Momentul axial de inerție. Momente de inerție centrifuge. Momente centrifuge pentru corpuri cu o axă sau un plan de simetrie Aflați momentul de inerție centrifugal
produs al inerției, una dintre mărimile care caracterizează distribuția maselor într-un corp (sistem mecanic). Ts. M. Și. calculată ca suma produselor maselor m la puncte ale corpului (sistemului) în două dintre coordonate x k, y k, z k aceste puncte:
Valorile lui Ts. M. Și. depind de direcțiile axelor de coordonate. În acest caz, pentru fiecare punct al corpului, există cel puțin trei astfel de axe reciproc perpendiculare, numite axe principale de inerție, pentru care Ts. M. Și. sunt egale cu zero.
Conceptul de Ts. M. Și. joacă un rol important în studiul mișcării de rotație a corpurilor. Din valorile lui Ts. M. Și. mărimea forțelor de presiune asupra lagărelor în care este fixată axa corpului rotativ. Aceste presiuni vor fi cele mai mici (egale cu statice) dacă axa de rotație este axa principală de inerție care trece prin centrul de masă al corpului.
- - & nbsp...
Enciclopedie fizică
- - & nbsp...
Enciclopedie fizică
- - vezi Eferent...
Mare enciclopedie psihologică
- - caracteristica geometrică a secțiunii transversale a unei bare deschise cu pereți subțiri, egală cu suma produselor ariilor secțiunii transversale elementare prin pătratele ariilor sectoriale - sectorul este momentul de inerție - ...
Vocabularul constructiilor
- - caracteristica geometrică a secțiunii transversale a barei, egală cu suma produselor ariilor elementare ale secțiunii transversale prin pătratele distanțelor lor față de axa luată în considerare - momentul este inerțial - momentul setrvačnosti - Trägheitsmoment -...
Vocabularul constructiilor
- - o valoare care caracterizează distribuția maselor în corp și este, alături de masă, o măsură a inerției corpului atunci când nu este disponibilă. circulaţie. Se face distincția între M axial și centrifugal și. Axial M. și. egal cu suma produselor...
- - principalele, trei axe reciproc perpendiculare, care pot fi trasate prin orice punct al televizorului. corpuri, caracterizate prin aceea că, dacă un corp fixat în acest punct este adus în rotație în jurul unuia dintre ele, atunci în absența ...
Științele naturii. Dicţionar enciclopedic
- - axa în planul secțiunii transversale a unui solid, în raport cu care se determină momentul de inerție al secțiunii - axa de inerție - osa setrvačnosti - Trägheitsachse - inerciatengely - inertial tenhlag - oś bezwładności - axă de inercije - osa inercije - osa inercije eje...
Vocabularul constructiilor
- - momentul în care produsele expediate cumpărătorului sunt considerate vândute...
Dicţionar enciclopedic de economie şi drept
- - acest concept a fost introdus în știință de Euler, deși Huygens folosise deja o expresie de același fel, fără a-i da o denumire specială: una dintre căile care duc la definirea lui este următoarea...
Dicționar enciclopedic al lui Brockhaus și Euphron
- - o valoare care caracterizează distribuția maselor în corp și este, alături de masă, o măsură a inerției corpului în timpul mișcării netranslaționale. În mecanică distinge M. și. axial si centrifugal...
- - principalele, trei axe reciproc perpendiculare, trasate printr-un punct al corpului, având proprietatea că, dacă sunt luate ca axe de coordonate, atunci momentele de inerție centrifuge ale corpului față de...
Marea Enciclopedie Sovietică
- - produsul inerției, una dintre mărimile care caracterizează distribuția maselor în corp...
Marea Enciclopedie Sovietică
- - o valoare care caracterizează distribuția maselor în corp și este, alături de masă, o măsură a inerției corpului atunci când nu este disponibilă. circulaţie. Distingeți momentele de inerție axiale și centrifuge...
- - cele principale sunt trei axe reciproc perpendiculare care pot fi trase prin orice punct al unui corp solid, diferând prin aceea că dacă corpul, fixat în acest punct, este adus în rotație în jurul uneia dintre ele, atunci la ...
Dicționar enciclopedic mare
- - ...
Formele cuvintelor
„Momentul de inerție centrifugal” în cărți
Contrar inerției
Din cartea Sfinxii secolului XX autorul Petrov Rem ViktoroviciContrar inerției
Din cartea Sfinxii secolului XX autorul Petrov Rem ViktoroviciContrar inerției „În ultimele două decenii, natura imunologică a respingerii grefei de țesut a devenit general recunoscută și toate aspectele proceselor de respingere sunt sub control experimental strict”. Amprentele Leslie Brent Deci, la întrebarea „Ce
Prin inerție
Din cartea Cât costă un om. Povestea experienței în 12 caiete și 6 volume. autorulPrin inerție
Din cartea Cât costă un om. Cartea Zece: Sub „aripa” minei autorul Kersnovskaya Euphrosinia AntonovnaPrin inerție Pentru a aprecia peisajul, trebuie să priviți imaginea de la o oarecare distanță. Pentru a evalua corect un eveniment, ai nevoie și de o anumită distanță. Legea inerției era în vigoare. În timp ce spiritul schimbării a ajuns la Norilsk, multă vreme părea că totul alunecă
24. Forța de inerție
Din cartea Ethereal Mechanics autor Danina Tatiana24. Forța de inerție Eterul emis de emisfera posterioară a unei particule care se mișcă inerțial, aceasta este Forța de inerție. Această forță de inerție este respingerea eterului care umple particula cu eterul emis de la sine.Mărimea forței de inerție este proporțională cu viteza de emisie.
3.3.1. Pompa centrifuga submersibila
Din cartea Instalatorul meu. Instalații de comunicații suburbane autorul Kashkarov Andrei Petrovici3.3.1. Pompa centrifuga submersibila In aceasta sectiune vom lua in considerare varianta cu o pompa centrifuga submersibila NPTs-750.Eu folosesc apa de la cheie din aprilie pana in octombrie. Îl pompez cu o pompă centrifugă submersibilă NPTs-750 / 5nk (primul număr indică consumul de energie în wați,
La fel peste tot, atunci
J a = ρ ∫ (V) r 2 d V. (\ displaystyle J_ (a) = \ rho \ int \ limits _ ((V)) r ^ (2) dV.)Teorema Huygens - Steiner
Momentul de inerție al unui corp rigid față de orice axă depinde de masa, forma și dimensiunea corpului, precum și de poziția corpului în raport cu această axă. Conform teoremei Huygens - Steiner, momentul de inerție al unui corp J despre o axă arbitrară este egală cu suma momentului de inerție al acestui corp J c raportat la axa care trece prin centrul de masă al corpului paralel cu axa în cauză și produsul masei corporale m pe distanță pătrată d intre axe:
J = J c + m d 2, (\ displaystyle J = J_ (c) + md ^ (2),)Unde m- greutatea corporală totală.
De exemplu, momentul de inerție al unei tije în jurul unei axe care trece prin capătul acesteia este:
J = J c + m d 2 = 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 = 1 3 m l 2. (\ displaystyle J = J_ (c) + md ^ (2) = (\ frac (1) (12)) ml ^ (2) + m \ stânga ((\ frac (l) (2)) \ dreapta) ^ (2) = (\ frac (1) (3)) ml ^ (2).)Momentele axiale de inerție ale unor corpuri
| Corp | Descriere | Poziția axei A | Moment de inerție J a |
|---|---|---|---|
| Punctul de masă material m | La distanta r dintr-un punct, nemişcat | ||
| Cilindru gol cu pereți subțiri sau inel cu rază r si mase m | Axa cilindrului | m r 2 (\ displaystyle mr ^ (2)) | |
| Cilindru solid sau disc de rază r si mase m | Axa cilindrului | 1 2 m r 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (2)) mr ^ (2)) | |
| Cilindru de masă gol cu pereți groși m cu raza exterioară r 2 și raza interioară r 1 | Axa cilindrului | m r 2 2 + r 1 2 2 (\ displaystyle m (\ frac (r_ (2)) ^ (2) + r_ (1) ^ (2)) (2))) | |
| Lungimea cilindrului solid l, raza r si mase m | 1 4 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\ displaystyle (1 \ over 4) m \ cdot r ^ (2) + (1 \ over 12) m \ cdot l ^ (2)) | ||
| Lungimea cilindrului (inel) cu pereți subțiri l, raza r si mase m | Axa este perpendiculară pe cilindru și trece prin centrul său de masă | 1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m ⋅ l 2 (\ displaystyle (1 \ over 2) m \ cdot r ^ (2) + (1 \ over 12) m \ cdot l ^ (2)) | |
| Lungimea tijei drepte subțiri l si mase m | Axa este perpendiculară pe tijă și trece prin centrul său de masă | 1 12 m l 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (12)) ml ^ (2)) | |
| Lungimea tijei drepte subțiri l si mase m | Axa este perpendiculară pe bară și trece prin capătul acesteia | 1 3 m l 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (3)) ml ^ (2)) | |
| Sferă de rază cu pereți subțiri r si mase m | Axa trece prin centrul sferei | 2 3 m r 2 (\ displaystyle (\ frac (2) (3)) mr ^ (2)) | |
| Raza bilei r si mase m | Axa trece prin centrul mingii | 2 5 m r 2 (\ displaystyle (\ frac (2) (5)) mr ^ (2)) | |
| Con de rază r si mase m | Axa conului | 3 10 m r 2 (\ displaystyle (\ frac (3) (10)) mr ^ (2)) | |
| Triunghi isoscel cu înălțime h, baza A si masa m | Axa este perpendiculară pe planul triunghiului și trece prin vârf | 1 24 m (a 2 + 12 h 2) (\ displaystyle (\ frac (1) (24)) m (a ^ (2) + 12h ^ (2))) | |
| Triunghi regulat cu latura A si masa m | Axa este perpendiculară pe planul triunghiului și trece prin centrul de masă | 1 12 m a 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (12)) ma ^ (2)) | |
| Patrat cu latura A si masa m | Axa este perpendiculară pe planul pătratului și trece prin centrul de masă | 1 6 m a 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (6)) ma ^ (2)) | |
| Dreptunghi cu laturi Ași b si masa m | Axa este perpendiculară pe planul dreptunghiului și trece prin centrul de masă | 1 12 m (a 2 + b 2) (\ displaystyle (\ frac (1) (12)) m (a ^ (2) + b ^ (2))) | |
| N-gon regulat de rază r si masa m | Axa este perpendiculară pe plan și trece prin centrul de masă | m r 2 6 [1 + 2 cos (π / n) 2] (\ displaystyle (\ frac (mr ^ (2)) (6)) \ stânga) | |
| Torus (gol) cu raza cercului de ghidare R, raza cercului generator r si masa m | Axa este perpendiculară pe planul cercului de ghidare al torului și trece prin centrul de masă | I = m (3 4 r 2 + R 2) (\ displaystyle I = m \ stânga ((\ frac (3) (4)) \, r ^ (2) + R ^ (2) \ dreapta)) |
Derivarea formulelor
Cilindru cu pereți subțiri (inel, cerc)
Derivarea formulei
Momentul de inerție al unui corp este egal cu suma momentelor de inerție ale părților sale constitutive. Să spargem un cilindru cu pereți subțiri în elemente cu masă dmși momente de inerție dJ i... Atunci
J = ∑ d J i = ∑ R i 2 d m. (unu) . (\ displaystyle J = \ sum dJ_ (i) = \ sum R_ (i) ^ (2) dm. \ qquad (1).)Deoarece toate elementele unui cilindru cu pereți subțiri sunt la aceeași distanță de axa de rotație, formula (1) se transformă în forma
J = ∑ R 2 d m = R 2 ∑ d m = m R 2. (\ displaystyle J = \ sum R ^ (2) dm = R ^ (2) \ sum dm = mR ^ (2).)Cilindru cu pereți groși (inel, cerc)
Derivarea formulei
Să existe un inel omogen cu o rază exterioară R, raza interioara R 1, gros h iar densitatea ρ. Să-l descompunem în inele subțiri groase dr... Masa și momentul de inerție al unui inel subțire de rază r va fi
d m = ρ d V = ρ ⋅ 2 π r h d r; d J = r 2 d m = 2 π ρ h r 3 d r. (\ displaystyle dm = \ rho dV = \ rho \ cdot 2 \ pi rhdr; \ qquad dJ = r ^ (2) dm = 2 \ pi \ rho hr ^ (3) dr.)Găsim momentul de inerție al unui inel gros ca integrală
J = ∫ R 1 R d J = 2 π ρ h ∫ R 1 R r 3 dr = (\ displaystyle J = \ int _ (R_ (1)) ^ (R) dJ = 2 \ pi \ rho h \ int _ (R_ (1)) ^ (R) r ^ (3) dr =) = 2 π ρ h r 4 4 | R 1 R = 1 2 π ρ h (R 4 - R 1 4) = 1 2 π ρ h (R 2 - R 1 2) (R 2 + R 1 2). (\ displaystyle = 2 \ pi \ rho h \ stânga. (\ frac (r ^ (4)) (4)) \ dreapta | _ (R_ (1)) ^ (R) = (\ frac (1) (2 )) \ pi \ rho h \ left (R ^ (4) -R_ (1) ^ (4) \ right) = (\ frac (1) (2)) \ pi \ rho h \ left (R ^ (2) ) -R_ (1) ^ (2) \ dreapta) \ stânga (R ^ (2) + R_ (1) ^ (2) \ dreapta).)Deoarece volumul și masa inelului sunt egale
V = π (R2-R12) h; m = ρ V = π ρ (R 2 - R 1 2) h, (\ displaystyle V = \ pi \ stânga (R ^ (2) -R_ (1) ^ (2) \ dreapta) h; \ qquad m = \ rho V = \ pi \ rho \ stânga (R ^ (2) -R_ (1) ^ (2) \ dreapta) h,)obţinem formula finală pentru momentul de inerţie al inelului
J = 12 m (R2 + R12). (\ displaystyle J = (\ frac (1) (2)) m \ stânga (R ^ (2) + R_ (1) ^ (2) \ dreapta).)Disc omogen (cilindru solid)
Derivarea formulei
Considerând cilindrul (discul) ca un inel cu rază interioară zero ( R 1 = 0), obținem formula momentului de inerție al cilindrului (discului):
J = 12 m R2. (\ displaystyle J = (\ frac (1) (2)) mR ^ (2).)Con solid
Derivarea formulei
Să spargem conul în discuri subțiri groase dh perpendicular pe axa conului. Raza unui astfel de disc este
r = R h H, (\ displaystyle r = (\ frac (Rh) (H)),)Unde R- raza bazei conului, H- înălțimea conului, h Este distanța de la vârful conului până la disc. Masa și momentul de inerție al unui astfel de disc vor fi
d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 π ρ r 4 d h = 1 2 π ρ (R h H) 4 d h; (\ displaystyle dJ = (\ frac (1) (2)) r ^ (2) dm = (\ frac (1) (2)) \ pi \ rho r ^ (4) dh = (\ frac (1) ( 2)) \ pi \ rho \ stânga ((\ frac (Rh) (H)) \ dreapta) ^ (4) dh;)Integrarea, obținem
J = ∫ 0 H d J = 1 2 π ρ (R H) 4 ∫ 0 H h 4 d h = 1 2 π ρ (R H) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 π ρ R 4 H = (ρ ⋅ 1 3 π R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2. (\ displaystyle (\ begin (aliniat) J = \ int _ (0) ^ (H) dJ = (\ frac (1) (2)) \ pi \ rho \ stânga ((\ frac (R) (H)) \ dreapta) ^ (4) \ int _ (0) ^ (H) h ^ (4) dh = (\ frac (1) (2)) \ pi \ rho \ stânga ((\ frac (R) (H) ) \ dreapta) ^ (4) \ stânga. (\ frac (h ^ (5)) (5)) \ dreapta | _ (0) ^ (H) == (\ frac (1) (10)) \ pi \ rho R ^ (4) H = \ stânga (\ rho \ cdot (\ frac (1) (3)) \ pi R ^ (2) H \ dreapta) (\ frac (3) (10)) R ^ ( 2) = (\ frac (3) (10)) mR ^ (2). \ End (aliniat)))Minge solidă omogenă
Derivarea formulei
Să spargem mingea în discuri subțiri groase dh perpendicular pe axa de rotatie. Raza unui astfel de disc situat la o înălțime h din centrul sferei, găsim prin formula
r = R2 - h2. (\ displaystyle r = (\ sqrt (R ^ (2) -h ^ (2))).)Masa și momentul de inerție al unui astfel de disc vor fi
d m = ρ d V = ρ ⋅ π r 2 d h; (\ displaystyle dm = \ rho dV = \ rho \ cdot \ pi r ^ (2) dh;) d J = 1 2 r 2 dm = 1 2 π ρ r 4 dh = 1 2 π ρ (R 2 - h 2) 2 dh = 1 2 π ρ (R 4 - 2 R 2 h 2 + h 4) d h . (\ displaystyle dJ = (\ frac (1) (2)) r ^ (2) dm = (\ frac (1) (2)) \ pi \ rho r ^ (4) dh = (\ frac (1) ( 2)) \ pi \ rho \ stânga (R ^ (2) -h ^ (2) \ dreapta) ^ (2) dh = (\ frac (1) (2)) \ pi \ rho \ stânga (R ^ ( 4) -2R ^ (2) h ^ (2) + h ^ (4) \ dreapta) dh.)Găsim momentul de inerție al mingii integrând:
J = ∫ - RR d J = 2 ∫ 0 R d J = π ρ ∫ 0 R (R 4 - 2 R 2 h 2 + h 4) dh = = π ρ (R 4 h - 2 3 R 2 h 3 + 1 5 h 5) | 0 R = π ρ (R 5 - 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 π ρ R 5 = = (4 3 π R 3 ρ) ⋅ 2 5 R 2 = 2 5 m R 2. (\ displaystyle (\ begin (aligned) J & = \ int _ (- R) ^ (R) dJ = 2 \ int _ (0) ^ (R) dJ = \ pi \ rho \ int _ (0) ^ ( R ) \ stânga (R ^ (4) -2R ^ (2) h ^ (2) + h ^ (4) \ dreapta) dh = \\ & = \ pi \ rho \ stânga. \ stânga (R ^ (4) ) h - (\ frac (2) (3)) R ^ (2) h ^ (3) + (\ frac (1) (5)) h ^ (5) \ dreapta) \ dreapta | _ (0) ^ ( R) = \ pi \ rho \ stânga (R ^ (5) - (\ frac (2) (3)) R ^ (5) + (\ frac (1) (5)) R ^ (5) \ dreapta ) = (\ frac (8) (15)) \ pi \ rho R ^ (5) = \\ & = \ stânga ((\ frac (4) (3)) \ pi R ^ (3) \ rho \ dreapta ) \ cdot (\ frac (2) (5)) R ^ (2) = (\ frac (2) (5)) mR ^ (2). \ end (aliniat)))Sferă cu pereți subțiri
Derivarea formulei
Pentru derivare, folosim formula pentru momentul de inerție al unei bile omogene cu rază R :
J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 π ρ R 5. (\ displaystyle J_ (0) = (\ frac (2) (5)) MR ^ (2) = (\ frac (8) (15)) \ pi \ rho R ^ (5).)Să calculăm cât de mult se va schimba momentul de inerție al mingii dacă, la o densitate constantă ρ, raza acesteia crește cu o cantitate infinit de mică dR .
J = d J 0 d R d R = dd R (8 15 π ρ R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ ⋅ 4 π R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 m R 2. (\ stil de afișare (\ începe (aliniat) J & = (\ frac (dJ_ (0)) (dR)) dR = (\ frac (d) (dR)) \ stânga ((\ frac (8) (15)) \ pi \ rho R ^ (5) \ dreapta) dR = \\ & = (\ frac (8) (3)) \ pi \ rho R ^ (4) dR = \ stânga (\ rho \ cdot 4 \ pi R ^ (2) dR \ dreapta) (\ frac (2) (3)) R ^ (2) = (\ frac (2) (3)) mR ^ (2). \ End (aliniat))Tijă subțire (axa trece prin centru)
Derivarea formulei
Să spargem tija în bucăți mici de lungime dr... Masa și momentul de inerție al unui astfel de fragment este
d m = m d r l; d J = r 2 d m = m r 2 d r l. (\ displaystyle dm = (\ frac (mdr) (l)); \ qquad dJ = r ^ (2) dm = (\ frac (mr ^ (2) dr) (l)).)Integrarea, obținem
J = ∫ - l / 2 l / 2 d J = 2 ∫ 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2. (\ displaystyle J = \ int _ (- l / 2) ^ (l / 2) dJ = 2 \ int _ (0) ^ (l / 2) dJ = (\ frac (2m) (l)) \ int _ (0) ^ (l / 2) r ^ (2) dr = (\ frac (2m) (l)) \ stânga. (\ Frac (r ^ (3)) (3)) \ dreapta | _ (0) ^ (l / 2) = (\ frac (2m) (l)) (\ frac (l ^ (3)) (24)) = (\ frac (1) (12)) ml ^ (2).)Tijă subțire (axa trece prin capăt)
Derivarea formulei
Când deplasați axa de rotație de la mijlocul barei până la capătul acesteia, centrul de greutate al barei se mișcă în raport cu axa cu o distanță l ⁄ 2... După teorema lui Steiner, noul moment de inerție va fi egal cu
J = J 0 + m r 2 = J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2. (\ displaystyle J = J_ (0) + mr ^ (2) = J_ (0) + m \ stânga ((\ frac (l) (2)) \ dreapta) ^ (2) = (\ frac (1) ( 12)) ml ^ (2) + (\ frac (1) (4)) ml ^ (2) = (\ frac (1) (3)) ml ^ (2).)Momente de inerție fără dimensiuni ale planetelor și sateliților
Momentele de inerție fără dimensiuni sunt de mare importanță pentru studiile structurii interne a planetelor și a sateliților acestora. Momentul de inerție adimensional al unui corp cu rază r si mase m este egal cu raportul dintre momentul său de inerție față de axa de rotație și momentul de inerție al unui punct material de aceeași masă față de o axă fixă de rotație situată la distanță r(egal cu Domnul 2). Această valoare reflectă distribuția în adâncime a masei. Una dintre metodele de măsurare a acestuia pe planete și sateliți este de a determina deplasarea Doppler a unui semnal radio transmis de un AMC care zboară în jurul unei planete sau satelit dat. Pentru o sferă cu pereți subțiri, momentul de inerție adimensional este de 2/3 (~ 0,67), pentru o sferă omogenă - 0,4 și, în general, cu cât mai puțin, cu atât masa corpului este concentrată în centrul său. De exemplu, Luna are un moment de inerție adimensional apropiat de 0,4 (egal cu 0,391), prin urmare se presupune că este relativ uniformă, densitatea sa se modifică puțin cu adâncimea. Momentul de inerție adimensional al Pământului este mai mic decât cel al unei sfere omogene (egal cu 0,335), ceea ce este un argument în favoarea existenței unui nucleu dens în acesta.
Momentul de inerție centrifugal
Momentele de inerție centrifuge ale unui corp față de axele unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare sunt următoarele mărimi:
J xy = ∫ (m) xydm = ∫ (V) xy ρ d V, (\ displaystyle J_ (xy) = \ int \ limits _ ((m)) xydm = \ int \ limits _ ((V)) xy \ rho dV,) J xz = ∫ (m) xzdm = ∫ (V) xz ρ d V, (\ displaystyle J_ (xz) = \ int \ limits _ ((m)) xzdm = \ int \ limits _ ((V)) xz \ rho dV,) J yz = ∫ (m) yzdm = ∫ (V) yz ρ d V, (\ displaystyle J_ (yz) = \ int \ limits _ ((m)) yzdm = \ int \ limits _ ((V)) yz \ rho dV,)Unde X , yși z- coordonatele unui element mic al unui corp cu volum dV, densitatea ρ și masa dm .
Se numește axa OX axa principală de inerție a corpului dacă momentele de inerţie centrifuge J xyși J xz sunt simultan egale cu zero. Prin fiecare punct al corpului pot fi trasate trei axe principale de inerție. Aceste axe sunt reciproc perpendiculare între ele. Momentele de inerție ale corpuluiîn raport cu cele trei axe principale de inerție trasate într-un punct arbitrar O corpurile sunt numite principalele momente de inerție a corpului dat.
Se numesc principalele axe de inerție care trec prin centrul de masă al corpului principalele axe centrale de inerție ale corpului, iar momentele de inerție despre aceste axe sunt ale sale principalele momente centrale de inerţie... Axa de simetrie a unui corp omogen este întotdeauna una dintre principalele sale axe centrale de inerție.
Momentele geometrice de inerție
Momentul geometric de inerție al volumului
J V a = ∫ (V) r 2 d V, (\ displaystyle J_ (Va) = \ int \ limits _ ((V)) r ^ (2) dV,)unde, ca înainte r- distanta fata de element dV la axa A .
Momentul geometric de inerție al zonei despre axă - caracteristica geometrică a corpului, exprimată prin formula:
J S a = ∫ (S) r 2 d S, (\ displaystyle J_ (Sa) = \ int \ limits _ ((S)) r ^ (2) dS,)unde integrarea se realizează pe suprafaţă S, A dS este un element al acestei suprafeţe.
Dimensiune J Sa- lungimea la a patra putere ( d i m J S a = L 4 (\ displaystyle \ mathrm (dim) J_ (Sa) = \ mathrm (L ^ (4)))), respectiv, unitatea SI este 4. În calculele de construcție, literatură și sortimente de produse metalice laminate, este adesea indicat în cm 4.
Prin momentul geometric de inerție al zonei se exprimă momentul de rezistență al secțiunii:
W = J S a r m a x. (\ displaystyle W = (\ frac (J_ (Sa)) (r_ (max))).)Aici r max- distanta maxima de la suprafata la axa.
| Momentele geometrice de inerție ale zonei unor figuri | |
|---|---|
| Înălțimea dreptunghiului h (\ displaystyle h)și lățimea b (\ displaystyle b): | J y = b h 3 12 (\ displaystyle J_ (y) = (\ frac (bh ^ (3)) (12)))
J z = h b 3 12 (\ displaystyle J_ (z) = (\ frac (hb ^ (3)) (12))) |
| Cutie dreptunghiulară cu înălțime și lățime de-a lungul contururilor exterioare H (\ stil de afișare H)și B (\ stil de afișare B), și de către intern h (\ displaystyle h)și b (\ displaystyle b) respectiv | J z = BH 3 12 - bh 3 12 = 1 12 (BH 3 - bh 3) (\ displaystyle J_ (z) = (\ frac (BH ^ (3)) (12)) - (\ frac (bh ^ ( 3)) (12)) = (\ frac (1) (12)) (BH ^ (3) -bh ^ (3)))
J y = HB 3 12 - hb 3 12 = 1 12 (HB 3 - hb 3) (\ displaystyle J_ (y) = (\ frac (HB ^ (3)) (12)) - (\ frac (hb ^ ( 3)) (12)) = (\ frac (1) (12)) (HB ^ (3) -hb ^ (3))) |
| Diametrul cercului d (\ stil de afișare d) | J y = J z = π d 4 64 (\ displaystyle J_ (y) = J_ (z) = (\ frac (\ pi d ^ (4)) (64))) |
Momentul de inerție față de plan
Momentul de inerție al unui corp rigid față de un anumit plan este o mărime scalară egală cu suma produselor masei fiecărui punct al corpului cu pătratul distanței de la acest punct la planul în cauză.
Dacă printr-un punct arbitrar O (\ stil de afișare O) desenați axele de coordonate x, y, z (\ displaystyle x, y, z), apoi momentele de inerție față de planurile de coordonate x O y (\ displaystyle xOy), y O z (\ displaystyle yOz)și z O x (\ displaystyle zOx) vor fi exprimate prin formulele:
J x O y = ∑ i = 1 n m i z i 2, (\ displaystyle J_ (xOy) = \ sum _ (i = 1) ^ (n) m_ (i) z_ (i) ^ (2) \,) J y O z = ∑ i = 1 n m i x i 2, (\ displaystyle J_ (yOz) = \ sum _ (i = 1) ^ (n) m_ (i) x_ (i) ^ (2) \,) J z O x = ∑ i = 1 n m i y i 2. (\ displaystyle J_ (zOx) = \ sum _ (i = 1) ^ (n) m_ (i) y_ (i) ^ (2) \.)În cazul unui corp solid, însumarea este înlocuită de integrare.
Momentul central de inerție
Momentul central de inerție (moment de inerție față de punctul O, moment de inerție față de un pol, moment polar de inerție) J O (\ displaystyle J_ (O)) este valoarea determinată de expresia:
J a = ∫ (m) r 2 dm = ∫ (V) ρ r 2 d V, (\ displaystyle J_ (a) = \ int \ limits _ ((m)) r ^ (2) dm = \ int \ limits _ ((V)) \ rho r ^ (2) dV,)Momentul central de inerție poate fi exprimat în termeni de momente de inerție axiale principale, precum și în termeni de momente de inerție relativ la plane:
JO = 1 2 (J x + J y + J z), (\ displaystyle J_ (O) = (\ frac (1) (2)) \ stânga (J_ (x) + J_ (y) + J_ (z) \ dreapta),) J O = J x O y + J y O z + J x O z. (\ displaystyle J_ (O) = J_ (xOy) + J_ (yOz) + J_ (xOz).)Tensorul de inerție și elipsoidul de inerție
Momentul de inerție al unui corp în jurul unei axe arbitrare care trece prin centrul de masă și are o direcție dată de un vector unitar s → = ‖ s x, s y, s z ‖ T, | s → | = 1 (\ displaystyle (\ vec (s)) = \ stânga \ Vert s_ (x), s_ (y), s_ (z) \ dreapta \ Vert ^ (T), \ stânga \ vert (\ vec (s) ) \ dreapta \ vert = 1), poate fi reprezentat ca o formă pătratică (bilineară):
I s = s → T ⋅ J ^ ⋅ s →, (\ displaystyle I_ (s) = (\ vec (s)) ^ (T) \ cdot (\ hat (J)) \ cdot (\ vec (s)) , \ qquad) (1)unde este tensorul inerției. Matricea tensorului de inerție este simetrică, are dimensiuni 3 × 3 (\ displaystyle 3 \ times 3)și constă din componentele momentelor centrifuge:
Prin alegerea sistemului de coordonate adecvat, matricea tensorului de inerție poate fi redusă la o formă diagonală. Pentru a face acest lucru, trebuie să rezolvăm problema cu valori proprii pentru matricea tensorală J ^ (\ displaystyle (\ pălărie (J))):
Unde Q ^ (\ stil de afișare (\ pălărie (Q))) este matricea ortogonală a tranziției la baza proprie a tensorului de inerție. În propria bază, axele de coordonate sunt direcționate de-a lungul axelor principale ale tensorului de inerție și, de asemenea, coincid cu semiaxele principale ale elipsoidului tensorului de inerție. Cantitatile J X, J Y, J Z (\ displaystyle J_ (X), J_ (Y), J_ (Z))- principalele momente de inerție. Expresia (1) în propriul sistem de coordonate are forma:
de unde se obţine ecuaţia elipsoidului în coordonate proprii. Împărțirea ambelor părți ale ecuației cu I s (\ displaystyle I_ (s))
și efectuarea de înlocuiri:
ξ = sx I s, η = sy I s, ζ = sz I s, (\ displaystyle \ xi = (s_ (x) \ peste (\ sqrt (I_ (s)))), \ eta = (s_ (y) ) \ peste (\ sqrt (I_ (s)))), \ zeta = (s_ (z) \ peste (\ sqrt (I_ (s)))),)obţinem forma canonică a ecuaţiei elipsoidului în coordonate ξ η ζ (\ displaystyle \ xi \ eta \ zeta):
ξ 2 ⋅ JX + η 2 ⋅ JY + ζ 2 ⋅ JZ = 1. (\ displaystyle \ xi ^ (2) \ cdot J_ (X) + \ eta ^ (2) \ cdot J_ (Y) + \ zeta ^ ( 2) \ cdot J_ (Z) = 1.)Distanța de la centrul elipsoidului la unele dintre punctele sale este legată de valoarea momentului de inerție al corpului de-a lungul unei linii drepte care trece prin centrul elipsoidului și acest punct:
r 2 = ξ 2 + η 2 + ζ 2 = (s x I s) 2 + (s y I s) 2 + (s z I s) 2 = 1 I s. (\ displaystyle r ^ (2) = \ xi ^ (2) + \ eta ^ (2) + \ zeta ^ (2) = \ stânga ((s_ (x) \ peste (\ sqrt (I_ (s))) ) \ dreapta) ^ (2) + \ stânga ((s_ (y) \ peste (\ sqrt (I_ (s)))) \ dreapta) ^ (2) + \ stânga ((s_ (z) \ peste (\ sqrt (I_ (s)))) \ dreapta) ^ (2) = (1 \ peste I_ (s)).)Să luăm în considerare câteva caracteristici geometrice suplimentare ale figurilor plate. Una dintre aceste caracteristici se numește axial sau ecuatorial moment de inerție. Această caracteristică este relativă la axele și 
(Fig.4.1) ia forma:
;
. (4.4)
Principala proprietate a momentului de inerție axial este că acesta nu poate fi mai mic de zero sau egal cu zero. Acest moment de inerție este întotdeauna mai mare decât zero: 
;
... Unitatea de măsură pentru momentul axial de inerție este (lungimea 4).
Conectați originea coordonatelor cu un segment de linie dreaptă 
cu o suprafață infinit de mică 
și notează acest segment prin literă 
(Fig.4.4). Momentul de inerție al unei figuri în raport cu pol - originea coordonatelor - se numește momentul polar de inerție:
.
(4.5)
Acest moment de inerție, ca și momentul axial, este întotdeauna mai mare decât zero ( 
) și are dimensiunea - (lungime 4).
Să scriem condiție de invarianță suma momentelor de inerție ecuatoriale în jurul a două axe reciproc perpendiculare. Figura 4.4 arată că 
.
Înlocuind această expresie în formula (4.5), obținem:
Condiția de invarianță este formulată după cum urmează: suma momentelor axiale de inerție în jurul oricăror două axe reciproc perpediculare este o valoare constantă și egală cu momentul polar de inerție în jurul punctului de intersecție al acestor axe.
Se numește momentul de inerție al unei figuri plane față de două axe perpendiculare simultan biaxiale sau centrifugal moment de inerție. Momentul de inerție centrifugal este următorul:
.
(4.7)
Momentul de inerție centrifugal are dimensiunea - (lungime 4). Poate fi pozitiv, negativ sau zero. Se numesc axele față de care momentul de inerție centrifugal este egal cu zero axele principale de inerție... Să demonstrăm că axa de simetrie a unei figuri plane este axa principală.
Luați în considerare figura plată prezentată în Figura 4.5.
Să alegem la stânga și la dreapta axei de simetrie 
două elemente cu arie infinitezimală 
... Centrul de greutate al întregii figuri este în punctul C. Plasați originea în punctul C și notați coordonatele verticale ale elementelor selectate cu litera „ 
", Orizontal - pentru elementul din stânga" 
", Pentru elementul potrivit" 
”. Se calculează suma momentelor de inerție centrifuge pentru elementele selectate cu o suprafață infinitezimală în raport cu axele 
și 
:
Dacă integrăm expresia (4.8) în stânga și în dreapta, obținem:
,
(4.9)
întrucât dacă axa 
este axa de simetrie, apoi pentru orice punct situat la stânga acestei axe, există întotdeauna unul simetric.
Analizând soluția obținută ajungem la concluzia că axa de simetrie 
este axa principală de inerție. Axa centrală 
este și axa principală, deși nu este o axă de simetrie, deoarece momentul de inerție centrifugal a fost calculat simultan pentru cele două axe. 
și 
și s-a dovedit a fi egal cu zero.
DEFINIȚIE
Momentul de inerție axial (sau ecuatorial). secțiunea despre axă se numește valoare, care este definită ca:
Expresia (1) înseamnă, pentru a calcula momentul axial de inerție, suma produselor ariilor infinitezimale () înmulțită cu pătratele distanțelor de la acestea la axa de rotație este luată pe întreaga suprafață S:
Suma momentelor axiale de inerție ale secțiunii în raport cu axele reciproc perpendiculare (de exemplu, în raport cu axele X și Y în sistemul de coordonate carteziene) dă momentul polar de inerție () relativ la punctul de intersecție al acestora. axe:
DEFINIȚIE
Moment polar inerția se numește momentul de inerție ca secțiune transversală față de un anumit punct.
Momentele axiale de inerție sunt întotdeauna mai mari decât zero, deoarece în definițiile lor (1) sub semnul integral există valoarea ariei unei zone elementare (), întotdeauna pozitivă și pătratul distanței de la această zonă la axa.
Dacă avem de-a face cu o secțiune de formă complexă, atunci adesea în calcule se folosește faptul că momentul de inerție axial al unei secțiuni complexe față de axă este egal cu suma momentelor de inerție axiale ale părților acestei secțiuni. secțiune pe aceeași axă. Cu toate acestea, trebuie amintit că momentele de inerție care se găsesc în raport cu diferite axe și puncte nu pot fi însumate.
Momentul axial de inerție în jurul axei care trece prin centrul de greutate al secțiunii are cea mai mică valoare dintre toate momentele în jurul axelor paralele cu aceasta. Momentul de inerție față de orice axă (), cu condiția ca aceasta să fie paralelă cu axa care trece prin centrul de greutate, este:
unde este momentul de inerție al secțiunii în raport cu axa care trece prin centrul de greutate al secțiunii; - arie a secțiunii transversale; - distanta dintre axe.
Exemple de rezolvare a problemelor
EXEMPLUL 1
| Exercițiu | Care este momentul de inerție axial al unei secțiuni triunghiulare isoscelă față de axa Z care trece prin centrul de greutate () al triunghiului, paralel cu baza acestuia? Înălțimea triunghiului este. |
| Soluţie | Să selectăm o zonă elementară dreptunghiulară pe o secțiune triunghiulară (vezi Fig. 1). Este situat la o distanță de axa de rotație, lungimea unei laturi, a celeilalte părți. Din fig. 1 rezultă că:
Aria dreptunghiului selectat, luând în considerare (1.1), este egală cu: Pentru a găsi momentul axial de inerție, folosim definiția acestuia sub forma: |
| Răspuns |
EXEMPLUL 2
| Exercițiu | Aflați momentele de inerție axiale în raport cu axele perpendiculare X și Y (Fig. 2) ale secțiunii sub forma unui cerc al cărui diametru este egal cu d. |
| Soluţie | Pentru a rezolva problema, este mai convenabil să începeți cu găsirea momentului polar relativ la centrul secțiunii (). Împărțim întreaga secțiune în inele infinit de subțiri cu o grosime a cărei rază o notăm. Apoi găsim zona elementară ca: |
Momentul de inerție centrifugal în jurul a două axe de coordonate se numește suma produselor masei fiecărui punct al corpului de coordonatele de-a lungul axelor corespunzătoare.
Dacă corpul are o axă de simetrie, atunci momentul de inerție centrifugal al corpului este zero și axele y, x sunt principalele.
17. Teorema Huygens-Steiner privind calculul momentelor pe axe paralele.
Momentul de inerție al unui corp rigid în jurul unei axe care nu trece prin centrul de masă este egal cu suma momentelor de inerție în jurul axei centrale care trece prin centrul de masă și paralel cu cel dat și produsul lui masa corporală prin pătratul distanței dintre axe.
JC este momentul de inerție cunoscut în jurul axei care trece prin centrul de masă al corpului,
J este momentul de inerție necesar față de o axă paralelă,
m - greutatea corporală,
d este distanța dintre axele specificate.
18. Calculul momentelor de inerție ale corpurilor omogene: placă subțire, tijă subțire, inel, cilindru, con.
Tijă subțire: 
Cilindru subțire:
Placă subțire: 
Con: 
Inel subțire: 
Minge: 
Calculul momentelor de inerție față de axe arbitrare.
Vă permite să găsiți momentul de inerție despre orice axă care trece prin axele de coordonate și componentele cărbunelui
Cu aceste axe, prin valorile momentelor de inerție axiale și centrifuge ale acestor axe.
Elipsoid de inerție. Axele centrale de inerție. Proprietăți extreme ale momentelor de inerție.
Centrul elipsoidului este la origine.
Cele 3 axe de simetrie ale elipsoidului se numesc axe principale de inerție, momentele de inerție în jurul axelor principale se numesc momente de inerție principale.
Dacă luăm ca axe de coordonate axele principale de inerție, atunci momentele de inerție centrifuge în jurul acestor axe vor fi egale cu zero.
ELIPSOIDUL DE INERȚIE este o suprafață care caracterizează distribuția momentelor de inerție ale unui corp în raport cu fasciculul axelor care trec printr-un punct fix O. ca un geom. locul capetelor segmentelor OK = 1 /, așezate de-a lungul Ol din punctul O, unde Ol este orice axă care trece prin punctul O; Il este momentul de inerție al corpului în jurul acestei axe (Fig.). Centrul E. şi. coincide cu punctul O, iar ecuația sa în axele de coordonate desenate arbitrar Oxyz are forma
unde Ix, Iy, Iz - axial și Ixу, Iyz, Lzx - momentele de inerție centrifuge ale corpului față de axele de coordonate specificate. La rândul său, cunoscând E. și. pentru punctul O, puteți afla momentul de inerție față de orice axă Оl care trece prin acest punct, din egalitatea Il = 1 / R2, prin măsurarea distanței R = OK în unitățile corespunzătoare.
