Eksponencijacija: pravila, primjeri. Eksponencijacija Eksponencijalna zagrada

Eksponencijacija je operacija usko povezana sa množenjem; ova operacija je rezultat višestrukog množenja broja samim sobom. Predstavimo to formulom: a1 * a2 * … * an = an.

Na primjer, a=2, n=3: 2 * 2 * 2=2^3 = 8 .

Općenito, eksponencijacija se često koristi u različitim formulama u matematici i fizici. Ova funkcija ima naučniju svrhu od četiri glavne: zbrajanje, oduzimanje, množenje, deljenje.

Podizanje broja na stepen

Podizanje broja na stepen nije komplikovana operacija. Povezan je sa množenjem na sličan način kao i odnos između množenja i sabiranja. Oznaka an je kratka oznaka n-tog broja brojeva “a” pomnoženih jedan s drugim.

Razmotrite eksponencijaciju koristeći najjednostavnije primjere, prelazeći na složene.

Na primjer, 42. 42 = 4 * 4 = 16. Četiri na kvadrat (na drugi stepen) jednako je šesnaest. Ako ne razumijete množenje 4 * 4, pročitajte naš članak o množenju.

Pogledajmo još jedan primjer: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . Pet kubova (na treći stepen) jednako je sto dvadeset i pet.

Drugi primjer: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Devet kubika jednako je sedam stotina dvadeset devet.

Formule za eksponencijaciju

Da biste pravilno podigli na stepen, morate zapamtiti i znati formule date u nastavku. U tome nema ničeg ekstra prirodnog, najvažnije je razumjeti suštinu i tada će oni ne samo biti zapamćeni, već će se i činiti lakim.

Podizanje monoma na stepen

Šta je monom? Ovo je proizvod brojeva i varijabli u bilo kojoj količini. Na primjer, dva je monom. A ovaj članak je upravo o podizanju takvih monoma na stepene.

Koristeći formule za eksponencijaciju, neće biti teško izračunati eksponencijaciju monoma.

Na primjer, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6; Ako monom podignete na stepen, onda se svaka komponenta monoma podiže na stepen.

Podizanjem varijable koja već ima moć na stepen, moći se množe. Na primjer, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6;

Podizanje na negativnu potenciju

Negativna snaga je recipročna vrijednost broja. Koji je recipročan broj? Recipročna vrijednost bilo kojeg broja X je 1/X. To jest, X-1=1/X. Ovo je suština negativnog stepena.

Razmotrimo primjer (3Y)^-3:

(3Y)^-3 = 1/(27Y^3).

Žašto je to? Pošto u stepenu postoji minus, ovaj izraz jednostavno prenosimo na nazivnik, a zatim ga podižemo na treći stepen. Jednostavno, zar ne?

Povećanje na razlomak

Počnimo sa razmatranjem problema s konkretnim primjerom. 43/2. Šta znači stepen 3/2? 3 – brojilac, znači podizanje broja (u ovom slučaju 4) na kocku. Broj 2 je imenilac; to je ekstrakcija drugog korijena broja (u ovom slučaju 4).

Tada dobijamo kvadratni korijen od 43 = 2^3 = 8. Odgovor: 8.

Dakle, nazivnik razlomka može biti 3 ili 4 i do beskonačnosti bilo koji broj, a ovaj broj određuje stepen kvadratnog korijena uzetog iz datog broja. Naravno, imenilac ne može biti nula.

Podizanje korijena na potenciju

Ako se korijen podigne na stepen jednak stepenu samog korijena, onda će odgovor biti radikalan izraz. Na primjer, (√x)2 = x. I tako u svakom slučaju, stepen korena i stepen podizanja korena su jednaki.

Ako je (√x)^4. Tada (√x)^4=x^2. Da bismo provjerili rješenje, pretvaramo izraz u izraz s razlomkom. Pošto je koren kvadrat, imenilac je 2. A ako se koren podigne na četvrti stepen, brojnik je 4. Dobijamo 4/2=2. Odgovor: x = 2.

U svakom slučaju, najbolja opcija je jednostavno pretvoriti izraz u izraz s razlomkom. Ako se razlomak ne poništava, onda je ovo odgovor, pod uslovom da korijen datog broja nije izoliran.

Dizanje kompleksnog broja na stepen

Šta je kompleksan broj? Kompleksni broj je izraz koji ima formulu a + b * i; a, b su realni brojevi. i je broj koji, kada se kvadrira, daje broj -1.

Pogledajmo primjer. (2 + 3i)^2.

(2 + 3i)^2 = 22 +2 * 2 * 3i +(3i)^2 = 4+12i^-9=-5+12i.

Prijavite se za kurs "Ubrzajte mentalnu aritmetiku, A NE mentalnu aritmetiku" da naučite kako brzo i ispravno sabirati, oduzimati, množiti, dijeliti, kvadratirati brojeve, pa čak i izvlačiti korijene. Za 30 dana naučit ćete kako koristiti jednostavne trikove za pojednostavljenje aritmetičkih operacija. Svaka lekcija sadrži nove tehnike, jasne primjere i korisne zadatke.

Eksponencijacija online

Koristeći naš kalkulator, možete izračunati povećanje broja na stepen:

Eksponencijal 7. razred

Školarci počinju da se uzdižu do moći tek u sedmom razredu.

Eksponencijacija je operacija usko povezana sa množenjem; ova operacija je rezultat višestrukog množenja broja samim sobom. Predstavimo to formulom: a1 * a2 * … * an=an.

Na primjer, a=2, n=3: 2 * 2 * 2 = 2^3 = 8.

Primjeri rješenja:

Eksponencijalna prezentacija

Prezentacija o podizanju na stepene, namenjena učenicima sedmog razreda. Prezentacija može razjasniti neke nejasne tačke, ali ove stvari vjerovatno neće biti razjašnjene zahvaljujući našem članku.

Zaključak

Pogledali smo samo vrh ledenog brijega, da bismo bolje razumjeli matematiku - prijavite se na naš kurs: Ubrzavanje mentalne aritmetike - NE mentalne aritmetike.

Na kursu ćete ne samo naučiti desetine tehnika za pojednostavljeno i brzo množenje, sabiranje, množenje, dijeljenje i računanje postotaka, već ćete ih uvježbati u posebnim zadacima i edukativnim igrama! Mentalna aritmetika također zahtijeva puno pažnje i koncentracije, koji se aktivno treniraju prilikom rješavanja zanimljivih zadataka.

Shvatili smo šta je zapravo stepen broja. Sada moramo razumjeti kako to ispravno izračunati, tj. podići brojeve na stepene. U ovom materijalu analiziraćemo osnovna pravila za izračunavanje stepena u slučaju celobrojnih, prirodnih, razlomaka, racionalnih i iracionalnih eksponenata. Sve definicije će biti ilustrovane primerima.

Koncept eksponencijalnosti

Počnimo sa formulisanjem osnovnih definicija.

Definicija 1

Eksponencijacija- ovo je izračun vrijednosti snage određenog broja.

Odnosno, riječi “izračunavanje vrijednosti moći” i “podizanje na stepen” znače istu stvar. Dakle, ako problem kaže “Podigni broj 0, 5 na peti stepen”, to treba shvatiti kao “izračunaj vrijednost stepena (0, 5) 5.

Sada predstavljamo osnovna pravila koja se moraju poštovati prilikom izrade ovakvih proračuna.

Prisjetimo se šta je stepen broja s prirodnim eksponentom. Za stepen sa bazom a i eksponentom n, ovo će biti proizvod n-tog broja faktora, od kojih je svaki jednak a. Ovo se može napisati ovako:

Da biste izračunali vrijednost stepena, morate izvršiti radnju množenja, odnosno pomnožiti baze stepena određeni broj puta. Sam koncept stepena sa prirodnim eksponentom zasniva se na sposobnosti brzog množenja. Navedimo primjere.

Primjer 1

Uslov: podizanje - 2 na stepen 4.

Rješenje

Koristeći gornju definiciju, pišemo: (− 2) 4 = (− 2) · (− 2) · (− 2) · (− 2) . Zatim, samo trebamo slijediti ove korake i dobiti 16.

Uzmimo složeniji primjer.

Primjer 2

Izračunajte vrijednost 3 2 7 2

Rješenje

Ovaj unos se može prepisati kao 3 2 7 · 3 2 7 . Prethodno smo pogledali kako pravilno pomnožiti mješovite brojeve spomenute u uvjetu.

Izvršimo ove korake i dobićemo odgovor: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Ako problem ukazuje na potrebu podizanja iracionalnih brojeva na prirodni stepen, morat ćemo prvo zaokružiti njihovu bazu na cifru koja će nam omogućiti da dobijemo odgovor potrebne tačnosti. Pogledajmo primjer.

Primjer 3

Izvedite kvadrat od π.

Rješenje

Prvo, zaokružimo to na stotinke. Tada je π 2 ≈ (3, 14) 2 = 9, 8596. Ako je π ≈ 3. 14159, onda dobijamo precizniji rezultat: π 2 ≈ (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Imajte na umu da se potreba za izračunavanjem snaga iracionalnih brojeva javlja relativno rijetko u praksi. Tada možemo zapisati odgovor kao sam stepen (ln 6) 3, ili pretvoriti ako je moguće: 5 7 = 125 5 .

Odvojeno, treba naznačiti koji je prvi stepen broja. Ovdje možete jednostavno zapamtiti da će svaki broj podignut na prvi stepen ostati sam:

To se jasno vidi sa snimka .

Ne zavisi od diplome.

Primjer 4

Dakle, (− 9) 1 = − 9, a 7 3 podignuto na prvi stepen će ostati jednako 7 3.

Radi praktičnosti, ispitat ćemo tri slučaja odvojeno: ako je eksponent pozitivan cijeli broj, ako je nula i ako je negativan cijeli broj.

U prvom slučaju, ovo je isto kao i podizanje na prirodni stepen: na kraju krajeva, pozitivni cijeli brojevi pripadaju skupu prirodnih brojeva. O tome kako raditi sa takvim diplomama, već smo govorili iznad.

Sada da vidimo kako pravilno podići na nultu snagu. Za bazu koja nije nula, ovaj proračun uvijek daje 1. Prethodno smo objasnili da se 0-ti stepen a može definirati za bilo koji realan broj koji nije jednak 0, a a 0 = 1.

Primjer 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - nije definisano.

Ostaje nam samo slučaj stepena sa cijelim negativnim eksponentom. Već smo raspravljali da se takvi stupnjevi mogu zapisati kao razlomak 1 a z, gdje je a bilo koji broj, a z negativan cijeli broj. Vidimo da nazivnik ovog razlomka nije ništa drugo do običan stepen sa pozitivnim celobrojnim eksponentom, a već smo naučili kako ga izračunati. Navedimo primjere zadataka.

Primjer 6

Podignite 2 na stepen - 3.

Rješenje

Koristeći gornju definiciju, pišemo: 2 - 3 = 1 2 3

Izračunajmo imenilac ovog razlomka i dobićemo 8: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8.

Tada je odgovor: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Primjer 7

Podignite 1,43 na -2 stepen.

Rješenje

Preformulirajmo: 1, 43 - 2 = 1 (1, 43) 2

Računamo kvadrat u nazivniku: 1,43·1,43. Decimale se mogu množiti na ovaj način:

Kao rezultat, dobili smo (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2, 0449. Sve što treba da uradimo je da ovaj rezultat zapišemo u obliku običnog razlomka, za šta ga trebamo pomnožiti sa 10 hiljada (pogledajte materijal o pretvaranju razlomaka).

Odgovor: (1, 43) - 2 = 10000 20449

Poseban slučaj je podizanje broja na minus prvi stepen. Vrijednost ovog stepena jednaka je recipročnoj originalnoj vrijednosti baze: a - 1 = 1 a 1 = 1 a.

Primjer 8

Primjer: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Kako podići broj na razlomak

Da bismo izvršili takvu operaciju, moramo zapamtiti osnovnu definiciju stepena sa razlomkom eksponenta: a m n = a m n za bilo koji pozitivan a, cijeli broj m i prirodni n.

Definicija 2

Dakle, izračunavanje razlomačnog stepena mora se izvesti u dva koraka: podizanje na cijeli broj i pronalaženje korijena n-tog stepena.

Imamo jednakost a m n = a m n , koja se, uzimajući u obzir svojstva korijena, obično koristi za rješavanje problema u obliku a m n = a n m . To znači da ako podignemo broj a na razlomak m / n, onda prvo uzmemo n-ti korijen od a, a zatim podignemo rezultat na stepen sa cjelobrojnim eksponentom m.

Ilustrirajmo primjerom.

Primjer 9

Izračunaj 8 - 2 3 .

Rješenje

Metoda 1: Prema osnovnoj definiciji, ovo možemo predstaviti kao: 8 - 2 3 = 8 - 2 3

Sada izračunajmo stepen ispod korijena i izvučemo treći korijen iz rezultata: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metoda 2. Transformirajte osnovnu jednakost: 8 - 2 3 = 8 - 2 3 = 8 3 - 2

Nakon toga izdvajamo korijen 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 i kvadriramo rezultat: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Vidimo da su rješenja identična. Možete ga koristiti na bilo koji način.

Postoje slučajevi kada stepen ima indikator izražen kao mješoviti broj ili decimalni razlomak. Da biste pojednostavili proračune, bolje je zamijeniti ga običnim razlomkom i izračunati kako je gore navedeno.

Primjer 10

Podignite 44, 89 na stepen 2, 5.

Rješenje

Pretvorimo vrijednost indikatora u običan razlomak: 44, 89 2, 5 = 44, 89 5 2.

Sada izvodimo redom sve gore navedene radnje: 44, 89 5 2 = 44, 89 5 = 44, 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = 2 = 510 = 130 13 501, 25107

Odgovor: 13 501, 25107.

Ako brojnik i nazivnik razlomanog eksponenta sadrže velike brojeve, tada je izračunavanje takvih eksponenata s racionalnim eksponentima prilično težak posao. Obično je potrebna kompjuterska tehnologija.

Zaustavimo se zasebno na potencijama s nultom bazom i razlomkom eksponenta. Izrazu oblika 0 m n može se dati sljedeće značenje: ako je m n > 0, onda je 0 m n = 0 m n = 0; ako je m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Kako podići broj na iracionalni stepen

Potreba da se izračuna vrijednost stepena čiji je eksponent iracionalan broj ne javlja se tako često. U praksi je zadatak obično ograničen na izračunavanje približne vrijednosti (do određenog broja decimalnih mjesta). To se obično izračunava na računaru zbog složenosti takvih proračuna, tako da se nećemo detaljnije zadržavati na tome, samo ćemo navesti glavne odredbe.

Ako trebamo izračunati vrijednost stepena a sa iracionalnim eksponentom a, onda uzimamo decimalnu aproksimaciju eksponenta i računamo od nje. Rezultat će biti približan odgovor. Što je decimalna aproksimacija preciznija, to je tačniji odgovor. Pokažimo na primjeru:

Primjer 11

Izračunajte aproksimaciju 2 na stepen 1,174367....

Rješenje

Ograničimo se na decimalnu aproksimaciju a n = 1, 17. Izvršimo proračune koristeći ovaj broj: 2 1, 17 ≈ 2, 250116. Ako uzmemo, na primjer, aproksimaciju a n = 1, 1743, onda će odgovor biti malo tačniji: 2 1, 174367. . . ≈ 2 1, 1743 ≈ 2, 256833.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Kada broj se sam množi sebi, rad pozvao stepen.

Dakle 2,2 = 4, kvadrat ili drugi stepen od 2
2.2.2 = 8, kocka ili treći stepen.
2.2.2.2 = 16, četvrti stepen.

Takođe, 10,10 = 100, drugi stepen od 10.
10.10.10 = 1000, treća snaga.
10.10.10.10 = 10000 četvrta snaga.

I a.a = aa, drugi stepen od a
a.a.a = aaa, treći stepen a
a.a.a.a = aaaa, četvrti stepen a

Originalni broj se zove root moći ovog broja jer je to broj iz kojeg su stvorene moći.

Međutim, nije sasvim zgodno, posebno u slučaju velikih snaga, zapisati sve faktore koji čine moći. Stoga se koristi metoda stenografskog zapisa. Koren stepena je napisan samo jednom, a desno i malo više blizu njega, ali malo manjim fontom, napisano je koliko puta korijen djeluje kao faktor. Ovaj broj ili slovo se zove eksponent ili stepen brojevi. Dakle, a 2 je jednako a.a ili aa, jer se korijen a mora pomnožiti sam sa sobom dvaput da bi se dobio stepen aa. Također, 3 znači aaa, odnosno, ovdje se ponavlja a tri puta kao multiplikator.

Eksponent prvog stepena je 1, ali se obično ne zapisuje. Dakle, 1 se piše kao a.

Ne treba brkati stepene sa koeficijenti. Koeficijent pokazuje koliko se često uzima vrijednost dio cjelina. Snaga pokazuje koliko se često uzima količina faktor u radu.
Dakle, 4a = a + a + a + a. Ali a 4 = a.a.a.a

Šema za označavanje snage ima posebnu prednost što nam omogućava da izrazimo nepoznato stepen. U tu svrhu umjesto broja upisuje se eksponent pismo. U procesu rješavanja problema možemo dobiti količinu za koju znamo da jeste neki stepen druge veličine. Ali za sada ne znamo da li je to kvadrat, kocka ili neki drugi, viši stepen. Dakle, u izrazu a x eksponent znači da ovaj izraz ima neki stepen, iako nedefinisan koji stepen. Dakle, b m i d n su podignuti na stepene m i n. Kada se nađe eksponent, broj zamjenjuje se umjesto slova. Dakle, ako je m=3, onda je b m = b 3 ; ali ako je m = 5, onda je b m = b 5.

Način pisanja vrijednosti korištenjem moći je također velika prednost pri korištenju izrazi. Dakle, (a + b + d) 3 je (a + b + d).(a + b + d).(a + b + d), odnosno kocka trinoma (a + b + d) . Ali ako napišemo ovaj izraz nakon što ga podignemo na kocku, izgledat će tako
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Ako uzmemo niz potencija čiji se eksponenti povećavaju ili smanjuju za 1, nalazimo da se proizvod povećava za zajednički množitelj ili se smanjuje za zajednički djelitelj, a ovaj faktor ili djelitelj je originalni broj koji je podignut na stepen.

Dakle, u seriji aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
ili 5, a 4, a 3, a 2, a 1;
indikatori, ako se broje s desna na lijevo, su 1, 2, 3, 4, 5; a razlika između njihovih vrijednosti je 1. Ako počnemo desno umnožiti pomoću a, uspješno ćemo dobiti više vrijednosti.

Dakle, a.a = a 2, drugi član. I a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3, treći član. a 4 .a = a 5 .

Ako počnemo lijevo podijeliti do a,
dobijamo 5:a = a 4 i a 3:a = a 2 .
a 4:a = a 3 a 2:a = a 1

Ali ovaj proces podjele se može nastaviti dalje i dobijamo novi skup vrijednosti.

Dakle, a:a = a/a = 1. (1/a):a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Kompletan red bi bio: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Ili 5, a 4, a 3, a 2, a, 1, 1/a, 1/a 2, 1/a 3.

Evo vrijednosti desno od jednog postoji obrnuto vrijednosti lijevo od jedan. Stoga se ovi stepeni mogu nazvati inverzne snage a. Takođe možemo reći da su potencije na lijevoj strani inverzne od potencija na desnoj strani.

Dakle, 1:(1/a) = 1.(a/1) = a. I 1:(1/a 3) = a 3.

Isti plan snimanja se može primijeniti na polinomi. Dakle, za a + b, dobijamo skup,
(a + b) 3, (a + b) 2, (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2, 1/(a + b) 3.

Radi praktičnosti, koristi se drugi oblik pisanja recipročnih ovlaštenja.

Prema ovom obliku, 1/a ili 1/a 1 = a -1. I 1/aaa ili 1/a 3 = a -3 .
1/aa ili 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa ili 1/a 4 = a -4 .

A da bi se napravio kompletan niz sa 1 kao ukupnom razlikom sa eksponentima, a/a ili 1 se smatra nečim što nema stepen i zapisuje se kao 0.

Zatim, uzimajući u obzir direktne i inverzne snage
umjesto aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
možete napisati 4, a 3, a 2, a 1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
Ili +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.

A niz samo pojedinačnih stepena će izgledati ovako:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Koren stepena može se izraziti sa više od jednog slova.

Dakle, aa.aa ili (aa) 2 je drugi stepen aa.
A aa.aa.aa ili (aa) 3 je treći stepen aa.

Sve potencije broja 1 su iste: 1.1 ili 1.1.1. biće jednako 1.

Eksponencijacija je pronalaženje vrijednosti bilo kojeg broja množenjem tog broja samim sobom. Pravilo za eksponencijalnost:

Pomnožite količinu sa sobom onoliko puta koliko je navedeno u stepenu broja.

Ovo pravilo je zajedničko za sve primjere koji mogu nastati tokom procesa eksponencijacije. Ali ispravno je dati objašnjenje kako se to odnosi na određene slučajeve.

Ako je samo jedan član podignut na stepen, onda se on sam po sebi množi onoliko puta koliko je naznačeno eksponentom.

Četvrti stepen a je 4 ili aaaa. (čl. 195.)
Šesti stepen y je y 6 ili yyyyyy.
N-ti stepen x je x n ili xxx..... n puta ponovljeno.

Ako je potrebno podići izraz od više pojmova na stepen, princip koji snaga proizvoda nekoliko faktora jednaka je proizvodu ovih faktora podignutih na stepen.

Dakle (ay) 2 =a 2 y 2 ; (ay) 2 = ay.ay.
Ali ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2 .
Dakle, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Stoga, u pronalaženju snage proizvoda, možemo ili djelovati s cijelim proizvodom odjednom, ili možemo operirati sa svakim faktorom posebno, a zatim pomnožiti njihove vrijednosti sa snagama.

Primjer 1. Četvrti stepen dhy je (dhy) 4, ili d 4 h 4 y 4.

Primjer 2. Treći stepen je 4b, postoji (4b) 3, ili 4 3 b 3, ili 64b 3.

Primjer 3. N-ti stepen od 6ad je (6ad) n ili 6 n a n d n.

Primjer 4. Treći stepen od 3m.2y je (3m.2y) 3, odnosno 27m 3 .8y 3.

Stepen binoma, koji se sastoji od članova povezanih sa + i -, izračunava se množenjem njegovih članova. da,

(a + b) 1 = a + b, prvi stepen.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2, drugi stepen (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3, treći stepen.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4, četvrti stepen.

Kvadrat a - b je a 2 - 2ab + b 2.

Kvadrat a + b + h je a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Vježba 1. Pronađite kocku a + 2d + 3

Vježba 2. Pronađite četvrti stepen od b + 2.

Vježba 3. Pronađite peti stepen od x + 1.

Vježba 4. Pronađite šesti stepen 1 - b.

Zbroj kvadrata iznosi I razlike binomi se toliko često javljaju u algebri da ih je potrebno vrlo dobro poznavati.

Ako pomnožimo a + h po sebi ili a - h po sebi,
dobijamo: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 takođe, (a - h)(a - h) = a 2 - 2ah + h 2 .

Ovo pokazuje da su u svakom slučaju prvi i posljednji član kvadrati a i h, a srednji član je dvostruko veći od proizvoda a i h. Odavde se kvadrat zbira i razlike binoma može pronaći pomoću sljedećeg pravila.

Kvadrat binoma, čija su oba člana pozitivna, jednak je kvadratu prvog člana + dvostrukom proizvodu oba člana + kvadratu posljednjeg člana.

Square razlike binom je jednak kvadratu prvog člana minus dvostruki proizvod oba člana plus kvadrat drugog člana.

Primjer 1. Kvadrat 2a + b, postoji 4a 2 + 4ab + b 2.

Primjer 2. Kvadrat ab + cd, postoji 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2.

Primjer 3. Kvadrat 3d - h, postoji 9d 2 + 6dh + h 2.

Primjer 4. Kvadrat a - 1 je a 2 - 2a + 1.

Za metodu za pronalaženje viših potencija binoma, pogledajte sljedeće dijelove.

U mnogim slučajevima je efikasno zapisivanje stepeni bez množenja.

Dakle, kvadrat a + b je (a + b) 2.
N-ti stepen bc + 8 + x je (bc + 8 + x) n

U takvim slučajevima pokrivaju zagrade Svečlanovi pod diplomom.

Ali ako se korijen stepena sastoji od nekoliko množitelji, zagrade mogu pokrivati ​​cijeli izraz ili se mogu primijeniti zasebno na faktore ovisno o pogodnosti.

Dakle, kvadrat (a + b)(c + d) je ili [(a + b).(c + d)] 2 ili (a + b) 2 .(c + d) 2.

Za prvi od ovih izraza rezultat je kvadrat proizvoda dva faktora, a za drugi rezultat je proizvod njihovih kvadrata. Ali oni su međusobno jednaki.

Kocka a.(b + d), je 3, ili a 3.(b + d) 3.

Mora se uzeti u obzir i znak ispred uključenih članova. Veoma je važno zapamtiti da kada je korijen diplome pozitivan, sve njegove pozitivne moći su također pozitivne. Ali kada je korijen negativan, vrijednosti sa odd snage su negativne, dok su vrijednosti čak stepeni su pozitivni.

Drugi stepen (- a) je +a 2
Treći stepen (-a) je -a 3
Četvrti stepen (-a) je +a 4
Peti stepen (-a) je -a 5

Stoga bilo koji odd stepen ima isti predznak kao i broj. Ali čak stepen je pozitivan bez obzira da li broj ima negativan ili pozitivan predznak.
Dakle, +a.+a = +a 2
I -a.-a = +a 2

Količina koja je već podignuta na stepen ponovo se podiže na stepen množenjem eksponenata.

Treći stepen od 2 je 2,3 = a 6.

Za a 2 = aa; kocka aa je aa.aa.aa = aaaaaa = a 6; što je šesti stepen od a, ali treći stepen od 2.

Četvrti stepen a 3 b 2 je a 3,4 b 2,4 = a 12 b 8

Treći stepen od 4a 2 x je 64a 6 x 3.

Peti stepen (a + b) 2 je (a + b) 10.

N-ti stepen broja 3 je 3n

N-ti stepen (x - y) m je (x - y) mn

(a 3 .b 3) 2 = a 6 .b 6

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Pravilo se podjednako odnosi na negativan stepeni.

Primjer 1. Treći stepen a -2 je -3,3 =a -6.

Za a -2 = 1/aa, i treći stepen ovoga
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Četvrti stepen a 2 b -3 je 8 b -12 ili a 8 /b 12.

Kvadrat je b 3 x -1, postoji b 6 x -2.

N-ti stepen ax -m je x -mn ili 1/x.

Međutim, ovdje moramo imati na umu da ako je znak prethodni stepen je "-", onda se mora promijeniti u "+" kad god je stepen paran broj.

Primjer 1. Kvadrat -a 3 je +a 6. Kvadrat od -a 3 je -a 3 .-a 3, što je, prema pravilima znakova u množenju, +a 6.

2. Ali kocka -a 3 je -a 9. Za -a 3 .-a 3 .-a 3 = -a 9 .

3. N-ti stepen -a 3 je 3n.

Ovdje rezultat može biti pozitivan ili negativan ovisno o tome da li je n paran ili neparan.

Ako frakcija se podiže na stepen, onda se brojnik i imenilac dižu na stepen.

Kvadrat a/b je a 2 /b 2 . Prema pravilu za množenje razlomaka,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Drugi, treći i n-ti stepen 1/a su 1/a 2, 1/a 3 i 1/a n.

Primjeri binomi, u kojem je jedan od članova razlomak.

1. Pronađite kvadrat od x + 1/2 i x - 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x - 1/2) 2 = x 2 - 2.x.(1/2) + 1/2 2 = x 2 - x + 1/4

2. Kvadrat a + 2/3 je 2 + 4a/3 + 4/9.

3. Kvadrat x + b/2 = x 2 + bx + b 2 /4.

4 Kvadrat od x - b/m je x 2 - 2bx/m + b 2 /m 2 .

Prethodno je to pokazano frakcioni koeficijent može se pomjeriti od brojnika do nazivnika ili od nazivnika do brojnika. Koristeći shemu za pisanje recipročnih ovlaštenja, jasno je da bilo koji množitelj takođe se može pomerati, ako se promeni predznak stepena.

Dakle, u razlomku ax -2 /y, možemo premjestiti x od brojnika do nazivnika.
Tada ax -2 /y = (a/y).x -2 = (a/y).(1/x 2 = a/yx 2 .

U razlomku a/by 3, možemo premjestiti y iz nazivnika u brojnik.
Tada je a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Na isti način možemo premjestiti faktor koji ima pozitivan eksponent na brojnik ili faktor sa negativnim eksponentom u nazivnik.

Dakle, ax 3 /b = a/bx -3. Za x 3 inverz je x -3, što je x 3 = 1/x -3.

Dakle, nazivnik bilo kojeg razlomka može se u potpunosti ukloniti, ili se brojilac može svesti na jedan, bez promjene značenja izraza.

Dakle, a/b = 1/ba -1, ili ab -1.

Nastavljajući razgovor o moći broja, logično je shvatiti kako pronaći vrijednost stepena. Ovaj proces se zove eksponencijacija. U ovom članku ćemo proučiti kako se izvodi eksponencijalnost, dok ćemo se dotaknuti svih mogućih eksponenata - prirodnih, cjelobrojnih, racionalnih i iracionalnih. A prema tradiciji, detaljno ćemo razmotriti rješenja primjera dizanja brojeva na različite stepene.

Navigacija po stranici.

Šta znači "eksponencijacija"?

Počnimo s objašnjenjem onoga što se zove eksponencijacija. Evo relevantne definicije.

Definicija.

Eksponencijacija- ovo je pronalaženje vrijednosti stepena broja.

Dakle, pronalaženje vrijednosti stepena broja a sa eksponentom r i podizanje broja a na stepen r su ista stvar. Na primjer, ako je zadatak "izračunaj vrijednost stepena (0,5) 5", onda se može preformulisati na sljedeći način: "Podići broj 0,5 na stepen 5."

Sada možete ići direktno na pravila po kojima se izvodi eksponencijacija.

Podizanje broja na prirodni stepen

U praksi se jednakost zasnovana na obično primjenjuje u obliku . To jest, kada se broj a podiže na razlomak m/n, prvo se uzima n-ti korijen broja a, nakon čega se rezultirajući rezultat podiže na cijeli broj m.

Pogledajmo rješenja za primjere podizanja na razlomak.

Primjer.

Izračunajte vrijednost stepena.

Rješenje.

Pokazaćemo dva rješenja.

Prvi način. Po definiciji stepena sa frakcijskim eksponentom. Izračunavamo vrijednost stepena ispod predznaka korijena, a zatim izdvajamo kubni korijen: .

Drugi način. Po definiciji stepena sa razlomačnim eksponentom i na osnovu svojstava korena, tačne su sledeće jednakosti: . Sada izvlačimo korijen , konačno, podižemo ga na cijeli broj .

Očigledno je da se dobijeni rezultati podizanja na razlomak stepena poklapaju.

odgovor:

Imajte na umu da se razlomak eksponenta može napisati kao decimalni razlomak ili mješoviti broj, u tim slučajevima ga treba zamijeniti odgovarajućim običnim razlomkom, a zatim podići na stepen.

Primjer.

Izračunaj (44,89) 2.5.

Rješenje.

Napišimo eksponent u obliku običnog razlomka (ako je potrebno, pogledajte članak): . Sada izvodimo podizanje na razlomak:

odgovor:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Također treba reći da je podizanje brojeva na racionalne stepene prilično radno intenzivan proces (posebno kada brojnik i nazivnik razlomnog eksponenta sadrže dovoljno velike brojeve), koji se obično izvodi pomoću računalne tehnologije.

Da zaključimo ovu poentu, zadržimo se na podizanju broja nula na razlomak. Dali smo sljedeće značenje razlomku nule oblika: kada imamo , a na nuli do m/n snaga nije definirana. Dakle, nula do razlomka pozitivne moći je nula, na primjer, . I nula u razlomku negativnog stepena nema smisla, na primjer, izrazi 0 -4,3 nemaju smisla.

Uzdizanje na iracionalnu moć

Ponekad je potrebno saznati vrijednost stepena broja s iracionalnim eksponentom. U ovom slučaju, u praktične svrhe obično je dovoljno dobiti vrijednost stepena tačnu na određeni predznak. Odmah napominjemo da se u praksi ova vrijednost izračunava pomoću elektronskih računara, budući da njeno podizanje na iracionalnu snagu ručno zahtijeva veliki broj glomaznih proračuna. Ali mi ćemo i dalje općenito opisati suštinu radnji.

Da bi se dobila približna vrijednost stepena broja a sa iracionalnim eksponentom, uzima se neka decimalna aproksimacija eksponenta i izračunava se vrijednost stepena. Ova vrijednost je približna vrijednost stepena broja a sa iracionalnim eksponentom. Što je tačnija decimalna aproksimacija broja na početku, to će se na kraju dobiti tačnija vrijednost stepena.

Kao primjer, izračunajmo približnu vrijednost snage 2 1,174367... . Uzmimo sljedeću decimalnu aproksimaciju iracionalnog eksponenta: . Sada dižemo 2 na racionalni stepen 1.17 (suštinu ovog procesa smo opisali u prethodnom paragrafu), dobijamo 2 1.17 ≈2.250116. dakle, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Ako uzmemo precizniju decimalnu aproksimaciju iracionalnog eksponenta, na primjer, onda ćemo dobiti precizniju vrijednost originalnog eksponenta: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografija.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Udžbenik matematike za 5. razred. obrazovne institucije.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 7. razred. obrazovne institucije.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8. razred. obrazovne institucije.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 9. razred. obrazovne institucije.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: Udžbenik za 10. - 11. razred opšteobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za one koji upisuju tehničke škole).

Kalkulator vam pomaže da brzo podignete broj na snagu na mreži. Osnova stepena može biti bilo koji broj (i cijeli i realni). Eksponent također može biti cijeli broj ili realan, a također može biti pozitivan ili negativan. Imajte na umu da je za negativne brojeve povećanje na stepen koji nije cijeli broj nedefinirano, tako da će kalkulator prijaviti grešku ako to pokušate.

Kalkulator stepena

Podigni na snagu

Eksponencijacije: 94722

Šta je prirodna snaga broja?

Broj p se naziva n-tim stepenom broja ako je p jednako broju a pomnoženom sam sa sobom n puta: p = a n = a·...·a
n - pozvan eksponent, a broj a je osnovu stepena.

Kako podići broj na prirodni stepen?

Da biste razumjeli kako podići različite brojeve na prirodne moći, razmotrite nekoliko primjera:

Primjer 1. Podignite broj tri na četvrti stepen. Odnosno, potrebno je izračunati 3 4
Rješenje: kao što je gore navedeno, 3 4 = 3·3·3·3 = 81.
Odgovori: 3 4 = 81 .

Primjer 2. Podignite broj pet na peti stepen. Odnosno, potrebno je izračunati 5 5
Rješenje: slično, 5 5 = 5·5·5·5·5 = 3125.
Odgovori: 5 5 = 3125 .

Dakle, da biste broj podigli na prirodni stepen, samo ga trebate pomnožiti sam sa sobom n puta.

Šta je negativan stepen broja?

Negativna snaga -n od a je jedinica podijeljena sa a na stepen n: a -n = .

U ovom slučaju negativna snaga postoji samo za brojeve koji nisu nula, jer bi u suprotnom došlo do dijeljenja nulom.

Kako podići broj na negativan cijeli broj?

Da biste broj koji nije nula povisili na negativan stepen, trebate izračunati vrijednost ovog broja na istu pozitivnu potenciju i podijeliti jedan s rezultatom.

Primjer 1. Podignite broj dva na negativan četvrti stepen. Odnosno, morate izračunati 2 -4

Rješenje: kao što je gore navedeno, 2 -4 = = = 0,0625.

Odgovori: 2 -4 = 0.0625 .