Tangenta și suprafața normală online. Material teoretic. Cum se scrie ecuațiile planului tangent și normala într-un punct dacă suprafața este dată de o funcție explicită

1 °

1 °. Ecuații ale planului tangent și ale normalei pentru cazul specificării explicite a suprafeței.

Luați în considerare una dintre aplicațiile geometrice ale derivatelor parțiale ale unei funcții a două variabile. Lasă funcția z = f (X;y) diferentiabil la punct (x 0; la 0) vreo zonă DÎ R 2... Să tăiem suprafața S, funcția de imagistică z, avioane x = x 0și y = y 0(fig. 11).

Avion X = x 0 traversează suprafața S de-a lungul vreunei linii z 0 (y), a cărei ecuaţie se obţine prin substituirea funcţiei iniţiale în expresie z ==f (X;y) in loc de X numerele x 0. Punct M 0 (x 0;y 0,f (x 0;y 0)) aparține curbei z 0 (y). In virtutea functiei diferentiabile z la punct M 0 funcţie z 0 (y) este, de asemenea, diferențiabilă la punct y = y 0. Prin urmare, în acest punct al avionului x = x 0 la curbă z 0 (y) se poate trasa o tangentă l 1.

Efectuarea unui raționament similar pentru secțiune la = la 0, construiți o tangentă l 2 la curbă z 0 (X) la punct X = x 0 - Direct 1 1 și 1 2 defini un plan numit plan tangent la suprafata S la punct M 0.

Să-i facem ecuația. Deoarece avionul trece prin punct lu (x 0;y 0;z 0), atunci ecuația sa poate fi scrisă sub forma

A (x - xo) + B (y - yo) + C (z - zo) = 0,

care poate fi rescris astfel:

z -z 0 = A 1 (x - x 0) + B 1 (y - y 0) (1)

(împărțind ecuația la -C și notând ).

Găsi A 1și B 1.

Ecuații tangente 1 1 și 1 2 au forma

respectiv.

Tangentă l 1 se află în avion a , prin urmare, coordonatele tuturor punctelor l 1 satisface ecuația (1). Acest fapt poate fi scris ca un sistem

Rezolvând acest sistem în raport cu B 1, obținem că.Efectuând raționament similar pentru tangente l 3, este ușor de stabilit că.

Înlocuirea valorilor A 1și B 1 în ecuația (1), obținem ecuația necesară a planului tangent:

Linie prin punct M 0 iar perpendicular pe planul tangent construit în acest punct al suprafeței se numește ei normal.

Folosind condiția de perpendicularitate a unei drepte și a unui plan, este ușor de obținut ecuațiile canonice ale normalei:

Cometariu. Formulele pentru planul tangent și normala la suprafață se obțin pentru punctele obișnuite, adică nesingulare, ale suprafeței. Punct M 0 suprafata se numeste special, dacă în acest moment toate derivatele parțiale sunt egale cu zero sau cel puțin una dintre ele nu există. Nu luăm în considerare astfel de puncte.

Exemplu. Scrieți ecuațiile planului tangent și normala la suprafață în punctul său M (2; -1; 1).

Soluţie. Să găsim derivatele parțiale ale acestei funcții și valorile lor în punctul M

Prin urmare, aplicând formulele (2) și (3), vom avea: z-1 = 2 (x-2) +2 (y + 1) sau 2x + 2y-z-1 = 0- ecuaţia planului tangent şi - ecuații normale.

2 °. Ecuații ale planului tangent și ale normalei pentru cazul definirii implicite a suprafeței.

Dacă suprafaţa S dat de ecuație F (X; y;z)= 0, apoi ecuațiile (2) și (3), ținând cont de faptul că derivatele parțiale pot fi găsite ca derivate ale unei funcții implicite.

Să avem o suprafață dată de o ecuație de formă

Să introducem următoarea definiție.

Definiție 1. O dreaptă se numește tangentă la suprafață la un moment dat dacă este

tangentă la orice curbă situată la suprafață și care trece printr-un punct.

Deoarece un număr infinit de curbe diferite situate pe suprafață trec prin punctul P, atunci va exista, în general, un set infinit de tangente la suprafața care trece prin acest punct.

Să introducem conceptul de puncte singulare și obișnuite ale suprafeței

Dacă într-un punct toate cele trei derivate sunt egale cu zero sau cel puțin una dintre aceste derivate nu există, atunci punctul M se numește punct singular al suprafeței. Dacă într-un punct există toate cele trei derivate și sunt continue și cel puțin una dintre ele este diferită de zero, atunci punctul M se numește punct obișnuit al suprafeței.

Acum putem enunța următoarea teoremă.

Teorema. Toate liniile tangente la o suprafață dată (1) în punctul ei obișnuit P se află în același plan.

Dovada. Se consideră pe suprafață o dreaptă L (Fig. 206) care trece printr-un punct dat P al suprafeței. Fie curba luată în considerare de ecuațiile parametrice

Tangenta la curbă va fi tangentă la suprafață. Ecuațiile acestei tangente sunt de forma

Dacă expresiile (2) sunt înlocuite în ecuația (1), atunci această ecuație se va transforma într-o identitate față de t, deoarece curba (2) se află pe suprafața (1). Diferențiându-l prin obținem

Proiectiile acestui vector depind de - coordonatele punctului P; rețineți că, deoarece punctul P este obișnuit, aceste proiecții la punctul P nu dispar simultan și, prin urmare

tangentă la curba care trece prin punctul P și se află la suprafață. Proiecțiile acestui vector se calculează pe baza ecuațiilor (2) cu valoarea parametrului t corespunzătoare punctului P.

Să calculăm produsul scalar al vectorilor N și care este egal cu suma produselor proiecțiilor cu același nume:

Pe baza egalității (3), expresia din partea dreaptă este egală cu zero, prin urmare,

Din ultima egalitate rezultă că vectorul ЛГ și vectorul tangent la curba (2) în punctul Р sunt perpendiculare. Raționamentul de mai sus este valabil pentru orice curbă (2) care trece prin punctul P și se află pe suprafață. În consecință, fiecare tangentă la suprafață în punctul P este perpendiculară pe același vector N și, prin urmare, toate aceste tangente se află în același plan perpendicular pe vectorul ЛГ. Teorema este demonstrată.

Definiția 2. Planul în care se află toate liniile drepte tangente la liniile de pe suprafața care trec prin punctul său dat P se numește plan tangent la suprafață în punctul P (Fig. 207).

Rețineți că un plan tangent poate să nu existe în puncte singulare ale suprafeței. În astfel de puncte, liniile tangente la suprafață pot să nu se afle în același plan. Deci, de exemplu, vârful unei suprafețe conice este un punct singular.

Tangentele la suprafața conică în acest punct nu se află în același plan (ele însele formează suprafața conică).

Să scriem ecuația planului tangent la suprafața (1) într-un punct obișnuit. Deoarece acest plan este perpendicular pe vectorul (4), atunci, în consecință, ecuația sa are forma

Dacă ecuația suprafeței este dată sub formă sau ecuația planului tangent în acest caz ia forma

Cometariu. Dacă punem în formula (6), atunci această formulă ia forma

partea dreaptă a acesteia reprezintă diferența completă a funcției. Prin urmare, . Astfel, diferența totală a funcției a două variabile în punctul corespunzător creșterilor variabilelor independente x și y este egală cu creșterea corespunzătoare a aplicatului planului tangent la suprafață, care este graficul acestei funcții.

Definiţia 3. O dreaptă trasată printr-un punct al suprafeţei (1) perpendicular pe planul tangent se numeşte normală la suprafaţă (Fig. 207).

Să scriem ecuațiile pentru normală. Deoarece direcția sa coincide cu direcția vectorului N, atunci ecuațiile sale vor avea forma

Descărcați din Depositfiles

4. TEORIA SUPRAFEȚELOR.

4.1 ECUATII PENTRU SUPRAFETE.

O suprafață în spațiul 3D poate fi specificată:

1) implicit: F ( X , y , z ) =0 (4.1)

2) în mod explicit: z = f ( X , y ) (4.2)

3) parametric: (4.3)

sau:
(4.3’)

unde argumente scalare
numite uneori coordonate curbilinie. De exemplu, sfera
este convenabil să setați în coordonate sferice:
.

4.2 PLAN TANGENTUL ȘI NORMAL LA SUPRAFAȚĂ.

Dacă linia se află pe suprafața (4.1), atunci coordonatele punctelor sale satisfac ecuația suprafeței:

Diferențiând această identitate, obținem:

(4.4)

sau
(4.4 ’ )

în fiecare punct al unei curbe de pe o suprafață. Astfel, vectorul gradient în puncte nesingurale ale suprafeței (la care funcția (4.5) este diferențiabilă și
) este perpendiculară pe vectorii tangenți pe orice drepte de pe suprafață, adică poate fi folosit ca vector normal pentru a compune ecuația planului tangent în punctul M 0 (X 0 , y 0 , z 0 ) suprafata

(4.6)

și ca vector de direcție în ecuația normală:

(4.7)

În cazul specificării explicite a suprafeței (4.2), ecuațiile planului tangent și, respectiv, ale normalei iau forma:

(4.8)

și
(4.9)

În reprezentarea parametrică a suprafeţei (4.3), vectorii
se află în planul tangent și ecuația planului tangent poate fi scrisă astfel:

(4.10)

iar produsul lor încrucișat poate fi luat ca vector de direcție al normalului:

iar ecuația normală poate fi scrisă astfel:

(4.11)

Unde
- valorile parametrilor corespunzătoare punctului М 0 .

În cele ce urmează, ne limităm să luăm în considerare doar acele puncte ale suprafeței unde vectorii

nu egal cu zero și nu paralel.

Exemplul 4.1 Desenați ecuațiile planului tangent și ale normalei în punctul M 0 (1,1,2) la suprafața unui paraboloid de revoluție
.

Soluție: Deoarece ecuația paraboloidului este dată în mod explicit, conform (4.8) și (4.9), trebuie să găsiți
la punctul M 0 :

, iar în punctul M 0
... Apoi ecuația planului tangent în punctul M 0 va lua forma:

2(X -1)+2(y -1)-(z-2) = 0 sau 2 X +2 y -z - 2 = 0, iar ecuația normală
.

Exemplul 4.2 Întocmește ecuațiile planului tangent și ale normalei într-un punct arbitrar al elicoidului
, .

Soluţie. Aici ,

Ecuația planului tangent:

sau

Ecuații normale:

.

4.3 FORMA PRIMULUI PĂTRAT DE SUPRAFAȚĂ.

Dacă suprafața este dată de ecuație

apoi curba
pe ea poate fi dat de ecuație
(4.12)

Diferenţială vectorială cu rază
de-a lungul curbei corespunzătoare deplasării din punctul M 0 la un punct apropiat M este egal cu

(4.13)

pentru că
Este diferența arcului de curbă corespunzătoare aceleiași deplasări), atunci

(4.14)

Unde .

Expresia din partea dreaptă a lui (4.14) se numește prima formă de suprafață pătratică și joacă un rol enorm în teoria suprafețelor.

Integrez diferentialulds variind de la t 0 (corespunde punctului М 0) la t (corespunde punctului M), obținem lungimea segmentului corespunzător al curbei

(4.15)

Cunoscând prima formă pătratică a suprafeței, puteți găsi nu numai lungimile, ci și unghiurile dintre curbe.

Dacă du , dv Sunt diferențialele coordonatelor curbilinii care corespund unei deplasări infinitezimale de-a lungul unei curbe și
- pe de altă parte, ținând cont de (4.13):

(4.16)

Folosind formula

(4.17)

prima formă pătratică face posibilă calcularea ariei regiunii
suprafaţă.

Exemplul 4.3 Pe elicoid, găsiți lungimea helixului
între două puncte.

Soluţie. Din moment ce pe helix
, atunci . Găsiți la punct
prima formă pătratică. Indicând șiv = t , obţinem ecuaţia acestei linii elicoidale sub forma. Forma pătratică:

= Este prima formă pătratică.

Aici . În formula (4.15), în acest caz
și lungimea arcului:

=

4.4 FORMA A DOUA SUPRAFAȚA PĂTRATĂ.

Notăm
Este vectorul normal al unității la suprafață
:

(4.18) . (4.23)

O linie de pe o suprafață se numește linie de curbură dacă direcția sa în fiecare punct este direcția principală.

4.6 CONCEPTUL DESPRE LINII GEODEZICE DE SUPRAFAȚĂ.

Definiție 4.1 ... O curbă pe o suprafață se numește geodezică dacă normala sa principală în fiecare punct în care curbura este diferită de zero coincide cu normalul la suprafata.

Trece prin fiecare punct al suprafeței în orice direcție și, în plus, o singură geodezică. Pe o sferă, de exemplu, cercurile mari sunt geodezice.

Parametrizarea unei suprafețe se numește semi-geodezică dacă o familie de linii de coordonate este formată din geodezice, iar a doua este ortogonală cu aceasta. De exemplu, pe sferă meridiane (geodezice) și paralele.

O geodezică pe un segment suficient de mic este cea mai scurtă dintre toate curbele apropiate, care conectează aceleași puncte.

Și anume, ceea ce vezi în titlu. În esență, este un „analog spațial” problema găsirii tangenteiși normali la graficul unei funcții a unei variabile și, prin urmare, nu ar trebui să apară dificultăți.

Să începem cu câteva întrebări de bază: CE ESTE un plan tangent și CE ESTE un normal? Mulți sunt conștienți de aceste concepte la nivelul intuiției. Cel mai simplu model care îmi vine în minte este o minge pe care se sprijină o bucată plată subțire de carton. Cartonul este situat cât mai aproape de sferă și îl atinge într-un singur punct. În plus, în punctul de contact, este fixat de un ac care se lipește drept în sus.

În teorie, există o definiție destul de ingenioasă a unui plan tangent. Imaginați-vă un arbitrar suprafaţăși punctul care îi aparține. Evident, o mulțime de linii spațiale care aparțin acestei suprafețe. Cine are ce asociații? =) ... eu personal am prezentat caracatița. Să presupunem că fiecare astfel de linie are tangenta spatiala la punct.

Definiția 1: plan tangent la suprafata intr-un punct este avion conţinând tangente la toate curbele care aparţin acestei suprafeţe şi trec prin punct.

Definiția 2: normal la suprafata intr-un punct este Drept trecând prin acest punct perpendicular pe planul tangent.

Simplu și elegant. Apropo, ca să nu mori de plictiseală din cauza simplității materialului, puțin mai târziu îți voi împărtăși un secret elegant care îți permite să uiți O dată și pentru totdeauna de înghesuitul diverselor definiții.

Ne vom familiariza cu formulele de lucru și algoritmul de soluție direct pe un exemplu specific. În majoritatea covârșitoare a problemelor, este necesar să se compună atât ecuația planului tangent, cât și ecuațiile normalei:

Exemplul 1

Soluţie: dacă suprafața este dată de ecuație (adică implicit), atunci ecuația planului tangent la o suprafață dată într-un punct poate fi găsită prin următoarea formulă:

Acord o atenție deosebită derivatelor parțiale neobișnuite - lor a nu fi confundat Cu derivate parțiale ale unei funcții definite implicit (deși suprafața este implicit specificată)... Când găsiți aceste derivate, trebuie să vă ghidați după regulile de diferențiere a unei funcții a trei variabile, adică la diferențierea față de orice variabilă, celelalte două litere sunt considerate constante:

Fără a părăsi checkout-ul, găsim derivata parțială la punctul:

De asemenea:

Acesta a fost cel mai neplăcut moment al deciziei, în care o greșeală, dacă nu este permisă, apare în mod constant. Cu toate acestea, aici există o tehnică de verificare eficientă, despre care am vorbit în lecție Derivată direcțională și gradient.

Toate „ingredientele” au fost găsite, iar acum este până la o înlocuire îngrijită cu simplificări suplimentare:

– ecuație generală planul tangent necesar.

Vă recomand cu tărie să verificați și această etapă a soluției. În primul rând, trebuie să vă asigurați că coordonatele punctului de atingere satisfac cu adevărat ecuația găsită:

- adevărata egalitate.

Acum „eliminăm” coeficienții ecuației generale a planului și îi verificăm pentru coincidență sau proporționalitate cu valorile corespunzătoare. În acest caz, ele sunt proporționale. Îți amintești de la curs de geometrie analitică, - aceasta vector normal plan tangent și este - vector de direcție linie dreaptă normală. Să compunem ecuații canonice normale prin vector punct și direcție:

În principiu, numitorii pot fi micșorati cu „doi”, dar nu este nevoie specială de acest lucru

Răspuns:

Nu este interzisă desemnarea ecuațiilor cu unele litere, totuși, din nou - de ce? Aici, și deci este extrem de clar ce este.

Următoarele două exemple sunt pentru autoajutorare. Un mic „storbator de limbi matematice”:

Exemplul 2

Aflați ecuațiile planului tangent și normala la suprafață într-un punct.

Și o sarcină care este interesantă din punct de vedere tehnic:

Exemplul 3

Scrieți ecuațiile pentru planul tangent și normala la suprafață într-un punct

La punctul.

Există toate șansele nu numai să fii confuz, ci și să te confrunți cu dificultăți la înregistrare ecuații canonice ale dreptei... Și ecuațiile normalei, așa cum probabil ați înțeles, sunt de obicei scrise în această formă. Deși, din cauza uitării sau necunoașterii unora dintre nuanțe, forma parametrică este mai mult decât acceptabilă.

Exemple de exemple de soluții de finisare la sfârșitul lecției.

Există un plan tangent în orice punct al suprafeței? În general, desigur că nu. Exemplul clasic este suprafata conica și punct - tangentele din acest punct formează direct o suprafață conică și, desigur, nu se află în același plan. Este ușor să te convingi de necazuri analitic:.

O altă sursă de probleme este faptul inexistenţa orice derivată parțială la un punct. Totuși, aceasta nu înseamnă că într-un punct dat nu există un singur plan tangent.

Dar era, mai probabil, știință populară decât informații practic semnificative și ne întoarcem la treburile noastre zilnice:

Cum se scrie ecuații pentru planul tangent și normala într-un punct,
dacă suprafaţa este dată de o funcţie explicită?

Să-l rescriem implicit:

Și conform acelorași principii, vom găsi derivatele parțiale:

Astfel, formula pentru planul tangent se transformă în următoarea ecuație:

Și în consecință, ecuațiile canonice normale:

După cum ați putea ghici, - acestea sunt deja „reale” derivate parțiale ale unei funcții a două variabileîn punctul în care obișnuiam să desemnam cu litera „z” și am găsit de 100.500 de ori.

Rețineți că în acest articol este suficient să vă amintiți prima formulă, din care, dacă este necesar, este ușor să obțineți orice altceva. (de înțeles, având un nivel de bază de pregătire)... Aceasta este abordarea care ar trebui utilizată în studiul științelor exacte, adică. dintr-un minim de informații, ar trebui să ne străduim să „trageți” un maxim de concluzii și consecințe. „Soobrazhalovka” și cunoștințele deja existente pentru a ajuta! Acest principiu este util și prin faptul că este probabil să te salveze într-o situație critică când știi foarte puțin.

Să elaborăm formulele „modificate” cu câteva exemple:

Exemplul 4

Scrieți ecuațiile pentru planul tangent și normala la suprafață la punct.

O mică suprapunere aici s-a dovedit cu denumiri - acum litera denotă un punct din avion, dar ce să faceți - o scrisoare atât de populară...

Soluţie: ecuația planului tangent necesar este compilată cu formula:

Să calculăm valoarea funcției în punctul:

Să calculăm Derivate parțiale de ordinul Iîn acest moment:

În acest fel:

cu grijă, nu în grabă:

Scriem ecuațiile canonice ale normalei într-un punct:

Răspuns:

Și un ultim exemplu pentru o soluție do-it-yourself:

Exemplul 5

Scrieți ecuațiile pentru planul tangent și normala la suprafață într-un punct.

Cel final - pentru că de fapt am explicat toate punctele tehnice și nu este nimic special de adăugat. Chiar și funcțiile în sine, oferite în această sarcină, sunt plictisitoare și monotone - este aproape garantat în practică că veți întâlni un „polinom”, iar în acest sens Exemplul nr. 2 cu un exponent arată ca o „oaie neagră”. Apropo, este mult mai probabil să întâlnească suprafața dată de ecuație, iar acesta este un alt motiv pentru care funcția a fost inclusă în articolul „al doilea număr”.

Și, în sfârșit, secretul promis: cum poți evita aglomerația de definiții? (Desigur, nu mă refer la o situație în care un student înghesuie frenetic ceva înainte de examen)

Definiția oricărui concept/fenomen/obiect oferă, în primul rând, un răspuns la următoarea întrebare: CE ESTE? (cine / așa / așa / așa). Conştient Răspunzând la această întrebare, ar trebui să încerci să reflectezi esenţial semne, fără echivoc identificarea cutare sau cutare concept/fenomen/obiect. Da, la început acest lucru se dovedește a fi oarecum legat de limbă, inexact și redundant (profesorul va corecta =)), dar în timp, se dezvoltă un discurs științific complet demn.

Practicați pe cele mai abstracte obiecte, de exemplu, răspundeți la întrebarea: cine este Cheburashka? Nu este atât de simplu ;-) Este acesta „un personaj de basm cu urechi mari, ochi și păr șaten”? Departe și foarte departe de definiție – nu se știe niciodată că există personaje cu astfel de caracteristici.... Dar aceasta este deja mult mai aproape de definiție: „Cheburashka este un personaj inventat de scriitorul Eduard Uspensky în 1966, care... (enumerarea principalelor trăsături distinctive)”... Observați cât de bine a început