Conceptul de limită la un moment dat. b. Limita funcției de bază. Limitele funcțiilor monotone

Astăzi vom lua în considerare o selecție de noi probleme pentru găsirea limitei la un moment dat. Să începem cu exemple simple de substituire a valorii, cel mai adesea luate în considerare în clasa a XI-a din programa școlară de matematică.
În continuare, ne vom opri și vom analiza limitele cu incertitudini, metode de dezvăluire a incertitudinilor, folosind prima și a doua graniță importantă și consecințele acestora.
Exemplele date nu vor acoperi în totalitate întregul subiect, dar vor clarifica multe întrebări.

Găsiți limita unei funcții într-un punct:

Exemplul 46. Limita unei funcții într-un punct este determinată de substituție

Deoarece numitorul fracției nu se transformă la zero, fiecare absolvent al școlii poate rezolva o astfel de problemă.

Exemplul 47. Avem o fracțiune de polinoame, în plus, numitorul nu conține o singularitate (care nu este egală cu zero).
O altă sarcină, de fapt, pentru clasa a 11-a.

Exemplul 48. Folosind metoda substituției, determinăm limita funcției
Rezultă din condiția că granița funcției este egală cu două dacă variabila tinde spre infinit.

Exemplul 49. Înlocuirea directă x = 2 arată că limita la punct are o singularitate (0/0). Aceasta înseamnă că atât numărătorul, cât și numitorul conțin implicit (x-2).
Realizăm factorizarea polinoamelor în factori primi și apoi anulăm fracția cu factorul specificat (x-2).
Limita fracției care rămâne se găsește prin metoda de substituție.

Exemplul 50. Limita unei funcții într-un punct are o singularitate de tip (0/0).
Scăpăm de diferența dintre rădăcini înmulțind cu suma rădăcinilor (expresie conjugată), extindem polinomul.
Mai mult, simplificând funcția, găsim valoarea limitei în unitate.

Exemplul 51. Luați în considerare o problemă pentru limite complexe.
Până acum, iraționalitatea a fost eliminată prin înmulțirea cu expresia conjugată.
Aici, în numitor, avem o rădăcină cubică, deci trebuie să utilizați formula pentru diferența dintre cuburi.
Toate celelalte transformări se repetă de la o stare la alta.
Descompunem polinomul în factori primi,
mai departe anulăm cu un factor care introduce singularitatea (0)
și înlocuind x = -3, găsim limita funcției la punct

Exemplul 52. O caracteristică a formularului (0/0) este dezvăluită folosind prima limită remarcabilă și consecințele acesteia.
În primul rând, scriem diferența sinelor în conformitate cu formula trigonometrică
sin (7x) -sin (3x) = 2sin (2x) cos (5x).
În plus, completăm numărătorul și numitorul fracției cu expresii care sunt necesare pentru a evidenția limite importante.
Trecem la produsul limitelor și estimăm încorporarea fiecărui factor.

Iată prima limită remarcabilă utilizată:

și consecințele acestuia


unde a și b sunt numere arbitrare.

Exemplul 53. Pentru a dezvălui incertitudinea când variabila tinde la zero, folosim a doua limită remarcabilă.
Pentru a evidenția exponentul, aducem exponentul la a 2-a limită remarcabilă și orice altceva care rămâne în trecerea la limită va da gradul exponențial.


Aici am folosit un corolar din a doua limită remarcabilă:

Calculați limita unei funcții într-un punct:

Exemplul 54. Trebuie să găsiți limita unei funcții într-un punct. Înlocuirea simplă a valorii arată că avem împărțirea zerourilor.
Pentru ao extinde, descompunem polinoamele în factori primi și efectuăm anularea cu un factor care introduce singularitatea (x + 2).
Cu toate acestea, numeratorul conține în plus (x + 2), ceea ce înseamnă că la x = -2 marginea este zero.

Exemplul 55. Avem o funcție fracționată - în numărător diferența de rădăcini, în numitor - un jurnal.
Înlocuirea directă oferă o caracteristică a formularului (0/0).
Variabila tinde la minus una, ceea ce înseamnă că ar trebui să căutăm și să scăpăm de singularitățile formei (x + 1).
Pentru a face acest lucru, scăpăm de iraționalitate prin înmulțirea cu suma rădăcinilor și descompunem funcția pătratică în factori primi.
După toate abrevierile, metoda de substituție determină limita funcției la punctul respectiv

Exemplul 56. Din aspectul funcției sublimitate, se poate concluziona în mod eronat că prima limită ar trebui aplicată, dar calculele au arătat că totul este mult mai simplu.
În primul rând, scriem suma sinelor în numitor sin (2x) + sin (6x) = 2sin (4x) * cos (2x).
Apoi, pictăm tg (2x), iar sinusul unghiului dublu sin (4x) = 2sin (2x) cos (2x).
Simplificăm sinele și folosim metoda de substituție pentru a calcula limita fracției

Exemplul 57. Problema abilității de a utiliza a doua limită remarcabilă:
linia de jos este că ar trebui să selectați partea care dă exponentului.
Restul care rămâne în exponent în trecerea la limită va da gradul exponentului.


Acesta nu este sfârșitul analizei problemelor pentru limitele funcțiilor și secvențelor.
Mai mult decât 150 de răspunsuri gata făcute până la limitele funcțiilor, deci explorați și partajați link-uri către conținut cu colegii de clasă.

Limita funcției- număr A va fi limita unei valori variabile dacă, în procesul de modificare a acesteia, această valoare variabilă se apropie infinit A.

Sau cu alte cuvinte, numărul A este limita funcției y = f (x) la punct x 0 dacă pentru orice succesiune de puncte din domeniul funcției care nu sunt egale cu x 0, și care converge la obiect x 0 (lim x n = x0), secvența valorilor corespunzătoare ale funcției converge la număr A.

Graficul unei funcții a cărei limită pentru un argument care tinde spre infinit este L:

Sens A este un limita (valoarea limitativă) a funcției f (x) la punct x 0 dacă pentru orice succesiune de puncte care converge spre x 0 dar care nu conține x 0 ca unul dintre elementele sale (adică, într-un cartier perforat x 0), succesiunea valorilor funcției converge la A.

Limita Cauchy a funcției.

Sens A va fi limita funcției f (x) la punct x 0 dacă pentru orice număr negativ preluat înainte ε se va găsi numărul non-negativ corespunzător δ = δ(ε) astfel încât pentru fiecare argument X satisfacerea condiției 0 < | x - x0 | < δ , inegalitatea | f (x) A |< ε .

Va fi foarte simplu dacă înțelegeți esența limitei și regulile de bază pentru găsirea acesteia. Care este limita unei funcții f (X) la Xțintind spre A este egal cu A, este scris în acest fel:

Mai mult, valoarea la care tinde variabila X, poate fi nu numai un număr, ci și infinit (∞), uneori + ∞ sau -∞, sau poate să nu existe deloc limită.

Pentru a înțelege cum găsiți limitele unei funcții, cel mai bine este să vedeți exemple de soluții.

Este necesar să se găsească limitele funcției f (x) = 1 /X la:

X→ 2, X→ 0, X→ ∞.

Să găsim o soluție la prima limită. Pentru a face acest lucru, puteți înlocui pur și simplu X numărul la care tinde, adică 2, obținem:

Găsiți a doua limită a funcției... Aici, înlocuiți 0 în forma sa pură în loc de X este imposibil, pentru că nu poți împărți la 0. Dar putem lua valori apropiate de zero, de exemplu, 0,01; 0,001; 0,0001; 0.00001 și așa mai departe și valoarea funcției f (X) va crește: 100; 1000; 10000; 100.000 și așa mai departe. Astfel, se poate înțelege că pentru X→ 0 valoarea funcției care se află sub semnul limită va crește la nesfârșit, adică căutați la infinit. Acest lucru înseamnă:

În ceea ce privește a treia limită. Aceeași situație ca și în cazul anterior, este imposibil de înlocuit ∞ în forma sa cea mai pură. Trebuie să luăm în considerare cazul creșterii nelimitate X... Înlocuim 1000 unul câte unul; 10000; 100000 și așa mai departe, avem valoarea funcției f (x) = 1 /X va scădea: 0,001; 0,0001; 0,00001; și așa mai departe, având tendința la zero. De aceea:

Este necesar să se calculeze limita funcției

Venind la soluția celui de-al doilea exemplu, vedem incertitudine. De aici găsim cel mai înalt grad al numărătorului și numitorului - acesta este x 3, îl scoatem din paranteze în numărător și numitor și apoi îl reducem cu acesta:

Răspuns

Primul pas în găsind această limită, înlocuiți valoarea 1 în loc de X, ca urmare a căruia avem incertitudine. Pentru a o rezolva, factorizăm numeratorul în factori, o vom face prin metoda de găsire a rădăcinilor ecuației pătratice x 2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4 * 1 * (- 3) = 4 +12 = 16→ √ D =√16 = 4

x 1,2 = (-2± 4) / 2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Deci, numeratorul ar fi:

Răspuns

Aceasta este definiția valorii sale specifice sau a unei anumite zone, în care funcția cade, care este limitată de limită.

Pentru a rezolva limitele, urmați regulile:

După ce am înțeles esența și principalul reguli de rezolvare a limitei, veți obține o înțelegere de bază despre cum să le rezolvați.

Număr constant A numit limită secvențe(x n) dacă pentru orice număr pozitiv arbitrar micε > 0 există un număr N pe care toate valorile x n, pentru care n> N, satisfac inegalitatea

| x n - a |< ε. (6.1)

Ei o scriu astfel: sau x n → A.

Inegalitatea (6.1) este echivalentă cu dubla inegalitate

a- ε< x n < a + ε, (6.2)

ceea ce înseamnă că punctele x n, începând de la un număr n> N, se află în intervalul (a-ε, a + ε ), adică cădea în orice micε -vecinătatea punctului A.

O secvență care are o limită se numește convergente, in caz contrar - divergent.

Conceptul de limită a unei funcții este o generalizare a conceptului de limită a unei secvențe, deoarece limita unei secvențe poate fi considerată ca limita unei funcții x n = f (n) a unui argument întreg n.

Să se dea o funcție f (x) și să fie A - punctul limită domeniul acestei funcții D (f), adică un punct, al cărui vecinătate conține puncte ale mulțimii D (f), altele decât A... Punct A poate sau nu să aparțină setului D (f).

Definiția 1.Se numește numărul constant A limită funcții f (x) la x →a dacă pentru orice secvență (x n) de valori ale argumentelor care tind spre A, secvențele corespunzătoare (f (x n)) au aceeași limită A.

Această definiție se numește definirea limitei unei funcții conform lui Heine, sau " în limbajul secvențelor”.

Definiția 2... Se numește numărul constant A limită funcții f (x) la x →a dacă, prin specificarea unui număr pozitiv arbitrar arbitrar mic, ε, se poate găsi astfel de δ> 0 (în funcție de ε), care pentru toți X culcat înε-cartierele numărului A, adică pentru X satisfacerea inegalității
0 < x-a< ε , valorile funcției f (x) se află înε-cartierele numărului A, adică| f (x) -A |< ε.

Această definiție se numește definiția limitei Cauchy a unei funcții, sau „În limba ε - δ “.

Definițiile 1 și 2 sunt echivalente. Dacă funcția f (x) ca x →a are limită egal cu A, acest lucru este scris ca

. (6.3)

În cazul în care secvența (f (x n)) crește (sau scade) la nesfârșit pentru orice metodă de aproximare X la limita ta A, atunci spunem că funcția f (x) are limită interminabilă,și scrie-l ca:

Se numește o variabilă (adică o secvență sau o funcție) a cărei limită este zero valoare infinit de mică.

Se numește o variabilă a cărei limită este egală cu infinitul infinit de mare.

Pentru a găsi limita în practică, utilizați următoarele teoreme.

Teorema 1 ... Dacă există fiecare limită

(6.4)

(6.5)

(6.6)

cometariu... Expresii precum 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - sunt incerte, de exemplu, raportul a două cantități infinitesimale sau infinit de mari, iar găsirea unei limite de acest fel se numește „dezvăluirea incertitudinilor”.

Teorema 2. (6.7)

acestea. puteți merge la limita de la baza gradului cu un exponent constant, în special, ;

(6.8)

(6.9)

Teorema 3.

(6.10)

(6.11)

Unde e » 2.7 este baza logaritmului natural. Formulele (6.10) și (6.11) sunt numite primele limită minunată iar a doua limită remarcabilă.

Consecințele formulei (6.11) sunt, de asemenea, utilizate în practică:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

în special limita

Dacă x → a și în același timp x> a, apoi scriu x→ a + 0. Dacă, în special, a = 0, atunci în locul simbolului 0 + 0, scrieți +0. În mod similar, dacă x →a și, în plus, x a-0. Numerele și sunt chemați în consecință limita din dreaptași limita stânga funcții f (x) la punct A... Pentru a exista o limită a funcției f (x) ca x →a este necesar și suficient pentru ... Funcția f (x) se numește continuu la punct x 0 dacă limită

. (6.15)

Condiția (6.15) poate fi rescrisă ca:

,

adică trecerea la limită sub semnul funcției este posibilă dacă este continuă într-un punct dat.

Dacă egalitatea (6.15) este încălcată, atunci se spune că la x = x o funcţie f (x) Are pauză. Luați în considerare funcția y = 1 / x. Domeniul acestei funcții este setul R, cu excepția x = 0. Punctul x = 0 este un punct limită al mulțimii D (f), deoarece în oricare dintre vecinătățile sale, adică orice interval deschis care conține punctul 0 conține puncte din D (f), dar nu aparține el însuși acestui set. Valoarea f (x o) = f (0) este nedefinită, deci funcția are o discontinuitate la punctul x o = 0.

Funcția f (x) se numește continuu pe dreapta la punct x o, dacă limita

,

și lăsat continuu la punct x o, dacă limita

.

Continuitatea unei funcții într-un punct x o este echivalent cu continuitatea sa în acest moment atât în ​​dreapta, cât și în stânga.

Pentru ca funcția să fie continuă la punctul respectiv x o, de exemplu, în dreapta, este necesar, în primul rând, să existe o limită finită și, în al doilea rând, ca această limită să fie egală cu f (x o). Prin urmare, dacă cel puțin una dintre aceste două condiții nu este îndeplinită, atunci funcția va avea o discontinuitate.

1. Dacă limita există și nu este egală cu f (x o), atunci se spune că funcţie f (x) la punct x o are pauza de primul fel, sau salt.

2. Dacă limita este+ ∞ sau -∞ sau nu există, atunci se spune că în punct x o funcția are un decalaj al doilea fel.

De exemplu, funcția y = ctg x pentru x→ +0 are o limită egală cu + ∞, prin urmare, la punctul x = 0 are o discontinuitate de al doilea fel. Funcția y = E (x) (parte întreagă a X) în punctele cu abscise întregi are discontinuități de primul fel sau salturi.

Se numește o funcție continuă în fiecare punct al intervalului continuu v. O funcție continuă este prezentată ca o curbă solidă.

Multe probleme asociate creșterii continue a oricărei cantități duc la a doua limită remarcabilă. Astfel de sarcini, de exemplu, includ: creșterea contribuției conform legii interesului compus, creșterea populației țării, decăderea substanțelor radioactive, reproducerea bacteriilor etc.

Considera exemplu de Ya.I. Perelman oferind o interpretare a numărului eîn problema dobânzii compuse. Număr e există o limită ... În băncile de economii, banii din dobânzi se adaugă anual la capitalul fix. Dacă conexiunea se face mai des, atunci capitalul crește mai repede, deoarece o mare cantitate este implicată în formarea interesului. Să luăm un exemplu pur teoretic, extrem de simplificat. Lasă banca să pună 100 den. unități la o rată de 100% pe an. Dacă banii dobânzii vor fi adăugați la capitalul fix numai după un an, atunci până la această dată 100 den. unități se va transforma în 200 de unități monetare. Acum să vedem ce se va transforma în 100 de den. unități, dacă banii purtători de dobândă se adaugă la capitalul fix la fiecare șase luni. După jumătate de an, 100 den. unități va crește la 100× 1,5 = 150 și șase luni mai târziu - 150× 1,5 = 225 (unități monetare). Dacă conexiunea se face la fiecare 1/3 din an, atunci după anul 100 den. unități transformă în 100× (1 +1/3) 3 " 237 (unități monetare). Vom accelera condițiile pentru aderarea banilor care duc la dobândă la 0,1 ani, la 0,01 ani, la 0,001 ani etc. Apoi din 100 de den. unități după un an se va dovedi:

100 × (1 +1/10) 10 "259 (unități monetare),

100 × (1 + 1/100) 100 * 270 (unități monetare),

100 × (1 + 1/1000) 1000 * 271 (unități monetare).

Cu o reducere nelimitată a condițiilor de plasare a dobânzii, capitalul acumulat nu crește infinit, ci se apropie de o anumită limită, egală cu aproximativ 271. Capitalul alocat la 100% pe an nu poate crește de mai mult de 2,71 ori, chiar dacă suma acumulată dobânda a fost adăugată la capital în fiecare secundă, deoarece limita

Exemplul 3.1.Folosind definiția limitei unei secvențe numerice, demonstrați că secvența x n = (n-1) / n are o limită egală cu 1.

Soluţie.Trebuie să dovedim că oriceε Nu am luat> 0, pentru că există un număr natural N astfel încât pentru toate n N se aplică următoarea inegalitate:| x n -1 |< ε.

Luați orice e> 0. Întrucât; x n -1 = (n + 1) / n - 1 = 1 / n, apoi pentru a găsi N este suficient să se rezolve inegalitatea 1 / n< e. Prin urmare, n> 1 / e și, prin urmare, N poate fi luat ca parte întreagă a 1 / e, N = E (1 / e ). Am demonstrat astfel că limita.

Exemplul 3.2 ... Găsiți limita unei secvențe dată de un termen comun .

Soluţie.Aplicăm teorema limitei sumelor și găsim limita fiecărui termen. Pentru n→ ∞ numeratorul și numitorul fiecărui termen tinde spre infinit și nu putem aplica direct teorema limitei coeficientului. Prin urmare, mai întâi ne transformăm x n prin împărțirea numărătorului și numitorului primului termen la n 2, iar al doilea pe n... Apoi, aplicând limita coeficientului și teorema limitei sumelor, găsim:

.

Exemplul 3.3. ... Găsi .

Soluţie. .

Aici am folosit teorema limitei de grad: limita de grad este egală cu gradul limitei de bază.

Exemplul 3.4 ... Găsi ( ).

Soluţie.Este imposibil să aplicăm teorema diferenței limită, deoarece avem o incertitudine a formei ∞-∞ ... Transformăm formula pentru membrul comun:

.

Exemplul 3.5 ... Se dă o funcție f (x) = 2 1 / x. Dovediți că nu există limită.

Soluţie.Să folosim definiția 1 a limitei unei funcții în termenii unei secvențe. Luați o secvență (x n) care converge la 0, adică Să arătăm că valoarea f (x n) = se comportă diferit pentru diferite secvențe. Fie x n = 1 / n. Evident, atunci limita Să alegem acum ca x n o secvență cu un termen comun x n = -1 / n, având și ea tendință la zero. Prin urmare, nu există nicio limită.

Exemplul 3.6 ... Dovediți că nu există nicio limită.

Soluţie.Fie x 1, x 2, ..., x n, ... o secvență pentru care
... Cum se comportă secvența (f (x n)) = (sin x n) pentru diferite x n → ∞

Dacă x n = p n, atunci sin x n = sin p n = 0 pentru toți n iar limita Dacă
x n = 2 p n + p / 2, apoi sin x n = sin (2 p n + p / 2) = sin p / 2 = 1 pentru toți nși de aici și limita. Deci nu există.

Widget pentru calcularea limitelor on-line

În fereastra superioară, în loc de sin (x) / x, introduceți funcția a cărei limită doriți să o găsiți. În fereastra inferioară, introduceți numărul la care tinde x și apăsați butonul Calcular, obțineți limita dorită. Și dacă faceți clic pe Afișați pașii din colțul din dreapta sus în fereastra de rezultate, veți obține o soluție detaliată.

Reguli de introducere a funcțiilor: sqrt (x) - rădăcină pătrată, cbrt (x) - rădăcină cub, exp (x) - exponent, ln (x) - logaritm natural, sin (x) - sinus, cos (x) - cosinus, bronz (x) este tangenta, cot (x) este cotangenta, arcsin (x) este arcsinusul, arccos (x) este cosinusul invers, arctan (x) este arctangentul. Semne: * multiplicare, / divizare, ^ exponențiere, în loc de infinit Infinit. Exemplu: funcția este introdusă astfel sqrt (tan (x / 2)).

Dovedind proprietățile limitei unei funcții, ne-am asigurat că nu este necesar cu adevărat nimic din cartierele perforate în care funcțiile noastre au fost definite și care au apărut în cursul probelor, cu excepția proprietăților indicate în introducerea la paragraful anterior. 2. Această circumstanță servește drept justificare pentru selectarea următorului obiect matematic.

A. Baza; definiție și exemple de bază

Definiție 11. O colecție B de subseturi ale unei mulțimi X va fi numită bază într-o mulțime X dacă sunt îndeplinite două condiții:

Cu alte cuvinte, elementele colecției B sunt seturi ne-goale, iar intersecția oricăror două dintre ele conține un element din aceeași colecție.

Să indicăm câteva dintre cele mai utilizate baze în analiză.

Dacă atunci, în schimb, scriu și spun că x tinde spre a din dreapta sau din partea valorilor mari (respectiv, din stânga sau din partea valorilor mai mici). Când se acceptă o înregistrare scurtă în loc de

Înregistrarea va fi utilizată în loc de Înseamnă că a; tinde de-a lungul setului E la a, rămânând mai mult (mai puțin) decât a.

atunci în loc să scrie și să spună că x tinde spre plus infinit (respectiv, spre minus infinit).

Intrarea va fi utilizată în loc de

Căci, în loc de noi (dacă acest lucru nu duce la o neînțelegere), așa cum este obișnuit în teoria limitelor unei secvențe, vom scrie

Rețineți că toate bazele enumerate au caracteristica că intersecția oricăror două elemente ale bazei este ea însăși un element al acestei baze și nu conține doar un element al bazei. Vom întâlni alte baze atunci când studiem funcții care nu sunt specificate pe axa numerică.

De asemenea, observăm că termenul „bază” utilizat aici este o scurtă desemnare a ceea ce se numește „bază filtru” în matematică, iar limita de bază introdusă mai jos este cea mai esențială parte pentru analiza conceptului de limită filtru, creată de matematicianul francez modern A. Cartan

b. Limita funcției de bază

Definiție 12. Fie o funcție pe un set X; B este o bază în X. Un număr se numește limita unei funcții față de baza B dacă, pentru orice vecinătate a punctului A, există un element al bazei a cărui imagine este conținută în vecinătate

Dacă A este limita funcției în termeni de bază B, atunci ei scriu

Să repetăm ​​definiția limitei de bază în simboluri logice:

Deoarece în prezent analizăm funcții cu valori numerice, este util să reținem următoarea formă a acestei definiții de bază:

În această formulare, în loc de o vecinătate arbitrară V (A), luăm o vecinătate simetrică (în raport cu punctul A) (vecinătate electronică). Echivalența acestor definiții pentru funcții cu valoare reală rezultă din faptul că, după cum sa menționat deja, orice vecinătate a unui punct conține o vecinătate simetrică a aceluiași punct (completați dovada!).

Am dat o definiție generală a limitei funcției de bază. Mai sus, am luat în considerare exemple ale celor mai comune baze de date din analiză. Într-o sarcină specifică în care apare una sau alta dintre aceste baze, este necesar să puteți descifra definiția generală și să o notați pentru o bază specifică.

Având în vedere exemple de baze, am introdus în special conceptul de vecinătate a infinitului. Dacă folosim acest concept, atunci în conformitate cu definiția generală a limitei, este rezonabil să acceptăm următoarele convenții:

sau, echivalent,

De obicei se înțelege o valoare mică. Desigur, acest lucru nu este cazul în definițiile de mai sus. În conformitate cu acordurile acceptate, de exemplu, putem scrie

Pentru a putea considera drept dovedite și, în general, limita pe o bază arbitrară, toate acele teoreme privind limitele pe care le-am demonstrat în secțiunea 2 pentru o bază specială, este necesar să se dea definițiile corespunzătoare: în cele din urmă constantă, în cele din urmă delimitate și infinit de mic pentru o anumită bază de funcții.

Definiție 13. O funcție se numește în cele din urmă constantă la baza B dacă există un număr și un astfel de element al bazei, în orice punct al cărui

În acest moment, principalul beneficiu al observației făcute și al conceptului de bază introdus în legătură cu aceasta este că ne salvează de verificări și dovezi formale ale teoremelor privind limitele pentru fiecare tip specific de trecere la limită sau, în actualul nostru terminologie, pentru fiecare tip de bază specific.

Pentru a ne obișnui în cele din urmă cu conceptul de limită de bază arbitrară, vom efectua dovezile unor proprietăți suplimentare ale limitei unei funcții în formă generală.

Funcţie y = f (X) se numește legea (regula), conform căreia, fiecare element x al mulțimii X este asociat cu un singur element y din mulțimea Y.

Elementul x ∈ X sunt numite argumentul funcției sau variabila independenta.
Elementul y ∈ Da sunt numite valoarea funcției sau variabilă dependentă.

Mulțimea X se numește sfera funcției.
Set de elemente y ∈ Da care au preimagini în setul X se numesc gama sau setul de valori ale unei funcții.

Funcția efectivă este numită delimitat deasupra (dedesubt) dacă există un număr M astfel încât, pentru toate inegalitățile următoare:
.
Funcția numerică se numește limitat dacă există un număr M astfel încât pentru toți:
.

Marginea superioară sau limita superioară exactă o funcție reală este numită cea mai mică dintre numere, care limitează gama valorilor sale de sus. Adică este un astfel de număr s, pentru care pentru toți și pentru oricare, există un astfel de argument, valoarea funcției din care depășește s ′:.
Limita superioară a unei funcții poate fi notată după cum urmează:
.

Respectiv marginea de jos sau limita inferioară exactă o funcție reală este numită cea mai mare dintre numere, limitând intervalul valorilor sale de jos. Adică, acesta este un astfel de număr i, pentru care, pentru toate și pentru oricare, există un astfel de argument, a cărui valoare funcțională este mai mică decât i ′:.
Limita inferioară a unei funcții poate fi notată după cum urmează:
.

Determinarea limitei unei funcții

Determinarea limitei unei funcții conform lui Cauchy

Limite ale funcției finite la punctele finale

Funcția să fie definită într-un vecinătate a punctului final, cu excepția, poate, a punctului în sine. la un moment dat dacă există vreunul care depinde de astfel încât pentru toate x pentru care inegalitatea
.
Limita funcției este notată după cum urmează:
.
Sau la.

Folosind simbolurile logice ale existenței și universalității, definiția limitei unei funcții poate fi scrisă după cum urmează:
.

Limite unilaterale.
Limita la stânga la punctul (limita la stânga):
.
Limita la dreapta la punctul (limita la dreapta):
.
Limitele stânga și dreapta sunt adesea notate după cum urmează:
; .

Limitele finite ale unei funcții la punctele Infinity

Limitele la infinit sunt determinate în mod similar.
.
.
.
Acestea sunt adesea denumite:
; ; .

Folosind conceptul de vecinătate a unui punct

Dacă introducem conceptul de vecinătate perforată a unui punct, atunci putem da o definiție unificată a limitei finite a unei funcții în puncte finite și infinit îndepărtate:
.
Aici pentru obiectivele finale
; ;
.
Orice cartier la puncte infinite este străpuns:
; ; .

Limite de funcții infinite

Definiție
Funcția să fie definită într-o vecinătate perforată a unui punct (finit sau infinit îndepărtat). Limita funcției f (X) ca x → x 0 este egal cu infinitul dacă există, numărul M arbitrar de mare > 0 , există un număr δ M > 0 în funcție de M astfel încât pentru toate x aparținând punctului δ M - vecinătatea punctului :, are loc următoarea inegalitate:
.
O limită infinită este notată după cum urmează:
.
Sau la.

Folosind simbolurile logice ale existenței și universalității, definiția limitei infinite a unei funcții poate fi scrisă după cum urmează:
.

De asemenea, puteți introduce definiții ale unor limite infinite pentru anumite semne egale cu și:
.
.

Definiția universală a limitei unei funcții

Folosind conceptul de vecinătate a unui punct, putem da o definiție universală a limitei finite și infinite a unei funcții, aplicabilă atât pentru punctele finite (față-verso și unilaterale), cât și pentru punctele infinit îndepărtate:
.

Determinarea limitei unei funcții conform Heine

Funcția să fie definită pe un set X :.
Numărul a se numește limita funcției la punctul:
,
dacă pentru orice secvență care converge la x 0 :
,
ale cărei elemente aparțin mulțimii X :,
.

Să scriem această definiție folosind simbolurile logice ale existenței și universalității:
.

Dacă pentru mulțimea X luăm vecinătatea stângă a punctului x 0 , apoi obținem definiția limitei din stânga. Dacă este dreapta, atunci obținem definiția limitei corecte. Dacă luăm vecinătatea punctului la infinit ca mulțimea X, atunci obținem definiția limitei unei funcții la infinit.

Teorema
Definițiile limitei unei funcții de Cauchy și de Heine sunt echivalente.
Dovadă

Proprietăți și teoreme limită pentru o funcție

Mai mult, considerăm că funcțiile considerate sunt definite în vecinătatea corespunzătoare a punctului, care este un număr finit sau unul dintre simboluri:. Poate fi, de asemenea, un punct limită unilateral, adică să aibă forma sau. Vecinătatea este cu două sensuri pentru limita cu două sensuri și cu o singură direcție pentru o singură direcție.

Proprietăți de bază

Dacă valorile funcției f (X) schimbați (sau faceți nedefinit) la un număr finit de puncte x 1, x 2, x 3, ... x n, atunci această modificare nu va afecta în niciun caz existența și amploarea limitei funcției într-un punct arbitrar x 0 .

Dacă există o limită finită, atunci există o vecinătate perforată a punctului x 0 pe care funcția f (X) limitat la:
.

Funcția are la punctul x 0 limita finală nulă:
.
Apoi, pentru orice număr c din interval, există o vecinătate perforată a punctului x 0 pentru ce,
, dacă ;
, dacă .

Dacă, într-un vecinătate străpuns al punctului, este o constantă, atunci.

Dacă există limite finite și și pe o vecinătate perforată a punctului x 0
,
atunci .

Dacă și în vreun cartier al punctului
,
atunci .
În special, dacă este în vreun cartier al punctului
,
atunci dacă, atunci și;
dacă, atunci și.

Dacă pe vreun cartier perforat al punctului x 0 :
,
și există limite egale finite (sau infinite ale unui anumit semn):
, atunci
.

Dovezile proprietăților principale sunt date pe pagină
"Proprietățile de bază ale limitelor unei funcții."

Proprietăți aritmetice ale limitei unei funcții

Lasă funcțiile și să fie definite într-un vecinătate perforat al punctului. Și să existe limite finite:
și .
Și C să fie o constantă, adică un număr dat. Atunci
;
;
;
, dacă .

Daca atunci.

Pentru dovezi ale proprietăților aritmetice, consultați pagina
"Proprietăți aritmetice ale limitelor unei funcții."

Criteriu cauchy pentru existența limitei unei funcții

Teorema
Pentru o funcție definită pe un vecinătate perforat al unui punct finit sau infinit îndepărtat x 0 , are o limită finită în acest moment, este necesar și suficient ca pentru orice ε > 0 a existat un cartier atât de străpuns al punctului x 0 , că, pentru orice puncte și din acest cartier, are loc următoarea inegalitate:
.

Limita funcției complexe

Teorema limitei funcție complexă
Funcția are o limită și mapează vecinătatea perforată a punctului pe vecinătatea perforată a punctului. Funcția să fie definită în acest cartier și să aibă o limită.
Aici - puncte finale sau puncte infinit îndepărtate :. Cartierele și limitele lor corespunzătoare pot fi atât pe o parte, cât și pe o parte.
Apoi, există o limită a unei funcții complexe și este egală cu:
.

Teorema privind limita unei funcții complexe se aplică în cazul în care funcția nu este definită într-un punct sau are o valoare diferită de limită. Pentru a aplica această teoremă, trebuie să existe o vecinătate perforată a punctului în care setul de valori al funcției nu conține punctul:
.

Dacă funcția este continuă la un punct, atunci semnul limită poate fi aplicat argumentului funcției continue:
.
Mai jos este o teoremă corespunzătoare acestui caz.

Teorema asupra limitei unei funcții continue a unei funcții
Să existe o limită a funcției g (t) ca t → t 0 , și este egal cu x 0 :
.
Aici punctul t 0 poate fi finit sau infinit de îndepărtat:.
Și lăsați funcția f (X) este continuu în punctul x 0 .
Apoi, există o limită a unei funcții complexe f (g (t)), și este egal cu f (x 0):
.

Dovezile teoremelor sunt date pe pagină
„Limita și continuitatea unei funcții complexe”.

Funcții infinitesimale și infinit de mari

Funcții Infinitezimale

Definiție
Funcția se numește infinitesimală pentru if
.

Suma, diferența și produsul a unui număr finit de funcții infinitesimale pentru este o funcție infinitesimală pentru.

Produsul unei funcții este limitat pe o vecinătate perforată a punctului, la una infinitesimală pentru este o funcție infinitesimală pentru.

Pentru ca o funcție să aibă o limită finită, este necesar și suficient ca
,
unde este o funcție infinitesimală la.

"Proprietățile funcțiilor infinitesimale".

Funcții infinit de mari

Definiție
Funcția este numită infinit de mare pentru if
.

Suma sau diferența unei funcții mărginite, pe un vecinătate perforat al punctului, și o funcție infinit de mare la este o funcție infinit de mare la.

Dacă funcția este infinit de mare pentru și funcția este mărginită, într-un anumit vecinătate perforat al punctului, atunci
.

Dacă funcția, pe un vecinătate perforat al punctului, satisface inegalitatea:
,
iar funcția este infinitesimală pentru:
, și (pe un cartier străpuns al punctului), apoi
.

Dovezile proprietăților sunt prezentate în secțiune
"Proprietățile funcțiilor infinit de mari."

Relația dintre funcțiile infinit de mari și cele infinitezimale

Conexiunea dintre funcțiile infinit de mari și infinit de mici rezultă din cele două proprietăți anterioare.

Dacă funcția este infinit de mare la, atunci funcția este infinitesimală la.

Dacă funcția este infinitesimală la și, atunci funcția este infinit de mare la.

Relația dintre o funcție infinit de mică și o funcție infinit de mare poate fi exprimată simbolic:
, .

Dacă o funcție infinitesimală are un semn definit la, adică este pozitivă (sau negativă) pe o vecinătate perforată a punctului, atunci acest fapt poate fi exprimat după cum urmează:
.
În același mod, dacă o funcție infinit de mare are un semn definit la, atunci ei scriu:
.

Apoi, conexiunea simbolică între funcțiile infinit de mici și infinit de mari poate fi completată cu următoarele relații:
, ,
, .

Formule suplimentare care conectează simbolurile infinitului pot fi găsite pe pagină
„Puncte la infinit și proprietățile lor”.

Limitele funcțiilor monotone

Definiție
O funcție definită pe un set de numere reale X este numită strict crescând dacă pentru toate acestea există inegalitatea:
.
În consecință, pentru strict descrescătoare funcție, urmează următoarea inegalitate:
.
Pentru nedescrescând:
.
Pentru ne-crescătoare:
.

Rezultă că o funcție strict crescătoare este, de asemenea, nedescrescătoare. O funcție strict descrescătoare este, de asemenea, non-crescătoare.

Funcția se numește monoton dacă este non-descrescător sau non-crescător.

Teorema
Funcția să nu scadă pe intervalul în care.
Dacă este delimitat de sus cu numărul M :, atunci există o limită finită. Dacă nu este delimitat de sus, atunci.
Dacă este delimitat de jos cu numărul m:, atunci există o limită finită. Dacă nu este limitat de jos, atunci.

Dacă punctele a și b sunt la infinit, atunci în expresii semnele limită înseamnă că.
Această teoremă poate fi formulată mai compact.

Funcția să nu scadă pe intervalul în care. Apoi, există limite unilaterale la punctele a și b:
;
.

O teoremă similară pentru o funcție care nu crește.

Funcția să nu crească pe intervalul în care. Apoi, există limite unilaterale:
;
.

Dovada teoremei este prezentată pe pagină
"Limitele funcțiilor monotone".

Referințe:
L. D. Kudryavtsev. Cursul analizei matematice. Volumul 1. Moscova, 2003.
CM. Nikolsky. Cursul analizei matematice. Volumul 1. Moscova, 1983.