Formula de calcul a așteptărilor matematice a unei variabile aleatoare discrete. Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare continue. Acest termen are mai multe sinonime.
Teoria probabilității este o ramură specială a matematicii care este studiată numai de studenții instituțiilor de învățământ superior. Îți plac calculele și formulele? Nu vă este frică de perspectivele de familiarizare cu distribuția normală, entropia ansamblului, așteptările matematice și varianța discretă variabilă aleatorie? Atunci acest subiect va fi de mare interes pentru tine. Să ne familiarizăm cu unele dintre cele mai importante concepte de bază ale acestei secțiuni a științei.
Să ne amintim elementele de bază
Chiar dacă vă amintiți cele mai simple concepte ale teoriei probabilităților, nu neglijați primele paragrafe ale articolului. Faptul este că, fără o înțelegere clară a elementelor de bază, nu veți putea lucra cu formulele discutate mai jos.
Deci, există un eveniment aleatoriu, un experiment. Ca urmare a acțiunilor efectuate, putem obține mai multe rezultate - unele dintre ele sunt mai frecvente, altele mai puțin frecvente. Probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul de rezultate efectiv primite de un tip la numărul total posibil. Numai cunoscând definiția clasică a acestui concept, puteți începe să studiați așteptările matematice și dispersia variabilelor aleatoare continue.
In medie
Înapoi la școală, la lecțiile de matematică, ai început să lucrezi cu media aritmetică. Acest concept este utilizat pe scară largă în teoria probabilității și, prin urmare, nu poate fi ignorat. Principalul lucru pentru noi în acest moment este că îl vom întâlni în formulele pentru așteptarea și varianța matematică a unei variabile aleatoare.
Avem o succesiune de numere și vrem să aflăm media aritmetică. Tot ceea ce ni se cere este să însumăm tot ceea ce este disponibil și să împărțim la numărul de elemente din succesiune. Să avem numere de la 1 la 9. Suma elementelor va fi 45, iar această valoare o vom împărți la 9. Răspuns: - 5.
Dispersia
În termeni științifici, varianța este pătratul mediu al abaterilor valorilor caracteristicilor obținute de la media aritmetică. Unul este notat cu litera latină majusculă D. Ce este necesar pentru a o calcula? Pentru fiecare element al șirului, calculăm diferența dintre numărul disponibil și media aritmetică și o pătratăm. Vor exista exact atâtea valori câte rezultate pot exista pentru evenimentul pe care îl luăm în considerare. În continuare, rezumăm totul primit și împărțim la numărul de elemente din secvență. Dacă avem cinci rezultate posibile, atunci împărțiți la cinci.
Varianta are, de asemenea, proprietăți pe care trebuie să le rețineți pentru a o aplica atunci când rezolvați probleme. De exemplu, dacă variabila aleatoare este mărită de X ori, varianța crește de X ori pătratul (adică, X*X). Nu este niciodată mai mic de zero și nu depinde de deplasarea valorilor cu o valoare egală în sus sau în jos. De asemenea, pentru încercările independente, varianța sumei este egală cu suma variațiilor.
Acum trebuie să luăm în considerare exemple de varianță a unei variabile aleatoare discrete și așteptările matematice.
Să presupunem că rulăm 21 de experimente și obținem 7 rezultate diferite. Am observat fiecare dintre ele, respectiv, de 1,2,2,3,4,4 și, respectiv, de 5 ori. Care va fi variația?
Mai întâi, calculăm media aritmetică: suma elementelor, desigur, este 21. O împărțim la 7, obținând 3. Acum scădem 3 din fiecare număr din șirul inițial, pătram fiecare valoare și adunăm rezultatele împreună. . Se dovedește 12. Acum ne rămâne să împărțim numărul la numărul de elemente și, s-ar părea, atât. Dar există o captură! Să discutăm.
Dependența de numărul de experimente
Se pare că atunci când se calculează varianța, numitorul poate fi unul dintre cele două numere: fie N, fie N-1. Aici N este numărul de experimente efectuate sau numărul de elemente din secvență (care este în esență același lucru). De ce depinde?
Dacă numărul de teste este măsurat în sute, atunci trebuie să punem la numitor N. Dacă este în unități, atunci N-1. Oamenii de știință au decis să deseneze granița în mod destul de simbolic: astăzi trece de-a lungul numărului 30. Dacă am efectuat mai puțin de 30 de experimente, atunci vom împărți cantitatea cu N-1, iar dacă mai mult, atunci cu N.
Sarcină
Să ne întoarcem la exemplul nostru de rezolvare a problemei varianței și așteptărilor. Am obținut un număr intermediar de 12, care trebuia împărțit la N sau N-1. Deoarece am efectuat 21 de experimente, adică mai puțin de 30, vom alege a doua opțiune. Deci răspunsul este: varianța este 12 / 2 = 2.
Valorea estimata
Să trecem la al doilea concept, pe care trebuie să îl luăm în considerare în acest articol. Așteptările matematice sunt rezultatul adunării tuturor rezultatelor posibile înmulțite cu probabilitățile corespunzătoare. Este important de înțeles că valoarea rezultată, precum și rezultatul calculării varianței, se obține o singură dată pentru întreaga sarcină, indiferent de câte rezultate ia în considerare.
Formula de așteptare matematică este destul de simplă: luăm rezultatul, îl înmulțim cu probabilitatea lui, adăugăm același lucru pentru al doilea, al treilea rezultat etc. Tot ce este legat de acest concept este ușor de calculat. De exemplu, suma așteptărilor matematice este egală cu așteptările matematice ale sumei. Același lucru este valabil și pentru lucrare. Nu orice mărime din teoria probabilității permite efectuarea unor astfel de operații simple. Să luăm o sarcină și să calculăm valoarea a două concepte pe care le-am studiat simultan. În plus, am fost distrași de teorie – este timpul să exersăm.
Încă un exemplu
Am efectuat 50 de studii și am obținut 10 tipuri de rezultate - numere de la 0 la 9 - care apar în procente diferite. Acestea sunt, respectiv: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Amintiți-vă că pentru a obține probabilitățile, trebuie să împărțiți valorile procentuale la 100. Astfel, obținem 0,02; 0,1 etc. Să prezentăm un exemplu de rezolvare a problemei pentru varianța unei variabile aleatoare și așteptarea matematică.
Calculăm media aritmetică folosind formula pe care o amintim din școala elementară: 50/10 = 5.
Acum să traducem probabilitățile în numărul de rezultate „pe bucăți” pentru a face mai convenabil numărarea. Obținem 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 și 9. Scădem media aritmetică din fiecare valoare obținută, după care punem la pătrat fiecare dintre rezultatele obținute. Vedeți cum să faceți acest lucru cu primul element ca exemplu: 1 - 5 = (-4). Mai mult: (-4) * (-4) = 16. Pentru alte valori, faceți singur aceste operații. Dacă ați făcut totul bine, atunci după ce ați adăugat totul obțineți 90.
Să continuăm calcularea varianței și a mediei împărțind 90 la N. De ce alegem N și nu N-1? Așa este, pentru că numărul de experimente efectuate depășește 30. Deci: 90/10 = 9. Am obținut dispersia. Dacă primești un alt număr, nu dispera. Cel mai probabil, ai făcut o eroare banală în calcule. Verificați din nou ceea ce ați scris și, cu siguranță, totul va fi la locul său.
În sfârșit, să ne amintim formula de așteptare matematică. Nu vom da toate calculele, vom scrie doar răspunsul cu care puteți verifica după finalizarea tuturor procedurilor solicitate. Valoarea așteptată va fi 5,48. Ne amintim doar cum să efectuăm operațiuni, folosind exemplul primelor elemente: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... și așa mai departe. După cum puteți vedea, pur și simplu înmulțim valoarea rezultatului cu probabilitatea acestuia.
Deviere
Un alt concept strâns legat de dispersie și așteptările matematice este abaterea standard. Se notează fie prin literele latine sd, fie prin literele grecești „sigma”. Acest concept arată cum valorile se abat în medie de la caracteristica centrală. Pentru a-i găsi valoarea, trebuie să calculați Rădăcină pătrată din dispersie.
Dacă trasați o distribuție normală și doriți să vedeți abaterea pătratului direct pe ea, acest lucru se poate face în mai mulți pași. Luați jumătate din imagine la stânga sau la dreapta modului (valoarea centrală), trageți o perpendiculară pe axa orizontală, astfel încât zonele figurilor rezultate să fie egale. Valoarea segmentului dintre mijlocul distribuției și proiecția rezultată pe axa orizontală va fi abaterea standard.
Software
După cum se poate observa din descrierile formulelor și exemplele prezentate, calcularea varianței și a așteptărilor matematice nu este cea mai ușoară procedură din punct de vedere aritmetic. Pentru a nu pierde timpul, are sens să folosești programul folosit în învățământul superior – se numește „R”. Are funcții care vă permit să calculați valori pentru multe concepte din statistică și teoria probabilității.
De exemplu, definiți un vector de valori. Aceasta se face astfel: vector<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
In cele din urma
Dispersia și așteptările matematice sunt fără de care este dificil să calculezi ceva în viitor. În cursul principal al prelegerilor la universități, acestea sunt luate în considerare deja în primele luni de studiu a materiei. Tocmai din cauza lipsei de înțelegere a acestor concepte simple și a incapacității de a le calcula, mulți studenți încep imediat să rămână în urmă în program și ulterior primesc note slabe în sesiune, ceea ce îi privează de burse.
Exersează cel puțin o săptămână timp de o jumătate de oră pe zi, rezolvând sarcini similare cu cele prezentate în acest articol. Apoi, la orice test de teorie a probabilităților, vei face față exemplelor fără sfaturi străine și foi de cheat.
Caracteristicile numerice de bază ale variabilelor aleatoare discrete și continue: așteptări matematice, varianță și abatere standard. Proprietățile și exemplele lor.
Legea distribuției (funcția de distribuție și seria de distribuție sau densitatea de probabilitate) descrie pe deplin comportamentul unei variabile aleatoare. Dar într-o serie de probleme este suficient să cunoaștem unele caracteristici numerice ale cantității studiate (de exemplu, valoarea medie a acesteia și posibila abatere de la aceasta) pentru a răspunde la întrebarea pusă. Luați în considerare principalele caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare discrete.
Definiție 7.1.așteptări matematice O variabilă aleatorie discretă este suma produselor valorilor sale posibile și probabilitățile lor corespunzătoare:
M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p(7.1)
Dacă numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare este infinit, atunci dacă seria rezultată converge absolut.
Observație 1. Uneori se numește așteptarea matematică medie ponderată, deoarece este aproximativ egală cu media aritmetică a valorilor observate ale variabilei aleatoare pentru un număr mare de experimente.
Observația 2. Din definiția așteptării matematice, rezultă că valoarea acesteia nu este mai mică decât cea mai mică valoare posibilă a unei variabile aleatoare și nu mai mult decât cea mai mare.
Observația 3. Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete este Nu la nimereală(constant. Mai târziu vom vedea că același lucru este valabil și pentru variabile aleatoare continue.
Exemplul 1. Găsiți așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X- numarul de piese standard dintre trei selectate dintr-un lot de 10 piese, inclusiv 2 defecte. Să compunem o serie de distribuție pentru X. Din starea problemei rezultă că X poate lua valorile 1, 2, 3. Apoi
Exemplul 2. Definiți așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X- numărul aruncărilor de monede până la prima apariție a stemei. Această cantitate poate lua un număr infinit de valori (mulțimea de valori posibile este mulțimea numerelor naturale). Seria sa de distribuție are forma:
| X | … | P | … | ||
| R | 0,5 | (0,5) 2 | … | (0,5)P | … |
+ (la calcul, formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare a fost folosită de două ori: , de unde ).
Proprietățile așteptărilor matematice.
1) Așteptările matematice ale unei constante este egală cu constanta însăși:
M(CU) = CU.(7.2)
Dovada. Dacă luăm în considerare CU ca o variabilă aleatoare discretă care ia o singură valoare CU cu probabilitate R= 1, atunci M(CU) = CU?1 = CU.
2) Un factor constant poate fi scos din semnul așteptării:
M(CX) = CM(X). (7.3)
Dovada. Dacă variabila aleatoare X dat de seria de distribuţie
Atunci M(CX) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p r p = CU(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p) = CM(X).
Definiție 7.2. Sunt numite două variabile aleatoare independent, dacă legea de distribuție a unuia dintre ele nu depinde de ce valori a luat celălalt. Altfel variabile aleatorii dependent.
Definiție 7.3. Hai sa sunăm produsul variabilelor aleatoare independente Xși Y variabilă aleatorie X Y, ale căror valori posibile sunt egale cu produsele tuturor valorilor posibile X pentru toate valorile posibile Y, iar probabilitățile corespunzătoare acestora sunt egale cu produsele probabilităților factorilor.
3) Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice:
M(X Y) = M(X)M(Y). (7.4)
Dovada. Pentru a simplifica calculele, ne limităm la cazul când Xși Y luați doar două valori posibile:
Prin urmare, M(X Y) = X 1 y 1 ?p 1 g 1 + X 2 y 1 ?p 2 g 1 + X 1 y 2 ?p 1 g 2 + X 2 y 2 ?p 2 g 2 = y 1 g 1 (X 1 p 1 + X 2 p 2) + + y 2 g 2 (X 1 p 1 + X 2 p 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (X 1 p 1 + X 2 p 2) = M(X)?M(Y).
Observație 1.În mod similar, se poate demonstra această proprietate pentru mai multe valori posibile ale factorilor.
Observația 2. Proprietatea 3 este valabilă pentru produsul oricărui număr de variabile aleatoare independente, ceea ce este demonstrat prin metoda inducției matematice.
Definiție 7.4. Să definim suma variabilelor aleatoare Xși Y ca o variabilă aleatorie X + Y, ale căror valori posibile sunt egale cu sumele fiecărei valori posibile X cu toate valorile posibile Y; probabilitățile unor astfel de sume sunt egale cu produsele probabilităților termenilor (pentru variabile aleatoare dependente - produsele probabilității unui termen prin probabilitatea condiționată a celui de-al doilea).
4) Așteptările matematice ale sumei a două variabile aleatoare (dependente sau independente) este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor:
M (X+Y) = M (X) + M (Y). (7.5)
Dovada.
Luați în considerare din nou variabilele aleatoare date de seria de distribuție dată în demonstrația proprietății 3. Apoi valorile posibile X+Y sunt X 1 + la 1 , X 1 + la 2 , X 2 + la 1 , X 2 + la 2. Notați probabilitățile lor, respectiv ca R 11 , R 12 , R 21 și R 22. Sa gasim M(X+Y) = (X 1 + y 1)p 11 + (X 1 + y 2)p 12 + (X 2 + y 1)p 21 + (X 2 + y 2)p 22 =
= X 1 (p 11 + p 12) + X 2 (p 21 + p 22) + y 1 (p 11 + p 21) + y 2 (p 12 + p 22).
Să demonstrăm asta R 11 + R 22 = R unu . Într-adevăr, evenimentul care X+Y va prelua valorile X 1 + la 1 sau X 1 + la 2 și a cărui probabilitate este R 11 + R 22 coincide cu evenimentul care X = X 1 (probabilitatea sa este R unu). În mod similar, se dovedește că p 21 + p 22 = R 2 , p 11 + p 21 = g 1 , p 12 + p 22 = g 2. Mijloace,
M(X+Y) = X 1 p 1 + X 2 p 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X) + M (Y).
cometariu. Proprietatea 4 implică faptul că suma oricărui număr de variabile aleatoare este egală cu suma valorilor așteptate ale termenilor.
Exemplu. Găsiți așteptarea matematică a sumei numărului de puncte aruncate când aruncați cinci zaruri.
Să aflăm așteptările matematice ale numărului de puncte care au căzut la aruncarea unui zar:
M(X 1) \u003d (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Același număr este egal cu așteptarea matematică a numărului de puncte care au căzut pe orice zar. Prin urmare, prin proprietatea 4 M(X)=
Dispersia.
Pentru a avea o idee despre comportamentul unei variabile aleatoare, nu este suficient să cunoaștem doar așteptarea ei matematică. Luați în considerare două variabile aleatorii: Xși Y, dat de seria de distribuție a formei
| X | |||
| R | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
| Y | ||
| p | 0,5 | 0,5 |
Sa gasim M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) \u003d 0? 0,5 + 100? 0,5 \u003d 50. După cum puteți vedea, așteptările matematice ale ambelor mărimi sunt egale, dar dacă pentru HM(X) descrie bine comportamentul unei variabile aleatoare, fiind valoarea ei cea mai probabilă posibilă (mai mult, valorile rămase diferă ușor de 50), apoi valorile Y abate semnificativ de la M(Y). Prin urmare, împreună cu așteptările matematice, este de dorit să se știe cât de mult se abat de la aceasta valorile variabilei aleatoare. Dispersia este utilizată pentru a caracteriza acest indicator.
Definiție 7.5.Dispersare (împrăștiere) variabila aleatoare se numește așteptarea matematică a pătratului abaterii sale de la așteptarea sa matematică:
D(X) = M (X-M(X))². (7,6)
Aflați varianța unei variabile aleatoare X(numărul de părți standard dintre cele selectate) în exemplul 1 al acestei prelegeri. Să calculăm valorile abaterii pătrate a fiecărei valori posibile de la așteptarea matematică:
(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Prin urmare,
Observație 1.În definiția varianței, nu abaterea de la medie în sine este evaluată, ci pătratul acesteia. Acest lucru se face astfel încât abaterile diferitelor semne să nu se compenseze reciproc.
Observația 2. Din definiția dispersiei rezultă că această cantitate ia doar valori nenegative.
Observația 3. Există o formulă mai convenabilă pentru calcularea varianței, a cărei validitate este dovedită în următoarea teoremă:
Teorema 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)
Dovada.
Folosind ce M(X) este o valoare constantă, iar proprietățile așteptării matematice, transformăm formula (7.6) în forma:
D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =
= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), ceea ce urma să fie dovedit.
Exemplu. Să calculăm variațiile variabilelor aleatoare Xși Y discutat la începutul acestei secțiuni. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.
M(Y) \u003d (0 2? 0,5 + 100²? 0,5) - 50² \u003d 5000 - 2500 \u003d 2500. Deci, dispersia celei de-a doua variabile aleatoare este de câteva mii de ori mai mare decât dispersia primei. Astfel, chiar și fără a cunoaște legile de distribuție a acestor mărimi, conform valorilor cunoscute ale dispersiei, putem afirma că X se abate puțin de la așteptările sale matematice, în timp ce pentru Y această abatere este foarte semnificativă.
Proprietăți de dispersie.
1) Constanta de dispersie CU este egal cu zero:
D (C) = 0. (7.8)
Dovada. D(C) = M((CM(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.
2) Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul:
D(CX) = C² D(X). (7.9)
Dovada. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =
= C² D(X).
3) Varianța sumei a două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor lor:
D(X+Y) = D(X) + D(Y). (7.10)
Dovada. D(X+Y) = M(X² + 2 X Y + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +
+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).
Consecința 1. Varianța sumei mai multor variabile aleatoare reciproc independente este egală cu suma varianțelor acestora.
Consecința 2. Varianța sumei unei constante și a unei variabile aleatoare este egală cu varianța variabilei aleatoare.
4) Varianta diferenței a două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestora:
D(X Y) = D(X) + D(Y). (7.11)
Dovada. D(X Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).
Varianta dă valoarea medie a abaterii pătrate a variabilei aleatoare de la medie; pentru a evalua abaterea în sine este o valoare numită abatere standard.
Definiție 7.6.Deviație standardσ variabilă aleatoare X se numește rădăcina pătrată a varianței:
Exemplu. În exemplul anterior, abaterile standard Xși Y egal, respectiv
Valorea estimata- valoarea medie a unei variabile aleatoare (distribuția de probabilitate a unei variabile aleatoare staționare) când numărul de eșantioane sau numărul de măsurători (uneori se spune numărul de teste) tinde spre infinit.
Media aritmetică a unei variabile aleatoare unidimensionale a unui număr finit de încercări este de obicei numită estimarea așteptărilor. Când numărul de încercări ale unui proces aleator staționar tinde spre infinit, estimarea așteptării matematice tinde spre așteptarea matematică.
Aşteptarea matematică este unul dintre conceptele de bază în teoria probabilităţilor).
YouTube enciclopedic
1 / 5
✪ Așteptări și variații matematice - bezbotvy
✪ Teoria probabilității 15: Așteptări matematice
✪ Așteptări matematice
✪ Așteptări și variații matematice. Teorie
✪ Așteptări matematice în tranzacționare
Subtitrări
Definiție
Să fie dat o probabilitate spațiu (Ω, A, P) (\displaystyle (\Omega,(\mathfrak (A)),\mathbb (P)))și valoarea aleatoare definită pe acesta X (\displaystyle X). Adică, prin definiție, X: Ω → R (\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb (R) ) este o funcție măsurabilă. Dacă există o integrală Lebesgue a X (\displaystyle X) prin spatiu Ω (\displaystyle \Omega ), atunci se numește așteptarea matematică sau valoarea medie (așteptată) și se notează M [ X ] (\displaystyle M[X]) sau E [ X ] (\displaystyle \mathbb (E) [X]).
M [ X ] = ∫ Ω X (ω) P (d ω) . (\displaystyle M[X]=\int \limits _(\Omega)\!X(\omega)\,\mathbb (P) (d\omega).)Formule de bază pentru așteptările matematice
M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ x d F X (x) ; x ∈ R (\displaystyle M[X]=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!x\,dF_(X)(x);x\in \mathbb (R) ).
Așteptările matematice ale unei distribuții discrete
P (X = xi) = pi , ∑ i = 1 ∞ pi = 1 (\displaystyle \mathbb (P) (X=x_(i))=p_(i),\;\sum \limits _(i=1) )^(\infty )p_(i)=1),atunci rezultă direct din definiţia integralei Lebesgue că
M [ X ] = ∑ i = 1 ∞ x i p i (\displaystyle M[X]=\sum \limits _(i=1)^(\infty )x_(i)\,p_(i)).Așteptările matematice ale unei valori întregi
P (X = j) = p j , j = 0 , 1 , . . . ; ∑ j = 0 ∞ pj = 1 (\displaystyle \mathbb (P) (X=j)=p_(j),\;j=0,1,...;\quad \sum \limits _(j=0 )^(\infty )p_(j)=1)atunci așteptarea sa matematică poate fi exprimată în termenii funcția generatoare a secvenței ( p i ) (\displaystyle \(p_(i)\))
P (s) = ∑ k = 0 ∞ p k s k (\displaystyle P(s)=\sum _(k=0)^(\infty )\;p_(k)s^(k))ca valoarea primei derivate la unitate: M [ X ] = P ′ (1) (\displaystyle M[X]=P"(1)). Dacă așteptarea matematică X (\displaystyle X) infinit, atunci lim s → 1 P ′ (s) = ∞ (\displaystyle \lim _(s\to 1)P"(s)=\infty ) si vom scrie P ′ (1) = M [ X ] = ∞ (\displaystyle P"(1)=M[X]=\infty )
Acum să luăm funcția de generare Q (s) (\displaystyle Q(s)) secvenţe de „cozi” ale distribuţiei ( q k ) (\displaystyle \(q_(k)\))
q k = P (X > k) = ∑ j = k + 1 ∞ p j ; Q (s) = ∑ k = 0 ∞ q k s k . (\displaystyle q_(k)=\mathbb (P) (X>k)=\sum _(j=k+1)^(\infty )(p_(j));\quad Q(s)=\sum _(k=0)^(\infty )\;q_(k)s^(k).)Această funcție generatoare este legată de funcția definită anterior P (s) (\displaystyle P(s)) proprietate: Q (s) = 1 − P (s) 1 − s (\displaystyle Q(s)=(\frac (1-P(s))(1-s))) la | s |< 1 {\displaystyle |s|<1} . Din aceasta, conform teoremei valorii medii, rezultă că așteptarea matematică este pur și simplu egală cu valoarea acestei funcție la unitate:
M [ X ] = P ′ (1) = Q (1) (\displaystyle M[X]=P"(1)=Q(1))Așteptarea matematică a unei distribuții absolut continue
M [ X ] = ∫ − ∞ ∞ xf X (x) dx (\displaystyle M[X]=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!xf_(X)(x)\,dx ).Așteptările matematice ale unui vector aleatoriu
Lăsa X = (X 1 , … , X n) ⊤ : Ω → R n (\displaystyle X=(X_(1),\dots ,X_(n))^(\top )\colon \Omega \to \mathbb ( R) ^(n)) este un vector aleatoriu. Apoi, prin definiție
M [ X ] = (M [ X 1 ] , … , M [ X n ]) ⊤ (\displaystyle M[X]=(M,\dots,M)^(\top )),adică așteptarea matematică a unui vector este determinată componentă cu componentă.
Așteptarea matematică a transformării unei variabile aleatoare
Lăsa g: R → R (\displaystyle g\colon \mathbb (R) \to \mathbb (R) ) este o funcție Borel astfel încât variabila aleatoare Y = g(X) (\displaystyle Y=g(X)) are o așteptare matematică finită. Atunci formula este valabilă pentru ea
M [ g (X) ] = ∑ i = 1 ∞ g (xi) pi , (\displaystyle M\left=\sum \limits _(i=1)^(\infty )g(x_(i))p_( i))dacă X (\displaystyle X) are o distribuție discretă;
M [ g (X) ] = ∫ − ∞ ∞ g (x) f X (x) dx , (\displaystyle M\left=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!g(x )f_(X)(x)\,dx,)dacă X (\displaystyle X) are o distribuţie absolut continuă.
Dacă distribuţia P X (\displaystyle \mathbb (P) ^(X)) variabilă aleatorie X (\displaystyle X) forma generala, deci
M [ g (X) ] = ∫ − ∞ ∞ g (x) P X (d x) . (\displaystyle M\left=\int \limits _(-\infty )^(\infty )\!g(x)\,\mathbb (P) ^(X)(dx).)În cazul special când g (X) = X k (\displaystyle g(X)=X^(k)), valorea estimata M [ g (X) ] = M [ X k ] (\displaystyle M=M) numit k (\displaystyle k)-m momentul unei variabile aleatoare.
Cele mai simple proprietăți ale așteptărilor matematice
- Așteptarea matematică a unui număr este numărul însuși.
- Așteptarea matematică este liniară, adică
Caracteristicile DSW și proprietățile lor. Așteptări matematice, varianță, abatere standard
Legea distribuției caracterizează pe deplin variabila aleatoare. Totuși, atunci când este imposibil de găsit legea distribuției, sau acest lucru nu este necesar, se poate limita la găsirea unor valori, numite caracteristici numerice ale unei variabile aleatoare. Aceste cantități determină o valoare medie în jurul căreia sunt grupate valorile unei variabile aleatoare și gradul de dispersie a acestora în jurul acestei valori medii.
așteptări matematice O variabilă aleatoare discretă este suma produselor tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare și a probabilităților acestora.
Așteptările matematice există dacă seria de pe partea dreaptă a egalității converge absolut.
Din punct de vedere al probabilității, putem spune că așteptarea matematică este aproximativ egală cu media aritmetică a valorilor observate ale variabilei aleatoare.
Exemplu. Legea distribuției unei variabile aleatoare discrete este cunoscută. Găsiți așteptările matematice.
| X | ||||
| p | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Soluţie:
9.2 Proprietăți așteptări
1. Așteptarea matematică a unei constante este egală cu constanta în sine.
2. Un factor constant poate fi scos din semnul așteptării. 
3. Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice.
Această proprietate este valabilă pentru un număr arbitrar de variabile aleatoare.
4. Așteptările matematice ale sumei a două variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor.
Această proprietate este valabilă și pentru un număr arbitrar de variabile aleatoare.
Să fie efectuate n încercări independente, probabilitatea de apariție a evenimentului A în care este egală cu p.
Teorema. Așteptarea matematică M(X) a numărului de apariții ale evenimentului A în n încercări independente este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitatea de apariție a evenimentului în fiecare încercare.
Exemplu. Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatoare Z dacă sunt cunoscute așteptările matematice ale lui X și Y: M(X)=3, M(Y)=2, Z=2X+3Y.
Soluţie:
9.3 Dispersia unei variabile aleatoare discrete
Cu toate acestea, așteptările matematice nu pot caracteriza pe deplin un proces aleatoriu. Pe lângă așteptarea matematică, este necesar să se introducă o valoare care să caracterizeze abaterea valorilor variabilei aleatoare de la așteptarea matematică.
Această abatere este egală cu diferența dintre variabila aleatoare și așteptarea ei matematică. În acest caz, așteptarea matematică a abaterii este zero. Acest lucru se explică prin faptul că unele posibile abateri sunt pozitive, altele sunt negative și, ca urmare a anulării lor reciproce, se obține zero.
Dispersare (împrăștiere) Variabila aleatoare discretă se numește așteptarea matematică a abaterii pătrate a variabilei aleatoare de la așteptarea sa matematică.
În practică, această metodă de calcul a varianței este incomod, deoarece duce la calcule greoaie pentru un număr mare de valori ale unei variabile aleatorii.
Prin urmare, se folosește o altă metodă.
Teorema. Varianta este egală cu diferența dintre așteptarea matematică a pătratului variabilei aleatoare X și pătratul așteptării sale matematice.
Dovada. Ținând cont de faptul că așteptarea matematică M (X) și pătratul așteptării matematice M 2 (X) sunt valori constante, putem scrie:
Exemplu. Aflați varianța unei variabile aleatoare discrete dată de legea distribuției.
| X | ||||
| X 2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Soluție: .
9.4 Proprietăţi de dispersie
1. Dispersia unei valori constante este zero. .
2. Un factor constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul acestuia. 
.
3. Varianta sumei a doua variabile aleatoare independente este egala cu suma variantelor acestor variabile. .
4. Varianta diferenței a două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestor variabile. .
Teorema. Varianța numărului de apariții ale evenimentului A în n încercări independente, în fiecare dintre ele probabilitatea p de apariție a evenimentului este constantă, este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitățile de apariție și de neapariție. a evenimentului în fiecare proces.
9.5 Abaterea standard a unei variabile aleatoare discrete
Deviație standard variabila aleatoare X se numește rădăcina pătrată a varianței.
Teorema. Abaterea standard a sumei unui număr finit de variabile aleatoare reciproc independente este egală cu rădăcina pătrată a sumei abaterilor standard pătrate ale acestor variabile.
Pot fi descrise și variabile aleatoare, pe lângă legile de distribuție caracteristici numerice .
așteptări matematice M (x) a unei variabile aleatoare se numește valoarea medie.
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete se calculează prin formula
Unde – valorile unei variabile aleatoare, p eu- probabilitățile lor.
Luați în considerare proprietățile așteptărilor matematice:
1. Așteptarea matematică a unei constante este egală cu constanta însăși
2. Dacă o variabilă aleatoare este înmulțită cu un anumit număr k, atunci așteptarea matematică va fi înmulțită cu același număr
M (kx) = kM (x)
3. Așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare este egală cu suma așteptărilor lor matematice
M (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d M (x 1) + M (x 2) + ... + M (x n)
4. M (x 1 - x 2) \u003d M (x 1) - M (x 2)
5. Pentru variabile aleatoare independente x 1 , x 2 , … x n așteptările matematice ale produsului sunt egale cu produsul așteptărilor lor matematice
M (x 1, x 2, ... x n) \u003d M (x 1) M (x 2) ... M (x n)
6. M (x - M (x)) \u003d M (x) - M (M (x)) \u003d M (x) - M (x) \u003d 0
Să calculăm așteptările matematice pentru variabila aleatoare din Exemplul 11.
M(x) == 
.
Exemplul 12. Fie variabilele aleatoare x 1 , x 2 date de legile distribuției, respectiv:
x 1 Tabelul 2
x 2 Tabelul 3
Calculați M (x 1) și M (x 2)
M (x 1) \u003d (- 0,1) 0,1 + (- 0,01) 0,2 + 0 0,4 + 0,01 0,2 + 0,1 0,1 \u003d 0
M (x 2) \u003d (- 20) 0,3 + (- 10) 0,1 + 0 0,2 + 10 0,1 + 20 0,3 \u003d 0
Așteptările matematice ale ambelor variabile aleatoare sunt aceleași - sunt egale cu zero. Cu toate acestea, distribuția lor este diferită. Dacă valorile lui x 1 diferă puțin de așteptările lor matematice, atunci valorile lui x 2 diferă în mare măsură de așteptările lor matematice, iar probabilitățile unor astfel de abateri nu sunt mici. Aceste exemple arată că este imposibil să se determine din valoarea medie ce abateri de la aceasta au loc atât în sus, cât și în jos. Astfel, cu aceleași precipitații medii anuale în două localități, nu se poate spune că aceste localități sunt la fel de favorabile muncii agricole. În mod similar, după indicatorul salariilor medii, nu este posibil să se judece proporția lucrătorilor cu salarii mari și slab plătiți. Prin urmare, se introduce o caracteristică numerică - dispersie D(x) , care caracterizează gradul de abatere a unei variabile aleatoare de la valoarea medie a acesteia:
D (x) = M (x - M (x)) 2 . (2)
Dispersia este așteptarea matematică a abaterii pătrate a unei variabile aleatoare de la așteptarea matematică. Pentru o variabilă aleatorie discretă, varianța este calculată prin formula:
D(x)= 
= 
(3)
Din definiția varianței rezultă că D (x) 0.
Proprietăți de dispersie:
1. Dispersia constantei este zero
2. Dacă o variabilă aleatoare este înmulțită cu un număr k, atunci varianța este înmulțită cu pătratul acestui număr
D (kx) = k 2 D (x)
3. D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x)
4. Pentru variabile aleatoare independente pe perechi x 1 , x 2 , … x n varianța sumei este egală cu suma varianțelor.
D (x 1 + x 2 + ... + x n) = D (x 1) + D (x 2) + ... + D (x n)
Să calculăm varianța pentru variabila aleatoare din Exemplul 11.
Așteptarea matematică M (x) = 1. Prin urmare, conform formulei (3) avem:
D (x) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2
Rețineți că este mai ușor să calculați varianța dacă folosim proprietatea 3:
D (x) \u003d M (x 2) - M 2 (x).
Să calculăm varianțele pentru variabile aleatoare x 1 , x 2 din Exemplul 12 folosind această formulă. Așteptările matematice ale ambelor variabile aleatoare sunt egale cu zero.
D (x 1) \u003d 0,01 0,1 + 0,0001 0,2 + 0,0001 0,2 + 0,01 0,1 \u003d 0,001 + 0,00002 + 0,00002 + 0,001 \u00304
D (x 2) \u003d (-20) 2 0,3 + (-10) 2 0,1 + 10 2 0,1 + 20 2 0,3 \u003d 240 +20 \u003d 260
Cu cât valoarea dispersiei este mai aproape de zero, cu atât este mai mică răspândirea variabilei aleatoare în raport cu valoarea medie.
Valoarea este numită deviație standard. Moda aleatoare X tip discret Md este valoarea variabilei aleatoare, care corespunde cu cea mai mare probabilitate.
Moda aleatoare X tip continuu Md, este un număr real definit ca punctul maxim al densității distribuției de probabilitate f(x).
Mediana unei variabile aleatoare X tip continuu Mn este un număr real care satisface ecuația
