Definirea strictă a limitei unei funcții într-un punct. Folosind conceptul de vecinătate a unui punct. Limita funcției la x ® ∞

În demonstrarea proprietăților limitei unei funcții, ne-am asigurat că nu se cere nimic cu adevărat din vecinătățile perforate în care au fost definite funcțiile noastre și care au apărut în cursul dovezilor, cu excepția proprietăților indicate în introducerea la paragraful precedent. 2. Această împrejurare servește drept justificare pentru evidențierea următorului obiect matematic.

dar. Baza; definiție și exemple principale

Definiție 11. O mulțime B de submulțimi ale unei mulțimi X va fi numită bază într-o mulțime X dacă sunt îndeplinite două condiții:

Cu alte cuvinte, elementele colecției B sunt mulțimi nevide, iar intersecția a două dintre ele conține un element din aceeași colecție.

Să indicăm câteva dintre cele mai frecvent utilizate baze în analiză.

Dacă atunci în schimb ei scriu și spun că x tinde spre a din dreapta sau din lateral valori mari(respectiv, în stânga sau din partea valorilor mai mici). Când o înregistrare scurtă este acceptată în loc de

Intrarea va fi folosită în loc de Înseamnă că a; tinde peste mulțimea E spre a, rămânând mai mare (mai mică) decât a.

apoi în schimb ei scriu și spun că x tinde spre plus infinit (respectiv, spre minus infinit).

În schimb, se va folosi notația

Când în loc de noi (dacă acest lucru nu duce la neînțelegeri) vom scrie, așa cum este obișnuit în teoria limitei unei secvențe,

Rețineți că toate bazele enumerate au caracteristica că intersecția oricăror două elemente ale bazei este ea însăși un element al acestei baze și nu conține doar un element al bazei. Ne vom întâlni cu alte baze atunci când studiem funcții care nu sunt date pe axa reală.

De asemenea, menționăm că termenul „bază” folosit aici este o denumire scurtă a ceea ce se numește „bază de filtru” în matematică, iar limita de bază introdusă mai jos este partea cea mai esențială pentru analiza conceptului de limită de filtru creat de francezul modern. matematicianul A. Cartan

b. Limita funcției de bază

Definiția 12. Fie o funcție pe mulțimea X; B este o bază în X. Un număr se numește limita unei funcții față de baza B dacă, pentru orice vecinătate a punctului A, există un element al bazei a cărui imagine este conținută în vecinătate.

Dacă A este limita funcției față de baza B, atunci scriem

Să repetăm ​​definiția limitei de bază în simbolismul logic:

Deoarece acum luăm în considerare funcțiile cu valori numerice, este util să ținem cont de următoarea formă a acestei definiții de bază:

În această formulare, în loc de o vecinătate arbitrară V(A), luăm o vecinătate care este simetrică (în raport cu punctul A) (e-vecinătate). Echivalența acestor definiții pentru funcțiile cu valori reale rezultă din faptul că, așa cum sa menționat deja, orice vecinătate a unui punct conține o vecinătate simetrică a aceluiași punct (efectuați demonstrația în întregime!).

Am dat o definiție generală a limitei unei funcții față de bază. Mai sus au fost considerate exemple ale celor mai comune baze în analiză. Într-o problemă specifică în care apare una sau alta dintre aceste baze, este necesar să se poată descifra definiția generală și să o noteze pentru o anumită bază.

Luând în considerare exemple de baze, am introdus, în special, conceptul de vecinătate a infinitului. Dacă se folosește acest concept, atunci în conformitate cu definiție comună limitează este rezonabil să se adopte următoarele convenții:

sau, care este la fel,

De obicei, printr-o valoare mică. În definițiile de mai sus, acest lucru nu este, desigur, cazul. În conformitate cu convențiile acceptate, de exemplu, putem scrie

Pentru a fi considerate dovedite în cazul general al unei limite peste o bază arbitrară, toate acele teoreme asupra limitelor pe care le-am demonstrat în secțiunea 2 pentru o bază specială, este necesar să se dea definițiile adecvate: în final constante, în final mărginite și infinit mic pentru o bază dată de funcții.

Definiție 13. O funcție se numește în final constantă la baza B dacă există un număr și un astfel de element al bazei, în orice punct din care

În prezent, principalul beneficiu al observației făcute și al conceptului de bază introdus în legătură cu aceasta este că ne scutesc de verificări și dovezi formale ale teoremelor limită pentru fiecare tip specific de trecere la limită sau, în terminologia noastră actuală, pentru fiecare tip specific de baze

Pentru a ne obișnui în sfârșit cu conceptul de limită peste o bază arbitrară, vom demonstra proprietățile ulterioare ale limitei unei funcții într-o formă generală.

Funcţie y=f (X) se numeste legea (regula), conform careia, fiecare element x al multimii X este asociat cu unul si numai un element y al multimii Y .

Elementul x ∈ X numit argumentul funcției sau variabila independenta.
y element ∈ Y numit valoarea functiei sau variabilă dependentă.

Se numește mulțimea X domeniul de aplicare al funcției.
Set de elemente y ∈ Y, care au preimagini în mulțimea X , se numește zonă sau set de valori ale funcției.

Funcția reală este numită limitat de sus (de jos), dacă există un astfel de număr M încât următoarea inegalitate să fie valabilă pentru toți:
.
Se apelează funcția de număr limitat, dacă există un număr M astfel încât pentru toate:
.

fata de sus sau limita superioară exactă funcția reală se numește cea mai mică dintre numerele care limitează intervalul valorilor sale de sus. Adică acesta este un număr s pentru care, pentru toți și pentru orice , există un astfel de argument, a cărui valoare a funcției depășește s′ : .
Limita superioară a funcției poate fi notată după cum urmează:
.

Respectiv fata de jos sau limită inferioară precisă funcția reală se numește cea mai mare dintre numerele care limitează intervalul valorilor sale de jos. Adică acesta este un număr i pentru care pentru toți și pentru orice , există un astfel de argument , valoarea funcției din care este mai mică decât i′ : .
Limita inferioară a unei funcții poate fi notată după cum urmează:
.

Determinarea limitei unei funcții

Definirea limitei Cauchy a unei funcții

Limite finite ale funcției la punctele finale

Lăsați funcția să fie definită într-o vecinătate a punctului final, cu excepția, poate, a punctului în sine. la punctul , dacă pentru oricare există astfel , în funcție de , aceea pentru tot x , pentru care , inegalitatea
.
Limita unei funcții se notează după cum urmează:
.
Sau la .

Folosind simbolurile logice ale existenței și universalității, definiția limitei unei funcții poate fi scrisă după cum urmează:
.

Limite unilaterale.
Limită din stânga la punct (limită din partea stângă):
.
Limită din dreapta într-un punct (limită din dreapta):
.
Limitele din stânga și din dreapta sunt adesea notate după cum urmează:
; .

Limitele finite ale unei funcții în puncte la infinit

Limitele în puncte infinit îndepărtate sunt definite într-un mod similar.
.
.
.
Ele sunt adesea denumite ca:
; ; .

Folosind conceptul de vecinătate a unui punct

Dacă introducem conceptul de vecinătate perforată a unui punct, atunci putem da o definiție unificată a limitei finite a unei funcții la puncte finite și infinite:
.
Aici pentru puncte finale
; ;
.
Orice vecinătăți de puncte la infinit sunt perforate:
; ; .

Limite infinite ale funcției

Definiție
Fie definită funcția într-o vecinătate perforată a unui punct (finit sau la infinit). Limita funcției f (X) ca x → x 0 este egal cu infinitul, dacă pentru orice număr arbitrar M > 0 , există un număr δ M > 0 , în funcție de M , că pentru tot x aparținând unui punct δ M - vecinătate a punctului : , este valabilă următoarea inegalitate:
.
Limita infinită este definită după cum urmează:
.
Sau la .

Folosind simbolurile logice ale existenței și universalității, definiția limitei infinite a unei funcții poate fi scrisă astfel:
.

De asemenea, este posibil să se introducă definiții ale limitelor infinite ale anumitor semne egale cu și:
.
.

Definiția universală a limitei unei funcții

Folosind conceptul de vecinătate a unui punct, se poate da o definiție universală a limitei finite și infinite a unei funcții, aplicabilă atât punctelor finite (bilaterale și unilaterale), cât și punctelor infinit îndepărtate:
.

Definirea limitei unei funcții după Heine

Fie definită funcția pe o mulțime X : .
Numărul a se numește limita funcției la punctul:
,
dacă pentru orice succesiune convergentă către x 0 :
,
ale căror elemente aparțin mulțimii X : ,
.

Scriem această definiție folosind simbolurile logice ale existenței și universalității:
.

Dacă luăm ca mulțime X vecinătatea din stânga a punctului x 0 , apoi obținem definiția limitei din stânga. Dacă este dreptaci, atunci obținem definiția limitei drepte. Dacă luăm vecinătatea unui punct la infinit ca mulțime X, atunci obținem definiția limitei unei funcții la infinit.

Teorema
Definițiile Cauchy și Heine ale limitei unei funcții sunt echivalente.
Dovada

Proprietăţi şi teoreme ale limitei unei funcţii

În plus, presupunem că funcțiile luate în considerare sunt definite în vecinătatea corespunzătoare a punctului , care este un număr finit sau unul dintre simbolurile: . Poate fi, de asemenea, un punct limită unilateral, adică să aibă forma sau . Cartierul este cu două fețe pentru o limită cu două fețe și unilateral pentru o singură față.

Proprietăți de bază

Dacă valorile funcției f (X) schimbați (sau faceți nedefinit) la un număr finit de puncte x 1 , x 2 , x 3 , ... x n, atunci această modificare nu va afecta existența și valoarea limitei funcției la un punct arbitrar x 0 .

Dacă există o limită finită, atunci există o astfel de vecinătate perforată a punctului x 0 , pe care funcția f (X) limitat:
.

Fie funcția să aibă în punctul x 0 limită finală, alta decât zero:
.
Atunci, pentru orice număr c din intervalul , există o astfel de vecinătate perforată a punctului x 0 pentru ce,
, dacă ;
, dacă .

Dacă, pe o vecinătate perforată a punctului , este o constantă, atunci .

Dacă există limite finite și și pe o vecinătate perforată a punctului x 0
,
apoi .

Dacă , și pe o anumită vecinătate a punctului
,
apoi .
În special, dacă pe o anumită vecinătate a unui punct
,
atunci dacă , atunci și ;
dacă , atunci și .

Dacă pe vreo vecinătate perforată a punctului x 0 :
,
și există limite egale finite (sau infinite ale unui anumit semn):
, apoi
.

Dovezi ale proprietăților principale sunt date pe pagină
„Proprietățile de bază ale limitelor unei funcții”.

Proprietăți aritmetice ale limitei unei funcții

Fie funcțiile și să fie definite într-o vecinătate perforată a punctului. Și să existe limite finite:
Și .
Și să fie C o constantă, adică un număr dat. Apoi
;
;
;
, dacă .

Daca atunci .

Pe pagină sunt date dovezi ale proprietăților aritmetice
„Proprietăți aritmetice ale limitelor unei funcții”.

Criteriul Cauchy pentru existența unei limite a unei funcții

Teorema
Pentru o funcție definită pe o vecinătate perforată a unui punct finit sau infinit x 0 , a avut o limită finită în acest punct, este necesar și suficient ca pentru orice ε > 0 exista o astfel de vecinătate perforată a punctului x 0 , că pentru orice puncte și din această vecinătate este valabilă următoarea inegalitate:
.

Limită de funcție complexă

Teorema limitei functie complexa
Fie ca funcția să aibă o limită și mapați vecinătatea punctuată a punctului pe vecinătatea punctată a punctului. Lăsați funcția să fie definită pe această vecinătate și aveți o limită asupra acesteia.
Aici - puncte finale sau infinit îndepărtate: . Vecinătățile și limitele lor corespunzătoare pot fi fie cu două fețe, fie unilaterale.
Atunci există o limită a funcției complexe și este egală cu:
.

Teorema limită a funcției complexe se aplică atunci când funcția nu este definită într-un punct sau are o altă valoare decât valoarea limită. Pentru a aplica această teoremă, trebuie să existe o vecinătate perforată a punctului pe care setul de valori a funcției nu conține punctul:
.

Dacă funcția este continuă în punctul , atunci semnul limită poate fi aplicat argumentului funcției continue:
.
Următoarea este o teoremă corespunzătoare acestui caz.

Teoremă asupra limitei unei funcții continue a unei funcții
Să existe o limită a funcției g (t) ca t → t 0 , și este egal cu x 0 :
.
Aici punctul t 0 poate fi finit sau la infinit: .
Și fie funcția f (X) continuă la x 0 .
Atunci există o limită a funcției compozite f (g(t)), și este egal cu f (x0):
.

Demonstrațiile teoremelor sunt date pe pagină
„Limita și continuitatea unei funcții complexe”.

Funcții infinitezimale și infinit de mari

Funcții infinit de mici

Definiție
O funcție se numește infinitezimală pentru dacă
.

Sumă, diferență și produs a unui număr finit de funcții infinit mic pentru este o funcție infinitezimală pentru .

Produsul unei funcții mărginite pe o vecinătate perforată a punctului , la un infinitezimal pentru este o funcție infinitezimală a lui pentru .

Pentru ca o funcție să aibă o limită finită, este necesar și suficient ca
,
unde este o funcție infinitezimală pentru .

„Proprietăți ale funcțiilor infinitezimale”.

Funcții infinit de mari

Definiție
Funcția se numește infinit mare pentru dacă
.

Suma sau diferența unei funcții mărginite, pe o vecinătate perforată a punctului , și o funcție infinit de mare la este o funcție infinit de mare la .

Dacă funcția este infinit de mare la , și funcția este mărginită, pe o vecinătate perforată a punctului , atunci
.

Dacă funcția , pe o vecinătate perforată a punctului , satisface inegalitatea:
,
iar funcția este infinit de mică pentru:
, și (pe vreo vecinătate perforată a punctului ), apoi
.

Dovezile proprietăților sunt prezentate în secțiune
„Proprietăți ale funcțiilor infinit de mari”.

Relația dintre funcțiile infinit de mari și infinit de mici

Legătura dintre funcțiile infinit de mari și infinit de mici rezultă din cele două proprietăți anterioare.

Dacă funcția este infinit de mare la , atunci funcția este infinit de mică la .

Dacă funcția este infinit de mică pentru , și , atunci funcția este infinit de mare pentru .

Legătura dintre o funcție infinitezimală și o funcție infinit de mare poate fi exprimată simbolic:
, .

Dacă o funcție infinitezimală are un semn definit la , adică este pozitivă (sau negativă) pe o vecinătate perforată a punctului , atunci acest fapt poate fi exprimat după cum urmează:
.
În același mod, dacă o funcție infinit de mare are un anumit semn la , atunci ei scriu:
.

Atunci legătura simbolică dintre funcțiile infinit de mici și infinit de mari poate fi completată de următoarele relații:
, ,
, .

Formule suplimentare referitoare la simbolurile infinitului pot fi găsite pe pagină
„Punctele la infinit și proprietățile lor”.

Limitele funcțiilor monotone

Definiție
Se numește o funcție definită pe un set de numere reale X strict crescând, dacă pentru toate acestea sunt valabile următoarea inegalitate:
.
În consecință, pentru strict în scădere funcția, este valabilă următoarea inegalitate:
.
Pentru nescădere:
.
Pentru necrescătoare:
.

Aceasta implică faptul că o funcție strict crescătoare este, de asemenea, nedescrescătoare. O funcție strict descrescătoare este, de asemenea, necrescătoare.

Funcția este numită monoton dacă nu este în scădere sau în creştere.

Teorema
Fie ca funcția să nu scadă pe intervalul , unde .
Dacă este mărginită de sus de numărul M : , atunci există o limită finită . Dacă nu este mărginit mai sus, atunci .
Dacă este mărginită de jos de numărul m : , atunci există o limită finită . Dacă nu este mărginit mai jos, atunci .

Dacă punctele a și b sunt la infinit, atunci în expresii semnele limită înseamnă că .
Această teoremă poate fi formulată mai compact.

Fie ca funcția să nu scadă pe intervalul , unde . Atunci există limite unilaterale în punctele a și b:
;
.

O teoremă similară pentru o funcție care nu crește.

Fie ca funcția să nu crească pe intervalul , unde . Apoi există limite unilaterale:
;
.

Dovada teoremei este prezentată pe pagină
„Limitele funcțiilor monotone”.

Referinte:
L.D. Kudryavtsev. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 2003.
CM. Nikolsky. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 1983.

Astăzi la lecție vom analiza secvențiere strictăȘi definirea strictă a limitei unei funcții, precum și să învețe cum să rezolve problemele corespunzătoare de natură teoretică. Articolul este destinat în primul rând studenților din anul I de științe naturale și specialități de inginerie care au început să studieze teoria analizei matematice și au întâmpinat dificultăți în înțelegerea acestei secțiuni a matematicii superioare. În plus, materialul este destul de accesibil elevilor de liceu.

De-a lungul anilor de existență a site-ului, am primit o duzină nemiloasă de scrisori cu aproximativ următorul conținut: „Nu înțeleg bine analiza matematică, ce să fac?”, „Nu înțeleg deloc matan, eu' mă gândesc să renunț la studii” etc. Într-adevăr, matanul este cel care deseori subțiază grupul de studenți chiar după prima sesiune. De ce sunt lucrurile așa? Pentru că subiectul este de neconceput de complex? Deloc! Teoria analizei matematice nu este atât de dificilă pe cât este deosebită. Și trebuie să o accepți și să o iubești pentru cine este =)

Să începem cu cel mai dificil caz. În primul rând, nu abandona școala. Înțelege corect, renunță, va avea timp mereu ;-) Bineînțeles, dacă într-un an sau doi din specialitatea aleasă îți va face rău, atunci da - ar trebui să te gândești la asta (și să nu bată febra!) despre schimbarea activităților. Dar deocamdată merită să continui. Și, vă rog, uitați expresia „Nu înțeleg nimic” - nu se întâmplă să nu înțelegeți absolut nimic.

Ce să faci dacă teoria este proastă? Apropo, acest lucru se aplică nu numai analizei matematice. Dacă teoria este proastă, atunci mai întâi trebuie să puneți SERIOZ în practică. În același timp, două sarcini strategice sunt rezolvate simultan:

– În primul rând, o proporție semnificativă a cunoștințelor teoretice a fost obținută prin practică. Și atât de mulți oameni înțeleg teoria prin... - așa este! Nu, nu, nu te-ai gândit la asta.

- Și, în al doilea rând, abilitățile practice sunt foarte probabil să te „întindă” la examen, chiar dacă..., dar să nu ne acordăm așa! Totul este real și totul este real „creștere” suficient timp scurt. Analiza matematică este secțiunea mea preferată de matematică superioară și, prin urmare, pur și simplu nu m-am putut abține să nu vă dau o mână de ajutor:

La începutul semestrului I, limitele de secvență și limitele de funcție trec de obicei. Nu înțelegi ce este și nu știi cum să le rezolvi? Începe cu un articol Limite de funcționare, în care conceptul în sine este considerat „pe degete” și sunt analizate cele mai simple exemple. Apoi lucrați prin alte lecții pe acest subiect, inclusiv o lecție despre în cadrul secvenţelor, asupra căruia de fapt am formulat deja o definiție riguroasă.

Ce icoane, în afară de semnele de inegalitate și modul, cunoașteți?

- un baston vertical lung citește astfel: „astfel care”, „astfel care”, „astfel că” sau „astfel că”, în cazul nostru, evident, vorbim despre un număr - deci „astfel încât”;

- pentru toate „en” mai mari decât ;

– semnul modulului înseamnă distanță, adică această intrare ne spune că distanța dintre valori este mai mică decât epsilon.

Ei bine, este greu de moarte? =)

După stăpânirea practicii, vă aștept în următorul paragraf:

Într-adevăr, să ne gândim puțin - cum să formulezi o definiție riguroasă a unei secvențe? ... Primul lucru care îmi vine în minte în lumină sesiune practica: „limita unei secvențe este numărul de care membrii secvenței se apropie la infinit.”

Bine, hai să scriem ulterior :

Este ușor de înțeles asta ulterior se apropie infinit de -1 și termeni pari - la „unitate”.

Poate două limite? Dar atunci de ce nu poate o secvență să aibă zece sau douăzeci dintre ele? Așa poți ajunge departe. În acest sens, este logic să presupunem că dacă secvența are o limită, atunci este unică.

Notă : secvența nu are limită, dar de ea se pot distinge două subsecvențe (vezi mai sus), fiecare având propria sa limită.

Astfel, definiția de mai sus se dovedește a fi insuportabilă. Da, funcționează pentru cazuri precum (pe care nu l-am folosit corect în explicațiile simplificate ale exemplelor practice), dar acum trebuie să găsim o definiție strictă.

Încercarea a doua: „limita unei secvențe este numărul pe care TOȚI membrii secvenței îl abordează, cu excepția, poate, a lor final cantități.” Acest lucru este mai aproape de adevăr, dar încă nu este complet exact. Deci, de exemplu, secvența jumătate dintre termeni nu se apropie deloc de zero - pur și simplu sunt egali cu acesta =) Apropo, „lumina intermitentă” ia în general două valori fixe.

Formularea nu este greu de clarificat, dar apoi apare o altă întrebare: cum să scrieți definiția în termeni matematici? Lumea științifică s-a luptat mult timp cu această problemă până când situația a fost rezolvată. maestru celebru, care, în esență, a oficializat analiza matematică clasică în toată rigoarea ei. Cauchy s-a oferit să opereze împrejurimi care a avansat mult teoria.

Luați în considerare un punct și acesta arbitrar-Cartier:

Valoarea lui „epsilon” este întotdeauna pozitivă și, în plus, avem dreptul să o alegem noi înșine. Să presupunem că vecinătatea dată conține un set de termeni (nu neaparat toate) o anumită secvență. Cum să notez faptul că, de exemplu, al zecelea termen a căzut în cartier? Lasă-l pe partea dreaptă a ei. Apoi, distanța dintre puncte și ar trebui să fie mai mică decât „epsilon”: . Cu toate acestea, dacă „x zecimea” este situată la stânga punctului „a”, atunci diferența va fi negativă și, prin urmare, semnul trebuie adăugat la acesta. modul: .

Definiție: un număr se numește limita unei secvențe dacă pentru oriceîmprejurimile sale (preselectat) există un număr natural – AȘA încât TOATE membrii secvenței cu numere mai mari vor fi în interiorul cartierului:

Sau mai scurt: dacă

Cu alte cuvinte, oricât de mică ar fi valoarea „epsilonului” pe care o luăm, mai devreme sau mai târziu „coada infinită” a secvenței va fi COMPLET în acest cartier.

Deci, de exemplu, „coada infinită” a secvenței FULLY intră în orice vecinătate arbitrar mică a punctului. Astfel, această valoare este limita secvenței prin definiție. Vă reamintesc că se numește o secvență a cărei limită este zero infinitezimal.

Trebuie remarcat faptul că pentru secvență nu se mai poate spune „coadă infinită va veni”- membrii cu numere impare sunt de fapt egali cu zero și „nu mergi nicăieri” =) De aceea verbul „va ajunge” este folosit în definiție. Și, desigur, membrii unei astfel de secvențe, de asemenea, „nu merg nicăieri”. Apropo, verificați dacă numărul va fi limita.

Să arătăm acum că succesiunea nu are limită. Luați în considerare, de exemplu, o vecinătate a punctului . Este destul de clar că nu există un astfel de număr, după care TOȚI membrii vor fi în acest cartier - membrii impari vor „sări” întotdeauna la „minus unu”. Dintr-un motiv similar, nu există nicio limită la punctul .

Fixați materialul cu practică:

Exemplul 1

Demonstrați că limita șirului este zero. Indicați numărul, după care toți membrii secvenței sunt garantate că se află în orice vecinătate arbitrar mică a punctului.

Notă : pentru multe secvențe, numărul natural dorit depinde de valoare - de unde notația .

Soluţie: considera arbitrar va fi acolo număr - astfel încât TOȚI membrii cu numere mai mari se vor afla în acest cartier:

Pentru a arăta existența numărului necesar, exprimăm în termeni de .

Deoarece pentru orice valoare „en”, atunci semnul modulului poate fi eliminat:

Folosim acțiuni „școlare” cu inegalități pe care le-am repetat la lecții Inegalități liniareȘi Domeniul de aplicare a funcției. În acest caz, o circumstanță importantă este că „epsilon” și „en” sunt pozitive:

Deoarece în stânga vorbim despre numere naturale, iar partea dreaptă este în general fracțională, trebuie rotunjită:

Notă : uneori se adaugă o unitate la dreptul de reasigurare, dar de fapt aceasta este o exagerare. Relativ vorbind, dacă slăbim și rezultatul prin rotunjirea în jos, atunci cel mai apropiat număr potrivit („trei”) va satisface totuși inegalitatea inițială.

Și acum ne uităm la inegalitate și ne amintim că inițial am luat în considerare arbitrar-cartier, i.e. „epsilon” poate fi egal cu oricine număr pozitiv.

Ieșire: pentru orice vecinătate arbitrar mică a punctului, valoarea . Astfel, un număr este limita unei secvențe prin definiție. Q.E.D.

Apropo, din rezultat un model natural este clar vizibil: cu cât este mai mic -vecinația, cu atât este mai mare numărul după care TOȚI membrii secvenței vor fi în acest cartier. Dar oricât de mic este „epsilonul”, va exista întotdeauna o „coadă infinită” înăuntru și în exterior – chiar dacă este mare, totuși final numarul de membri.

Cum sunt impresiile? =) Sunt de acord că este ciudat. Dar strict! Vă rugăm să recitiți și să vă gândiți din nou.

Luați în considerare un exemplu similar și familiarizați-vă cu alte tehnici:

Exemplul 2

Soluţie: prin definirea unei secvente, este necesar sa se demonstreze ca (Vorbește cu voce tare!!!).

Considera arbitrar-vecinatatea punctului si verifica, există oare număr natural - astfel încât pentru toate numerele mai mari să fie valabilă următoarea inegalitate:

Pentru a arăta existența unui astfel de , trebuie să exprimați „en” prin „epsilon”. Simplificam expresia sub semnul modulului:

Modulul distruge semnul minus:

Numitorul este pozitiv pentru orice „en”, prin urmare, bastoanele pot fi îndepărtate:

Amestecare:

Acum ar trebui să luăm rădăcina pătrată, dar problema este că pentru unii „epsiloni” partea dreaptă va fi negativă. Pentru a evita acest necaz hai sa intarim modul de inegalitate:

De ce se poate face asta? Dacă, relativ vorbind, se dovedește că , atunci condiția va fi îndeplinită și mai mult. Modulul poate doar crește numărul dorit și asta ne va convine și nouă! Aproximativ vorbind, dacă suta este potrivită, atunci a două sute va fi potrivită! Conform definiției, trebuie să arăți însăşi existenţa numărului(cel puțin unii), după care toți membrii secvenței vor fi în vecinătate. Apropo, de aceea nu ne este frică de rotunjirea finală a părții drepte în sus.

Extragerea rădăcinii:

Și rotunjește rezultatul:

Ieșire: deoarece valoarea lui „epsilon” a fost aleasă în mod arbitrar, apoi pentru orice vecinătate arbitrar mică a punctului, valoarea , astfel încât inegalitatea . În acest fel, prin definitie. Q.E.D.

recomand mai alesînțelegeți întărirea și slăbirea inegalităților - acestea sunt metode tipice și foarte comune de analiză matematică. Singurul lucru de care aveți nevoie pentru a monitoriza corectitudinea acestei acțiuni sau aceleia. Deci, de exemplu, inegalitatea în nici un caz slăbiți, scăzând, să spunem, unul:

Din nou, condiționat: dacă numărul se potrivește exact, atunci s-ar putea ca cel precedent să nu se mai potrivească.

Următorul exemplu este pentru o soluție autonomă:

Exemplul 3

Folosind definiția unei secvențe, demonstrați că

Soluție scurtă și răspuns la sfârșitul lecției.

Dacă succesiunea infinit de grozav, atunci definiția limitei este formulată într-un mod similar: un punct se numește limita unei secvențe dacă pentru oricare, arbitrar de mare există un număr astfel încât pentru toate numerele mai mari, inegalitatea va fi satisfăcută. Numărul este sunat vecinătatea punctului „plus infinit”:

Cu alte cuvinte, orice mare importanță indiferent de ce, „coada infinită” a secvenței va merge în mod necesar în vecinătatea punctului , lăsând doar un număr finit de termeni în stânga.

Exemplu de lucru:

Și o notație prescurtată: dacă

Pentru cazul, scrieți singur definiția. Versiunea corectă este la sfârșitul lecției.

După ce ți-ai „umplut” mâna cu exemple practice și ai dat seama de definiția limitei unei secvențe, poți apela la literatura despre analiză matematică și/sau cartea de prelegeri. Recomand să descărcați primul volum din Bohan (mai ușor - pentru studenții cu fracțiune de normă)și Fikhtengoltz (mai detaliat și amănunțit). Dintre ceilalți autori, îl consiliez pe Piskunov, al cărui curs este axat pe universitățile tehnice.

Încercați să studiați cu conștiință teoremele care privesc limita șirului, demonstrațiile lor, consecințele. La început, teoria poate părea „înnoră”, dar acest lucru este normal - este nevoie doar de puțină obișnuire. Și mulți chiar vor avea un gust!

Definirea strictă a limitei unei funcții

Să începem cu același lucru - cum să formulăm acest concept? Definiția verbală a limitei unei funcții este formulată mult mai simplu: „un număr este limita unei funcții, dacă „x” tinde spre (atat la stanga cat si la dreapta), valorile corespunzătoare ale funcției tind să » (vezi desen). Totul pare a fi normal, dar cuvintele sunt cuvinte, sensul este sens, o icoană este o icoană, iar notația matematică strictă nu este suficientă. Și în al doilea paragraf, ne vom familiariza cu două abordări pentru rezolvarea acestei probleme.

Să fie definită funcția pe un anumit interval, cu excepția, eventual, a punctului . În literatura educațională, este general acceptat că funcția acolo nu definit:

Această alegere evidențiază esența limitei funcției: "X" infinit de aproape abordări, iar valorile corespunzătoare ale funcției sunt infinit de aproape la . Cu alte cuvinte, conceptul de limită nu implică o „abordare exactă” a punctelor și anume aproximare la infinit, nu contează dacă funcția este definită la punct sau nu.

Prima definiție a limitei unei funcții, nu este surprinzător, este formulată folosind două secvențe. În primul rând, conceptele sunt legate, iar în al doilea rând, limitele funcțiilor sunt de obicei studiate după limitele secvențelor.

Luați în considerare succesiunea puncte (nu pe desen) aparţinând intervalului şi în afară de, care converge la . Apoi, valorile corespunzătoare ale funcției formează și o secvență numerică, ai cărei membri sunt localizați pe axa y.

Limita funcției Heine pentru orice secvențe de puncte (aparținând și diferit de), care converge către punctul , secvența corespunzătoare de valori ale funcției converge către .

Eduard Heine este un matematician german. ... Și nu e nevoie să te gândești la așa ceva, există un singur gay în Europa - acesta este Gay-Lussac =)

S-a construit a doua definiție a limitei... da, da, ai dreptate. Dar mai întâi, să ne uităm la designul său. Luați în considerare o vecinătate arbitrară a punctului cartier („negru”). Pe baza paragrafului anterior, notația înseamnă că ceva valoare funcția este situată în interiorul mediului „epsilon”.

Acum să găsim -neighborhood care corespunde cartierului - dat (desenați mental linii punctate negre de la stânga la dreapta și apoi de sus în jos). Rețineți că valoarea este aleasă pe lungimea segmentului mai mic, în acest caz, pe lungimea segmentului mai scurt din stânga. Mai mult decât atât, vecinătatea „crimson” a unui punct poate fi chiar redusă, deoarece în următoarea definiție însuși faptul existenței este important acest cartier. Și, în mod similar, intrarea înseamnă că o anumită valoare se află în cartierul „delta”.

Limita Cauchy a unei funcții: numărul se numește limita funcției în punctul dacă pentru orice preselectate Cartier (arbitrar mic), există- vecinătatea punctului, ASTFEL DE că: CA NUMAI valori (Deținut) incluse în acest domeniu: (săgeți roșii)- DECI IMMEDIAT, valorile corespunzătoare ale funcției sunt garantate să intre în vecinătate: (săgeți albastre).

Trebuie sa va avertizez ca pentru a fi mai inteligibila am improvizat putin, asa ca nu abuzati =)

Stenografia: dacă

Care este esența definiției? Figurat vorbind, prin scăderea infinită a -cartierului, „însoțem” valorile funcției până la limita ei, fără a le lăsa nicio alternativă de abordare altundeva. Destul de neobișnuit, dar din nou strict! Pentru a înțelege corect, recitiți din nou formularea.

! Atenţie: dacă trebuie doar să formulezi definiţie după Heine sau numai Definiție Cauchy te rog nu uita semnificativ comentariu preliminar: „Luați în considerare o funcție care este definită pe un anumit interval, cu excepția poate unui punct”. Am spus acest lucru o dată la început și nu l-am repetat de fiecare dată.

Conform teoremei corespunzătoare de analiză matematică, definițiile Heine și Cauchy sunt echivalente, dar a doua variantă este cea mai cunoscută (încă ar fi!), care se mai numește și „limita pe limbă”:

Exemplul 4

Folosind definiția unei limite, demonstrați că

Soluţie: funcţia este definită pe întreaga linie numerică cu excepţia punctului . Folosind definiția lui , demonstrăm existența unei limite la un punct dat.

Notă : magnitudinea cartierului „delta” depinde de „epsilon”, de unde denumirea

Considera arbitrar-Cartier. Sarcina este să folosiți această valoare pentru a verifica dacă există oare- Cartier, ASTFEL DE, care din inegalitate urmează inegalitatea .

Presupunând că , transformăm ultima inegalitate:
(descompune trinomul pătrat)

Definiție 1. Lasă E- un număr infinit. Dacă vreun cartier conţine puncte ale mulţimii E, diferit de punct dar, apoi dar numit marginal punct de referință E.

Definiție 2. (Heinrich Heine (1821-1881)). Lasă funcția
definite pe platou XȘi DAR numit limită funcții
la punct (sau când
, dacă pentru orice succesiune de valori ale argumentului
, convergând către , secvența corespunzătoare de valori ale funcției converge către număr DAR. Scrie:
.

Exemple. 1) Funcție
are o limită egală cu din, în orice punct al liniei numerice.

Într-adevăr, pentru orice punct și orice succesiune de valori ale argumentului
, convergând către și constând din alte numere decât , secvența corespunzătoare de valori ale funcției are forma
, și știm că această secvență converge către din. De aceea
.

2) Pentru funcție

.

Acest lucru este evident, pentru că dacă
, apoi și
.

3) Funcția Dirichlet
nu are limită în niciun moment.

Într-adevăr, să
Și
, si tot sunt numere raționale. Apoi
pentru toți n, de aceea
. Dacă
si tot sunt numere iraționale, atunci
pentru toți n, de aceea
. Vedem ca nu sunt indeplinite conditiile Definitiei 2
nu exista.

4)
.

Într-adevăr, luați o secvență arbitrară
, convergând către

numărul 2. Apoi . Q.E.D.

Definiție 3. (Cauchy (1789-1857)). Lasă funcția
definite pe platou XȘi este punctul limită al acestui set. Număr DAR numit limită funcții
la punct (sau când
, dacă pentru vreunul
va fi
, astfel încât pentru toate valorile argumentului X satisfacerea inegalitatii

,

inegalitatea

.

Scrie:
.

Definiția lui Cauchy poate fi dată și cu ajutorul cartierelor, dacă observați că , a:

lasa functia
definite pe platou XȘi este punctul limită al acestui set. Număr DAR numită limită funcții
la punct , dacă pentru vreunul -vecinatatea unui punct DAR
există un străpuns - vecinătatea punctului
, astfel încât
.

Este util să ilustrați această definiție cu o figură.

Exemplu 5.
.

Într-adevăr, să luăm
în mod arbitrar și găsiți
, astfel încât pentru toți X satisfacerea inegalitatii
inegalitatea
. Ultima inegalitate este echivalentă cu inegalitatea
, așa că vedem că este suficient să luați
. Afirmația a fost dovedită.

Corect

Teorema 1. Definițiile limitei unei funcții după Heine și după Cauchy sunt echivalente.

Dovada. 1) Lasă
de Cauchy. Să demonstrăm că același număr este și limita după Heine.

Hai sa luam
arbitrar. Conform Definiției 3, există
, astfel încât pentru toți
inegalitatea
. Lasa
este o succesiune arbitrară astfel încât
la
. Apoi există un număr N astfel încât pentru toată lumea
inegalitatea
, de aceea
pentru toți
, adică

după Heine.

2) Lasă acum
după Heine. Să demonstrăm asta
iar conform lui Cauchy.

Să presupunem contrariul, adică ce
de Cauchy. Apoi există
astfel încât pentru orice
va fi
,
Și
. Luați în considerare succesiunea
. Pentru cele specificate
și orice n există

Și
. Înseamnă că
, cu toate că
, adică număr DAR nu este limita
la punct după Heine. Am obținut o contradicție, care dovedește afirmația. Teorema a fost demonstrată.

Teorema 2 (cu privire la unicitatea limitei). Dacă există o limită a unei funcții într-un punct , atunci este singurul.

Dovada. Dacă limita este definită în sensul lui Heine, atunci unicitatea ei decurge din unicitatea limitei secvenței. Dacă limita este definită de Cauchy, atunci unicitatea ei rezultă din echivalența definițiilor limitei de către Cauchy și de către Heine. Teorema a fost demonstrată.

Similar cu criteriul Cauchy pentru secvențe, există un criteriu Cauchy pentru existența unei limite a unei funcții. Înainte de a-l formula, dăm

Definiție 4. Se spune că funcția
satisface conditia Cauchy la punct , dacă pentru vreunul
există

, astfel încât
Și
, inegalitatea
.

Teorema 3 (criteriul lui Cauchy pentru existența unei limite). Pentru functia
avut la punct limită finită, este necesar și suficient ca în acest moment funcția să satisfacă condiția Cauchy.

Dovada.Nevoie. Lasa
. Trebuie să dovedim asta
satisface la punct starea Cauchy.

Hai sa luam
în mod arbitrar şi pus
. Prin definiția limitei pentru există
, astfel încât pentru orice valoare
satisfacerea inegalităţilor
Și
, inegalitățile
Și
. Apoi

Necesitatea a fost dovedită.

Adecvarea. Lasă funcția
satisface la punct starea Cauchy. Trebuie să demonstreze că are un rost limita finală.

Hai sa luam
arbitrar. Prin Definiția 4, există
, astfel încât din inegalităţi
,
urmează că
- este dat.

Să arătăm mai întâi asta pentru orice secvență
, convergând către , ulterior
valorile funcției converg. Într-adevăr, dacă
, apoi, în virtutea definirii limitei succesiunii, pentru un dat
există un număr N, astfel încât pentru orice

Și
. În măsura în care
la punct satisface conditia Cauchy, avem
. Apoi, după criteriul Cauchy pentru secvențe, secvența
converge. Să arătăm că toate astfel de secvențe
converg la aceeași limită. Să presupunem contrariul, adică care sunt secvențele
Și
,
,
, astfel încât. Să luăm în considerare o secvență. Este clar că converge către , prin urmare, prin cele de mai sus, șirul converge, ceea ce este imposibil, deoarece subsecvențele
Și
au limite diferite Și . Contradicţia obţinută arată că =. Prin urmare, după definiția lui Heine, o funcție are într-un punct limita finală. Suficiența și, prin urmare, teorema, sunt dovedite.

număr constant dar numit limită secvente(x n ) dacă pentru orice număr pozitiv arbitrar micε > 0 există un număr N astfel încât toate valorile x n, pentru care n>N, satisface inegalitatea

|x n - a|< ε. (6.1)

Scrieți-o astfel: sau x n → A.

Inegalitatea (6.1) este echivalentă cu inegalitatea dublă

a-ε< x n < a + ε, (6.2)

ceea ce înseamnă că punctele x n, pornind de la un număr n>N, se află în interiorul intervalului (a-ε, a + ε ), adică cad în orice micε -vecinatatea punctului dar.

Se numește o secvență care are o limită convergente, in caz contrar - divergente.

Conceptul de limită a unei funcții este o generalizare a conceptului de limită a unei secvențe, deoarece limita unei secvențe poate fi considerată ca limita funcției x n = f(n) a unui argument întreg. n.

Fie dată o funcție f(x) și fie A - punct limită domeniul de definitie al acestei functii D(f), i.e. un astfel de punct, a cărui vecinătate conține puncte ale mulțimii D(f) diferite de A. Punct A poate aparține sau nu mulțimii D(f).

Definiția 1.Numărul constant A se numește limită funcții f(x) la x→a if pentru orice succesiune (x n ) de valori ale argumentului care tind la dar, secvențele corespunzătoare (f(x n)) au aceeași limită A.

Această definiție se numește definirea limitei unei funcții după Heine, sau " în limbajul secvenţelor”.

Definiția 2. Numărul constant A se numește limită funcții f(x) la x→a dacă, dat un număr pozitiv arbitrar arbitrar mic ε, se poate găsi astfel de δ>0 (în funcție de ε), care pentru toți Xîntins înε-vecinătăți ale unui număr dar, adică pentru X satisfacerea inegalitatii
0 < x-a< ε , se vor afla valorile funcției f(x).ε-vecinătatea numărului A, adică.|f(x)-A|< ε.

Această definiție se numește definirea limitei unei funcții după Cauchy, sau „în limbajul ε - δ “.

Definițiile 1 și 2 sunt echivalente. Dacă funcția f(x) ca x →a are limită egal cu A, acesta se scrie ca

. (6.3)

În cazul în care șirul (f(x n)) crește (sau scade) la nesfârșit pentru orice metodă de aproximare X la limita ta dar, atunci vom spune că funcția f(x) are limita infinita, si scrie-l ca:

Se numește o variabilă (adică o secvență sau o funcție) a cărei limită este zero infinit de mici.

Se numește o variabilă a cărei limită este egală cu infinitul infinit de mare.

Pentru a găsi limita în practică, utilizați următoarele teoreme.

Teorema 1 . Dacă există orice limită

(6.4)

(6.5)

(6.6)

cometariu. Expresii ca 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - sunt incerte, de exemplu, raportul a două cantități infinitezimale sau infinit de mari, iar găsirea unei limite de acest fel se numește „dezvăluirea incertitudinii”.

Teorema 2. (6.7)

acestea. este posibil să treceți la limita de la baza gradului la un exponent constant, în special, ;

(6.8)

(6.9)

Teorema 3.

(6.10)

(6.11)

Unde e » 2.7 este baza logaritmului natural. Formulele (6.10) și (6.11) se numesc primele limita minunata iar a doua limită remarcabilă.

Corolarele formulei (6.11) sunt de asemenea utilizate în practică:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

în special limita

Dacă x → a și în același timp x > a, apoi scrieți x→a + 0. Dacă, în special, a = 0, atunci în locul simbolului 0+0 se scrie +0. În mod similar, dacă x→a și în același timp x a-0. Numerele și sunt denumite în consecință. limita dreaptaȘi limita stângă funcții f(x) la punct dar. Pentru ca limita funcției f(x) să existe ca x→a este necesar şi suficient pentru . Se numește funcția f(x). continuu la punct x 0 dacă limită

. (6.15)

Condiția (6.15) poate fi rescrisă ca:

,

adică trecerea la limita sub semnul unei funcţii este posibilă dacă aceasta este continuă într-un punct dat.

Dacă egalitatea (6.15) este încălcată, atunci spunem că la x = xo funcţie f(x) Are decalaj. Se consideră funcția y = 1/x. Domeniul acestei funcții este mulțimea R, cu excepția x = 0. Punctul x = 0 este un punct limită al mulțimii D(f), deoarece în oricare din vecinătățile sale, adică, orice interval deschis care conține punctul 0 conține puncte din D(f), dar el însuși nu aparține acestei mulțimi. Valoarea f(x o)= f(0) nu este definită, deci funcția are o discontinuitate în punctul x o = 0.

Se numește funcția f(x). continuă pe dreapta într-un punct x o dacă limită

,

Și continuu pe stanga intr-un punct x o dacă limită

.

Continuitatea unei funcții într-un punct x o este echivalentă cu continuitatea sa în acest punct atât în ​​dreapta cât și în stânga.

Pentru ca o funcție să fie continuă într-un punct x o, de exemplu, în dreapta, este necesar, în primul rând, să existe o limită finită , iar în al doilea rând, ca această limită să fie egală cu f(x o). Prin urmare, dacă cel puțin una dintre aceste două condiții nu este îndeplinită, atunci funcția va avea un decalaj.

1. Dacă limita există și nu este egală cu f(x o), atunci ei spun că funcţie f(x) la punct xo are pauză de primul fel, sau a sari.

2. Dacă limita este+∞ sau -∞ sau nu există, atunci spunem că în punct x o funcția are pauză al doilea fel.

De exemplu, funcția y = ctg x la x→ +0 are o limită egală cu +∞, prin urmare, în punctul x=0 are o discontinuitate de al doilea fel. Funcția y = E(x) (parte întreagă a X) în punctele cu abscise întregi are discontinuități de primul fel, sau salturi.

Se numește o funcție care este continuă în fiecare punct al intervalului continuuîn . O funcție continuă este reprezentată printr-o curbă solidă.

Multe probleme asociate cu creșterea continuă a unei cantități conduc la a doua limită remarcabilă. Astfel de sarcini, de exemplu, includ: creșterea contribuției conform legii dobânzii compuse, creșterea populației țării, degradarea unei substanțe radioactive, înmulțirea bacteriilor etc.

Considera exemplu de Ya. I. Perelman, care dă interpretarea numărului eîn problema dobânzii compuse. Număr e exista o limita . În băncile de economii, la capitalul fix se adaugă anual bani din dobânzi. Dacă conexiunea se face mai des, atunci capitalul crește mai repede, deoarece o sumă mare este implicată în formarea dobânzii. Să luăm un exemplu pur teoretic, extrem de simplificat. Lasă banca să pună 100 de den. unitati la rata de 100% pe an. Dacă banii purtători de dobândă se adaugă la capitalul fix numai după un an, atunci până la acest moment 100 den. unitati se va transforma in 200 den. Acum să vedem în ce se vor transforma 100 de den. unități, dacă banii de dobândă se adaugă la capitalul fix la fiecare șase luni. Dupa o jumatate de an 100 den. unitati creste pana la 100× 1,5 \u003d 150, iar după alte șase luni - la 150× 1,5 \u003d 225 (unități den.). Daca aderarea se face la fiecare 1/3 din an, atunci dupa un an 100 den. unitati transforma in 100× (1 +1/3) 3 » 237 (den. unităţi). Vom mări intervalul de timp pentru adăugarea banilor de dobândă la 0,1 an, 0,01 an, 0,001 an și așa mai departe. Apoi din 100 den. unitati un an mai tarziu:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unități den.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (unități den.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unități den.).

Cu o reducere nelimitată a termenelor de participare, capitalul acumulat nu crește la nesfârșit, ci se apropie de o anumită limită egală cu aproximativ 271. Capitalul plasat la 100% pe an nu poate crește de mai mult de 2,71 ori, chiar dacă dobânda acumulată ar fi fost adăugat la capital în fiecare secundă deoarece limita

Exemplul 3.1.Folosind definiția limitei unei secvențe de numere, demonstrați că șirul x n =(n-1)/n are o limită egală cu 1.

Soluţie.Trebuie să dovedim asta indiferentε > 0 nu am luat, există numar natural N astfel încât pentru toate n N inegalitatea|xn-1|< ε.

Luați orice e > 0. Deoarece ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, atunci pentru a găsi N este suficient să rezolvi inegalitatea 1/n< e. Prin urmare n>1/ e și, prin urmare, N poate fi luat ca parte întreagă a lui 1/ e, N = E(1/e ). Am demonstrat astfel că limita .

Exemplul 3.2 . Aflați limita unei șiruri date de un termen comun .

Soluţie.Aplicați teorema sumei limită și găsiți limita fiecărui termen. Pentru n→ ∞ numărătorul și numitorul fiecărui termen tinde spre infinit și nu putem aplica direct teorema limitei coeficientului. Prin urmare, mai întâi ne transformăm x n, împărțind numărătorul și numitorul primului termen la n 2, iar al doilea n. Apoi, aplicând teorema limitei coeficientului și teorema limitei sumei, găsim:

.

Exemplul 3.3. . A găsi .

Soluţie. .

Aici am folosit teorema limitei gradului: limita unui grad este egală cu gradul limitei bazei.

Exemplul 3.4 . A găsi ( ).

Soluţie.Este imposibil să se aplice teorema limitei diferențelor, deoarece avem o incertitudine a formei ∞-∞ . Să transformăm formula termenului general:

.

Exemplul 3.5 . Având în vedere o funcție f(x)=2 1/x . Demonstrați că limita nu există.

Soluţie.Folosim definiția 1 a limitei unei funcții în termeni de succesiune. Luați o secvență ( x n ) care converge la 0, adică. Să arătăm că valoarea f(x n)= se comportă diferit pentru secvențe diferite. Fie x n = 1/n. Evident, atunci limita Să alegem acum ca x n o secvență cu un termen comun x n = -1/n, de asemenea, tinde spre zero. Prin urmare, nu există limită.

Exemplul 3.6 . Demonstrați că limita nu există.

Soluţie.Fie x 1 , x 2 ,..., x n ,... o succesiune pentru care
. Cum se comportă șirul (f(x n)) = (sin x n ) pentru diferite x n → ∞

Dacă x n \u003d p n, atunci sin x n \u003d sin p n = 0 pentru toate n si limita Daca
xn=2 p n+ p /2, atunci sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 pentru toate n si de aici limita. Astfel nu există.

Widget pentru calcularea limitelor on-line

În caseta de sus, în loc de sin(x)/x, introduceți funcția a cărei limită doriți să o găsiți. În caseta de jos, introduceți numărul la care tinde x și faceți clic pe butonul Calculator, obțineți limita dorită. Și dacă faceți clic pe Afișare pași în colțul din dreapta sus în fereastra de rezultate, veți obține o soluție detaliată.

Reguli de introducere a funcției: sqrt(x) - rădăcină pătrată, cbrt(x) - rădăcină cubă, exp(x) - exponent, ln(x) - logaritm natural, sin(x) - sinus, cos(x) - cosinus, tan (x) - tangentă, cot(x) - cotangent, arcsin(x) - arcsinus, arccos(x) - arccosinus, arctan(x) - arctangent. Semne: * înmulțire, / împărțire, ^ exponențiere, în loc de infinit Infinit. Exemplu: funcția este introdusă ca sqrt(tan(x/2)).