nimic de genul acesta.

Există infinite tipuri diferite de curbe închise pe un plan.

Pentru a demonstra aceasta prima noastră teoremă, asociem un număr natural cu fiecare curbă închisă din plan. Luați în considerare un punct care se mișcă de-a lungul unei curbe (vectorul său viteză atinge curba în fiecare moment de timp). De ceva timp, lăsați punctul să meargă în jurul întregii curbe și reveniți la poziția inițială.

Numărul de spire ale curbei vom numi numărul de rotații complete pe care le face vectorul viteză al acestui punct. (Nu contează în ce direcție se rotește vectorul. Depinde de direcția în care se mișcă punctul de-a lungul curbei.)

Viteza - invariabilă , adică nu se modifică atunci când curba este deformată. La urma urmei, acest număr nu se poate schimba brusc cu o „mică perturbare” a curbei, iar deformarea nu se poate modifica printr-un lanț de astfel de „perturbații”. În consecință, curbele cu viteze diferite sunt de diferite tipuri.

Există infinit de multe numere diferite, ceea ce înseamnă că există și curbe. Teorema este demonstrată.

De fapt, viteză- invariant unic curbă plată. Aceasta înseamnă că două curbe cu aceeași viteză sunt de același tip. Încercați să veniți singur cu o dovadă și, dacă nu funcționează, experimentați. Ca ultimă soluție, citiți „Quantum” nr. 4, 1983. Și ar fi bine să ne amintim că Pământul este o minge.

Și totuși se transformă...

Suprafața pământului este o sferă. Câte curbe sunt pe el? O sferă este un plan plus încă un punct (Fig. 4). Figura 4 este numită proiecție stereografică. Să facem o proiecție stereografică dintr-un punct care nu se află pe curbă. Apoi această curbă cade pe plan. Înseamnă asta „există tot atâtea tipuri de curbe pe o sferă ca și pe un plan?” Da, nu suntem departe de cei care cred cu adevărat că Pământul este plat. Iată răspunsul corect.

Există exact două tipuri diferite de curbe închise pe sferă.

Să legănăm dovada din imagine (fig. 5). După cum puteți vedea, RPM nu mai este stocat. Acesta este ceea ce distinge curbele pe o sferă de curbele dintr-un plan. După ce s-a „înfășurat” în jurul sferei, curba a pierdut două ture. Acum este ușor să faceți aceeași operație pe o curbă cu orice număr de rotații (trebuie doar să desenați câteva bucle oriunde pe curbele din Figura 5). Am obținut că orice curbă poate fi deformată într-una dintre curbele din Figura 6. Care depinde exact de paritatea numărului de rotații.

Dar cum să demonstrăm că curbele a) și 6) sunt de diferite tipuri nu numai în plan, ci și pe sferă? Într-adevăr, strict vorbind, numărul de revoluții în acest caz nu este deloc determinat. Paritatea deja familiară a numărului de auto-intersecție ajută. Pentru curba b) acest număr este impar, iar pentru curba a) este clar (egal cu zero).

Introducere

Clasificarea punctelor unei suprafețe regulate

Corpuri și suprafețe convexe

1 Concepte de bază

2 Curbură

4 Inflexibilitatea sferei

Suprafețele șai

3 Problema platoului

Concluzie

Bibliografie

Introducere

Această lucrare este dedicată prezentării studiului geometriei exterioare a suprafețelor cu un tip constant de puncte. Include întrebări legate de suprafețele convexe și de șa.

Problema acestui studiu are relevanță în lumea modernă. Acest lucru este dovedit de studiul frecvent al problemelor ridicate, multe lucrări fiind dedicate studiului lor. Practic, materialul prezentat în literatura de specialitate este de natură generală.

Geometrie diferențială de-a lungul secolului al XIX-lea. dezvoltat în strâns contact cu mecanica și analiza, în special cu teoria ecuațiilor cu diferențe parțiale. Întrucât în ​​această perioadă în analiză s-au tratat foarte mult chestiunile de integrare formală, atunci pentru geometria diferențială a existat o problematică firească a direcției formal-analitice. Obiectul principal al teoriei suprafețelor au fost suprafețele obișnuite considerate „în mic”.

În secolul XX, chiar și la începutul acestuia, întrebările de natură formală nu mai puteau fi considerate relevante pentru mecanică și analiză. Între timp, în teoria suprafețelor, majoritatea covârșitoare a studiilor au continuat încă tradițiile secolului al XIX-lea. Astfel, s-a format un decalaj între teoria clasică a suprafețelor, pe de o parte, și analiză și mecanică, pe de altă parte. Problemele mai moderne și metodele calitative de analiză și mecanică s-au dovedit a fi străine de teoria clasică a suprafețelor. Și în cadrul teoriei clasice a suprafețelor s-a conturat o nouă ramură, al cărei subiect a rămas suprafețe regulate, dar investigat „în ansamblu”; această ramură a fuzionat și cu analiza modernă. Dar aici este foarte important de remarcat următoarele: în timp ce acele departamente de geometrie „în mare”, unde au fost studiate proprietățile unei suprafețe solide, au de mult timp un sistem destul de dezvoltat de metode generale (cel puțin pentru suprafețele convexe), studiul deformațiilor de suprafață și conexiunile dintre ele proprietățile interne și externe („în general”) au fost fragmentare. Toate acestea se explică prin faptul că geometrii care au lucrat în domeniul geometriei „în mare” încă au abordat problemele acestei zone cu mijloacele analizei clasice, care în cele mai multe cazuri se dovedește a fi de puțin folos aici. Pentru dezvoltarea cu succes a unei teorii semnificative a suprafețelor, sa dovedit a fi imperativ să se construiască un sistem de metode generale directe pentru studierea proprietăților intrinseci ale unei suprafețe. Acest lucru a fost făcut de A. D. Aleksandrov (cu participarea studenților săi I. M. Lieberman și S. P. Olovyanishnikov). Suprafețele convexe reprezintă în mod natural un câmp deosebit de favorabil pentru beton și rezultate vizuale geometrice. Dar nu este vorba doar de rezultate individuale. Pentru dezvoltarea fiecărui departament de matematică este important nivelul general al problemelor și metodelor sale; important este ca acest nivel să corespundă progresului științei. Pentru dezvoltarea teoriei suprafețelor, este important ca aceasta să nu fie o disciplină izolată, de sine stătătoare. Studiile lui A.D. Aleksandrov, A.V. Pogorelov, A.L. Verner și alți matematicieni sunt tocmai pentru că sunt de mare importanță pentru teoria suprafețelor, deoarece deschid noi domenii de probleme și metode corespunzătoare în aceasta, care țin pasul cu liniile drepte. metode de analiză modernă.

Relevanța acestei lucrări se datorează, pe de o parte, interesului mare pentru această temă în știința modernă, pe de altă parte, dezvoltării sale insuficiente. Luarea în considerare a problemelor legate de acest subiect are o importanță atât teoretică, cât și practică.

Scopul cercetării este de a studia aspectele teoretice ale temei „Geometria exterioară a suprafețelor cu tip constant de puncte” din punctul de vedere al celor mai recente cercetări interne și externe pe probleme similare.

1. Clasificarea punctelor unei suprafețe regulate

Suprafața S dată de ecuația vectorială , vom suna -regular dacă în zona de setare a parametrilor D funcția are derivate continue de ordinul k (k 2) iar inegalitatea este valabilă în toate punctele domeniului D.

A doua formă pătratică a suprafeței S se numește produsul scalar al vectorilor și n:

. (1)

Este ușor de observat că în fiecare punct al suprafeței S forma (1) este o formă pătratică în raport cu diferențiale și .

Pentru coeficienții formei a doua pătratice se adoptă denumirile

care vă permite să-l scrieți sub următoarea formă:.

Fie S o suprafață regulată și este vectorul său de rază.

Alegeți pe suprafața S un punct și luați în considerare avionul care atinge suprafața S în acest punct.

Abaterea punctului arbitrar suprafața S din plan definim prin formula

, (2)

Unde este vectorul normal unitar la suprafață într-un punct.

Această abatere, luată în valoare absolută, este egală cu distanța de la punct randul de sus ... Abaterea este pozitivă dacă punct și sfârșitul vectorului culcați pe o parte a avionului și negativ dacă aceste puncte se află pe părți opuse ale planului (Figura 1).

Să trecem la formula (2). Diferență admite următoarea reprezentare:

unde la .

Să înmulțim scalar ambele părți ale egalității (3) cu un vector. Apoi, punând

înţelegem asta

. (4)

Rețineți că coeficienții și în formula (4) se calculează la punctul.

Așa că trebuie să respingem urmatoarea vedere:

, (5)

unde prin denotă a doua formă pătratică a suprafeței, calculată în punct și la .

Folosim formula obținută (5) pentru a studia structura suprafeței S în apropierea punctului.

Se calculează discriminantul celei de-a doua forme pătratice

la punct ... Următoarele cazuri sunt posibile.

) este semn definit.

Fixăm la punct o anumită direcție la suprafață; pentru certitudine.

Apoi orice altă direcție de pe suprafață în punct poate fi setat folosind un unghi , pe care o formează cu direcția aleasă (Fig. 2).

Sa punem. Atunci

(6)

Este ușor să arăți asta

unde este constanta

iar în virtutea condiţiei este pozitivă.

Astfel, inegalitatea

se realizează indiferent de alegerea unghiului.

Deoarece ordinul tinderii spre zero la al doilea mandat în partea dreaptă a formulei (5) este mai mare decât două, atunci din ultima estimare se poate trage următoarea concluzie.

Deviere păstrează semnul care coincide cu semnul celei de-a doua forme pătratice , pentru toate valorile suficient de mici indiferent de alegerea direcției pe suprafață.

Aceasta înseamnă că toate punctele suprafeței S care sunt suficient de aproape de punct sunt situate pe o parte a planului tangent suprafața S în acest punct. Un astfel de punct de pe suprafață se numește eliptic (Fig. 3)

) - a doua formă pătratică a suprafeţei în punct se alterneaza.

Să arătăm că în acest caz la punct puteți specifica două direcții coliniare pe suprafață cu următoarele proprietăți:

a) pentru valorile diferenţialelor care definesc aceste direcţii, a doua formă pătratică a suprafeţei, calculată în punctul , dispare;

b) toate celelalte direcții de pe suprafață în punct sunt împărțite în două clase - pentru diferențele care definesc direcțiile uneia dintre clase, a doua formă pătratică pozitiv și negativ pentru celălalt.

Lasă o direcție clasa pozitivă este dată de unghi ... În conformitate cu formula (6), avem

Unde .

După cum se poate observa din formula (5), semnul abaterii pentru toate valorile suficient de mici în direcția considerată coincide cu semnul celei de-a doua forme pătratice ... Prin urmare, dacă punctul suprafața S este suficient de aproape de punct , atunci această abatere este pozitivă.

Raționând într-un mod similar, puteți indica puncte de pe suprafață aproape de punct pentru care abaterea negativ (fig. 4).

Raționamentul de mai sus arată că aproape de punct , suprafața S este situată pe laturile opuse ale planului tangent ... În acest caz, proiecțiile punctelor suprafeței, ale căror abateri sunt pozitive, pe planul tangent completați setul indicat în figură (Fig. 5).

În cazul în cauză, punctul se numește punct hiperbolic al lui S.

) , dar cel puțin unul dintre coeficienți este diferit de zero.

Lăsați pentru certitudine ... Apoi a doua formă pătratică a suprafeței S în punctul se poate scrie astfel:

Astfel, în funcție de zodie formă sau nenegativ ( ) sau nepozitiv ( ). Mai mult, pe suprafața S în punctul puteți specifica direcția , astfel încât diferențele definitorii și inversează a doua formă pătratică la zero. Pentru toate celelalte direcții de pe suprafață la punct formă are același semn (coincidend cu semnul) (Fig. 6).

În acest caz, ideea se numește punct parabolic al lui S.

Un astfel de punct se numește punctul de aplatizare al suprafeței. Locația punctelor suprafeței apropiate de punctul de aplatizare în raport cu planul tangent al suprafeței în acest punct poate fi extrem de diversă (Fig. 7).

În funcție de tipul de puncte, se disting următoarele tipuri de suprafețe:

· dacă toate punctele suprafeței sunt eliptice, atunci suprafața este convexă;

· dacă toate punctele suprafeței sunt hiperbolice, atunci suprafața este o suprafață de șa.

2. Corpuri și suprafețe convexe

1 Concepte de bază

O mulțime M dintr-un spațiu euclidian tridimensional se numește convexă dacă, împreună cu oricare dintre două dintre punctele sale X și Y, conține un segment de dreaptă care le conectează (Fig. 8). O mulțime convexă plată închisă cu puncte interioare se numește domeniu convex.

Partea conexă a limitei unei regiuni convexe se numește curbă convexă. Limita unei regiuni convexe finite se numește curbă convexă închisă. O curbă convexă închisă este homeomorfă unui cerc. Dreapta g care trece prin punctul X al limitei regiunii convexe G se numeste suport daca intreaga regiune este situata intr-unul din semiplanurile definite de aceasta dreapta. Cel puțin o linie de sprijin trece prin fiecare punct limită al regiunii convexe.

Dacă o curbă convexă este limita regiunii convexe G sau o parte a graniței acesteia, apoi linia de referință în fiecare punct al curbei la zona G se mai numește și linia de referință a curbei.

Punctele unei curbe convexe sunt împărțite în netede și unghiulare. Și anume punctul X al unei curbe convexe se numește netedă dacă singura linie de sprijin trece prin acest punct. În caz contrar, punctul X se numește punct de colț. În punctul de colț, liniile de sprijin umplu un anumit unghi vertical cu vârful în acest punct, iar laturile acestui unghi sunt, de asemenea, linii de sprijin (Fig. 10).

Orice curbă convexă este rectificabilă, adică. are o anumită lungime. Dacă o curbă închisă se întinde pe o curbă convexă apoi lungimea nu depaseste lungimea.

Un corp convex este un set convex închis în spațiu care are puncte interioare. Pentru ca o mulțime convexă închisă să fie un corp convex, este necesar și suficient ca să nu existe un plan care să conțină această mulțime. Intersecția (partea comună) oricărei colecții de corpuri convexe, dacă conține puncte interioare, este de asemenea un corp convex.

Aria (set deschis conectat) de la limita unui corp convex se numește suprafață convexă. Componenta conexă a limitei unui corp convex se numește suprafață convexă completă. Dacă excludem două cazuri triviale când un corp convex este întregul spațiu sau regiune dintre două plane paralele, atunci o suprafață convexă completă poate fi definită pur și simplu ca limita unui corp convex. Limita unui corp convex finit este homeomorfă unei sfere și se numește suprafață convexă închisă. Orice suprafață convexă completă este homeomorfă fie unui plan, fie unei sfere sau unui cilindru. În acest din urmă caz, suprafața este ea însăși un cilindru.

La fel ca și în cazul regiunilor plate convexe, conceptul de plan de referință este introdus pentru corpurile convexe. Și anume, avionul trecând prin punctul limită X al corpului K se numește pivot în acest punct X dacă toate punctele corpului sunt situate pe o parte a planului , adică într-unul din semi-spaţiile pe care le defineşte. Cel puțin un plan de referință trece prin fiecare punct limită al corpului convex. Un vector unitar perpendicular pe planul de referință și îndreptat către un semi-spațiu care nu conține puncte ale corpului se numește normală exterioară la acest plan de referință.

Un corp convex V compus din jumătăți de drepte care emană din punctul S se numește con convex; aceasta exclude cazul în care corpul V coincide cu întregul spațiu. Conceptul de con convex definit în acest fel conține un unghi diedru și un semispațiu ca caz special. Suprafața unui con convex este, de asemenea, denumită în mod obișnuit con convex. În aceste două cazuri speciale, se vorbește despre degenerarea unui con ca suprafață într-un unghi sau plan diedru.

Fiecare punct S al limitei unui corp convex K este asociat în mod natural cu un anumit con V (S) format din semi-linii ce emană din punctul S și care intersectează corpul K în cel puțin un punct diferit de S (Fig. 11) .

Acest con se numește con tangent în punctul S, iar suprafața lui se numește con tangent al suprafeței convexe care delimitează corpul.

În funcție de tipul conului tangent, punctele unei suprafețe convexe se împart în conice, nervurate și netede. Este un punct X al unei suprafețe convexe care se numește conic dacă conul tangent V (X) nu degenerează în acest punct. Dacă conul tangent V (X) degenerează într-un unghi sau plan diedru, atunci X se numește punct nervurat sau, respectiv, neted. Punctele nenetede de pe o suprafață convexă sunt într-un fel o excepție. Și anume, setul de puncte cu nervuri are măsura zero, iar setul de puncte conice este cel mult numărabil.

Cel mai simplu corp convex non-trivial este un politop convex - intersecția unui număr finit de semi-spații. Suprafața unui poliedru convex este formată din poligoane plate convexe și se mai numește și poliedru convex. Poligoanele care alcătuiesc suprafața poliedrului se numesc fețele poliedrului, laturile lor sunt muchiile poliedrului, iar vârfurile sunt vârfurile poliedrului.

În teoria corpurilor convexe, un rol important îl joacă conceptul de carcasă convexă. Învelișul convex al unei mulțimi M este intersecția tuturor semi-spațiilor care conțin M. Prin urmare, este o mulțime convexă și, în plus, cea mai mică dintre toate mulțimile convexe care conțin M. Fiecare poliedru convex este învelișul convex al vârfurilor sale (finit). și infinit de îndepărtat) și, prin urmare, determinat în mod unic...

Pentru o succesiune de suprafețe convexe este definit conceptul de convergență. Se spune că succesiunea suprafețelor convexe este converge către o suprafață convexă F dacă orice mulțime deschisă G intersectează sau nu intersectează simultan suprafața F și toate suprafețele la ... Orice suprafață convexă poate fi reprezentată ca limită a poliedrelor convexe sau a suprafețelor convexe regulate.

Colecțiile infinite de suprafețe convexe au o proprietate importantă de compactitate, care este aceea că din orice succesiune de suprafețe convexe complete care nu merg la infinit, o subsecvență convergentă cu limita sub forma unei suprafețe convexe, poate degenerând (într-un plat dublu acoperit). domeniu, drept, semilinie sau segment).

Observăm proprietatea foarte comună de convergență a planurilor suport ale unei secvențe convergente de suprafețe convexe. Lăsa - o succesiune de suprafețe convexe care converg către o suprafață convexă F, - punct pe suprafata și este planul de referință în acest punct. Atunci dacă succesiunea de puncte converge spre punctul X al suprafeței F și succesiunea planurilor de sprijin converge spre plan , atunci acest plan este suport pentru suprafața F în punctul X. Prin urmare, în special, rezultă că dacă șirul de puncte pe o suprafață convexă F converge către un punct X al acestei suprafețe, iar planurile de sprijin în puncte converg spre un plan , atunci acest plan va fi referința în punctul X.

2 Curbură

Fie G o regiune de pe suprafața F. Vom desena în toate punctele regiunii G toate planele tangente (suport) la suprafața F și vom desena din centrul unei sfere unitare S raze îndreptate paralel cu normalele exterioare către aceste avioane de sprijin. Setul de puncte de pe sfera S, format din capetele razelor desenate în acest fel, se numește imaginea sferică a regiunii G. Aria acestei imagini sferice a regiunii G va fi numită curbura exterioară a această regiune (Fig. 12).

Pentru o imagine sferică a unei suprafețe convexe, direcția de parcurgere a imaginii sferice a zonei de pe suprafață coincide cu direcția de parcurgere a zonei în sine. În consecință, curbura unei suprafețe convexe este întotdeauna un număr pozitiv.

Rezultă că curbura extrinsecă este o funcție complet aditivă pe o suprafață convexă, definită pentru toate mulțimile Borel.

Demonstrarea acestei teoreme se bazează pe următoarele două propoziții:

O imagine sferică a unui set închis pe o suprafață convexă este o mulțime închisă.

Mulțimea acelor puncte ale imaginii sferice a unei suprafețe convexe, fiecare dintre ele având cel puțin două imagini inverse pe suprafață, are o zonă egală cu zero.

Pentru curburele exterioare ale suprafețelor convexe sunt valabile următoarele teoreme de convergență:

Dacă o succesiune de suprafeţe convexe converge către o suprafață convexă F și succesiunea mulțimilor închise culcat pe suprafete converge către o mulțime închisă M pe F, atunci , Unde denotă curbura exterioară a mulțimii corespunzătoare.

Fie o succesiune de suprafețe convexe converge spre o suprafață convexă F, și G sunt seturi deschise pe suprafețe și F și și - închiderile acestor seturi. Apoi, dacă seturile converg spre , și seturile converg spre F-G și curburele exterioare ale mulțimilor converg spre curbura exterioară , apoi curbururile exterioare converg către curbura exterioară G.

Dacă X este un punct conic al suprafeței F, atunci numai imaginea sferică a acestuia formează o regiune întreagă pe sfera S (Fig. 13). Dacă L este o margine nerectilie a suprafeței, atunci imaginea sa sferică acoperă și o regiune întreagă pe sfera S (Fig. 14).

Curbura intrinsecă este definită în funcție de setul de pe suprafață, adică. fiecare multime M dintr-o anumita clasa de multimi este asociata cu numarul - curbura mulțimii M. Conform terminologiei adoptate în geometria diferențială, ar trebui să vorbim de curbura internă totală (sau integrală), dar de dragul conciziei vom omite ambele adjective, ceea ce nu va duce la neînțelegeri, deoarece într-un singur cuvânt „curbură” nu vom numi nimic altceva.

Un triunghi este o figură homeomorfă unui cerc și delimitată de trei arce cele mai scurte. Cele mai scurte căi în sine sunt numite laturi, iar punctele în care converg în perechi se numesc vârfurile triunghiului.

Curbura interioara este definit mai întâi pentru seturile de bază - puncte, cele mai scurte căi deschise și triunghiuri deschise - după cum urmează.

Dacă M este un punct și este unghiul total din jurul lui pe suprafață, atunci curbura internă a lui M este egală cu.

Dacă M este calea cea mai scurtă deschisă, i.e. calea cea mai scurtă cu capete excluse, atunci.

Dacă M este un triunghi deschis, i.e. triunghi cu laturile și vârfurile excluse, atunci , Unde - colțurile triunghiului.

Pentru astfel de seturi.

Se demonstrează că curbura internă a mulţimilor elementare determinate în acest fel nu depinde de modul în care mulţimea este reprezentată ca sumă de mulţimi de baze. Demonstrarea se bazează pe următoarea teoremă.

Teoremă: Fie P interiorul unui poligon geodezic cu colțuri iar caracteristica lui Euler ... Atunci curbura lui P este egală cu.

Evident, curbura intrinsecă a mulțimilor elementare pe o suprafață convexă este o funcție aditivă.

Până acum, curbura intrinsecă a unei suprafețe convexe a fost definită doar pentru mulțimi elementare. O definim pentru mulțimi închise ca o limită inferioară exactă pentru curburele interioare ale mulțimilor elementare care conțin o mulțime închisă dată. În cele din urmă, pentru orice mulțime Borel, definim curbura intrinsecă ca limita superioară exactă a curburelor intrinseci ale mulțimilor închise conținute în ea.

Amintiți-vă că mulțimile Borel sunt cele care sunt obținute din mulțimi închise și deschise folosind cel mult o colecție numărabilă de operații de unire și intersecție. Evident, unirea unui set numărabil de seturi Borel va fi un set Borel.

Faptul că definiția curburii intrinseci pentru mulțimile închise și, în general, Borel nu contrazice definiția curburii intrinseci introdusă mai devreme pentru mulțimile elementare este garantat de următoarea teoremă fundamentală.

Teoremă: Curbura intrinsecă a oricărui set Borel pe o suprafață convexă este egală cu curbura sa extrinsecă, adică. zona unei imagini sferice.

3 Curbura specifică a unei suprafețe convexe

Fiecare domeniu G de pe o suprafață convexă are o anumită zonă S (G) și curbură ... Atitudine se numește curbura specifică a domeniului G. Dacă pentru toate domeniile G este mărginit de o constantă, atunci o astfel de suprafață se numește suprafață de curbură mărginită.

Proprietatea unei suprafețe de a avea o curbură specifică limitată este păstrată atunci când merge la limită. De aceea are loc următoarea teoremă.

Teorema: Dacă o succesiune de suprafețe convexe cu curburi specifice mărginite uniform converge către suprafața F, atunci această suprafață este o suprafață cu curbură mărginită.

Demonstrația se bazează pe teoremele de convergență a ariilor și curburi ale unei secvențe convergente de suprafețe convexe.

Curbura specifică a unei suprafețe convexe în punctul X, adică limită , când regiunea G se contractă în punctul X, se numește curbura gaussiană a suprafeței în acest punct. Este ușor de demonstrat că, dacă curbura Gaussiană există în fiecare punct al suprafeței, atunci aceasta este continuă.

Suprafețele cu curbură mărginită au o serie de proprietăți ale suprafețelor convexe regulate. În special, din fiecare punct al unei suprafețe convexe de curbură delimitată în orice direcție, puteți desena calea cea mai scurtă la o distanță care depinde numai de curbura specifică a suprafeței.

Existența celui mai scurt dintr-un punct dat în orice direcție pentru lungime vă permite să introduceți coordonatele polare în vecinătatea acestui punct ... Dacă, în plus, suprafața are o curbură gaussiană definită în fiecare punct, atunci metrica suprafeței din vecinătatea parametrizată poate fi specificată de elementul liniar , unde coeficientul G este o functie continua de doua ori diferentiabila fata de r. Relația dintre acest coeficient și curbura gaussiană a suprafeței este stabilită printr-o formulă binecunoscută.

Dacă curbura gaussiană a suprafeței este constantă și mai mare decât zero, atunci, după cum se vede ușor, coeficientul G, satisface ecuația , ar trebui să arate ca.

În consecință, o astfel de suprafață este izometrică local față de o sferă de rază.

Dacă într-un triunghi pe o suprafață convexă, curbura specifică , atunci unghiurile sale nu sunt mai mici (nu mai mult) decât unghiurile corespunzătoare ale triunghiului cu aceleași laturi pe o sferă de rază.

Dacă într-un triunghi pe o suprafață convexă, curbura specifică , atunci aria S a acestui triunghi nu este mai mică (nu mai mult) decât aria triunghiului cu aceleași laturi pe o sferă de rază ... În plus, există estimări:

dacă într-un triunghi curbură specifică și

dacă într-un triunghi curbură specifică.

Lăsa și - două cele mai scurte căi care ies din punctul O pe o suprafață convexă. Lăsa și - puncte variabile pe și , , , și - unghi într-un triunghi cu laturi partea opusă , pe sferă rază ... Ei spun metrica suprafața satisface condiția K-convexității sau este K-convexă dacă există și injecţie este o funcție care nu crește în orice interval , unde este cel mai scurt ... Ei spun metrica satisface condiția K-concavității, sau este K-concav, dacă este o funcţie nedescrescătoare în raport cu în acelaşi interval (Fig. 15). Următoarea teoremă este valabilă.

Teorema: Daca pe o suprafata convexa curbura specifica , atunci condiția de K-convexitate (K-concavitate) este îndeplinită pe această suprafață.

Punctele unei suprafețe convexe pot fi de trei feluri: conice, unde conul tangent nu degenerează și, prin urmare, unghiul total este mai mic. , nervurat - cu un con tangent degenerând într-un unghi diedru, și plat, unde conul tangent degenerează în plan. Evident, nu pot exista puncte conice pe o suprafață cu curbură mărginită, deoarece în astfel de puncte curbura specifică este egală cu infinitul. Punctele cu nervuri pot fi, de asemenea, pe o suprafață cu curbură limitată. Cu toate acestea, următoarea teoremă este valabilă.

Teorema: Dacă pe o suprafață convexă curbura specifică a oricărei regiuni suficient de mici care conține punctul A nu depășește niciun număr constant, atunci punctul A este fie neted, fie o margine rectilinie a suprafeței trece prin el.

Prin urmare, în consecință, se dovedește că o suprafață convexă închisă de curbură mărginită este netedă. O suprafață convexă completă infinită de curbură mărginită, care nu este un cilindru în nicio parte finită, este netedă.

Dacă un segment de dreaptă trece prin punctul A al unei suprafețe convexe, atunci pe suprafață există regiuni arbitrar mici care conțin punctul A și au o curbură specifică arbitrar mică.

În consecință, dacă curbura specifică a unei suprafețe convexe este închisă în limite pozitive pentru toate regiunile de pe suprafață, atunci o astfel de suprafață este netedă.

4 Inflexibilitatea sferei

O bucată de suprafață suficient de mică poate fi întotdeauna supusă unei modificări a formei sale, păstrându-și lungimea. Acesta nu este cazul suprafeței în ansamblu. Deja Mingding în 1838 a înaintat ca o presupunere că suprafața sferei în ansamblu are rigiditate. Dar abia în 1899 Liebman a susținut această afirmație. Deoarece, conform teoremei Gauss, măsura curburii rămâne neschimbată pentru mapările izometrice, teorema lui Liebmann poate fi formulată astfel: o sferă este singura suprafață închisă cu curbură constantă.

Dacă nu sunt introduse cerințe limitative de corectitudine, atunci această afirmație este în mod evident falsă. Într-adevăr, dacă îi tăiem segmentul din sferă și înlocuim acest segment cu imaginea în oglindă în raport cu planul secțiunii, atunci obținem o sferă „motolită”, care, deși are o măsură constantă a curburii, are o margine. Vom presupune de acum înainte că avem de-a face cu suprafețe analitice care sunt corecte peste tot.

Dacă pentru liniile parametrice ale suprafeței luăm liniile sale de curbură, atunci din formulele pentru curburele principale

punându-le pe primul loc si apoi obtinem:

. (1)

Pentru valori reciproce vom avea:

. (2)

Folosind formulele Codazzi ale formei

și formulele (2) obținem, (3)

. (4)

În demonstrarea teoremei lui Liebman, putem presupune că ... Într-adevăr, cazul este exclusă deoarece aceste suprafețe au generatoare rectilinie și, prin urmare, sunt în mod evident suprafețe neînchise. În același mod, nu poate exista o suprafață închisă, a cărei curbură este peste tot negativă: ... Într-adevăr, în punctul cel mai înalt al unei astfel de suprafețe, măsura curburii trebuie să fie pozitivă: ... Astfel, rămâne de luat în considerare doar cazul , iar în acest caz, transformarea similarității se poate face întotdeauna sau, echivalent,.

Dacă la suprafața noastră peste tot există o relație , atunci toate punctele suprafeței sunt puncte de rotunjire și, prin urmare, avem o sferă. Dacă luăm o suprafață diferită de o sferă și obținută prin îndoirea acesteia din urmă, atunci pe o astfel de suprafață trebuie să existe cu siguranță puncte pentru care ... Putem considera ambele aceste marimi ca fiind functii continue; întrucât suprafața este închisă, ambele cantități și atinge un maxim la suprafață. Unul dintre aceste maxime este în orice caz mai mare decât 1. Fie, de exemplu, cantitatea ajunge la punct maxim care este mai mare decât 1. Apoi, pentru o anumită vecinătate a punctului noi avem: , și cantitatea la punct atinge un minim. pentru că nu este un punct de rotunjire, atunci în vecinătatea ei există o rețea regulată de linii de curbură.

În virtutea relaţiei în loc de formulele (3) - (4) putem scrie ecuațiile:

. (5)

Prin integrarea lor, obținem:

. (6)

Deoarece elementele arcului liniilor de curbură și sunt exprimate prin formule , atunci noi avem , iar formula (6) în virtutea relațiilor da: în vecinătatea punctului.

Din moment ce la punctul magnitudinea atinge un maxim, iar valoarea - minim, atunci în acest moment trebuie să aibă loc următoarele condiții:

Formulele (3) și (4) ne vor da apoi:. (7)

Înlocuind în formula Gauss

ajungem la punct:

Partea dreaptă a acestei formule este negativă în virtutea relațiilor (7), în timp ce partea stângă, conform presupunerii noastre, este pozitivă și egală cu 1. Deci, presupunerea că suprafața noastră nu este o sferă duce la o contradictie. Dovada este completă.

Rezultatul obținut poate fi formulat și astfel: în interiorul unei piese de suprafață cu curbură pozitivă constantă pentru un punct care nu este un punct de rotunjire, niciuna dintre razele principale de curbură nu poate avea nici valoare maximă, nici minimă.

Dacă pe suprafața sferei este tăiată o gaură mică, atunci suprafața poate fi îndoită.

5 Sfera ca o singură suprafață ovală cu curbură medie constantă

O teoremă similară cu cea anterioară este valabilă și dacă cerem ca curbura medie să fie constantă pe suprafață în loc de măsurarea curburii:

Această teoremă a fost demonstrată și de Liebman. O suprafață convexă închisă, pe care o vom presupune că este peste tot regulată și analitică și, în plus, că are o măsură pozitivă a curburii peste tot, va fi numită suprafață ovală. Atunci teorema poate fi formulată astfel: sfera este singura suprafață ovală cu curbură medie constantă.

Această teoremă poate fi redusă la cea anterioară folosind tehnica indicată de Bonnet. Pentru a face acest lucru, este necesar să se stabilească mai întâi următoarea propoziție: printre suprafețele paralele cu o suprafață cu curbură pozitivă constantă, există una, a cărei curbură medie este constantă și invers.

Lăsa există o suprafaţă pentru care , lăsați-l să plece are o curbură medie ... Într-adevăr, pentru liniile de curbură ale suprafeței

Liniile de curbură ale suprafeței , deoarece

Dovada declarației directe este completă.

Să demonstrăm propoziția inversă, i.e. printre suprafețele paralele cu o suprafață cu curbură medie constantă, există o suprafață a cărei curbură gaussiană este constantă.

Avem o suprafață ovală, a cărei curbură medie satisface ecuația , A este vectorul unitar al normalei sale. Apoi suprafața paralelă cu ea are curbura gaussiana ... Aceasta rezultă din următorul raționament. Pentru linii de curbură a suprafeței avem, conform formulelor lui Rodrigues:

Liniile de curbură ale suprafeței corespund liniilor de curbură ale suprafeței , deoarece ... Razele principale de curbură corespunzătoare sunt legate prin relație ... Prin urmare, în virtutea raportului, avem:

Dovada este completă.

Teorema rigidității unei sfere poate fi extinsă într-un volum îngust la suprafețe ovale arbitrare. De asemenea, îi datorăm această proliferare lui Liebman. Teorema arată după cum urmează: dacă schimbarea la care suferă o suprafață ovală ar trebui să fie continuă și izometrică, atunci această suprafață se poate mișca doar ca un corp solid.

3. Suprafețele șai

1 Concepte și proprietăți de bază

Suprafețele șeii sunt într-un sens opuse în proprietățile suprafețelor convexe. Asemenea suprafețelor convexe, ele pot fi definite pur geometric, iar în cazul obișnuit au o caracteristică analitică simplă - curbura gaussiană nepozitivă.

Fie F suprafața definită de imersare varietate bidimensională v ... Se spune că planul P taie o cocoașă din F dacă printre componentele imaginii inverse ale mulțimii F \ P în exista o componenta G cu inchidere compacta. Parte suprafața F corespunzătoare acestei componente G se numește cocoașă. Evident o cocoașă va fi o suprafață care are o limită situate în planul P. Exemple de cocoașe sunt prezentate în Fig. 16.

Suprafața F în se numește șa dacă nu permite tăierea cocoașelor cu niciun avion. Exemple de suprafețe de șa sunt hiperboloidul cu o singură foaie, paraboloidul hiperbolic, orice suprafață riglată, catenoidul etc.

Din definiție rezultă că printre suprafețele șei în nu există suprafețe închise.

Definiția suprafețelor de șa nu este legată, ca în cazul suprafețelor convexe, cu nicio cerință de regularitate. Acest lucru vă permite să explorați suprafețele neregulate ale șai.

Teorema: Pentru o suprafata F a clasei v este un punct de șa, este necesar și suficient ca în fiecare punct X al suprafeței F curbura lui Gaussiană K (X) să fie nepozitivă.

Dovada.

Nevoie. Fie F o suprafață de șa. Să presupunem că la punctul curbura gaussiana ... Apoi un cartier puncte pe F se află pe o parte a planului tangent T la F în punctul , și ordinea șeii este egal cu 0. Orice plan paralel cu T, suficient de aproape de T și culcat cu pe o parte a lui T, decupează o cocoașă din F, ceea ce este imposibil (Fig. 17).

Prin urmare, peste tot pe F.

Adecvarea. Lăsa peste tot pe F. Să presupunem că planul P decupează din F cocoașa Φ cu limita ... Setați Ф compact în ... Prin urmare, putem lua un paraboloid eliptic P, din care P taie o astfel de cocoașă că Φ se află între și P și - set gol (Fig. 18). Să considerăm o familie de paraboloizi obținuți din contracție afină la planul P. În această familie există un paraboloid care are un punct comun cu Φ , dar Ф se află între Р și cocoașă decupat din Φ de planul P. În punct suprafata F si atingere și toate curburele normale ale lui F și în acest moment au un singur semn. Prin urmare, la punctul curbura gaussiana ... Aceasta contrazice condiția teoremei. Teorema este demonstrată.

Corolar: Pe fiecare cocoașă a unei suprafețe obișnuite, există un punct în care curbura Gauss este pozitivă.

Acum trecem la construcția în exemple de suprafețe complete de curbură gaussiană negativă, a căror caracteristică Euler poate lua orice valoare ... Mai mult, printre exemplele construite se numără suprafețe de orice fel. Metoda de construire a unor astfel de suprafețe a fost indicată de J. Hadamard în 1898.

Rețineți în primul rând că dacă F este un paraboloid hiperbolic, atunci , iar dacă F este un hiperboloid cu o singură foaie, atunci ... Vom construi acum o suprafață F pentru care.

Luați doi hiperboloizi de revoluție cu o singură foaie și dat de ecuaţii

Hiperboloizi și se intersectează în planul Q: pe hiperbolă. Lăsați suprafața obtinut de la și astfel: din , ; din tăiați partea aflată în unghiul diedric , ; părțile rămase sunt lipite de-a lungul ramului hiperbolă situată în semiplanul superior al planului Q (Fig. 19). De-a lungul suprafaţă are o margine în formă de șa, iar sub planul P: pe cealaltă ramură a hiperbolei – autointersecție.

Neteziți marginea suprafeței ... Avionul R: trece peste peste segment de-a lungul curbei dat de ecuație

(3)

Deasupra segmentului setați funcția

(4)

astfel încât egalitățile

(5)

Cote sunt definite prin egalităţi (5). Pe interval setați funcția

(6)

Din egalităţile (3) - (6) rezultă că și ... Este ușor de calculat asta ... În banda U: pe planul Р definim functia

. (7)

Graficul ei va fi suprafața curbură negativă, deoarece

. (8)

Deasupra benzii : suprafaţă coincide cu hiperboloidul , iar deasupra benzii : - cu hiperboloid ... Prin urmare, înlocuirea părții suprafeței de deasupra benzii U situat deasupra planului P de suprafață , obținem suprafața , în fiecare punct în care curbura Gauss este negativă. Suprafața F are o caracteristică Euler.

Evident, prin creșterea numărului de hiperboloizi inițiali și netezirea numărului diferit de muchii rezultate, se poate obține o suprafață F de orice caracteristică Euler și de orice fel cu orice număr de puncte la infinit (Fig. 20) Regularitatea netezirii poate fi mărită la clasă datorită aproximării ulterioare prin funcţii medii.

Pentru netezirea marginilor plane ale suprafețelor șeii, E.R. Rosendorn a dezvoltat o serie de metode generale. În 1961, el a construit un exemplu care a respins ipoteza care era considerată foarte plauzibilă până atunci că orice suprafață completă a șei în va fi nelimitat. Construirea unui astfel de exemplu a necesitat o serie de calcule plictisitoare. Fără a le reproduce aici, vom oferi o schemă destul de detaliată pentru construirea unui exemplu de E.R. Rosendorn.

Să luăm o secvență de numere cu proprietăți ca aceasta:

(9)

Să construim sistem de sfere concentrice cu raze și centrați într-un punct fix O. Limita pt sfera S are raza R. Construim in graficul G format din segmente drepte și având următoarele proprietăți:

) graficul G este homeomorf cu graficul Γ - acoperirea universală a unui mănunchi de două cercuri;

) noduri de rang graficul G se află pe sferă (presupunem că);

) oricare patru puncte sunt capetele a patru segmente care ies dintr-un nod numara , - vor fi vârfurile tetraedrului, în interiorul căruia se află nodul ; tetraedrul, în interiorul căruia se află punctul, este regulat;

) lungimea oricărei legături de rang graficul G, adică legătură care leagă nodul de rang cu rang de nod, mai mult ;

) graficul G nu are auto-intersecții.

Se poate construi graficul G. Rețineți că condiția 4) indică faptul că unghiurile dintre legăturile de rang iar razele sferelor ținute la capete, tind să , când ... Din relaţiile (9) rezultă că lungimea liniei întrerupte punct de legătură cu Oh, caută când punctul A merge spre sfera S, adică. graficul G este complet în raport cu metrica sa intrinsecă. Graficul G este, parcă, un „schelet” în jurul căruia se va construi suprafața completă a șai necesară. Această suprafață este formată din părți de același tip. Să descriem structura unui astfel de detaliu. Luați un tetraedru regulat T cu vârfuri în puncte ... Înscriem în T patru conuri cu vârfuri în puncte , ale căror ghidaje vor fi cercurile înscrise în fața opusă vârfului ... Să luăm un con și peste coaste desenăm planele care bisectează unghiurile diedrice corespunzătoare ale tetraedrului T. Aceste plane se vor tăia din o parte cu apex la un punct , delimitat de trei arce de elipse cu capete la centrele fețelor (fig. 21). Părțile , , conuri , , ... Să construim o suprafață.

Suprafaţă are patru puncte conice și șase margini plate ale șai care se află pe marginile suprafețelor ... Dacă de la elimina puncte și marginile plate netede ale șeii, atunci puteți învăța o suprafață netedă a șeii P, care are patru puncte de limită (Fig. 22).

Acum pe fiecare link a graficului G fixăm un punct ... Patru puncte zăcând în legături având un vârf comun , vor fi vârfurile tetraedrului ... Lăsa este o transformare afină care transformă T în , A ... Să construim o „suprafață”

. (10)

(O multime de nu va fi o suprafață, deoarece punctele nu au pe o vecinătate homeomorfă unui cerc.) Într-o vecinătate a fiecărui punct reparați „suprafața” , înlocuind o parte din această „suprafață” cu o suprafață inelară de șa care se atinge ... Făcând toate aceste modificări, obținem suprafața completă netedă a șai F care se află în interiorul sferei S (Fig. 23).

Construcțiile de mai sus pot fi ușor modificate și obținute în suprafața completă a șeii a clasei situată în interiorul lui S, pentru care curbura gaussiană dispare doar pe un set numărabil de puncte izolate corespunzătoare centrelor fețelor tetraedrelor.

În 1915, S.N.Bernstein a investigat structura suprafețelor complete ale șai date de ecuație peste tot avionul.

Teorema 1: Fie suprafața F dată de ecuație

, (11)

Unde și este definită pe întregul plan ... Dacă curbura gaussiană K a suprafeței P este nepozitivă și există puncte în care K<0, то

. (12)

În demonstrarea acestei teoreme, se folosește de fapt doar forma șeii suprafeței F. Acest lucru i-a permis lui G.M.Adelson-Velsky să demonstreze următoarea generalizare a teoremei lui S.N.Bernstein.

Teorema 2: Fie o suprafață de șa F în dat de ecuație , unde funcția continuă definite pe întregul plan ... Atunci dacă , atunci F este o suprafață cilindrică.

În plus, S.N. Bernstein a obținut următoarea generalizare a teoremei 1.

Teorema 3: Dacă o suprafață F îndeplinește condițiile teoremei 1, atunci este posibil să se indice astfel de acea inegalitate

nu este fezabil pentru toată lumea , oricare ar fi numărul dat.

Ca o aplicație a teoremei 1, prezentăm teorema lui Bernstein pe suprafețe minime în ... Amintiți-vă că suprafața minimă este o suprafață pe care se află curbura medie.

Teorema 4: Dacă suprafaţa minimă așezat peste întregul avion ecuaţie , atunci F este un plan.

2 tuburi de șa nelimitate

Din moment ce în nu există suprafețe de șa închise, atunci problema nelimitării suprafețelor complete de șa se reduce la obținerea unor condiții suficiente pentru nelimitarea tuburilor de șa în ... Faptul că există un număr limitat de tuburi de șa în , arată exemplul lui E.R.Rosendorn.

Să trecem la o clasă specială de tuburi de șa - coarne de șa. Și anume, mai jos vom demonstra teorema că în orice corn obișnuit de șa T este nemărginit.Dovada acestui rezultat se împarte în două cazuri, diferite în ceea ce privește proba. În primul rând, luăm în considerare un astfel de corn T, pe care limita inferioară exactă a lungimii curelelor iar apoi un corn pentru care ... Dacă , atunci cornul T se numește ascuțit, iar dacă, atunci nu ascuțit.

Teorema 5 (Yu.D. Burago): Dacă T este un corn de șa al clasei v și , atunci cornul T este nemărginit în.

Teorema 6 (A.L. Werner): O șa obișnuită ascuțită (a clasei ) corn T in nu este limitat.

Pentru a demonstra această teoremă, avem nevoie de următoarele leme.

Lema 1: Un punct singular A pe un corn ascuțit mărginit de șa T nu poate fi tăiat.

Lema 2: Fie F o suprafață completă sau un tub în interior dat de -imersie f: Ф ... Dacă afișajul sferic nedirecționat : F în ceea ce privește un set deschis nevid G are o multiplicitate de nu mai mult , apoi setul tuturor punctelor limită pentru toate secvențele divergente posibile nu este dens nicăieri în G și F este nemărginit în.

Demonstrarea teoremei 6. Să presupunem că T este mărginit în ... Atunci, în virtutea Lemei 1, punctul singular A al cornului T nu este tăiat, iar T A va fi o suprafață de șa cu o margine L și un punct singular - punctul A.

Putem presupune că marginea cornului T va fi curba L, constând dintr-un număr finit arce convexe plane , ... O astfel de curbă L poate fi construită din arce convexe ale secțiunilor normale ale cornului T care nu rulează în direcții asimptotice. Pentru orice avion P in set P L are cel mult componente, deoarece fiecare multime P nu are mai mult de două componente.

Să arătăm că maparea are multiplicitate finită.

Deoarece punctul A nu este tăiat, granița fiecare componenta G a multimii sau are un arc pe cercul Г = , și, prin urmare, numărul total de componente în și pentru orice și nu mai mult ... În special, până la punctul O în mulțimi și nu se potrivesc mai mult de componentă, adică punctul A poate fi privit pe T ca un punct de șa în care ordinea asemănătoare șei este cel mult.

Fixăm o direcție ... Lăsați T să se întindă între avioane și , ... Să notăm prin numărul de componente ale setului ... Evident, , A ... Vom crește din inainte de și urmărește schimbarea ... Sens crește cu 1 datorită apariției unei noi componente de fiecare dată când suport local la L cu privire la o componentă , și în vecinătatea componentei curba L se află deasupra , adică în punctul minim al proiecţiei curbei L pe ... Numărul de astfel de puncte de pe L este notat cu. Evident, .

Scădeți valoarea se întâmplă în fața tuturor când avionul atinge T, cu câte unul pentru fiecare punct de tangență și pentru , când trece prin punctul A. În acest din urmă caz scade cu , Unde - numărul de componente ale setului , pe marginea căreia se află punctul O.

Dacă prin notăm numărul de puncte de pe T, inclusiv punctele de pe L, la care planele tangente la T sunt ortogonale, atunci obținem că

Prin urmare,

Rezultă că are pe multiplicitatea nu mai mare ... În virtutea Lemei 2, cornul T trebuie să fie nemărginit. Avem o contradicție. Teorema este demonstrată.

Teoremele 5 și 6 implică un rezultat general asupra cornului șeii.

Teorema 7: Un corn obișnuit de șa este nelimitat.

Această teoremă vă permite să studiați în detaliu structura exterioară a cornului șeii. Acest studiu a fost realizat de A.L. Verner.

Lema 3: Minimizarea secvenței centurii pe un corn obișnuit de șa diverge in , adică nu conține nicio limitare subsecvente.

Lema 4: Fie T un corn obișnuit în șa , - minimizarea secvenței de curele pe T și A - orice punct fix în ... Dacă punct , apoi orice succesiune de segmente converge către o rază la .

Lema 5: Cornul obișnuit al șei este plin în exterior , adică orice succesiune de puncte divergente pe un corn diverge la.

Lema 6: Fie cornul T indeplineste conditiile formulate mai sus. Dacă o curbă convexă - Granita , apoi T se află în interiorul cilindrului C cu un ghidaj și generatoare paralele cu fasciculul.

Teorema 8: Fie T un corn obișnuit de șa în ... Apoi pentru orice punct A și orice succesiune de puncte divergente de T, segmente converg către o anumită rază - direcția cornului T. Cornul T se află în interiorul unui cilindru închis, ale cărui generatrice sunt paralele cu raza.

Teorema 9: Fie T un corn obișnuit de șa în ... Apoi, dacă rotirea cornului , apoi setul va fi un cerc cerc mare pe sfera unității , al cărui plan este perpendicular pe direcţia cornului T. Dacă apoi sau , sau va fi un arc pornit , nu mai puțin de un semicerc.

Notă: Un exemplu de suprafață completă F de curbură negativă cu un corn pentru care dat în coordonate cilindrice ecuaţie arată că poate fi un semicerc (fig. 24). Suprafața F are o imagine sferică univalentă. De asemenea, rețineți că dacă , atunci curelele plate de pe T au auto-intersecții.

3.3 Problema platoului

Problema Platoului este formulată astfel: Se dă o curbă închisă. Este necesar să desenați o suprafață cu o suprafață minimă prin această suprafață curbată. Pe suprafețele căutate, relația ... Ecuația este o ecuație diferențială a extremelor problemei noastre variaționale. Suprafețele cu curbură medie identică nulă, deoarece sunt soluții la problema minimă Platon, se numesc suprafețe minime. Cercetările legate de suprafețele minime au fost întreprinse de Lagrange, Monge, Riemann, Weierstrass, Schwarz, Beltrami, Lee și Ribaucourt. Dacă ne restrângem în prealabil doar la suprafețe analitice, atunci definiția suprafețelor minime poate fi ușor redusă la găsirea curbelor izotrope. Introducem pe o suprafata curbata doua familii de curbe izotrope pentru care , ca linii parametrice. Vom avea , iar pentru curbura medie obținem:

Dacă , atunci relația ar trebui să aibă loc ... Diferențierea rapoartelor , pe și , vom lua și ... Având în vedere egalitatea , Unde este vectorul normal unitar, avem: liniar independent. De aici rezultă că dispare identic. Avem, prin urmare, ... În virtutea egalității, obținem .

Rezultatul găsit poate fi exprimat astfel: suprafețele minime sunt suprafețe de forfecare ghidate de curbe izotrope. Astfel, integrarea ecuației diferențiale se reduce la determinarea curbelor izotrope.

4 Suprafețe complete ale șai cu imagine sferică unu-la-unu

Dacă o suprafață orientabilă regulată F in are o mapare sferică topologică local , atunci curbura gaussiană a lui K pe F nu își schimbă semnul. Pe baza acestui fapt, A.L. Verner a propus următoarea clasificare a suprafețelor șeii sferic univalent.

Vom presupune că suprafața F este completă. Atunci, dacă K , atunci F este o suprafață convexă și, prin urmare unu la unu. Dacă K , atunci F poate avea orice caracteristică Euler.

Luați în considerare obișnuit complet (a clasei ) suprafețe de șa cu cartografiere sferică unu-la-unu. Clasa unor astfel de suprafețe este notată cu E. Suprafețele din această clasă sunt numite suprafețe de șa sferic univalente.

Împreună cu suprafețele convexe complete, suprafețele de șa sferic univalente formează o clasă de suprafețe complete cu mapare sferică unu-la-unu.

Lema 1: Nu există două geodezice simple, disjunse, închise pe o suprafață de șa sferic univalentă.

Vom presupune că suprafața definit în imersiune f: ... Deoarece F și W sunt homeomorfe domeniului , atunci F și W au genul zero. Prin urmare, putem presupune că W va fi sfera din care au fost eliminate un număr finit de puncte - puncte la infinitul lui W. Mai mult, , deoarece ... Puncte vor fi numite și punctele infinit îndepărtate ale suprafeței F. Fiecare punct infinit îndepărtat lui F corespunde unui tub având punctul său infinit de îndepărtat. Un metrou poate fi un corn sau un castron. Prin urmare, despre fiecare punct infinit îndepărtat spunem că îi corespunde un corn sau un bol pe F. Tuburile de pe F sunt considerate echivalente dacă au aceleași puncte la infinit, iar neechivalente altfel.

Granita imagine sferică suprafața F are același număr de componente , , câte puncte la infinit sunt lângă suprafața F. Presupunem că componenta corespunde punctului , adică este un set pentru tub cu punct infinit depărtat , și sunați o imagine sferică a unui punct infinit de îndepărtat.

Să presupunem că ideea se potrivește cu cornul ... Apoi setul fie va fi un mare cerc pe , când are rotație diferită de zero , sau un arc de cerc mare, nu mai puțin de un semicerc, când.

De la decoruri perechi nu au puncte comune, atunci din cele spuse mai sus și proprietățile imaginii sferice a geodezicei pe care o urmează

Lema 2: La suprafață poate exista cel mult un punct la infinit corespunzător unui corn de rotație diferită de zero. Dacă există un astfel de punct, atunci restul punctelor de la infinitul suprafeței F corespund cupe și nu există o geodezică simplă închisă pe F.

Luați în considerare cazurile admisibile pentru F în ceea ce privește numărul posibil de coarne sau boluri neechivalente pe F.

)... Suprafața F este homeomorfă , are un singur punct la infinit , iar acest punct corespunde bolului. Un exemplu ar fi un paraboloid hiperbolic (Fig. 25).

2) ... Suprafața F este homeomorfă cilindrului și are două puncte la infinit și ... Un bol corespunde cel puțin unuia dintre ele. Prin urmare, astfel de cazuri sunt posibile:

a) Fiecare punct infinit îndepărtat și bolul corespunde, de exemplu: un hiperboloid cu o singură foaie (Fig. 26);

b) Un punct la infinit, să zicem un punct , corespunde unui corn cu rotație diferită de zero și punctului - bol. Exemplu: suprafata F: ... În acest caz - cerc mare pe , prin urmare se află într-o emisferă, limitată.

c) Punctul corespunde cornului de rotație zero și punctului - bol. Exemplu: suprafață definită prin ecuație ... O suprafață de tipul luat în considerare are întotdeauna auto-intersecții.

) ... Ar trebui să existe un vas pe suprafața F. Dar nu există două boluri echivalente pe F. În virtutea Lemei 2, F nu poate avea, de asemenea, coarne de rotație diferită de zero, deoarece F are un ciclu geodezic homotopic cu curelele vasului lui F. În consecință, în cazul în cauză, un punct la infinitul suprafeței F corespunde bol, iar celelalte două corespund coarnelor cu rotație diferită de zero.

) ... Dacă F ar avea cel puțin un bol, atunci F ar avea două cicluri geodezice disjunse: unul dintre ele ar fi homotopic la curelele de pe acest bol, iar celălalt ar separa o pereche de puncte la infinit de celălalt pe F. Acest lucru este imposibil după Lema 1. Prin urmare, nu există boluri pe F, iar după Lema 2, toate coarnele pot avea doar rotație zero. Faptul că astfel de suprafețe nu există a fost dovedit de P.Sh. Rechevsky și S.Z. Shefele.

Deci suprafața poate aparține doar uneia dintre cele cinci subclase enumerate: 1), 2a), b), c) și 3), și până acum nu s-au găsit exemple de suprafețe din subclasa 3).

Dintre suprafețele acestor subclase, cele mai simple și mai clare proprietăți geometric sunt cele care au un corn de rotație diferit de zero, adică. suprafețe din subclasa 2b). Luați în considerare o astfel de suprafață.

Teoremă: Fie F o suprafață de șa sferic univalentă cu un corn cu rotație diferită de zero. Dacă - Coordonatele carteziene în si axa are direcția cornului suprafeței F, atunci în aceste coordonate F poate fi dată de ecuație , și domeniul funcției - proiecția lui F pe planul P: - va fi o zonă , unde M este un set convex închis mărginit pe P corespunzător punctului corn de la infinitul suprafeței F.

Dovada. Vom presupune că F este dat de imersiune , și , punct corespunde cornului și vârfului - peste suprafata F. Imagine sferica punct infinit îndepărtat cornul va fi ecuatorul pe sferă ... Presupunem că F este orientat astfel încât imaginea sa sferică se află în emisfera superioară a sferei .

Fie planul Q paralel cu axa z și (Q) este preimaginea completă a setului F Q în W. Planul Q nu poate fi tangent la F. Prin urmare, componentele mulţimii (Q) nu au puncte de ramificație. Nu există curbe închise între aceste componente, deoarece imaginea unei astfel de componente pe F ar avea o linie tangentă verticală, iar apoi F ar avea un plan tangent vertical (adică paralel cu axa z), ceea ce este imposibil. Prin urmare, componentele (Q) pot exista doar arce simple cu capete în puncte și ... Imaginile acestor componente pe F sunt curbe simple deschise care sunt complete în raport cu F. Ele nu au tangente verticale și, prin urmare, fiecare astfel de curbă este proiectată în mod unic pe P.

Lăsa - componentă (Q). Din proprietățile cornului șei (Teorema 8, Secțiunea 2.2) rezultă că nu poate avea ambele capete în , prin urmare, două cazuri sunt posibile.

a) Ambele capete minti la punct ... Apoi proiecția va exista o linie dreaptă pe P, deoarece s are lungime infinită în ambele direcții, iar tangentele la s formează unghiuri cu P care nu sunt mai mari decât unele.

b) Arc merge de la punct până la punctul ... În acest caz, într-o direcție s merge la corn și, prin urmare, proiecția sa pe P din această parte este mărginită, iar în direcția opusă, proiecția lui s pe P este din nou nemărginită, adică. în acest caz proiecţiile lui s pe P vor fi o rază.

Acum vom intersecta F cu planele P ( ): z = ... Printre astfel de planuri, poate doar unul va fi tangent la F. Prin urmare, există un astfel de plan pentru ce în decor , Unde , componentele nu au puncte de ramificație și una dintre componente va fi un ciclu în care se află punctul (Teorema 8, secțiunea 2.2). Pe imaginea F a ciclului va fi o centură tăind cornul T din F ... Deoarece F nu permite tăierea cocoașelor, doar o componentă ar putea fi o buclă. Din moment ce cornul T merge în direcția axei z, apoi în interior nu există alte componente ale setului ... Fie o curbă convexă închisă , și C - cilindru convex cu ghidaj G și generatoare paralele cu axa z. Corn T se află în interiorul C ... Să notăm prin partea suprafeței F situată în afara lui C.

Din proprietățile de mai sus ale proiecției curbei pe P rezultă cu uşurinţă că proiecţia piesei pe p va exista un set P \ .

Luați în considerare acum setul ... Lăsa este prototipul său în W. Setul este compact în W. Prin urmare, numai ciclurile pot fi componente ale sale. Imaginile acestor cicluri pe F nu pot avea tangente verticale și, prin urmare, toate curbele din au un punct înăuntru , adică imaginile lor vor fi curele pe F. Dacă avea mai mult de o componentă, atunci pe F ar exista o astfel de regiune inelară U, a cărei limită ar consta din două curbe închise situate pe C ... Evident, U se află în interiorul C , deoarece U nu permite tăierea cocoașelor. Lăsa - proiecția lui U pe P ... Luați un punct X situat la limita mulțimii dar nu pe G , și trageți o linie dreaptă prin X paralel cu axa z. Drept va fi tangent la F și, prin urmare, există un plan tangent vertical pe U astfel încât p

Fiecare generatrică a cilindrului C trece peste , și deci F, la același număr de puncte. Acest număr (îl notăm prin ) este egal cu numărul de rotații în jurul cilindrului. Același lucru va fi pentru orice cilindru C, în interiorul căruia se află C , și deci la fel pentru toată lumea când .

Bucle netede și sunt homotopice în W și se află înăuntru ... Lăsa - zonă închisă în V între și , iar D este imaginea sa pe F. Mulțimea D poate fi împărțită într-un număr finit de astfel de părți , fiecare dintre acestea fiind proiectat în mod unic pe Р ... Conectați-vă în interior curbe și familie cu un parametru de curbe netede , Unde , , , și la curbe converg spre împreună cu tangente. Peste tot notează imaginile curbelor de pe F.

Lăsa și - proiecții și pe p ... Arc de curbă întins înăuntru , nu are auto-intersecții. Prin urmare, pentru traversări consistente ale curbelor rotația câmpurilor curbe tangente toate au aceeași și este egală cu rotația câmpului tangentelor la curbă , adică egală ... Și apoi curba plată rotația câmpului normalelor exterioare este de asemenea egală cu ... Dar normalii să sunt proiecții pe P normale la F în punctele corespunzătoare ale curbei ... Din moment ce imaginea sferică a curbei va fi o curbă Jordan , pentru suficient de mare cat mai aproape de ecuator , apoi rotația câmpului de normale la este egal cu +1, adică ... Aceasta înseamnă că F este o proiecție unu-la-unu pe P.

Prin proiecția lui F pe P sau, ceea ce este la fel, pe P va exista o astfel de regiune că setul închis va fi pur și simplu conectat și limitat. Mulțimea M va fi convexă. Altfel, ar fi posibil să se taie din F prin planul vertical Q partea U delimitată de curba plană L, a cărei preimagine în W are ambele capete în punctul , ceea ce este imposibil, după cum s-a dovedit mai sus. Deci M este convex. Teorema este demonstrată.

Concluzie

În această lucrare, am luat în considerare aspecte teoretice legate de suprafețele cu tip punct constant, în special aspectele legate de suprafețele convexe și de șa. M-am familiarizat cu clasificarea punctelor unei suprafețe obișnuite, cu unele proprietăți ale geometriei exterioare a suprafețelor convexe și șa, considerată legătura suprafețelor cu un tip constant de puncte cu teoria unei imagini sferice și teoria curburii.

Materialul lucrării poate fi folosit de studenți în obținerea învățământului profesional superior, precum și de cadrele didactice pentru desfășurarea sesiunilor de formare.

Bibliografie

Alexandrov A.D. Geometria internă a suprafețelor convexe. - M .: OGIZ, 1948.

Bakelman I.Ya., Werner A., ​​​​L., Kantor B.E. Introducere în geometria diferențială „în mare”. - M .: Nauka, 1973.

Blaschke V. Geometrie diferenţială. - M.: ONTI, 1935.

Verner A.L. Pe geometria exterioară a celor mai simple suprafețe complete de curbură nepozitivă. - M., 1968.

A.A. Dubrovin Regularitatea unei suprafețe convexe cu o metrică regulată în spații de curbură constantă. - Marea Britanie, 1965.

Dubrovin B.A., Novikov S.P., Fomenko A.T. Geometrie modernă. - M.: Știință, 1979.

Efimov N.V. Apariția singularităților pe suprafețele cu curbură negativă. - M., 1964.

Cohn-Vossen S.E. Îndoirea suprafeței „în ansamblu”. - M.: UMN, 1936.

Mișcenko A.S., Fomenko A.T. Un scurt curs de geometrie și topologie diferențială. - M .: FIZMALIT, 2004.

Norden A.P. Teoria suprafeței. - M .: Gostekhizdat, 1956.

A. V. Pogorelov Geometria exterioară a suprafețelor convexe. - M .: Știință

A. V. Pogorelov Îndoirea suprafețelor convexe. - M .: Gostekhizdat

Poznyak E.G., Shikin E.V. Geometrie diferențială: prima cunoaștere. Ed. al 2-lea, corectat. si adauga. - M .: Editorial URSS, 2003.

Rashevsky P.K. Curs de geometrie diferențială. - M .: Gostekhizdat, 1956. Curbura șei sferei de suprafață

Rosendorn E.R. Suprafețe complete de curbură negativă în spații euclidiene. - M., 1962.

Http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00015/74000.htm

Îndrumare

Ai nevoie de ajutor pentru a explora un subiect?

Experții noștri vă vor sfătui sau vă vor oferi servicii de îndrumare pe subiecte care vă interesează.
Trimite o cerere cu indicarea temei chiar acum pentru a afla despre posibilitatea de a obtine o consultatie.

Invenția asigură un conținut ridicat de informații prin creșterea câmpului unghiular, îmbunătățind în același timp calitatea imaginii monocromatice. Esența invenției: dispozitivul conține un filtru de interferență situat de-a lungul fasciculului, proiectând o lentilă care conține componente concentrice de oglindă convexe și concave și un sistem de înregistrare care conține un element de fibră optică conectat la unul sau la un grup de fotodetectoare. Componenta convexă a lentilei este realizată sub forma unei emisfere de oglindă cu zone transparente inelare aplicate pe suprafața exterioară a unei sfere transparente goale. Componenta concavă este realizată sub forma unei emisfere cu orificii de intrare centrale și periferice de diametru egal. Numărul de zone transparente inelare de pe componenta convexă este egal cu numărul orificiilor de intrare ale componentei concave situate opus și, în consecință, este egal cu numărul de filtre de interferență instalate în fața orificiilor de intrare. Filtrele sunt situate pe suprafețele meniscurilor concentrice. Centrul comun de curbură al suprafețelor optice ale fiecărui menisc este aliniat cu centrul pupilei de intrare corespunzătoare. 7 bolnav.

Invenţia se referă la domeniul instrumentaţiei optice şi optoelectronice, în special la dispozitive de teledetecţie concepute, în special, pentru a obţine imagini monocromatice ale straturilor superioare ale atmosferei la realizarea studiilor proceselor magnetosferice-ionosferice afişate în aurore. Recent, în teledetecție au fost utilizate diverse tipuri de dispozitive optice și optoelectronice, care prezintă două dezavantaje semnificative. Unul dintre aceste dezavantaje este valoarea mică a câmpului unghiular în spațiul obiectelor. Un alt dezavantaj semnificativ este capacitatea scăzută de filtrare spectrală, care reduce calitatea imaginilor monocromatice formate. Dintre dispozitivele cunoscute, cel mai apropiat ca esență tehnică de invenție este un dispozitiv pentru construirea unei imagini monocromatice, conceput pentru a studia aurorele (emisiile aurorale) de la nava spațială Viking. Acest dispozitiv este selectat ca prototip și constă dintr-un filtru de interferență situat de-a lungul traseului fasciculului pe un substrat plan-paralel, o lentilă de proiecție care conține două componente optice concentrice sub forma unei oglinzi convexe și una concave, centrul comun de curbură al care este aliniat cu centrul pupilei de intrare și un sistem de înregistrare care include în serie amplasate o placă cu microcanal și un element de fibră optică conectat la o matrice CCD bidimensională. Un astfel de dispozitiv, destinat utilizării în regiunea ultravioletă a spectrului, formează o imagine situată pe o sferă concentrică cu centrul comun de curbură al oglinzilor și având o rază aproximativ egală cu distanța focală a lentilei de proiecție. Dezavantajele acestui dispozitiv sunt un câmp unghiular mic, precum și imposibilitatea de a obține imagini monocromatice (cu o bandă de 15-30) ale atmosferei superioare în limitele ovalului auroral. În special, ultimul dintre aceste dezavantaje se datorează faptului că un filtru de interferență plat instalat la intrarea acestui sistem optic la unghiuri de lucru cu un câmp vizual de 25 o își înrăutățește vizibil caracteristicile pentru fascicule oblice de raze care merg într-un unghi. de 12,5 o faţă de axa sistemului. În acest caz, lățimea de bandă spectrală a filtrului de interferență crește semnificativ, iar pentru fascicule oblice de raze, transmisia maximă a filtrului se deplasează către regiunea cu lungime de undă scurtă a spectrului în raport cu poziția spectrală a maximului, care corespunde cu fasciculul axial incide în mod normal pe filtrul de interferență plat, adică de-a lungul axei optice a sistemului. Ambele deficiențe nu permit un conținut ridicat de informații în teledetecție. Obiectivul invenției este de a crește conținutul de informații al dispozitivelor de teledetecție care construiesc imagini monocromatice. Rezultatul tehnic al problemei care se rezolvă este creșterea câmpului unghiular cu o creștere simultană a calității imaginii monocromatice. Acest rezultat tehnic este atins prin faptul că în dispozitivul propus pentru construirea unei imagini monocromatice, constând dintr-un filtru de interferență situat de-a lungul traseului fasciculului, o lentilă de proiecție care conține componente concentrice convexe și concave și dintr-un sistem de înregistrare cuplat optic la lentilă, care conține un element de fibră optică, conectată la unul sau la un grup de fotodetectoare, componenta lentilei convexe este realizată sub forma unei emisfere de oglindă aplicată pe suprafața exterioară a unei sfere goale transparente cu zone transparente inelare, cu diametrul interior de fiecare dintre acestea este egal cu diametrul pupilei de intrare D, iar exteriorul D n este determinat din raportul

Mai mult, locul geometric al centrelor lor sunt cercuri cu pas unghiular al centrelor acestor gauri, determinate din relatia

În acest caz, numărul de zone transparente inelare de pe componenta convexă este egal cu numărul de găuri de intrare situate opus ale componentei concave și, în consecință, este egal cu numărul de filtre de interferență instalate în fața găurilor de intrare, făcute sferice. pe substraturi sub formă de meniscuri concentrice, centrul de curbură comun al suprafețelor optice ale fiecăreia dintre ele este aliniat cu centrul pupilei de intrare corespunzătoare. În dispozitivul revendicat, un filtru de interferență sferic poate fi aplicat fie pe suprafața convexă, fie pe suprafața concavă a meniscului concentric, a cărui funcție este nu numai de a servi ca substrat pentru un astfel de filtru, ci și de a corecta aberația sferică. a lentilei de proiectie. O funcție similară în dispozitivul propus este îndeplinită de o sferă goală transparentă, care servește ca substrat pentru emisfera oglindă a componentei lentilei convexe și, în același timp, compensează distorsiunile de aberație ale imaginii monocromatice formate pe ultima, aproape. suprafața optică focală a lentilei de proiecție. În acest caz, un filtru de interferență sferic aplicat pe una dintre suprafețele meniscului concentric, concentric față de centrul pupilei de intrare, își păstrează caracteristicile (lățimea de bandă și poziția spectrală a maximului de transmisie) atât pentru axial cât și în afara axului (oblic). ) fascicule de raze. Această din urmă circumstanță duce la o îmbunătățire semnificativă a capacității de filtrare spectrală a dispozitivului. Pentru a proteja filtrul de interferență de influențele atmosferice și mecanice dăunătoare, este posibil, fără a deteriora calitatea imaginii formate, să se realizeze un menisc concentric sub formă de dublet, adică sub forma a două elemente optice concentrice separate printr-un decalaj subțire de aer. În acest caz, grosimea totală a ambelor elemente optice concentrice este egală cu grosimea meniscului concentric original. În acest caz, filtrul de interferență poate fi plasat în interiorul dubletei pe una dintre suprafețele sferice ale elementelor optice concentrice care alcătuiesc acest dublet. În componenta convexă, zonele sale transparente care înconjoară cercurile oglinzii și formează zone inelare transparente în jurul lor sunt destinate trecerii prin sfera goală transparentă a acelor raze care au fost reflectate anterior din componenta oglindă concavă și găurile de intrare în componenta concavă. , cu meniscuri concentrice instalate în fața lor, sunt destinate pătrunderii razelor în cristalin. Alinierea centrului comun de curbură al suprafețelor fiecăruia dintre aceste meniscuri concentrice cu centrul pupilei de intrare, i.e. cu centrul cercului de oglindă corespunzător al componentei convexe, permite reducerea la minimum a ecranării părții centrale a pupilei de intrare și, în consecință, creșterea deschiderii efective a lentilei de proiecție. În dispozitivul propus, în spatele sferei goale transparente este instalat un element de fibră optică. În același timp, în dispozitivul revendicat, lentila de proiecție formează o imagine a unui obiect infinit îndepărtat în apropierea ultimei suprafețe optice a lentilei, pe suprafața de intrare a elementului de fibră optică, care este realizată sub forma unui concav. emisferă cu o rază apropiată ca mărime de distanța focală a lentilei f. " suprafața de intrare a elementului de fibră optică este asociată cu furnizarea de corecție a aberațiilor (în special, cu compensarea curburii suprafeței imaginii); care, la rândul său, face posibilă creșterea câmpului unghiular al dispozitivului în ansamblu. un tub de televiziune care transmite vid sau o zonă fotosensibilă a unui semnal video în stare solidă, de exemplu, o zonă de imagine de două matrice CCD -dimensională. Dispozitivul propus poate fi clasificat ca sisteme optice cu un câmp unghiular sintetizat, iar aceasta înseamnă că câmpul unghiular total este suma câmpurilor unghiulare ale părților constitutive ale lentilei de proiecție, realizate structural ca un întreg. Ca rezultat, fie un fotodetector cu o zonă mare de recepție (sau fotocatod), fie un grup de fotodetectori, în care dimensiunile fiecărei zone sensibile (fiecare fotocatod) sunt determinate de câmpul unghiular al părților constitutive ale lentilei și suprafața totală a tuturor zonelor sensibile (fotocatozii) va corespunde câmpului unghiular total al sistemului optic în ansamblu. Câmpul unghiular sintetizat al sistemului optic propus a determinat valoarea maximă admisă a fiecăruia dintre câmpurile unghiulare 2w ale părților componente ale lentilei de proiecție și

FIG. 2 este o diagramă a aranjamentului meniscurilor concentrice cu filtre de interferență sferice aplicate;

FIG. 3 este o diagramă a locației orificiilor de intrare pe componenta lentilei oglinzii concave;

FIG. 4 este o diagramă a aranjamentului cercurilor de oglindă și zonelor transparente inelare formate în jurul fiecăruia dintre aceste cercuri pe componenta oglindă convexă a lentilei;

FIG. 5 este o diagramă optică a unui dispozitiv cu o cale a fasciculului în secțiunea principală;

FIG. 6 - tabel cu parametrii de proiectare ai variantei de dispozitiv;

FIG. 7 - grafice ale aberațiilor reziduale ale lentilei sistemului. Dispozitivul pentru construirea unei imagini monocromatice (Fig. 1) conține un filtru de interferență sferic 1 situat secvenţial, depus pe un substrat sub forma unui menisc concentric 2, proiectând o lentilă, care deține componente concentrice convexe și concave ale oglinzii 3 și 4, ca precum și o sferă goală transparentă 5 cu aplicată pe ea cu o componentă oglindă convexă 3 și un sistem de înregistrare format dintr-un element de fibră optică 6 și un grup de fotodetectori 7. Componenta concavă 4 este realizată sub forma unei emisfere cu orificii centrale și periferice 8 (fig. 3), în fața cărora, pe componenta convexă 3, cercurile de oglindă 9, care sunt elemente reflectorizante convexe, în jurul cărora se suprapun zone inelare transparente 10 (fig. 4). Dispozitivul pentru construirea unei imagini monocromatice funcționează după cum urmează. Fascicule paralele de raze provenite de la un obiect intră în sistemul optic prin găurile 8, în fața fiecăruia dintre ele este plasat pe un substrat un filtru de interferență sferic 1 sub forma unui menisc concentric 2, trecând prin care fasciculele de raze cad pe convex. elemente reflectorizante, de ex cercurile de oglindă 9 ale componentei convexe 3, a căror suprafață de oglindă este aplicată pe suprafața exterioară a sferei goale transparente 5. După reflectarea din cercurile de oglindă 9, fasciculele considerate de raze sunt reflectate în continuare de pe suprafața oglinzii concave. componenta 4, după care aceste fascicule trec prin zonele inelare transparente 10 de pe sfera goală transparentă 5, trecând prin care aceste fascicule de raze formează o imagine a obiectului pe suprafața concavă de intrare a elementului de fibră optică 6, transmitând această imagine. la zonele sensibile la lumină ale grupului de lucru al fotodetectorilor 7. Astfel de fotodetectoare pot fi utilizate, în special, matrici CCD bidimensionale. Semnalele video primite de la diverse receptoare din grupul de lucru sunt apoi însumate, de exemplu, în memoria computerului, ca urmare, obținem informații complete din sistem cu un câmp unghiular sintetizat. Dispozitivul propus este simplu din punct de vedere structural. Reprezintă grupate concentric aproximativ o sferă transparentă două emisfere rigide imbricate cu, respectiv, amplasate pe ele filtre de interferență sferice pe substraturi sub formă de meniscuri concentrice, găuri și zone oglindă. Pentru a îmbunătăți tehnologia de fabricație a dispozitivului, sfera sa goală transparentă poate fi făcută compozită, adică format din două jumătăți, lipite sau conectate la un contact optic. Acest dispozitiv este simetric circular, fiind ușor de asamblat și aliniat și practic indestructibil. Elementele lentilelor adiacente sunt identice datorită simetriei circulare. Dispozitivul are o calitate ridicată a imaginii. În acest caz, pot fi realizate câmpuri unghiulare sintetizate până la 180 ° C. Materialul pentru fabricarea componentei lentilei concave poate fi un material compozit de tip carbon-carbon. În plus, această componentă concavă poate fi realizată din sticlă metalică pe o bază de titan sau beriliu. Parametrii de proiectare ai unuia dintre exemplele de implementare a dispozitivului pentru distanța focală a lentilei 17,9 mm cu o deschidere relativă de 1: 2,2 sunt prezentați în tabelul din Fig. 6. Filtrul de interferență aici este realizat folosind oglinzi dielectrice multistrat și este conceput pentru a selecta o lungime de undă de 0,5577 microni. Diagrama lentilei unui astfel de dispozitiv este prezentată în FIG. 5, iar graficele aberaţiilor reziduale sunt prezentate în FIG. 7. Aberația sferică laterală a acestei lentile este minimizată; lentila are o cantitate mică de astigmatism, comă și distorsiune. Locația pupilei de intrare se potrivește cu fiecare cerc de oglindă de pe componenta convexă a lentilei de proiecție. Pe lângă furnizarea unui câmp unghiular sintetizat, de ex. unghi larg, dispozitivul are avantaje tehnice suplimentare, care includ invarianța spațială, fiabilitatea și non-confuzia. Dispozitivul pentru construirea unei imagini monocromatice se presupune a fi utilizat pentru teledetecția a spațiului și a obiectelor terestre în regiunile spectrale ultraviolete, vizibile și infraroșu, cu o simplă restructurare a domeniului de lucru la câmpuri unghiulare mari. Este posibil să se utilizeze dispozitivul propus ca dispozitiv de vizualizare circulară, de exemplu, în sistemele de viziune din robotică pentru detectarea roboților adaptabili. Surse de informare. 1. Goetz A. F.H., Wellmann J.B., Barnes W.L. Teledetecție optică a Pământului - Proc. din IEEE iunie 1985, v. 73, nr. 6, p.p. 950-969. 2. Cikov K.N. și alte Sisteme optic ale complexului spectrometric video. - Izv. Universitățile din URSS „Ingineria instrumentelor”, v. XXXI, N 12, 1988. 3. Avanesov G.A., Chikov K.N. et al. Observarea televizată a lui Phobos. - Natura, v. 341, nr. 6243, 19 octombrie 1989, p.p. 585-587. 4. Anger C. D., Rabey S. K., Broadfoot A. L., Brown R. G., Cogger L.L., Gattinger R., Haslett J.W., King R.A., McEwen D.HJ, Murphree T.S., Richardson E. H., Sandell B.R., Smith K., Jones F.V. Un aparat de imagini aurorale ultraviolete pentru nava spațială Viking. - Geophys.Rez. Lett., V. L4, nr. 4, 1987, p. 387-390. 5. Rusinov M. M. Compoziția sistemelor optice. - L.: Inginerie mecanică, 1989.

REVENDICARE

Dispozitiv pentru construirea unei imagini monocromatice, constând dintr-un filtru de interferență situat de-a lungul traseului fasciculului, o lentilă de proiecție care conține componente concentrice de oglindă convexe și concave și un sistem de înregistrare cuplat optic la lentilă, care conține un element de fibră optică, caracterizat prin aceea că elementul de fibră optică este conectat cu unul sau un grup de fotodetectori, componenta convexă a lentilei este realizată sub forma unei emisfere oglindă aplicată pe suprafața exterioară a unei sfere goale transparente cu zone transparente inelare, diametrul interior al fiecărei dintre care este egal cu diametrul pupilei de intrare D, iar diametrul exterior D n este determinat din raport

Unde r 3 este raza componentei convexe;

R 4 - raza componentei concave,

Iar componenta concavă este realizată sub forma unei emisfere cu găuri de intrare centrale și periferice de diametru egal D in, determinate din raport

D in = Dr 4 / r 3,

Mai mult, locul geometric al centrelor lor sunt cercuri cu pas unghiular al centrelor acestor gauri, determinate din relatia

În acest caz, numărul de zone transparente inelare de pe componenta convexă este egal cu numărul de intrări ale componentei concave situate vizavi de acestea și, în consecință, egal cu numărul de filtre de interferență instalate în fața orificiilor de intrare, realizate pe substraturi. sub formă de meniscuri concentrice, centrul de curbură comun al suprafețelor optice ale fiecăreia dintre ele este aliniat cu centrul pupilei de intrare corespunzătoare.

Clasa 5a, 18 YVTO 1EKOE EVIDELETVO PE IZO EENI.

DESCRIEREA dispozitivului pentru determinarea curburii puțurilor.

1930 (certificat de cerere nr. 68898).

Sunt deja cunoscute instrumente pentru determinarea curburii găurilor de foraj folosind un ac magnetic pentru determinarea azimutului unghiului de deviere, precum și utilizarea unei suprafețe sferice cu o grilă geografică aplicată pe ea, așa cum este bine cunoscut. caracteristicile care pentru fixarea emisferei în poziția luată când forajul este curbat se aplică cleme care acționează din deplasarea în jos a supapelor cu fante oblice.role cu bandă și cu hârtie de copiere atașată la suprafața emisferei prinse. caz, coborârea supapelor, apăsarea cubului, rotirea rolelor benzii și întinderea aripilor de ghidare se realizează cu ajutorul unui șurub rotit de roți dințate dintr-o rolă rotită de un lanț de antrenare de la suprafața pământului.

În desen, FIG. 1 ilustrează o secţiune verticală a instrumentului de-a lungul liniei C - I din FIG. 2; smochin. 2 - o secțiune orizontală de-a lungul liniei A - B din Fig. unu; smochin. 3 - vedere de sus a dispozitivului.

Masiv | a-a pendul-emisferă 1 (figura 2) cu capete proeminente ale axei 2, care intră în-. trecându-se, în două orificii opuse 4 ale inelului 3 (Fig. 1), care are, de asemenea, orificii situate la prima pereche de orificii la un unghi de 90, în care pătrund tuburile axiale 5, atașate la unul dintre capete de coloanele b. . În tuburile 5, cu picioarele 8 introduse ale două cleme concave 9, există fante longitudinale 7. La celălalt capăt al picioarelor 8 există un bolt de trecere 10, care, cu capetele sale proeminente, se deplasează de-a lungul fantei 7 în tuburi 5. Prin intermediul a două zăvoare 11, conectate alternativ

Bară în formă de U 22 cu fante oblice 11, clemele 9 se deplasează într-o direcție spre bila 1, apoi înapoi.

Sub emisfera 1 (Fig. 1) se află o a treia clemă 14 cu o suprafață concavă. cu fața în aceeași emisferă 1. Clema 14 cu piciorul 16 se mișcă liber în tubul 17, înșurubat pe discul 18 cu amplasat! pe ea pârghiile 15, pivotante articulate pe opritoarele 15. Pârghii 15. atunci când este apăsat pe un capăt al zăvorului 11, celălalt capăt acționează asupra celei de-a treia cleme 14, trasă din emisfera 1 de arcurile 19. În centrul emisferei 1 pe partea sa trunchiată (orizontală superioară) este plasat un ac 12. , al cărui capăt ascuțit servește drept suport. magnetizată și servind drept emisferă goală de busolă 13, a cărei suprafață exterioară convexă este o rețea cu linii convexe și numere concentrice la marginile busolei, indicând grade și meridiane. Numerele sunt situate pe întreaga suprafață a busolei. Pe banda 22, în fantele de pe axele 23, rolele 24 și 24 cu banda de hârtie 25 rulată pe ele se rotesc; o rolă - carcasa 24 este prevăzută cu o rolă canelată pe lateral. În mijloc, lamelele 22, de jos, pe furca 27 este amplasat un cub 28, care se rotește pe o axă 29, iar pe aceeași axă, o rolă canelată este situată aproape de cub pe o parte și o roată dințată 31 pe celălalt, prins de un cub 28 acoperit cu patru cauciucuri libere pe laterale pentru fixarea elastică la busolă. Deasupra cauciucului este lipită o hârtie de copiere, iar o bandă de hârtie 25 trece peste ea de la o rolă 24 și alta, o rolă de primire 124, aderând strâns de partea inferioară a cubului 28. Rolele canelate ale cubului 28 și rola de primire 24, pentru rotirea lor simultană, are o spirală comună fără sfârşit, un cordon elastic 30 aruncat peste aceste role. Pe bara 20 atașată la stâlpul stâng b sunt montate clichete 26 cu arcuri. Pe partea superioară a curelei 22 este fixat de ea un cuplaj 32 care, prin rotirea șurubului 33, apoi îndepărtează cubul de busolă, apoi îl apasă pe busolă și, prin deplasarea zăvoarelor 11, eliberează emisfera 1. iar compasul 13 din cleme, apoi prind și emisfera și busola, făcându-le nemișcate. Șurubul 33, trecut prin simeringul 34 al discului 35 (care închide ermetic întregul mecanism descris), are la un capăt o roată dințată 39 rotită de un ax șurub 40 în rulmenți în stâlpi comuni b rolă canelată 38 cu mufe pentru individuală. zale de lanț situate de-a lungul canelurii (ca o roată de la ceasuri cu un kettlebell). Rola 38 este acţionată rotativ

s ambele părți, trăgând prin el un lanț, continuat la ambele capete cu șnururi de lungime egală cu adâncimea găurii. Pentru a aduce corpul sculei într-o poziție paralelă cu sonda. în mijlocul discului exterior 37 se află o axă 46 a angrenajului 42, antrenată în rotație de axa elicoidală 43 a cilindrului canelat 44, de aceeași acțiune cu cilindrul canelat 38 și în același mod prin tragerea unui anumit lungime de lanț, de asemenea continuat la ambele capete cu șnururi. Pe axa 46 (fig. 3) se află o traversă 45 montată rigid, ale cărei patru capete sunt articulate cu biela 47 și, în același timp, sunt articulate cu aripile 42, care au forma unui jgheab. , cu partea concavă adiacentă laturii cilindrice exterioare a corpului dispozitivului. Aripile, singure prin ecvestru longitudinal, sunt conectate pivotant la corpul dispozitivului și au

Scopul laturii sale convexe, îndepărtându-se de corp, să se potrivească strâns pe pereții puțurilor pentru a da

1 corp de sculă paralel cu poziția găurii. Rolele 49 (Fig. 1) sunt montate pe corpul sculei pe role pentru a elimina frecarea sculei de pereții găurii.

Aparatul funcționează după cum urmează. Scula este coborâtă în gaura de foraj pe o frânghie și capătul corespunzător al cordonului mecanismului extern este tras în afară, care antrenează rola 42 în rotație, în timp ce aripile 48 se îndepărtează în lateral, lipindu-se de pereții găurii de foraj. . Prin această acțiune, unealta este adusă într-o poziție staționară și paralelă cu puțul.

După așteptarea timpului necesar pentru calmarea busolei, a) trageți de cealaltă, întinsă prin cilindrul canelat 38, pe o anumită lungime de capătul corespunzător al acesteia, b) se coboară cadrul (bara 22) și supapele. . Clemele 9 și 14 aduc în același timp emisfera 1 și busola 13 într-o stare staționară, cubul 28, prinzând câinii 26 cu roata dințată 31, face un sfert de tură și, în același timp, cu cea inferioară. partea strânsă strâns banda de hârtie 25 pe busola 13, pe a cărei latură interioară , adiacentă hârtiei de copiere, și acea parte a busolei cu o grilă și numere care s-au abătut de la verticală va fi imprimată și, prin urmare, azimutul va fi imprimat. fi marcat. Apoi acest cordon este tras de celălalt capăt, paaa 22 se ridică, busola 13 și emisfera 1 sunt eliberate din cleme, după care primul cablu este tras și de celălalt capăt și astfel unealta este eliberată de contactul cu pereții. a fântânii.

Instantaneu realizat. Această acțiune poate fi repetată imediat sau, dacă se dorește, coborârea sau ridicarea dispozitivului la adâncimea dorită. Astfel, într-o manieră a dispozitivului, se pot face o serie de determinări, numărul cărora va depinde doar de lungimea benzii de hârtie 25. Obiectul invenţiei.

Dispozitiv pentru determinarea curburii puțurilor, care constă dintr-un nou cerc de pendul suspendat pe un card, o emisferă cu un ac vertical care servește drept suport pentru o emisferă magnetizată cu o rețea geografică convexă aplicată, caracterizat prin aceea că cleme 14 9 - 9 și 14 ,. acţionând din deplasarea în jos a obloanelor ŞI cu tăieturi oblice 11, iar pentru a obţine o imprimare de plasă pe bandă, se foloseşte un cub 28 aşezat pe axa 29 în furca 27, presat împreună cu banda care se deplasează între rolele 24 şi 24 și hârtia de copiere atașată la suprafața emisferei prinse 13, de exemplu șurubul 33, servește la coborârea supapelor 9 - 9 și 14, la apăsarea cubului 28, la rotirea rolelor de bandă și, de asemenea, la deplasarea aripilor de ghidare 48. pivotabil prin intermediul unui angrenaj dintat de la o rolă 38 rotită de un lanț de antrenare de la sol. (fig. 2)

Brevete similare:

Raza de curbură a unei suprafețe convexe poate fi calculată folosind următoarea formulă:

unde: T1 - raza de curbură a suprafeței convexe, mm;

T2 - raza de curbură a zonei optice a suprafeței concave, mm;

D - refracția vârfului lentilei, în dioptrii; n este indicele de refracție al materialului lentilei; t este grosimea din centrul lentilei de-a lungul axei sale, mm.

Pe un dorn sferic preîncălzit cu o rază corespunzătoare razei zonei optice a semifabricatului, se aplică ceară lipită și semifabricatul este lipit de pe partea laterală a suprafeței concave prelucrate. Centrarea se realizează pe un dispozitiv special de centrare cu o precizie de 0,02-0,04 mm.

După răcire, dornul, împreună cu semifabricatul centrat pe acesta, este instalat pe conul de aterizare al unui strung sferic pentru prelucrarea unei suprafețe convexe.

Raza calculată este stabilită de indicatorul situat pe suportul pivotului. Cu ajutorul unui alt indicator instalat pe axul mașinii, se determină grosimea stratului de material îndepărtat în timpul procesării. Întoarcerea unei suprafețe convexe se efectuează în mai multe treceri (similar cu prelucrarea unei suprafețe concave) până când se atinge grosimea specificată în centrul lentilei.

Lustruirea suprafeței convexe se efectuează cu un tampon de lustruit special umezit cu o suspensie de lustruit pe o mașină de lustruit (un singur ax sau multi-ax). Timpul de lustruire este de la 2 la 5 minute (in functie de material).

Curățenia suprafeței optice a lentilei se verifică cu un microscop binocular sau cu o lupă imediat după fabricarea lentilei înainte de a o scoate din dornul cu orificiu central. Puterea optică este măsurată cu un diopmetru. Dacă în timpul procesului de control se dovedește că rezultatele procesării nu sunt satisfăcătoare, atunci procesul este ajustat.

După terminarea lustruirii și controlului opticii, lentila este scoasă din suport, curățată de ceară adezivă.

La fabricarea suprafeței exterioare a lentilelor de refracție negativă, în primul rând, o suprafață sferică cu o rază de curbură calculată a zonei optice este măcinată la o grosime dată în centru, iar apoi zona lenticulară cu o anumită grosime a marginii este măcinată. până la împerecherea cu zona optică. Raza de curbură a zonei lenticulare este calculată și depinde de caracteristicile de proiectare ale lentilei. Când se calculează, trebuie avut în vedere faptul că grosimea lentilei de-a lungul marginii nu trebuie să depășească 0,2 mm, iar diametrul zonei optice a suprafeței exterioare trebuie să fie de cel puțin 7,5 mm.

La fabricarea suprafeței exterioare a lentilelor de refracție pozitivă, în primul rând, suprafața sferică este șlefuită cu o rază calculată până la o grosime în centru care o depășește pe cea necesară cu 0,03 mm. Mărimea razei depinde de grosimea lentilei la centru și la margine. Apoi, zona lenticulară este măcinată, începând de la marginea piesei de prelucrat până la diametrul calculat al zonei optice a suprafeței exterioare, care este selectată cu 0,4-0,5 mm mai mult decât diametrul suprafeței interioare. Indicatorul stabilește raza calculată a zonei optice. Prin rotirea suportului de tăiere și alimentarea corespunzătoare a piesei de prelucrat, vârful tăietorului este aliniat cu secțiunea periferică a zonei optice și zona optică a suprafeței convexe este prelucrată.

Lustruirea se efectuează pe o mașină de lustruit folosind un tampon de lustruit special umezit cu o suspensie.

Fabricarea GPZhKL se realizează conform aceleiași scheme, dar se folosesc moduri de procesare mai puțin intensive și compoziții speciale pentru curățarea și lustruirea acestor materiale.

La prelucrarea lentilelor sferotorice, suprafața sferică concavă a lentilei este mai întâi șlefuită conform tehnicii discutate mai sus, iar apoi, pentru a obține o suprafață torica la periferie, se prelucrează cu un instrument toric (de obicei o polizor și un tampon de lustruit) cu raze de curbură specificate ale suprafeţelor în două plane reciproc perpendiculare fis. 76). Numărul de instrumente torice pregătite depinde de numărul necesar de suprafețe torice din zona de aplatizare (alunecare).

Pentru a șlefui polizorul, utilizați un strung special conceput pentru fabricarea sculelor torice. În acest caz, ar trebui să respectați următoarele reguli:

1. Pe baza diferenței dintre razele din meridianele principale se stabilește deplasarea transversală a axului față de suportul rotativ. Controlul mișcării se realizează pe un indicator cadran. De exemplu, pentru o unealta torica cu raze de 8,0 / 8,5 mm, aceasta valoare, numita diferenta torica, va fi de 0,5 mm.

2. Prin rotirea suportului pivotant, semifabricatul sculei este prelucrat la o adâncime

Orez. 76. Schema unui tampon de lustruit toric.

bine, nu mai mult de 0,05 mm pentru fiecare trecere, pana se obtine o raza data, masurata de indicatorul suportului pivotant.

Apoi, unealta fabricată este instalată într-un dispozitiv special („furcă torusă”) al mașinii de lustruit.

Substratul cu piesa de prelucrat prelucrată este fixat rigid de lesa furcii torice. Apoi, lesa este instalată în canelurile furcii, astfel încât suprafața concavă a piesei de prelucrat să se sprijine pe suprafața de lucru a sculei torice. Pin

axul superior al mașinii de lustruit fixează antrenorul furcii torice. Prin deplasarea verticală a capului oscilant al mașinii de leupat, este necesar să se realizeze o astfel de poziție a piesei de prelucrat astfel încât să se miște numai în partea centrală a sculei torice. Măcinarea se efectuează cu pulberi de măcinare M7 și M3 până când se obține dimensiunea specificată a zonei optice. Timpul de șlefuire depinde de raportul dintre razele lentilei și diferența torice a sculei. Controlul dimensiunii obținute a zonei optice se efectuează folosind o lupă de măsurare cu o mărire de 10x.