Cum se determină circumferința. Cum să găsiți circumferința unui cerc: prin diametru și rază. Terminologie, formule de bază și caracteristici ale figurii. Bestia nu este atât de groaznică pe cât este pictată

Un cerc este o curbă închisă, toate punctele care se află la aceeași distanță de centru. Această cifră este plată. Prin urmare, soluția problemei, a cărui întrebare este cum să găsiți lungimea unui cerc, este destul de simplă. Vom lua în considerare toate metodele disponibile în articolul de astăzi.

Descrieri figuri

În plus față de o definiție descriptivă destul de simplă, există încă trei caracteristici matematice ale unui cerc, care în sine conțin un răspuns la întrebarea cum să găsiți lungimea unui cerc:

• Este format din punctele A și B și toate celelalte din care AB poate fi văzut în unghi drept. Diametrul acestei figuri este egal cu lungimea segmentului luat în considerare.
• Include doar X puncte, astfel încât raportul AX / BX este constant și nu egal cu unul. Dacă această condiție nu este îndeplinită, atunci nu este un cerc.
• Se compune din puncte, pentru fiecare dintre care se îndeplinește următoarea egalitate: suma pătratelor distanțelor față de celelalte două este o valoare dată, care este întotdeauna mai mult de jumătate din lungimea segmentului dintre ele.

Terminologie

Nu toată lumea de la școală avea profesor bun matematică. Prin urmare, răspunsul la întrebarea cum să găsiți lungimea unui cerc este și mai complicat de faptul că nu toată lumea cunoaște conceptele geometrice de bază. Raza este segmentul de linie care leagă centrul formei de un punct de pe curbă. Un caz special în trigonometrie este cercul unitar. O coardă este un segment de linie care leagă două puncte dintr-o curbă. De exemplu, AB deja considerat se încadrează în această definiție. Diametrul este o coardă prin centru. Numărul π este egal cu lungimea semicercului unitar.

Formule de bază

Formulele geometrice care vă permit să calculați caracteristicile de bază ale unui cerc rezultă direct din definiții:

1. Lungimea este egală cu produsul dintre numărul π și diametrul. Formula este de obicei scrisă după cum urmează: C = π * D.
2. Raza este jumătate din diametru. Se poate calcula și calculând câtul de împărțire a circumferinței la două ori π. Formula arată astfel: R = C / (2 * π) = D / 2.
3. Diametrul este egal cu câtul împărțirii circumferinței la π sau de două ori raza. Formula este destul de simplă și arată astfel: D = C / π = 2 * R.
4. Aria unui cerc este egală cu produsul dintre numărul π și pătratul razei. În mod similar, diametrul poate fi utilizat în această formulă. În acest caz, aria va fi egală cu câtul dintre produsul lui π și pătratul diametrului cu patru. Formula poate fi scrisă astfel: S = π * R 2 = π * D 2/4.

Cum să găsiți circumferința după diametru

Pentru simplitatea explicației, să desemnăm cu litere caracteristicile cifrei necesare calculării. Fie C lungimea dorită, D fie diametrul său și numărul π este de aproximativ 3,14. Dacă avem o singură cantitate cunoscută, atunci problema poate fi considerată rezolvată. De ce este nevoie de acest lucru în viață? Să presupunem că am decis să închidem o piscină rotundă cu un gard. Cum se calculează numărul necesar de coloane? Și aici abilitatea de a calcula circumferința vine în ajutor. Formula arată astfel: C = π D. În exemplul nostru, diametrul este determinat pe baza razei piscinei și a distanței necesare până la gard. De exemplu, să presupunem că rezervorul nostru artificial de acasă are 20 de metri lățime și vom pune stâlpii la o distanță de zece metri de el. Diametrul cercului rezultat este de 20 + 10 * 2 = 40 m. Lungimea este de 3,14 * 40 = 125,6 metri. Avem nevoie de 25 de stâlpi dacă distanța dintre ei este de aproximativ 5 m.

Lungime prin rază

Ca întotdeauna, să începem prin a atribui litere caracteristicilor cercului. De fapt, sunt universali, deci matematicienii din tari diferite nu este deloc necesar să se cunoască limbajul celuilalt. Să presupunem că C este circumferința cercului, r este raza și π este aproximativ 3,14. Formula arată astfel în acest caz: C = 2 * π * r. Evident, aceasta este egalitate absolut corectă. După cum ne-am dat seama deja, diametrul cercului este egal cu de două ori mai mare decât raza, deci această formulă arată astfel. În viață, această metodă poate fi adesea utilă. De exemplu, coacem o prăjitură într-o formă specială de alunecare. Pentru a nu se murdari, avem nevoie de un ambalaj decorativ. Dar cum să tăiați cercul la dimensiunea potrivită. Aici intervine matematica. Cei care știu să afle lungimea unui cerc vor spune imediat că trebuie să înmulțiți numărul π cu de două ori raza formei. Dacă raza sa este de 25 cm, atunci lungimea va fi de 157 de centimetri.

Exemple de sarcini

Am luat în considerare deja câteva cazuri practice de cunoștințe dobândite cu privire la modul de a afla lungimea unui cerc. Dar de multe ori nu ne preocupă ele, ci problemele matematice reale care sunt cuprinse în manual. La urma urmei, profesorul dă puncte pentru ei! Prin urmare, să luăm în considerare o problemă de complexitate crescută. Să presupunem că circumferința este de 26 cm. Cum găsești raza unei astfel de forme?

Exemplu de soluție

Pentru început, să scriem ce ni se dă: C = 26 cm, π = 3,14. Amintiți-vă și formula: C = 2 * π * R. Din el puteți extrage raza cercului. Deci R = C / 2 / π. Acum să trecem la calculul direct. În primul rând, împărțim lungimea la doi. Obținem 13. Acum trebuie să împărțim la valoarea numărului π: 13 / 3,14 = 4,14 cm.Este important să nu uităm să notăm corect răspunsul, adică cu unitățile de măsură, altfel întregul practic sensul unor astfel de sarcini se va pierde. În plus, pentru o astfel de neatenție, puteți obține un punct mai mic. Și oricât de enervant ar fi, trebuie să suporti această stare de lucruri.

Bestia nu este atât de groaznică pe cât este pictată

Deci ne-am ocupat de o sarcină atât de dificilă. După cum sa dovedit, trebuie doar să înțelegeți semnificația termenilor și să vă amintiți câteva formule ușoare. Matematica nu este atât de înfricoșătoare, trebuie doar să depui puțin efort. Deci geometria te așteaptă!

1. Mai greu de găsit circumferinta prin diametru, deci să analizăm mai întâi această opțiune.

Exemplu: Aflați circumferința unui cerc al cărui diametru este de 6 cm... Folosim formula de mai sus pentru circumferința unui cerc, dar mai întâi trebuie să găsim raza. Pentru a face acest lucru, împărțim diametrul de 6 cm la 2 și obținem o rază a unui cerc de 3 cm.

După aceea, totul este extrem de simplu: Înmulțiți numărul Pi cu 2 și cu raza rezultată de 3 cm.
2 * 3,14 * 3 cm = 6,28 * 3 cm = 18,84 cm.

2. Și acum să analizăm încă o dată opțiunea simplă. aflați că circumferința razei este de 5 cm

Rezolvare: Înmulțiți raza de 5 cm cu 2 și înmulțiți cu 3,14. Nu vă alarmați, deoarece rearanjarea multiplicatorilor nu afectează rezultatul și formula circumferinței poate fi folosit în orice ordine.

5cm * 2 * 3.14 = 10 cm * 3.14 = 31.4 cm - aceasta este circumferința găsită pentru o rază de 5 cm!

Calculator de circumferință online

Calculatorul nostru de circumferință a unui cerc va efectua instantaneu toate aceste calcule deloc complicate și va nota soluția într-o linie și cu comentarii. Vom calcula circumferința pentru o rază de 3, 5, 6, 8 sau 1 cm, sau diametrul este de 4, 10, 15, 20 dm, calculatorul nostru nu contează pentru ce valoare a razei să găsim circumferința.

Toate calculele vor fi precise, testate de matematicieni de specialitate. Rezultatele pot fi utilizate în rezolvarea problemelor școlare de geometrie sau matematică, precum și în calculele de lucru în construcții sau în repararea și decorarea spațiilor, atunci când sunt necesare calcule precise folosind această formulă.

Multe obiecte din lumea înconjurătoare au formă rotundă. Acestea sunt roți, deschideri rotunde pentru ferestre, țevi, diverse feluri de mâncare și multe altele. Puteți calcula care este circumferința unui cerc, cunoscând diametrul sau raza acestuia.

Există mai multe definiții ale acestui lucru formă geometrică.

• Este o curbă închisă formată din puncte care sunt echidistante de un punct dat.
• Este o curbă formată din punctele A și B, care sunt capetele segmentului de dreaptă și toate punctele din care A și B sunt vizibile în unghi drept. În acest caz, segmentul AB este diametrul.
• Pentru același segment AB, această curbă include toate punctele C, astfel încât raportul AC / BC este neschimbat și nu este egal cu 1.
• Aceasta este o curbă formată din puncte pentru care este adevărat: dacă adăugați pătratele distanțelor de la un punct la două date alte puncte A și B, obțineți un număr constant mai mare de 1/2 din segmentul care leagă A și B. Această definiție este derivată din teorema lui Pitagora.

Notă! Există și alte definiții. Un cerc este o zonă din interiorul unui cerc. Perimetrul unui cerc este lungimea acestuia. Conform diverselor definiții, un cerc poate include sau nu curba în sine, care este limita sa.

Definirea unui cerc

Formule

Cum se calculează circumferința unui cerc în termeni de rază? Acest lucru se face folosind o formulă simplă:

unde L este valoarea cerută,

π este pi, aproximativ egal cu 3,1413926.

De obicei, pentru a găsi valoarea dorită, este suficient să folosiți π până la a doua zecimală, adică 3,14, aceasta va oferi precizia necesară. Calculatoarele, în special calculatoarele de inginerie, pot avea un buton care introduce automat valoarea numărului π.

Denumiri

Pentru a afla prin diametru, există următoarea formulă:

Dacă L este deja cunoscut, raza sau diametrul pot fi găsite cu ușurință. Pentru a face acest lucru, L trebuie împărțit la 2π sau, respectiv, π.

Dacă un cerc este deja dat, trebuie să înțelegeți cum să găsiți circumferința unui cerc din aceste date. Aria cercului este S = πR2. De aici găsim raza: R = √ (S / π). Atunci

L = 2πR = 2π√ (S / π) = 2√ (Sπ).

Este, de asemenea, ușor de calculat aria în termeni de L: S = πR2 = π (L / (2π)) 2 = L2 / (4π)

Pe scurt, putem spune că există trei formule principale:

• prin raza - L = 2πR;
• prin diametru - L = πD;
• prin aria cercului - L = 2√ (Sπ).

Pi

Fără numărul π, nu va fi posibilă rezolvarea problemei luate în considerare. Numărul π a fost găsit mai întâi ca raport dintre circumferința unui cerc și diametrul acestuia. Acest lucru a fost făcut de vechii babilonieni, egipteni și indieni. Ei au găsit-o destul de precis - rezultatele lor diferă de valoarea acum cunoscută a lui π cu nu mai mult de 1%. Constanta a fost aproximată prin fracții precum 25/8, 256/81, 339/108.

Mai departe, valoarea acestei constante a fost considerată nu numai din punct de vedere al geometriei, ci și din punctul de vedere al analizei matematice prin suma seriei. Desemnarea acestei constante prin litera greacă π a fost folosită pentru prima dată de William Jones în 1706 și a devenit populară după lucrarea lui Euler.

Se știe acum că această constantă este o fracție zecimală neperiodică infinită, este irațională, adică nu poate fi reprezentată ca raport de două numere întregi. Cu ajutorul calculelor pe supercalculatoare în 2011, am învățat semnul de 10 trilioane al unei constante.

Este interesant! Pentru a memora primele cifre ale lui π, au fost inventate diverse reguli mnemonice. Unele vă permit să stocați în memorie număr mare cifre, de exemplu, o poezie franceză vă va ajuta să memorați pi până la 126 de caractere.

Dacă aveți nevoie de circumferință, un calculator online vă poate ajuta cu asta. Există multe astfel de calculatoare, în ele trebuie doar să introduceți raza sau diametrul. Unele dintre ele au ambele opțiuni, altele calculează rezultatul numai prin R. Unele calculatoare pot calcula valoarea necesară cu o precizie diferită, trebuie să specificați numărul de zecimale. De asemenea, folosind calculatoare online, puteți calcula aria unui cerc.

Astfel de calculatoare sunt ușor de găsit de către orice motor de căutare. Există, de asemenea, aplicații mobile care vă vor ajuta să rezolvați problema modului de a găsi lungimea unui cerc.

Video util: circumferinta

Uz practic

Cel mai adesea este necesar ca inginerii și arhitecții să rezolve o astfel de problemă, dar cunoașterea formulelor necesare poate fi utilă și în viața de zi cu zi. De exemplu, trebuie să înfășurați un tort copt într-o formă cu un diametru de 20 cm cu o bandă de hârtie. Atunci nu va fi dificil să găsiți lungimea acestei benzi:

L = πD = 3,14 * 20 = 62,8 cm.

Un alt exemplu: trebuie să construiți un gard în jurul unei piscine circulare la o anumită distanță. Dacă raza piscinei este de 10 m, iar gardul trebuie plasat la o distanță de 3 m, atunci R pentru cercul rezultat va fi de 13 m. Atunci lungimea sa este:

L = 2πR = 2 * 3,14 * 13 = 81,68 m.

Video util: cerc - rază, diametru, circumferință

Rezultat

Perimetrul unui cerc poate fi calculat cu ușurință folosind formule simple, inclusiv diametrul sau raza. De asemenea, puteți găsi valoarea dorită prin zona cercului. Pentru a rezolva această problemă, calculatoarele online sau aplicațiile mobile vă vor ajuta, în care trebuie să introduceți un singur număr - diametrul sau raza.

In contact cu

Un cerc este o linie curbă care cuprinde un cerc. În geometrie, figurile sunt plate, deci definiția se referă la o imagine bidimensională. Se presupune că toate punctele acestei curbe sunt echidistante de centrul cercului.

Un cerc are mai multe caracteristici pe baza cărora se fac calculele asociate acestei figuri geometrice. Acestea includ: diametrul, raza, suprafața și circumferința. Aceste caracteristici sunt interdependente, adică pentru a le calcula, există suficiente informații despre cel puțin una dintre componente. De exemplu, cunoscând doar raza unei figuri geometrice folosind formula, puteți găsi circumferința, diametrul și aria acesteia.

• Raza unui cerc este un segment de linie dintr-un cerc conectat la centrul acestuia.
• Diametrul este un segment de linie din interiorul unui cerc care leagă punctele acestuia și trece prin centru. Practic, diametrul este de două raze. Așa arată formula de calcul: D = 2r.
• Mai există o componentă a cercului - coarda. Această linie care leagă două puncte ale cercului, dar nu trece întotdeauna prin centru. Deci coarda care trece prin ea se mai numește și diametru.

Cum să afli circumferința? Să aflăm acum.

Circumferinta: formula

Pentru a desemna această caracteristică s-a ales litera latină p. Chiar și Arhimede a demonstrat că raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul său este același număr pentru toate cercurile: acesta este numărul π, care este aproximativ egal cu 3,14159. Formula de calcul a lui π arată astfel: π = p / d. Conform acestei formule, valoarea lui p este egală cu πd, adică circumferința: p = πd. Deoarece d (diametrul) este egal cu două raze, aceeași formulă pentru circumferința unui cerc poate fi scrisă ca p = 2πr. Luați în considerare aplicarea formulei folosind exemplul de probleme simple:

Problema 1

La baza clopotului țarului, diametrul este de 6,6 metri. Care este circumferința bazei clopotului?

1. Deci, formula de calcul al cercului este p = πd
2. Inlocuim valoarea existenta in formula: p = 3,14 * 6,6 = 20,724

Răspuns: Circumferința bazei clopotului este de 20,7 metri.

Sarcina 2

Un satelit artificial al Pământului orbitează la o distanță de 320 km de planetă. Raza Pământului este de 6370 km. Cât de lungă este orbita circulară a satelitului?

1. 1.Calculați raza orbitei circulare a satelitului Pământului: 6370 + 320 = 6690 (km)
2. 2.Calculați lungimea orbitei circulare a satelitului folosind formula: P = 2πr
3. 3.P = 2 * 3,14 * 6690 = 42013,2

Răspuns: lungimea orbitei circulare a satelitului Pământului este de 42013,2 km.

Metode de măsurare a circumferinței

Calculul circumferinței nu este adesea folosit în practică. Motivul pentru aceasta este valoarea aproximativă a lui π. În viața de zi cu zi, un dispozitiv special este folosit pentru a găsi lungimea unui cerc - un curvimetru. Un punct de referință arbitrar este marcat pe cerc și dispozitivul este condus de la acesta strict de-a lungul liniei până când ajung din nou în acest punct.

Cum să găsești circumferința unui cerc? Trebuie doar să țineți cont de o formulă simplă pentru calcule.

Circumferința este indicată prin literă Cși se calculează cu formula:

C = 2πR,
Unde R - raza cercului.

Derivarea unei formule care exprimă circumferința

Căile C și C „sunt circumferințele razelor R și R”. Să înscriem în fiecare dintre ele un n-gon regulat și să notăm cu P n și P „n perimetrele lor, iar cu a n și a” n laturile lor. Folosind formula pentru calcularea laturii unui n-gon regulat a n = 2R sin (180 ° / n) obținem:
P n = n a n = n 2R sin (180 ° / n),
P "n = n * a" n = n * 2R "sin (180 ° / n).
Prin urmare,
P n / P "n = 2R / 2R". (unu)
Această egalitate este adevărată pentru orice valoare a lui n. Acum vom crește numărul n la infinit. Deoarece P n → C, P „n → C”, n → ∞, limita raportului P n / P „n este egală cu C / C”. Pe de altă parte, în virtutea egalității (1), această limită este egală cu 2R / 2R ". Astfel, C / C" = 2R / 2R ". Din această egalitate rezultă că C / 2R = C" / 2R " , adică... raportul dintre circumferința unui cerc și diametrul său este același număr pentru toate cercurile. Acest număr este de obicei notat cu litera greacă π ("pi").
Din egalitatea C / 2R = π obținem formula de calcul a circumferinței unui cerc cu raza R:
C = 2πR.

Lungimea arcului circular

Deoarece lungimea întregului cerc este 2πR, lungimea l a unui arc de 1 ° este 2πR / 360 = πR / 180.
Asa de lungimea l a unui arc de cerc cu măsura gradului α exprimat prin formula
l = (πR / 180) α.