Ispitajte funkcionalne serije za konvergenciju. Funkcionalni nizovi i njihova konvergencija: uniformni i neujednačeni. Uniformna konvergencija funkcionalnog niza i njegova svojstva

– možda kompleks neće ispasti tako složen;) I naslov ovog članka je također neiskren - serije o kojima će se danas raspravljati nisu složene, već „rijetke zemlje“. Međutim, ni vanredni studenti nisu imuni na njih, te stoga ovu naizgled dodatnu lekciju treba shvatiti s najvećom ozbiljnošću. Na kraju krajeva, nakon što ga razradite, moći ćete se nositi sa gotovo svakom "zvijeri"!

Počnimo s klasicima žanra:

Primjer 1

Prvo, imajte na umu da ovo NIJE power serija (podsjećam te da izgleda). I, drugo, ovdje vrijednost odmah upada u oči, koja se očito ne može uključiti u područje konvergencije serije. I ovo je već mali uspjeh studije!

Ali ipak, kako postići veliki uspjeh? Požurim da vas zadovoljim - takve serije mogu se riješiti na potpuno isti način kao moć– na osnovu d’Alembertovog ili radikalnog Cauchyjevog znaka!

Rješenje: vrijednost nije unutar raspona konvergencije serije. Ovo je značajna činjenica i mora se napomenuti!

Osnovni algoritam radi standardno. Koristeći d'Alembertov kriterij, nalazimo interval konvergencije niza:

Serija konvergira na . Pomjerimo modul gore:

Odmah provjerimo "lošu" tačku: vrijednost nije uključena u raspon konvergencije serije.

Hajde da ispitamo konvergenciju niza na "unutrašnjim" krajevima intervala:
ako onda
ako onda

Oba niza brojeva se razilaze jer neophodan znak konvergencije.

Odgovori: područje konvergencije:

Uradimo malu analitičku provjeru. Zamijenimo neku vrijednost iz desnog intervala u funkcionalni niz, na primjer:
– konvergira dalje d'Alambertov znak.

U slučaju zamjene vrijednosti iz lijevog intervala, također se dobijaju konvergentni nizovi:
ako onda .

I konačno, ako , onda serija – zaista se razilazi.

Par jednostavnih primjera za zagrijavanje:

Primjer 2

Pronađite područje konvergencije funkcionalnog niza

Primjer 3

Pronađite područje konvergencije funkcionalnog niza

Budite posebno dobri u ophođenju sa "novim" modul– desiće se 100.500 puta danas!

Kratka rješenja i odgovori na kraju lekcije.

Čini se da su korišteni algoritmi univerzalni i bez problema, ali u stvari to nije slučaj - za mnoge funkcionalne serije često "skliznu" i čak dovode do pogrešnih zaključaka (Takođe ću razmotriti takve primjere).

Neravnine počinju već na nivou interpretacije rezultata: uzmite u obzir, na primjer, seriju. Ovdje smo u limitu (provjerite sami), a u teoriji morate dati odgovor da se niz konvergira u jednoj tački. Međutim, poenta je „izigrana“, što znači da se naš „pacijent“ svuda razilazi!

A za seriju, “očigledno” Cauchyjevo rješenje ne daje baš ništa:
– za BILO KOJU vrijednost “x”.

I postavlja se pitanje šta učiniti? Koristimo metodu kojoj će biti posvećen glavni dio lekcije! Može se formulisati na sljedeći način:

Direktna analiza brojevnih nizova za različite vrijednosti

U stvari, to smo već počeli raditi u primjeru 1. Prvo, ispitujemo određeni „X“ i odgovarajući broj brojeva. Treba uzeti vrijednost:
– rezultirajući niz brojeva se razilazi.

I to odmah navodi na misao: šta ako se ista stvar dogodi na drugim mjestima?
Hajde da proverimo neophodan znak konvergencije niza Za proizvoljno značenja:

Poenta je uzeta u obzir gore, za sve ostale "X" Mi ćemo se dogovoriti standardno druga divna granica:

Zaključak: niz se razilazi duž cijele brojevne prave

A ovo rješenje je najizvodljivija opcija!

U praksi, funkcionalne serije se često moraju porediti generalizovani harmonijski niz :

Primjer 4

Rješenje: pre svega, da se pozabavimo domenu definicije: u ovom slučaju radikalni izraz mora biti striktno pozitivan, a osim toga, svi članovi serije moraju postojati, počevši od 1. Iz ovoga proizilazi da:
. Sa ovim vrijednostima dobijaju se uslovno konvergentni nizovi:
itd.

Drugi "x" nisu prikladni, pa, na primjer, kada dobijemo nelegalan slučaj gdje prva dva člana serije ne postoje.

Sve je to dobro, sve je jasno, ali ostaje još jedno važno pitanje - kako ispravno formalizirati odluku? Predlažem shemu koja se kolokvijalno može nazvati "prevođenjem strelica" u niz brojeva:

Hajde da razmotrimo proizvoljno značenje i proučavanje konvergencije brojevnih nizova. Rutina Leibnizov znak:

1) Ova serija je naizmjenična.

2) – članovi serije smanjuju modul. Svaki sljedeći član serije je manji po modulu od prethodnog: , što znači da je smanjenje monotono.

Zaključak: niz konvergira prema Leibnizovom kriteriju. Kao što je već napomenuto, konvergencija je ovdje uslovna - iz razloga što je serija – razilazi se.

Samo tako - uredno i korektno! Jer iza “alfe” smo spretno sakrili sve dozvoljene nizove brojeva.

Odgovori: funkcionalni niz postoji i konvergira uslovno na .

Sličan primjer za nezavisno rješenje:

Primjer 5

Istražiti konvergenciju funkcionalnog niza

Okvirni uzorak završnog zadatka na kraju lekcije.

Toliko o vašoj "radnoj hipotezi"! – funkcionalni niz konvergira na intervalu!

2) Sa simetričnim intervalom sve je transparentno, razmotrite proizvoljno vrijednosti i dobijamo: – apsolutno konvergentan broj brojeva.

3) I na kraju, „sredina“. I ovdje je zgodno istaknuti dvije praznine.

Razmatramo proizvoljno vrijednost iz intervala i dobijamo niz brojeva:

! Opet - ako je teško , zamijenite određeni broj, na primjer . Međutim... hteli ste teškoće =)

Urađeno za sve vrijednosti "en" , znači:
- dakle, prema poređenje serija konvergira zajedno sa beskonačno opadajućom progresijom.

Za sve vrijednosti "x" iz intervala dobijamo – apsolutno konvergentni niz brojeva.

Svi "X-ovi" su istraženi, nema više "X-ova"!

Odgovori: raspon konvergencije serije:

Moram reći, neočekivani rezultat! A treba dodati i da će upotreba d'Alembertovih ili Cauchyjevih znakova ovdje definitivno dovesti u zabludu!

Direktna procjena je "akrobatika" matematičke analize, ali za to je, naravno, potrebno iskustvo, au nekim slučajevima čak i intuicija.

Ili će možda neko naći lakši način? Pisati! Inače, ima presedana - nekoliko puta su čitaoci predlagali racionalnija rješenja, a ja sam ih sa zadovoljstvom objavljivao.

Uspješno sletanje :)

Primjer 11

Pronađite područje konvergencije funkcionalnog niza

Moja verzija rješenja je vrlo bliska.

Dodatni hardcore se može naći u Odjeljak VI (redovi) Kuznjecova kolekcija (Zadaci 11-13). Na internetu postoje gotova rješenja, ali ovdje ste mi potrebni upozoriti– mnoge od njih su nepotpune, netačne ili čak potpuno pogrešne. I, usput rečeno, to je bio jedan od razloga zašto je nastao ovaj članak.

Hajde da sumiramo tri lekcije i sistematizujmo naše alate. dakle:

Da biste pronašli interval(e) konvergencije niza funkcija, možete koristiti:

1) D'Alembertov ili Cauchyjev znak. A ako red nije smireno– pokazujemo povećan oprez kada analiziramo rezultat dobijen direktnom zamjenom različitih vrijednosti.

2) Weierstrassov test za uniformnu konvergenciju. Ne zaboravi!

3) Poređenje sa standardnim brojevnim nizovima– pravila u opštem slučaju.

Onda ispitati krajeve pronađenih intervala (ako je potrebno) i dobijamo oblast konvergencije reda.

Sada imate na raspolaganju prilično ozbiljan arsenal koji će vam omogućiti da se nosite s gotovo svim tematskim zadatkom.

Želim ti uspjeh!

Rješenja i odgovori:

Primjer 2: Rješenje: vrijednost nije unutar raspona konvergencije serije.
Koristimo d'Alambertov znak:


Serija se konvergira na:

Dakle, intervali konvergencije funkcionalnog niza: .
Hajde da istražimo konvergenciju niza na krajnjim tačkama:
ako onda ;
ako onda .
Oba niza brojeva se razilaze, jer potreban kriterijum konvergencije nije ispunjen.

Odgovori : područje konvergencije:

Funkcionalna serija. Power series.
Raspon konvergencije serije

Smijeh bez razloga je znak d'Alamberta

Otkucao je sat funkcionalnih činova. Da biste uspješno savladali temu, a posebno ovu lekciju, morate dobro razumjeti redove običnih brojeva. Trebalo bi da dobro razumete šta je niz i da budete u stanju da primenite kriterijume poređenja da biste ispitali konvergenciju serije. Dakle, ako ste tek počeli proučavati ovu temu ili ste početnik u višoj matematici, neophodno raditi kroz tri lekcije u nizu: Redovi za lutke,D'Alembertov znak. Cauchyjevi znaci I Naizmjenični redovi. Leibnizov test. Definitivno sve tri! Ako imate osnovna znanja i vještine u rješavanju zadataka s brojevnim nizovima, onda će snalaženje s funkcionalnim nizovima biti prilično jednostavno, jer nema puno novog materijala.

U ovoj lekciji ćemo pogledati koncept funkcionalnog niza (šta on čak i jeste), upoznati se sa redovima stepena, koji se nalaze u 90% praktičnih zadataka, i naučiti kako da rešimo uobičajen tipičan problem pronalaženja poluprečnika konvergencije, intervala konvergencije i područja konvergencije stepena reda. Zatim, preporučujem da razmotrite materijal o proširenje funkcija u nizove stepena, a prva pomoć će biti pružena početniku. Nakon što smo malo uhvatili dah, prelazimo na sljedeći nivo:

Također u dijelu funkcionalnih serija ima ih mnogo aplikacije za približno računanje, a na neki način se ističu Fourierovi nizovi, kojima se po pravilu daje posebno poglavlje u obrazovnoj literaturi. Imam samo jedan članak, ali je dugačak i ima mnogo, mnogo dodatnih primjera!

Dakle, orijentiri su postavljeni, idemo:

Koncept funkcionalnog niza i potencijskog reda

Ako se ispostavi da je granica beskonačnost, tada i algoritam rješenja završava svoj posao, a mi dajemo konačni odgovor na zadatak: „Serija konvergira u ” (ili u bilo koje od njih). Vidi predmet br. 3 prethodnog stava.

Ako se pokaže da granica nije ni nula ni beskonačnost, onda imamo najčešći slučaj u praksi br. 1 - niz konvergira na određenom intervalu.

U ovom slučaju, granica je . Kako pronaći interval konvergencije niza? Sastavljamo nejednakost:

IN BILO KOJI zadatak ove vrste na lijevoj strani nejednakosti treba biti rezultat obračuna limita, a na desnoj strani nejednakosti – strogo jedinica. Neću tačno objašnjavati zašto postoji takva nejednakost i zašto je ona na desnoj strani. Nastava je praktično orijentisana, a već je jako dobro da moje priče nisu objesile nastavno osoblje i neke teoreme su postale jasnije.

Tehnika rada s modulom i rješavanje dvostrukih nejednačina detaljno je obrađena prve godine u članku. Funkcija domena, ali radi praktičnosti pokušat ću što detaljnije komentirati sve radnje. Proširivanje nejednakosti sa modulom prema školskom pravilu . U ovom slučaju:

Pola puta je gotovo.

U drugoj fazi, potrebno je istražiti konvergenciju niza na krajevima pronađenog intervala.

Prvo, uzimamo lijevi kraj intervala i zamjenjujemo ga u naš niz stepena:

At

Dobili smo niz brojeva i moramo ga ispitati radi konvergencije (zadatak koji je već poznat iz prethodnih lekcija).

1) Serija se izmjenjuje.
2) – članovi serije smanjuju modul. Štaviše, svaki sljedeći član serije je manji od prethodnog u apsolutnoj vrijednosti: , što znači da je smanjenje monotono.
Zaključak: niz konvergira.

Koristeći seriju sastavljenu od modula, saznaćemo tačno kako:
– konvergira („standardni“ niz iz porodice generalizovanih harmonijskih redova).

Dakle, rezultirajući niz brojeva apsolutno konvergira.

at – konvergira.

! podsjećam te da je svaki konvergentni pozitivni niz također apsolutno konvergentan.

Dakle, niz stepena konvergira, i to apsolutno, na oba kraja pronađenog intervala.

odgovor: područje konvergencije niza stepena koji se proučava:

Drugi oblik odgovora ima pravo na život: Niz konvergira ako

Ponekad izjava problema zahtijeva da navedete radijus konvergencije. Očigledno je da u razmatranom primjeru .

Primjer 2

Naći područje konvergencije potencijskog reda

Rješenje: nalazimo interval konvergencije serije korišćenjem d'Alambertov znak (ali ne BY atribut! – takav atribut ne postoji za funkcionalne serije):

Serija se konvergira na

lijevo moramo da odemo samo, pa pomnožimo obje strane nejednakosti sa 3:

– Serija se izmjenjuje.
– – članovi serije smanjuju modul. Svaki sljedeći član niza je manji od prethodnog u apsolutnoj vrijednosti: , što znači da je smanjenje monotono.

Zaključak: niz konvergira.

Hajde da to ispitamo zbog prirode konvergencije:

Uporedimo ovu seriju sa divergentnom serijom.
Koristimo ograničavajući kriterijum poređenja:

Dobija se konačan broj koji je različit od nule, što znači da se niz odvaja od niza.

Dakle, niz konvergira uslovno.

2) Kada – divergira (prema onome što je dokazano).

odgovor: Područje konvergencije ispitivanog niza stepena: . Kada se niz konvergira uslovno.

U razmatranom primjeru, područje konvergencije redova stepena je poluinterval, a u svim tačkama intervala stepen stepena konvergira apsolutno, a u trenutku , kako se ispostavilo – uslovno.

Primjer 3

Pronađite interval konvergencije niza stepena i istražite njegovu konvergenciju na krajevima pronađenog intervala

Ovo je primjer koji možete sami riješiti.

Pogledajmo nekoliko primjera koji su rijetki, ali se dešavaju.

Primjer 4

Pronađite područje konvergencije niza:

Rješenje: Koristeći d'Alembertov test nalazimo interval konvergencije ovog niza:

(1) Sastavljamo omjer sljedećeg člana niza prema prethodnom.

(2) Riješimo se razlomka sa četiri sprata.

(3) Prema pravilu operacija sa moćima, kocke dovodimo pod jedan stepen. U brojiocu pametno širimo stepen, tj. Mi ga uredimo na takav način da u sljedećem koraku možemo smanjiti razlomak za . Detaljno opisujemo faktorijele.

(4) Pod kockom, dijelimo brojilac sa nazivnikom član po član, što pokazuje da . U djeliću smanjujemo sve što se može smanjiti. Faktor uzimamo izvan graničnog znaka; on se može izvaditi, jer u njemu nema ničega što zavisi od „dinamičke“ varijable „en“. Imajte na umu da znak modula nije nacrtan - iz razloga što uzima nenegativne vrijednosti za bilo koji "x".

U granici se dobija nula, što znači da možemo dati konačan odgovor:

odgovor: Serija se konvergira na

Ali u početku se činilo da će ovaj spor sa “strašnim punjenjem” biti teško riješiti. Nula ili beskonačnost u granici je gotovo poklon, jer je rješenje osjetno smanjeno!

Primjer 5

Pronađite područje konvergencije niza

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Budite oprezni;-) Potpuno rješenje je na kraju lekcije.

Pogledajmo još nekoliko primjera koji sadrže element novine u smislu upotrebe tehničkih tehnika.

Primjer 6

Pronađite interval konvergencije niza i istražite njegovu konvergenciju na krajevima pronađenog intervala

Rješenje: Uobičajeni pojam niza stepena uključuje faktor koji osigurava izmjenu predznaka. Algoritam rješenja je u potpunosti očuvan, ali prilikom sastavljanja ograničenja ovaj faktor ignoriramo (ne pišemo), jer modul uništava sve "minuse".

Interval konvergencije niza nalazimo pomoću d'Alembertovog testa:

Napravimo standardnu ​​nejednakost:
Serija se konvergira na
lijevo moramo da odemo samo modul, pa pomnožimo obje strane nejednakosti sa 5:

Sada otvaramo modul na poznat način:

U sredini dvostruke nejednakosti morate ostaviti samo "X"; u tu svrhu oduzimamo 2 od svakog dijela nejednakosti:

– interval konvergencije ispitivanog niza stepena.

Istražujemo konvergenciju niza na krajevima pronađenog intervala:

1) Zamijenite vrijednost u našu potencijsku seriju :

Budite krajnje oprezni, množitelj ne daje izmjenu znakova za bilo koji prirodni “en”. Dobijeni minus uzimamo izvan niza i zaboravljamo na njega, jer on (kao i svaka faktorska konstanta) ni na koji način ne utiče na konvergenciju ili divergenciju brojevnog niza.

Napomena ponovo da je u toku zamjene vrijednosti u opšti član stepena reda naš faktor smanjen. Ako se to ne bi dogodilo, to bi značilo da smo ili pogrešno izračunali limit ili smo pogrešno proširili modul.

Dakle, moramo ispitati konvergenciju niza brojeva. Ovdje je najlakši način koristiti ograničavajući kriterij poređenja i uporediti ovaj niz sa divergentnim harmonijskim nizom. Ali, da budem iskren, užasno sam umoran od ograničavajućeg znaka poređenja, pa ću dodati malo raznolikosti rješenju.

Dakle, serija konvergira na

Obe strane nejednakosti množimo sa 9:

Izvlačimo korijen iz oba dijela, prisjećajući se stare školske šale:


Proširivanje modula:

i dodajte po jedan svim dijelovima:

– interval konvergencije ispitivanog niza stepena.

Hajde da istražimo konvergenciju niza stepena na krajevima pronađenog intervala:

1) Ako je , tada se dobija sljedeći broj brojeva:

Multiplikator je nestao bez traga, jer za bilo koju prirodnu vrijednost “en” .

4.1. Funkcionalni nizovi: osnovni pojmovi, područje konvergencije

Definicija 1. Niz čiji su članovi funkcije jednog ili
poziva se nekoliko nezavisnih varijabli definiranih na određenom skupu funkcionalni raspon.

Razmotrimo funkcionalni niz čiji su članovi funkcije jedne nezavisne varijable X. Zbroj prvog nčlanovi niza je parcijalni zbir datog funkcionalnog niza. Generalni član postoji funkcija iz X, definisan u određenom regionu. Razmotrimo funkcionalnu seriju u tački . Ako odgovarajući broj brojeva konvergira, tj. postoji ograničenje za parcijalne sume ove serije
(Gdje − zbir niza brojeva), tada se tačka zove tačka konvergencije funkcionalni raspon . Ako brojčani niz divergira, tada se poziva tačka tačka divergencije funkcionalni raspon.

Definicija 2. Područje konvergencije funkcionalni raspon naziva se skup svih takvih vrijednosti X, na kojoj konvergira funkcionalni niz. Područje konvergencije, koje se sastoji od svih tačaka konvergencije, je označeno . Zapiši to R.

Funkcionalni niz konvergira u regionu , ako postoji konvergira kao niz brojeva, a njegov zbir će biti neka funkcija . Ovo je tzv granična funkcija sekvence : .

Kako pronaći područje konvergencije niza funkcija ? Možete koristiti znak sličan d'Alembertovom znaku. Za red komponovati i razmotrite ograničenje za fiksno X:
. Onda je rješenje nejednakosti i rješavanje jednačine (uzimamo samo ona rješenja jednadžbe
koji se odgovarajući nizovi brojeva konvergiraju).

Primjer 1. Pronađite područje konvergencije niza.

Rješenje. Označimo , . Sastavimo i izračunajmo granicu, tada je područje konvergencije niza određeno nejednakošću i jednadžba . Hajde da dalje istražimo konvergenciju originalnog niza u tačkama koje su koreni jednadžbe:

i ako , , tada dobijamo divergentni niz ;

b) ako , , zatim serija konvergira uslovno (po

Leibnizov kriterij, primjer 1, predavanje 3, odjeljak. 3.1).

Dakle, oblast konvergencije serija izgleda ovako: .

4.2. Potencijalni redovi: osnovni pojmovi, Abelov teorem

Razmotrimo poseban slučaj funkcionalnog niza, tzv power series , Gdje
.

Definicija 3. Power series naziva se funkcionalni niz oblika,

Gdje − pozvani konstantni brojevi koeficijenti serije.

Potencijski niz je "beskonačan polinom" raspoređen u rastućim potencijama . Bilo koja serija brojeva je
poseban slučaj potencijskog reda za .

Razmotrimo poseban slučaj potencijskog reda za :
. Hajde da saznamo koji je to tip
područje konvergencije ove serije .

Teorema 1 (Abelova teorema). 1) Ako je snaga serije konvergira u tački , tada konvergira apsolutno za bilo koje X, za koje vrijedi nejednakost .

2) Ako se niz snaga divergira na , onda se razlikuje za bilo koje X, za koji .

Dokaz. 1) Po uslovu, niz stepena konvergira u tački ,

tj. brojčani niz konvergira

(1)

a prema potrebnom kriterijumu konvergencije, njegov zajednički član teži 0, tj. . Dakle, postoji takav broj da su svi članovi serije ograničeni ovim brojem:
.

Hajde da sada razmotrimo bilo koju X, za koji , i napraviti niz apsolutnih vrijednosti: .
Hajde da napišemo ovu seriju u drugačijem obliku: pošto , zatim (2).

Od nejednakosti
dobijamo, tj. red

sastoji se od članova koji su veći od odgovarajućih članova serije (2). Red predstavlja konvergentni niz geometrijske progresije sa nazivnikom , i , jer . Prema tome, niz (2) konvergira na . Dakle, red snage apsolutno se poklapa.

2) Neka serija divergira na , drugim riječima,

brojčani niz se razilazi . Dokažimo to za bilo koje X () serija se razilazi. Dokaz je kontradiktorno. Neka za neke

fiksno ( ) red konvergira, onda konvergira za sve (vidi prvi dio ove teoreme), posebno za , što je u suprotnosti sa uslovom 2) teoreme 1. Teorema je dokazana.

Posljedica. Abelov teorem nam omogućava da prosudimo lokaciju tačke konvergencije stepena niza. Ako je poenta je tačka konvergencije stepena niza, zatim interval ispunjena tačkama konvergencije; ako je tačka divergencije tačka , To
beskonačni intervali ispunjena tačkama divergencije (slika 1).

Rice. 1. Intervali konvergencije i divergencije nizova

Može se pokazati da postoji takav broj to pred svima
power series konvergira apsolutno, i kada − divergira. Pretpostavićemo da ako se niz konvergira samo u jednoj tački 0, onda , i ako red konvergira za sve , To .

Definicija 4. Interval konvergencije power series takav interval se zove to pred svima ova serija konvergira i, štaviše, apsolutno i za sve X, koji leži izvan ovog intervala, serija se divergira. Broj R pozvao radijus konvergencije power series.

Komentar. Na krajevima intervala pitanje konvergencije ili divergencije stepena reda se rješava posebno za svaki konkretan niz.

Pokažimo jedan od načina za određivanje intervala i radijusa konvergencije stepena niza.

Razmotrite redove snage i označiti .

Napravimo niz apsolutnih vrijednosti njegovih članova:

i primijeniti d'Alembertov test na njega.

Neka postoji

.

Prema d'Alembertovom testu, niz konvergira ako , i divergira ako . Dakle, niz konvergira na , tada je interval konvergencije: . Kada se serija raziđe, pošto .
Koristeći notaciju , dobijamo formulu za određivanje radijusa konvergencije stepena niza:

,

Gdje − koeficijenti redova snaga.

Ako se ispostavi da je granica , onda pretpostavljamo .

Da biste odredili interval i radijus konvergencije niza stepena, možete koristiti i radikalni Cauchyjev test; radijus konvergencije reda se određuje iz relacije .

Definicija 5. Generalizovani redovi stepena naziva se niz oblika

. Naziva se i nizom snage .
Za takav niz, interval konvergencije ima oblik: , Gdje − radijus konvergencije.

Hajde da pokažemo kako pronaći radijus konvergencije za generalizovani niz stepena.

one. , Gdje .

Ako , To , i područje konvergencije R; Ako , To i region konvergencije .

Primjer 2. Pronađite područje konvergencije niza .

Rješenje. Označimo . Hajde da napravimo granicu

Rješavanje nejednakosti: , , dakle, interval

konvergencija ima oblik: , i R= 5. Dodatno, ispitujemo krajeve intervala konvergencije:
A) , , dobili smo seriju , koji se divergira;
b) , , dobili smo seriju , koji konvergira
uslovno. Dakle, područje konvergencije je: , .

odgovor: region konvergencije .

Primjer 3. Red različito za svakoga , jer at , radijus konvergencije .

Primjer 4. Niz konvergira za sve R, radijus konvergencije .

Funkcionalni raspon se naziva formalno pisani izraz

u1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + ... + u n ( x) + ... , (1)

Gdje u1 (x), u 2 (x), u 3 (x), ..., u n ( x), ... - niz funkcija iz nezavisne varijable x.

Skraćeni zapis funkcionalnog niza sa sigmom: .

Primjeri funkcionalnih serija uključuju :

(2)

(3)

Davanje nezavisne varijable x neku vrednost x0 i zamjenom u funkcionalni niz (1) dobijamo numerički niz

u1 (x 0 ) + u 2 (x 0 ) + u 3 (x 0 ) + ... + u n ( x 0 ) + ...

Ako rezultirajuća numerička serija konvergira, tada se kaže da funkcionalni niz (1) konvergira za x = x0 ; ako se divergira, ono što se kaže je da se niz (1) divergira na x = x0 .

Primjer 1. Istražiti konvergenciju funkcionalnog niza(2) na vrijednostima x= 1 i x = - 1 .
Rješenje. At x= 1 dobijamo niz brojeva

koji konvergira prema Leibnizovom kriterijumu. At x= - 1 dobijamo niz brojeva

,

koji divergira kao proizvod divergentnog harmonijskog niza za – 1. Dakle, niz (2) konvergira na x= 1 i divergira na x = - 1 .

Ako se takva provjera konvergencije funkcionalnog niza (1) izvrši u odnosu na sve vrijednosti nezavisne varijable iz domene definicije njenih članova, tada će se točke ovog domena podijeliti u dva skupa: za vrijednosti x, uzet u jednom od njih, niz (1) konvergira, au drugom divergira.

Skup vrijednosti nezavisne varijable kod koje se funkcionalni niz konvergira naziva se njegovim područje konvergencije .

Primjer 2. Naći područje konvergencije funkcionalnog niza

Rješenje. Članovi niza su definirani na cijeloj brojevnoj pravoj i čine geometrijsku progresiju sa nazivnikom q= grijeh x. Stoga se red konvergira ako

i odstupa ako

(vrijednosti nisu moguće). Ali za vrijednosti i za druge vrijednosti x. Dakle, red konvergira za sve vrijednosti x, osim . Područje njegove konvergencije je cijela brojevna prava, sa izuzetkom ovih tačaka.

Primjer 3. Pronađite područje konvergencije funkcionalnog niza

Rješenje. Članovi niza čine geometrijsku progresiju sa nazivnikom q=ln x. Stoga, serija konvergira ako , ili , odakle . Ovo je područje konvergencije ove serije.

Primjer 4. Istražiti konvergenciju funkcionalnog niza

Rješenje. Uzmimo proizvoljnu vrijednost. Sa ovom vrijednošću dobijamo niz brojeva

(*)

Nađimo granicu njegovog zajedničkog pojma

Posljedično, niz (*) divergira za proizvoljno odabrano, tj. po bilo kojoj vrijednosti x. Njegovo područje konvergencije je prazan skup.

Uniformna konvergencija funkcionalnog niza i njegova svojstva

Pređimo na koncept uniformna konvergencija funkcionalnog niza . Neka s(x) je zbir ove serije i sn ( x) - suma n prvi članovi ove serije. Funkcionalni raspon u1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + ... + u n ( x) + ... naziva se uniformno konvergentnim na intervalu [ a, b] , ako je za bilo koji proizvoljno mali broj ε > 0 postoji takav broj N to pred svima n ≥ N nejednakost će biti ispunjena

|s(x) − s n ( x)| < ε

za bilo koga x iz segmenta [ a, b] .

Gore navedeno svojstvo može se geometrijski ilustrovati na sljedeći način.

Razmotrimo graf funkcije y = s(x) . Konstruirajmo traku širine 2 oko ove krive ε n, odnosno konstruisaćemo krive y = s(x) + ε n I y = s(x) − ε n(na slici ispod su zelene).

Onda za bilo koje ε n graf funkcije sn ( x) će u potpunosti ležati u traci koja se razmatra. Ista traka će sadržavati grafove svih narednih parcijalnih suma.

Svaki konvergentni funkcionalni niz koji nema gore opisanu karakteristiku je neravnomjerno konvergentan.

Razmotrimo još jedno svojstvo uniformno konvergentnih funkcionalnih nizova:

zbir niza kontinuiranih funkcija koje ravnomjerno konvergiraju na određenom intervalu [ a, b] , postoji funkcija kontinuirana na ovom intervalu.

Primjer 5. Odrediti da li je zbir funkcionalnog niza kontinuiran

Rješenje. Hajde da nađemo sumu n prvi članovi ove serije:

Ako x> 0, onda

,

Ako x < 0 , то

Ako x= 0, onda

I zbog toga .

Naše istraživanje je pokazalo da je zbir ovog niza diskontinuirana funkcija. Njegov grafikon je prikazan na donjoj slici.

Weierstrassov test za uniformnu konvergenciju funkcionalnih redova

Mi pristupamo Weierstrassovom kriteriju kroz koncept majorizabilnost funkcionalnih serija . Funkcionalni raspon

u1 (x) + u 2 (x) + u 3 (x) + ... + u n ( x) + ...

Područje konvergencije Funkcionalni niz je niz čiji su članovi funkcije / definirane na određenom skupu E brojevne ose. Na primjer, članovi niza su definirani na intervalu, a članovi niza definirani su na intervalu. Za funkcionalni niz (1) se kaže da konvergira u tački Ho € E ako konvergira. konvergencija Weierstrassov test Svojstva uniformno konvergentnih funkcionalnih nizova numeričkih nizova Ako red (1) konvergira u svakoj tački x skupa D C E i divergira u svakoj tački koja ne pripada skupu D, onda kažu da red konvergira na skupu D , a D se naziva područjem konvergencije reda. Za niz (1) se kaže da je apsolutno konvergentan na skupu D ako niz konvergira na ovom skupu. U slučaju konvergencije niza (1) na skupu D, njegov zbir S će biti funkcija definirana na D. Područje konvergencije nekih funkcionalnih nizova može se pronaći korištenjem poznatih dovoljnih kriterija uspostavljenih za nizove s pozitivnim članovima, na primjer, Dapambertov test, Cauchyjev test. Primjer 1. Naći područje konvergencije niza M Pošto numerički niz konvergira za p > 1 i divergira za p ^ 1, onda, uz pretpostavku p - Igx, dobijamo ovaj niz. koji će konvergirati na Igx > T, tj. ako je x > 10, a divergiraju kada je Igx ^ 1, tj. u 0< х ^ 10. Таким образом, областью сходимости ряда является луч Пример 2. Найти область сходимости ряда 4 Рассмотрим ряд Члены этого ряда положительны при всех значениях х. Применим к нему признак Даламбера. Имеем пе При ех < 1. т.е. при, этот ряд будет сходиться. Следовательно, заданный ряд сходится абсолютно на интервале При х > Red 0 divergira, pošto je A =. Divergencija serije na x = 0 je očigledna. Primjer 3. Odrediti područje konvergencije reda.. Članovi datog reda su definirani i kontinuirani na skupu. Koristeći kriterij Kosh i, nalazimo za bilo koji. Posljedično, niz se divergira za sve vrijednosti x. Označimo sa Sn(x) n-ti parcijalni zbir funkcionalnog niza (1). Ako ovaj niz konvergira na skupu D i njegov zbir je jednak 5(g), onda se može predstaviti u obliku gdje je zbir niza koji konvergira na skupu D koji se naziva n-ti ostatak funkcionalnog niza ( 1). Za sve vrijednosti x € D vrijedi relacija i stoga. to jest, ostatak Rn(x) konvergentnog niza teži nuli kao n oo, bez obzira na x 6 D. Uniformna konvergencija Među svim konvergentnim funkcionalnim redovima, takozvani uniformno konvergentni nizovi igraju važnu ulogu. Neka je dan niz funkcija konvergentan na skupu D čiji je zbir jednak S(x). Uzmimo njegov n-ti parcijalni zbir Definicija. Funkcionalni nizovi FUNKCIONALNI NIZ Područje konvergencije Uniformna konvergencija Weierstrassov test Za svojstva uniformno konvergentnih funkcionalnih nizova kaže se da su uniformno konvergentne na skupu PS1) ako za bilo koji broj e > O postoji broj Γ > O takav da nejednakost vrijedi za sve brojeve n > N i za sve x iz skupa fI. Komentar. Ovdje je broj N isti za sve x € Yu, tj. ne zavisi od z, već zavisi od izbora broja e, pa pišemo N = N(e). Ujednačena konvergencija funkcionalnog niza £ /n(®) funkciji S(x) na skupu ft često se označava na sljedeći način: Definicija uniformne konvergencije niza /n(x) na skupu ft može se napisati još ukratko koristeći logičke simbole: Hajde da objasnimo geometrijski značenje funkcionalnog opsega uniformne konvergencije. Uzmimo segment [a, 6] kao skup ft i konstruirajmo grafove funkcija. Nejednakost |, koja vrijedi za brojeve n > N i za sve a; G [a, b], može se zapisati u sljedećem obliku: Dobijene nejednakosti pokazuju da će grafovi svih funkcija y = 5n(x) sa brojevima n > N biti u potpunosti sadržani unutar £-pojasa ograničenog krivuljama y = S(x) - e i y = 5(g) + e (slika 1). Primjer 1 ravnomjerno konvergira na intervalu. Ovaj niz je naizmjeničan predznakom, zadovoljava uslove Leibnizovog kriterija za bilo koje x € [-1,1] i stoga konvergira na intervalu (-1,1). Neka je S(x ) je njegov zbir, a Sn (x) je njegov n-ti parcijalni zbir. Ostatak niza u apsolutnoj vrijednosti ne prelazi apsolutnu vrijednost njegovog prvog člana: i budući da uzmimo bilo koje e. Tada će nejednakost | biti zadovoljena ako. Odavde nalazimo da je n > \. Ako uzmemo broj (ovdje [a] označava najveći cijeli broj koji ne prelazi a), onda je nejednakost | e će vrijediti za sve brojeve n > N i za sve x € [-1,1). To znači da ovaj niz ravnomjerno konvergira na intervalu [-1,1). I. Nije svaki funkcionalni niz konvergentan na skupu D uniformno konvergentan na primjeru 2. Pokažimo da red konvergira na intervalu, ali ne uniformno. 4 Izračunajmo n-ti parcijalni zbir £„(*) niza. Imamo Gdje se ovaj niz konvergira na segmentu i njegovom zbiru ako je apsolutna vrijednost razlike S(x) - 5„(x) (ostatak niza) jednaka. Uzmimo broj e takav da. Neka Razriješimo nejednakost u odnosu na n. Imamo odakle (pošto i kada se dijeli sa Inx, predznak nejednakosti se mijenja u suprotan). Nejednakost će biti zadovoljena kada. Dakle, postoji takav broj N(e) nezavisno od x da je nejednakost zadovoljena za svaki) za sve x iz segmenta odjednom. , ne postoji. Zamijenimo li segment 0 manjim segmentom, pri čemu će na potonjem ovaj niz ravnomjerno konvergirati funkciji S0. U stvari, za, a samim tim i za sve x odjednom §3. Weierstrassov test Dovoljan test za uniformnu konvergenciju funkcionalnog niza dat je Weierstrassovom teoremom. Teorema 1 (Weierstrassov test). Neka za sve x iz skupa Q članovi funkcionalnog niza u apsolutnoj vrijednosti ne prelaze odgovarajuće članove konvergentnog numeričkog niza P = 1 sa pozitivnim članovima, odnosno za sve x € Q. Tada je funkcionalni niz (1 ) na skupu P konvergira apsolutno i uniformno . A Tek pošto, prema uslovima teoreme, članovi reda (1) zadovoljavaju uslov (3) na čitavom skupu Q, onda u poređenju niz 2 \fn(x)\ konvergira za bilo koje x € I, i , prema tome, niz (1) apsolutno konvergira na P. Dokažimo uniformnu konvergenciju reda (1). Neka Sn(x) i an označavaju parcijalne sume redova (1) i (2), respektivno. Uzmimo bilo koji (proizvoljno mali) broj e > 0. Tada iz konvergencije niza brojeva (2) slijedi postojanje broja N = N(e) takvog da je, prema tome, -e za sve brojeve n > N (e) i za sve xbP , tj. niz (1) ravnomerno konvergira na skupu P. Napomena. Brojčani niz (2) se često naziva majoriranjem ili majorantom za funkcionalni niz (1). Primjer 1. Ispitati uniformnu konvergenciju niza.Nejednakost vrijedi za sve. i za sve. Brojevi se konvergiraju. Na osnovu Weierstrassovog kriterija, funkcionalni nizovi koji se razmatraju konvergiraju apsolutno i jednolično na cijeloj osi. Primjer 2. Ispitati ravnomjernu konvergenciju niza.Članovi niza su definirani i kontinuirani na intervalu [-2,2|. Budući da na intervalu [-2,2) za bilo koji prirodni broj n, dakle, nejednakost vrijedi za. Budući da se brojevni niz konvergira, onda, prema Weierstrassovom kriteriju, originalni funkcionalni niz konvergira apsolutno i jednolično na segmentu. Komentar. Funkcionalni niz (1) može ravnomerno konvergirati na skup Piv u slučaju kada nema numeričkog majorantnog niza (2), odnosno Weierstrassov kriterijum je samo dovoljan kriterijum za uniformnu konvergenciju, ali nije neophodan. Primjer. Kao što je gore prikazano (primjer), red konvergira ravnomjerno na segmentu 1-1,1]. Međutim, za njega ne postoji majorantni konvergentni broj (2). U stvari, za sve prirodne n i za sve x € [-1,1) nejednakost je zadovoljena i jednakost se postiže kada. Dakle, članovi željenog majorantnog reda (2) svakako moraju zadovoljiti uslov ali brojčani niz FUNKCIONALNI NIZ Područje konvergencije Uniformna konvergencija Weierstrassov test Svojstva uniformno konvergentnog funkcionalnog niza divergira. To znači da će se niz £op također razići. Svojstva uniformno konvergentnih funkcionalnih nizova Uniformno konvergentni funkcionalni nizovi imaju niz važnih svojstava. Teorema 2. Ako se svi članovi niza koji uniformno konvergiraju na intervalu [a, b] pomnože istom funkcijom d(x) ograničenom na [a, 6], tada će rezultirajući funkcionalni niz konvergirati uniformno na. Neka na intervalu [a, b\ niz £ fn(x) jednoliko konvergira funkciji 5(x), a funkcija d(x) je ograničena, tj. postoji konstanta C > 0 takva da je Po definiciji uniformne konvergencije niza za bilo koji broj e > 0 postoji broj N takav da će za sve n > N i za sve x € [a, b] nejednakost biti zadovoljena gdje je 5n(ar) parcijalni zbir serija koja se razmatra. Stoga ćemo ga imati za svakoga. red konvergira uniformno na [a, b| na funkciju Teorem 3. Neka su svi članovi fn(x) funkcionalnog niza neprekidni i nizovi jednoliko konvergiraju na intervalu [a, b\. Tada je zbir S(x) niza kontinuiran na ovom intervalu. M Uzmimo dvije proizvoljne tačke ig + Ax na segmentu [o, b]. Budući da se ovaj niz ravnomjerno konvergira na intervalu [a, b], onda za bilo koji broj e > O postoji broj N = N(e) takav da su za sve i > N zadovoljene nejednakosti gdje su 5„(g) parcijalne sume serije fn (x). Ove parcijalne sume 5n(x) su kontinuirane na intervalu [a, 6] kao sume konačnog broja funkcija fn(x) kontinuirane na [a, 6]. Stoga, za fiksni broj br > N(e) i dati broj e, postoji broj 6 = 6(e) > 0 takav da će za prirast Ax koji zadovoljava uvjet | vrijediti nejednakost: Prirast AS od zbir S(x) se može predstaviti u sljedećem obliku: gdje. Uzimajući u obzir nejednakosti (1) i (2), za priraštaje Ax koji zadovoljavaju uslov |, dobijamo To znači da je zbir Six) kontinuiran u tački x. Pošto je x proizvoljna tačka segmenta [a, 6], onda je 5(x) kontinuirano na |a, 6|. Komentar. Funkcionalni niz čiji su članovi kontinuirani na intervalu [a, 6), ali koji neravnomjerno konvergira na (a, 6], može imati diskontinuiranu funkciju kao zbir. Primjer 1. Razmotrimo funkcionalni niz na intervalu |0,1 ). Izračunajmo njen n-ti parcijalni zbir, pa je diskontinuiran na segmentu, iako su članovi reda na njemu kontinuirani. Na osnovu dokazane teoreme, ovaj niz nije uniformno konvergentan na intervalu. Primjer 2. Razmotrimo niz Kao što je gore prikazano, ovaj niz konvergira na, red će konvergirati jednolično prema Weierstrassovom testu, budući da se 1 i brojevni niz konvergiraju. Prema tome, za bilo koje x > 1 zbir ovog niza je kontinuiran. Komentar. Funkcija se zove Riemannova funkcija (ova funkcija igra veliku ulogu u teoriji brojeva). Teorema 4 (o integraciji funkcionalnog niza po član). Neka su svi članovi fn(x) niza neprekidni i nizovi jednoliko konvergiraju na intervalu [a, b] funkciji S(x). Tada vrijedi jednakost: Zbog kontinuiteta funkcija f„(x) i uniformne konvergencije ovog niza na intervalu [a, 6], njegov zbir 5(x) je kontinuiran i, prema tome, integrabilan na . Razmotrimo razliku. Iz uniformne konvergencije niza na [o, b] slijedi da za bilo koje e > 0 postoji broj N(e) > 0 takav da je za sve brojeve n > N(e) i za sve x € [a, 6] nejednakost će biti zadovoljena Ako red fn(0 nije uniformno konvergentan, onda se, općenito govoreći, ne može integrirati pojam po član, tj. Teorema 5 (o diferencijaciji po članu funkcionalnog niza) Neka svi članovi konvergentnog niza 00 imaju neprekidne izvode i niz sastavljen od ovih izvoda, konvergira jednoliko na intervalu [a, b]. Tada je u bilo kojoj tački jednakost tačna, tj. ovaj niz se može diferencirati članom M Uzmimo bilo koje dvije tačke. Tada ćemo, na osnovu teoreme 4, imati Funkcija o-(x) je kontinuirana kao zbir uniformno konvergentnog niza kontinuiranih funkcija. Dakle, razlikovanjem jednakosti dobijamo Vježbe Pronađite područja konvergencije ovih funkcionalnih redova: Koristeći Weierstrassov test, dokažite uniformnu konvergenciju ovih funkcionalnih redova na naznačenim intervalima: