Poređenje vrijednosti dvije veličine. Poređenje količina Poređenje količina po njihovim brojčanim vrijednostima

Pogledajte crtež. Vidite dvije čaše, svaka napunjena nekom tekućinom. Možete li mi reći koja čaša sadrži najviše tekućine? Ako mislite da je na desnoj strani, varate se! Tačan odgovor je sljedeći: greška koja se javlja pri mjerenju zapremine tečnosti ovim čašama ne dozvoljava nam da kažemo koja čaša sadrži više tečnosti.

Kako ovo treba shvatiti? Podsjetimo da je korištenje bilo kojeg mjernog instrumenta nužno praćeno greškom u mjerenju. Zavisi od vrijednosti podjele skale ovog uređaja. Pošto su podjeli na desnoj čaši veći, to znači da će greška u mjerenju zapremine biti veća. Zapremine tečnosti u čašama mjerimo uzimajući u obzir greške.

Nacrtajmo izmjerene vrijednosti zapremine (označene žutim tačkama) i intervale između granica grešaka mjerenja na dvije numeričke linije:

Za razliku od izmjerenih vrijednosti, prave vrijednosti volumena tekućine su na nepoznatoj lokaciji unutar intervala. Prava zapremina tečnosti u levoj čaši može biti, na primer, 270 ml, a prava zapremina tečnosti u desnoj čaši, na primer, 250 ml (označeno crvenim tačkama).

Namjerno smo odabrali drugi "crveni" broj manje od prvog (ipak, može se desiti i ova situacija). To znači da desna čaša može sadržavati manju zapreminu tečnosti od leve čaše, uprkos činjenici da je nivo tečnosti u desnoj čaši veći. Nevjerovatno ali istinito!

Prvo, razmotrimo problem poređenja vrijednosti izmjerene u eksperimentu sa konstantom a. Vrijednost se može odrediti samo približno izračunavanjem prosjeka tokom mjerenja. Moramo saznati da li relacija vrijedi. U ovom slučaju postavljaju se dva zadatka, direktni i inverzni:

a) iz poznate vrijednosti pronaći konstantu a koja je premašena sa datom vjerovatnoćom

b) naći vjerovatnoću da , gdje je a data konstanta.

Očigledno, ako je tada vjerovatnoća koja je manja od 1/2. Ovaj slučaj nije od interesa, i dalje ćemo to pretpostavljati

Problem se svodi na probleme o kojima se raspravlja u Odjeljku 2. Neka su X i njegov standard definirani mjerenjima

Broj mjerenja će se smatrati ne baš malim, tako da postoji slučajna varijabla sa normalnom distribucijom. Tada iz Studentovog kriterija (9), uzimajući u obzir simetriju normalne distribucije, slijedi da je za proizvoljno odabranu vjerovatnoću uslov

Prepišimo ovaj izraz u sljedećem obliku:

gdje su Studentovi koeficijenti dati u tabeli 23. Time je riješen direktni problem: nađena je konstanta a koja s vjerovatnoćom prelazi

Inverzni problem rješava se direktnim. Prepišimo formule (23) na sljedeći način:

To znači da morate izračunati t iz poznatih vrijednosti a, odabrati red sa podacima u tabeli 23 i pronaći odgovarajuću vrijednost iz vrijednosti t. Određuje željenu vjerovatnoću

Dvije slučajne varijable. Često se traži utvrđivanje uticaja nekog faktora na količinu koja se proučava – na primer, da li (i koliko) određeni aditiv povećava čvrstoću metala. Da biste to učinili, potrebno je izmjeriti čvrstoću izvornog metala i čvrstoću legiranog metala y i uporediti ove dvije veličine, tj.

Uspoređene vrijednosti su nasumične; Dakle, svojstva određene vrste metala variraju od topline do topline, budući da sirovine i režim topljenja nisu striktno isti. Označimo ove količine sa . Veličina proučavanog efekta je jednaka i potrebno je utvrditi da li je uslov ispunjen

Dakle, problem je sveden na poređenje slučajne varijable sa konstantom a, o kojoj je bilo riječi. Problemi direktnog i inverznog poređenja u ovom slučaju su formulisani na sledeći način:

a) prema rezultatima mjerenja pronaći konstantu a koja premašuje sa datom vjerovatnoćom (tj. procijeniti veličinu efekta koji se proučava);

b) odrediti vjerovatnoću da je gdje a željena veličina efekta; to znači da je potrebno odrediti vjerovatnoću sa kojom

Za rješavanje ovih problema potrebno je izračunati z i varijansu ove veličine. Pogledajmo dva načina da ih pronađemo.

Nezavisna mjerenja. Izmjerimo vrijednost u eksperimentima, a vrijednost u eksperimentima neovisno o prvim eksperimentima. Izračunavamo prosječne vrijednosti koristeći uobičajene formule:

Ove srednje vrijednosti su same po sebi slučajne varijable, a njihovi standardi (ne treba ih brkati sa standardima pojedinačnih mjerenja!) približno su određeni nepristrasnim procjenama:

Budući da su eksperimenti nezavisni, slučajne varijable x i y su također nezavisne, pa se njihove srednje vrijednosti oduzimaju i dodaju njihove varijanse:

Malo preciznija procjena varijanse je:

Tako se pronalazi i njegova disperzija, a dalji proračuni se vrše pomoću formula (23) ili (24).

Konzistentna mjerenja. Veća tačnost se postiže drugim metodom obrade, kada se u svakom od eksperimenata istovremeno meri . Na primjer, nakon oslobađanja polovice taline, metalu koji je ostao u peći dodaje se aditiv, a zatim se upoređuju uzorci metala iz svake polovine taline.

U ovom slučaju, u suštini, u svakom eksperimentu se odmah meri vrednost jedne slučajne varijable, koja se mora uporediti sa konstantom a. Mjerenja se zatim obrađuju prema formulama (21)–(24), gdje z mora biti zamijenjen svuda.

Varijanca za konzistentna mjerenja će biti manja nego za nezavisna, jer je posljedica samo dijela slučajnih faktora: oni faktori koji se dosljedno mijenjaju ne utiču na širenje njihove razlike. Stoga ova metoda omogućava dobivanje pouzdanijih zaključaka.

Primjer. Zanimljiva ilustracija poređenja vrijednosti je određivanje pobjednika u onim sportovima u kojima se suđenje vrši "na oko" - gimnastika, umjetničko klizanje itd.

Tabela 24. Ocenjivanje rezultata

U tabeli 24 prikazan je protokol takmičenja u dresuri na Olimpijskim igrama 1972. Vidi se da je rasprostranjenost sudijskih ocjena velika, te se niti jedna ocjena ne može prepoznati kao grubo pogrešna i odbačena. Na prvi pogled se čini da je pouzdanost određivanja pobjednika mala.

Izračunajmo koliko je tačno pobjednik određen, odnosno kolika je vjerovatnoća događaja. Pošto su oba vozača ocijenila iste sudije, može se koristiti podudarna metoda mjerenja. Prema tabeli 24, izračunavamo tako što ove vrijednosti zamenimo u formulu (24) i dobijemo .

Odabirom reda u tabeli 23, nalazimo da ova vrijednost t odgovara Dakle, tj. sa vjerovatnoćom od 90% zlatna medalja je ispravno dodijeljena.

Poređenje nezavisnom metodom mjerenja će dati nešto lošiju ocjenu, jer se ne koristi podatak da su ocjene dale iste sudije.

Poređenje varijansi. Neka je potrebno uporediti dvije eksperimentalne metode. Očigledno, tačnija metoda je ona u kojoj je varijansa jednog mjerenja manja (naravno, ako se sistematska greška ne povećava). Dakle, moramo utvrditi da li je nejednakost zadovoljena.

Relativna vrijednost je rezultat dijeljenja (upoređivanja) dvije apsolutne vrijednosti. Brojač razlomka je vrijednost koja se upoređuje, a nazivnik je vrijednost s kojom se poredi (osnova poređenja). Na primjer, ako uporedimo izvoz Sjedinjenih Država i Rusije, koji je 2005. godine iznosio 904,383 odnosno 243,569 milijardi dolara, onda će relativna vrijednost pokazati da je vrijednost američkog izvoza 3,71 puta (904,383 / 243,569) veća od Ruski izvoz, dok je osnovno poređenje vrijednost ruskog izvoza. Rezultirajuća relativna vrijednost se izražava kao koeficijent, koji pokazuje koliko je puta upoređena apsolutna vrijednost veća od osnovne vrijednosti. U ovom primjeru, baza poređenja se uzima kao jedna. Ako se baza uzme kao 100, relativna vrijednost se izražava kao posto (% ), ako za 1000 - in ppm (‰ ). Izbor jednog ili drugog oblika relativne vrijednosti zavisi od njegove apsolutne vrijednosti:

- ako je upoređena vrijednost veća od baze poređenja za 2 puta ili više, tada izaberite oblik koeficijenta (kao u gornjem primjeru);

- ako je relativna vrijednost blizu jedan, onda se, po pravilu, izražava u procentima (na primjer, upoređujući vrijednosti ruskog izvoza 2006. i 2005. godine, koji je iznosio 304,5 odnosno 243,6 milijardi dolara, možemo reći da je izvoz u 2006. godini 125% u odnosu na 2005. godinu);

- ako je relativna vrijednost znatno manja od jedan (blizu nule), izražava se u ppm (na primjer, Rusija je 2004. godine izvezla u zemlje ZND ukupno 4142 hiljade tona naftnih derivata, uključujući 10,7 hiljada tona u Gruziju, što je 0,0026 ili 2,6 ‰ iz svih izvoza naftnih derivata u zemlje ZND).

Postoje relativne vrijednosti dinamike, strukture, koordinacije, poređenja i intenziteta, radi kratkoće navedene u nastavku. indeksi.

Dinamički indeks karakteriše promjenu bilo koje pojave u vremenu. To je omjer vrijednosti iste apsolutne vrijednosti u različitim vremenskim periodima. Ovaj indeks je određen formulom (2):

gdje brojevi znače: 1 - izvještajni ili analizirani period, 0 - posljednji ili bazni period.

Kriterijumska vrijednost indeksa dinamike je jedan (ili 100%), odnosno ako je >1 onda dolazi do povećanja (porasta) pojave tokom vremena; ako je =1 – stabilnost; ako<1 – наблюдается спад (уменьшение) явления. Еще одно название индекса динамики – indeks promjene, oduzimanjem od koje se dobije jedinica (100%) stopa promjene (dinamika) sa vrijednošću kriterija 0, koja je određena formulom (3):

Ako T>0, tada dolazi do rasta fenomena; T=0 - stabilnost, T<0 – спад.

U gornjem primjeru o ruskom izvozu 2006. i 2005. godine, indeks dinamike je izračunat pomoću formule (2): i D= 304,5/243,6*100% = 125%, što je više od vrijednosti kriterijuma od 100%, što ukazuje na povećanje izvoza. Koristeći formulu (3) dobijamo stopu promjene: T= 125% - 100% = 25%, što pokazuje da je izvoz povećan za 25%.

Varijante indeksa dinamike su indeksi planiranog zadatka i izvršenja plana, izračunati za planiranje različitih količina i praćenje njihove realizacije.

Indeks planiranih poslova je odnos planirane vrijednosti karakteristike prema baznoj vrijednosti. Određuje se formulom (4):

gdje X' 1– planirana vrijednost; x0 je osnovna vrijednost karakteristike.

Na primjer, carinska uprava je 2006. godine prebacila u savezni budžet 160 milijardi rubalja, a sljedeće godine planirala je prebaciti 200 milijardi rubalja, što znači prema formuli (4): i pz= 200/160 = 1,25, odnosno cilj Uprave carina za 2007. godinu je 125% u odnosu na prethodnu godinu.

Da bi se utvrdio procenat realizacije plana, potrebno je izračunati indeks izvršenja plana, odnosno odnos posmatrane vrednosti atributa i planirane (optimalne, maksimalno moguće) vrednosti prema formuli (5):

Na primjer, za period januar-novembar 2006. godine, carinski organi su planirali prebaciti 1.955 biliona rubalja u savezni budžet. rubalja, ali je zapravo prebačeno 2,59 triliona. rub., znači po formuli (5): i VP= 2,59 / 1,955 = 1,325, odnosno 132,5%, odnosno planirani zadatak je realizovan za 132,5%.

Indeks strukture (udio) je omjer bilo kojeg dijela objekta (skupa) prema cijelom objektu. Određuje se formulom (6):

U gornjem primjeru o izvozu naftnih derivata u zemlje ZND, udio ovog izvoza u Gruziju izračunat je po formuli (6): d\u003d 10,7 / 4142 \u003d 0,0026, ili 2,6 ‰ .

Indeks koordinacije- ovo je omjer bilo kojeg dijela objekta prema drugom njegovom dijelu, koji se uzima kao osnova (baza poređenja). Određuje se formulom (7):

Na primjer, ruski uvoz u 2006. iznosio je 163,9 milijardi dolara, a zatim, upoređujući ga sa izvozom (baza za poređenje), izračunavamo indeks koordinacije koristeći formulu (7): i K= 163,9/304,5 = 0,538, što pokazuje odnos između dve komponente spoljnotrgovinskog prometa, odnosno vrednost ruskog uvoza u 2006. godini iznosi 53,8% vrednosti izvoza. Promjenom baze poređenja u uvoz, koristeći istu formulu, dobijamo: i K= 304,5/163,9 = 1,858, odnosno ruski izvoz u 2006. godini je 1,858 puta veći od uvoza, odnosno izvoz čini 185,8% uvoza.

Indeks poređenja- ovo je poređenje (omjer) različitih objekata prema istim karakteristikama. Određuje se formulom (8):

gdje A, B- upoređeni objekti.

U gore navedenom primjeru, u kojem je upoređen izvoz Sjedinjenih Država i Rusije, indeks poređenja je izračunat pomoću formule (8): i s= 904,383/243,569 = 3,71. Promjenom baze poređenja (to jest, ruski izvoz je objekt A, a američki izvoz je objekt B), koristeći istu formulu, dobijamo: i s= 243,569 / 904,383 = 0,27, odnosno ruski izvoz čini 27% američkog izvoza.

Indeks intenziteta- ovo je omjer različitih karakteristika jednog objekta jedan prema drugom. Određuje se formulom (9):

gdje X– jedan atribut objekta; Y- drugi znak istog objekta

Na primjer, pokazatelji proizvodnje po jedinici radnog vremena, troškovi po jedinici proizvodnje, jedinične cijene itd.

Od najranijih vremena, ljude je ozbiljno zanimalo pitanje kako je najpogodnije upoređivati ​​količine izražene različitim vrijednostima. I to nije samo prirodna radoznalost. Čovjek najstarijih zemaljskih civilizacija je ovoj prilično teškoj stvari pridavao čisto primijenjeni značaj. Ispravno odmjeriti zemljište, odrediti težinu proizvoda na tržištu, izračunati potreban omjer robe u trampi, odrediti ispravnu stopu grožđa pri berbi vina - samo su neki od zadataka koji su se često javljali u ionako teškom životu naših predaka. Zbog toga su slabo obrazovani i nepismeni ljudi, ako je trebalo, da uporede vrednosti, išli po savet kod svojih iskusnijih drugova, a često su za takvu uslugu uzimali i odgovarajući mito, i inače prilično dobar.

Šta se može porediti

Danas ova lekcija takođe igra značajnu ulogu u procesu proučavanja egzaktnih nauka. Naravno, svi znaju da je potrebno porediti homogene vrijednosti, odnosno jabuke sa jabukama, i cveklu sa cveklom. Nikome ne bi palo na pamet da stepene Celzijusa pokuša izraziti u kilometrima ili kilograme u decibelima, ali dužinu boa konstriktora kod papagaja znamo od djetinjstva (za one koji se ne sjećaju: u jednoj udavi ima 38 papagaja) . Iako su i papagaji različiti, a zapravo će dužina boa konstriktora varirati ovisno o podvrsti papiga, ali to su detalji koje ćemo pokušati dokučiti.

Dimenzije

Kada zadatak kaže: "Uporedi vrijednosti veličina", potrebno je te iste količine dovesti u isti nazivnik, odnosno izraziti ih istim vrijednostima radi lakšeg poređenja. Jasno je da mnogima od nas neće biti teško da uporede vrijednost izraženu u kilogramima sa vrijednošću izraženom u centnerima ili u tonama. Međutim, postoje homogene veličine koje se mogu izraziti u različitim dimenzijama i, štaviše, u različitim mjernim sistemima. Pokušajte, na primjer, uporediti kinematičke viskoznosti i odrediti koja je tekućina viskoznija u centistoksima i kvadratnim metrima u sekundi. Ne radi? I neće raditi. Da biste to učinili, trebate obje vrijednosti odražavati u istim vrijednostima, a već brojčanom vrijednošću odrediti koja je od njih superiornija od protivnika.

Sistem mjerenja

Da bismo razumjeli koje se veličine mogu uporediti, pokušajmo se prisjetiti postojećih mjernih sistema. Kako bi optimizirali i ubrzali procese naseljavanja 1875. godine, sedamnaest zemalja (uključujući Rusiju, SAD, Njemačku, itd.) potpisalo je metričku konvenciju i definiralo metrički sistem mjera. Za razvoj i konsolidaciju standarda metra i kilograma osnovan je Međunarodni komitet za utege i mjere, a u Parizu je osnovan Međunarodni biro za utege i mjere. Ovaj sistem je na kraju evoluirao u Međunarodni sistem jedinica, SI. Trenutno je ovaj sistem usvojen u većini zemalja u oblasti tehničkih proračuna, uključujući i one zemlje u kojima se nacionalni tradicionalno koriste u svakodnevnom životu (na primjer, SAD i Engleska).

GHS

Međutim, paralelno sa opšteprihvaćenim standardom standarda, razvio se još jedan, manje pogodan CGS sistem (centimetar-gram-sekunda). Predložio ga je 1832. njemački fizičar Gauss, a 1874. modernizirali Maxwell i Thompson, uglavnom u oblasti elektrodinamike. Godine 1889. predložen je pogodniji ISS sistem (metar-kilogram-sekunda). Usporedba objekata po veličini referentnih vrijednosti metra i kilograma mnogo je pogodnije za inženjere nego korištenje njihovih derivata (centi-, mili-, deci-, itd.). Međutim, ni ovaj koncept nije naišao na masovni odjek u srcima onih kojima je bio namijenjen. Širom svijeta se aktivno razvijao i koristio, pa su se proračuni u CGS-u sve rjeđe obavljali, a nakon 1960. godine, uvođenjem SI sistema, CGS je praktično nestao. Trenutno se GHS zapravo koristi u praksi samo u proračunima u teorijskoj mehanici i astrofizici, a potom i zbog jednostavnijeg oblika pisanja zakona elektromagnetizma.

Korak po korak instrukcije

Analizirajmo jedan primjer detaljno. Pretpostavimo da je problem: "Uporedite vrijednosti od 25 tona i 19570 kg. Koja je od vrijednosti veća?" Prvo što treba učiniti je odrediti u kojim količinama smo dali vrijednosti. Dakle, prva vrijednost je data u tonama, a druga - u kilogramima. U drugom koraku provjeravamo da li kompajleri problema pokušavaju da nas zavedu pokušavajući da nas natjeraju da uporedimo heterogene veličine. Postoje i takvi zadaci zamke, posebno u brzim testovima, gdje se daje 20-30 sekundi za odgovor na svako pitanje. Kao što vidimo, vrijednosti su homogene: i u kilogramima i u tonama mjerimo masu i težinu tijela, pa je drugi test prošao s pozitivnim rezultatom. Treći korak, prevodimo kilograme u tone ili, obrnuto, tone u kilograme radi lakšeg poređenja. U prvoj verziji dobije se 25 i 19,57 tona, a u drugoj: 25.000 i 19.570 kilograma. I sada možete mirno upoređivati ​​veličine ovih vrijednosti. Kao što se jasno vidi, prva vrijednost (25 tona) u oba slučaja je veća od druge (19.570 kg).

Zamke

Kao što je gore spomenuto, moderni testovi sadrže mnogo zadataka obmanjivanja. Nisu to nužno zadaci koje smo analizirali, prilično bezazleno pitanje može se pokazati kao zamka, pogotovo ono na koje se nameće sasvim logičan odgovor. Međutim, obmana, u pravilu, leži u detaljima ili u maloj nijansi koju sastavljači zadatka pokušavaju prikriti na svaki mogući način. Na primjer, umjesto pitanja koje vam je već poznato iz analiziranih problema sa formulacijom pitanja: "Uporedi vrijednosti gdje je to moguće" - sastavljači testa mogu jednostavno zamoliti da uporedite naznačene vrijednosti i odaberete vrednuju se zapanjujuće slične jedni drugima. Na primjer, kg * m / s 2 i m / s 2. U prvom slučaju, to je sila koja djeluje na objekt (njutni), au drugom - ubrzanje tijela, odnosno m/s 2 i m/s, gdje se od vas traži da uporedite ubrzanje sa brzinom tijelo, odnosno apsolutno heterogene količine.

Kompleksna poređenja

Međutim, vrlo često se u zadacima daju dvije vrijednosti, izražene ne samo u različitim mjernim jedinicama i različitim sistemima proračuna, već i međusobno različite po specifičnostima fizičkog značenja. Na primjer, izjava o problemu kaže: "Uporedite vrijednosti dinamičke i kinematičke viskoznosti i odredite koja je tekućina viskoznija." U ovom slučaju, vrijednosti su naznačene u SI jedinicama, odnosno u m 2 / s, a dinamičke - u CGS, odnosno u poisu. Kako postupiti u ovom slučaju?

Da biste riješili takve probleme, možete koristiti gore navedene upute s malim dodatkom. Mi odlučujemo u kom sistemu ćemo raditi: neka bude opšte prihvaćen među inženjerima. U drugom koraku također provjeravamo da li je ovo zamka? Ali i u ovom primjeru je sve čisto. Upoređujemo dvije tekućine u smislu unutrašnjeg trenja (viskoziteta), tako da su obje vrijednosti homogene. Treći korak je pretvaranje iz poise u paskal sekundu, odnosno u opšte prihvaćene jedinice SI sistema. Zatim prevodimo kinematičku viskoznost u dinamičku, množeći je sa odgovarajućom vrijednošću gustoće tekućine (tablična vrijednost), i upoređujemo dobivene rezultate.

Izvan sistema

Postoje i nesistemske mjerne jedinice, odnosno jedinice koje nisu uključene u SI, ali su prema rezultatima odluka sazivanja Generalne konferencije za utege i mjere (GCVM), prihvatljive za dijeljenje sa SI. Takve veličine moguće je međusobno upoređivati ​​samo kada se svedu na opći oblik u SI standardu. Nesistemske jedinice uključuju jedinice kao što su minuta, sat, dan, litar, elektronvolt, čvor, hektar, bar, angstrom i mnoge druge.

Stvar: matematike

Naziv nastavno-metodičkog kompleta (EMC): „RITM»

Tema lekcije: Poređenje brojeva i veličina po dužini, zapremini, masi.

Vrsta lekcije: Sistematizacija i generalizacija znanja.

Svrha lekcije: naučiti đake prvog razreda da uspostavljaju veze "šema-osobina"; vraćaju u memoriju načine poređenja objekata prema proučavanim karakteristikama; generalizirati i konsolidirati materijal o količinama (na primjer, dužina veličina, zapremina, masa).

Ciljevi lekcije:

Formirati sposobnost opisivanja rezultata posmatranja svojstava objekata (boja, oblik, veličina, materijal, zapremina, površina, masa);

Formirati sposobnost izdvajanja skupova predmeta ili figura koji imaju zajedničku osobinu;

Vježbajte mentalne operacije, razvijajte motoriku malih mišića, sposobnost samokontrole, razvijajte komunikacijske vještine;

Obrazovati učenike u odnosu poslovne saradnje (dobroljubi jedni prema drugima, uvažavati mišljenje drugih, umeti da slušaju drugove);

Potaknite interesovanje za predmet.

Planirani rezultati:

Lični :

Formirati obrazovni i kognitivni interes za gradivo;

Sposobnost vrednovanja sopstvenog rada i rada svojih drugova;

Preuzmi odgovornost za svoj rad;

Razvijati motivaciju za učenje i učenje;

spremnost i sposobnost za samorazvoj, razvoj tolerancije.

metasubjekt:

regulatorno:

Biti u stanju da definiše i formuliše cilj na času uz pomoć nastavnika;

Izgovorite redoslijed radnji u lekciji;

Razumjeti cilj učenja lekcije; rješavanje obrazovnog problema provodi pod vodstvom nastavnika;

Ocijeniti ispravnost radnje na nivou adekvatne retrospektivne procjene;

Izrazite svoju pretpostavku;

kognitivni:

Biti u stanju da se krećeš u svom sistemu znanja;

Pronađite odgovore na pitanja koristeći udžbenik, svoje životno iskustvo i informacije dobijene na lekciji;

komunikativan:

Formulirajte svoje mišljenje i stav;

Slušati i razumjeti mišljenja drugih;

Pridržavajte se pravila rada u parovima;

Predmet:

Sposobnost razlikovanja svojstava objekata koji su količine od onih svojstava koja nisu količine;

Znanje o tome šta se može učiniti s količinama: uporedi, mjeri;

Sposobnost poređenja količina i njihovih brojčanih vrijednosti;

Sposobnost poređenja rezultata;

Sposobnost rada u grupi.

Oprema za nastavu: demonstracijske kartice s nazivima karakteristika (dužina, volumen, boja, površina, oblik, obod, širina, materijal, masa), karte (pojedinačne), vage, 4 kocke (izvana iste, ali različite po masi - 2 kocke od ista misa), pokazni čamac, prezentacija za čas.

Oprema: multimedijalni projektor, kompjuter, materijal za grupni rad (lopte, loptice, kutije od različitih materijala, različitih veličina, baloni, žica), matematička lepeza, kartice za samostalni rad.

TEHNOLOŠKA KARTA ČASA