Dom » Stan » Tabela kompleksnih integrala je potpuna. Osnovne metode integracije. Integracija zbira funkcija

Tabela kompleksnih integrala je potpuna. Osnovne metode integracije. Integracija zbira funkcija

Definicija 1

Antiderivat $ F (x) $ za funkciju $ y = f (x) $ na segmentu $$ je funkcija koja je diferencibilna u svakoj tački ovog segmenta i za njen izvod vrijedi sljedeća jednakost:

Definicija 2

Skup svih antiderivata date funkcije $ y = f (x) $, definisanih na određenom intervalu, naziva se neodređenim integralom date funkcije $ y = f (x) $. Neodređeni integral je označen simbolom $ \ int f (x) dx $.

Iz tabele izvoda i definicije 2 dobijamo tabelu osnovnih integrala.

Primjer 1

Provjerite valjanost formule 7 iz tabele integrala:

\ [\ int tgxdx = - \ ln | \ cos x | + C, \, \, C = konst. \]

Razlikujemo desnu stranu: $ - \ ln | \ cos x | + C $.

\ [\ lijevo (- \ ln | \ cos x | + C \ desno) "= - \ frac (1) (\ cos x) \ cdot (- \ sin x) = \ frac (\ sin x) (\ cos x) = tgx \]

Primjer 2

Provjerite valjanost formule 8 iz tabele integrala:

\ [\ int ctgxdx = \ ln | \ sin x | + C, \, \, C = konst. \]

Razlikujemo desnu stranu: $ \ ln | \ sin x | + C $.

\ [\ lijevo (\ ln | \ sin x | \ desno) "= \ frac (1) (\ sin x) \ cdot \ cos x = ctgx \]

Pokazalo se da je derivacija jednaka integrandu. Dakle, formula je ispravna.

Primjer 3

Provjerite valjanost formule 11 "iz tablice integrala:

\ [\ int \ frac (dx) (a ^ (2) + x ^ (2)) = \ frac (1) (a) arctg \ frac (x) (a) + C, \, \, C = const \]

Razlikujemo desnu stranu: $ \ frac (1) (a) arctg \ frac (x) (a) + C $.

\ [\ lijevo (\ frac (1) (a) arctg \ frac (x) (a) + C \ desno) "= \ frac (1) (a) \ cdot \ frac (1) (1+ \ lijevo ( \ frac (x) (a) \ desno) ^ (2)) \ cdot \ frac (1) (a) = \ frac (1) (a ^ (2)) \ cdot \ frac (a ^ (2)) (a ^ (2) + x ^ (2)) \]

Pokazalo se da je derivacija jednaka integrandu. Dakle, formula je ispravna.

Primjer 4

Provjerite valjanost formule 12 iz tabele integrala:

\ [\ int \ frac (dx) (a ^ (2) -x ^ (2)) = \ frac (1) (2a) \ ln \ lijevo | \ frac (a + x) (ax) \ desno | + C, \, \, C = konst. \]

Razlikujemo desnu stranu: $ \ frac (1) (2a) \ ln \ lijevo | \ frac (a + x) (a-x) \ desno | + C $.

$ \ lijevo (\ frac (1) (2a) \ ln \ lijevo | \ frac (a + x) (ax) \ desno | + C \ desno) "= \ frac (1) (2a) \ cdot \ frac ( 1) (\ frac (a + x) (ax)) \ cdot \ lijevo (\ frac (a + x) (ax) \ desno) "= \ frac (1) (2a) \ cdot \ frac (ax) ( a + x) \ cdot \ frac (ax + a + x) ((ax) ^ (2)) = \ frac (1) (2a) \ cdot \ frac (ax) (a + x) \ cdot \ frac ( 2a) ((ax) ^ (2)) = \ frac (1) (a ^ (2) -x ^ (2)) $ Izvod je jednak integrandu. Dakle, formula je ispravna.

Primjer 5

Provjerite valjanost formule 13 "iz tablice integrala:

\ [\ int \ frac (dx) (\ sqrt (a ^ (2) -x ^ (2))) = \ arcsin \ frac (x) (a) + C, \, \, C = const. \]

Razlikujemo desnu stranu: $ \ arcsin \ frac (x) (a) + C $.

\ [\ lijevo (\ arcsin \ frac (x) (a) + C \ desno) "= \ frac (1) (\ sqrt (1- \ lijevo (\ frac (x) (a) \ desno) ^ (2) ))) \ cdot \ frac (1) (a) = \ frac (a) (\ sqrt (a ^ (2) -x ^ (2))) \ cdot \ frac (1) (a) = \ frac ( 1) (\ sqrt (a ^ (2) -x ^ (2))) \]

Pokazalo se da je derivacija jednaka integrandu. Dakle, formula je ispravna.

Primjer 6

Provjerite valjanost formule 14 iz tabele integrala:

\ [\ int \ frac (dx) (\ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) = \ ln | x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2)) | + C, \, \, C = konst. \]

Razlikujemo desnu stranu: $ \ ln | x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2)) | + C $.

\ [\ lijevo (\ ln | x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2)) | + C \ desno) "= \ frac (1) (x + \ sqrt (x ^ (2)) \ pm a ^ (2))) \ cdot \ lijevo (x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2)) \ desno) "= \ frac (1) (x + \ sqrt (x ^) (2) \ pm a ^ (2))) \ cdot \ lijevo (1+ \ frac (1) (2 \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2)))) \ cdot 2x \ desno) = \] \ [ = \ frac (1) (x + \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) \ cdot \ frac (\ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2) ) + x) ( \ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) = \ frac (1) (\ sqrt (x ^ (2) \ pm a ^ (2))) \]

Pokazalo se da je derivacija jednaka integrandu. Dakle, formula je ispravna.

Primjer 7

Pronađite integral:

\ [\ int \ lijevo (\ cos (3x + 2) + 5x \ desno) dx. \]

Koristimo teoremu o integralu sume:

\ [\ int \ lijevo (\ cos (3x + 2) + 5x \ desno) dx = \ int \ cos (3x + 2) dx + \ int 5xdx. \]

Koristimo teoremu o uzimanju konstantnog faktora iz predznaka integrala:

\ [\ int \ cos (3x + 2) dx + \ int 5xdx = \ int \ cos (3x + 2) dx +5 \ int xdx. \]

Prema tabeli integrala:

\ [\ int \ cos x dx = \ sin x + C; \] \ [\ int xdx = \ frac (x ^ (2)) (2) + C. \]

Prilikom izračunavanja prvog integrala koristimo pravilo 3:

\ [\ int \ cos (3x + 2) dx = \ frac (1) (3) \ sin (3x + 2) + C_ (1). \]

dakle,

\ [\ int \ lijevo (\ cos (3x + 2) + 5x \ desno) dx = \ frac (1) (3) \ sin (3x + 2) + C_ (1) + \ frac (5x ^ (2) ) (2) + C_ (2) = \ frac (1) (3) \ sin (3x + 2) + \ frac (5x ^ (2)) (2) + C, \, \, C = C_ (1 ) + C_ (2) \]

Direktna integracija korištenjem tablica antiderivata (neograničenih integralnih tablica)

Tabela antiderivata

Antiderivat u odnosu na poznati diferencijal funkcije možemo pronaći ako koristimo svojstva neodređenog integrala. Iz tabele osnovnih elementarnih funkcija, koristeći jednakosti ∫ d F (x) = ∫ F "(x) dx = ∫ f (x) dx = F (x) + C i ∫ k f (x) dx = k ∫ f (x) dx možete kreirati tabelu antiderivata.

Napišimo tablicu derivacija u obliku diferencijala.

Konstanta y = C

C "= 0

Funkcija snage y = x p.

(x p) "= p x p - 1

Konstanta y = C

d (C) = 0 d x

Funkcija snage y = x p.

d (x p) = p x p - 1 d x

(a x) "= a x · ln a

Eksponencijalna funkcija y = a x.

d (a x) = a x ln α d x

Konkretno, za a = e imamo y = e x

d (e x) = e x d x

log a x "= 1 x · ln a

Logaritamske funkcije y = log a x.

d (log a x) = d x x ln a

Konkretno, za a = e imamo y = ln x

d (ln x) = d x x

Trigonometrijske funkcije.

sin x "= cos x (cos x)" = - sin x (t g x) "= 1 c o s 2 x (c t g x)" = - 1 sin 2 x

Trigonometrijske funkcije.

d sin x = cos x d x d (cos x) = - sin x d x d (t g x) = d x c o s 2 x d (c t g x) = - d x sin 2 x

a r c sin x "= 1 1 - x 2 a r c cos x" = - 1 1 - x 2 a r c t g x "= 1 1 + x 2 a r c c t g x" = - 1 1 + x 2

Inverzne trigonometrijske funkcije.

d a r c sin x = d x 1 - x 2 d a r c cos x = - d x 1 - x 2 d a r c t g x = d x 1 + x 2 d a r c c t g x = - d x 1 + x 2

Ilustrirajmo gore navedeno primjerom. Naći neodređeni integral funkcije stepena f (x) = x p.

Prema tabeli diferencijala d (x p) = p x p - 1 d x. Prema svojstvima neodređenog integrala, imamo ∫ d (x p) = ∫ p x p - 1 d x = p ∫ x p - 1 d x = x p + C. Dakle, ∫ xp - 1 dx = xpp + C p, p ≠ 0. Druga verzija notacije je sljedeća: ∫ xp dx = xp + 1 p + 1 + C p + 1 = xp + 1 p + 1 + C 1, p ≠ - 1.

Neka je jednako - 1, pronađite skup antiderivata funkcije stepena f (x) = x p: ∫ x p d x = ∫ x - 1 d x = ∫ d x x.

Sada nam je potrebna tabela diferencijala za prirodni logaritam d (ln x) = d x x, x> 0, dakle ∫ d (ln x) = ∫ d x x = ln x. Dakle, ∫ d x x = ln x, x> 0.

Tabela antiderivata (neodređenih integrala).

Lijeva kolona tabele sadrži formule koje se nazivaju osnovnim antiderivacijama. U desnom stupcu formule nisu osnovne, ali se mogu koristiti za pronalaženje neodređenih integrala. Mogu se provjeriti diferencijacijom.

Direktna integracija

Za direktnu integraciju koristićemo tabele antiderivata, pravila integracije ∫ f (k x + b) dx = 1 k F (k x + b) + C, kao i svojstva neodređenih integrala ∫ k f (x) dx = k ∫ f (x) dx ∫ (f (x) ± g (x)) dx = ∫ f (x) dx ± ∫ g (x) dx

Tabela osnovnih integrala i svojstva integrala mogu se koristiti samo nakon neznatne transformacije integrala.

Primjer 1

Naći integral ∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x

Rješenje

Izvlačimo koeficijent 3 ispod predznaka integrala:

∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 d x

Koristeći trigonometrijske formule, transformiramo integrand:

3 ∫ sin x 2 + cos x 2 2 dx = 3 ∫ sin x 2 2 + 2 sin x 2 cos x 2 + cos x 2 2 dx = = 3 ∫ 1 + 2 sin x 2 cos x 2 dx = 3 ∫ 1 + sin xdx

Pošto je integral zbira jednak zbiru integrala, onda
3 ∫ 1 + sin x d x = 3 ∫ 1 d x + ∫ sin x d x

Koristimo podatke iz tabele antiderivata: 3 ∫ 1 dx + ∫ sin xdx = 3 (1 x + C 1 - cos x + C 2) = = p u s tʹ 3 S 1 + S 2 = S = 3 x - 3 cos x + C

odgovor:∫ 3 sin x 2 + cos x 2 2 d x = 3 x - 3 cos x + C.

Primjer 2

Potrebno je pronaći skup antiderivata funkcije f (x) = 2 3 4 x - 7.

Rješenje

Koristimo tabelu antiderivata za eksponencijalnu funkciju: ∫ a x · d x = a x ln a + C. To znači da je ∫ 2 x d x = 2 x ln 2 + C.

Koristimo pravilo integracije ∫ f (k x + b) d x = 1 k F (k x + b) + C.

Dobijamo ∫ 2 3 4 x - 7 d x = 1 3 4 2 3 4 x - 7 ln 2 + C = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C.

Odgovor: f (x) = 2 3 4 x - 7 = 4 3 2 3 4 x - 7 ln 2 + C

Koristeći tabelu antiderivata, svojstva i pravilo integracije, možemo pronaći mnogo neodređenih integrala. Ovo je moguće kada se integrand može transformirati.

Za pronalaženje integrala logaritamske funkcije, tangentne i kotangensne funkcije i niza drugih koriste se posebne metode koje ćemo razmotriti u odjeljku "Osnovne metode integracije".

Ako primijetite grešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter

Integracija je jedna od osnovnih operacija u računanju. Tabele dobro poznatih antiderivata mogu biti korisne, ali sada, nakon pojave sistema kompjuterske algebre, gube na značaju. Ispod je lista najčešćih antiderivata.

Tabela osnovnih integrala

Druga, kompaktna opcija

Integralna tablica trigonometrijskih funkcija

Od racionalnih funkcija

Od iracionalnih funkcija

Integrali transcendentalnih funkcija

"C" je proizvoljna konstanta integracije, koja se određuje ako je poznata vrijednost integrala u bilo kojoj tački. Svaka funkcija ima beskonačan broj antiderivata.

Većina školaraca i studenata ima problema s računanjem integrala. Ova stranica sadrži integralne tabele od trigonometrijskih, racionalnih, iracionalnih i transcendentalnih funkcija za pomoć u rješavanju. To će vam također pomoći tabela derivata.

Video - kako pronaći integrale

Ako ne razumijete ovu temu, pogledajte video, koji sve detaljno objašnjava.

Navodimo integrale elementarnih funkcija, koji se ponekad nazivaju tabelarnim:

Bilo koja od gornjih formula može se dokazati uzimanjem derivacije desne strane (kao rezultat će se dobiti integrand).

Metode integracije

Pogledajmo neke od glavnih metoda integracije. To uključuje:

1. Metoda razlaganja(direktnu integraciju).

Ova metoda se zasniva na direktnoj primjeni tabelarnih integrala, kao i na primjeni svojstava 4 i 5 neodređenog integrala (tj. uzimanja konstantnog faktora i/ili predstavljanja integrala kao sume funkcija - proširenje integrand u pojmove).

Primjer 1. Na primjer, da biste pronašli (dx / x 4), možete direktno koristiti tablični integral za x n dx. Zaista,  (dx / x 4) = x -4 dx = x -3 / (- 3) + C = -1 / 3x 3 + C.

Primjer 2. Za pronalaženje koristimo isti integral:

Primjer 3. Da biste pronašli, morate uzeti

Primjer 4. Da bismo pronašli, predstavljamo integrand u obliku i koristite tabelarni integral za eksponencijalnu funkciju:

Razmislite o korištenju konstantnog faktora izvan zagrade.

Primjer 5.Nađimo npr ... S obzirom na to, dobijamo

Primjer 6. Naći ćemo ga. Ukoliko , koristimo integral tablice Dobijamo

Također možete koristiti zagrade i integrale tablice u sljedeća dva primjera:

Primjer 7.

(koristite i );

Primjer 8.

(koristiti i ).

Pogledajmo složenije primjere koristeći integral zbira.

Primjer 9. Na primjer, hajde da pronađemo
... Da bismo primijenili metodu proširenja u brojiocu, koristimo formulu za kocku zbira , a zatim podijelimo rezultirajući polinom sa nazivnikom.

=  ((8x 3/2 + 12x + 6x 1/2 + 1) / (x 3/2)) dx =  (8 + 12x -1/2 + 6 / x + x -3/2) dx = 8 dx + 12x -1/2 dx + + 6dx / x + x -3/2 dx =

Treba napomenuti da je na kraju rješenja upisana jedna zajednička konstanta C (a ne odvojena pri integraciji svakog člana). U budućnosti se također predlaže da se u procesu rješavanja izostave konstante iz integracije pojedinačnih članova sve dok izraz sadrži barem jedan neodređeni integral (jednu konstantu ćemo napisati na kraju rješenja).

Primjer 10. Nađi ... Da bismo riješili ovaj problem, rastavljamo brojilac (nakon toga ćemo moći smanjiti imenilac).

Primjer 11. Naći ćemo ga. Ovdje se mogu koristiti trigonometrijski identiteti.

Ponekad, da biste rastavili izraz na termine, morate koristiti složenije tehnike.

Primjer 12. Nađi ... U integrandu odaberite cijeli broj razlomka ... Onda

Primjer 13. Nađi

2. Metoda zamjene varijable (metoda zamjene)

Metoda se zasniva na sljedećoj formuli: f (x) dx = f ( (t)) ` (t) dt, gdje je x =  (t) funkcija diferencibilna na intervalu koji se razmatra.

Dokaz. Nađimo izvode u odnosu na varijablu t lijeve i desne strane formule.

Imajte na umu da se na lijevoj strani nalazi kompleksna funkcija, čiji je međuargument x =  (t). Stoga, da bismo ga diferencirali u odnosu na t, prvo diferenciramo integral s obzirom na x, a zatim uzimamo derivaciju međuargumenata u odnosu na t.

( f (x) dx) `t = ( f (x) dx)` x * x` t = f (x) ` (t)

Izvedeno sa desne strane:

(f ( (t)) ` (t) dt) `t = f ( (t)) ` (t) = f (x) ` (t)

Budući da su ovi izvodi jednaki, prema posljedicama Lagrangeove teoreme, lijeva i desna strana formule koja se dokazuje razlikuju se za neku konstantu. Pošto su sami neodređeni integrali definisani do neodređenog konstantnog člana, navedena konstanta u konačnoj notaciji može biti izostavljena. Dokazan.

Uspješnom izmjenom varijable moguće je pojednostaviti originalni integral, au najjednostavnijim slučajevima svesti ga na tabelarni. U primjeni ove metode pravi se razlika između metoda linearne i nelinearne zamjene.

a) Metoda linearne supstitucije Razmotrimo primjer.

Primjer 1.
... Neka je t = 1 - 2x, onda

dx = d (½ - ½t) = - ½dt

Treba napomenuti da nova varijabla ne mora biti eksplicitno ispisana. U takvim slučajevima se govori o transformaciji funkcije pod diferencijalnim predznakom ili o uvođenju konstanti i varijabli pod diferencijalnim predznakom, tj. O implicitna zamjena varijable.

Primjer 2. Na primjer, pronađite cos (3x + 2) dx. Po svojstvima diferencijala dx = (1/3) d (3x) = (1/3) d (3x + 2), tada je cos (3x + 2) dx =  (1/3) cos (3x + 2) ) d (3x + + 2) = (1/3) cos (3x + 2) d (3x + 2) = (1/3) sin (3x + 2) + C.

U oba razmatrana primjera, linearna supstitucija t = kx + b (k0) korištena je za pronalaženje integrala.

U opštem slučaju, tačna je sledeća teorema.

Teorema linearne zamjene... Neka je F (x) neki antiderivat za funkciju f (x). Tada je f (kx + b) dx = (1 / k) F (kx + b) + C, gdje su k i b neke konstante, k0.

Dokaz.

Po definiciji integrala, f (kx + b) d (kx + b) = F (kx + b) + C. Hod (kx + b) = (kx + b) `dx = kdx. Izbacite konstantni faktor k za predznak integrala: kf (kx + b) dx = F (kx + b) + C. Sada možemo podijeliti lijevu i desnu stranu jednakosti na k i dobiti tvrdnju koja je dokazana do notacije konstantnog člana.

Ova teorema tvrdi da ako se izraz (kx + b) zameni u definiciju integrala f (x) dx = F (x) + C umjesto argumenta x, onda će to dovesti do pojave dodatnog faktora 1 / k ispred antiderivata.

Koristeći dokazanu teoremu rješavamo sljedeće primjere.

Primjer 3.

Nađi ... Ovdje je kx + b = 3 –x, odnosno k = -1, b = 3. Tada

Primjer 4.

Naći ćemo ga. Ovdje je kx + b = 4x + 3, tj. k = 4, b = 3. Tada je

Primjer 5.

Nađi ... Ovdje je kx + b = -2x + 7, tj. k = -2, b = 7. Tada

Primjer 6. Nađi
... Ovdje je kx + b = 2x + 0, tj. k = 2, b = 0.

Uporedimo ovaj rezultat sa Primjerom 8, koji je riješen metodom dekompozicije. Rješavajući isti problem drugom metodom, dobili smo odgovor
... Uporedimo dobijene rezultate: Dakle, ovi izrazi se međusobno razlikuju po konstantnom pojmu , tj. dobijeni odgovori nisu u suprotnosti jedan s drugim.

Primjer 7. Nađi
... Odaberimo cijeli kvadrat u nazivniku.

U nekim slučajevima, promjena varijable ne reducira integral direktno na tablični, ali može pojednostaviti rješenje, što omogućava korištenje metode dekompozicije u sljedećem koraku.

Primjer 8. Na primjer, hajde da pronađemo ... Zamijenite t = x + 2, zatim dt = d (x + 2) = dx. Onda

gdje je S = S 1 - 6 (pri zamjeni izraza (x + 2) umjesto prva dva člana, dobijamo ½x 2 -2x– 6).

Primjer 9. Nađi
... Neka je t = 2x + 1, tada je dt = 2dx; dx = ½dt; x = (t– 1) / 2.

Zamijenite izraz (2x + 1) umjesto t, proširite zagrade i dajte slične.

Imajte na umu da smo u procesu transformacija prešli na drugi konstantni pojam, jer grupa stalnih pojmova u procesu transformacija mogla bi se izostaviti.

b) Metoda nelinearne supstitucije Razmotrimo primjer.

Primjer 1.
... Neka je t = -x 2. Nadalje, može se izraziti x kroz t, zatim pronaći izraz za dx i implementirati promjenu varijable u traženi integral. Ali u ovom slučaju, lakše je to učiniti drugačije. Naći dt = d (-x 2) = -2xdx. Imajte na umu da je izraz xdx faktor integranda traženog integrala. Izrazimo to iz dobijene jednakosti xdx = - ½dt. Onda