Cara menentukan fungsi ganjil dan genap. Bagaimana mendefinisikan fungsi genap dan ganjil Mari kita periksa fungsi paritas berikut:

Mundur ke depan

Perhatian! Pratinjau slide hanya untuk tujuan informasi dan mungkin tidak mewakili semua opsi presentasi. Jika Anda tertarik dengan karya ini, silakan unduh versi lengkapnya.

Sasaran:

• membentuk konsep kemerataan dan keanehan suatu fungsi, mengajarkan kemampuan mendefinisikan dan menggunakan sifat-sifat ini dalam mempelajari fungsi, membangun grafik;
• mengembangkan aktivitas kreatif siswa, berpikir logis, kemampuan membandingkan, menggeneralisasi;
• untuk mendidik kerja keras, budaya matematika; mengembangkan keterampilan komunikasi .

Peralatan: instalasi multimedia, papan tulis interaktif, handout.

Bentuk pekerjaan: frontal dan kelompok dengan unsur kegiatan pencarian dan penelitian.

Sumber informasi:

1.Aljabar9kelas A.G. Mordkovich. Buku pelajaran.
2.Aljabar kelas 9 A.G. Mordkovich. Buku masalah.
3.Aljabar kelas 9. Tugas untuk pembelajaran dan pengembangan siswa. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

SELAMA KELAS

1. Momen organisasi

Menetapkan tujuan dan sasaran pelajaran.

2. Pemeriksaan pekerjaan rumah

No. 10.17 (Buku soal 9kl. A. G. Mordkovich).

sebuah) pada = F(x), F(x) =

B) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;

c) 1.D ( F) = [– 2; + ∞)
2. E ( F) = [– 3; + ∞)
3. F(x) = 0 untuk x ~ 0,4
4. F(x)> 0 untuk x > 0,4 ; F(x) < 0 при – 2 < x < 0,4.
5. Fungsi meningkat dengan x € [– 2; + ∞)
6. Fungsi dibatasi dari bawah.
7. pada naim = - 3, pada naib tidak ada
8. Fungsinya kontinu.

(Apakah Anda menggunakan algoritma penelitian fungsi?) Menggeser.

2. Mari kita periksa tabel yang ditanyakan pada slide.

Isi meja
	Domain	fungsi nol	Interval keteguhan		Koordinat titik potong grafik dengan Oy
		x = –5, x = 2	€ (–5; 3) U U (2; )	€ (–∞; –5) U U (–3; 2)
	x –5, x 2		€ (–5; 3) U U (2; )	€ (–∞; –5) U U (–3; 2)
	x –5, x 2		€ (–∞; –5) U U (2; )	x € (–5; 2)

3. Pembaruan pengetahuan

- Fungsi yang diberikan.
- Tentukan ruang lingkup untuk setiap fungsi.
- Bandingkan nilai setiap fungsi untuk setiap pasangan nilai argumen: 1 dan - 1; 2 dan - 2.
- Untuk mana dari fungsi-fungsi ini dalam domain definisi yang persamaannya terpenuhi F(– x) = F(x), F(– x) = – F(x)? (memasukkan data yang diperoleh ke dalam tabel) Menggeser

		F(1) dan F(– 1)	F(2) dan F(– 2)	grafik	F(– x) = –F(x)	F(– x) = F(x)
1. F(x) =
2. F(x) = x 3
3. F(x) = | x |
4.F(x) = 2x – 3
5. F(x) =	x ≠ 0
6. F(x)=	x > –1		dan tidak didefinisikan.

4. bahan baru

- Dalam melakukan pekerjaan ini, teman-teman, kami mengidentifikasi properti lain dari suatu fungsi yang tidak Anda kenal, tetapi tidak kalah pentingnya dari yang lain - ini adalah fungsi genap dan ganjil. Tuliskan topik pelajaran: "Fungsi genap dan ganjil", tugas kita adalah mempelajari cara menentukan kegenapan dan keanehan suatu fungsi, untuk mengetahui signifikansi sifat ini dalam mempelajari fungsi dan plot.
Jadi, mari kita cari definisinya di buku teks dan baca (hlm. 110) ... Menggeser

def. satu Fungsi pada = F (x) yang diberikan pada himpunan X disebut bahkan jika untuk nilai apapun x X dieksekusi persamaan f (–x) = f (x). Berikan contoh.

def. 2 Fungsi y = f (x) diberikan pada himpunan X disebut aneh jika untuk nilai apapun x X persamaan f (–x) = –f (x) berlaku. Berikan contoh.

Di mana kita menemukan istilah "genap" dan "ganjil"?
Manakah dari fungsi-fungsi ini yang menurut Anda akan genap? Mengapa? Apa yang aneh? Mengapa?
Untuk setiap fungsi dari bentuk pada= x n, di mana n- bilangan bulat dapat dikatakan bahwa fungsi tersebut ganjil untuk n- ganjil dan fungsinya genap untuk n- bahkan.
- Lihat fungsi pada= dan pada = 2x- 3 bukan genap atau ganjil, karena persamaan tidak terpenuhi F(– x) = – F(x), F(– x) = F(x)

Studi tentang pertanyaan apakah suatu fungsi genap atau ganjil disebut studi fungsi untuk paritas. Menggeser

Definisi 1 dan 2 berhubungan dengan nilai fungsi untuk x dan - x, sehingga diasumsikan bahwa fungsi juga didefinisikan untuk nilai x, dan di - x.

Def 3. Jika suatu himpunan numerik, bersama dengan setiap elemennya x, juga mengandung elemen yang berlawanan -x, maka himpunan tersebut x disebut himpunan simetris.

Contoh:

(–2; 2), [–5; 5]; (∞; ) adalah himpunan simetris, dan [–5; 4] adalah himpunan asimetris.

- Apakah domain definisi fungsi genap adalah himpunan simetris? Yang aneh?
- Jika D ( F) Apakah himpunan asimetris, lalu apa fungsinya?
- Jadi, jika fungsi pada = F(x) Genap atau ganjil, maka domain definisinya adalah D ( F) Merupakan himpunan simetris. Apakah kebalikannya benar, jika domain suatu fungsi adalah himpunan simetris, maka fungsi tersebut genap atau ganjil?
- Jadi keberadaan himpunan domain definisi yang simetris merupakan syarat perlu, tetapi tidak cukup.
- Jadi bagaimana Anda menyelidiki fungsi untuk paritas? Mari kita coba menyusun algoritma.

Menggeser

Algoritma untuk menganalisis fungsi untuk paritas

1. Tentukan apakah domain fungsi simetris. Jika tidak, maka fungsi tersebut bukan genap maupun ganjil. Jika ya, lanjutkan ke langkah 2 dari algoritma.

2. Tulis ekspresi untuk F(–x).

3. Bandingkan F(–x).dan F(x):

• jika F(–x).= F(x), maka fungsinya genap;
• jika F(–x).= – F(x), maka fungsinya ganjil;
• jika F(–x) ≠ F(x) dan F(–x) ≠ –F(x), maka fungsi tersebut bukan genap maupun ganjil.

Contoh:

Selidiki fungsi paritas a) pada= x 5 +; B) pada=; v) pada= .

Larutan.

a) h (x) = x 5 +,

1) D (h) = (–∞; 0) U (0; + ), himpunan simetris.

2) h (- x) = (–x) 5 + - x5 - = - (x 5 +),

3) h (- x) = - h (x) => fungsi jam (x)= x 5 + ganjil.

b) y =,

pada = F(x), D (f) = (–∞; –9)? (–9; + ), suatu himpunan asimetris, jadi fungsinya bukan genap maupun ganjil.

v) F(x) =, y = f (x),

1) D ( F) = (–∞; 3] ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

pilihan 2

1. Apakah himpunan yang diberikan simetris: a) [–2; 2]; b) (∞; 0], (0; 7)?

sebuah); b) y = x · (5 - x 2). 2. Selidiki fungsi paritas:

a) y = x 2 (2x - x 3), b) y =

3. Dalam gambar. diplot pada = F(x), untuk semua x memenuhi syarat x? 0.
Buatlah grafik fungsi pada = F(x), jika pada = F(x) Merupakan fungsi genap.

3. Dalam gambar. diplot pada = F(x), untuk semua x memenuhi kondisi x? 0.
Buatlah grafik fungsi pada = F(x), jika pada = F(x) Merupakan fungsi ganjil.

Verifikasi timbal balik dari menggeser.

6. Tugas di rumah: №11.11, 11.21,11.22;

Bukti makna geometris dari properti paritas.

*** (Mengatur opsi USE).

1. Fungsi ganjil y = f (x) didefinisikan pada garis bilangan bulat. Untuk setiap nilai non-negatif dari variabel x, nilai fungsi ini bertepatan dengan nilai fungsi g ( x) = x(x + 1)(x + 3)(x- 7). Tentukan nilai fungsi h ( x) = untuk x = 3.

7. Menyimpulkan

NASA akan meluncurkan ekspedisi ke Mars pada Juli 2020. Pesawat ruang angkasa itu akan mengirimkan ke Mars sebuah pembawa elektronik dengan nama-nama semua anggota ekspedisi yang terdaftar.

Jika posting ini menyelesaikan masalah Anda atau Anda hanya menyukainya, bagikan tautannya dengan teman-teman Anda di jejaring sosial.

Salah satu varian kode ini harus disalin dan ditempelkan ke kode halaman web Anda, sebaiknya di antara tag dan atau tepat setelah tag ... Menurut opsi pertama, MathJax memuat lebih cepat dan memperlambat halaman lebih sedikit. Tetapi opsi kedua secara otomatis melacak dan memuat versi terbaru MathJax. Jika Anda memasukkan kode pertama, maka itu perlu diperbarui secara berkala. Jika Anda memasukkan kode kedua, halaman akan dimuat lebih lambat, tetapi Anda tidak perlu terus-menerus memantau pembaruan MathJax.

Cara termudah untuk menghubungkan MathJax adalah di Blogger atau WordPress: di dasbor situs Anda, tambahkan widget yang dirancang untuk menyisipkan kode JavaScript pihak ketiga, salin versi pertama atau kedua dari kode pemuatan yang disajikan di atas ke dalamnya, dan tempatkan widget lebih dekat ke awal templat (omong-omong, ini tidak perlu sama sekali karena skrip MathJax dimuat secara tidak sinkron). Itu saja. Sekarang pelajari sintaks markup MathML, LaTeX dan ASCIIMathML dan Anda siap untuk memasukkan rumus matematika ke halaman web situs Anda.

Malam Tahun Baru lagi ... cuaca dingin dan kepingan salju di kaca jendela ... Semua ini mendorong saya untuk menulis lagi tentang ... fraktal, dan apa yang diketahui Wolfram Alpha tentangnya. Ada artikel menarik tentang ini, yang berisi contoh struktur fraktal dua dimensi. Di sini kami akan mempertimbangkan lebih banyak contoh kompleks fraktal tiga dimensi.

Fraktal dapat divisualisasikan (digambarkan) sebagai sosok atau tubuh geometris (artinya keduanya adalah himpunan, dalam hal ini, kumpulan titik), yang detailnya memiliki bentuk yang sama dengan gambar aslinya. Artinya, itu adalah struktur serupa diri, mengingat detailnya dengan perbesaran, kita akan melihat bentuk yang sama seperti tanpa perbesaran. Sedangkan dalam kasus biasa bentuk geometris(bukan fraktal), saat kita memperbesar, kita akan melihat detail yang memiliki bentuk lebih sederhana dari bentuk aslinya itu sendiri. Misalnya, pada perbesaran yang cukup tinggi, bagian elips tampak seperti ruas garis. Ini tidak terjadi dengan fraktal: pada peningkatan berapa pun, kita akan melihat hal yang sama lagi bentuk kompleks yang akan berulang lagi dan lagi dengan setiap peningkatan.

Benoit Mandelbrot, pendiri ilmu fraktal, menulis dalam artikelnya Fractals and Art for Science: "Fraktal adalah bentuk geometris yang detailnya sama rumitnya dengan bentuk umumnya. Bagian dari fraktal akan diperbesar hingga seukuran keseluruhan, itu akan terlihat seperti keseluruhan, atau tepatnya, atau mungkin dengan sedikit deformasi."

Ketergantungan variabel y pada variabel x, di mana setiap nilai x bersesuaian dengan satu nilai y disebut fungsi. Notasinya adalah y = f (x). Setiap fungsi memiliki sejumlah sifat dasar, seperti kemonotonan, paritas, periodisitas, dan lain-lain.

Pertimbangkan properti paritas secara lebih rinci.

Suatu fungsi y = f (x) disebut meskipun memenuhi dua kondisi berikut:

2. Nilai fungsi di titik x yang termasuk domain fungsi harus sama dengan nilai fungsi di titik -x. Artinya, untuk sembarang titik x, dari domain fungsi, persamaan berikut harus dipenuhi f (x) = f (-x).

grafik fungsi genap

Jika Anda membuat grafik fungsi genap, grafik tersebut akan simetris terhadap sumbu Oy.

Misalnya, fungsi y = x ^ 2 genap. Mari kita periksa. Luas daerah definisi adalah seluruh sumbu bilangan, yang berarti simetris terhadap titik O.

Ambil sembarang x = 3. f(x) = 3^2 = 9.

f (-x) = (- 3) ^ 2 = 9. Jadi f (x) = f (-x). Dengan demikian, kita memiliki kedua kondisi yang terpenuhi, yang berarti bahwa fungsi tersebut genap. Di bawah ini adalah grafik fungsi y = x ^ 2.

Gambar tersebut menunjukkan bahwa grafik simetris terhadap sumbu Oy.

Grafik fungsi ganjil

Suatu fungsi y = f (x) disebut ganjil jika memenuhi dua kondisi berikut:

1. Domain fungsi ini harus simetris terhadap titik O. Artinya, jika beberapa titik a termasuk dalam domain fungsi, maka titik -a yang bersesuaian juga harus termasuk domain fungsi yang diberikan.

2. Untuk sembarang titik x, dari domain fungsi, persamaan berikut harus dipenuhi f (x) = -f (x).

Grafik fungsi ganjil simetris terhadap titik O - titik asal. Misalnya, fungsi y = x ^ 3 ganjil. Mari kita periksa. Luas daerah definisi adalah seluruh sumbu bilangan, yang berarti simetris terhadap titik O.

Ambil sembarang x = 2. f(x) = 2^3 = 8.

f (-x) = (- 2) ^ 3 = -8. Jadi f (x) = -f (x). Jadi, kita memiliki kedua kondisi yang terpenuhi, yang berarti bahwa fungsinya ganjil. Di bawah ini adalah grafik fungsi y = x ^ 3.

Gambar tersebut dengan jelas menunjukkan bahwa fungsi ganjil y = x ^ 3 simetris terhadap titik asal.

Suatu fungsi disebut genap (ganjil) jika untuk sembarang dan persamaan

.

Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu
.

Grafik fungsi ganjil simetris terhadap titik asal.

Contoh 6.2. Menyelidiki kemerataan atau keanehan suatu fungsi

1)
; 2)
; 3)
.

Larutan.

1) Fungsi didefinisikan pada
... Menemukan
.

Itu.
... Cara, fungsi ini adalah genap.

2) Fungsi didefinisikan pada

Itu.
... Jadi, fungsi ini ganjil.

3) fungsi didefinisikan untuk, mis. untuk

,
... Oleh karena itu, fungsi tersebut bukan genap maupun ganjil. Sebut saja itu fungsi umum.

3. Mempelajari fungsi monotonisitas.

Fungsi
Disebut meningkat (menurun) pada beberapa interval jika dalam interval ini masing-masing lebih berarti argumen sesuai dengan nilai fungsi yang lebih besar (lebih kecil).

Fungsi naik (turun) pada interval tertentu disebut monoton.

Jika fungsi
terdiferensialkan pada interval
dan memiliki turunan positif (negatif).
, maka fungsi
meningkat (menurun) dalam interval ini.

Contoh 6.3... Tentukan interval kemonotonan fungsi

1)
; 3)
.

Larutan.

1) Fungsi ini didefinisikan pada seluruh sumbu bilangan. Mari kita cari turunannya.

Turunannya adalah nol jika
dan
... Area definisi - sumbu numerik, dibagi dengan titik
,
pada interval. Mari kita tentukan tanda turunan di setiap interval.

Dalam interval
turunannya negatif, fungsi menurun pada interval ini.

Dalam interval
turunannya positif, oleh karena itu, fungsi meningkat pada interval ini.

2) Fungsi ini didefinisikan jika
atau

.

Tentukan tanda trinomial bujur sangkar pada setiap interval.

Jadi, domain dari fungsi

Cari turunannya
,
, jika
, yaitu
, tetapi
... Mari kita tentukan tanda turunan dalam interval
.

Dalam interval
turunannya negatif, oleh karena itu, fungsi menurun pada interval
... Dalam interval
turunannya positif, fungsi meningkat pada interval
.

4. Investigasi fungsi untuk ekstrem.

Dot
disebut titik maksimum (minimum) dari fungsi
jika ada lingkungan titik seperti itu itu untuk semua orang
dari lingkungan ini ketidaksetaraan

.

Titik maksimum dan titik minimum suatu fungsi disebut titik ekstrim.

Jika fungsi
pada intinya memiliki ekstrem, maka turunan dari fungsi pada titik ini adalah nol atau tidak ada (kondisi yang diperlukan untuk keberadaan ekstrem).

Titik di mana turunannya nol atau tidak ada disebut kritis.

5. Kondisi yang cukup untuk keberadaan ekstrem.

Aturan 1... Jika, ketika melewati (dari kiri ke kanan) melalui titik kritis turunan
ubah tanda dari "+" menjadi "-", lalu di titik fungsi
memiliki maksimum; jika dari "-" ke "+", maka minimum; jika
tidak berubah tanda, maka tidak ada ekstrem.

Aturan 2... Biarkan pada intinya
turunan pertama dari suatu fungsi
adalah nol
, dan turunan kedua ada dan bukan nol. Jika
, kemudian Apakah titik maksimum jika
, kemudian Adalah titik minimum dari fungsi.

Contoh 6.4 ... Jelajahi fungsi maksimum dan minimum:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Larutan.

1) Fungsi didefinisikan dan kontinu pada interval
.

Cari turunannya
dan selesaikan persamaannya
, yaitu
.Dari sini
- titik kritis.

Mari kita tentukan tanda turunan dalam interval,
.

Saat melintasi titik
dan
turunannya berubah tanda dari "-" menjadi "+", oleh karena itu, menurut aturan 1
- poin minimum.

Saat melintasi suatu titik
turunannya berubah tanda dari "+" menjadi "-", oleh karena itu
Apakah titik maksimum.

,
.

2) Fungsi didefinisikan dan kontinu dalam interval
... Cari turunannya
.

Memecahkan persamaan
, Temukan
dan
- titik kritis. Jika penyebutnya
, yaitu
, maka turunannya tidak ada. Jadi,
- titik kritis ketiga. Mari kita tentukan tanda turunan dalam interval.

Akibatnya, fungsi memiliki minimum pada titik
, maksimum dalam poin
dan
.

3) Fungsi didefinisikan dan kontinu jika
, yaitu pada
.

Cari turunannya

.

Mari kita temukan poin-poin kritisnya:

Lingkungan titik
tidak termasuk dalam domain definisi, sehingga tidak terlalu ekstrim. Jadi, mari kita jelajahi poin-poin kritisnya
dan
.

4) Fungsi didefinisikan dan kontinu pada interval
... Kami menggunakan aturan 2. Temukan turunannya
.

Mari kita temukan poin-poin kritisnya:

Temukan turunan kedua
dan tentukan tandanya di titik-titik

Pada titik
fungsi memiliki minimum.

Pada titik
fungsinya sudah maksimal.

. Untuk melakukan ini, gunakan kertas grafik atau kalkulator grafik. Pilih kelipatan dari nilai variabel penjelas numerik x (\ gaya tampilan x) dan masukkan ke dalam fungsi untuk menghitung nilai variabel terikat y (\ gaya tampilan y)... Gambarkan koordinat yang ditemukan dari titik-titik pada bidang koordinat, dan kemudian hubungkan titik-titik ini untuk membuat grafik fungsi.

• Substitusikan nilai numerik positif ke dalam fungsi x (\ gaya tampilan x) dan nilai numerik negatif yang sesuai. Misalkan diberikan fungsi f (x) = 2 x 2 + 1 (\ gaya tampilan f (x) = 2x ^ (2) +1)... Masukkan nilai-nilai berikut: x (\ gaya tampilan x):

Periksa apakah grafik fungsi simetris terhadap sumbu y. simetri berarti refleksi cermin grafik relatif terhadap sumbu ordinat. Jika bagian grafik di sebelah kanan sumbu y (variabel penjelas positif) berimpit dengan bagian grafik di sebelah kiri sumbu y (variabel penjelas negatif), grafik tersebut simetris terhadap sumbu y. Jika fungsi tersebut simetris terhadap ordinatnya, maka fungsi tersebut genap.

Periksa apakah grafik fungsi simetris terhadap titik asal. Asal adalah titik dengan koordinat (0,0). Simetri tentang asal berarti bahwa nilai positif y (\ gaya tampilan y)(dengan nilai positif x (\ gaya tampilan x)) sesuai dengan nilai negatif y (\ gaya tampilan y)(dengan nilai negatif x (\ gaya tampilan x)), dan sebaliknya. Fungsi ganjil adalah simetris terhadap asal.

Periksa apakah grafik fungsi memiliki simetri. Jenis fungsi yang terakhir adalah fungsi yang grafiknya tidak simetri, yaitu tidak ada bayangan cermin baik terhadap sumbu ordinat maupun tentang titik asal. Misal diberikan suatu fungsi.

• Substitusikan beberapa nilai positif dan negatif yang sesuai ke dalam fungsi x (\ gaya tampilan x):
• Menurut hasil yang diperoleh, tidak ada simetri. Nilai y (\ gaya tampilan y) untuk nilai yang berlawanan x (\ gaya tampilan x) tidak bertepatan dan tidak berlawanan. Jadi, fungsi tersebut bukan genap maupun ganjil.
• Perhatikan bahwa fungsi f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\ gaya tampilan f (x) = x ^ (2) + 2x + 1) dapat ditulis seperti ini: f (x) = (x + 1) 2 (\ gaya tampilan f (x) = (x + 1) ^ (2))... Jika ditulis dalam bentuk ini, fungsi tersebut tampak genap karena terdapat eksponen genap. Tetapi contoh ini membuktikan bahwa jenis fungsi tidak dapat ditentukan dengan cepat jika variabel bebas diapit dalam tanda kurung. Dalam hal ini, Anda perlu membuka tanda kurung dan menganalisis eksponen yang dihasilkan.