Momentul axial de inerție. Momente de inerție centrifuge. Momente centrifuge pentru corpuri cu o axă sau un plan de simetrie Cum se măsoară momentul de inerție centrifugal?
DEFINIȚIE
Momentul de inerție axial (sau ecuatorial). secțiunea despre axă se numește valoare, care este definită ca:
Expresia (1) înseamnă, pentru a calcula momentul axial de inerție, suma produselor ariilor infinitezimale () înmulțită cu pătratele distanțelor de la acestea la axa de rotație este luată pe întreaga suprafață S:
Suma momentelor axiale de inerție ale secțiunii în raport cu axele reciproc perpendiculare (de exemplu, în raport cu axele X și Y în sistemul de coordonate carteziene) dă momentul polar de inerție () relativ la punctul de intersecție al acestora. axe:
DEFINIȚIE
Moment polar inerția se numește momentul de inerție ca secțiune transversală față de un anumit punct.
Momentele axiale de inerție sunt întotdeauna mai mari decât zero, deoarece în definițiile lor (1) sub semnul integral există valoarea ariei unei zone elementare (), întotdeauna pozitivă și pătratul distanței de la această zonă la axa.
Dacă avem de-a face cu o secțiune de formă complexă, atunci adesea în calcule se folosește faptul că momentul de inerție axial al unei secțiuni complexe față de axă este egal cu suma momentelor de inerție axiale ale părților acestei secțiuni. secțiune pe aceeași axă. Cu toate acestea, trebuie amintit că momentele de inerție care se găsesc în raport cu diferite axe și puncte nu pot fi însumate.
Momentul axial de inerție în jurul axei care trece prin centrul de greutate al secțiunii are cea mai mică valoare dintre toate momentele în jurul axelor paralele cu aceasta. Momentul de inerție față de orice axă (), cu condiția ca aceasta să fie paralelă cu axa care trece prin centrul de greutate, este:
unde este momentul de inerție al secțiunii în raport cu axa care trece prin centrul de greutate al secțiunii; - arie a secțiunii transversale; - distanta dintre axe.
Exemple de rezolvare a problemelor
EXEMPLUL 1
| Exercițiu | Care este momentul de inerție axial al unei secțiuni triunghiulare isoscelă față de axa Z care trece prin centrul de greutate () al triunghiului, paralel cu baza acestuia? Înălțimea triunghiului este. |
| Soluţie | Să selectăm o zonă elementară dreptunghiulară pe o secțiune triunghiulară (vezi Fig. 1). Este situat la o distanță de axa de rotație, lungimea unei laturi, a celeilalte părți. Din fig. 1 rezultă că:
Aria dreptunghiului selectat, luând în considerare (1.1), este egală cu: Pentru a găsi momentul axial de inerție, folosim definiția acestuia sub forma: |
| Răspuns |
EXEMPLUL 2
| Exercițiu | Aflați momentele de inerție axiale în raport cu axele perpendiculare X și Y (Fig. 2) ale secțiunii sub forma unui cerc al cărui diametru este egal cu d. |
| Soluţie | Pentru a rezolva problema, este mai convenabil să începeți cu găsirea momentului polar relativ la centrul secțiunii (). Împărțim întreaga secțiune în inele infinit de subțiri cu o grosime a cărei rază o notăm. Apoi găsim zona elementară ca: |
Auzim adesea expresii: „este inert”, „a se mișca prin inerție”, „moment de inerție”. În sens figurat, cuvântul „inerție” poate fi interpretat ca o lipsă de inițiativă și acțiune. Ne interesează sensul direct.
Ce este inerția
Conform definiţiei inerţieîn fizică, este capacitatea corpurilor de a menține o stare de repaus sau de mișcare în absența forțelor externe.
Dacă prin însuși conceptul de inerție totul este clar la nivel intuitiv, atunci moment de inerție- o întrebare separată. De acord, este greu să-ți imaginezi în mintea ta ce este. În acest articol, veți învăța cum să rezolvați problemele de bază pe această temă "Moment de inerție".
Determinarea momentului de inerție
Din cursul şcolar se ştie că masa - o măsură a inerției corpului... Dacă împingem două căruțe de mase diferite, atunci cel mai greu va fi mai greu de oprit. Adică, cu cât masa este mai mare, cu atât este necesară o influență externă mai mare pentru a schimba mișcarea corpului. Considerat se referă la mișcarea de translație, atunci când căruciorul din exemplu se mișcă în linie dreaptă.
Prin analogie cu masa și mișcarea de translație, momentul de inerție este o măsură a inerției unui corp în timpul mișcării de rotație în jurul unei axe.
Moment de inerție Este o mărime fizică scalară, o măsură a inerției unui corp atunci când se rotește în jurul unei axe. Notat printr-o scrisoare J și în sistem SI măsurată în kilograme înmulțite cu un metru pătrat.
Cum se calculează momentul de inerție? Există o formulă generală prin care se calculează momentul de inerție al oricărui corp în fizică. Dacă corpul este rupt în bucăți infinit de mici cu o masă dm , atunci momentul de inerție va fi egal cu suma produselor acestor mase elementare cu pătratul distanței până la axa de rotație.
Aceasta este o formulă generală pentru momentul de inerție în fizică. Pentru un punct material de masă m rotindu-se în jurul unei axe la distanță r din ea, această formulă ia forma:
teorema lui Steiner
De ce depinde momentul de inerție? Din masă, poziția axei de rotație, forma și dimensiunea corpului.
Teorema Huygens-Steiner este o teoremă foarte importantă care este adesea folosită la rezolvarea problemelor.
Apropo! Pentru cititorii noștri, acum există o reducere de 10% la orice fel de muncă
Teorema Huygens-Steiner spune:
Momentul de inerție al unui corp în jurul unei axe arbitrare este egal cu suma momentului de inerție al unui corp în jurul unei axe care trece prin centrul de masă paralel cu o axă arbitrară și produsul masei corpului cu pătratul distanta dintre axe.
Pentru cei care nu doresc să se integreze constant atunci când rezolvă probleme de găsire a momentului de inerție, dăm o figură care arată momentele de inerție ale unor corpuri omogene care se găsesc adesea în probleme:
Un exemplu de rezolvare a problemei găsirii momentului de inerție
Să ne uităm la două exemple. Prima sarcină este să găsești momentul de inerție. A doua sarcină este de a folosi teorema Huygens-Steiner.
Problema 1. Aflați momentul de inerție al unui disc omogen de masă m și rază R. Axa de rotație trece prin centrul discului.
Soluţie:
Împărțim discul în inele infinit de subțiri, a căror rază variază de la 0 inainte de Rși luați în considerare un astfel de inel. Fie raza lui r, iar masa este dm... Apoi momentul de inerție al inelului:
Masa inelului poate fi reprezentată astfel:
Aici dz- inaltimea inelului. Înlocuiți masa din formula pentru momentul de inerție și integrați:
Rezultatul este o formulă pentru momentul de inerție al unui disc sau cilindru subțire absolut.
Problema 2. Fie din nou un disc cu masa m și raza R. Acum trebuie să găsim momentul de inerție al discului în raport cu axa care trece prin mijlocul uneia dintre razele sale.
Soluţie:
Momentul de inerție al discului în jurul axei care trece prin centrul de masă este cunoscut din problema anterioară. Aplicam teorema lui Steiner si gasim:
Apropo, pe blogul nostru puteți găsi și alte materiale utile despre fizică și rezolvarea problemelor.
Sperăm că veți găsi ceva util în acest articol. Dacă apar dificultăți în procesul de calcul al tensorului de inerție, nu uitați de serviciul pentru studenți. Experții noștri vă vor sfătui în orice problemă și vă vor ajuta să rezolvați problema în câteva minute.
Dacă axele de coordonate sunt trasate prin punctul O, atunci în raport cu aceste axe momentele de inerție centrifuge (sau produsele de inerție) se numesc mărimi determinate de egalități:
unde sunt masele punctelor; - coordonatele acestora; în acest caz, este evident că etc.
Pentru corpurile solide, formulele (10), prin analogie cu (5), iau forma
Spre deosebire de momentele de inerție centrifuge axiale, acestea pot fi atât valori pozitive, cât și negative și, în special, cu un anumit mod de axe selectate, ele pot dispărea.
Axele principale de inerție. Considerăm un corp omogen cu o axă de simetrie. Să desenăm axele de coordonate Oxyz astfel încât axa să fie îndreptată de-a lungul axei de simetrie (Fig. 279). Apoi, din cauza simetriei, fiecărui punct al corpului cu masa mk și coordonatele îi va corespunde un punct cu un indice diferit, dar cu aceeași masă și coordonate egale. Ca rezultat, obținem că, întrucât în aceste sume toți termenii sunt identici în perechi ca valoare absolută și opuși ca semn; de aici, ținând cont de egalitățile (10), găsim:
Astfel, simetria în distribuția maselor în jurul axei z se caracterizează prin dispariția a două momente de inerție centrifuge. Axa Oz, pentru care momentele de inerție centrifuge care conțin denumirea acestei axe în indicii lor sunt egale cu zero, se numește axa principală de inerție a corpului pentru punctul O.
Din cele de mai sus rezultă că dacă corpul are o axă de simetrie, atunci această axă este axa principală de inerție a corpului pentru oricare dintre punctele sale.
Axa majoră de inerție nu este neapărat axa de simetrie. Se consideră un corp omogen cu un plan de simetrie (în Fig. 279, planul de simetrie al corpului este planul). Să desenăm câteva axe și o axă perpendiculară pe acestea în acest plan.Apoi, din cauza simetriei, fiecărui punct cu masă și coordonate îi va corespunde un punct cu aceeași masă și coordonate egale. Ca urmare, ca și în cazul precedent, constatăm că sau de unde rezultă că axa este axa principală de inerție pentru punctul O. Astfel, dacă corpul are un plan de simetrie, atunci orice axă perpendiculară pe acest plan va fi axa principală de inerție a corpului pentru punctul Oh, în care axa intersectează planul.
Egalitățile (11) exprimă condițiile ca axa să fie axa principală de inerție a corpului pentru punctul O (origine).
În mod analog, dacă axa Oy va fi axa principală de inerție pentru punctul O. Prin urmare, dacă toate momentele de inerție centrifuge sunt egale cu zero, i.e.
atunci fiecare dintre axele de coordonate este axa principală de inerție a corpului pentru punctul O (origine).
De exemplu, în Fig. 279, toate cele trei axe sunt pentru punctul O axele principale de inerție (axa ca axă de simetrie, iar axele Ox și Oy ca perpendiculare pe planurile de simetrie).
Momentele de inerție ale unui corp în raport cu axele principale de inerție sunt numite momente de inerție principale ale corpului.
Principalele axe de inerție construite pentru centrul de masă al corpului sunt numite principalele axe centrale de inerție ale corpului. Din cele demonstrate mai sus, rezultă că dacă corpul are o axă de simetrie, atunci această axă este una dintre principalele axe centrale de inerție ale corpului, deoarece centrul de masă se află pe această axă. Dacă corpul are un plan de simetrie, atunci axa perpendiculară pe acest plan și care trece prin centrul de masă al corpului va fi, de asemenea, una dintre principalele axe centrale de inerție ale corpului.
În exemplele de mai sus au fost luate în considerare corpuri simetrice, ceea ce este suficient pentru a rezolva problemele cu care ne vom confrunta. Totuși, se poate dovedi că prin orice punct al oricărui corp este posibil să se deseneze cel puțin trei astfel de axe reciproc perpendiculare pentru care vor fi valabile egalitățile (11), adică care vor fi principalele axe de inerție ale corpului pentru acest punct. .
Conceptul de axe principale de inerție joacă un rol important în dinamica unui corp rigid. Dacă axele de coordonate Oxyz sunt direcționate de-a lungul lor, atunci toate momentele de inerție centrifuge dispar și ecuațiile sau formulele corespunzătoare sunt mult simplificate (vezi § 105, 132). Acest concept este asociat și cu rezolvarea problemelor privind ecuația dinamică a corpurilor în rotație (vezi § 136), asupra centrului de impact (vezi § 157), etc.
Dacă m = 1, n = 1, atunci obținem caracteristica
Care e numit moment de inerție centrifugal.
Momentul de inerție centrifugal relativ la axele de coordonate - suma produselor ariilor elementare dA la distanţa lor faţă de aceste axe, luate pe întreaga suprafaţă a secţiunii transversale A.
Dacă cel puţin una dintre axe y sau z este axa de simetrie a secțiunii, momentul de inerție centrifugal al unei astfel de secțiuni față de aceste axe este zero (deoarece în acest caz fiecare mărime pozitivă z y dA putem pune în corespondență exact la fel, dar negativ, de cealaltă parte a axei de simetrie a secțiunii, vezi figura).
Luați în considerare caracteristicile geometrice suplimentare care pot fi obținute din cele principale enumerate și care sunt, de asemenea, adesea folosite în calculele de rezistență și rigiditate.
Momentul polar de inerție
Momentul polar de inerție J p numiți caracteristica
Pe de alta parte,
Momentul polar de inerție(față de un punct dat) - suma produselor suprafețelor elementare dA după pătratele distanțelor lor 
până în acest punct, preluată pe întreaga suprafață a secțiunii transversale A.
Dimensiunea momentelor de inerție este m 4 în SI.
Moment de rezistență
Moment de rezistență relativ la o anumită axă - o valoare egală cu momentul de inerție în jurul aceleiași axe raportată la distanță ( y max sau z max) până la punctul cel mai îndepărtat de această axă
Dimensiunea momentelor de rezistenţă este m 3 în SI.
Rază de girație
Rază de girație secțiunea relativă la o axă se numește valoarea determinată din raportul:
Razele de rotație sunt exprimate în unități SI.
Cometariu: secțiuni de elemente ale structurilor moderne reprezintă adesea o anumită compoziție de materiale cu rezistență diferită la deformații elastice, caracterizate, după cum se știe din cursul de fizică, prin modulul lui Young. E... În cazul cel mai general al unei secțiuni neomogene, modulul lui Young este o funcție continuă a coordonatele punctelor secțiunii, i.e. E = E (z, y)... Prin urmare, rigiditatea unei secțiuni care este neomogenă în proprietăți elastice este caracterizată de caracteristici mai complexe decât caracteristicile geometrice ale unei secțiuni omogene, și anume, elastic-geometrice.
2.2. Calcularea caracteristicilor geometrice ale formelor simple
Secțiune dreptunghiulară
Determinați momentul axial de inerție al dreptunghiului în jurul axei z... Împărțim aria dreptunghiului în zone elementare cu dimensiuni b(lățimea) și dy(înălţime). Apoi aria unui astfel de dreptunghi elementar (umbrit) este egală cu dA = b dy... Înlocuirea valorii dAîn prima formulă, obținem
Prin analogie, notăm momentul axial în jurul axei la:
Momentele axiale de rezistență ale unui dreptunghi:
; 
În mod similar, puteți obține caracteristici geometrice pentru alte forme simple.
Secțiune rotundă
Este convenabil de găsit la început momentul polar de inerție J p.
Apoi, având în vedere că pentru un cerc J z = J y, A J p = J z + J y, găsi J z =J y = J p / 2.
Împărțim cercul în inele infinitezimale cu o grosime dρ si raza ρ ; zona unui astfel de inel dA = 2 ∙ π ∙ ρ ∙ dρ... Înlocuind expresia pentru dAîn expresie pentru J pși integrând, obținem
2.3. Calculul momentelor de inerție față de axe paralele
zși y:
Este necesar să se determine momentele de inerție ale acestei secțiuni în raport cu „noile” axe z 1și y 1 paralele cu cele centrale și distanțate de acestea la distanță Ași b respectiv:
Coordonatele oricărui punct din „noul” sistem de coordonate z 1 0 1 y 1 poate fi exprimat în termeni de coordonate în „vechile” axe zși y Asa de:
Din moment ce axele zși y- moment central, apoi static S z = 0.
În cele din urmă, putem scrie formulele pentru „tranziție” cu o deplasare paralelă a axelor:
Rețineți că coordonatele Ași b trebuie înlocuite ținând cont de semnul lor (în sistemul de coordonate z 1 0 1 y 1).
2.4. Calculul momentelor de inerție la rotirea axelor de coordonate
Fie cunoscute momentele de inerție ale unei secțiuni arbitrare în raport cu axele centrale z, y:
; 
;
Să întoarcem topoarele z, y la colț α în sens invers acelor de ceasornic, considerând pozitiv unghiul de rotație al axelor în acest sens.
Este necesar să se determine momentele de inerție în raport cu „noile” axe (rotate). z 1și y 1:
Coordonatele elementare ale site-ului dAîn „noul” sistem de coordonate z 1 0y 1 poate fi exprimat în termeni de coordonate în axele „vechi” după cum urmează:
Inlocuim aceste valori in formulele pentru momentele de inertie in axele „noile” si integram termen cu termen:
După ce am făcut transformări similare cu restul expresiilor, vom scrie în sfârșit formulele de „tranziție” atunci când axele de coordonate sunt rotite:
Rețineți că dacă adunăm primele două ecuații, obținem
adică momentul polar de inerție este mărimea invariant(cu alte cuvinte, neschimbat când axele de coordonate sunt rotite).
2.5. Axele principale și momentele principale de inerție
Până în prezent, au fost luate în considerare caracteristicile geometrice ale secțiunilor dintr-un sistem de coordonate arbitrar, totuși, sistemul de coordonate în care secțiunea este descrisă de cel mai mic număr de caracteristici geometrice prezintă cel mai mare interes practic. Un astfel de sistem de coordonate „special” este stabilit de poziția axelor principale ale secțiunii. Să introducem conceptele: axele principaleși principalele momente de inerție.
Axele principale- două axe reciproc perpendiculare, față de care momentul de inerție centrifugal este zero, în timp ce momentele de inerție axiale iau valori extreme (maxim și minim).
Se numesc axele principale care trec prin centrul de greutate al secțiunii axele centrale principale.
Se numesc momentele de inerție față de axele principale principalele momente de inerție.
Axele centrale principale sunt de obicei notate cu litere uși v; principalele momente de inerție - J uși J v(prin definitie J uv = 0).
Să derivăm expresii care ne permit să aflăm poziția axelor principale și mărimea momentelor principale de inerție. Știind că J uv= 0, folosim ecuația (2.3):
Injecţie α 0 definește poziția axelor principale față de orice axe centrale zși y... Injecţie α 0 depus între axă z si axa uși este considerat pozitiv în sens invers acelor de ceasornic.
Rețineți că, dacă secțiunea are o axă de simetrie, atunci, în conformitate cu proprietatea momentului de inerție centrifugal (a se vedea secțiunea 2.1, punctul 4), o astfel de axă va fi întotdeauna axa principală a secțiunii.
Excluzând colțul α în expresiile (2.1) și (2.2) folosind (2.4), obținem formule pentru determinarea momentelor axiale principale de inerție:
Să scriem regula: axa maxima face intotdeauna un unghi mai mic cu cel al axelor (z sau y) fata de care momentul de inertie are o valoare mai mare.
2.6. Forme raționale în secțiune transversală
Tensiunile normale într-un punct arbitrar al secțiunii transversale a grinzii în timpul îndoirii directe sunt determinate de formula:
, (2.5)
Unde M- momentul încovoietor în secțiunea transversală considerată; la- distanta de la punctul luat in considerare pana la axa centrala principala perpendiculara pe planul de actiune al momentului incovoietor; J x- momentul central principal de inerție al secțiunii.
Cele mai mari tensiuni normale de tracțiune și compresiune dintr-o secțiune transversală dată apar în punctele cele mai îndepărtate de axa neutră. Ele sunt determinate de formulele:
; 
,
Unde la 1și la 2- distante fata de axa centrala principala X până la cele mai îndepărtate fibre întinse și comprimate.
Pentru grinzile din materiale plastice, atunci când [σ p] = [σ c] ([σ p], [σ c] sunt tensiunile admisibile pentru materialul grinzii, respectiv, în tensiune și compresiune), utilizați secțiuni care sunt simetric fata de axa centrala. În acest caz, starea de rezistență este următoarea:
≤
[σ], (2,6)
Unde W x = J x / y max- momentul de rezistență al secțiunii transversale a fasciculului față de axa centrală principală; y max = h/2(h- înălțimea secțiunii); M max- cel mai mare moment încovoietor în valoare absolută; [σ] este efortul de încovoiere admisibil al materialului.
Pe lângă condiția de rezistență, grinda trebuie să satisfacă și condiția economică. Cele mai economice sunt acele forme de secțiune transversală pentru care cea mai mare valoare a momentului de rezistență se obține cu cel mai mic consum de material (sau cu cea mai mică suprafață a secțiunii transversale). Pentru ca forma secțiunii să fie rațională, este necesar, dacă este posibil, să se distribuie secțiunea mai departe de axa centrală principală.
De exemplu, o grindă în I standard este de aproximativ șapte ori mai puternică și de treizeci de ori mai rigidă decât o grindă pătrată de aceeași zonă și făcută din același material.
Trebuie avut în vedere că atunci când poziția secțiunii se modifică în raport cu sarcina care acționează, rezistența grinzii se modifică semnificativ, deși aria secțiunii rămâne neschimbată. În consecință, secțiunea trebuie poziționată astfel încât linia de forță să coincidă cu cea a axelor principale, față de care momentul de inerție este minim. Ar trebui să se străduiască ca îndoirea barei să treacă în planul cu cea mai mare rigiditate.
Să presupunem că aveți un sistem de coordonate cu originea în punctul O și axele OX; OY; OZ. În raport cu aceste axe, momentele de inerție centrifuge (produși de inerție) se numesc mărimi care sunt determinate de egalitățile:
unde sunt masele punctelor materiale în care este spart corpul; - coordonatele punctelor materiale corespunzătoare.
Momentul de inerție centrifugal are proprietatea de simetrie, aceasta rezultă din definiția sa:
Momentele centrifuge ale corpului pot fi pozitive și negative; cu o anumită alegere a axelor OXYZ, ele pot dispărea.
Pentru momentele de inerție centrifuge, există un analog al teoremei lui Steinberg. Dacă avem în vedere două sisteme de coordonate: și. Unul dintre aceste sisteme are originea în centrul maselor corporale (punctul C), axele sistemelor de coordonate sunt paralele perechi (). Fie în sistemul de coordonate coordonatele centrului de masă al corpului sunt (), atunci:
unde este greutatea corporală.
Principalele axe de inerție ale corpului
Fie ca un corp omogen să aibă o axă de simetrie. Să construim axele de coordonate astfel încât axa OZ să fie îndreptată de-a lungul axei de simetrie a corpului. Apoi, ca o consecință a simetriei, fiecărui punct al corpului cu masă și coordonate îi corespunde un punct cu un indice diferit, dar aceeași masă și coordonate:. Ca rezultat, obținem că:
întrucât în aceste sume toți termenii au propria lor egală ca mărime, dar opuse ca semn, o pereche. Expresiile (4) sunt echivalente cu scrierea:
Am obținut că simetria axială a distribuției maselor față de axa OZ se caracterizează prin egalitatea a două momente de inerție centrifuge (5), care conțin denumirea acestei axe printre indicii lor. În acest caz, axa OZ este numită axa principală de inerție a corpului pentru punctul O.
Axa principală de inerție nu este întotdeauna axa de simetrie a corpului. Dacă corpul are un plan de simetrie, atunci orice axă care este perpendiculară pe acest plan este axa principală de inerție pentru punctul O, la care axa intersectează planul în cauză. Egalitățile (5) reflectă condițiile că axa OZ este axa principală de inerție a corpului pentru punctul O (origine). Daca sunt indeplinite conditiile:
atunci axa OY va fi axa principală de inerție pentru punctul O.
În cazul în care egalitățile sunt valabile:
atunci toate cele trei axe de coordonate ale sistemului de coordonate OXYZ sunt principalele axe de inerție ale corpului pentru origine.
Momentele de inerție ale unui corp în raport cu axele principale de inerție sunt numite momente de inerție principale ale corpului. Principalele axe de inerție, care sunt construite pentru centrul de masă al corpului, sunt numite principalele axe centrale de inerție ale corpului.
Dacă corpul are o axă de simetrie, atunci aceasta este una dintre principalele axe centrale de inerție ale corpului, deoarece centrul de masă este situat pe această axă. În cazul în care corpul are un plan de simetrie, atunci axa normală cu acest plan și care trece prin centrul de masă al corpului este una dintre principalele axe centrale de inerție ale corpului.
Conceptul principalelor axe de inerție în dinamica corpului rigid este esențial. Dacă axele de coordonate OXYZ sunt direcționate de-a lungul lor, atunci toate momentele de inerție centrifuge devin egale cu zero, iar formulele care ar trebui utilizate în rezolvarea problemelor de dinamică sunt mult simplificate. Conceptul de axe principale de inerție este asociat cu rezolvarea problemelor despre ecuația dinamică a unui corp în rotație și despre centrul de impact.
Momentul de inerție al unui corp (și centrifugal) în sistemul internațional de unități se măsoară în:
Momentul de inerție centrifugal al secțiunii
Momentul de inerție centrifugal al unei secțiuni (figura plană) față de două axe reciproc normale (OX și OY) se numește valoare egală cu:
Expresia (8) spune că momentul de inerție centrifugal al secțiunii față de axele reciproc perpendiculare este suma produselor ariilor elementare () cu distanța de la acestea la axele luate în considerare, pe întreaga suprafață S.
Unitatea de măsură a momentelor de inerție a unei secțiuni în SI este:
Momentul de inerție centrifugal al unei secțiuni complexe față de oricare două axe reciproc normale este egal cu suma momentelor de inerție centrifuge ale părților sale constitutive în raport cu aceste axe.
Exemple de rezolvare a problemelor
EXEMPLUL 1
| Exercițiu | Obțineți o expresie pentru momentul de inerție centrifugal al unei secțiuni dreptunghiulare în jurul axelor (X, Y). |
| Soluţie | Să facem un desen. Pentru a determina momentul de inerție centrifugal, selectăm din dreptunghiul existent un element din aria sa (Fig. 1), a cărui zonă este egală cu: În prima etapă de rezolvare a problemei, găsim momentul de inerție centrifugal () al unei benzi verticale cu înălțime și lățime, care este situată la distanță de axa Y (vom ține cont de faptul că la integrarea pentru toate site-urile). în banda verticală selectată, valoarea este constantă): |
