Acasă » Alte » Elemente de mecanică a continuumului și legi de conservare. Elemente de mecanică a continuului

Elemente de mecanică a continuumului și legi de conservare. Elemente de mecanică a continuului

PRELEȚIA Nr. 5 Elemente de mecanică a continuumului Model fizic: un mediu continuu este un model al materiei, în cadrul căruia se neglijează structura internă a materiei, presupunând că materia este distribuită continuu pe întregul volum pe care îl ocupă și umple complet acest volum. Un mediu se numește omogen dacă are aceleași proprietăți în fiecare punct. Izotrop este un mediu ale cărui proprietăți sunt aceleași în toate direcțiile. Stări agregate ale materiei Un solid este o stare a materiei caracterizată printr-un volum fix și invariabilitatea formei. Lichidul este o stare a unei substanțe caracterizată printr-un volum fix, dar care nu are o formă definită. Gazul este o stare a unei substanțe în care o substanță umple întregul volum care i se oferă.

Mecanica unui corp deformabil Deformarea este o modificare a formei și dimensiunii unui corp. Elasticitatea este proprietatea corpurilor de a rezista la modificări ale volumului și formei lor sub influența sarcinilor. Deformarea se numește elastică dacă dispare după îndepărtarea sarcinii și - plastică, dacă nu dispare după îndepărtarea sarcinii. În teoria elasticității, se dovedește că toate tipurile de deformații (întindere - compresiune, forfecare, încovoiere, torsiune) pot fi reduse la deformații simultane la tracțiune - compresiune și forfecare.

Deformare la tracțiune - compresiune Întinderea - compresia este o creștere (sau scădere) a lungimii unui corp cilindric sau prismatic cauzată de o forță îndreptată de-a lungul axei sale longitudinale. Deformarea absolută este o valoare egală cu modificarea dimensiunii corpului cauzată de influențele externe:, (5.1) unde l 0 și l sunt lungimea inițială și finală a corpului. Legea lui Hooke (I) (Robert Hooke, 1660): forța elastică este proporțională cu mărimea deformației absolute și este îndreptată spre scăderea acesteia:, (5.2) unde k este coeficientul de elasticitate al corpului.

Deformare relativă:. (5.3) Efortul mecanic este o mărime care caracterizează starea unui corp deformat = Pa:, (5.4) unde F este forța care provoacă deformarea, S este aria secțiunii transversale a corpului. Legea lui Hooke (II): Efortul mecanic care apare într-un corp este proporțional cu valoarea deformației sale relative: [E] = Pa.

Deformațiile solidelor respectă legea lui Hooke până la o anumită limită. Relația dintre deformare și efort este reprezentată sub forma unei diagrame de tensiuni, al cărei curs calitativ este luat în considerare pentru o bară metalică.

Energia deformarii elastice Sub tensiune - compresie, energia deformarii elastice, (5.8) unde V este volumul corpului deformat. Densitatea în vrac a tensiunii - compresia energiei de deformare elastică la (5.9) Densitatea în vrac a energiei de forfecare a deformarii elastice (5.10) la

Elemente de mecanică a lichidelor și gazelor (hidro- și aeromecanica) Fiind în stare solidă de agregare, un corp posedă simultan atât elasticitatea formei, cât și elasticitatea volumului (sau, ceea ce este același, în timpul deformărilor într-un solid, atât normal, cât și apar tensiuni mecanice tangențiale ). Lichidele și gazele au doar elasticitate de volum, dar nu au elasticitate de formă (au forma unui vas în care se află). O consecință a acestei caracteristici comune a lichidelor și gazelor este similitudinea calitativă a majorității proprietăților mecanice ale lichidelor și gazelor, iar diferența lor este doar caracteristicile cantitative (de exemplu, de regulă, densitatea unui lichid este mai mare decât densitatea). a unui gaz). Prin urmare, în cadrul mecanicii continue, se utilizează o abordare unificată a studiului lichidelor și gazelor.

Caracteristici inițiale Densitatea unei substanțe este o mărime fizică scalară care caracterizează distribuția masei pe volumul unei substanțe și este determinată de raportul dintre masa unei substanțe conținute într-un anumit volum și valoarea acestui volum = m / kg 3. În cazul unui mediu omogen, densitatea unei substanțe se calculează prin formula (5. 11) În cazul general al unui mediu neomogen, masa și densitatea unei substanțe sunt legate prin relația (5. 12) Presiunea este o mărime scalară care caracterizează starea unui lichid sau gaz și este egală cu forța care acționează pe o unitate de suprafață în direcția normală acesteia [p] = Pa: (5. 13)

Elemente de hidrostatică Caracteristici ale forţelor care acţionează în interiorul unui lichid (gaz) în repaus 1) Dacă în interiorul unui lichid în repaus se separă un volum mic, atunci lichidul exercită aceeaşi presiune asupra acestui volum în toate direcţiile. 2) Un lichid în repaus acționează pe suprafața unui corp solid în contact cu acesta cu o forță îndreptată de-a lungul normalei acestei suprafețe.

Ecuația de continuitate Un tub de curent este o parte a unui lichid delimitată de linii de curent. Staționar (sau în stare staționară) este un flux de fluid în care forma și locația liniilor de curgere, precum și valorile vitezelor în fiecare punct al fluidului în mișcare, nu se modifică în timp. Debitul masic al lichidului este masa lichidului care trece prin secțiunea transversală a tubului de flux pe unitatea de timp = kg / s:, (5.15) unde și v sunt densitatea și viteza fluxului de lichid în secțiunea S.

Ecuația de continuitate este o relație matematică, conform căreia, pentru un flux constant de lichid, debitul său masic în fiecare secțiune a tubului de curgere este același:, (5.16)

Incompresibil este un lichid a cărui densitate nu depinde de temperatură și presiune. Debitul volumetric al lichidului - volumul de lichid care trece prin secțiunea transversală a tubului de flux pe unitatea de timp = m 3 / s: în fiecare secțiune a tubului curent este același:, (5.18)

Vâscozitatea este proprietatea gazelor și lichidelor de a rezista mișcării unei părți a acestora față de alta. Model fizic: fluid ideal - un fluid imaginar incompresibil în care nu există vâscozitate și conductivitate termică. Ecuația lui Bernoulli (Daniel Bernoulli 1738) este o ecuație care este o consecință a legii conservării energiei mecanice pentru un flux staționar al unui fluid incompresibil ideal și este scrisă pentru o secțiune arbitrară a unui tub de curent într-un câmp gravitațional:. (5,19)

În ecuația lui Bernoulli (5.19): p este presiunea statică (presiunea fluidului pe suprafața corpului zburat în jurul acestuia; - presiunea dinamică; - presiunea hidrostatică.

Frecare internă (vâscozitate). Legea lui Newton (Isaac Newton, 1686): forța de frecare internă pe unitatea de suprafață a straturilor în mișcare de lichid sau gaz este direct proporțională cu gradientul vitezei straturilor:, (5.20) unde este coeficientul de frecare internă (vâscozitate dinamică), = m 2 / s.

Tipuri de curgere de fluid vâscos Fluxul laminar este o formă de curgere în care un lichid sau un gaz se mișcă în straturi fără amestecare și pulsații (adică schimbări rapide aleatorii ale vitezei și presiunii). Fluxul turbulent este o formă de curgere a unui lichid sau gaz în care elementele lor efectuează mișcări dezordonate, instabile de-a lungul traiectoriilor complexe, ceea ce duce la amestecarea intensivă între straturi de lichid sau gaz în mișcare.

Numărul Reynolds Criteriul pentru trecerea unui regim de curgere laminară la un regim turbulent se bazează pe utilizarea numărului Reynolds (On the collection of Reynolds, 1876-1883). În cazul mișcării fluidului printr-o țeavă, numărul Reynolds este determinat ca, (5.21) unde v este viteza medie a fluidului pe secțiunea țevii; d - diametrul conductei; şi - densitatea şi coeficientul de frecare internă a fluidului. La valori de Re 4000 - modul turbulent. La valori de 2000

Curgerea laminară a unui fluid vâscos într-o conductă orizontală Să luăm în considerare curgerea unui fluid vâscos, referindu-ne direct la experiență. Folosind un furtun de cauciuc, conectați un tub de sticlă orizontal subțire cu tuburi manometrice verticale lipite în el la robinetul de apă (vezi figura). La un debit scăzut, se vede clar o scădere a nivelului apei în tuburile manometrice în direcția curgerii (h 1> h 2> h 3). Aceasta indică prezența unui gradient de presiune de-a lungul axei tubului - presiunea statică în lichid scade de-a lungul fluxului.

Curgerea laminară a unui fluid vâscos într-o conductă orizontală Într-un flux uniform de fluid rectiliniu, forțele de presiune sunt echilibrate de forțele de vâscozitate.

Distribuția vitezelor în secțiunea transversală a unui flux de fluid vâscos poate fi observată atunci când acesta curge dintr-un tub vertical printr-o deschidere îngustă (vezi figura). Dacă, de exemplu, cu supapa K închisă, se toarnă mai întâi glicerină nevopsită și apoi se adaugă cu grijă glicerină colorată de sus, atunci în echilibru interfața D va fi orizontală. Dacă robinetul K este deschis, granița va lua o formă similară cu un paraboloid de revoluție. Aceasta indică existența unei distribuții a vitezelor în secțiunea transversală a tubului cu un flux vâscos de glicerol.

Formula lui Poiseuille Distribuția vitezei în secțiunea transversală a unei conducte orizontale într-un flux laminar al unui fluid vâscos este determinată de formula (5.23) unde R și l sunt raza și lungimea conductei, respectiv, p este diferența de presiune la capetele țevii, r este distanța față de axa țevii. Debitul volumetric al lichidului este determinat de formula Poiseuille (Jean Poiseuille, 1840): (5.24)

Mișcarea corpurilor într-un mediu vâscos Când corpurile se mișcă într-un lichid sau gaz, asupra corpului acționează o forță internă de frecare, în funcție de viteza corpului. La viteze mici, se observă un flux laminar de lichid sau gaz în jurul corpului, iar forța de frecare internă se dovedește a fi proporțională cu viteza corpului și este determinată de formula Stokes (George Stokes, 1851):, (5.25) unde b este o constantă în funcție de forma corpului și de orientarea acestuia față de flux, l este dimensiunea caracteristică a corpului. Pentru o bilă (b = 6, l = R), forța de frecare internă:, (5.26) unde R este raza bilei.

7.1. Proprietăți generale ale lichidelor și gazelor. Descrierea cinematică a mișcării fluidului. Câmpuri vectoriale. Fluxul și circulația unui câmp vectorial. Curgerea staționară a unui fluid ideal. Linii și tuburi de curent. Ecuațiile mișcării și echilibrului unui lichid. Ecuația de continuitate pentru fluid incompresibil

Mecanica continuului este o ramură a mecanicii dedicată studiului mișcării și echilibrului gazelor, lichidelor, plasmei și solidelor deformabile. Presupunerea principală a mecanicii continuumului este că materia poate fi considerată ca un mediu continuu continuu, neglijând structura sa moleculară (atomică) și, în același timp, distribuția în mediu a tuturor caracteristicilor sale (densitate, tensiuni, viteze ale particulelor) poate fi considerat continuu.

Un lichid este o substanță în stare condensată, intermediară între solid și gazos. Regiunea de existență a unui lichid este limitată din partea temperaturilor scăzute printr-o tranziție de fază la starea solidă (cristalizare), iar din partea temperaturilor ridicate - în stare gazoasă (evaporare). Când se studiază proprietățile unui mediu continuu, mediul în sine este reprezentat ca fiind format din particule, ale căror dimensiuni sunt mult mai mari decât dimensiunile moleculelor. Astfel, fiecare particulă conține un număr mare de molecule.

Pentru a descrie mișcarea unui fluid, puteți specifica poziția fiecărei particule de fluid în funcție de timp. Acest mod de a descrie a fost dezvoltat de Lagrange. Dar puteți urmări nu particulele unui lichid, ci punctele individuale din spațiu și observați viteza cu care particulele individuale ale lichidului trec prin fiecare punct. A doua cale se numește metoda lui Euler.

Starea mișcării fluidului poate fi determinată prin specificarea pentru fiecare punct din spațiu a vectorului viteză în funcție de timp.

Colecție de vectori , dat pentru toate punctele din spațiu, formează câmpul vectorului viteză, care poate fi reprezentat după cum urmează. Să trasăm linii într-un fluid în mișcare, astfel încât tangenta la ele în fiecare punct să coincidă în direcția vectorului (Figura 7.1). Aceste linii se numesc streamlines. Să fim de acord să trasăm linii fluide astfel încât densitatea lor (raportul dintre numărul de linii
la dimensiunea zonei perpendiculare pe acestea
prin care trec) a fost proporţională cu mărimea vitezei la o locaţie dată. Apoi, din modelul liniilor de fluidizare, va fi posibil să se judece nu numai direcția, ci și mărimea vectorului. în diferite puncte din spațiu: acolo unde viteza este mai mare, liniile de curgere vor fi mai dense.

Numărul de linii de flux care trec prin site
perpendicular pe liniile de curgere este
, dacă site-ul este orientat în mod arbitrar către liniile de curgere, numărul de linii este, unde
- unghiul dintre direcția vectorului și normal pentru site ... Notația este adesea folosită
... Numărul de streamline prin site dimensiunea finită este determinată de integrala:
... O integrală de acest fel se numește fluxul vectorului peste site .

V Mărimea și direcția vectorului se modifică în timp, prin urmare, modelul liniei nu rămâne constant. Dacă în fiecare punct al spațiului vectorul viteză rămâne constant în mărime și direcție, atunci fluxul se numește constant sau staționar. Într-un flux staționar, orice particulă lichidă trece printr-un punct dat din spațiu cu aceeași viteză. Modelul de fluidizare în acest caz nu se schimbă, iar liniile de fluidizare coincid cu traiectoriile particulelor.

Curgerea unui vector printr-o anumită suprafață și circulația vectorului de-a lungul unui contur dat fac posibilă aprecierea naturii câmpului vectorial. Cu toate acestea, aceste valori dau o caracteristică medie a câmpului în volumul înconjurat de suprafața prin care este determinat debitul sau în vecinătatea conturului de-a lungul căruia se efectuează circulația. Prin reducerea dimensiunii suprafeței sau a conturului (trăgându-le într-un punct), puteți obține valori care vor caracteriza câmpul vectorial la un punct dat.

Se consideră câmpul vectorului viteză al unui fluid continuu incompresibil. Curgerea vectorului viteză printr-o anumită suprafață este egal cu volumul de lichid care curge prin această suprafață pe unitatea de timp. Construim în vecinătatea punctului R suprafață închisă imaginară S(Figura 7.2) . Dacă în volum V delimitat de suprafață, lichidul nu apare și nu dispare, atunci fluxul spre exterior prin suprafață va fi egal cu zero. O diferență de debit față de zero va indica faptul că există surse sau chiuvete de lichid în interiorul suprafeței, adică puncte în care lichidul intră în volum (surse) sau este îndepărtat din volum (chiuvete).Debitul determină puterea totală a surselor și chiuvete. Cu predominanța surselor asupra efluenților, debitul este pozitiv, cu predominanța efluenților – negativ.

Coeficientul de împărțire a debitului la cantitatea de volum din care curge debitul,
, este puterea specifică medie a surselor incluse în volum V. Cu cât volumul este mai mic V, inclusiv punct R, cu atât această medie este mai aproape de densitatea reală de putere în acel punct. În limita la
, adică atunci când contractăm volumul la un punct, obținem puterea specifică adevărată a surselor la punctul respectiv R, numită divergența (divergența) vectorului :
... Expresia rezultată este valabilă pentru orice vector. Integrarea se realizează pe o suprafață închisă S, limitând domeniul de aplicare V... Divergența este determinată de comportamentul funcției vectoriale punctul apropiat R. Divergența este o funcție scalară a coordonatelor care definesc n pozitia punctului R in spatiu.

Să găsim o expresie pentru divergența în sistemul de coordonate carteziene. Luați în considerare în apropierea punctului P (x, y, z) un volum mic sub forma unui paralelipiped cu marginile paralele cu axele de coordonate (Figura 7.3). Având în vedere micimea volumului (vom tinde spre zero), valorile
în cadrul fiecăreia dintre cele șase fețe ale paralelipipedului poate fi considerat neschimbat. Fluxul pe întreaga suprafață închisă este format din fluxuri care curg prin fiecare dintre cele șase fețe separat.

Să găsim curgerea printr-o pereche de fețe perpendiculare pe opritor NSîn Figura 7.3 fețele 1 și 2) . Normal exterior fata 2 coincide cu directia axei NS... De aceea
iar curgerea prin faţa 2 este
.Normal are o direcție opusă axei NS. Proiecții vectoriale pe axă NS si la normal au semne opuse,
, iar curgerea prin faţa 1 este
... Debitul total în direcție NS este egal cu
... Diferență
este o creștere când sunt deplasate de-a lungul axei NS pe
... Datorită micimii

... Apoi primim
... În mod similar, prin perechi de fețe perpendiculare pe axele Yși Z, debitele sunt egale
și
... Flux complet printr-o suprafață închisă. Împărțind această expresie în
, găsiți divergența vectorului la punct R:

Cunoașterea divergenței vectoriale în fiecare punct al spațiului, puteți calcula fluxul acestui vector prin orice suprafață de dimensiuni finite. Pentru a face acest lucru, împărțim volumul delimitat de suprafață S, într-un număr infinit de elemente infinitezimale
(Figura 7.4).

Pentru orice element
vector de flux prin suprafata acestui element este
... Însumând toate elementele
, obținem fluxul prin suprafață S limitarea volumului V:
, integrarea se realizează pe volum V, sau

NS apoi teorema Ostrogradskii - Gauss. Aici
,este vectorul normal unitar la suprafață dS in acest punct.

Să ne întoarcem la curgerea unui fluid incompresibil. Să construim un contur ... Imaginați-vă că am înghețat cumva instantaneu lichidul pe întregul volum, cu excepția unui canal închis foarte subțire de secțiune transversală constantă, care include un contur. (Figura 7.5). În funcție de natura curgerii, lichidul din canalul format va fi fie staționar, fie în mișcare (circulând) de-a lungul conturului într-una dintre direcțiile posibile. Ca măsură a acestei mișcări, se alege o valoare egală cu produsul dintre viteza fluidului în canal și lungimea circuitului,
... Această mărime se numește circulația vectorului de-a lungul conturului (deoarece canalul are o secțiune transversală constantă și modulul de viteză nu se modifică). În momentul solidificării pereților, pentru fiecare particulă lichidă din canal se va stinge componenta de viteză perpendiculară pe perete și va rămâne doar componenta tangentă la contur. Un impuls este asociat cu această componentă
, al cărui modul pentru o particulă lichidă închisă într-o secțiune de canal cu lungime
, este egal cu
, Unde - densitatea lichidului, - secțiunea de canal. Fluidul este ideal - nu există frecare, așa că acțiunea pereților poate schimba doar direcția
, valoarea sa va rămâne constantă. Interacțiunea dintre particulele lichidului va determina o astfel de redistribuire a impulsului între ele, care va egaliza vitezele tuturor particulelor. În acest caz, suma algebrică a impulsurilor este conservată, așadar
, Unde - viteza de circulatie, - componenta tangentiala a vitezei fluidului in volum
în momentul de timp premergător solidificării pereţilor. Împărțirea în
, obține
.

C Circulația caracterizează proprietățile câmpului mediate pe o regiune cu dimensiuni de ordinul diametrului conturului ... Pentru a obține caracteristica câmpului la punct R, trebuie să reduceți dimensiunea conturului, trăgându-l până la un punct R... În acest caz, limita raportului de circulație al vectorului este luată ca o caracteristică a câmpului pe un contur plat contractand pana la obiect R, la dimensiunea planului de contur S:
... Valoarea acestei limite depinde nu numai de proprietățile câmpului din punct R, dar și asupra orientării conturului în spațiu, care poate fi specificată prin direcția normalei pozitive la planul conturului (normala asociată direcţiei de parcurgere a conturului prin regula şurubului drept este considerată pozitivă). Determinarea acestei limite pentru diferite direcții , vom obține valorile sale diferite, iar pentru direcțiile normale opuse, aceste valori diferă în semn. Pentru o anumită direcție a normalului, valoarea limitei va fi maximă. Astfel, valoarea limitei se comportă ca o proiecție a unui vector pe direcția normalei pe planul conturului de-a lungul căruia este luată circulația. Valoarea maximă a limitei determină modulul acestui vector, iar direcția normalei pozitive la care se atinge maximul dă direcția vectorului. Acest vector se numește rotorul sau vortexul vectorului :
.

Pentru a găsi proiecția rotorului pe axa sistemului de coordonate carteziene, trebuie să determinați valorile limită pentru astfel de orientări ale locului. S la care normalul la amplasament coincide cu una dintre axe X, Y, Z. Dacă, de exemplu, trimiteți de-a lungul axei NS, găsi
... Circuit situat în acest caz într-un plan paralel cu YZ, ia un contur sub forma unui dreptunghi cu laturi
și
... La
sens și pe fiecare dintre cele patru laturi ale conturului poate fi considerat neschimbat. Secțiunea 1 a conturului (Figura 7.6) este opusă axei Z, prin urmare pe acest site coincide cu
, în secțiunea 2
, pe site-ul 3
, pe locul 4
... Pentru circulația de-a lungul acestui circuit, obținem valoarea: . Diferență
este o creștere când sunt deplasate de-a lungul Y pe
... Datorită micimii
acest increment poate fi reprezentat ca
.De asemenea, diferență
. Apoi circulația de-a lungul conturului considerat
,

Unde
- zona de contur. Împărțirea circulației în
, găsim proiecția rotorului pe axă NS:
. De asemenea,
,
... Apoi rotorul vectorului definit prin expresia:

+
,

sau
.

Z rotorul vectorului în fiecare punct al unei suprafeţe S, putem calcula circulația acestui vector de-a lungul conturului delimitând suprafața S... Pentru a face acest lucru, împărțim suprafața în elemente foarte mici
(Figura 7.7). Circulația de-a lungul graniței
este egal cu
, Unde - normal pozitiv la element
. Rezumând aceste expresii pe întreaga suprafață Sși înlocuind expresia cu circulația, obținem
... Aceasta este teorema lui Stokes.

Partea de fluid delimitată de liniile de curgere se numește tub de flux. Vector , fiind în fiecare punct tangent la linia de curgere, va fi tangent la suprafața tubului de curent, iar particulele de fluid nu traversează pereții tubului de curent.

Să considerăm secțiunea transversală a tubului de flux perpendicular pe direcția vitezei S(Figura 7.8.). Vom presupune că viteza particulelor lichide este aceeași în toate punctele acestei secțiuni. Pe parcursul
prin sectiune S toate particulele vor trece, a căror distanță este la momentul iniţial nu depăşeşte valoarea
... Prin urmare, în timpul timpului
prin sectiune S
, și pe unitatea de timp prin secțiune S va trece volumul de lichid, egal cu
.. Să presupunem că tubul de flux este atât de subțire încât viteza particulelor în fiecare dintre secțiunile sale poate fi considerată constantă. Dacă fluidul este incompresibil (adică, densitatea sa este aceeași peste tot și nu se modifică), atunci cantitatea de fluid dintre secțiuni și (Figura 7.9.) va rămâne neschimbată. Apoi volumele de lichid care curge pe unitatea de timp prin secțiuni și trebuie sa fie la fel:

Astfel, pentru un fluid incompresibil, cantitatea
în orice secțiune a aceluiași tub de curgere trebuie să fie același:

.Această afirmație se numește teorema de continuitate a jetului.

Mișcarea unui fluid ideal este descrisă de ecuația Navier-Stokes:

Unde t- timp, x, y, z- coordonatele unei particule lichide,

- proiecții ale forței corpului, R- presiunea, ρ - densitatea mediului. Această ecuație vă permite să determinați proiecția vitezei particulei mediului în funcție de coordonate și timp. Pentru a închide sistemul, ecuația de continuitate este adăugată la ecuația Navier-Stokes, care este o consecință a teoremei de continuitate a jetului:

... Pentru a integra aceste ecuații, este necesar să se stabilească condițiile inițiale (dacă mișcarea nu este staționară) și la limită.

Plan

1. Elemente de mecanică a continuumului. Mișcarea staționară a unui fluid ideal. ecuația lui Bernoulli.

2. Tensiuni elastice. Legea lui Hooke.

Rezumate

1. Volumul gazului este determinat de volumul vasului pe care îl ocupă gazul. În lichide, spre deosebire de gaze, distanța medie dintre molecule rămâne practic constantă, așadar lichidul are un volum practic neschimbat.În mecanică, cu un grad ridicat de precizie, lichidele și gazele sunt considerate continue, distribuite continuu în partea de spațiu pe care o ocupă. Densitatea lichidului depinde puțin de presiune. Densitatea gazelor depinde în mod semnificativ de presiune. Din experiență se știe că compresibilitatea unui lichid și a unui gaz în multe probleme poate fi neglijată și poate fi folosit conceptul unificat de lichid incompresibil, a cărui densitate este aceeași peste tot și nu se modifică în timp. lichid ideal - abstracție fizică, adică un fluid imaginar în care nu există forțe interne de frecare. Un fluid ideal este un fluid imaginar în care nu există forțe interne de frecare, iar un fluid vâscos îl contrazice. Mărimea fizică determinată de forța normală care acționează din partea lichidului pe unitate de suprafață se numește presiune R lichide... Unitatea de presiune este pascal (Pa): 1 Pa este egal cu presiunea creată de o forță de 1 N, distribuită uniform pe o suprafață normală acesteia cu o suprafață de 1 m 2 (1 Pa = 1 N / m 2). Presiunea în orice loc a fluidului în repaus este aceeași în toate direcțiile, iar presiunea se transmite în mod egal pe întregul volum ocupat de fluidul în repaus.

Presiunea se modifică liniar cu înălțimea... Presiunea P = rgh numit hidrostatic. Forța de presiune asupra straturilor inferioare ale lichidului este mai mare decât a celor superioare; prin urmare, asupra corpului scufundat în lichid acţionează o forță de plutire, determinată legea lui Arhimede: pe un corp scufundat într-un lichid (gaz), din partea acestui lichid acţionează o forţă de flotabilitate în sus, egală cu greutatea lichidului (gazului) deplasat de corp, unde r este densitatea lichidului, V- volumul corpului scufundat în lichid.

Mișcarea fluidelor se numește flux, iar colecția de particule dintr-un fluid în mișcare se numește flux. Grafic, mișcarea fluidelor este reprezentată folosind linii de curgere, care sunt desenate astfel încât tangentele la acestea să coincidă în direcția cu vectorul viteză al fluidului în punctele corespunzătoare din spațiu (Fig. 45). După modelul liniilor de curent, se poate judeca direcția și modulul vitezei în diferite puncte din spațiu, adică poate fi determinată starea mișcării fluidului. Partea de fluid delimitată de liniile de curgere se numește tub de flux. Curgerea unui lichid se numește constant (sau staționar) dacă forma și locația liniilor de curgere, precum și valorile vitezelor în fiecare dintre punctele sale, nu se modifică în timp.

Luați în considerare un tub de curent. Să alegem două dintre secțiunile sale S 1 și S 2 , perpendicular pe direcția vitezei (Fig. 46). Dacă fluidul este incompresibil (r = const), atunci prin secțiune S 2 va trece în 1 s același volum de lichid ca prin secțiune S 1, adică Produsul dintre viteza de curgere a unui fluid incompresibil și secțiunea transversală a tubului de curgere este o valoare constantă pentru un tub de curgere dat. Raportul se numește ecuația de continuitate pentru un fluid incompresibil. - ecuația lui Bernoulli - expresia legii conservării energiei în raport cu fluxul constant al unui fluid ideal (aici p - presiune statică (presiunea fluidului pe suprafața corpului zburat în jurul acestuia), valoare - presiune dinamică, - presiune hidrostatică). Pentru un tub de flux orizontal, ecuația Bernoulli se scrie ca , Unde partea stanga numită presiune totală. Formula lui Toricelli este scrisă:

Vâscozitatea este proprietatea fluidelor reale de a rezista mișcării unei părți a fluidului față de alta. Când unele straturi ale unui lichid real se mișcă în raport cu altele, apar forțe de frecare interioare, direcționate tangențial la suprafața straturilor. Forța de frecare internă F este cu atât mai mare, cu atât suprafața stratului S luat în considerare este mai mare și depinde de cât de repede se schimbă debitul fluidului în timpul tranziției de la strat la strat. Valoarea Dv / Dx arată cât de repede se schimbă viteza la trecerea de la un strat la altul în direcția NS, perpendicular pe direcția de mișcare a straturilor și se numește gradient de viteză. Prin urmare, modulul forței de frecare internă este egală, unde coeficientul de proporționalitate h , în funcție de natura fluidului se numește vâscozitate dinamică (sau pur și simplu vâscozitate). Unitate de vâscozitate- pascal secundă (Pa s) (1 Pa s = 1 N s / m 2). Cu cât vâscozitatea este mai mare, cu atât lichidul diferă mai mult de ideal, cu atât în el apar forțele de frecare internă mai mari. Vâscozitatea depinde de temperatură, iar natura acestei dependențe pentru lichide și gaze este diferită (la lichide scade odată cu creșterea temperaturii, la gaze, dimpotrivă, crește), ceea ce indică o diferență în mecanismele de frecare internă. Vâscozitatea uleiurilor depinde în mod deosebit de temperatură. Metode de determinare a vâscozității:

1) Formula Stokes ; 2) Formula lui Poiseuille

2. Deformarea se numește elastică dacă, după încetarea acțiunii forțelor exterioare, corpul își ia dimensiunea și forma inițială. Deformațiile care persistă în organism după încetarea forțelor externe se numesc plastice. Forța pe unitatea de suprafață a secțiunii transversale se numește stres și se măsoară în pascali. O măsură cantitativă care caracterizează gradul de deformare experimentat de un corp este deformarea relativă a acestuia. Modificarea relativă a lungimii barei (deformarea longitudinală), tensiunea transversală relativă (compresia), unde d - diametrul tijei. Deformațiile e și e " au întotdeauna semne diferite, unde m este un factor pozitiv în funcție de proprietățile materialului, numit raportul lui Poisson.

Robert Hooke a descoperit experimental că pentru deformații mici, alungirea e și efortul s sunt direct proporționale între ele:, unde coeficientul de proporționalitate E- Modulul lui Young.

Modulul Young este determinat de efortul care provoacă o alungire unitară. Atunci legea lui Hooke se poate scrie asa , Unde k- coeficient de elasticitate: alungirea tijei sub deformare elastica este proportionala cu forta care actioneaza asupra tijei. Energia potențială a unei tije întinse elastic (comprimate). Deformațiile solidelor respectă legea lui Hooke numai pentru deformațiile elastice. Relația dintre deformare și stres este reprezentată ca diagrame de stres(fig. 35). Din figură se poate observa că dependența liniară s (e), stabilită de Hooke, este îndeplinită numai în limite foarte înguste până la așa-numita limită de proporționalitate (s p). Cu o creștere suplimentară a tensiunii, deformația este încă elastică (deși dependența s (e) nu mai este liniară) și nu apar deformații reziduale până la limita elastică (s y). Deformațiile reziduale apar în corp dincolo de limita elastică, iar graficul care descrie revenirea corpului la starea inițială după încetarea acțiunii forței nu este afișat sub formă de curbă. In si paralel cu el - CF. Tensiunea la care apare o deformare permanenta vizibila (~ = 0,2%) se numeste limita de curgere (s t) - punct CU pe curbă. În zona CD deformarea crește fără a crește stresul, adică corpul „curge”, așa cum ar fi. Această zonă se numește zonă de curgere (sau zonă de deformare plastică). Materialele pentru care regiunea de producție este semnificativă sunt numite vâscoase, pentru care practic lipsește - fragile. Cu întindere suplimentară (pe punct D) are loc distrugerea corpului. Stresul maxim care apare în organism înainte de eșec este forța finală (s p).

Cursul 4. Elemente de mecanică a continuului

Luați în considerare mișcarea unui fluid ideal - un mediu continuu a cărui compresibilitate și vâscozitate pot fi neglijate. Să selectăm un anumit volum în el, în câteva puncte din care sunt determinați vectorii vitezei de mișcare a particulelor lichide în momentul de timp. Dacă imaginea câmpului vectorial rămâne neschimbată în timp, atunci o astfel de mișcare a fluidului se numește stare de echilibru. În acest caz, traiectoriile particulelor sunt linii continue și care nu se intersectează. Ei sunt numiti, cunoscuti fluidizează , și volumul de lichid, limitat de linii, tub de curent (Figura 4.1).

Deoarece particulele de lichid nu traversează suprafața unui astfel de tub, acesta poate fi considerat ca un tub adevărat cu pereți fixați pentru lichid. Să selectăm în tubul de flux secțiuni arbitrare și perpendiculare pe direcția vitezei particulelor în secțiuni și, respectiv (Figura 4.1).

Pentru o perioadă scurtă de timp, prin aceste secțiuni curg volume de lichid

. (4.1)

Deci lichidul este incompresibil și. Și apoi, pentru orice secțiune a tubului de flux, egalitatea

. (4.2)

Figura 4.1

Se numește ecuația de continuitate a jetului. În conformitate cu (4.2), unde secțiunea transversală este mai mică, debitul fluidului este mai mare și invers.

ecuația lui Bernoulli.Fie ca secțiunile considerate ale tubului de curgere ale unui fluid ideal să fie mici, astfel încât valorile vitezei și presiunii din ele să poată fi considerate constante, de exemplu. și, în secțiune și, în (Fig. 4.2).

Când fluidul se mișcă într-o perioadă scurtă de timp, secțiunea se va deplasa în poziția care a depășit calea, iar secțiunea se va muta în poziția care a trecut. Volumul de lichid închis între secțiuni și datorită ecuației de continuitate va fi

este egal cu volumul de lichid continut in interval

Orez. 4.2 între și. Tubul are o oarecare pantă

și centrele secțiunilor sale și sunt la înălțimi și deasupra unui anumit

nivel orizontal. Ținând cont de faptul că și, modificarea energiei totale a masei de lichid selectate situată la momentul inițial între secțiuni și poate fi reprezentată sub forma

. (4.3)

Această schimbare, conform legii conservării energiei, se datorează muncii forțelor externe. În acest caz, acestea sunt forțele de presiune și, respectiv, care acționează asupra secțiunilor și, unde sunt presiunile corespunzătoare. Pentru orice secțiune a tubului curent

, (4.4)

unde este densitatea fluidului Egalitatea (4.4) exprimă legea fundamentală a hidrodinamicii, care este numită și ecuația Bernoulli după numele omului de știință care a primit-o pentru prima dată.

Presiunea în fluxul de fluid.De remarcat că în expresia (4.4) toți termenii au dimensiunea presiunii și se numesc în consecință: - dinamic, - hidrostatic sau greutate, - presiune statică, iar suma lor este presiunea totală. Ținând cont de acest lucru, relația (4.4) poate fi exprimată în cuvinte: într-un flux staționar al unui fluid ideal, presiunea totală în orice secțiune a tubului de curent (în limita curgerii) este o valoare constantă, iar debitul

. (4.5)

Curgerea lichidului din orificiu.Lăsați orificiul situat lângă fundul vasului umplut cu lichid să fie deschis (Fig. 4.3). Să selectăm un tub de flux cu secțiuni transversale - la nivelul suprafeței deschise a lichidului din vas; - la nivelul găurii -. Pentru ei, ecuația Bernoulli are forma

. (4.6)

Aici, unde este presiunea atmosferică. Prin urmare, din (4.6) avem

(4.7)

Dacă, atunci un membru poate fi

Orez. 4.3 neglijat. Apoi din (4.7) obținem

În consecință, viteza de curgere a fluidului va fi egală cu:

, (4.8)

Unde. Formula (4.8) a fost obținută pentru prima dată de Torricelli și îi poartă numele. Într-o perioadă scurtă de timp, un volum de lichid curge din vas. Masa corespunzătoare, unde este densitatea lichidului. Ea are impuls. În consecință, vasul transmite acest impuls masei care curge, adică. actioneaza cu forta

Conform celei de-a treia legi a lui Newton, o forță va acționa asupra navei, adică.

. (4.9)

Aici este forța de reacție a fluidului care curge. Dacă vasul se află pe un cărucior, atunci sub acțiunea forței va începe să se miște, ceea ce se numește mișcare reactivă.

Curgeri laminare și turbulente. Viscozitate.Curgerea unui lichid, în care fiecare dintre straturile sale alunecă față de alte straturi similare și nu există amestecare, se numeștelaminare sau stratificate... Dacă în interiorul lichidului se formează vârtejuri și straturile sunt amestecate intens, atunci un astfel de flux se numește turbulent.

Fluxul constant (staționar) al unui fluid ideal este laminar cu orice viteză. În fluidele reale, între straturi apar forțe de frecare internă, adică. fluidele reale sunt vâscoase. Prin urmare, fiecare dintre straturi încetinește mișcarea stratului adiacent. Mărimea forței de frecare internă este proporțională cu aria de contact a straturilor și cu gradientul de viteză, adică

, (4.10)

unde este coeficientul de proporționalitate, numit coeficient de vâscozitate. Unitatea sa este (Pascal-secunda). Vâscozitatea depinde de tipul de lichid și de temperatură. Pe măsură ce temperatura crește, vâscozitatea scade.

Dacă forța de frecare internă este mică și debitul este mic, atunci mișcarea este practic laminară. La forțe mari de frecare internă, natura stratificată a fluxului este perturbată, începe amestecarea intensivă, adică. are loc o trecere la turbulență. Condițiile pentru această tranziție în fluxul de lichid prin conducte sunt determinate de valoare cr a sunat numărul Reynolds

, (4.11)

unde este densitatea lichidului, este viteza medie a curgerii pe secțiunea conductei și este diametrul conductei. Experimentele arată că atunci când fluxul este laminar, atunci când devine turbulent. Pentru conductele cu o secțiune transversală circulară de rază, numărul Reynolds. Efectul vâscozității duce la faptul că, la viteza de curgere printr-o țeavă cu secțiune transversală circulară, diferite straturi sunt diferite. Se determină valoarea medie a acestuiaprin formula Poiseuille

, (4.12)

unde este raza conductei, () este diferența de presiune la capetele conductei, este lungimea acesteia.

Efectul vâscozității este detectat și atunci când fluxul interacționează cu un corp staționar. De obicei, în conformitate cu principiul mecanic al relativității, se ia în considerare problema inversă, de exemplu, Stokes s-a constatat că la, o forță de frecare acționează asupra unei bile care se mișcă într-un lichid

, (4.13)

unde r - raza mingii, - viteza de deplasare a acesteia. Formula Stokes (4.13) într-o practică de laborator se utilizează pentru determinarea coeficientului de vâscozitate al lichidelor.

Oscilații și unde

Mișcarea oscilativă, sau pur și simplu oscilația, este o mișcare caracterizată printr-unul sau altul grad de repetare în timp a valorilor mărimilor fizice care determină această mișcare. Întâlnim oscilații în studiul unei mari varietăți de fenomene fizice: sunet, lumină, curenți alternativi, unde radio, balansarea unui pendul etc. În ciuda varietății mari de procese oscilatorii, toate apar conform unor legi comune pentru ele. Cea mai simplă dintre ele este mișcarea oscilativă armonică. Mișcarea oscilativă se numește armonică dacă modificarea mărimii fizice NS (deplasarea) are loc conform legii cosinusului (sau sinusului).

, (4.14)

unde valoarea A - egală cu deplasarea maximă NS a sistemului din poziția de echilibru, se numește amplitudinea oscilației, (, determină mărimea deplasării x la un moment dat și se numește faza oscilației. egal cu numărul de oscilații complete care au loc în timpul s .

O perioadă este timpul unui desfășurare completă. Este legată de frecvența ciclică prin următoarea relație

. (4.15)

Evident, frecvența liniară (numărul de oscilații pe unitatea de timp) este legată de perioadă T în felul următor

(4.16)

Unitatea de frecvență este frecvența unei astfel de oscilații, a cărei perioadă este de 1 s. Această unitate se numește Hertz (Hz). Frecvența la 10 3 Hz se numește kiloherți (kHz), la 10 6 Hz, megaherți (MHz).

Mișcarea oscilativă se caracterizează nu numai prin deplasare NS, dar și cu viteză și accelerație A. Valorile acestora pot fi determinate din expresia (4.14).

Diferențiând (4.14) în funcție de timp, obținem formula vitezei

. (4.17)

După cum se poate observa din (4.17), viteza se modifică de asemenea conform legii armonice, iar amplitudinea vitezei este egală cu. Dintr-o comparație a (4.14) și (4.17) rezultă că viteza este înaintea deplasării de fază cu.

Diferențiând (4.14) din nou în timp, găsim o expresie pentru accelerație

. (4.18)

După cum rezultă din (4.14) și (4.18), accelerația și deplasarea sunt în antifază. Aceasta înseamnă că în momentul în care deplasarea atinge cea mai mare valoare pozitivă, accelerația atinge cea mai mare valoare negativă și invers.

Ecuația valului care călătorește cu avionul

Ecuația undelorse numește o expresie care descrie capulși Simplitatea deplasării unei particule oscilante din coordonate și timp:

. (4.20)

Punctele situate în plan să oscileze conform legii. Oscilații ale particulelor mediului într-un punct (Figura 4.4) situat la distanță eu sunt de la sursa oscilaţiilor se vor produce conform aceleiaşi A în joc, dar va rămâne în urmă cu fluctuațiile surseiși ka on (unde este viteza de propagare a undei). Ecuația pentru vibrația acestor particule este: (4.20)

Figura 4.4

Deoarece punctul a fost ales arbitrar, ecuația (5.7) vă permite să determinați oricând deplasarea oricărui punct al mediului implicat în procesul oscilator, de aceea se numeșteecuația avionului care se deplasează în eu noi. În cazul general, are forma:

(4.21)

unde este amplitudinea undei; - faza undei plane; frecvența undă ciclică; faza inițială a oscilației a niy.

Înlocuind în ecuația (4.21) expresiile pentru viteza () și frecvența ciclică (), n vom primi:

(4.22)

Dacă introducem un număr de undă, atunci ecuația unei unde plane poate fi scrisă sub forma:

. (4.23)

Viteza în aceste ecuații este ck O rata de mișcare a fazei undei și se numeșteviteza de fază... Într-adevăr, lăsați faza să fie constantă în procesul undei... Pentru a găsi viteza mișcării sale, împărțim expresia pentru fază și diferențiem după timp e ni. Primim:

Unde.

Val în picioare. Dacă mai multe unde se propagă simultan în mediu, atunciprincipiul suprapunerii (suprapunerea): la a unda de așteptare se comportă ca și cum alte valuri ar fi absente, iar rezultatul NS deplasarea particulelor mediului în orice moment de timp este egală cu suma geometrică a deplasărilor care se obțin prin frecvențăși participând la fiecare dintre componentele proceselor ondulatorii cu bufniţe.

De mare interes practic este suprapunerea a două unde plane

Și, (4,24)

cu aceleași frecvențe și amplitudini, propagăndu-se unul spre celălalt de-a lungul axei. Adăugând aceste ecuații, n O obţinem ecuaţia undei rezultate, numită val în picioare (4,25)

Tabelul 4.1

Într-un val călător	Într-un val staționar
Amplitudinea vibrației
Toate punctele mediului fluctuează la fel yi amp si tud ami	Toate punctele mediului fluctuează cu diferite a m cu plăci
Faza de oscilație
Faza de oscilație depinde de coordonată.și punctul măsurat	Toate punctele dintre două noduri vibreazăîn aceeași fază e ... La trecerea prin nod, numărul de faze e bania se schimba in.
Transfer de energie
Energia mișcării vibraționale este transferată în direcția de distribuție O valuri rătăcitoare.	Nu există transfer de energie, doar în limite există transformări reciproce de energie.

În punctele mediului, unde ampși acolo undele devin zero (). Aceste puncte sunt numite noduri () val staționar. Coordonatele nodurilor.

Distanța dintre două noduri adiacente (sau între două s O antinoduri şa), numitelungimea undei staționare,egală cu jumătate din lungimea alergării ea face cu mâna ... Astfel, atunci când se adaugă două unde de călătorie, se formează o undă staționară, ale cărei noduri și antinoduri sunt tot timpul în aceleași locuri.

Caracteristicile undelor calatorii și staționare sunt prezentate în Tabelul 5.1.

Principal 1 , 5 . 6

Adăuga. 18, 22 [25-44]

Întrebări de control:

Principal optsprezece .

Întrebări de control:

1. Poate fi presiunea aceeași în două puncte situate la niveluri diferite într-un tub conic oblic instalat prin care curge un fluid ideal?

2. De ce fluxul de lichid care curge din orificiu este din ce în ce mai comprimat pe măsură ce se îndepărtează de orificiu?

3.Cum sunt legate fazele oscilațiilor de accelerație și deplasare cu oscilațiile armonice?

Starea mișcării fluidului poate fi determinată prin specificarea pentru fiecare punct din spațiu a vectorului viteză în funcție de timp.

Setul de vectori specificati pentru toate punctele din spațiu formează câmpul vectorului viteză, care poate fi reprezentat după cum urmează. Să trasăm linii într-un fluid în mișcare, astfel încât tangenta la ele în fiecare punct să coincidă în direcția vectorului (Figura 7.1). Aceste linii se numesc streamlines. Să fim de acord să desenăm linii de curgere astfel încât densitatea lor (raportul dintre numărul de linii și dimensiunea zonei perpendiculare pe ele, prin care trec) să fie proporțională cu mărimea vitezei într-un loc dat. Apoi, după modelul liniilor de curgere, va fi posibil să se judece nu numai direcția, ci și mărimea vectorului în diferite puncte din spațiu: acolo unde viteza este mai mare, liniile de curent vor fi mai dense.

Numărul de linii de curgere care trec prin amplasament perpendicular pe liniile de curgere este egal, dacă amplasamentul este orientat arbitrar față de liniile de curgere, numărul de linii de curgere este, unde este unghiul dintre direcția vectorului și normala față de amplasament. Notația este adesea folosită. Numărul de linii de curgere printr-o zonă de dimensiuni finite este determinat de integrală:. O integrală de acest fel se numește flux vectorial prin platformă.

Mărimea și direcția vectorului se modifică în timp, prin urmare, modelul liniilor nu rămâne constant. Dacă în fiecare punct al spațiului vectorul viteză rămâne constant în mărime și direcție, atunci fluxul se numește constant sau staționar. Într-un flux staționar, orice particulă lichidă trece printr-un punct dat din spațiu cu aceeași viteză. Modelul de fluidizare în acest caz nu se schimbă, iar liniile de fluidizare coincid cu traiectoriile particulelor.

Se consideră câmpul vectorului viteză al unui fluid continuu incompresibil. Curgerea vectorului viteză printr-o anumită suprafață este egal cu volumul de lichid care curge prin această suprafață pe unitatea de timp. Să construim o suprafață închisă imaginară S în vecinătatea punctului P (Fig. 7.2). Dacă în volumul V, limitat de suprafață, lichidul nu apare și nu dispare, atunci fluxul spre exterior prin suprafață va fi egal cu zero. O diferență de debit față de zero va indica faptul că există surse sau chiuvete de lichid în interiorul suprafeței, adică puncte în care lichidul intră în volum (surse) sau este îndepărtat din volum (chiuvete).Debitul determină puterea totală a surselor și chiuvete. Cu predominanța surselor asupra efluenților, debitul este pozitiv, cu predominanța efluenților – negativ.

Coeficientul de împărțire a debitului la volumul din care curge debitul este puterea specifică medie a surselor închise în volumul V. Cu cât este mai mic volumul V, care include punctul P, cu atât această valoare medie este mai apropiată de puterea specifică adevărată la acest punct. In limita la, i.e. la contractarea volumului la un punct, obținem puterea specifică adevărată a surselor în punctul P, numită divergența (divergența) vectorului:. Expresia rezultată este valabilă pentru orice vector. Integrarea se realizează pe o suprafață închisă S, limitând volumul V. Divergența este determinată de comportamentul unei funcții vectoriale lângă punctul P. Divergența este o funcție scalară de coordonate care determină poziția punctului P în spațiu.

Să găsim o expresie pentru divergența în sistemul de coordonate carteziene. Se consideră în vecinătatea punctului P (x, y, z) un volum mic sub forma unui paralelipiped cu muchiile paralele cu axele de coordonate (Figura 7.3). Având în vedere micimea volumului (vom tinde spre zero), valorile din cadrul fiecăreia dintre cele șase fețe ale paralelipipedului pot fi considerate neschimbate. Fluxul pe întreaga suprafață închisă este format din fluxuri care curg prin fiecare dintre cele șase fețe separat.

Să găsim curgerea printr-o pereche de fețe perpendiculare pe opritorul X din Fig. 7.3 fețele 1 și 2). Normala exterioară a feței 2 coincide cu direcția axei X. Prin urmare, curgerea prin fața 2 este egală cu. Normala are o direcție opusă axei X. Proiecțiile vectorului către axa X și normală. au semne opuse, iar curgerea prin faţa 1 este. Debitul total în direcția X este. Diferența este incrementul atunci când este decalat de-a lungul axei X cu. Datorită micimii sale, această creștere poate fi reprezentată în formă. Apoi primim. În mod similar, prin perechi de fețe perpendiculare pe axele Y și Z, fluxurile sunt egale cu și. Flux complet printr-o suprafață închisă. Împărțind această expresie la, găsim divergența vectorială în punctul P:

Cunoscând divergența vectorului în fiecare punct din spațiu, este posibil să se calculeze fluxul acestui vector prin orice suprafață de dimensiuni finite. Pentru a face acest lucru, împărțim volumul delimitat de suprafața S într-un număr infinit de elemente infinitezimale (Figura 7.4).

Pentru orice element, fluxul unui vector prin suprafața acelui element este. Însumând toate elementele, se obține curgerea prin suprafața S, limitând volumul V:, integrarea se realizează la volumul V, sau

Aceasta este teorema Ostrogradsky-Gauss. Aici este vectorul normal unitar la suprafața dS la un punct dat.

Să ne întoarcem la curgerea unui fluid incompresibil. Să desenăm un contur. Imaginați-vă că am înghețat cumva instantaneu lichidul pe întregul volum, cu excepția unui canal închis foarte subțire de secțiune transversală constantă, care include un contur (Figura 7.5). În funcție de natura curgerii, lichidul din canalul format va fi fie staționar, fie în mișcare (circulând) de-a lungul conturului într-una dintre direcțiile posibile. Ca măsură a acestei mișcări, se alege o valoare egală cu produsul dintre viteza fluidului în canal și lungimea circuitului,. Această valoare se numește circulația vectorului de-a lungul conturului (deoarece canalul are o secțiune transversală constantă și modulul de viteză nu se modifică). În momentul solidificării pereților, pentru fiecare particulă lichidă din canal se va stinge componenta de viteză perpendiculară pe perete și va rămâne doar componenta tangentă la contur. Această componentă este asociată cu un impuls, al cărui modul pentru o particulă lichidă închisă într-o secțiune de canal cu o lungime este egal cu, unde este densitatea lichidului, este secțiunea canalului. Fluidul este ideal - nu există frecare, așa că acțiunea pereților poate schimba doar direcția, valoarea acestuia va rămâne constantă. Interacțiunea dintre particulele lichidului va determina o astfel de redistribuire a impulsului între ele, care va egaliza vitezele tuturor particulelor. În acest caz, se păstrează suma algebrică a impulsurilor, deci, unde este viteza de circulație, este componenta tangențială a vitezei fluidului în volum în momentul de timp care precede solidificarea pereților. Împărțind prin, obținem.

Circulația caracterizează proprietățile câmpului, mediate pe o regiune cu dimensiuni de ordinul diametrului conturului. Pentru a obține o caracteristică a câmpului în punctul P, este necesar să se reducă dimensiunea conturului, contractându-l în punctul P. În acest caz, limita raportului circulației vectoriale de-a lungul unui contur plat contractând până la punctul P la mărimea planului conturului S este luată ca o caracteristică a câmpului:. Valoarea acestei limite depinde nu numai de proprietățile câmpului în punctul P, ci și de orientarea conturului în spațiu, care poate fi specificată prin direcția normalei pozitive față de planul conturului (normala asociată cu direcţia de parcurgere a conturului prin regula şurubului drept este considerat pozitiv). Determinând această limită pentru diferite direcții, obținem valori diferite, iar pentru direcțiile normale opuse, aceste valori diferă în semn. Pentru o anumită direcție a normalului, valoarea limitei va fi maximă. Astfel, valoarea limitei se comportă ca o proiecție a unui vector pe direcția normalei pe planul conturului de-a lungul căruia este luată circulația. Valoarea maximă a limitei determină modulul acestui vector, iar direcția normalei pozitive la care se atinge maximul dă direcția vectorului. Acest vector se numește rotorul sau vortexul vectorului:.

Pentru a găsi proiecția rotorului pe axa sistemului de coordonate carteziene, este necesar să se determine valorile limitei pentru astfel de orientări ale locului S, la care normala locului coincide cu una dintre X, Y, axele Z. Dacă, de exemplu, să direcționăm de-a lungul axei X, vom găsi. Conturul este situat în acest caz într-un plan paralel cu YZ, luăm un contur sub forma unui dreptunghi cu laturile și. La valori și pe fiecare dintre cele patru laturi, conturul poate fi considerat neschimbat. Secțiunea 1 a conturului (Figura 7.6) este opusă axei Z, prin urmare, în această secțiune coincide cu, în secțiunea 2, în secțiunea 3, în secțiunea 4. Pentru circulația de-a lungul acestui circuit, obținem valoarea:. Diferența este incrementul atunci când este compensată de-a lungul Y cu. Datorită micimii sale, acest increment poate fi reprezentat în formă.La fel, diferența. Apoi circulația de-a lungul conturului considerat,

unde este zona conturului. Împărțind circulația la, găsim proiecția rotorului pe axa X:. În mod similar,,. Atunci rotorul vectorului este determinat de expresia: +,

Cunoscând rotorul vectorului în fiecare punct al unei suprafețe S, este posibil să se calculeze circulația acestui vector de-a lungul conturului care delimitează suprafața S. Pentru a face acest lucru, împărțim suprafața în elemente foarte mici (Figura 7.7). Circulația de-a lungul conturului de delimitare este, unde este normala pozitivă a elementului. Însumând aceste expresii pe întreaga suprafață S și înlocuind expresia cu circulația, obținem. Aceasta este teorema lui Stokes.

Partea de fluid delimitată de liniile de curgere se numește tub de flux. Vectorul, fiind în fiecare punct tangent la linia de curgere, va fi tangent la suprafața tubului de curent, iar particulele de fluid nu traversează pereții tubului de curent.

Luați în considerare secțiunea transversală a tubului de curent S (Figura 7.8.), Perpendiculară pe direcția vitezei. Vom presupune că viteza particulelor lichide este aceeași în toate punctele acestei secțiuni. În timp, toate particulele a căror distanță la momentul inițial nu depășește valoarea vor trece prin secțiunea transversală S. În consecință, un volum de lichid egal cu va trece prin secțiunea S în timp, iar un volum de lichid egal cu va trece prin secțiunea S într-o unitate de timp. Presupunem că tubul de flux este atât de subțire încât viteza particulelor în fiecare dintre secțiunile sale pot fi considerate constante. Dacă fluidul este incompresibil (adică, densitatea sa este aceeași peste tot și nu se modifică), atunci cantitatea de fluid dintre secțiuni și (Figura 7.9.) va rămâne neschimbată. Apoi, volumele de lichid care curge pe unitatea de timp prin secțiuni și trebuie să fie aceleași:

Astfel, pentru un fluid incompresibil, valoarea în orice secțiune a aceluiași tub de curgere trebuie să fie aceeași:

Această afirmație se numește teorema de continuitate a jetului.

Mișcarea unui fluid ideal este descrisă de ecuația Navier-Stokes:

unde t este timpul, x, y, z sunt coordonatele particulei lichide, sunt proiecțiile forței de volum, p este presiunea și ρ este densitatea mediului. Această ecuație vă permite să determinați proiecția vitezei particulei mediului în funcție de coordonate și timp. Pentru a închide sistemul, ecuația de continuitate este adăugată la ecuația Navier-Stokes, care este o consecință a teoremei de continuitate a jetului:

Pentru a integra aceste ecuații, este necesar să se stabilească condițiile inițiale (dacă mișcarea nu este staționară) și la limită.

7.2. Presiunea din fluidul care curge. Ecuația lui Bernoulli și consecințele acesteia

Având în vedere mișcarea fluidelor, în unele cazuri se poate presupune că mișcarea unor fluide față de altele nu este asociată cu apariția forțelor de frecare. Un fluid fără frecare internă (vâscozitate) se numește ideal.

Să alegem un tub de flux de secțiune mică într-un fluid ideal care curge staționar (Fig. 7.10). Să luăm în considerare volumul lichidului delimitat de pereții tubului de flux și secțiunile și perpendicular pe liniile de curgere.În timpul, acest volum se va deplasa de-a lungul tubului de flux, iar secțiunea se va muta în poziția după ce a trecut calea, sectiunea se va muta in pozitia dupa trecerea traseului.Datorita continuitatii jetului volumele umbrite vor avea aceeasi valoare:

Energia fiecărei particule de lichid este egală cu suma energiei sale cinetice și a potențialului din câmpul gravitațional. Datorită staționării fluxului, o particulă situată după un timp în oricare dintre punctele părții neumbrite a volumului luat în considerare (de exemplu, punctul O din Fig.7.10) are aceeași viteză (și aceeași energie cinetică) ca particula care se afla în același punct la momentul inițial. Prin urmare, creșterea energiei întregului volum luat în considerare este egală cu diferența de energii a volumelor umbrite și.

Într-un fluid ideal, nu există forțe de frecare, prin urmare creșterea energiei (7.1) este egală cu munca efectuată asupra volumului alocat de forțele de presiune. Forțele de presiune pe suprafața laterală sunt perpendiculare în fiecare punct pe direcția de mișcare a particulelor și nu efectuează lucru. Munca forțelor aplicate secțiunilor este egală cu

Echivalând (7.1) și (7.2), obținem

Deoarece secțiunile și au fost luate în mod arbitrar, se poate argumenta că expresia rămâne constantă în orice secțiune a tubului curent, i.e. într-un fluid staționar care curge ideal de-a lungul oricărei linii de curgere, condiția

Aceasta este ecuația lui Bernoulli. Pentru o linie de curgere orizontală, ecuația (7.3) ia forma:

7.3 DRENAREA LICHIDULUI PE AERIS

Să aplicăm ecuația Bernoulli în cazul unei scurgeri de lichid dintr-o gaură mică dintr-un vas larg deschis. Să selectăm un tub de flux în lichid, a cărui secțiune superioară se află pe suprafața lichidului, iar cea inferioară coincide cu gaura (Fig. 7.11). În fiecare dintre aceste secțiuni, viteza și înălțimea peste un anumit nivel inițial pot fi considerate aceleași, presiunile din ambele secțiuni sunt egale cu cele atmosferice și de asemenea, viteza de mișcare a suprafeței deschise va fi considerată egală cu zero. Atunci ecuația (7.3) ia forma:

Puls

7.4 Lichid vâscos. Forțele interne de frecare

Lichid ideal, de ex. fluidul fără frecare este o abstractizare. Toate lichidele și gazele reale au mai mult sau mai puțină vâscozitate sau frecare internă.

Vâscozitatea se manifestă prin faptul că mișcarea care a apărut într-un lichid sau gaz, după încetarea acțiunii forțelor care l-au provocat, încetează treptat.

Luați în considerare două plăci paralele plasate într-un lichid (Figura 7.12). Dimensiunile liniare ale plăcilor sunt mult mai mari decât distanța dintre ele. d... Placa de jos este ținută la loc, placa de sus este mutată față de partea de jos cu unele

viteză. S-a dovedit experimental că, pentru a deplasa placa superioară cu o viteză constantă, este necesar să se acționeze asupra ei cu o forță destul de definită de mărime constantă. Placa nu primește accelerație, prin urmare, acțiunea acestei forțe este echilibrată de o forță egală cu ea ca mărime, care este forța de frecare care acționează asupra plăcii atunci când se mișcă într-un lichid. Să o notăm și o parte a lichidului care se află sub plan acționează cu o forță asupra unei părți a lichidului situată deasupra planului. Mai mult, și sunt determinate prin formula (7.4). Astfel, această formulă exprimă forța dintre straturile de lichid în contact.

S-a dovedit experimental că viteza particulelor lichide se modifică în direcția z, perpendicular pe plăci (Figura 7.6) conform legii liniare

Particulele lichide în contact direct cu plăcile par să se lipească de ele și să aibă aceeași viteză ca și plăcile în sine. Din formula (7.5) obținem

Semnul modulului din această formulă este setat din următorul motiv. Când direcția de mișcare este schimbată, derivata vitezei își schimbă semnul, în timp ce raportul este întotdeauna pozitiv. Având în vedere cele de mai sus, expresia (7.4) ia forma

Unitatea de vâscozitate cu SI este vâscozitatea la care gradientul de viteză cu modulul duce la apariția unei forțe interne de frecare de 1 N la 1m de suprafață de contact a straturilor. Această unitate se numește Pascal - secundă (Pa · s).

1 | | | |

Vizualizări