K 4 aplicarea proprietăților rădăcinii pătrate aritmetice. Rădăcină pătrată. Teorie detaliată cu exemple. Proprietatea principală a rădăcinii
În acest articol, vom acoperi principalele proprietățile rădăcinii... Să începem cu proprietățile rădăcinii pătrate aritmetice, să oferim formulările lor și să dăm dovezi. După aceea, ne vom ocupa de proprietățile rădăcinii aritmetice de gradul n.
Navigare în pagină.
Proprietățile rădăcinii pătrate
În acest moment, ne vom ocupa de următoarea principală proprietățile rădăcinii pătrate aritmetice:
În fiecare dintre egalitățile scrise, laturile stânga și dreapta pot fi schimbate, de exemplu, egalitatea poate fi rescrisă ca 
... În această formă „inversă”, proprietățile rădăcinii pătrate aritmetice sunt aplicate atunci când simplificarea expresiilor la fel de des ca în forma „directă”.
Dovada primelor două proprietăți se bazează pe definiția rădăcinii pătrate aritmetice și pe. Și pentru a fundamenta ultima proprietate a rădăcinii pătrate aritmetice va trebui să ne amintim.
Deci, să începem cu dovada proprietății rădăcinii pătrate aritmetice a produsului a două numere non-negative:. Pentru aceasta, conform definiției rădăcinii pătrate aritmetice, este suficient să arătăm că este un număr non-negativ al cărui pătrat este egal cu a · b. Hai să o facem. Valoarea unei expresii este non-negativă ca produs al numerelor non-negative. Proprietatea gradului produsului a două numere vă permite să scrieți egalitatea 
, și din moment ce prin definiția rădăcinii pătrate aritmetice și, atunci.
În mod similar, s-a dovedit că rădăcina pătrată aritmetică a produsului a k factori non-negativi a 1, a 2, ..., a k este egală cu produsul rădăcinilor pătrate aritmetice ale acestor factori. Într-adevăr, . Această egalitate implică asta.
Iată câteva exemple: și.
Acum să dovedim proprietatea rădăcinii pătrate aritmetice a coeficientului:. Proprietatea coeficientului în grad natural ne permite să scriem egalitatea 
, A 
, și există un număr non-negativ. Aceasta este dovada.
De exemplu, și 
.
E timpul să ne despărțim proprietatea rădăcinii pătrate aritmetice a pătratului unui număr, sub forma egalității, este scris ca. Pentru a demonstra acest lucru, luați în considerare două cazuri: pentru a≥0 și pentru a<0 .
Evident, egalitatea este valabilă pentru a≥0. De asemenea, este ușor să vedeți asta pentru un<0
будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 și (−a) 2 = a 2. Prin urmare, 
, după cum este necesar.
Aici sunt cateva exemple: 
și 
.
Proprietatea rădăcinii pătrate tocmai demonstrată ne permite să fundamentăm următorul rezultat, unde a este orice număr real și m este oricare. Într-adevăr, proprietatea de a ridica o putere la o putere ne permite să înlocuim puterea a 2 m cu expresia (a m) 2, apoi 
.
De exemplu, 
și 
.
Proprietățile rădăcinii a n-a
În primul rând, să listăm principalele proprietățile rădăcinilor n-a:
Toate egalitățile înregistrate rămân valabile dacă laturile stânga și dreapta sunt schimbate în ele. În această formă, ele sunt, de asemenea, adesea folosite, în principal la simplificarea și transformarea expresiilor.
Dovada tuturor proprietăților sonore ale rădăcinii se bazează pe definiția rădăcinii aritmetice a gradului n, pe proprietățile gradului și pe definiția modulului numărului. Să le dovedim în ordine de prioritate.
Să începem cu dovezi proprietățile rădăcinii a n-a a produsului ... Pentru non-negative a și b, valoarea expresiei este, de asemenea, non-negativă, la fel ca produsul numerelor non-negative. Proprietatea produsului în grad natural ne permite să scriem egalitatea 
... Prin definiția unei rădăcini aritmetice de gradul al n-lea și, prin urmare, 
... Aceasta dovedește proprietatea rădăcinii luate în considerare.
Această proprietate este dovedită în mod similar pentru produsul factorilor k: pentru numerele non-negative a 1, a 2, ..., a n, 
și .
Iată exemple de utilizare a proprietății rădăcinii a n-a a produsului: 
și .
Să dovedim proprietatea rădăcinii coeficientului... Pentru a≥0 și b> 0, condiția este îndeplinită și 
.
Să arătăm exemple: 
și 
.
Trecând peste. Să dovedim proprietatea rădăcinii a n-a a unui număr la puterea a n-a... Adică vom demonstra asta 
pentru orice real și natural m. Pentru a≥0 avem și, ceea ce dovedește egalitatea și egalitatea evident. Pentru o<0
имеем и 
(ultimul pasaj este valabil datorită proprietății gradului cu un exponent egal), ceea ce dovedește egalitatea și este adevărat datorită faptului că, atunci când vorbim despre rădăcina unui grad ciudat, am luat 
pentru orice număr negativ c.
Iată exemple de utilizare a proprietății rădăcină analizate: și 
.
Trecem la dovada proprietății unei rădăcini dintr-o rădăcină. Vom schimba locurile din partea dreaptă și cea stângă, adică vom dovedi validitatea egalității, ceea ce va însemna validitatea egalității inițiale. Pentru un număr negativ a, rădăcina unei rădăcini a formei este un număr negativ. Amintindu-ne de proprietatea de a ridica un grad la o putere și folosind definiția unei rădăcini, putem scrie un lanț de egalități de formă 
... Acest lucru dovedește proprietatea care are în vedere o rădăcină dintr-o rădăcină.
Proprietatea unei rădăcini dintr-o rădăcină dintr-o rădăcină etc. este dovedită în mod similar. Într-adevăr, 
.
De exemplu, 
și .
Să dovedim următoarele. proprietate de scurtare a exponentului rădăcină... Pentru aceasta, în virtutea definiției rădăcinii, este suficient să se arate că există un număr non-negativ, care, atunci când este ridicat la puterea n · m, este egal cu un m. Hai să o facem. Este clar că dacă numărul a este non-negativ, atunci a n-a rădăcină a numărului a este un număr non-negativ. Unde 
, care completează dovada.
Iată un exemplu de utilizare a proprietății rădăcină analizate:.
Să dovedim următoarea proprietate - proprietatea unei rădăcini de un anumit grad al formei 
... Evident, pentru a≥0, gradul este un număr non-negativ. Mai mult, gradul său al n-lea este egal cu un m, într-adevăr. Aceasta dovedește proprietatea gradului în cauză.
De exemplu, 
.
Să mergem mai departe. Să dovedim că pentru orice numere pozitive a și b pentru care condiție a , adică a≥b. Și acest lucru contrazice condiția a
Ca exemplu, prezentăm inegalitatea corectă 
.
În cele din urmă, rămâne să dovedim ultima proprietate a rădăcinii a n-a. Să dovedim mai întâi prima parte a acestei proprietăți, adică vom demonstra că pentru m> n și 0 În mod similar, prin contradicție, se dovedește că pentru m> n și a> 1, condiția este îndeplinită. Să dăm exemple de aplicare a proprietății dovedite a rădăcinii în numere concrete. De exemplu, inegalitățile și sunt adevărate.
, adică a n ≤a m. Și inegalitatea rezultată pentru m> n și 0
Bibliografie.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: manual pentru clasa a 8-a institutii de invatamant.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. și altele.Algebra și începutul analizei: Manual pentru 10 - 11 clase ale instituțiilor de învățământ.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un ghid pentru solicitanții școlilor tehnice).
M-am uitat din nou la semn ... Și să mergem!
Să începem cu unul simplu:
Doar un minut. asta, ceea ce înseamnă că putem scrie astfel:
Am înțeles? Iată următoarea pentru tine:
Rădăcinile numerelor rezultate nu sunt exact extrase? Nu contează - iată câteva exemple:
Dar dacă factorii nu sunt doi, ci mai mulți? La fel! Formula de multiplicare a rădăcinilor funcționează cu orice număr de factori:
Acum complet singur:
Răspunsuri: Bine făcut! De acord, totul este foarte ușor, principalul lucru este să cunoașteți tabelul de înmulțire!
Împărțirea rădăcinilor
Am descoperit înmulțirea rădăcinilor, acum vom trece la proprietatea divizării.
Permiteți-mi să vă reamintesc că, în general, formula arată astfel:
Aceasta înseamnă că rădăcina coeficientului este egală cu coeficientul rădăcinilor.
Ei bine, să ne dăm seama cu exemple:
Asta-i tot știință. Iată un exemplu:
Totul nu este la fel de lin ca în primul exemplu, dar, după cum puteți vedea, nu este nimic complicat.
Dar dacă o astfel de expresie se întâlnește:
Trebuie doar să aplicați formula în direcția opusă:
Iată un exemplu:
Puteți întâlni și această expresie:
Totul este la fel, doar aici trebuie să vă amintiți cum să traduceți fracțiile (dacă nu vă amintiți, căutați subiectul și reveniți!). Amintit? Acum decidem!
Sunt sigur că ați făcut față tuturor, totul, acum să încercăm să construim rădăcini în grad.
Exponențierea
Dar ce se întâmplă dacă rădăcina pătrată este pătrată? Este simplu, amintiți-vă semnificația rădăcinii pătrate a unui număr - acesta este un număr a cărui rădăcină pătrată este egală cu.
Deci, dacă ridicăm un număr a cărui rădăcină pătrată este egală cu pătratul, atunci ce obținem?
Ei bine, desigur,!
Să vedem exemple:
Este simplu, nu? Și dacă rădăcina este într-un grad diferit? E bine!
Urmați aceeași logică și amintiți-vă proprietățile și acțiunile posibile cu grade.
Citiți teoria pe tema „” și totul vă va deveni foarte clar.
De exemplu, iată o expresie:
În acest exemplu, gradul este par, dar dacă este ciudat? Din nou, aplicați proprietățile de putere și luați în considerare totul:
Cu aceasta, totul pare a fi clar, dar cum să extrageți rădăcina unui număr către o putere? De exemplu, acesta este:
Destul de simplu, nu? Și dacă diploma este mai mare de două? Urmăm aceeași logică folosind proprietăți de grad:
Ei bine, este totul clar? Apoi rezolvați singur exemplele:
Iată răspunsurile:
Introducere sub semnul rădăcină
Ce n-am învățat să facem cu rădăcinile! Rămâne doar să practici introducerea numărului sub semnul rădăcină!
Este ușor!
Să presupunem că am notat numărul
Ce putem face cu el? Ei bine, desigur, ascundeți-i pe cei trei sub rădăcină, amintindu-vă că cei trei sunt rădăcina pătrată a!
De ce avem nevoie de asta? Da, doar pentru a ne extinde capacitățile atunci când rezolvăm exemple:
Cum îți place această proprietate a rădăcinilor? Face viața mult mai ușoară? Pentru mine, așa este! Numai trebuie să ne amintim că putem introduce numere pozitive numai sub semnul rădăcinii pătrate.
Rezolvați singur acest exemplu -
Ai reușit? Să vedem ce ar trebui să obțineți:
Bine făcut! Ați reușit să introduceți numărul sub semnul rădăcină! Să trecem la una la fel de importantă - să vedem cum să comparăm numerele care conțin rădăcina pătrată!
Compararea rădăcinilor
De ce ar trebui să învățăm să comparăm numerele care conțin rădăcină pătrată?
Foarte simplu. Adesea, în expresiile mari și lungi întâlnite la examen, primim un răspuns irațional (îți amintești ce este? Tu și cu mine am vorbit deja despre asta astăzi!)
Trebuie să plasăm răspunsurile primite pe o linie de coordonate, de exemplu, pentru a determina care interval este potrivit pentru rezolvarea ecuației. Și aici apare un obstacol: nu există un calculator la examen și fără el cum să ne imaginăm care este numărul mai mare și care este mai mic? Doar asta este!
De exemplu, definiți care este mai mare: sau?
Nu poți să-ți dai seama chiar de liliac. Ei bine, să folosim proprietatea analizată de a introduce un număr sub semnul rădăcină?
Apoi, continuați:
Și, evident, cu cât numărul este mai mare sub semnul rădăcină, cu atât rădăcina în sine este mai mare!
Acestea. daca atunci,.
Din aceasta concluzionăm ferm că. Și nimeni nu ne va convinge altfel!
Extragerea rădăcinilor din număr mare
Înainte de aceasta, am introdus factorul sub semnul rădăcină, dar cum să-l scoatem? Trebuie doar să o luați în calcul și să extrageți ceea ce este extras!
A fost posibil să se ia o cale diferită și să se descompună în alți factori:
Nu e rău, nu? Oricare dintre aceste abordări este corectă, decideți ce vă convine cel mai bine.
Factorizarea este foarte utilă atunci când rezolvați sarcini nestandardizate ca aceasta:
Nu ne este frică, dar acționăm! Să descompunem fiecare factor sub rădăcină în factori separați:
Acum încercați singur (fără calculator! Nu va fi la examen):
Acesta este sfârșitul? Nu te opri la jumătatea drumului!
Atât, nu atât de înfricoșător, nu?
S-a întâmplat? Bravo, asa este!
Acum încercați să rezolvați acest exemplu:
Și un exemplu este o piuliță dură de rupt, așa că pur și simplu nu vă puteți da seama cum să o abordați. Dar noi, desigur, o putem rezista.
Ei bine, să începem factoringul? Rețineți imediat că puteți împărți un număr la (rețineți criteriile de divizibilitate):
Acum, încercați singur (din nou, fără calculator!):
Ei bine, ce s-a întâmplat? Bravo, asa este!
Să rezumăm
- Rădăcina pătrată (rădăcină pătrată aritmetică) a unui număr non-negativ este un număr non-negativ al cărui pătrat este egal cu.
. - Dacă luăm doar rădăcina pătrată a ceva, obținem întotdeauna un rezultat non-negativ.
- Proprietăți radiculare aritmetice:
- Atunci când se compară rădăcinile pătrate, trebuie să ne amintim că cu cât numărul este mai mare sub semnul rădăcină, cu atât rădăcina în sine este mai mare.
Cum îți place rădăcina pătrată? Toate clare?
Am încercat să vă explicăm fără apă tot ce trebuie să știți la examenul de rădăcină pătrată.
Acum e rândul tău. Scrieți-ne dacă este sau nu un subiect dificil.
Ai învățat ceva nou sau totul a fost atât de clar.
Scrieți în comentarii și noroc la examene!
\ (\ sqrt (a) = b \) dacă \ (b ^ 2 = a \), unde \ (a≥0, b≥0 \)
Exemple:
\ (\ sqrt (49) = 7 \) deoarece \ (7 ^ 2 = 49 \)
\ (\ sqrt (0,04) = 0,2 \) deoarece \ (0,2 ^ 2 = 0,04 \)
Cum extrageți rădăcina pătrată a unui număr?
Pentru a extrage rădăcina pătrată a unui număr, trebuie să vă puneți întrebarea: ce număr din pătrat va da expresia de sub rădăcină?
De exemplu... Extrageți rădăcina: a) \ (\ sqrt (2500) \); b) \ (\ sqrt (\ frac (4) (9)) \); c) \ (\ sqrt (0.001) \); d) \ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) \)
a) Ce număr pătrat va da \ (2500 \)?
\ (\ sqrt (2500) = 50 \)
b) Ce număr pătrat va fi \ (\ frac (4) (9) \)?
\ (\ sqrt (\ frac (4) (9)) \) \ (= \) \ (\ frac (2) (3) \)
c) Ce număr pătrat va da \ (0.0001 \)?
\ (\ sqrt (0.0001) = 0.01 \)
d) Ce număr pătrat va fi \ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) \)? Pentru a răspunde la întrebare, trebuie să traduceți în cea greșită.
\ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) = \ sqrt (\ frac (49) (16)) = \ frac (7) (6) \)
cometariu: Deși \ (- 50 \), \ (- \ frac (2) (3) \), \ (- 0,01 \), \ (- \ frac (7) (6) \), răspundeți de asemenea întrebări, dar nu sunt luate în considerare, deoarece rădăcina pătrată este întotdeauna pozitivă.
Proprietatea principală a rădăcinii
După cum știți, în matematică, orice acțiune are opusul. Adunarea are scădere, înmulțirea are împărțire. Inversul pătratului este rădăcina pătrată. Prin urmare, aceste acțiuni se anulează reciproc:
\ ((\ sqrt (a)) ^ 2 = a \)
Aceasta este principala proprietate a rădăcinii, care este folosită cel mai des (inclusiv în OGE)
Exemplu ... (sarcină de la OGE). Găsiți valoarea expresiei \ (\ frac ((2 \ sqrt (6)) ^ 2) (36) \)
Soluţie :\ (\ frac ((2 \ sqrt (6)) ^ 2) (36) = \ frac (4 \ cdot (\ sqrt (6)) ^ 2) (36) = \ frac (4 \ cdot 6) (36 ) = \ frac (4) (6) = \ frac (2) (3) \)
Exemplu ... (sarcină de la OGE). Găsiți valoarea expresiei \ ((\ sqrt (85) -1) ^ 2 \)
Soluţie:
Răspuns: \ (86-2 \ sqrt (85) \)Desigur, atunci când lucrați cu o rădăcină pătrată, trebuie să utilizați și alții.
Exemplu
... (sarcină de la OGE). Găsiți valoarea expresiei \ (5 \ sqrt (11) \ cdot 2 \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (22) \)
Soluţie:
Răspuns: \(220\)
4 reguli care sunt întotdeauna uitate
Rădăcina nu este întotdeauna recuperată
Exemplu: \ (\ sqrt (2) \), \ (\ sqrt (53) \), \ (\ sqrt (200) \), \ (\ sqrt (0,1) \) etc. - nu este întotdeauna posibil să extrageți rădăcina dintr-un număr și acest lucru este normal!
Rădăcina unui număr, de asemenea, un număr
Nu este necesar să faceți referire la \ (\ sqrt (2) \), \ (\ sqrt (53) \), cumva mai ales. Acestea sunt numere, dar nu numere întregi, da, dar nu totul în lumea noastră este măsurat în numere întregi.
Rădăcina este extrasă numai din numere non-negative
Prin urmare, în manuale nu veți vedea astfel de intrări \ (\ sqrt (-23) \), \ (\ sqrt (-1) \) etc.
Titlu: Lucrări independente și de testare în algebră și geometrie pentru clasa a 8-a.
Manualul conține lucrări independente și de control asupra tuturor celor mai importante subiecte ale cursului de algebră și geometrie în clasa a 8-a.
Lucrările constau în 6 variante de trei niveluri de dificultate. Materialele didactice sunt destinate organizării muncii independente diferențiate a elevilor.
CONŢINUT
ALGEBRĂ 4
P-1 Expresie rațională. Reducerea fracțiilor 4
C-2 Adunarea și scăderea fracțiilor 5
K-1 Fracții raționale. Adunarea și scăderea fracțiilor 7
C-3 Înmulțirea și împărțirea fracțiilor. Creșterea unei fracțiuni la puterea de 10
C-4 Transformarea rațională a expresiei 12
С-5 Proporționalitatea inversă și graficul său 14
К-2 Fracții raționale 16
C-6 Rădăcină pătrată aritmetică de 18
C-7 Ecuația x2 = a. Funcția y = y [x 20
С-8 Rădăcină pătrată a unui produs, fracțiune, putere 22
K-3 Rădăcina pătrată aritmetică și proprietățile sale 24
C-9 Introducerea și eliminarea unui multiplicator în rădăcini pătrate 27
C-10 Conversia expresiilor care conțin rădăcini pătrate 28
K-4 Aplicarea proprietăților rădăcinii pătrate aritmetice 30
P-11 Ecuații pătratice incomplete 32
С-12 Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice 33
С-13 Rezolvarea problemelor folosind ecuații pătratice. Teorema lui Vieta 34
Ecuații pătratice K-5 36
P-14 Ecuații raționale fracționare 38
С-15 Aplicarea ecuațiilor raționale fracționate. Rezolvarea problemelor 39
K-6 Ecuații raționale fracționare 40
C-16 Proprietățile inegalităților numerice 43
K-7 Inegalități numerice și proprietățile acestora 44
С-17 Inegalități liniare cu o variabilă 47
С-18 Sisteme de inegalități liniare 48
K-8 Inegalități liniare și sisteme de inegalități cu o singură variabilă 50
С-19 Grad cu indicator negativ 52
K-9 Grad cu număr întreg 54
К-10 Test anual 56
GEOMETRIE (Potrivit lui Pogorelov) 58
С-1 Proprietăți și semne ale unui paralelogram. "58
C-2 dreptunghi. Romb. Piața 60
Paralelogramă K-1 62
С-3 Teorema lui Thales. Linia mijlocie a triunghiului 63
C-4 Trapez. Linia mijlocie a trapezului 66
K-2 Trapez. Linii mediane ale unui triunghi și ale unui trapez ... 68
C-5 Teorema Pitagoreei 70
С-6 Teorema opusă teoremei pitagoreice. Perpendicular și oblic 71
C-7 Inegalitatea triunghiului 73
Teorema lui Pitagora K-3 74
C-8 Soluția triunghiului drept 76
C-9 Proprietăți ale funcțiilor trigonometrice 78
K-4 Triunghi unghiular (test generalizat) 80
С-10 Coordonatele punctului mijlociu al segmentului. Distanța dintre puncte. Ecuația cercului 82
C-11 Ecuația unei linii drepte 84
K-5 Coordonate carteziene 86
Mișcarea С-12 și proprietățile sale. Simetrie centrală și axială. Turnul 88
S-13. Transfer paralel 90
Conceptul С-14 Vector. Egalitatea vectorilor 92
С-15 Acțiuni cu vectori în formă coordonată. Vectorii coliniari 94
С-16 Acțiuni cu vectori în formă geometrică 95
C-17 Dot produs 98
Vectori K-6 99
К-7 Examen anual 102
GEOMETRIE (conform lui Atanasyan) 104
С-1 Proprietăți și semne ale paralelogramului 104
C-2 dreptunghi. Romb. Piața 106
К-1 Cadrulate 108
С-3 Aria unui dreptunghi, pătrat 109
С-4 Zona paralelogramului, rombului, triunghiului 111
С-5 Zona trapezului 113
C-6 Teorema Pitagoreei 114
K-2 pătrate. Teorema lui Pitagora 116
C-7 Definiția triunghiurilor similare. Proprietatea bisectoarei unui triunghi 118
С-8 Semne de similitudine ale triunghiurilor 120
K-3 Asemănarea triunghiurilor 122
С-9 Aplicarea similarității cu rezolvarea problemelor 124
C-10 Relația dintre laturile și unghiurile unui triunghi dreptunghiular 126
К-4 Aplicarea similarității cu rezolvarea problemelor. Raporturile dintre laturile și unghiurile unui triunghi dreptunghiular 128
С-11 Tangent la cercul 130
С-12 Colțuri centrale și inscripționate 132
С-13 Teorema asupra produsului segmentelor de acorduri care se intersectează. Punctele minunate ale triunghiului 134
С-14 Cercuri înscrise și circumscrise 136
K-5 Circumferință 137
C-15 Adunarea și scăderea vectorului 139
С-16 Înmulțirea unui vector cu numărul 141
С-17 Linia de mijloc a trapezului 142
Vectori K-6. Aplicarea vectorilor la rezolvarea problemelor 144
К-7 Examen anual 146
RĂSPUNSURI 148
REFERINȚE 157
CUVÂNT ÎNAINTE
.
1. O carte relativ mică conține un set complet de teste (inclusiv testele finale) pentru întregul curs de algebră și geometrie din clasa a VIII-a, deci este suficient să achiziționați un set de cărți pe clasă.
Lucrările de testare sunt concepute pentru o lecție, muncă independentă - timp de 20-35 de minute, în funcție de subiect. Pentru comoditatea utilizării cărții, titlul fiecărei lucrări independente și de testare reflectă obiectul acesteia.
2. Colecția permite controlul diferențiat al cunoștințelor, deoarece sarcinile sunt distribuite pe trei niveluri de complexitate A, B și C. Nivelul A corespunde cerințelor obligatorii ale programului, B - nivelul mediu de complexitate, sarcinile de nivelul C sunt destinat elevilor cu un interes crescut pentru matematică și, de asemenea, pentru utilizare în sălile de clasă, școlile, liceele și liceele cu studii avansate de matematică. Pentru fiecare nivel, există 2 opțiuni echivalente adiacente (așa cum sunt de obicei scrise pe tablă), astfel încât o carte pe birou este suficientă pentru lecție.
Descărcați gratuit cartea electronică într-un format convenabil, urmăriți și citiți:
Descărcați cartea Auto-studiu și teste de algebră și geometrie pentru clasa a 8-a. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004 - fileskachat.com, descărcare rapidă și gratuită.
- Lucrări independente și de control în geometrie pentru gradul 11. Goloborodko V.V., Ershova A.P., 2004
- Lucrări independente și de testare în algebră și geometrie pentru clasa a IX-a. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004
- Lucrări independente și de control asupra algebrei și geometriei, gradul 8, Ershova A.P., Goloborodko V.V., Ershova A.S., 2013
