Acasă » Acoperiș moale » Vectori x y. Vectori pentru examenul de matematică. Acțiuni asupra vectorilor. Operații pe vectori specificați sub formă de coordonate

Vectori x y. Vectori pentru examenul de matematică. Acțiuni asupra vectorilor. Operații pe vectori specificați sub formă de coordonate

Un astfel de concept ca vector este considerat în aproape toate științele naturii și poate avea semnificații complet diferite, prin urmare este imposibil să se ofere o definiție clară a unui vector pentru toate zonele. Dar să încercăm să ne dăm seama. Deci un vector - ce este?

Concept de vector în geometria clasică

Un vector în geometrie este un segment pentru care se indică care dintre punctele sale este începutul și care este sfârșitul. Adică, în termeni mai simpli, un vector este un segment direcționat.

În consecință, un vector este notat (ce este - discutat mai sus), ca un segment, adică două litere majuscule ale alfabetului latin cu adăugarea unei linii sau a unei săgeți îndreptate spre dreapta sus. Poate fi semnat și cu o literă mică (mici) din alfabetul latin cu o linie sau săgeată. Săgeata este întotdeauna îndreptată spre dreapta și nu se modifică în funcție de locația vectorului.

Deci un vector are o direcție și o lungime.

Desemnarea vectorului conține și direcția acestuia. Acest lucru este exprimat ca în figura de mai jos.

Schimbarea direcției inversează valoarea vectorului.

Lungimea unui vector este lungimea segmentului din care este format. Este desemnat ca un modul al unui vector. Acest lucru este prezentat în figura de mai jos.

În consecință, un vector a cărui lungime este egală cu zero este zero. De aici rezultă că vectorul zero este un punct, iar punctele de început și de sfârșit coincid în el.

Lungimea vectorului - valoarea nu este întotdeauna negativă. Cu alte cuvinte, dacă există un segment, atunci acesta are în mod necesar o anumită lungime sau este un punct, atunci lungimea lui este zero.

Însuși conceptul de punct este de bază și nu are definiție.

Adăugarea vectorului

Există formule și reguli speciale pentru vectori pe care le puteți folosi pentru a efectua adunări.

Regula triunghiului. Pentru a adăuga vectori conform acestei reguli, este suficient să combinați sfârșitul primului vector și începutul celui de-al doilea, folosind translația paralelă, și să le conectați. Al treilea vector rezultat va fi egal cu adăugarea celorlalți doi.

Regula paralelogramului. Pentru a adăuga conform acestei reguli, este necesar să desenați ambii vectori dintr-un punct și apoi să desenați un alt vector de la capătul fiecăruia dintre ei. Adică, al doilea va fi desenat din primul vector, iar primul va fi desenat din al doilea. Rezultatul este un nou punct de intersecție și un paralelogram. Dacă combinați punctul de intersecție al începuturilor și sfârșitului vectorilor, atunci vectorul rezultat va fi rezultatul adunării.

Scăderea este, de asemenea, posibilă într-un mod similar.

Vectori de diferență

Similar cu adăugarea vectorilor, este posibil să se efectueze scăderea acestora. Se bazează pe principiul prezentat în figura de mai jos.

Adică este suficient să reprezinte vectorul care trebuie scăzut sub forma unui vector opus acestuia și să se calculeze după principiile adunării.

De asemenea, absolut orice vector diferit de zero poate fi înmulțit cu orice număr k, acest lucru își va schimba lungimea de k ori.

Pe lângă acestea, există și alte formule vectoriale (de exemplu, pentru a exprima lungimea unui vector în funcție de coordonatele acestuia).

Vectori de poziţionare

Cu siguranță mulți au dat peste un astfel de concept ca un vector coliniar. Ce este coliniaritatea?

Coliniaritatea vectorilor este echivalentă cu paralelismul liniilor drepte. Dacă doi vectori se află pe linii drepte paralele între ele sau pe o singură dreaptă, atunci astfel de vectori se numesc coliniari.

Direcţie. Vectorii coliniari unul față de celălalt pot fi co-direcționali sau direcționați opus, acest lucru este determinat de direcția vectorilor. În consecință, dacă un vector este co-direcționat cu altul, atunci vectorul opus acestuia este direcționat opus.

Prima figură prezintă doi vectori direcționați opus și a treia, care nu este coliniar cu ei.

După introducerea proprietăților de mai sus, este posibil să se dea o definiție vectorilor egali - aceștia sunt vectori care sunt direcționați într-o direcție și au aceeași lungime a segmentelor din care sunt formați.

În multe științe, este folosit și conceptul de vector cu rază. Un astfel de vector descrie poziția unui punct pe plan față de un alt punct fix (de multe ori aceasta este originea).

Vectori în fizică

Să presupunem că, la rezolvarea problemei, a apărut condiția: corpul se mișcă cu o viteză de 3 m/s. Aceasta înseamnă că corpul se mișcă cu o direcție specifică de-a lungul unei linii drepte, astfel încât această variabilă va fi o valoare vectorială. Pentru soluție, este important să se cunoască atât valoarea, cât și direcția, deoarece, în funcție de considerent, viteza poate fi egală atât cu 3 m / s, cât și cu -3 m / s.

În general, un vector în fizică este folosit pentru a indica direcția forței care acționează asupra unui corp și pentru a determina rezultanta.

Când aceste forțe sunt indicate în figură, ele sunt indicate prin săgeți cu semnătura vectorului deasupra acestuia. În mod clasic, lungimea săgeții este la fel de importantă, cu ajutorul acesteia indică ce forță acționează mai puternic, dar această proprietate este secundară, nu ar trebui să te bazezi pe ea.

Vector în algebră liniară și calcul

Elementele spațiilor liniare sunt numite și vectori, dar în acest caz sunt un sistem ordonat de numere care descriu unele dintre elemente. Prin urmare, direcția în acest caz nu mai are nicio importanță. Definiția unui vector în geometria clasică și în analiza matematică este foarte diferită.

Proiectarea vectorilor

Vector proiectat - ce este?

Destul de des, pentru un calcul corect și convenabil, este necesară extinderea unui vector situat în spațiu bidimensional sau tridimensional de-a lungul axelor de coordonate. Această operație este necesară, de exemplu, în mecanică atunci când se calculează forțele care acționează asupra unui corp. Vectorul este folosit destul de des în fizică.

Pentru a efectua o proiecție, este suficient să aruncați perpendicularele de la începutul și sfârșitul vectorului către fiecare dintre axele de coordonate, segmentele obținute pe ele se vor numi proiecția vectorului pe axă.

Pentru a calcula lungimea proiecției, este suficient să înmulțiți lungimea inițială a acesteia cu o anumită funcție trigonometrică, care se obține la rezolvarea unei mini-probleme. De fapt, există un triunghi dreptunghic în care ipotenuza este vectorul original, unul dintre catete este proiecția, iar celălalt catete este perpendiculara căzută.

DEFINIȚIE

Vector(din lat. " vector"-" rulment ") - un segment direcționat al unei linii drepte în spațiu sau pe un plan.

Grafic, un vector este reprezentat ca un segment de linie direcționată de o anumită lungime. Un vector, al cărui început este într-un punct, iar sfârșitul într-un punct, este notat ca (Fig. 1). De asemenea, un vector poate fi notat cu o literă mică, de exemplu,.

Dacă un sistem de coordonate este specificat în spațiu, atunci vectorul poate fi specificat în mod unic printr-un set de coordonate ale acestuia. Adică, un vector este înțeles ca un obiect care are o mărime (lungime), direcție și punct de aplicare (începutul vectorului).

Începuturile calculului vectorial au apărut în lucrările din 1831 în lucrările matematicianului, mecanicului, fizicianului, astronomului și topografului german Johann Karl Friedrich Gauss (1777-1855). Lucrări despre operații cu vectori au fost publicate de matematicianul, mecanicul și fizicianul teoretic irlandez, Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) în cadrul calculului său cuaternion. Omul de știință a propus termenul de „vector” și a descris câteva operații pe vectori. Calculul vectorial a fost dezvoltat în continuare datorită lucrărilor asupra electromagnetismului realizate de fizicianul, matematicianul și mecanicul britanic James Clerk Maxwell (1831-1879). În anii 1880, a fost publicată cartea „Elementele de analiză vectorială” de către fizicianul, fizicochimistul, matematicianul și mecanicul american Josiah Willard Gibbs (1839-1903). Analiza vectorială modernă a fost descrisă în 1903 de savantul, inginerul, matematicianul și fizicianul englez Oliver Heaviside (1850-1925).

DEFINIȚIE

Lungime sau modul vectorial este lungimea segmentului direcționat care definește vectorul. Este indicat ca.

Tipuri de bază de vectori

Vector zero este un vector al cărui punct de început și punct final coincid. Lungimea vectorului zero este zero.

Se numesc vectori paraleli cu o linie dreaptă sau care se află pe o singură dreaptă coliniare(fig. 2).

co-regizat dacă direcţiile lor sunt aceleaşi.

În figura 2, aceștia sunt vectori și. Co-directionalitatea vectorilor se noteaza astfel:.

Se numesc doi vectori coliniari îndreptat opus dacă direcţiile lor sunt opuse.

În figura 3, aceștia sunt vectori și. Desemnare:.

În acest articol, vom oferi definiția unui vector în termeni de geometrie, precum și conceptele de bază aferente. În plan și în spațiu, vectorul este un obiect geometric cu drepturi depline, adică are contururi destul de reale, pe care le veți vedea în ilustrațiile grafice date.

Definiție.

Vector Este un segment de linie direcționată.

Adică luăm un segment pe un plan sau în spațiu ca vector, considerând că unul dintre punctele sale de limită este începutul, celălalt ca sfârșit.

Pentru a desemna vectori, vom folosi litere latine mici cu o săgeată deasupra lor, de exemplu. Dacă sunt date punctele de limită ale începutului și sfârșitului segmentului, de exemplu A și B, atunci vectorul va fi notat ca.

Definiție.

Vector zero Este orice punct dintr-un plan sau spațiu.

Definiție.

Lungimea vectorului este un număr nenegativ egal cu lungimea segmentului AB.

Lungimea vectorului va fi notată ca.

Deoarece desemnarea lungimii vectorului coincide exact cu semnul modulului, puteți auzi că lungimea vectorului se numește modulul vectorului. Vă recomandăm în continuare utilizarea termenului „lungimea vectorului”. Lungimea vectorului zero este zero.

Definiție.

Cei doi vectori sunt numiți coliniare dacă se află fie pe o singură linie dreaptă, fie pe linii paralele.

Definiție.

Cei doi vectori sunt numiți necoliniare dacă nu se află pe o singură linie dreaptă sau pe linii paralele.

Vectorul zero este coliniar cu orice alt vector.

Definiție.

co-regizat, dacă direcțiile lor coincid și denotă.

Definiție.

Doi vectori coliniari și se numesc îndreptat opus, dacă direcțiile lor sunt opuse și denotă.

Definiție.

Cei doi vectori sunt numiți egal dacă sunt co-direcționale și lungimile lor sunt egale.

Definiție.

Cei doi vectori sunt numiți opus dacă sunt direcționate opus și lungimile lor sunt egale.

Vectorii egali ne permit să vedem vectori fără referire la anumite puncte. Cu alte cuvinte, avem capacitatea de a înlocui un vector cu un vector egal din orice punct.

Fie și doi vectori arbitrari pe un plan sau în spațiu. Să lăsăm deoparte vectorii și dintr-un punct O al planului sau spațiului. Grinzile OA și OB formează un unghi.

1. Ce este un vector?

2. Adunarea vectorilor.

3. Egalitatea vectorilor.

4. Produsul scalar al doi vectori și proprietățile acestuia.

5. Proprietăţi ale operaţiilor pe vectori.

6. Dovezi și rezolvare de probleme.

Unul dintre conceptele fundamentale ale matematicii moderne este un vector și generalizarea acestuia - un tensor. Evoluția conceptului de vector a fost realizată datorită utilizării pe scară largă a acestui concept în diverse domenii ale matematicii, mecanicii, precum și în tehnologie.

Sfârșitul trecutului și începutul secolului actual au fost marcate de dezvoltarea extinsă a calculului vectorial și a aplicațiilor sale. Au fost create algebra vectorială și analiza vectorială, teoria generală a spațiului vectorial. Aceste teorii au fost folosite în construcția relativității speciale și generale, care joacă un rol extrem de important în fizica modernă.

În conformitate cu cerințele noului curriculum de matematică, conceptul de vector a devenit unul dintre conceptele de frunte în cursul școlar de matematică.

Ce este un vector? În mod ciudat, răspunsul la această întrebare prezintă anumite dificultăți. Există diverse abordări pentru definirea conceptului de vector; Mai mult, chiar dacă ne limităm doar la abordarea geometrică elementară a conceptului de vector, care este cea mai interesantă pentru noi aici, atunci și atunci vor exista opinii diferite asupra acestui concept. Desigur, indiferent de definiția pe care o luăm, un vector - din punct de vedere geometric elementar - este un obiect geometric caracterizat printr-o direcție (adică specificat până la paralelismul unei drepte și direcția pe aceasta) și lungime. Cu toate acestea, o astfel de definiție este prea generală, care nu provoacă reprezentări geometrice specifice. Conform acestei definiții generale, translația paralelă poate fi considerată un vector. Într-adevăr, s-ar putea accepta o astfel de definiție: „Orice transfer paralel se numește vector”. Această definiție este logic fără cusur, iar pe baza ei se poate construi întreaga teorie a acțiunilor asupra vectorilor și se poate dezvolta aplicații ale acestei teorii. Totuși, această definiție, în ciuda concretității ei complete, nu ne poate satisface nici aici, întrucât conceptul de vector ca transformare geometrică ni se pare insuficient de clar și departe de conceptele fizice ale mărimilor vectoriale.

Asa de, vector este familia tuturor segmentelor paralele între ele îndreptate egal și având aceeași lungime (fig. 1).

Vectorul este reprezentat în desene printr-un segment de linie cu o săgeată (adică nu este reprezentată întreaga familie de segmente de linie, care este un vector, ci doar unul dintre aceste segmente). Literele latine aldine sunt folosite pentru a desemna vectori în cărți și articole. a, b, cși așa mai departe, și în caiete și pe tablă - litere latine cu liniuță deasupra , Aceeași literă, dar nu îndrăzneață, dar ușoară (și în caiet și pe tablă aceeași literă fără liniuță) denotă lungimea vectorului. Lungimea este uneori indicată și prin bare verticale - ca modul (valoarea absolută) a unui număr. Astfel, lungimea vectorului A notat cu A sau eu A I, iar în textul scris de mână lungimea vectorului este A notat cu A sau eu A I. În legătură cu reprezentarea vectorilor sub formă de segmente (Fig. 2), trebuie amintit că capetele segmentului care reprezintă vectorul sunt inegale: un capăt al segmentului la celălalt.

Distingeți începutul și sfârșitul unui vector (mai precis, un segment care reprezintă un vector).

Destul de des, conceptului de vector i se dă o definiție diferită: un vector este un segment direcționat.În acest caz, vectorii (adică, segmentele direcționate) având aceeași lungime și aceeași direcție (Fig. 3) sunt considerați egali.

Vectorii sunt numiți direcționați identic dacă jumătățile lor sunt direcționate identic.

Adăugarea vectorilor.

Toate cele de mai sus nu oferă încă conceptului de vector suficient de semnificativ și util. Conceptul de vector capătă o mare semnificație și posibilități bogate de aplicare atunci când introducem un fel de „aritmetică geometrică” - aritmetică vectorială care permite adunarea vectorilor, scăderea acestora și efectuarea unui număr de alte operații asupra lor. Să remarcăm în acest sens că conceptul de număr devine interesant numai atunci când sunt introduse operații aritmetice, și nu de la sine.

Suma vectorilor A și v cu coordonate a 1, a 2 și în 1, în 2 se numeste vector Cu cu coordonate a 1 + în 1, a 2 + în 2, acestea. A(a 1; a 2) + v(în 1; în 2) = Cu(a 1 + în 1; a 2 + în 2).

Corolar:

Pentru a demonstra comutativitatea adunării vectoriale pe plan, trebuie să luăm în considerare un exemplu. A și v - vectori (Fig. 5).

Lăsa

1. Construim un paralelogram OASV: AM II OV, VN II OA.

Pentru a demonstra asociativitatea, amânăm dintr-un punct arbitrar O vectorul OA = a, din punctul A vector AB = in iar din punctul b - vector BC = s. Atunci noi avem: AB + BC = AC.
de unde rezultă egalitatea un + (c + c) = (a + b)+ s. Rețineți că dovada de mai sus nu folosește deloc desenul. Acest lucru este tipic (cu oarecare abilitate) pentru rezolvarea problemelor folosind vectori. Să ne oprim acum asupra cazului în care vectorii A și v îndreptate în direcții opuse și au lungimi egale; astfel de vectori sunt numiți opuși. Regula noastră pentru adunarea vectorilor face ca suma a doi vectori opuși să fie un „vector” cu lungime zero și fără direcție; acest „vector” este reprezentat printr-un „segment de lungime zero”, adică. punct. Dar acesta este și un vector, care se numește zero și este notat cu simbolul 0.

Egalitatea vectorilor.

Se spune că doi vectori sunt egali dacă sunt aliniați prin translație paralelă. Aceasta înseamnă că există o translație paralelă care duce începutul și sfârșitul unui vector la începutul și, respectiv, sfârșitul altui vector.

Din această definiție a egalității vectorilor, rezultă că diferiți vectori sunt egal direcționați și egali în valoare absolută.

Și invers: dacă vectorii sunt egal direcționați și egali în valoare absolută, atunci ei sunt egali.

Într-adevăr, să fie vectori AB și CU D - vectori dirijați identic egali în valoare absolută (Fig. 6). Transferul paralel, transferând punctul C în punctul A, aliniază semi-linia CD cu semi-linia AB, deoarece acestea sunt în mod egal direcționate. Și deoarece segmentele AB și CD sunt egale, atunci punctul D coincide cu punctul B, adică transferul paralel translată vectorul CD în vector AB. De aici vectorii AB și CU D sunt egale, după cum este necesar.

Definiție

Cantitatea scalară- o cantitate care poate fi caracterizată printr-un număr. De exemplu, lungimea, suprafața, masa, temperatura etc.

Vector se numește segmentul direcționat $ \ overline (A B) $; punctul $ A $ este începutul, punctul $ B $ este sfârșitul vectorului (Fig. 1).

Un vector este notat fie cu două litere mari - începutul și sfârșitul său: $ \ overline (A B) $ sau cu o literă mică: $ \ overline (a) $.

Definiție

Dacă începutul și sfârșitul vectorului coincid, atunci se numește un astfel de vector zero... Cel mai adesea, vectorul nul este notat cu $ \ overline (0) $.

Vectorii sunt numiți coliniare dacă se află fie pe o singură linie dreaptă, fie pe drepte paralele (Fig. 2).

Definiție

Cei doi vectori coliniari $ \ overline (a) $ și $ \ overline (b) $ sunt numiți co-regizat dacă direcţiile lor coincid: $ \ overline (a) \ uparrow \ uparrow \ overline (b) $ (Fig. 3, a). Cei doi vectori coliniari $ \ overline (a) $ și $ \ overline (b) $ sunt numiți îndreptat opus dacă direcţiile lor sunt opuse: $ \ overline (a) \ uparrow \ downarrow \ overline (b) $ (Fig. 3, b).