Derivate parțiale de ordinul I ale unei funcții de mai multe variabile. Exemple de calculare a derivatelor de ordin superior ale funcțiilor explicite. Limitele și continuitatea funcțiilor a două variabile

Luați în considerare o funcție a două variabile:

Deoarece variabilele $ x $ și $ y $ sunt independente, pentru o astfel de funcție, puteți introduce conceptul de derivată parțială:

Derivata parțială a funcției $ f $ în punctul $ M = \ stânga (((x) _ (0)); ((y) _ (0)) \ dreapta) $ față de variabila $ x $ este limita

\ [(((f) ") _ (x)) = \ underset (\ Delta x \ to 0) (\ mathop (\ lim)) \, \ frac (f \ left (((x) _ (0) ) + \ Delta x; ((y) _ (0)) \ dreapta)) (\ Delta x) \]

În mod similar, puteți defini derivata parțială în raport cu variabila $ y $:

\ [(((f) ") _ (y)) = \ underset (\ Delta y \ la 0) (\ mathop (\ lim)) \, \ frac (f \ left (((x) _ (0)) ); ((y) _ (0)) + \ Delta y \ dreapta)) (\ Delta y) \]

Cu alte cuvinte, pentru a găsi derivata parțială a unei funcții de mai multe variabile, trebuie să fixați toate celelalte variabile, cu excepția celei dorite, și apoi să găsiți derivata obișnuită în raport cu această variabilă dorită.

Aceasta implică trucul principal pentru calcularea unor astfel de derivate: presupuneți doar că toate variabilele, cu excepția celei date, sunt constante și apoi diferențiați funcția așa cum ați diferenția pe cea „obișnuită” - cu o variabilă. De exemplu:

$ \ începe (aliniază) & ((\ stânga (((x) ^ (2)) + 10xy \ dreapta)) _ (x)) ^ (\ prim) = ((\ stânga (((x) ^ (2) )) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) + 10y \ cdot ((\ stânga (x \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = 2x + 10y, \\ & (( \ stânga (((x) ^ (2)) + 10xy \ dreapta)) _ (y)) ^ (\ prim) = ((\ stânga (((x) ^ (2)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) + 10x \ cdot ((\ stânga (y \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) = 0 + 10x = 10x. \\\ sfârşitul (alinierea) $

Evident, derivatele parțiale cu privire la diferite variabile dau răspunsuri diferite - acest lucru este normal. Este mult mai important să înțelegem de ce, să zicem, în primul caz, am eliminat cu calm 10y $ din semnul derivat, iar în al doilea, am eliminat complet primul termen. Toate acestea se întâmplă din cauza faptului că toate literele, cu excepția variabilei prin care are loc diferențierea, sunt considerate constante: pot fi scoase, „arse”, etc.

Ce este o „derivată parțială”?

Astăzi vom vorbi despre funcțiile mai multor variabile și derivatele lor parțiale. În primul rând, ce este o funcție cu mai multe variabile? Până acum, obișnuiam să ne gândim la o funcție ca $ y \ left (x \ right) $ sau $ t \ left (x \ right) $ sau orice variabilă și o singură funcție din aceasta. Acum vom avea o singură funcție și mai multe variabile. Când $ y $ și $ x $ se modifică, valoarea funcției se va modifica. De exemplu, dacă $ x $ este dublat, valoarea funcției se va modifica, în timp ce dacă $ x $ se modifică, dar $ y $ nu se modifică, valoarea funcției se va modifica în același mod.

Desigur, o funcție a mai multor variabile, la fel ca și o funcție a unei variabile, poate fi diferențiată. Cu toate acestea, deoarece există mai multe variabile, este posibil să se diferențieze prin diferite variabile. Acest lucru dă naștere unor reguli specifice care nu existau la diferențierea unei variabile.

În primul rând, atunci când numărăm derivata unei funcții din orice variabilă, trebuie să indicăm după ce variabilă numărăm derivata - aceasta se numește derivată parțială. De exemplu, avem o funcție a două variabile și o putem calcula atât cu $ x $ cât și cu $ y $ - două derivate parțiale ale fiecăreia dintre variabile.

În al doilea rând, de îndată ce am fixat una dintre variabile și începem să numărăm derivata parțială în raport cu aceasta, atunci toate celelalte incluse în această funcție sunt considerate constante. De exemplu, în $ z \ left (xy \ right) $, dacă numărăm derivata parțială față de $ x $, atunci oriunde întâlnim $ y $, o tratăm ca o constantă și o tratăm exact ca o constantă. În special, la calcularea derivatei unui produs, putem plasa $ y $ în afara parantezei (avem o constantă), iar la calcularea derivatei unei sume, dacă obținem o derivată undeva dintr-o expresie care conține $ y $ și neconținând $ x $, atunci derivata acestei expresii va fi egală cu „zero” ca derivată a constantei.

La prima vedere, poate părea că vorbesc despre ceva dificil, iar mulți studenți devin confuzi la început. Cu toate acestea, nu există nimic supranatural în derivatele parțiale, iar acum ne vom convinge de acest lucru prin exemplul unor probleme specifice.

Probleme cu radicali și polinoame

Problema numarul 1

Pentru a nu pierde timpul în zadar, să începem cu exemple serioase de la bun început.

Pentru început, permiteți-mi să vă reamintesc următoarea formulă:

Aceasta este valoarea tabelară standard pe care o știm din cursul standard.

În acest caz, derivata $ z $ se calculează după cum urmează:

\ [(((z) ") _ (x)) = ((\ stânga (\ sqrt (\ frac (y) (x)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = \ frac ( 1) (2 \ sqrt (\ frac (y) (x))) ((\ stânga (\ frac (y) (x) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) \]

Haideți încă o dată, deoarece rădăcina nu este $ x $, ci o altă expresie, în acest caz $ \ frac (y) (x) $, atunci vom folosi mai întâi valoarea tabelului standard și apoi, deoarece rădăcina nu este $ x $ și o altă expresie, trebuie să ne înmulțim derivata cu încă una din această expresie pentru aceeași variabilă. Să începem prin a calcula următoarele:

\ [((\ stânga (\ frac (y) (x) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = \ frac (((((y) ")) _ (x)) \ cdot xy \ cdot ((((x) ")) _ (x))) (((x) ^ (2))) = \ frac (0 \ cdot xy \ cdot 1) (((x) ^ (2)) ) = - \ frac (y) (((x) ^ (2))) \]

Ne întoarcem la expresia noastră și scriem:

\ [(((z) ") _ (x)) = ((\ stânga (\ sqrt (\ frac (y) (x)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = \ frac ( 1) (2 \ sqrt (\ frac (y) (x))) ((\ stânga (\ frac (y) (x) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = \ frac (1) (2 \ sqrt (\ frac (y) (x))) \ cdot \ stânga (- \ frac (y) (((x) ^ (2))) \ dreapta) \]

Practic, asta-i tot. Cu toate acestea, este greșit să o lăsați în această formă: o astfel de construcție este incomod de utilizat pentru calcule ulterioare, așa că să o transformăm puțin:

\ [\ frac (1) (2 \ sqrt (\ frac (y) (x))) \ cdot \ stânga (- \ frac (y) (((x) ^ (2))) \ dreapta) = \ frac (1) (2) \ cdot \ sqrt (\ frac (x) (y)) \ cdot \ frac (y) (((x) ^ (2))) = \]

\ [= - \ frac (1) (2) \ cdot \ sqrt (\ frac (x) (y)) \ cdot \ sqrt (\ frac (((y) ^ (2))) (((x) ^ (4)))) = - \ frac (1) (2) \ sqrt (\ frac (x \ cdot ((y) ^ (2))) (y \ cdot ((x) ^ (4)))) = - \ frac (1) (2) \ sqrt (\ frac (y) (((x) ^ (3)))) \]

Răspunsul a fost găsit. Acum să abordăm $ y $:

\ [(((z) ") _ (y)) = ((\ stânga (\ sqrt (\ frac (y) (x)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) = \ frac ( 1) (2 \ sqrt (\ frac (y) (x))) \ cdot ((\ stânga (\ frac (y) (x) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) \]

Să scriem separat:

\ [((\ stânga (\ frac (y) (x) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) = \ frac (((((y) ")) _ (y)) \ cdot xy \ cdot ((((x) ")) _ (y))) (((x) ^ (2))) = \ frac (1 \ cdot xy \ cdot 0) (((x) ^ (2)) ) = \ frac (1) (x) \]

Acum scriem:

\ [(((z) ") _ (y)) = ((\ stânga (\ sqrt (\ frac (y) (x)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) = \ frac ( 1) (2 \ sqrt (\ frac (y) (x))) \ cdot ((\ stânga (\ frac (y) (x) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) = \ frac ( 1) (2 \ sqrt (\ frac (y) (x))) \ cdot \ frac (1) (x) = \]

\ [= \ frac (1) (2) \ cdot \ sqrt (\ frac (x) (y)) \ cdot \ sqrt (\ frac (1) (((x) ^ (2)))) = \ frac (1) (2) \ sqrt (\ frac (x) (y \ cdot ((x) ^ (2)))) = \ frac (1) (2 \ sqrt (xy)) \]

Terminat.

Problema numarul 2

Acest exemplu este atât mai simplu, cât și mai complex decât cel precedent. Este mai dificil pentru că aici sunt mai multe acțiuni, dar mai ușor pentru că aici nu există rădăcină și, în plus, funcția este simetrică față de $ x $ și $ y $, adică. dacă schimbăm locurile $ x $ și $ y $, formula nu se schimbă. Această observație va simplifica și mai mult calculul derivatei parțiale, i.e. este suficient să numărați unul dintre ele, iar în al doilea doar schimbați $ x $ și $ y $.

Sa trecem la treaba:

\ [(((z) ") _ (x)) = ((\ stânga (\ frac (xy)) (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1) \ dreapta )) ^ (\ prim)) _ (x) = \ frac (((\ stânga (xy \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) \ stânga (((x) ^ (2)) + ( (y) ^ (2)) + 1 \ dreapta) -xy ((\ stânga (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ dreapta)) ^ (\ prim) ) _ (x)) (((\ stânga (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ dreapta)) ^ (2))) \]

Hai să numărăm:

\ [((\ stânga (xy \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = y \ cdot ((\ stânga (x \ dreapta)) ^ (\ prim)) = y \ cdot 1 = y \ ]

Cu toate acestea, mulți studenți nu înțeleg o astfel de înregistrare, așa că o vom scrie astfel:

\ [((\ stânga (xy \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = ((\ stânga (x \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) \ cdot y + x \ cdot ((\ stânga (y \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = 1 \ cdot y + x \ cdot 0 = y \]

Astfel, suntem din nou convinși de universalitatea algoritmului diferențial parțial: indiferent de modul în care le numărăm, dacă toate regulile sunt aplicate corect, răspunsul va fi același.

Acum să ne ocupăm de o altă derivată parțială din formula noastră mare:

\ [((\ stânga (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = ((\ stânga ((( x) ^ (2)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) + ((\ stânga (((y) ^ (2)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) + (((1) ") _ (x)) = 2x + 0 + 0 \]

Înlocuiți expresiile rezultate în formula noastră și obțineți:

\ [\ frac (((\ stânga (xy \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) \ stânga (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ dreapta) -xy ((\ stânga (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x)) (((\ stânga) (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ dreapta)) ^ (2))) = \]

\ [= \ frac (y \ cdot \ stânga (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ dreapta) -xy \ cdot 2x) (((\ stânga ((( x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ dreapta)) ^ (2))) = \]

\ [= \ frac (y \ stânga (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1-2 ((x) ^ (2)) \ dreapta)) (((\) stânga (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ dreapta)) ^ (2))) = \ frac (y \ stânga (((y) ^ (2)) - ((x) ^ (2)) + 1 \ dreapta)) (((\ stânga (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ dreapta)) ^ (2 ))) \]

$ X $ este calculat. Și pentru a calcula $ y $ din aceeași expresie, să nu executăm aceeași secvență de acțiuni, ci să folosim simetria expresiei noastre originale - pur și simplu vom înlocui toți $ y $ din expresia noastră originală cu $ x $ și invers. :

\ [(((z) ") _ (y)) = \ frac (x \ stânga (((x) ^ (2)) - ((y) ^ (2)) + 1 \ dreapta)) ((( \ stânga (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ dreapta)) ^ (2))) \]

Datorită simetriei, am calculat această expresie mult mai rapid.

Nuanțe de soluție

Pentru derivatele parțiale funcționează toate formulele standard pe care le folosim pentru cele obișnuite, și anume, derivata coeficientului. În acest caz, totuși, există câteva caracteristici specifice: dacă numărăm derivata parțială $ x $, atunci când o obținem de la $ x $, atunci o considerăm constantă și, prin urmare, derivata sa va fi egală cu „zero ".

Ca și în cazul derivatelor obișnuite, coeficientul (același) poate fi calculat în mai multe moduri diferite. De exemplu, aceeași construcție pe care tocmai am calculat-o poate fi rescrisă după cum urmează:

\ [((\ stânga (\ frac (y) (x) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = y \ cdot ((\ stânga (\ frac (1) (x) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = - y \ frac (1) (((x) ^ (2))) \]

\ [((\ stânga (xy \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = y \ cdot (((x) ") _ (x)) = y \ cdot 1 = y \]

Cu toate acestea, pe de altă parte, puteți utiliza formula din derivata sumei. După cum știm, este egal cu suma derivatelor. De exemplu, să scriem următoarele:

\ [((\ stânga (((x) ^ (2)) + ((y) ^ (2)) + 1 \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = 2x + 0 + 0 = 2x \]

Acum, știind toate acestea, să încercăm să lucrăm cu expresii mai serioase, deoarece derivatele parțiale reale nu se limitează doar la polinoame și rădăcini: acolo se găsesc trigonometrie, logaritmi și funcția exponențială. Acum vom face asta.

Probleme cu funcțiile trigonometrice și logaritmi

Problema numarul 1

Să scriem următoarele formule standard:

\ [((\ stânga (\ sqrt (x) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) \]

\ [((\ stânga (\ cos x \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = - \ sin x \]

Înarmați cu aceste cunoștințe, să încercăm să rezolvăm:

\ [(((z) ") _ (x)) = ((\ stânga (\ sqrt (x) \ cdot \ cos \ frac (x) (y) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x ) = ((\ stânga (\ sqrt (x) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) \ cdot \ cos \ frac (x) (y) + \ sqrt (x) \ cdot ((\ stânga (\ cos \ frac (x) (y) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = \]

Să scriem o variabilă separat:

\ [((\ stânga (\ cos \ frac (x) (y) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = - \ sin \ frac (x) (y) \ cdot ((\ left ( \ frac (x) (y) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = - \ frac (1) (y) \ cdot \ sin \ frac (x) (y) \]

Înapoi la designul nostru:

\ [= \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) \ cdot \ cos \ frac (x) (y) + \ sqrt (x) \ cdot \ left (- \ frac (1) (y) \ cdot \ sin \ frac (x) (y) \ right) = \ frac (1) (2 \ sqrt (x)) \ cdot \ cos \ frac (x) (y) - \ frac (\ sqrt (x)) ( y) \ cdot \ sin \ frac (x) (y) \]

Asta e, am găsit $ x $, acum să trecem la calculul $ y $:

\ [(((z) ") _ (y)) = ((\ stânga (\ sqrt (x) \ cdot \ cos \ frac (x) (y) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y ) = ((\ stânga (\ sqrt (x) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) \ cdot \ cos \ frac (x) (y) + \ sqrt (x) \ cdot ((\ stânga (\ cos \ frac (x) (y) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) = \]

Din nou, să calculăm o expresie:

\ [((\ stânga (\ cos \ frac (x) (y) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) = - \ sin \ frac (x) (y) \ cdot ((\ left ( \ frac (x) (y) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) = - \ sin \ frac (x) (y) \ cdot x \ cdot \ left (- \ frac (1) (( (y) ^ (2))) \ dreapta) \]

Revenim la expresia originală și continuăm soluția:

\ [= 0 \ cdot \ cos \ frac (x) (y) + \ sqrt (x) \ cdot \ frac (x) (((y) ^ (2))) \ sin \ frac (x) (y) = \ frac (x \ sqrt (x)) (((y) ^ (2))) \ cdot \ sin \ frac (x) (y) \]

Terminat.

Problema numarul 2

Să scriem formula de care avem nevoie:

\ [((\ stânga (\ ln x \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = \ frac (1) (x) \]

Acum să numărăm după $ x $:

\ [(((z) ") _ (x)) = ((\ stânga (\ ln \ stânga (x + \ ln y \ dreapta) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = \ frac ( 1) (x + \ ln y). ((\ Stânga (x + \ ln y \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = \]

\ [= \ frac (1) (x + \ ln y) \ cdot \ stânga (1 + 0 \ dreapta) = \ frac (1) (x + \ ln y) \]

Găsit de $ x $. Numărăm după $ y $:

\ [(((z) ") _ (y)) = ((\ stânga (\ ln \ stânga (x + \ ln y \ dreapta) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) = \ frac ( 1) (x + \ ln y). ((\ Stânga (x + \ ln y \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) = \]

\ [= \ frac (1) (x + \ ln y) \ stânga (0+ \ frac (1) (y) \ dreapta) = \ frac (1) (y \ stânga (x + \ ln y \ dreapta) ) \ ]

Problema a fost rezolvată.

Nuanțe de soluție

Deci, din orice funcție luăm derivata parțială, regulile rămân aceleași, indiferent dacă lucrăm cu trigonometrie, cu rădăcini sau cu logaritmi.

Regulile clasice de lucru cu derivate standard rămân neschimbate, și anume, derivata sumei și diferenței, coeficientul și funcțiile complexe.

Ultima formulă este cel mai des întâlnită la rezolvarea problemelor cu derivate parțiale. Ne întâlnim cu ei aproape peste tot. Nici o problemă nu a fost încă, așa că nu o întâlnim acolo. Dar indiferent de formula pe care o folosim, încă ne este adăugată o cerință, și anume, caracteristica de a lucra cu derivate parțiale. Odată ce fixăm o variabilă, toate celelalte sunt constante. În special, dacă luăm în considerare derivata parțială a expresiei $ \ cos \ frac (x) (y) $ în raport cu $ y $, atunci $ y $ este o variabilă, iar $ x $ rămâne constant peste tot. Același lucru funcționează și invers. Poate fi luat în afara semnului derivatei, iar derivata constantei în sine va fi egală cu „zero”.

Toate acestea conduc la faptul că derivatele parțiale ale aceleiași expresii, dar pentru variabile diferite, pot arăta complet diferit. De exemplu, să vedem următoarele expresii:

\ [((\ stânga (x + \ ln y \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = 1 + 0 = 1 \]

\ [((\ stânga (x + \ ln y \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) = 0 + \ frac (1) (y) = \ frac (1) (y) \]

Probleme cu funcțiile exponențiale și logaritmii

Problema numarul 1

Mai întâi, să scriem următoarea formulă:

\ [((\ stânga (((e) ^ (x)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = ((e) ^ (x)) \]

Cunoscând acest fapt, precum și derivata unei funcții complexe, să încercăm să calculăm. Voi rezolva acum în două moduri diferite. Primul și cel mai evident este derivatul lucrării:

\ [(((z) ") _ (x)) = ((\ stânga (((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ dreapta) ) ^ (\ prim)) _ (x) = ((\ stânga (((e) ^ (x)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) + ((e) ^ (x)) \ cdot ((\ stânga (((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ dreapta)) ^ (\ prim) ) _ (x) = \]

\ [= ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) + ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ cdot ((\ stânga (\ frac (x) (y) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = \]

Să rezolvăm separat următoarea expresie:

\ [((\ stânga (\ frac (x) (y) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = \ frac (((((x) ")) _ (x)) \ cdot yx . ((((y) ")) _ (x))) (((y) ^ (2))) = \ frac (1 \ cdot yx \ cdot 0) (((y) ^ (2))) = \ frac (y) (((y) ^ (2))) = \ frac (1) (y) \]

Revenind la designul nostru original și continuând cu soluția:

\ [= ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) + ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ cdot \ frac (1) (y) = ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ left (1) + \ frac (1) (y) \ dreapta) \]

Totul, $ x $ este calculat.

Totuși, așa cum am promis, acum vom încerca să calculăm aceeași derivată parțială într-un mod diferit. Pentru a face acest lucru, rețineți următoarele:

\ [((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) = ((e) ^ (x + \ frac (x) (y))) \]

În aceasta, scriem astfel:

\ [((\ stânga (((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = ( (\ stânga (((e) ^ (x + \ frac (x) (y))) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = ((e) ^ (x + \ frac (x) (y ))) \ cdot ((\ stânga (x + \ frac (x) (y) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = ((e) ^ (x + \ frac (x) (y)) ) \ cdot \ stânga (1+ \ frac (1) (y) \ dreapta) \]

Ca rezultat, am primit exact același răspuns, dar cantitatea de calcul s-a dovedit a fi mai mică. Pentru a face acest lucru, a fost suficient să observăm că indicatorii pot fi adăugați în timpul producției.

Acum să numărăm cu $ y $:

\ [(((z) ") _ (y)) = ((\ stânga (((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ dreapta) ) ^ (\ prim)) _ (y) = ((\ stânga (((e) ^ (x)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) + ((e) ^ (x)) \ cdot ((\ stânga (((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ dreapta)) ^ (\ prim) ) _ (y) = \]

\ [= 0 \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) + ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ cdot ((\ stânga (\ frac (x) (y) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) = \]

Să rezolvăm o expresie separat:

\ [((\ stânga (\ frac (x) (y) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) = \ frac (((((x) ")) _ (y)) \ cdot yx \ cdot ((((y) ")) _ (y))) (((y) ^ (2))) = \ frac (0-x \ cdot 1) (((y) ^ (2))) = - \ frac (1) (((y) ^ (2))) = - \ frac (x) (((y) ^ (2))) \]

Să continuăm cu designul nostru original:

\ [= ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ cdot \ left (- \ frac (x) (((y) ^ (2) )) \ dreapta) = - \ frac (x) (((y) ^ (2))) \ cdot ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y) )) \]

Desigur, aceeași derivată ar putea fi calculată în al doilea mod, răspunsul ar fi același.

Problema numarul 2

Să numărăm după $ x $:

\ [(((z) ") _ (x)) = ((\ stânga (x \ dreapta)) _ (x)) \ cdot \ ln \ stânga (((x) ^ (2)) + y \ dreapta ) + x \ cdot ((\ stânga (\ ln \ stânga (((x) ^ (2)) + y \ dreapta) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = \]

Să numărăm o expresie separat:

\ [((\ stânga (\ ln \ stânga (((x) ^ (2)) + y \ dreapta) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = \ frac (1) (((x) ) ^ (2)) + y) \ cdot ((\ stânga (((x) ^ (2)) + y \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = \ frac (2x) ((( x) ^ (2)) + y) \]

Să continuăm rezolvarea construcției inițiale: $$

Iată răspunsul.

Rămâne prin analogie să găsiți cu $ y $:

\ [(((z) ") _ (y)) = ((\ stânga (x \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y). \ ln \ stânga (((x) ^ (2)) + y \ dreapta) + x \ cdot ((\ stânga (\ ln \ stânga (((x) ^ (2)) + y \ dreapta) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) = \]

Să calculăm o expresie separat, ca întotdeauna:

\ [((\ stânga (((x) ^ (2)) + y \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) = ((\ stânga (((x) ^ (2)) \ dreapta) ) ^ (\ prim)) _ (y) + (((y) ") _ (y)) = 0 + 1 = 1 \]

Continuăm să rezolvăm structura de bază:

Totul este socotit. După cum puteți vedea, în funcție de ce variabilă este luată pentru diferențiere, răspunsurile sunt complet diferite.

Nuanțe de soluție

Iată un exemplu principal al modului în care derivata aceleiași funcții poate fi calculată în două moduri diferite. Uite aici:

\ [(((z) ") _ (x)) = \ stânga (((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ dreapta) = ( (\ stânga (((e) ^ (x)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) + ((e) ^ (x)) \ cdot ((\ stânga (((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = \]

\ [= ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) + ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ cdot \ frac (1) (y) = ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (^ (\ frac (x) (y)))) \ stânga (1+ \ frac (1) (y) \ dreapta) \]

\ [(((z) ") _ (x)) = ((\ stânga (((e) ^ (x)). ((e) ^ (\ frac (x) (y))) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = ((\ stânga (((e) ^ (x + \ frac (x) (y))) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = ( ( e) ^ (x + \ frac (x) (y))). ((\ stânga (x + \ frac (x) (y) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = \]

\ [= ((e) ^ (x)) \ cdot ((e) ^ (^ (\ frac (x) (y)))) \ stânga (1+ \ frac (1) (y) \ dreapta) \ ]

Atunci când alegeți căi diferite, cantitatea de calcul poate fi diferită, dar răspunsul, dacă totul este făcut corect, se va dovedi a fi același. Acest lucru se aplică atât derivatelor clasice, cât și parțiale. În același timp, vă reamintesc încă o dată: în funcție de ce variabilă este luată derivata, adică. diferențiere, răspunsul poate fi complet diferit. Aruncă o privire:

\ [((\ stânga (\ ln \ stânga (((x) ^ (2)) + y \ dreapta) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = \ frac (1) (((x) ) ^ (2)) + y) \ cdot ((\ stânga (((x) ^ (2)) + y \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = \ frac (1) ((( x) ^ (2)) + y) \ cdot 2x \]

\ [((\ stânga (\ ln \ stânga (((x) ^ (2)) + y \ dreapta) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) = \ frac (1) (((x) ) ^ (2)) + y) \ cdot ((\ stânga (((x) ^ (2)) + y \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) = \ frac (1) ((( x) ^ (2)) + y) \ cdot 1 \]

În concluzie, pentru a consolida tot acest material, să încercăm să mai numărăm două exemple.

Probleme cu funcția trigonometrică și funcția cu trei variabile

Problema numarul 1

Să scriem aceste formule:

\ [((\ stânga (((a) ^ (x)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = ((a) ^ (x)) \ cdot \ ln a \]

\ [((\ stânga (((e) ^ (x)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) = ((e) ^ (x)) \]

Să rezolvăm acum expresia noastră:

\ [(((z) ") _ (x)) = ((\ stânga (((3) ^ (x \ sin y)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = ((3) ) ^ (x. \ sin y)) \ cdot \ ln 3 \ cdot ((\ stânga (x \ cdot \ sin y \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = \]

Să calculăm separat următoarea construcție:

\ [((\ stânga (x \ cdot \ sin y \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = (((x) ") _ (x)) \ cdot \ sin y + x ((\ stânga (\ sin y \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = 1 \ cdot \ sin y + x \ cdot 0 = \ sin y \]

Continuăm să rezolvăm expresia originală:

\ [= ((3) ^ (x \ sin y)) \ cdot \ ln 3 \ cdot \ sin y \]

Acesta este răspunsul final la variabila privată $ x $. Acum să numărăm cu $ y $:

\ [(((z) ") _ (y)) = ((\ stânga (((3) ^ (x \ sin y)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) = ((3) ) ^ (x \ sin y)) \ cdot \ ln 3 \ cdot ((\ stânga (x \ sin y \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) = \]

Să rezolvăm o expresie separat:

\ [((\ stânga (x \ cdot \ sin y \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) = (((x) ") _ (y)) \ cdot \ sin y + x ((\ stânga (\ sin y \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) = 0 \ cdot \ sin y + x \ cdot \ cos y = x \ cdot \ cos y \]

Ne rezolvăm designul până la capăt:

\ [= ((3) ^ (x \ cdot \ sin y)) \ cdot \ ln 3 \ cdot x \ cos y \]

Problema numarul 2

La prima vedere, acest exemplu poate părea destul de complicat, deoarece există trei variabile. De fapt, aceasta este una dintre cele mai ușoare sarcini din tutorialul video de astăzi.

Găsiți $ x $:

\ [(((t) ") _ (x)) = ((\ stânga (x ((e) ^ (y)) + y ((e) ^ (z)) \ dreapta)) ^ (\ prim) ) _ (x) = ((\ stânga (x \ cdot ((e) ^ (y)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) + ((\ stânga (y \ cdot ((e)) ^ (z)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = \]

\ [= ((\ stânga (x \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) \ cdot ((e) ^ (y)) + x \ cdot ((\ stânga (((e) ^ (y) )) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (x) = 1 \ cdot ((e) ^ (y)) + x \ cdot o = ((e) ^ (y)) \]

Acum să ne ocupăm de $ y $:

\ [(((t) ") _ (y)) = ((\ stânga (x \ cdot ((e) ^ (y)) + y \ cdot ((e) ^ (z)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) = ((\ stânga (x \ cdot ((e) ^ (y)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) + ((\ stânga (y \ cdot) ((e) ^ (z)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) = \]

\ [= x \ cdot ((\ stânga (((e) ^ (y)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) + ((e) ^ (z)) \ cdot ((\ stânga) (y \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (y) = x \ cdot ((e) ^ (y)) + ((e) ^ (z)) \]

Am găsit răspunsul.

Acum rămâne de găsit cu $ z $:

\ [(((t) ") _ (z)) = ((\ stânga (x \ cdot ((e) ^ (y)) + ((y) ^ (z)) \ dreapta)) ^ (\ prim )) _ (z) = ((\ stânga (x \ cdot ((e) ^ (y)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (z) + ((\ stânga (y \ cdot ((e) ) ^ (z)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (z) = 0 + y \ cdot ((\ stânga (((e) ^ (z)) \ dreapta)) ^ (\ prim)) _ (z) = y \ cdot ((e) ^ (z)) \]

Am calculat derivata a treia, care completează soluția celei de-a doua probleme.

Nuanțe de soluție

După cum puteți vedea, nu este nimic complicat în aceste două exemple. Singurul lucru de care eram convinși este că derivata unei funcții complexe este folosită des și, în funcție de derivată parțială pe care o numărăm, obținem răspunsuri diferite.

În ultima sarcină, ni s-a cerut să ne ocupăm de o funcție de trei variabile simultan. Nu este nimic greșit în asta, dar la final ne-am asigurat că toate diferă semnificativ unele de altele.

Puncte cheie

Concluziile finale din tutorialul video de astăzi sunt următoarele:

1. Derivatele parțiale sunt numărate în același mod ca și cele obișnuite, în timp ce pentru a considera o derivată parțială față de o variabilă, luăm toate celelalte variabile incluse în această funcție ca constante.
2. Când lucrăm cu derivate parțiale, folosim aceleași formule standard ca și cu derivatele obișnuite: suma, diferența, derivata produsului și coeficientul și, desigur, derivata unei funcții complexe.

Desigur, vizionarea acestei lecții video nu este suficientă pentru a înțelege pe deplin acest subiect, așa că chiar acum pe site-ul meu web pentru acest videoclip anume există un set de sarcini dedicate subiectului de astăzi - intrați, descărcați, rezolvați aceste probleme și verificați cu Răspuns. Și după aceea, nu veți avea probleme cu derivatele parțiale nici la examene, nici în munca independentă. Desigur, aceasta este departe de ultima lecție de matematică superioară, așa că vizitați site-ul nostru, adăugați VKontakte, abonați-vă la YouTube, like și rămâneți cu noi!

Derivate parțiale ale unei funcții a două variabile.
Concept și exemple de soluții

În această lecție, vom continua cunoașterea funcției a două variabile și vom lua în considerare, probabil, cea mai comună sarcină tematică - găsirea derivate parțiale de ordinul întâi și al doilea, precum și diferența totală a funcției... Studenții cu fracțiune de normă întâlnesc de obicei derivate parțiale în 1 an de studiu în 2 semestru. În plus, conform observațiilor mele, sarcina de a găsi derivate parțiale este aproape întotdeauna întâlnită la examen.

Pentru a studia eficient materialul de mai jos, tu necesar să poată găsi mai mult sau mai puțin cu încredere derivatele „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile. Puteți învăța cum să gestionați corect derivatele în clasă. Cum găsesc derivatul?și Derivată a unei funcții complexe... De asemenea, avem nevoie de un tabel de derivate ale funcțiilor elementare și reguli de diferențiere, cel mai convenabil dacă este la îndemână în formă tipărită. Puteți obține material de referință pe pagină Formule și tabele matematice.

Să repetăm ​​rapid conceptul de funcție a două variabile, voi încerca să mă limitez la minim. O funcție a două variabile este de obicei scrisă ca, în timp ce variabilele sunt numite variabile independente sau argumente.

Exemplu: - o funcție a două variabile.

Înregistrarea este uneori folosită. Există, de asemenea, sarcini în care o scrisoare este folosită în loc de o scrisoare.

Din punct de vedere geometric, o funcție a două variabile este cel mai adesea o suprafață a unui spațiu tridimensional (plan, cilindru, bilă, paraboloid, hiperboloid etc.). Dar, de fapt, aceasta este mai mult geometrie analitică, iar pe agenda noastră este analiza matematică, pe care profesorul meu universitar nu i-a permis niciodată să o anuleze este „calul meu”.

Trecem la întrebarea găsirii derivatelor parțiale de ordinul întâi și al doilea. Vești bune pentru cei care au băut câteva cești de cafea și s-au conectat la un material neînchipuit de dificil: derivatele parțiale sunt aproape aceleași cu derivatele „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile.

Pentru derivatele parțiale sunt valabile toate regulile de diferențiere și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare. Există doar câteva mici diferențe pe care le vom cunoaște chiar acum:

... da, apropo, pentru acest subiect am creat mica carte pdf, care vă va permite să vă „umpleți mâna” în doar câteva ore. Dar, folosind site-ul, veți obține, desigur, și rezultatul - doar poate puțin mai lent:

Exemplul 1

Aflați derivatele parțiale de ordinul întâi și al doilea al funcției

În primul rând, găsim derivatele parțiale de ordinul întâi. Sunt doi dintre ei.

Denumiri:
sau - derivată parțială față de "x"
sau - derivată parțială în raport cu „y”

Sa incepem cu. Când găsim derivata parțială față de „x”, atunci variabila este considerată o constantă (număr constant).

Comentarii asupra acțiunilor efectuate:

(1) Primul lucru pe care îl facem când găsim derivata parțială este să concluzionam întregul funcţionează între paranteze sub cursă indicele.

Atentie, important! NU PIERDERM abonamente pe parcurs. În acest caz, dacă desenați un „accident vascular cerebral” undeva fără, atunci profesorul, cel puțin, poate pune alături de sarcină (mușcă imediat o parte din scor pentru neatenție).

(2) Folosim regulile de diferențiere ,. Pentru un exemplu simplu ca acesta, ambele reguli pot fi aplicate într-un singur pas. Atenție la primul termen: de când este considerată o constantă și orice constantă poate fi mutată în afara semnului derivatei, apoi scoatem parantezele. Adică, în această situație, nimic nu este mai bun decât numărul obișnuit. Acum să ne uităm la al treilea termen: aici, dimpotrivă, nu este nimic de suportat. Deoarece este o constantă, este și o constantă și, în acest sens, nu este mai bună decât ultimul termen - „șapte”.

(3) Folosim derivate de tabel și.

(4) Simplificarea sau, după cum îmi place să spun, „pieptănarea” răspunsului.

Acum . Când găsim derivata parțială față de „joc”, atunci variabilaconsiderat constant (număr constant).

(1) Folosim aceleași reguli de diferențiere ,. În primul termen, scoatem constanta din spatele semnului derivatei, în al doilea termen nu se poate scoate nimic, deoarece este deja o constantă.

(2) Folosim tabelul derivatelor funcțiilor elementare. Să schimbăm mental toate X-urile din tabel în igreki. Adică, acest tabel este la fel de valabil pentru (și într-adevăr pentru aproape orice literă). În special, formulele pe care le folosim arată astfel: și.

Care este sensul derivatelor parțiale?

În esență, derivatele parțiale de ordinul 1 se aseamănă Derivat „obișnuit”.:

- aceasta funcții care caracterizează rata de schimbare funcţionează în direcţia axelor şi respectiv. Deci, de exemplu, funcția caracterizează abruptul „urcușărilor” și „pantelor” suprafaţăîn direcția abscisei, iar funcția ne vorbește despre „relieful” aceleiași suprafețe în direcția ordonatei.

! Notă : aceasta se referă la direcții care paralel axele de coordonate.

Pentru o mai bună înțelegere, luați în considerare un punct specific din plan și calculați valoarea funcției ("înălțimea") din el:
- si acum imagineaza-ti ca esti aici (PE ACEEASI suprafata).

Să calculăm derivata parțială față de „x” în acest punct:

Semnul negativ al derivatei „x” ne vorbește despre Descendentă funcţionează într-un punct de-a lungul axei absciselor. Cu alte cuvinte, dacă facem mic, mic (infinitezimal) un pas mic spre vârful osiei (paralel cu această axă), apoi coborâm panta suprafeței.

Acum să aflăm natura „terenului” în direcția ordonatei:

Derivata față de „joc” este pozitivă, prin urmare, într-un punct de-a lungul direcției axei, funcția creste... Pentru a spune mai simplu, aici avem o urcare în sus.

În plus, derivata parțială la punct caracterizează rata de schimbare funcţionează în direcţia corespunzătoare. Decat valoarea obtinuta este mai mare modulo- cu cât suprafața este mai abruptă și invers, cu atât este mai aproape de zero - cu atât suprafața este mai plată. Deci, în exemplul nostru, „panta” în direcția abscisei este mai abruptă decât „muntele” în direcția ordonatei.

Dar acestea au fost două căi particulare. Este destul de clar că din punctul în care ne aflăm, (și în general din orice punct de pe o suprafață dată) ne putem deplasa într-o altă direcție. Astfel, este interesant să se întocmească o „hartă de navigație” generală care să ne informeze despre „peisajul” suprafeței. dacă este posibilîn fiecare punct domeniul de aplicare al acestei funcții de-a lungul tuturor căilor disponibile. Voi vorbi despre acest lucru și despre alte lucruri interesante într-una din lecțiile următoare, dar, deocamdată, să revenim la partea tehnică a problemei.

Să sistematizăm regulile aplicate elementare:

1) Când diferențiam în raport cu, atunci variabila este considerată constantă.

2) Când diferențierea se realizează conform, atunci este considerată o constantă.

3) Regulile și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare sunt valabile și aplicabile pentru orice variabilă (sau oricare alta), peste care se realizează diferențierea.

Pasul doi. Aflați derivatele parțiale de ordinul doi. Sunt patru.

Denumiri:
sau - a doua derivată în raport cu „x”
sau - a doua derivată în ceea ce privește „joc”
sau - amestecat derivata x-cu-y
sau - amestecat derivat din jocul X

Nu există nicio problemă cu derivata a doua. In termeni simpli, a doua derivată este derivata primei derivate.

Pentru comoditate, voi rescrie derivatele parțiale de ordinul întâi pe care le-am găsit deja:

Mai întâi, să găsim derivatele mixte:

După cum puteți vedea, totul este simplu: luăm derivata parțială și o diferențiem din nou, dar în acest caz - deja „jucăuș”.

De asemenea:

În exemple practice, vă puteți concentra pe următoarea egalitate:

Astfel, folosind derivate mixte de ordinul doi, este foarte convenabil să verificăm dacă am găsit corect derivatele parțiale de ordinul întâi.

Aflați derivata a doua în raport cu „x”.
Fără invenții, luăm și diferențiază-l prin "x" din nou:

De asemenea:

Trebuie remarcat faptul că atunci când găsiți, trebuie să arătați atenție sporită, deoarece nu există egalități minunate care să le testeze.

Derivatele secunde găsesc, de asemenea, o aplicație practică largă, în special, sunt utilizate în problema găsirii extremele unei funcţii a două variabile... Dar totul are timpul lui:

Exemplul 2

Calculați derivatele parțiale de ordinul întâi ale unei funcții într-un punct. Găsiți derivatele de ordinul doi.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă (răspunsuri la sfârșitul lecției). Dacă întâmpinați dificultăți în diferențierea rădăcinilor, reveniți la lecție. Cum găsesc derivatul?În general, destul de curând veți învăța cum să găsiți astfel de derivate „din zbor”.

Ne umplem mâinile cu exemple mai complexe:

Exemplul 3

Verifica ce. Notați diferența totală de ordinul întâi.

Soluție: Aflați derivatele parțiale de ordinul întâi:

Atenție la indice:, lângă „x” nu este interzis să scrieți între paranteze care este o constantă. Acest marcaj poate fi foarte util pentru începători pentru a-i ajuta să navigheze prin soluție.

Comentarii suplimentare:

(1) Mutați toate constantele în afara semnului derivatei. În acest caz, și, și, prin urmare, produsul lor este considerat un număr constant.

(2) Nu uitați cum să diferențiați corect rădăcinile.

(1) Mutați toate constantele în afara semnului derivatei; în acest caz, constanta este.

(2) Sub prim, avem produsul a două funcții, prin urmare, trebuie să folosim regula de diferențiere a produsului .

(3) Nu uitați că - aceasta este o funcție complexă (deși este cea mai simplă dintre complex). Folosim regula potrivită: .

Acum găsim derivatele mixte de ordinul doi:

Aceasta înseamnă că toate calculele au fost efectuate corect.

Să notăm diferența totală. În contextul problemei luate în considerare, nu are sens să spunem care este diferența totală a unei funcții a două variabile. Este important ca această diferență să fie scrisă foarte des în probleme practice.

Diferenţial total de ordinul întâi funcția a două variabile are forma:

În acest caz:

Adică, în formulă trebuie doar să înlocuiți prostesc derivatele parțiale de ordinul întâi deja găsite. Semnele diferențiale în această situație și în situații similare, dacă este posibil, sunt cel mai bine scrise cu numărători:

Și la solicitările repetate ale cititorilor, diferenţial total de ordinul doi.

Arata cam asa:

Găsiți cu ATENȚIE derivatele „cu o literă” de ordinul 2:

și notează „monstrul”, „atașând” cu grijă pătratele, produsul și fără a uita să dublezi derivatul mixt:

Este în regulă dacă ceva părea dificil, poți oricând să revii la derivate mai târziu, după ce ai luat tehnica de diferențiere:

Exemplul 4

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții ... Verifica ce. Notați diferența totală de ordinul întâi.

Să ne uităm la o serie de exemple cu funcții complexe:

Exemplul 5

Aflați derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției.

Soluţie:

Exemplul 6

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .
Înregistrați diferența totală.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă (răspunsul la sfârșitul tutorialului). Nu dau soluția completă, deoarece este destul de simplă.

Destul de des, toate regulile de mai sus sunt aplicate în combinație.

Exemplul 7

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .

(1) Folosim regula de diferențiere a sumei

(2) Primul termen în acest caz este considerat a fi o constantă, deoarece în expresie nu există nimic care să depindă de „x” - doar „jocuri”. Știi, este întotdeauna frumos când o fracție poate fi transformată la zero). Pentru al doilea termen, aplicăm regula de diferențiere a produsului. Apropo, în acest sens, nimic nu s-ar fi schimbat dacă s-ar fi dat în schimb o funcție – este important că aici produsul a doua functii, FIECARE din care depinde de "X", și de aceea, este necesar să se folosească regula diferențierii produselor. Pentru al treilea termen, aplicăm regula de diferențiere a unei funcții complexe.

(1) Primul termen atât la numărător, cât și la numitor conține un „joc”, prin urmare, trebuie să utilizați regula pentru diferențierea coeficientului: ... Al doilea termen depinde DOAR de „x”, ceea ce înseamnă că este considerat o constantă și se transformă în zero. Pentru al treilea termen, folosim regula de diferențiere a unei funcții complexe.

Pentru acei cititori care au ajuns cu curaj aproape de sfârșitul lecției, vă voi spune o glumă veche de Mehmatov pentru relaxare:

Odată ajuns în spațiul funcțiilor, a apărut un derivat malefic și cum a mers să diferențieze pe toți. Toate funcțiile rulează în toate direcțiile, nimeni nu vrea să se întoarcă! Și o singură funcție nu fuge nicăieri. Derivatul se apropie de ea și o întreabă:

- De ce nu fugi de mine?

- Ha. Și nu-mi pasă, pentru că sunt „e în gradul X”, și nu vei face nimic cu mine!

La care derivatul vicios îi răspunde cu un zâmbet viclean:

- Aici te înșeli, te voi diferenția prin „joc”, așa că fii zero pentru tine.

Cine a înțeles anecdota a stăpânit derivatele, cel puțin cu „trei”).

Exemplul 8

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself. O soluție completă și o mostră de proiectare a problemei sunt la sfârșitul lecției.

Ei bine, asta e aproape tot. În sfârșit, nu pot decât să le mulțumesc iubitorilor de matematică cu încă un exemplu. Nici măcar nu este o chestiune de amatori, fiecare are un alt nivel de pregătire matematică – sunt oameni (și nu atât de rar) cărora le place să concureze cu sarcini mai dificile. Deși, ultimul exemplu din această lecție nu este atât de complicat, ci greoi din punct de vedere al calculelor.

Pentru a rezuma, care este diferența dintre găsirea derivatelor parțiale și găsirea derivatelor „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile:

1) Când găsim derivata parțială, atunci variabil este considerată o constantă.

2) Când găsim derivata parțială, atunci variabil este considerată o constantă.

3) Regulile și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare sunt valabile și aplicabile pentru orice variabilă ( , sau altele), în funcție de care se realizează diferențierea.

Pasul doi. Aflați derivatele parțiale de ordinul doi. Sunt patru.

Legendă:

Sau - a doua derivată în raport cu „x”

Sau - a doua derivată în raport cu „y”

Sau - amestecat derivat „după x yrek”

Sau - amestecat derivată y-x

Nu este nimic complicat în conceptul de derivată a doua. In termeni simpli, a doua derivată este derivata primei derivate.

Pentru claritate, voi rescrie derivatele parțiale de ordinul întâi deja găsite:

Mai întâi, să găsim derivatele mixte:

După cum puteți vedea, totul este simplu: luăm derivata parțială și o diferențiem din nou, dar în acest caz - deja „jucăuș”.

De asemenea:

Pentru exemple practice, când toate derivatele parțiale sunt continue, următoarea egalitate este adevărată:

Astfel, folosind derivate mixte de ordinul doi, este foarte convenabil să verificăm dacă am găsit corect derivatele parțiale de ordinul întâi.

Aflați derivata a doua în raport cu „x”.

Fără invenții, luăm și diferențiază-l prin "x" din nou:

De asemenea:

Trebuie remarcat faptul că atunci când găsiți, trebuie să arătați atenție sporită, deoarece nu există egalități minunate de testat.

Exemplul 2

Aflați derivatele parțiale de ordinul întâi și al doilea al funcției

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă (răspunsul la sfârșitul tutorialului).

Cu o anumită experiență, derivatele parțiale din exemplele №№1,2 vor fi rezolvate de dvs. oral.

Trecem la exemple mai complexe.

Exemplul 3

Verifica ce. Notați diferența totală de ordinul întâi.

Soluție: Aflați derivatele parțiale de ordinul întâi:

Atenție la indice:, lângă „x” nu este interzis să scrieți între paranteze care este o constantă. Acest marcaj poate fi foarte util pentru începători pentru a-i ajuta să navigheze prin soluție.

Comentarii suplimentare:

(1) Mutați toate constantele în afara semnului derivatei. În acest caz, și, și, prin urmare, produsul lor este considerat un număr constant.

(2) Nu uitați cum să diferențiați corect rădăcinile.

(1) Mutați toate constantele în afara semnului derivatei; în acest caz, constanta este.

(2) Sub prim, avem produsul a două funcții, prin urmare, trebuie să folosim regula de diferențiere a produsului .

(3) Nu uitați că - aceasta este o funcție complexă (deși este cea mai simplă dintre complex). Folosim regula potrivită: .

Acum găsim derivatele mixte de ordinul doi:

Aceasta înseamnă că toate calculele au fost efectuate corect.

Să notăm diferența totală. În contextul problemei luate în considerare, nu are sens să spunem care este diferența totală a unei funcții a două variabile. Este important ca această diferență să fie scrisă foarte des în probleme practice.

Diferenţialul complet al primului ordin al unei funcţii a două variabile are forma:

În acest caz:

Adică, trebuie doar să înlocuiți derivatele parțiale de ordinul întâi deja găsite în formulă. Semnele diferențiale în această situație și în situații similare, dacă este posibil, sunt cel mai bine scrise cu numărători:

Exemplul 4

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții ... Verifica ce. Notați diferența totală de ordinul întâi.

Acesta este un exemplu pentru o soluție do-it-yourself. O soluție completă și o mostră de proiectare a problemei sunt la sfârșitul lecției.

Să ne uităm la o serie de exemple care includ funcții complexe.

Exemplul 5

Aflați derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției.

(1) Aplicam regula de diferentiere a unei functii complexe ... De la lecție Derivată a unei funcții complexe ar trebui să vă amintiți un punct foarte important: când transformăm sinusul (funcția externă) în cosinus conform tabelului, atunci încorporarea (funcția internă) avem nu se schimba.

(2) Aici folosim proprietatea rădăcinilor:, mutați constanta în afara semnului derivatei și reprezentăm rădăcina în forma necesară diferențierii.

De asemenea:

Să notăm diferența totală de ordinul întâi:

Exemplul 6

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .

Înregistrați diferența totală.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă (răspunsul la sfârșitul tutorialului). Nu dau soluția completă, deoarece este destul de simplă.

Destul de des, toate regulile de mai sus sunt aplicate în combinație.

Exemplul 7

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .

(1) Folosim regula de diferențiere a sumei.

(2) Primul termen în acest caz este considerat a fi o constantă, deoarece în expresie nu există nimic care să depindă de „x” - doar „jocuri”.

(Știi, este întotdeauna frumos când o fracție poate fi transformată la zero).

Pentru al doilea termen, aplicăm regula de diferențiere a produsului. Apropo, nimic nu s-ar fi schimbat în algoritm dacă ar fi fost dată o funcție - este important ca aici să avem produs a două funcții, fiecare dintre ele depinde de „x”, prin urmare, trebuie folosită regula diferențierii produselor. Pentru al treilea termen, aplicăm regula de diferențiere a unei funcții complexe.

Fiecare derivată parțială (prin Xși prin y) a unei funcții a două variabile este derivata obișnuită a unei funcții a unei variabile cu o valoare fixă ​​a celeilalte variabile:

(Unde y= const),

(Unde X= const).

Prin urmare, derivatele parțiale sunt calculate din formule şi reguli pentru calcularea derivatelor funcţiilor unei variabile, luând în considerare cealaltă variabilă constantă (constant).

Dacă nu aveți nevoie de o analiză a exemplelor și de minimul de teorie necesar pentru aceasta, ci aveți nevoie doar de o soluție la problema dvs., atunci accesați calculator derivate parțiale online .

Dacă este greu să vă concentrați pentru a ține evidența unde se află constanta în funcție, atunci puteți înlocui orice număr în loc de o variabilă cu o valoare fixă ​​în exemplul schiță al exemplului - atunci va fi posibil să calculați rapid derivată parțială ca derivată obișnuită a unei funcții a unei variabile. Trebuie doar să vă amintiți să returnați constanta (variabilă cu o valoare fixă) la locul ei în timpul finalizării.

Proprietatea derivatelor parțiale descrisă mai sus rezultă din definiția derivatelor parțiale, care poate fi găsită în întrebările de examen. Prin urmare, pentru a vă familiariza cu definiția de mai jos, puteți deschide o referință teoretică.

Continuitatea unei funcții z= f(X, y) într-un punct este definit în mod similar cu acest concept pentru o funcție a unei variabile.

Funcţie z = f(X, y) se numeste continuu intr-un punct daca

Diferența (2) se numește increment total al funcției z(se obține prin incrementarea ambelor argumente).

Lasă funcția z= f(X, y) și punctul

Dacă funcția se schimbă z apare atunci când doar unul dintre argumente se schimbă, de exemplu X, cu o valoare fixă ​​a altui argument y, atunci funcția va fi incrementată

numită increment al funcției parțiale f(X, y) pe X.

Luând în considerare schimbarea funcției zîn funcție de modificarea doar a unuia dintre argumente, mergem de fapt la funcția unei variabile.

Dacă există o limită finită

atunci se numește derivată parțială a funcției f(X, y) prin argumentare Xși este notat cu unul dintre simboluri

(4)

Creșterea parțială este definită în mod similar z pe y:

și derivata parțială f(X, y) pe y:

(6)

Exemplul 1.

Soluţie. Găsim derivata parțială față de variabila „x”:

(y fix);

Găsiți derivata parțială în raport cu variabila „joc”:

(X fix).

După cum puteți vedea, nu contează în ce măsură variabila este fixă: în acest caz, este doar un număr care este un factor (ca și în cazul derivatei obișnuite) al variabilei peste care găsim parțialul. derivat. Dacă variabila fixă ​​nu este înmulțită cu variabila peste care găsim derivata parțială, atunci această constantă singură, nu are nicio diferență în ce măsură, ca și în cazul derivatei obișnuite, dispare.

Exemplul 2. Funcția este dată

Găsiți derivate parțiale

(prin x) și (prin joc) și calculați valorile acestora la punctul A (1; 2).

Soluţie. Cu un fix y derivata primului termen se găsește ca derivată a funcției de putere ( tabel de derivate ale funcțiilor unei variabile):

.

Cu un fix X derivata primului termen se găsește ca derivată a funcției exponențiale, iar al doilea ca derivată a constantei:

Acum calculăm valorile acestor derivate parțiale la punctul A (1; 2):

Puteți verifica soluția problemelor cu derivate parțiale activate calculator derivate parțiale online .

Exemplul 3. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții

Soluţie. Într-un singur pas găsim

(y X ca și cum argumentul sinusului ar fi 5 X: la fel apare 5 înaintea semnului funcției);

(X este fix și în acest caz este un factor la y).

Puteți verifica soluția problemelor cu derivate parțiale activate calculator derivate parțiale online .

Derivatele parțiale ale funcțiilor a trei sau mai multe variabile sunt definite în mod similar.

Dacă fiecare set de valori ( X; y; ...; t) de variabile independente din mulţime D se potrivește cu o anumită valoare u a mulţimii E, atunci u numită funcţie de variabile X, y, ..., t si denota u= f(X, y, ..., t).

Pentru funcțiile a trei sau mai multe variabile, nu există o interpretare geometrică.

Derivatele parțiale ale unei funcții a mai multor variabile sunt de asemenea determinate și calculate în ipoteza că doar una dintre variabilele independente se modifică, în timp ce celelalte sunt fixe.

Exemplul 4. Găsiți derivate parțiale ale unei funcții

.

Soluţie. yși z fix:

Xși z fix:

Xși y fix:

Găsiți singur derivate parțiale și apoi vedeți soluții

Exemplul 5.

Exemplul 6. Aflați derivatele parțiale ale funcției.

Derivata parțială a unei funcții a mai multor variabile are același lucru sensul mecanic este că derivata unei funcții a unei variabile, este rata de modificare a funcției în raport cu modificarea unuia dintre argumente.

Exemplul 8. Debit cantitativ P călătorii feroviari pot fi exprimați prin funcție

Unde P- numărul de pasageri, N- numărul de rezidenți ai punctelor corespunzătoare, R- distanta intre puncte.

Derivată parțială a unei funcții P pe R egal cu

arată că scăderea fluxului de pasageri este invers proporţională cu pătratul distanţei dintre punctele corespunzătoare pentru acelaşi număr de locuitori din puncte.

Derivată parțială P pe N egal cu

arată că creşterea fluxului de călători este proporţională cu numărul dublat de locuitori ai localităţilor cu aceeaşi distanţă între aşezări.

Puteți verifica soluția problemelor cu derivate parțiale activate calculator derivate parțiale online .

Diferenţial complet

Produsul unei derivate parțiale și incrementul variabilei independente corespunzătoare se numește diferență parțială. Diferențele parțiale se notează după cum urmează:

Suma diferenţialelor parţiale pentru toate variabilele independente dă diferenţialul total. Pentru o funcție a două variabile independente, diferența totală este exprimată prin egalitate

(7)

Exemplul 9. Găsiți diferența totală a unei funcții

Soluţie. Rezultatul utilizării formulei (7):

O funcție care are o diferență totală în fiecare punct al unei anumite regiuni se numește diferențiabilă în această regiune.

Găsiți singur diferența completă și apoi vedeți soluția

Ca și în cazul unei funcții a unei variabile, diferențiabilitatea unei funcții într-o anumită regiune implică continuitatea acesteia în această regiune, dar nu invers.

Să formulăm fără dovezi o condiție suficientă pentru derivabilitatea unei funcții.

Teorema. Dacă funcţia z= f(X, y) are derivate parțiale continue

într-o zonă dată, atunci este diferențiabilă în această zonă și diferența sa este exprimată prin formula (7).

Se poate arăta că, la fel ca în cazul unei funcții a unei variabile, diferența funcției este principala parte liniară a incrementului funcției, deci în cazul unei funcții de mai multe variabile, diferența totală este principala, liniară în raport cu incrementele variabilelor independente, parte din incrementul total al funcției.

Pentru o funcție de două variabile, incrementul total al funcției are forma

(8)

unde α și β sunt infinitezimale pentru și.

Derivate parțiale de ordin superior

Derivate parțiale și funcții f(X, y) sunt ele însele unele funcții ale acelorași variabile și, la rândul lor, pot avea derivate față de diferite variabile, care sunt numite derivate parțiale de ordin superior.

Să fie dată o funcție. Deoarece x și y sunt variabile independente, una dintre ele se poate modifica, în timp ce cealaltă își păstrează valoarea. Oferiți variabilei independente x un increment, păstrând valoarea lui y neschimbată. Atunci z va primi un increment, care se numește increment parțial al lui z față de x și este notat cu. Asa de, .

În mod similar, obținem incrementul parțial al lui z față de y:.

Creșterea totală a funcției z este determinată de egalitate.

Dacă există o limită, atunci se numește derivată parțială a funcției într-un punct față de variabila x și se notează cu unul dintre simbolurile:

.

Derivatele parțiale față de x într-un punct sunt de obicei notate prin simboluri .

Derivata parțială a variabilei y este definită și notă în mod similar:

Astfel, derivata parțială a unei funcții de mai multe (două, trei sau mai multe) variabile este definită ca fiind derivata unei funcții a uneia dintre aceste variabile, cu condiția ca valorile variabilelor independente rămase să fie constante. Prin urmare, derivatele parțiale ale unei funcții se găsesc prin formulele și regulile de calcul a derivatelor unei funcții a unei variabile (în acest caz, respectiv, x sau y sunt considerate constante).

Derivatele parțiale sunt numite derivate parțiale de ordinul întâi. Ele pot fi privite ca funcții ale. Aceste funcții pot avea derivate parțiale, care sunt numite derivate parțiale de ordinul doi. Acestea sunt definite și etichetate după cum urmează:

; ;

; .

Diferenţialele 1 şi 2 de ordinul unei funcţii a două variabile.

Diferenţialul total al unei funcţii (formula 2.5) se numeşte diferenţială de ordinul întâi.

Formula de calcul a diferenţialului total este următoarea:

(2.5) sau , Unde ,

diferențiale parțiale ale funcției.

Fie ca funcția să aibă derivate parțiale continue de ordinul doi. Diferenţialul de ordinul doi este determinat de formulă. Să-l găsim:

Prin urmare:. Aceasta este scrisă simbolic după cum urmează:

.

INTEGRAL NEDEFINIT.

Antiderivată a unei funcții, integrală nedefinită, proprietăți.

Se numește funcția F (x). antiderivat pentru o funcție dată f (x), dacă F "(x) = f (x), sau, ceea ce este același, dacă dF (x) = f (x) dx.

Teorema. Dacă o funcție f (x), definită într-un interval (X) de lungime finită sau infinită, are o antiderivată, F (x), atunci are și infinit de antiderivate; toate sunt cuprinse în expresia F (x) + С, unde С este o constantă arbitrară.

Colecția tuturor antiderivate pentru o funcție dată f (x), definită într-un interval sau pe un anumit segment de lungime finită sau infinită, se numește integrală nedefinită din funcția f (x) [sau din expresia f (x) dx] și se notează prin simbol.

Dacă F (x) este una dintre antiderivatele pentru f (x), atunci conform teoremei antiderivatelor

, unde C este o constantă arbitrară.

Prin definiția antiderivatei F „(x) = f (x) și, prin urmare, dF (x) = f (x) dx. În formula (7.1), f (x) se numește integrand, iar f (x) ) dx este integrantul.expresie.