Cum se definesc funcțiile pare și impare. Cum se determină funcțiile pare și impare Examinăm următoarea funcție pentru paritate

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizarea slide-ului are doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte întreaga amploare a prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Obiective:

• să formeze conceptul de funcții pare și impare, să învețe capacitatea de a determina și de a utiliza aceste proprietăți în studiul funcțiilor, reprezentarea grafică;
• să dezvolte activitatea creativă a elevilor, gândirea logică, capacitatea de a compara, generaliza;
• a cultiva hărnicia, cultura matematică; dezvolta abilitati de comunicare .

Echipament: instalare multimedia, tablă interactivă, fișe.

Forme de lucru: frontal şi grup cu elemente de căutare şi activităţi de cercetare.

Surse de informare:

1. Clasa de algebră 9 A.G. Mordkovich. Manual.
2. Algebră Clasa 9 A.G. Mordkovich. Caiet de sarcini.
3. Algebră clasa a 9-a. Sarcini de învățare și dezvoltare a elevilor. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

ÎN CURILE CLASURILOR

1. Moment organizatoric

Stabilirea scopurilor și obiectivelor lecției.

2. Verificarea temelor

Nr. 10.17 (Cartea cu probleme clasa a IX-a A.G. Mordkovich).

dar) la = f(X), f(X) =

b) f (–2) = –3; f (0) = –1; f(5) = 69;

c) 1. D( f) = [– 2; + ∞)
2. E( f) = [– 3; + ∞)
3. f(X) = 0 pentru X ~ 0,4
4. f(X) >0 la X > 0,4 ; f(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. Funcția crește cu X € [– 2; + ∞)
6. Funcția este limitată de jos.
7. la angajare = - 3, la naib nu există
8. Funcția este continuă.

(Ați folosit algoritmul de explorare a caracteristicilor?) Slide.

2. Să verificăm tabelul care a fost întrebat pe diapozitiv.

Umple tabelul
	Domeniu	Zerourile funcției	Intervale de constanță		Coordonatele punctelor de intersecție ale graficului cu Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x € (–5; 2)

3. Actualizare de cunoștințe

– Sunt date funcții.
– Specificați domeniul de definiție pentru fiecare funcție.
– Comparați valoarea fiecărei funcții pentru fiecare pereche de valori de argument: 1 și – 1; 2 și - 2.
– Pentru care dintre funcțiile date în domeniul definiției sunt egalitățile f(– X) = f(X), f(– X) = – f(X)? (pune datele în tabel) Slide

		f(1) și f(– 1)	f(2) și f(– 2)	grafice	f(– X) = –f(X)	f(– X) = f(X)
1. f(X) =
2. f(X) = X 3
3. f(X) = | X |
4.f(X) = 2X – 3
5. f(X) =	X ≠ 0
6. f(X)=	X > –1		și nedefinită.

4. material nou

- În timp ce facem această muncă, băieți, am dezvăluit încă o proprietate a funcției, necunoscută pentru dvs., dar nu mai puțin importantă decât celelalte - aceasta este uniformitatea și ciudatenia funcției. Scrieți subiectul lecției: „Funcții pare și impare”, sarcina noastră este să învățăm cum să determinăm funcțiile pare și impare, să aflăm semnificația acestei proprietăți în studiul funcțiilor și al trasării.
Deci, să găsim definițiile în manual și să citim (p. 110) . Slide

Def. unu Funcţie la = f (X) definită pe mulțimea X este numită chiar, dacă pentru orice valoare XЄ X în curs egalitatea f (–x) = f (x). Dă exemple.

Def. 2 Funcţie y = f(x), definit pe setul X este numit ciudat, dacă pentru orice valoare XЄ X egalitatea f(–х)= –f(х) este satisfăcută. Dă exemple.

Unde am întâlnit termenii „par” și „impar”?
Care dintre aceste funcții vor fi egale, crezi? De ce? Care sunt ciudate? De ce?
Pentru orice functie a formei la= x n, Unde n este un întreg, se poate argumenta că funcția este impară pentru n este impar și funcția este pară pentru n- chiar.
– Vizualizați funcțiile la= și la = 2X– 3 nu este nici par, nici impar, pentru că egalitățile nu sunt îndeplinite f(– X) = – f(X), f(– X) = f(X)

Studiul întrebării dacă o funcție este pară sau impară se numește studiul unei funcții pentru paritate. Slide

Definițiile 1 și 2 s-au ocupat de valorile funcției la x și - x, astfel încât se presupune că funcția este definită și la valoarea X, iar la - X.

AOD 3. Dacă o mulțime de numere împreună cu fiecare dintre elementele sale x conține elementul opus x, atunci mulțimea X se numeste multime simetrica.

Exemple:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) sunt mulțimi simetrice, iar , [–5;4] sunt nesimetrice.

- Chiar și funcțiile au un domeniu de definiție - o mulțime simetrică? Cele ciudate?
- Dacă D( f) este o mulțime asimetrică, atunci care este funcția?
– Astfel, dacă funcția la = f(X) este par sau impar, atunci domeniul său de definiție este D( f) este o mulțime simetrică. Dar este adevărat invers, dacă domeniul unei funcții este o mulțime simetrică, atunci este par sau impar?
- Deci prezența unei mulțimi simetrice a domeniului definiției este o condiție necesară, dar nu suficientă.
– Deci, cum putem investiga funcția pentru paritate? Să încercăm să scriem un algoritm.

Slide

Algoritm pentru examinarea unei funcții pentru paritate

1. Stabiliți dacă domeniul funcției este simetric. Dacă nu, atunci funcția nu este nici pară, nici impară. Dacă da, mergeți la pasul 2 al algoritmului.

2. Scrie o expresie pentru f(–X).

3. Comparați f(–X).Și f(X):

• dacă f(–X).= f(X), atunci funcția este pară;
• dacă f(–X).= – f(X), atunci funcția este impară;
• dacă f(–X) ≠ f(X) Și f(–X) ≠ –f(X), atunci funcția nu este nici pară, nici impară.

Exemple:

Investigați funcția pentru paritate a) la= x 5 +; b) la= ; în) la= .

Soluţie.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), mulţime simetrică.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e funcție h(x)= x 5 + impar.

b) y =,

la = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), mulțime asimetrică, deci funcția nu este nici pară, nici impară.

în) f(X) = , y = f(x),

1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

Opțiunea 2

1. Mulțimea dată este simetrică: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

dar); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Examinați funcția pentru paritate:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. În fig. complotată la = f(X), pentru toți X, îndeplinind condiția X? 0.
Trasează funcția la = f(X), dacă la = f(X) este o funcție uniformă.

3. În fig. complotată la = f(X), pentru toate x care satisface x? 0.
Trasează funcția la = f(X), dacă la = f(X) este o funcție impară.

Verificare reciprocă diapozitiv.

6. Tema pentru acasă: №11.11, 11.21,11.22;

Dovada semnificației geometrice a proprietății de paritate.

*** (Atribuirea opțiunii USE).

1. Funcția impară y \u003d f (x) este definită pe întreaga linie reală. Pentru orice valoare nenegativă a variabilei x, valoarea acestei funcții coincide cu valoarea funcției g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Aflați valoarea funcției h( X) = la X = 3.

7. Rezumând

În iulie 2020, NASA lansează o expediție pe Marte. Nava spațială va livra pe Marte un transportator electronic cu numele tuturor membrilor înregistrați ai expediției.

Dacă această postare ți-a rezolvat problema sau pur și simplu ți-a plăcut, distribuie linkul către ea prietenilor tăi de pe rețelele sociale.

Una dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete Și sau imediat după etichetă . Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune urmărește și încarcă automat cele mai recente versiuni de MathJax. Dacă introduceți primul cod, atunci acesta va trebui actualizat periodic. Dacă lipiți al doilea cod, atunci paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.

Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript de la terți, copiați prima sau a doua versiune a codului de încărcare prezentat mai sus în el și plasați widgetul mai aproape la începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta e tot. Acum aflați sintaxa de marcare MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să lipiți formule matematice pe paginile web ale site-ului dvs.

Un alt Revelion... vreme geroasă și fulgi de zăpadă pe geamul ferestrei... Toate acestea m-au determinat să scriu din nou despre... fractali și despre ce știe Wolfram Alpha despre asta. Cu această ocazie, există un articol interesant în care există exemple de structuri fractale bidimensionale. Aici ne vom uita la mai multe exemple complexe fractali tridimensionali.

Un fractal poate fi reprezentat vizual (descris) ca o figură geometrică sau un corp (însemnând că ambele sunt o mulțime, în acest caz, un set de puncte), ale căror detalii au aceeași formă ca figura originală în sine. Adică, este o structură auto-similară, având în vedere detaliile căreia, atunci când este mărită, vom vedea aceeași formă ca și fără mărire. Pe când în cazul obișnuitului figură geometrică(nu un fractal), când măriți, vom vedea detalii care au o formă mai simplă decât figura originală în sine. De exemplu, la o mărire suficient de mare, o parte a unei elipse arată ca un segment de linie dreaptă. Acest lucru nu se întâmplă cu fractalii: cu orice creștere a acestora, vom vedea din nou același lucru formă complexă, care cu fiecare creștere se va repeta iar și iar.

Benoit Mandelbrot, fondatorul științei fractalilor, în articolul său Fractals and Art for Science a scris: „Fractalii sunt forme geometrice care sunt la fel de complexe în detalii, precum sunt în forma lor generală. Adică, dacă o parte a fractalului va fi mărită la dimensiunea întregului, va arăta ca întregul, sau exact, sau poate cu o ușoară deformare.

Dependența variabilei y de variabila x, în care fiecare valoare a lui x corespunde unei singure valori a lui y se numește funcție. Notația este y=f(x). Fiecare funcție are o serie de proprietăți de bază, cum ar fi monotonitatea, paritatea, periodicitatea și altele.

Luați în considerare proprietatea de paritate mai detaliat.

O funcție y=f(x) este apelată chiar dacă îndeplinește următoarele două condiții:

2. Valoarea funcției la punctul x aparținând domeniului funcției trebuie să fie egală cu valoarea funcției la punctul -x. Adică, pentru orice punct x, din domeniul funcției, următoarea egalitate f (x) \u003d f (-x) trebuie să fie adevărată.

Graficul unei funcții pare

Dacă construiți un grafic al unei funcții pare, aceasta va fi simetrică față de axa y.

De exemplu, funcția y=x^2 este pară. Hai să verificăm. Domeniul de definiție este întreaga axă numerică, ceea ce înseamnă că este simetrică față de punctul O.

Luați un x=3 arbitrar. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Prin urmare, f(x) = f(-x). Astfel, ambele condiții sunt îndeplinite pentru noi, ceea ce înseamnă că funcția este pară. Mai jos este un grafic al funcției y=x^2.

Figura arată că graficul este simetric față de axa y.

Graficul unei funcții impare

O funcție y=f(x) se numește impară dacă îndeplinește următoarele două condiții:

1. Domeniul funcției date trebuie să fie simetric față de punctul O. Adică dacă un punct a aparține domeniului funcției, atunci punctul corespunzător -a trebuie să aparțină și domeniului funcției date.

2. Pentru orice punct x, din domeniul funcției, trebuie îndeplinită următoarea egalitate f (x) \u003d -f (x).

Graficul unei funcții impare este simetric față de punctul O - originea. De exemplu, funcția y=x^3 este impară. Hai să verificăm. Domeniul de definiție este întreaga axă numerică, ceea ce înseamnă că este simetrică față de punctul O.

Luați un x=2 arbitrar. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Prin urmare f(x) = -f(x). Astfel, ambele condiții sunt îndeplinite pentru noi, ceea ce înseamnă că funcția este impară. Mai jos este un grafic al funcției y=x^3.

Figura arată clar că funcția impară y=x^3 este simetrică față de origine.

O funcție se numește par (impar) dacă pentru oricare și egalitatea

.

Graficul unei funcții pare este simetric în raport cu axa
.

Graficul unei funcții impare este simetric față de origine.

Exemplul 6.2. Examinați funcțiile pare sau impare

1)
; 2)
; 3)
.

Soluţie.

1) Funcția este definită cu
. Sa gasim
.

Acestea.
. Mijloace, funcţie dată este chiar.

2) Funcția este definită pentru

Acestea.
. Astfel, această funcție este impară.

3) funcția este definită pentru , i.e. pentru

,
. Prin urmare, funcția nu este nici pară, nici impară. Să o numim o funcție generală.

3. Investigarea unei funcţii pentru monotonitate.

Funcţie
se numește crescător (descrescător) pe un anumit interval, dacă în acest interval fiecare valoare mai mare argumentul corespunde valorii mai mari (mai mici) a funcției.

Funcțiile care cresc (descresc) pe un anumit interval sunt numite monotone.

Dacă funcţia
diferențiabilă pe interval
și are o derivată pozitivă (negativă).
, apoi funcția
crește (descrește) în acest interval.

Exemplul 6.3. Găsiți intervalele de monotonitate ale funcțiilor

1)
; 3)
.

Soluţie.

1) Această funcție este definită pe toată axa numerelor. Să găsim derivata.

Derivata este zero daca
Și
. Domeniu de definire - axa numerică, împărțită la puncte
,
pentru intervale. Să determinăm semnul derivatei în fiecare interval.

În interval
derivata este negativa, functia scade pe acest interval.

În interval
derivata este pozitivă, prin urmare, funcția este în creștere pe acest interval.

2) Această funcție este definită dacă
sau

.

Determinăm semnul trinomului pătrat în fiecare interval.

Astfel, domeniul de aplicare al funcției

Să găsim derivata
,
, dacă
, adică
, dar
. Să determinăm semnul derivatei în intervale
.

În interval
derivata este negativă, prin urmare, funcția scade pe interval
. În interval
derivata este pozitiva, functia creste pe interval
.

4. Investigarea unei funcții pentru un extremum.

Punct
se numește punctul maxim (minim) al funcției
, dacă există o astfel de vecinătate a punctului asta pentru toata lumea
acest cartier satisface inegalitatea

.

Punctele maxime și minime ale unei funcții se numesc puncte extreme.

Dacă funcţia
la punct are un extremum, atunci derivata funcției în acest punct este egală cu zero sau nu există (condiție necesară pentru existența unui extremum).

Punctele în care derivata este egală cu zero sau nu există sunt numite critice.

5. Condiții suficiente pentru existența unui extremum.

Regula 1. Dacă în timpul trecerii (de la stânga la dreapta) prin punctul critic derivat
schimbă semnul din „+” în „-”, apoi la punctul funcţie
are un maxim; dacă de la „-” la „+”, atunci minimul; dacă
nu schimbă semnul, atunci nu există extremum.

Regula 2. Lasă la punct
derivata prima a functiei
zero
, iar derivata a doua există și este diferită de zero. Dacă
, apoi este punctul maxim, dacă
, apoi este punctul minim al funcției.

Exemplu 6.4 . Explorați funcțiile maxime și minime:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Soluţie.

1) Funcția este definită și continuă pe interval
.

Să găsim derivata
și rezolvați ecuația
, adică
.de aici
sunt puncte critice.

Să determinăm semnul derivatei în intervalele ,
.

La trecerea prin puncte
Și
derivata își schimbă semnul din „–” în „+”, prin urmare, conform regulii 1
sunt punctele minime.

La trecerea printr-un punct
derivata schimbă semnul de la „+” la „-”, deci
este punctul maxim.

,
.

2) Funcția este definită și continuă în interval
. Să găsim derivata
.

Prin rezolvarea ecuației
, găsi
Și
sunt puncte critice. Dacă numitorul
, adică
, atunci derivata nu există. Asa de,
este al treilea punct critic. Să determinăm semnul derivatei în intervale.

Prin urmare, funcția are un minim la punct
, maxim la puncte
Și
.

3) O funcție este definită și continuă dacă
, adică la
.

Să găsim derivata

.

Să găsim punctele critice:

Vecinătăți de puncte
nu aparțin domeniului definiției, deci nu sunt extremum t. Deci haideți să explorăm punctele critice
Și
.

4) Funcția este definită și continuă pe interval
. Folosim regula 2. Aflați derivata
.

Să găsim punctele critice:

Să găsim derivata a doua
și determinați-i semnul la puncte

La puncte
funcția are un minim.

La puncte
funcția are un maxim.

. Pentru a face acest lucru, utilizați hârtie milimetrică sau un calculator grafic. Selectați orice număr de valori numerice pentru variabila independentă x (\displaystyle x)și conectați-le la funcția pentru a calcula valorile variabilei dependente y (\displaystyle y). Puneți coordonatele găsite ale punctelor pe planul de coordonate și apoi conectați aceste puncte pentru a construi un grafic al funcției.

• Înlocuiți valori numerice pozitive în funcție x (\displaystyle x)și valorile numerice negative corespunzătoare. De exemplu, dată o funcție f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Înlocuiți următoarele valori în el x (\displaystyle x):

Verificați dacă graficul funcției este simetric față de axa y. Simetrie înseamnă reflexie în oglindă grafică în raport cu axa y. Dacă partea graficului din dreapta axei y (valorile pozitive ale variabilei independente) se potrivește cu partea graficului din stânga axei y (valorile negative ale variabilei independente), graficul este simetric față de axa y. Dacă funcția este simetrică față de axa y, funcția este pară.

Verificați dacă graficul funcției este simetric față de origine. Originea este punctul cu coordonatele (0,0). Simetria cu privire la origine înseamnă că o valoare pozitivă y (\displaystyle y)(cu valoare pozitivă x (\displaystyle x)) corespunde unei valori negative y (\displaystyle y)(cu valoare negativă x (\displaystyle x)), si invers. Funcțiile impare au simetrie față de origine.

Verificați dacă graficul funcției are vreo simetrie. Ultimul tip de funcție este o funcție al cărei grafic nu are simetrie, adică nu există o imagine în oglindă atât față de axa y, cât și față de origine. De exemplu, dată o funcție.

• Înlocuiți mai multe valori pozitive și negative corespunzătoare în funcție x (\displaystyle x):
• Conform rezultatelor obținute, nu există simetrie. Valori y (\displaystyle y) pentru valori opuse x (\displaystyle x) nu se potrivesc si nu sunt opuse. Astfel, funcția nu este nici pară, nici impară.
• Vă rugăm să rețineți că funcția f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) se poate scrie asa: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). Scrisă în această formă, funcția pare a fi pară, deoarece există un exponent par. Dar acest exemplu demonstrează că forma unei funcții nu poate fi determinată rapid dacă variabila independentă este cuprinsă în paranteze. În acest caz, trebuie să deschideți parantezele și să analizați exponenții rezultați.