rumah » Melayani » Ekspektasi matematis dari produk variabel acak contoh. Sifat ekspektasi matematis. Rumus dasar untuk ekspektasi matematis

Ekspektasi matematis dari produk variabel acak contoh. Sifat ekspektasi matematis. Rumus dasar untuk ekspektasi matematis

Ekspektasi matematis (nilai rata-rata) dari variabel acak X , diberikan pada ruang probabilitas diskrit, adalah bilangan m =M[X]=∑x i p i , jika deret tersebut konvergen mutlak.

tugas layanan. Dengan layanan online dihitung nilai yang diharapkan, varian dan simpangan baku(lihat contoh). Selain itu, grafik fungsi distribusi F(X) diplot.

Sifat-sifat ekspektasi matematis dari variabel acak

Ekspektasi matematis dari nilai konstan sama dengan dirinya sendiri: M[C]=C , C adalah konstanta;
M=C M[X]
Ekspektasi matematis dari jumlah variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematisnya: M=M[X]+M[Y]
Ekspektasi matematis produk variabel acak independen sama dengan produk ekspektasi matematisnya: M=M[X] M[Y] jika X dan Y bebas.

Sifat Dispersi

Dispersi nilai konstan sama dengan nol: D(c)=0.
Faktor konstanta dapat diambil dari bawah tanda dispersi dengan mengkuadratkannya: D(k*X)= k 2 D(X).
Jika variabel acak X dan Y bebas, maka varians jumlah sama dengan jumlah varians: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
Jika variabel acak X dan Y adalah dependen: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
Untuk varians, rumus komputasinya valid:
D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Contoh. Ekspektasi matematis dan varians dari dua variabel acak independen X dan Y diketahui: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Temukan ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak Z=9X-8Y+7 .
Larutan. Berdasarkan sifat-sifat ekspektasi matematis: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23 .
Berdasarkan sifat dispersi: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Algoritma untuk menghitung ekspektasi matematis

Properti variabel acak diskrit: semua nilainya dapat dinomori ulang bilangan asli; Tetapkan setiap nilai probabilitas bukan nol.

Kalikan pasangan satu per satu: x i dengan p i .
Kami menambahkan produk dari setiap pasangan x i p i .
Misalnya, untuk n = 4: m = x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Fungsi distribusi variabel acak diskrit bertahap, itu meningkat tiba-tiba pada titik-titik yang probabilitasnya positif.

Contoh 1.

x saya	1	3	4	7	9
pi	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Harapan matematis ditemukan dengan rumus m = x i p i .
Ekspektasi matematis M[X].
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Dispersi ditemukan dengan rumus d = x 2 i p i - M[x] 2 .
Dispersi D[X].
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
Simpangan baku (x).
= kuadrat(D[X]) = kuadrat(7.69) = 2.78

Contoh #2. Sebuah variabel acak diskrit memiliki deret distribusi berikut:

x	-10	-5	0	5	10
R	tetapi	0,32	2Sebuah	0,41	0,03

Temukan nilai a , ekspektasi matematis dan simpangan baku dari variabel acak ini.

Larutan. Nilai a ditemukan dari hubungan: p i = 1
p i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0,76 + 3 a = 1 atau 0,24=3 a , dari mana a = 0,08

Contoh #3. Tentukan hukum distribusi variabel acak diskrit jika variansnya diketahui, dan x 1 x 1 = 6; x2=9; x3=x; x4=15
p 1 = 0,3; p2=0,3; p3=0.1; p 4 \u003d 0,3
d(x)=12,96

Larutan.
Di sini Anda perlu membuat rumus untuk mencari varians d (x):
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
di mana harapan m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Untuk data kami
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0,1x 3) 2
atau -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Dengan demikian, perlu untuk menemukan akar persamaan, dan akan ada dua di antaranya.
x 3 \u003d 8, x 3 \u003d 12
Kami memilih salah satu yang memenuhi kondisi x 1 x3=12

Hukum distribusi variabel acak diskrit
x 1 = 6; x2=9; x 3 \u003d 12; x4=15
p 1 = 0,3; p2=0,3; p3=0.1; p 4 \u003d 0,3

Harapan matematis adalah, definisi

Tikar menunggu adalah salah satu konsep terpenting dalam statistik matematika dan teori probabilitas, yang mencirikan distribusi nilai atau kemungkinan variabel acak. Biasanya dinyatakan sebagai rata-rata tertimbang dari semua parameter yang mungkin dari variabel acak. Ini banyak digunakan dalam analisis teknis, studi seri angka, studi proses berkelanjutan dan jangka panjang. Hal ini penting dalam menilai risiko, memprediksi indikator harga saat berdagang di pasar keuangan, dan digunakan dalam pengembangan strategi dan metode taktik permainan di teori perjudian.

skakmat menunggu- ini nilai rata-rata dari variabel acak, distribusi kemungkinan variabel acak dipertimbangkan dalam teori probabilitas.

Tikar menunggu adalah ukuran nilai rata-rata dari variabel acak dalam teori probabilitas. Harapan matematika dari variabel acak x dilambangkan M(x).

Harapan matematis (Rata-rata populasi) adalah

Tikar menunggu adalah

Tikar menunggu adalah dalam teori probabilitas, rata-rata tertimbang dari semua kemungkinan nilai yang dapat diambil oleh variabel acak ini.

Tikar menunggu adalah jumlah produk dari semua nilai yang mungkin dari variabel acak dengan probabilitas nilai-nilai ini.

Harapan matematis (Rata-rata populasi) adalah

Tikar menunggu adalah keuntungan rata-rata dari suatu keputusan tertentu, dengan ketentuan bahwa keputusan tersebut dapat dipertimbangkan dalam kerangka teori bilangan besar dan jarak jauh.

Tikar menunggu adalah dalam teori perjudian, jumlah kemenangan yang bisa diperoleh atau kalah oleh seorang spekulan, rata-rata, untuk setiap taruhan. Dalam bahasa perjudian spekulan ini kadang-kadang disebut "keuntungan spekulan” (jika positif untuk spekulan) atau “house edge” (jika negatif untuk spekulan).

Harapan matematis (Rata-rata populasi) adalah

Tikar menunggu adalah keuntungan per kemenangan dikalikan dengan rata-rata laba, dikurangi kerugian dikalikan kerugian rata-rata.

Ekspektasi matematis dari variabel acak dalam teori matematika

Salah satu karakteristik numerik penting dari variabel acak adalah harapan. Mari kita perkenalkan konsep sistem variabel acak. Pertimbangkan satu set variabel acak yang merupakan hasil dari percobaan acak yang sama. Jika adalah salah satu nilai yang mungkin dari sistem, maka kejadian tersebut sesuai dengan probabilitas tertentu yang memenuhi aksioma Kolmogorov. Fungsi yang didefinisikan untuk setiap nilai yang mungkin dari variabel acak disebut hukum distribusi bersama. Fungsi ini memungkinkan Anda untuk menghitung probabilitas dari setiap peristiwa dari. Secara khusus, bersama hukum distribusi variabel acak dan, yang mengambil nilai dari himpunan dan, diberikan oleh probabilitas.

Istilah "mat. harapan” diperkenalkan oleh Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) dan berasal dari konsep “nilai yang diharapkan dari hasil”, yang pertama kali muncul pada abad ke-17 dalam teori perjudian dalam karya Blaise Pascal dan Christian Huygens. Namun, pemahaman teoretis lengkap pertama dan evaluasi konsep ini diberikan oleh Pafnuty Lvovich Chebyshev (pertengahan abad ke-19).

Hukum distribusi variabel numerik acak (fungsi distribusi dan deret distribusi atau kepadatan probabilitas) sepenuhnya menggambarkan perilaku variabel acak. Tetapi dalam sejumlah soal, cukup mengetahui beberapa karakteristik numerik dari besaran yang diteliti (misalnya, nilai rata-ratanya dan kemungkinan penyimpangannya) untuk menjawab pertanyaan yang diajukan. Karakteristik numerik utama dari variabel acak adalah harapan, varians, modus dan median.

Ekspektasi matematika dari variabel acak diskrit adalah jumlah produk dari nilai-nilai yang mungkin dan probabilitas yang sesuai. Terkadang tikar. harapan disebut rata-rata tertimbang, karena kira-kira sama dengan rata-rata aritmatika dari nilai-nilai yang diamati dari variabel acak selama sejumlah besar percobaan. Dari definisi mat harapan, maka nilainya tidak kurang dari nilai terkecil yang mungkin dari variabel acak dan tidak lebih dari yang terbesar. Ekspektasi matematika dari variabel acak adalah variabel non-acak (konstanta).

Ekspektasi matematika memiliki arti fisis sederhana: jika suatu satuan massa ditempatkan pada garis lurus, menempatkan suatu massa di beberapa titik (untuk distribusi diskrit), atau “mengolesinya” dengan kerapatan tertentu (untuk distribusi kontinu mutlak), maka titik yang sesuai dengan harapan mat akan menjadi koordinat "pusat gravitasi" lurus.

Nilai rata-rata variabel acak adalah angka tertentu, yang, seolah-olah, "perwakilannya" dan menggantikannya dalam perhitungan perkiraan kasar. Ketika kami mengatakan: "waktu pengoperasian lampu rata-rata adalah 100 jam" atau "titik tumbukan rata-rata bergeser relatif terhadap target sebesar 2 m ke kanan", kami menunjukkan dengan ini karakteristik numerik tertentu dari variabel acak yang menggambarkannya lokasi pada sumbu numerik, yaitu Deskripsi posisi.

Dari karakteristik situasi dalam teori probabilitas, peran yang paling penting dimainkan oleh harapan dari variabel acak, yang kadang-kadang disebut hanya nilai rata-rata dari variabel acak.

Pertimbangkan variabel acak x, yang memiliki nilai-nilai yang mungkin x1, x2, …, xn dengan probabilitas p1, p2, …, pn. Kita perlu mengkarakterisasi dengan beberapa angka posisi nilai-nilai variabel acak pada sumbu x dengan mempertimbangkan bahwa nilai-nilai ini memiliki probabilitas yang berbeda. Untuk tujuan ini, adalah wajar untuk menggunakan apa yang disebut "rata-rata tertimbang" dari nilai-nilai xi, dan setiap nilai xi selama rata-rata harus diperhitungkan dengan "bobot" yang sebanding dengan probabilitas nilai ini. Jadi, kita akan menghitung mean dari variabel acak x, yang akan kita tunjukkan M|X|:

Rata-rata tertimbang ini disebut harapan mat dari variabel acak. Dengan demikian, kami mempertimbangkan salah satu konsep terpenting dari teori probabilitas - konsep mat. harapan. Tikar. Harapan dari variabel acak adalah jumlah produk dari semua nilai yang mungkin dari variabel acak dan probabilitas dari nilai-nilai ini.

Tikar. harapan dari variabel acak x karena semacam ketergantungan dengan rata-rata aritmatika dari nilai-nilai yang diamati dari variabel acak dengan sejumlah besar percobaan. Ketergantungan ini berjenis sama dengan ketergantungan antara frekuensi dan probabilitas, yaitu: dengan sejumlah besar eksperimen, rata-rata aritmatika dari nilai-nilai yang diamati dari variabel acak mendekati (konvergen dalam probabilitas) ke matnya. menunggu. Dari adanya hubungan antara frekuensi dan probabilitas, sebagai konsekuensinya dapat disimpulkan adanya hubungan yang serupa antara mean aritmatika dan ekspektasi matematis. Memang, pertimbangkan variabel acak x, ditandai dengan serangkaian distribusi:

Biarkan itu diproduksi n percobaan independen, di mana masing-masing nilai x mengambil nilai tertentu. Misalkan nilai x1 muncul m1 kali, nilai x2 muncul m2 kali, arti umum xi muncul mi kali. Mari kita hitung rata-rata aritmatika dari nilai-nilai X yang diamati, yang, berbeda dengan tikar harapan M|X| kami akan menunjukkan M*|X|:

Dengan peningkatan jumlah eksperimen n frekuensi pi akan mendekati (konvergen dalam probabilitas) probabilitas yang sesuai. Oleh karena itu, rata-rata aritmatika dari nilai-nilai yang diamati dari variabel acak M|X| dengan peningkatan jumlah eksperimen, itu akan mendekati (probabilitas konvergen) dengan harapannya. Hubungan yang dirumuskan di atas antara mean aritmatika dan mat. harapan adalah isi dari salah satu bentuk hukum bilangan besar.

Kita telah mengetahui bahwa semua bentuk hukum bilangan besar menyatakan fakta bahwa rata-rata tertentu stabil pada sejumlah besar percobaan. Di sini kita berbicara tentang stabilitas mean aritmatika dari serangkaian pengamatan dengan nilai yang sama. Dengan sejumlah kecil percobaan, rata-rata aritmatika dari hasil mereka adalah acak; dengan peningkatan yang cukup dalam jumlah percobaan, itu menjadi "hampir tidak acak" dan, menstabilkan, mendekati nilai konstan - mat. menunggu.

Sifat stabilitas rata-rata untuk sejumlah besar eksperimen mudah diverifikasi secara eksperimental. Misalnya, menimbang benda apa pun di laboratorium dengan timbangan yang akurat, sebagai hasil penimbangan kita mendapatkan nilai baru setiap kali; untuk mengurangi kesalahan pengamatan, kami menimbang tubuh beberapa kali dan menggunakan rata-rata aritmatika dari nilai yang diperoleh. Sangat mudah untuk melihat bahwa dengan peningkatan lebih lanjut dalam jumlah percobaan (penimbangan), rata-rata aritmatika bereaksi terhadap peningkatan ini semakin sedikit, dan dengan jumlah percobaan yang cukup besar itu praktis berhenti berubah.

Perlu dicatat bahwa karakteristik paling penting dari posisi variabel acak adalah mat. harapan - tidak ada untuk semua variabel acak. Dimungkinkan untuk membuat contoh variabel acak seperti itu untuk mat. tidak ada harapan, karena jumlah yang sesuai atau integral divergen. Namun, untuk praktiknya, kasus seperti itu tidak terlalu menarik. Biasanya variabel acak yang kita hadapi memiliki rentang nilai yang mungkin terbatas dan, tentu saja, memiliki harapan mat.

Selain yang paling penting dari karakteristik posisi variabel acak - nilai harapan - karakteristik lain dari posisi kadang-kadang digunakan dalam praktik, khususnya, modus dan median dari variabel acak.

Modus variabel acak adalah nilai yang paling mungkin. Istilah "nilai yang paling mungkin", secara tegas, hanya berlaku untuk kuantitas diskontinyu; untuk kuantitas kontinu, modus adalah nilai di mana kerapatan probabilitas maksimum. Angka-angka menunjukkan modus untuk variabel acak diskontinu dan kontinu, masing-masing.

Jika poligon distribusi (kurva distribusi) memiliki lebih dari satu maksimum, distribusi dikatakan "polimodal".

Terkadang ada distro yang di tengah bukan maksimal, tapi minimal. Distribusi semacam itu disebut "antimodal".

Dalam kasus umum, modus dan harapan dari variabel acak tidak bertepatan. Dalam kasus khusus ketika distribusi simetris dan modal (yaitu memiliki mode) dan ada mat. harapan, maka bertepatan dengan modus dan pusat simetri distribusi.

Karakteristik lain dari posisi sering digunakan - yang disebut median dari variabel acak. Karakteristik ini biasanya hanya digunakan untuk variabel acak kontinu, meskipun dapat juga didefinisikan secara formal untuk variabel diskontinu. Secara geometris, median adalah absis dari titik di mana daerah yang dibatasi oleh kurva distribusi dibagi dua.

Dalam kasus distribusi modal simetris, median bertepatan dengan matras. harapan dan mode.

Harapan matematika adalah nilai rata-rata, variabel acak - karakteristik numerik dari distribusi probabilitas variabel acak. Dalam cara yang paling umum, harapan mat dari variabel acak X(w) didefinisikan sebagai integral Lebesgue sehubungan dengan ukuran probabilitas R dalam ruang probabilitas asli:

Tikar. harapan juga dapat dihitung sebagai integral Lebesgue dari x dengan distribusi probabilitas px kuantitas x:

Secara alami, seseorang dapat mendefinisikan konsep variabel acak dengan harapan tak terbatas. Contoh tipikal adalah waktu repatriasi di beberapa jalan acak.

Dengan bantuan tikar. harapan ditentukan oleh banyak karakteristik numerik dan fungsional dari distribusi (sebagai harapan matematis dari fungsi yang sesuai dari variabel acak), misalnya, fungsi pembangkit, fungsi karakteristik, momen dari urutan apa pun, khususnya varians, kovarians.

Harapan matematis (Rata-rata populasi) adalah

Ekspektasi matematika adalah karakteristik lokasi nilai-nilai variabel acak (nilai rata-rata distribusinya). Dalam kapasitas ini, ekspektasi matematis berfungsi sebagai beberapa parameter distribusi "tipikal" dan perannya mirip dengan peran momen statis - koordinat pusat gravitasi dari distribusi massa - dalam mekanika. Dari karakteristik lain dari lokasi, yang dengannya distribusi dijelaskan secara umum - median, mode, harapan berbeda dalam nilai yang lebih besar yang dimiliki dan karakteristik hamburan yang sesuai - varians - dalam teorema batas teori probabilitas. Dengan kelengkapan terbesar, makna tikar harapan diungkapkan oleh hukum bilangan besar (ketidaksamaan Chebyshev) dan hukum bilangan besar yang diperkuat.

Harapan matematis (Rata-rata populasi) adalah

Ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit

Misalkan ada beberapa variabel acak yang dapat mengambil salah satu dari beberapa nilai numerik (misalnya, jumlah poin dalam lemparan dadu bisa 1, 2, 3, 4, 5, atau 6). Seringkali dalam praktiknya, untuk nilai seperti itu, muncul pertanyaan: nilai apa yang dibutuhkan "rata-rata" dengan sejumlah besar tes? Berapa rata-rata pengembalian (atau kerugian) kami dari setiap transaksi berisiko?

Katakanlah ada semacam lotere. Kami ingin memahami apakah menguntungkan atau tidak untuk berpartisipasi di dalamnya (atau bahkan berpartisipasi berulang kali, secara teratur). Katakanlah setiap tiket keempat menang, hadiahnya adalah 300 rubel, dan tiket apa pun - 100 rubel. Dengan jumlah partisipasi yang tak terbatas, inilah yang terjadi. Dalam tiga perempat kasus, kami akan kalah, setiap tiga kerugian akan menelan biaya 300 rubel. Dalam setiap kasus keempat, kami akan memenangkan 200 rubel. (hadiah dikurangi biaya), yaitu, untuk empat partisipasi, kami kehilangan rata-rata 100 rubel, untuk satu - rata-rata 25 rubel. Secara total, tingkat rata-rata kehancuran kami adalah 25 rubel per tiket.

Kami melempar dadu. Jika tidak curang (tanpa menggeser pusat gravitasi, dll.), lalu berapa banyak poin yang kita miliki rata-rata pada suatu waktu? Karena setiap opsi memiliki kemungkinan yang sama, kami mengambil mean aritmatika bodoh dan mendapatkan 3,5. Karena ini RATA-RATA, tidak perlu marah karena tidak ada lemparan tertentu yang akan memberikan 3,5 poin - yah, kubus ini tidak memiliki wajah dengan angka seperti itu!

Sekarang mari kita rangkum contoh kita:

Langsung saja kita lihat gambar di atas. Di sebelah kiri adalah tabel distribusi variabel acak. Nilai X dapat mengambil salah satu dari n nilai yang mungkin (diberikan di baris atas). Tidak boleh ada nilai lain. Di bawah setiap nilai yang mungkin, probabilitasnya ditandatangani di bawah ini. Di sebelah kanan adalah rumus, di mana M(X) disebut mat. menunggu. Arti dari nilai ini adalah bahwa dengan jumlah percobaan yang besar (dengan sampel yang besar), nilai rata-rata akan cenderung sangat diharapkan.

Mari kita kembali ke kubus bermain yang sama. Tikar. harapan jumlah poin saat melempar adalah 3,5 (hitung sendiri menggunakan rumus jika tidak percaya). Katakanlah Anda melemparkannya beberapa kali. 4 dan 6. jatuh Rata-rata, ternyata 5, yaitu jauh dari 3,5. Mereka melemparkannya lagi, 3 jatuh, yaitu rata-rata (4 + 6 + 3) / 3 = 4.3333 ... Entah bagaimana jauh dari matras. harapan. Sekarang lakukan eksperimen gila - gulingkan kubus 1000 kali! Dan jika rata-ratanya tidak tepat 3,5, maka akan mendekati itu.

Mari kita menghitung tikar. menunggu lotere yang dijelaskan di atas. Tabel akan terlihat seperti ini:

Maka ekspektasi skakmat akan, seperti yang telah kita tetapkan di atas.:

Hal lain adalah juga "di jari", tanpa formula, akan sulit jika ada lebih banyak opsi. Nah, katakanlah ada 75% tiket yang kalah, 20% tiket yang menang, dan 5% tiket yang menang.

Sekarang beberapa sifat tikar harapan.

Tikar. menunggu itu linier. Cara membuktikannya mudah:

Pengganda konstan diizinkan untuk dikeluarkan dari tanda skakmat. harapan, yaitu:

Ini adalah kasus khusus dari properti linearitas dari tikar harapan.

Konsekuensi lain dari linearitas tikar. harapan:

yaitu tikar. harapan jumlah variabel acak sama dengan jumlah harapan matematis variabel acak.

Biarkan X, Y menjadi variabel acak independen, kemudian:

Ini juga mudah dibuktikan) XY itu sendiri adalah variabel acak, sedangkan jika nilai awal bisa diambil n Dan M nilai masing-masing, maka XY dapat mengambil nilai nm. masing-masing nilai dihitung berdasarkan fakta bahwa probabilitas peristiwa independen dikalikan. Hasilnya, kami mendapatkan ini:

Ekspektasi matematis dari variabel acak kontinu

Variabel acak kontinu memiliki karakteristik seperti densitas distribusi (probability density). Faktanya, ini mencirikan situasi bahwa variabel acak mengambil beberapa nilai dari himpunan bilangan real lebih sering, beberapa - lebih jarang. Sebagai contoh, perhatikan grafik ini:

Di Sini x- sebenarnya variabel acak, f(x)- kepadatan distribusi. Dilihat dari grafik ini, selama percobaan, nilai x akan sering menjadi angka yang mendekati nol. peluang untuk melebihi 3 atau kurang -3 agak murni teoritis.

Jika densitas distribusi diketahui, maka dicari mat harapan sebagai berikut:

Misalkan ada distribusi seragam:

Ayo cari tikar. ekspektasi:

Ini cukup konsisten dengan pemahaman intuitif. Katakanlah jika kita mendapatkan banyak bilangan real acak dengan distribusi seragam, masing-masing segmen |0; 1| , maka rata-rata aritmatika harus sekitar 0,5.

Sifat-sifat harapan tikar - linearitas, dll, berlaku untuk variabel acak diskrit, berlaku di sini juga.

Hubungan ekspektasi matematis dengan indikator statistik lainnya

DI DALAM statistik analisis, bersama dengan harapan mat, ada sistem indikator yang saling bergantung yang mencerminkan keseragaman fenomena dan stabilitas proses. Seringkali, indikator variasi tidak memiliki arti independen dan digunakan untuk analisis data lebih lanjut. Pengecualian adalah koefisien variasi, yang mencirikan homogenitas data apa yang berharga statistik ciri.

Tingkat variabilitas atau stabilitas proses dalam ilmu statistika dapat diukur dengan menggunakan beberapa indikator.

Indikator paling penting yang mencirikan variabilitas variabel acak, adalah Penyebaran, yang paling dekat dan terhubung langsung dengan tikar. menunggu. Parameter ini secara aktif digunakan dalam jenis analisis statistik lainnya (pengujian hipotesis, analisis hubungan sebab-akibat, dll.). Seperti deviasi linier rata-rata, varians juga mencerminkan ukuran penyebaran data sekitar rata-rata.

Hal ini berguna untuk menerjemahkan bahasa isyarat ke dalam bahasa kata-kata. Ternyata varians adalah kuadrat rata-rata dari deviasi. Artinya, nilai rata-rata dihitung terlebih dahulu, kemudian selisih antara masing-masing nilai asli dan rata-rata diambil, dikuadratkan, dijumlahkan lalu dibagi dengan jumlah nilai dalam populasi ini. Perbedaan antara nilai tunggal dan rata-rata mencerminkan ukuran penyimpangan. Ini dikuadratkan untuk memastikan bahwa semua penyimpangan menjadi bilangan positif eksklusif dan untuk menghindari pembatalan timbal balik dari penyimpangan positif dan negatif ketika dijumlahkan. Kemudian, dengan deviasi kuadrat, kita cukup menghitung mean aritmatika. Rata-rata - kuadrat - penyimpangan. Penyimpangan dikuadratkan, dan rata-rata dipertimbangkan. Jawaban untuk kata ajaib "dispersi" hanya tiga kata.

Namun, dalam bentuknya yang murni, seperti, misalnya, rata-rata aritmatika, atau , dispersi tidak digunakan. Ini lebih merupakan indikator tambahan dan perantara yang digunakan untuk jenis analisis statistik lainnya. Dia bahkan tidak memiliki satuan ukuran normal. Dilihat dari rumusnya, ini adalah kuadrat dari unit data asli.

Harapan matematis (Rata-rata populasi) adalah

Mari kita mengukur variabel acak n kali, misalnya, kami mengukur kecepatan angin sepuluh kali dan ingin mencari nilai rata-rata. Bagaimana hubungan nilai rata-rata dengan fungsi distribusi?

Atau kita akan melempar dadu berkali-kali. Jumlah poin yang akan jatuh pada dadu selama setiap lemparan adalah variabel acak dan dapat mengambil nilai natural dari 1 hingga 6. n itu cenderung ke nomor yang sangat spesifik - tikar. ekspektasi Mx. Dalam hal ini, Mx = 3,5.

Bagaimana nilai ini muncul? Biarkan masuk n percobaan n1 setelah 1 poin dijatuhkan, n2 kali - 2 poin dan seterusnya. Maka jumlah hasil di mana satu poin turun:

Demikian pula untuk hasil ketika 2, 3, 4, 5 dan 6 poin jatuh.

Mari kita asumsikan bahwa kita mengetahui distribusi variabel acak x, yaitu, kita tahu bahwa variabel acak x dapat mengambil nilai x1, x2,..., xk dengan probabilitas p1, p2,... , pk.

Harapan mat Mx dari variabel acak x adalah:

Harapan matematika tidak selalu merupakan perkiraan yang masuk akal dari beberapa variabel acak. Jadi, untuk memperkirakan upah rata-rata, lebih masuk akal untuk menggunakan konsep median, yaitu nilai sedemikian rupa sehingga jumlah orang yang menerima lebih sedikit daripada median. gaji dan besar, cocok.

Peluang p1 bahwa variabel acak x lebih kecil dari x1/2 dan peluang p2 bahwa variabel acak x lebih besar dari x1/2 adalah sama dan sama dengan 1/2. Median tidak ditentukan secara unik untuk semua distribusi.

Standar atau Standar Deviasi dalam statistik, tingkat deviasi data pengamatan atau set dari nilai RATA-RATA disebut. Dilambangkan dengan huruf s atau s. Standar deviasi yang kecil menunjukkan bahwa data dikelompokkan di sekitar mean, dan standar deviasi yang besar menunjukkan bahwa data awal jauh dari itu. Standar deviasi sama dengan akar kuadrat dari kuantitas yang disebut varians. Ini adalah rata-rata dari jumlah perbedaan kuadrat dari data awal yang menyimpang dari rata-rata. Standar deviasi dari variabel acak adalah akar kuadrat dari varians:

Contoh. Di bawah kondisi pengujian saat memotret target, hitung varians dan standar deviasi dari variabel acak:

Variasi- fluktuasi, variabilitas nilai atribut dalam satuan populasi. Nilai numerik terpisah dari fitur yang terjadi pada populasi yang diteliti disebut varian nilai. Ketidakcukupan nilai rata-rata untuk karakterisasi lengkap populasi membuatnya perlu untuk melengkapi nilai rata-rata dengan indikator yang memungkinkan untuk menilai kekhasan rata-rata ini dengan mengukur fluktuasi (variasi) sifat yang diteliti. Koefisien variasi dihitung dengan rumus:

Variasi rentang(R) adalah selisih antara nilai maksimum dan minimum sifat dalam populasi yang diteliti. Indikator ini memberikan gambaran paling umum tentang fluktuasi sifat yang diteliti, seperti yang ditunjukkan perbedaan hanya di antara nilai batas varian. Ketergantungan pada nilai ekstrim atribut memberikan rentang variasi karakter acak yang tidak stabil.

Deviasi linier rata-rata adalah rata-rata aritmatika dari penyimpangan absolut (modulo) dari semua nilai populasi yang dianalisis dari nilai rata-ratanya:

Ekspektasi matematis dalam teori perjudian

Tikar menunggu adalah jumlah rata-rata uang yang bisa dimenangkan atau kalah oleh spekulator judi pada taruhan yang diberikan. Ini adalah konsep yang sangat penting bagi seorang spekulan, karena merupakan dasar penilaian sebagian besar situasi permainan. Harapan pasangan juga merupakan alat terbaik untuk menganalisis tata letak kartu dasar dan situasi permainan.

Katakanlah Anda bermain koin dengan seorang teman, membuat taruhan $1 setiap kali, tidak peduli apa yang muncul. Ekor - Anda menang, kepala - Anda kalah. Peluangnya untuk muncul adalah 1-1 dan Anda bertaruh $1 hingga $1. Jadi, harapan skakmat Anda adalah nol, karena berbicara secara matematis, Anda tidak bisa tahu apakah Anda akan memimpin atau kalah setelah dua gulungan atau setelah 200.

Keuntungan per jam Anda adalah nol. Pembayaran per jam adalah jumlah uang yang Anda harapkan untuk menang dalam satu jam. Anda dapat melempar koin 500 kali dalam satu jam, tetapi Anda tidak akan menang atau kalah karena peluang Anda tidak positif atau negatif. Jika Anda melihat, dari sudut pandang seorang spekulan yang serius, sistem tarif seperti itu tidak buruk. Tapi itu hanya buang-buang waktu.

Tapi misalkan seseorang ingin bertaruh $2 melawan $1 Anda dalam permainan yang sama. Kemudian Anda segera memiliki harapan positif sebesar 50 sen dari setiap taruhan. Mengapa 50 sen? Rata-rata, Anda memenangkan satu taruhan dan kehilangan yang kedua. Taruhan yang pertama dan kalah $1, bertaruh yang kedua dan menangkan $2. Anda bertaruh $1 dua kali dan unggul $1. Jadi setiap taruhan satu dolar Anda memberi Anda 50 sen.

Jika koin jatuh 500 kali dalam satu jam, keuntungan per jam Anda sudah menjadi $250, karena. rata-rata kamu kehilangan satu dolar 250 kali dan menang dua dolar 250 kali. $500 dikurangi $250 sama dengan $250, yang merupakan total kemenangan. Perhatikan bahwa nilai yang diharapkan, yang merupakan jumlah rata-rata yang Anda menangkan pada satu taruhan, adalah 50 sen. Anda memenangkan $250 dengan bertaruh satu dolar 500 kali, yang sama dengan 50 sen dari taruhan Anda.

Harapan matematis (Rata-rata populasi) adalah

Tikar. harapan tidak ada hubungannya dengan hasil jangka pendek. Lawan Anda, yang memutuskan untuk bertaruh $2 melawan Anda, dapat mengalahkan Anda pada sepuluh lemparan pertama berturut-turut, tetapi Anda, dengan keunggulan taruhan 2-ke-1, semuanya sama, menghasilkan 50 sen untuk setiap $1 taruhan di bawah keadaan. Tidak masalah jika Anda menang atau kalah satu taruhan atau beberapa taruhan, tetapi hanya dengan syarat Anda memiliki cukup uang untuk dengan mudah mengganti biayanya. Jika Anda terus bertaruh dengan cara yang sama, maka dalam jangka waktu yang lama, kemenangan Anda akan mendekati jumlah nilai yang diharapkan dalam gulungan individu.

Setiap kali Anda membuat taruhan terbaik (taruhan yang bisa menguntungkan dalam jangka panjang) ketika peluang menguntungkan Anda, Anda pasti akan memenangkan sesuatu di dalamnya, apakah Anda kalah atau tidak di tangan tertentu. Sebaliknya, jika Anda membuat taruhan yang lebih buruk (taruhan yang tidak menguntungkan dalam jangka panjang) ketika peluangnya tidak menguntungkan Anda, Anda kehilangan sesuatu, apakah Anda menang atau kalah.

Harapan matematis (Rata-rata populasi) adalah

Anda bertaruh dengan hasil terbaik jika harapan Anda positif, dan itu positif jika peluangnya menguntungkan Anda. Dengan bertaruh dengan hasil terburuk, Anda memiliki ekspektasi negatif, yang terjadi ketika peluangnya berlawanan dengan Anda. Spekulan serius bertaruh hanya dengan hasil terbaik, dengan yang terburuk - mereka lipat. Apa arti peluang yang menguntungkan Anda? Anda mungkin akhirnya menang lebih dari yang dihasilkan oleh peluang yang sebenarnya. Peluang sebenarnya untuk memukul ekor adalah 1 banding 1, tetapi Anda mendapatkan 2 banding 1 karena rasio taruhan. Dalam hal ini, kemungkinannya menguntungkan Anda. Anda pasti mendapatkan hasil terbaik dengan harapan positif sebesar 50 sen per taruhan.

Berikut adalah contoh yang lebih kompleks. harapan. Teman tersebut menuliskan angka dari satu sampai lima dan bertaruh $5 melawan $1 Anda bahwa Anda tidak akan memilih nomor tersebut. Apakah Anda setuju dengan taruhan seperti itu? Apa harapan di sini?

Rata-rata, Anda akan salah empat kali. Berdasarkan ini, peluang Anda untuk menebak angkanya adalah 4 banding 1. Kemungkinannya adalah Anda akan kehilangan satu dolar dalam satu upaya. Namun, Anda menang 5 banding 1, dengan kemungkinan kalah 4 banding 1. Oleh karena itu, peluangnya menguntungkan Anda, Anda dapat mengambil taruhan dan berharap untuk hasil terbaik. Jika Anda membuat taruhan ini lima kali, rata-rata Anda akan kalah empat kali $1 dan menang $5 sekali. Berdasarkan ini, untuk kelima upaya Anda akan mendapatkan $1 dengan ekspektasi matematis positif sebesar 20 sen per taruhan.

Seorang spekulan yang akan menang lebih dari yang dia pertaruhkan, seperti pada contoh di atas, sedang menangkap peluang. Sebaliknya, dia merusak peluang ketika dia berharap untuk menang lebih sedikit dari yang dia pertaruhkan. Spekulan taruhan dapat memiliki harapan positif atau negatif tergantung pada apakah dia menangkap atau merusak peluang.

Jika Anda bertaruh $50 untuk memenangkan $10 dengan peluang menang 4 banding 1, Anda akan mendapatkan ekspektasi negatif $2, karena rata-rata, Anda akan menang empat kali $10 dan kalah $50 sekali, yang menunjukkan bahwa kerugian per taruhan adalah $10. Tetapi jika Anda bertaruh $30 untuk memenangkan $10, dengan peluang yang sama untuk menang 4 banding 1, maka dalam hal ini Anda memiliki ekspektasi positif sebesar $2, karena Anda kembali menang empat kali $10 dan kalah $30 sekali, yaitu laba di $10. Contoh-contoh ini menunjukkan bahwa taruhan pertama buruk dan yang kedua baik.

Tikar. harapan adalah pusat dari setiap situasi permainan. Ketika seorang bandar mendorong penggemar sepak bola untuk bertaruh $11 untuk memenangkan $10, mereka memiliki ekspektasi positif sebesar 50 sen untuk setiap $10. Jika kasino membayar bahkan uang dari garis lulus Craps, maka harapan positif rumah adalah sekitar $1,40 untuk setiap $100; permainan ini disusun sehingga setiap orang yang bertaruh pada baris ini kehilangan rata-rata 50,7% dan menang 49,3% setiap saat. Tidak diragukan lagi, harapan positif yang tampaknya minimal inilah yang membawa keuntungan besar bagi pemilik kasino di seluruh dunia. Seperti yang dikatakan oleh pemilik kasino Vegas World, Bob Stupak, “Seribu persen probabilitas negatif dalam jarak yang cukup jauh akan membuat orang terkaya di dunia bangkrut.

Ekspektasi matematis saat bermain poker

Permainan Poker adalah contoh yang paling ilustratif dan ilustratif dalam hal penggunaan teori dan sifat-sifat tikar tunggu.

Tikar. Nilai yang Diharapkan dalam Poker – keuntungan rata-rata dari keputusan tertentu, dengan syarat keputusan tersebut dapat dipertimbangkan dalam kerangka teori bilangan besar dan jarak jauh. Poker yang sukses adalah tentang selalu menerima gerakan dengan harapan matematis yang positif.

Harapan matematis (Rata-rata populasi) adalah

Arti matematis. Harapan saat bermain poker terletak pada kenyataan bahwa kita sering menjumpai variabel acak saat mengambil keputusan (kita tidak tahu kartu mana yang ada di tangan lawan, kartu mana yang akan muncul di babak selanjutnya. berdagang). Kita harus mempertimbangkan setiap solusi dari sudut pandang teori bilangan besar, yang mengatakan bahwa dengan sampel yang cukup besar, nilai rata-rata variabel acak akan cenderung ke rata-ratanya.

Di antara formula khusus untuk menghitung keset harapan, berikut ini yang paling berlaku di poker:

Saat bermain tikar poker. harapan dapat dihitung untuk taruhan dan panggilan. Dalam kasus pertama, ekuitas lipat harus diperhitungkan, dalam kasus kedua, peluang pot itu sendiri. Saat mengevaluasi mat. harapan langkah ini atau itu, harus diingat bahwa lipatan selalu memiliki harapan nol. Dengan demikian, membuang kartu akan selalu menjadi keputusan yang lebih menguntungkan daripada tindakan negatif apa pun.

Harapan matematis (Rata-rata populasi) adalah

Ekspektasi memberi tahu Anda apa yang dapat Anda harapkan (atau kehilangan) untuk setiap risiko yang Anda ambil. Kasino menghasilkan uang karena harapan skakmat dari semua permainan yang dipraktekkan di dalamnya adalah mendukung kasino. Dengan rangkaian permainan yang cukup panjang, dapat diperkirakan bahwa klien akan kehilangan uang karena "probabilitas" mendukung kasino. Namun, spekulan kasino profesional membatasi permainan mereka dalam waktu singkat, sehingga meningkatkan peluang yang menguntungkan mereka. Hal yang sama berlaku untuk investasi. Jika ekspektasi Anda positif, Anda dapat menghasilkan lebih banyak uang dengan melakukan banyak perdagangan dalam waktu singkat. Titik waktu. Ekspektasi adalah persentase keuntungan Anda per kemenangan dikalikan dengan keuntungan rata-rata Anda dikurangi probabilitas kerugian Anda dikalikan dengan kerugian rata-rata Anda.

Poker juga dapat dilihat dari segi skakmat. Anda dapat berasumsi bahwa langkah tertentu menguntungkan, tetapi dalam beberapa kasus itu mungkin bukan yang terbaik, karena langkah lain lebih menguntungkan. Katakanlah Anda mencapai rumah penuh dalam lima kartu draw poker. Taruhan lawan Anda. Anda tahu bahwa jika Anda menaikkan taruhan, dia akan menelepon. Jadi membesarkan sepertinya taktik terbaik. Tetapi jika Anda menaikkan taruhan, dua spekulan yang tersisa pasti akan terlipat. Tetapi jika Anda memanggil taruhan, Anda akan sepenuhnya yakin bahwa dua spekulan lainnya setelah Anda akan melakukan hal yang sama. Saat Anda menaikkan taruhan, Anda mendapatkan satu unit, dan hanya dengan menelepon - dua. Jadi menelepon memberi Anda nilai harapan positif yang lebih tinggi dan merupakan taktik terbaik.

Tikar. menunggu juga dapat memberikan gambaran tentang taktik poker mana yang kurang menguntungkan dan mana yang lebih menguntungkan. Misalnya, jika Anda memainkan tangan tertentu dan Anda pikir kerugian rata-rata Anda adalah 75 sen termasuk taruhannya, maka Anda harus memainkan tangan itu karena ini lebih baik daripada melipat ketika taruhannya adalah $1.

Alasan penting lainnya untuk memahami esensi tikar. Harapannya adalah itu memberi Anda ketenangan pikiran apakah Anda memenangkan taruhan atau tidak: jika Anda membuat taruhan yang bagus atau terlipat tepat waktu, Anda akan tahu bahwa Anda telah menghasilkan atau menghemat sejumlah uang yang bisa didapat oleh spekulan yang lebih lemah. tidak menyimpan. Jauh lebih sulit untuk melipat jika Anda frustrasi karena lawan Anda memiliki tangan yang lebih baik dalam undian. Dengan semua ini, apa yang Anda simpan dengan tidak bermain, alih-alih bertaruh, ditambahkan ke kemenangan Anda per malam atau per bulan.

Ingatlah bahwa jika Anda berpindah tangan, lawan Anda akan memanggil Anda, dan seperti yang akan Anda lihat di artikel Teorema Dasar Poker, ini hanyalah salah satu keuntungan Anda. Anda harus bersukacita ketika ini terjadi. Anda bahkan dapat belajar untuk menikmati tangan yang hilang, karena Anda tahu bahwa spekulan lain di tempat Anda akan kehilangan lebih banyak.

Seperti yang disebutkan dalam contoh permainan koin di awal, rasio keuntungan per jam terkait dengan ekspektasi matematika, dan konsep ini sangat penting bagi spekulan profesional. Ketika Anda akan bermain poker, Anda harus memperkirakan secara mental berapa banyak yang bisa Anda menangkan dalam satu jam bermain. Dalam kebanyakan kasus, Anda perlu mengandalkan intuisi dan pengalaman Anda, tetapi Anda juga dapat menggunakan beberapa perhitungan matematis. Misalnya, jika Anda bermain draw lowball dan Anda melihat tiga pemain bertaruh $10 dan kemudian menarik dua kartu, yang merupakan taktik yang sangat buruk, Anda dapat menghitung sendiri bahwa setiap kali mereka bertaruh $10, mereka kehilangan sekitar $2. Masing-masing dari mereka melakukan ini delapan kali dalam satu jam, yang berarti bahwa ketiganya kehilangan sekitar $48 per jam. Anda adalah salah satu dari empat spekulan yang tersisa, yang kira-kira sama, jadi keempat spekulan ini (dan Anda di antara mereka) harus berbagi $48, dan masing-masing akan mendapat untung $12 per jam. Tarif per jam Anda dalam hal ini hanyalah bagian Anda dari jumlah uang yang hilang oleh tiga spekulan jahat dalam satu jam.

Harapan matematis (Rata-rata populasi) adalah

Selama periode waktu yang lama, keuntungan total spekulan adalah jumlah dari ekspektasi matematisnya dalam distribusi terpisah. Semakin banyak Anda bermain dengan ekspektasi positif, semakin banyak Anda menang, dan sebaliknya, semakin banyak tangan yang Anda mainkan dengan ekspektasi negatif, semakin banyak Anda kalah. Akibatnya, Anda harus memprioritaskan permainan yang dapat memaksimalkan harapan positif Anda atau meniadakan harapan negatif Anda sehingga Anda dapat memaksimalkan keuntungan per jam Anda.

Ekspektasi matematis positif dalam strategi permainan

Jika Anda tahu cara menghitung kartu, Anda mungkin memiliki keunggulan dibandingkan kasino jika mereka tidak memperhatikan dan menendang Anda keluar. Kasino menyukai spekulan mabuk dan penghitung kartu benci. Keuntungannya akan memungkinkan Anda untuk menang lebih banyak daripada yang Anda kalahkan dari waktu ke waktu. Pengelolaan uang yang baik menggunakan perhitungan skakmat dapat membantu Anda mendapatkan lebih banyak keuntungan dan mengurangi kerugian Anda. Tanpa keuntungan, Anda lebih baik memberikan uang untuk amal. Dalam permainan di bursa, keuntungan diberikan oleh sistem permainan, yang menghasilkan lebih banyak keuntungan daripada kerugian, selisihnya harga dan komisi. tidak ada manajemen modal tidak akan menyelamatkan sistem permainan yang buruk.

Harapan positif didefinisikan oleh nilai yang lebih besar dari nol. Semakin besar angka ini, semakin kuat ekspektasi statistik. Jika nilainya kurang dari nol, maka harapan juga akan negatif. Semakin besar modulus nilai negatif, semakin buruk situasinya. Jika hasilnya nol, maka ekspektasinya impas. Anda hanya bisa menang jika Anda memiliki ekspektasi matematis yang positif, sistem permainan yang masuk akal. Bermain dengan intuisi menyebabkan bencana.

Harapan matematis dan

Ekspektasi matematika merupakan indikator statistik yang cukup banyak diminati dan populer dalam pelaksanaan perdagangan bursa di pasar keuangan. pasar. Pertama-tama, parameter ini digunakan untuk menganalisis keberhasilan berdagang. Tidak sulit untuk menebak bahwa semakin besar nilai ini, semakin banyak alasan untuk menganggap perdagangan yang diteliti berhasil. Tentu saja, analisis kerja trader tidak dapat dibuat hanya dengan bantuan parameter ini. Namun, nilai yang dihitung dalam hubungannya dengan metode lain untuk menilai kualitas kerja, secara signifikan dapat meningkatkan akurasi analisis.

Ekspektasi mat sering dihitung dalam layanan pemantauan akun perdagangan, yang memungkinkan Anda dengan cepat mengevaluasi pekerjaan yang dilakukan pada deposit. Sebagai pengecualian, kami dapat mengutip strategi yang menggunakan "overstay" dari kerugian perdagangan. Pedagang keberuntungan mungkin menemaninya untuk beberapa waktu, dan karena itu, mungkin tidak ada kerugian sama sekali dalam pekerjaannya. Dalam hal ini, tidak mungkin untuk menavigasi hanya dengan harapan, karena risiko yang digunakan dalam pekerjaan tidak akan diperhitungkan.

Dalam perdagangan di pasar harapan mat paling sering digunakan saat memprediksi profitabilitas strategi perdagangan atau saat memperkirakan pendapatan pedagang berdasarkan statistik sebelumnya Menawar.

Harapan matematis (Rata-rata populasi) adalah

Sehubungan dengan pengelolaan uang, sangat penting untuk dipahami bahwa ketika melakukan perdagangan dengan ekspektasi negatif, tidak ada skema pengelolaan uang, yang pasti bisa mendatangkan keuntungan yang tinggi. Jika Anda terus bermain Bursa Efek dalam kondisi ini, terlepas dari metodenya pengelolaan uang, Anda akan kehilangan seluruh akun Anda, tidak peduli seberapa besar awalnya.

Aksioma ini tidak hanya berlaku untuk permainan atau perdagangan ekspektasi negatif, tetapi juga berlaku untuk permainan peluang genap. Oleh karena itu, satu-satunya kasus di mana Anda memiliki kesempatan untuk mendapatkan keuntungan dalam jangka panjang adalah ketika membuat kesepakatan dengan ekspektasi matematis positif.

Perbedaan antara harapan negatif dan harapan positif adalah perbedaan antara hidup dan mati. Tidak peduli seberapa positif atau negatif ekspektasi itu; yang penting adalah apakah itu positif atau negatif. Oleh karena itu, sebelum mempertimbangkan masalah manajemen modal Anda harus menemukan permainan dengan harapan positif.

Jika Anda tidak memiliki permainan itu, maka tidak ada jumlah pengelolaan uang di dunia yang akan menyelamatkan Anda. Di sisi lain, jika Anda memiliki harapan positif, maka dimungkinkan, melalui pengelolaan uang yang tepat, untuk mengubahnya menjadi fungsi pertumbuhan eksponensial. Tidak peduli seberapa kecil ekspektasi positifnya! Dengan kata lain, tidak peduli seberapa menguntungkan sistem perdagangan berdasarkan satu kontrak. Jika Anda memiliki sistem yang memenangkan $10 per kontrak pada satu perdagangan (setelah komisi dan slippage), teknik manajemen dapat digunakan modal dengan cara membuatnya lebih menguntungkan daripada sistem yang menunjukkan keuntungan rata-rata $1.000 per perdagangan (setelah biaya dan slippage).

Yang penting bukanlah seberapa menguntungkan sistem itu, tetapi seberapa yakin dapat dikatakan bahwa sistem tersebut akan menunjukkan setidaknya keuntungan minimal di masa depan. Oleh karena itu, persiapan terpenting yang dapat dilakukan adalah memastikan bahwa sistem menunjukkan nilai harapan yang positif di masa mendatang.

Untuk memiliki nilai harapan positif di masa depan, sangat penting untuk tidak membatasi derajat kebebasan sistem Anda. Ini dicapai tidak hanya dengan menghilangkan atau mengurangi jumlah parameter yang akan dioptimalkan, tetapi juga dengan mengurangi aturan sistem sebanyak mungkin. Setiap parameter yang Anda tambahkan, setiap aturan yang Anda buat, setiap perubahan kecil yang Anda buat pada sistem mengurangi jumlah derajat kebebasan. Idealnya, Anda ingin membangun sistem yang cukup primitif dan sederhana yang akan selalu menghasilkan keuntungan kecil di hampir semua pasar. Sekali lagi, penting bagi Anda untuk memahami bahwa tidak masalah seberapa menguntungkan suatu sistem, selama itu menguntungkan. yang Anda peroleh dalam perdagangan akan diperoleh melalui pengelolaan uang yang efisien.

Harapan matematis (Rata-rata populasi) adalah

Sistem perdagangan hanyalah alat yang memberi Anda ekspektasi matematis positif sehingga pengelolaan uang dapat digunakan. Sistem yang bekerja (menunjukkan setidaknya keuntungan minimal) hanya di satu atau beberapa pasar, atau memiliki aturan atau parameter yang berbeda untuk pasar yang berbeda, kemungkinan besar tidak akan bekerja secara real time untuk waktu yang lama. Masalah dengan sebagian besar pedagang teknis adalah mereka menghabiskan terlalu banyak waktu dan upaya untuk mengoptimalkan berbagai aturan dan parameter sistem perdagangan. Ini memberikan hasil yang sepenuhnya berlawanan. Alih-alih membuang energi dan waktu komputer untuk meningkatkan keuntungan dari sistem perdagangan, arahkan energi Anda untuk meningkatkan tingkat keandalan untuk mendapatkan keuntungan minimum.

Mengetahui bahwa manajemen modal- ini hanya permainan angka yang membutuhkan penggunaan harapan positif, pedagang dapat berhenti mencari "cawan suci" perdagangan di bursa. Sebagai gantinya, dia bisa mulai menguji metode tradingnya, mencari tahu seberapa logis metode ini, apakah memberikan ekspektasi positif. Metode pengelolaan uang yang tepat yang diterapkan pada metode apa pun, bahkan metode perdagangan yang sangat biasa-biasa saja, akan menyelesaikan pekerjaan selanjutnya.

Agar setiap trader sukses dalam pekerjaannya, dia perlu menyelesaikan tiga tugas terpenting: Untuk memastikan bahwa jumlah transaksi yang berhasil melebihi kesalahan dan kesalahan perhitungan yang tak terhindarkan; Siapkan sistem perdagangan Anda sehingga peluang untuk menghasilkan uang sesering mungkin; Raih hasil positif yang stabil dari operasi Anda.

Dan di sini, bagi kami, pedagang yang bekerja, skakmat dapat menjadi bantuan yang baik. ekspektasi. Istilah dalam teori probabilitas ini adalah salah satu kuncinya. Dengan itu, Anda dapat memberikan perkiraan rata-rata dari beberapa nilai acak. Ekspektasi matematika dari variabel acak mirip dengan pusat gravitasi, jika kita membayangkan semua probabilitas yang mungkin sebagai titik dengan massa yang berbeda.

Sehubungan dengan strategi perdagangan, untuk mengevaluasi efektivitasnya, ekspektasi untung (atau rugi) paling sering digunakan. Parameter ini didefinisikan sebagai jumlah produk dari tingkat keuntungan dan kerugian yang diberikan dan kemungkinan terjadinya. Misalnya, strategi perdagangan yang dikembangkan mengasumsikan bahwa 37% dari semua operasi akan menghasilkan keuntungan, dan sisanya - 63% - tidak akan menguntungkan. Pada saat yang sama, rata-rata penghasilan dari transaksi yang berhasil akan menjadi 7 dolar, dan kerugian rata-rata akan sama dengan 1,4 dolar. Mari kita hitung mat. harapan perdagangan pada sistem seperti itu:

Apa arti dari angka ini? Dikatakan bahwa, mengikuti aturan sistem ini, rata-rata, kami akan menerima 1,708 dolar dari setiap transaksi yang ditutup. Karena skor efisiensi yang dihasilkan lebih besar dari nol, sistem seperti itu dapat digunakan untuk pekerjaan nyata. Jika, sebagai hasil dari perhitungan matras, harapannya ternyata negatif, maka ini sudah menunjukkan kerugian rata-rata dan ini akan menyebabkan kehancuran.

Jumlah keuntungan per perdagangan juga dapat dinyatakan sebagai nilai relatif dalam bentuk %. Sebagai contoh:

Persentase pendapatan per 1 transaksi - 5%;

Persentase operasi perdagangan yang berhasil - 62%;

Persentase kerugian per 1 perdagangan - 3%;

Persentase transaksi yang gagal - 38%;

Dalam hal ini, tikar. harapan akan:

Artinya, rata-rata transaksi akan mendatangkan 1,96%.

Dimungkinkan untuk mengembangkan sistem yang, terlepas dari dominasi kerugian perdagangan, akan memberikan hasil yang positif, karena MO>0-nya.

Namun, menunggu saja tidak cukup. Sulit untuk menghasilkan uang jika sistem memberikan sinyal perdagangan yang sangat sedikit. Dalam hal ini, akan sebanding dengan bunga bank. Biarkan setiap operasi menghasilkan rata-rata hanya 0,5 dolar, tetapi bagaimana jika sistem mengasumsikan 1000 transaksi per tahun? Ini akan menjadi jumlah yang sangat serius dalam waktu yang relatif singkat. Secara logis mengikuti dari sini bahwa ciri lain dari sistem perdagangan yang baik dapat dianggap sebagai periode penahanan yang singkat.

Sumber dan tautan

dic.academic.ru - kamus akademik online

math.ru - situs pendidikan matematika

nsu.ru - situs web pendidikan Universitas Negeri Novosibirsk

webmath.ru - portal pendidikan untuk siswa, pelamar, dan anak sekolah.

exponenta.ru situs web matematika pendidikan

ru.tradimo.com - sekolah perdagangan online gratis

crypto.hut2.ru - sumber informasi multidisiplin

poker-wiki.ru - ensiklopedia poker gratis

sernam.ru - Perpustakaan ilmiah dari publikasi ilmu alam terpilih

reshim.su - situs web

unfx.ru - Forex di UNFX: pelatihan, sinyal perdagangan, manajemen kepercayaan

- - ekspektasi matematis Salah satu karakteristik numerik dari variabel acak, sering disebut rata-rata teoretisnya. Untuk variabel acak diskrit X, matematika ... ... Buku Pegangan Penerjemah Teknis

NILAI YANG DIHARAPKAN- (nilai yang diharapkan) Nilai rata-rata distribusi variabel ekonomi yang dapat diambilnya. Jika pt adalah harga barang pada waktu t, ekspektasi matematisnya dilambangkan dengan Ept. Untuk menunjukkan titik waktu di mana ... ... kamus ekonomi

Nilai yang diharapkan- nilai rata-rata variabel acak. Harapan matematis adalah nilai deterministik. Rata-rata aritmatika realisasi variabel acak adalah perkiraan harapan matematis. Rata-rata… … Terminologi resmi adalah (nilai rata-rata) dari variabel acak karakteristik numerik dari variabel acak. Jika variabel acak diberikan pada ruang probabilitas (lihat teori Probabilitas), maka M. o. MX (atau EX) didefinisikan sebagai integral Lebesgue: di mana... Ensiklopedia Fisik

NILAI YANG DIHARAPKAN- variabel acak adalah karakteristik numeriknya. Jika variabel acak X memiliki fungsi distribusi F(x), maka M. o. akan: . Jika distribusi X adalah diskrit, maka .о.: , di mana x1, x2, ... adalah nilai yang mungkin dari variabel acak diskrit X; hal1 ... Ensiklopedia Geologi

NILAI YANG DIHARAPKAN- Bahasa Inggris. nilai yang diharapkan; Jerman matematika Erwartung. Rata-rata stokastik atau pusat dispersi dari variabel acak. Antinazi. Ensiklopedia Sosiologi, 2009 ... Ensiklopedia Sosiologi

Nilai yang diharapkan- Lihat juga: Ekspektasi bersyarat Ekspektasi matematis adalah nilai rata-rata dari variabel acak, distribusi probabilitas dari variabel acak, dipertimbangkan dalam teori probabilitas. Dalam sastra Inggris dan dalam matematika ... ... Wikipedia

Nilai yang diharapkan- 1.14 Ekspektasi matematis E (X) di mana nilai xi dari variabel acak diskrit; p = P (X = xi); f(x) adalah kerapatan variabel acak kontinu * Jika ekspresi ini ada dalam arti konvergensi absolut Sumber ... Buku referensi kamus istilah dokumentasi normatif dan teknis

Buku

Buka Situs Web Cookies for die beste Präsentation unserer. Wenn Sie diese Situs web weiterhin nutzen, stimmen Sie dem zu. oke

Ekspektasi matematis adalah distribusi probabilitas dari variabel acak

Ekspektasi matematis, definisi, ekspektasi matematis variabel acak diskrit dan kontinu, selektif, ekspektasi bersyarat, kalkulasi, sifat, tugas, estimasi ekspektasi, varians, fungsi distribusi, rumus, contoh kalkulasi

Perluas konten

Ciutkan konten

Harapan matematis adalah, definisi

Salah satu konsep terpenting dalam statistik matematika dan teori probabilitas, yang mencirikan distribusi nilai atau probabilitas variabel acak. Biasanya dinyatakan sebagai rata-rata tertimbang dari semua parameter yang mungkin dari variabel acak. Ini banyak digunakan dalam analisis teknis, studi seri angka, studi proses berkelanjutan dan jangka panjang. Hal ini penting dalam menilai risiko, memprediksi indikator harga saat berdagang di pasar keuangan, dan digunakan dalam pengembangan strategi dan metode taktik permainan dalam teori perjudian.

Harapan matematisnya adalah nilai rata-rata dari variabel acak, distribusi probabilitas dari variabel acak dipertimbangkan dalam teori probabilitas.

Harapan matematisnya adalah ukuran nilai rata-rata dari variabel acak dalam teori probabilitas. Ekspektasi matematis dari variabel acak x dilambangkan M(x).

Harapan matematisnya adalah

Harapan matematisnya adalah dalam teori probabilitas, rata-rata tertimbang dari semua kemungkinan nilai yang dapat diambil oleh variabel acak ini.

Harapan matematisnya adalah jumlah produk dari semua nilai yang mungkin dari variabel acak dengan probabilitas nilai-nilai ini.

Harapan matematisnya adalah keuntungan rata-rata dari suatu keputusan tertentu, dengan ketentuan bahwa keputusan tersebut dapat dipertimbangkan dalam kerangka teori bilangan besar dan jarak jauh.

Harapan matematisnya adalah dalam teori perjudian, jumlah kemenangan yang bisa diperoleh atau kalah oleh pemain, rata-rata, untuk setiap taruhan. Dalam bahasa penjudi, ini kadang disebut "keunggulan pemain" (jika positif untuk pemain) atau "kelebihan rumah" (jika negatif untuk pemain).

Harapan matematisnya adalah Persentase keuntungan per kemenangan dikalikan dengan keuntungan rata-rata dikurangi probabilitas kerugian dikalikan dengan kerugian rata-rata.

Ekspektasi matematis dari variabel acak dalam teori matematika

Salah satu karakteristik numerik penting dari variabel acak adalah ekspektasi matematis. Mari kita perkenalkan konsep sistem variabel acak. Pertimbangkan satu set variabel acak yang merupakan hasil dari percobaan acak yang sama. Jika adalah salah satu nilai yang mungkin dari sistem, maka kejadian tersebut sesuai dengan probabilitas tertentu yang memenuhi aksioma Kolmogorov. Fungsi yang didefinisikan untuk setiap nilai yang mungkin dari variabel acak disebut hukum distribusi bersama. Fungsi ini memungkinkan Anda untuk menghitung probabilitas dari setiap peristiwa dari. Secara khusus, hukum gabungan dari distribusi variabel acak dan, yang mengambil nilai dari himpunan dan, diberikan oleh probabilitas.

Istilah "ekspektasi" diperkenalkan oleh Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) dan berasal dari konsep "nilai imbalan yang diharapkan", yang pertama kali muncul pada abad ke-17 dalam teori perjudian dalam karya Blaise Pascal dan Christian Huygens. . Namun, pemahaman teoretis lengkap pertama dan evaluasi konsep ini diberikan oleh Pafnuty Lvovich Chebyshev (pertengahan abad ke-19).

Hukum distribusi variabel numerik acak (fungsi distribusi dan deret distribusi atau kepadatan probabilitas) sepenuhnya menggambarkan perilaku variabel acak. Tetapi dalam sejumlah soal, cukup mengetahui beberapa karakteristik numerik dari besaran yang diteliti (misalnya, nilai rata-ratanya dan kemungkinan penyimpangannya) untuk menjawab pertanyaan yang diajukan. Karakteristik numerik utama dari variabel acak adalah ekspektasi matematis, varians, modus dan median.

Ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit adalah jumlah produk dari nilai-nilai yang mungkin dan probabilitas yang sesuai. Kadang-kadang ekspektasi matematis disebut rata-rata tertimbang, karena kira-kira sama dengan rata-rata aritmatika dari nilai-nilai yang diamati dari variabel acak selama sejumlah besar eksperimen. Dari definisi ekspektasi matematis, maka nilainya tidak kurang dari nilai terkecil yang mungkin dari variabel acak dan tidak lebih dari yang terbesar. Ekspektasi matematis dari variabel acak adalah variabel non-acak (konstanta).

Ekspektasi matematis memiliki arti fisis yang sederhana: jika suatu satuan massa ditempatkan pada garis lurus, menempatkan beberapa massa di beberapa titik (untuk distribusi diskrit), atau “mengolesinya” dengan kerapatan tertentu (untuk distribusi kontinu mutlak), maka titik yang sesuai dengan ekspektasi matematis akan menjadi koordinat "pusat gravitasi" lurus.

Dari karakteristik posisi dalam teori probabilitas, peran paling penting dimainkan oleh ekspektasi matematis dari variabel acak, yang kadang-kadang disebut hanya nilai rata-rata dari variabel acak.

Pertimbangkan variabel acak x, yang memiliki nilai-nilai yang mungkin x1, x2, …, xn dengan probabilitas p1, p2, …, pn. Kita perlu mengkarakterisasi dengan beberapa angka posisi nilai variabel acak pada sumbu x, dengan mempertimbangkan fakta bahwa nilai-nilai ini memiliki probabilitas yang berbeda. Untuk tujuan ini, adalah wajar untuk menggunakan apa yang disebut "rata-rata tertimbang" dari nilai-nilai xi, dan setiap nilai xi selama rata-rata harus diperhitungkan dengan "bobot" yang sebanding dengan probabilitas nilai ini. Jadi, kita akan menghitung mean dari variabel acak x, yang akan kita tunjukkan M|X|:

Rata-rata tertimbang ini disebut ekspektasi matematis dari variabel acak. Jadi, kami memperkenalkan dalam pertimbangan salah satu konsep yang paling penting dari teori probabilitas - konsep harapan matematis. Ekspektasi matematis dari variabel acak adalah jumlah produk dari semua nilai yang mungkin dari variabel acak dan probabilitas dari nilai-nilai ini.

x karena semacam ketergantungan dengan rata-rata aritmatika dari nilai-nilai yang diamati dari variabel acak dengan sejumlah besar percobaan. Ketergantungan ini berjenis sama dengan ketergantungan antara frekuensi dan probabilitas, yaitu: dengan sejumlah besar percobaan, rata-rata aritmatika dari nilai-nilai yang diamati dari suatu variabel acak mendekati (konvergen dalam probabilitas) harapan matematisnya. Dari adanya hubungan antara frekuensi dan probabilitas, sebagai konsekuensinya dapat disimpulkan adanya hubungan yang serupa antara mean aritmatika dan ekspektasi matematis. Memang, pertimbangkan variabel acak x, ditandai dengan serangkaian distribusi:

Biarkan itu diproduksi n percobaan independen, di mana masing-masing nilai x mengambil nilai tertentu. Misalkan nilai x1 muncul m1 kali, nilai x2 muncul m2 kali, arti umum xi muncul mi kali. Mari kita hitung rata-rata aritmatika dari nilai X yang diamati, yang, berbeda dengan harapan matematis M|X| kami akan menunjukkan M*|X|:

Dengan peningkatan jumlah eksperimen n frekuensi pi akan mendekati (konvergen dalam probabilitas) probabilitas yang sesuai. Oleh karena itu, rata-rata aritmatika dari nilai-nilai yang diamati dari variabel acak M|X| dengan peningkatan jumlah eksperimen, ia akan mendekati (probabilitas konvergen) dengan ekspektasi matematisnya. Hubungan antara mean aritmatika dan ekspektasi matematis yang dirumuskan di atas merupakan isi dari salah satu bentuk hukum bilangan besar.

Perlu dicatat bahwa karakteristik paling penting dari posisi variabel acak - ekspektasi matematis - tidak ada untuk semua variabel acak. Dimungkinkan untuk membuat contoh variabel acak yang ekspektasi matematisnya tidak ada, karena jumlah atau integral yang sesuai divergen. Namun, untuk praktiknya, kasus seperti itu tidak terlalu menarik. Biasanya, variabel acak yang kita hadapi memiliki rentang nilai yang mungkin terbatas dan, tentu saja, memiliki harapan.

Selain karakteristik posisi variabel acak yang paling penting - ekspektasi matematis, karakteristik posisi lain kadang-kadang digunakan dalam praktik, khususnya, mode dan median variabel acak.

Jika poligon distribusi (kurva distribusi) memiliki lebih dari satu maksimum, distribusi dikatakan "polimodal".

Terkadang ada distro yang di tengah bukan maksimal, tapi minimal. Distribusi semacam itu disebut "antimodal".

Dalam kasus umum, modus dan harapan matematis dari variabel acak tidak bertepatan. Dalam kasus tertentu, ketika distribusi simetris dan modal (yaitu memiliki modus) dan ada harapan matematis, maka itu bertepatan dengan modus dan pusat simetri distribusi.

Dalam kasus distribusi modal simetris, median bertepatan dengan mean dan modus.

Ekspektasi matematis adalah nilai rata-rata variabel acak - karakteristik numerik dari distribusi probabilitas variabel acak. Dalam cara yang paling umum, ekspektasi matematis dari variabel acak X(w) didefinisikan sebagai integral Lebesgue sehubungan dengan ukuran probabilitas R dalam ruang probabilitas asli:

Ekspektasi matematis juga dapat dihitung sebagai integral Lebesgue dari x dengan distribusi probabilitas px kuantitas x:

Secara alami, seseorang dapat mendefinisikan konsep variabel acak dengan harapan matematis tak terbatas. Contoh tipikal adalah waktu kembali di beberapa jalan acak.

Dengan bantuan harapan matematis, banyak karakteristik numerik dan fungsional dari distribusi ditentukan (sebagai harapan matematis dari fungsi yang sesuai dari variabel acak), misalnya, fungsi pembangkit, fungsi karakteristik, momen dari urutan apa pun, khususnya, varians , kovarians.

Ekspektasi matematis adalah karakteristik lokasi nilai-nilai variabel acak (nilai rata-rata distribusinya). Dalam kapasitas ini, ekspektasi matematis berfungsi sebagai beberapa parameter distribusi "tipikal" dan perannya mirip dengan peran momen statis - koordinat pusat gravitasi dari distribusi massa - dalam mekanika. Dari karakteristik lain dari lokasi, dengan bantuan distribusi yang dijelaskan secara umum - median, mode, harapan matematis berbeda dalam nilai yang lebih besar yang dimiliki dan karakteristik hamburan yang sesuai - dispersi - dalam teorema batas teori probabilitas . Dengan kelengkapan terbesar, makna ekspektasi matematis diungkapkan oleh hukum bilangan besar (ketidaksamaan Chebyshev) dan hukum bilangan besar yang diperkuat.

Ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit

Katakanlah ada semacam lotere. Kami ingin memahami apakah menguntungkan atau tidak untuk berpartisipasi di dalamnya (atau bahkan berpartisipasi berulang kali, secara teratur). Katakanlah setiap tiket keempat menang, hadiahnya adalah 300 rubel, dan harga tiket apa pun adalah 100 rubel. Dengan jumlah partisipasi yang tak terbatas, inilah yang terjadi. Dalam tiga perempat kasus, kami akan kalah, setiap tiga kerugian akan menelan biaya 300 rubel. Dalam setiap kasus keempat, kami akan memenangkan 200 rubel. (hadiah dikurangi biaya), yaitu, untuk empat partisipasi, kami kehilangan rata-rata 100 rubel, untuk satu - rata-rata 25 rubel. Secara total, tingkat rata-rata kehancuran kami adalah 25 rubel per tiket.

Sekarang mari kita rangkum contoh kita:

Langsung saja kita lihat gambar di atas. Di sebelah kiri adalah tabel distribusi variabel acak. Nilai X dapat mengambil salah satu dari n nilai yang mungkin (diberikan di baris atas). Tidak boleh ada nilai lain. Di bawah setiap nilai yang mungkin, probabilitasnya ditandatangani di bawah ini. Di sebelah kanan adalah rumus, di mana M(X) disebut ekspektasi matematis. Arti dari nilai ini adalah bahwa dengan jumlah percobaan yang besar (dengan sampel yang besar), nilai rata-rata akan cenderung ke ekspektasi yang sangat matematis ini.

Mari kita kembali ke kubus bermain yang sama. Ekspektasi matematis dari jumlah poin dalam lemparan adalah 3,5 (hitung sendiri menggunakan rumus jika Anda tidak percaya). Katakanlah Anda melemparkannya beberapa kali. 4 dan 6. jatuh Rata-rata, ternyata 5, yaitu jauh dari 3,5. Mereka melemparkannya lagi, 3 jatuh, yaitu rata-rata (4 + 6 + 3) / 3 = 4.3333 ... Entah bagaimana jauh dari harapan matematis. Sekarang lakukan eksperimen gila - gulingkan kubus 1000 kali! Dan jika rata-ratanya tidak tepat 3,5, maka akan mendekati itu.

Mari kita hitung ekspektasi matematis untuk lotere yang dijelaskan di atas. Tabel akan terlihat seperti ini:

Maka ekspektasi matematisnya adalah, seperti yang telah kita tetapkan di atas.:

Hal lain adalah juga "di jari", tanpa formula, akan sulit jika ada lebih banyak opsi. Nah, katakanlah ada 75% tiket yang kalah, 20% tiket yang menang, dan 5% tiket yang menang.

Sekarang beberapa sifat ekspektasi matematis.

Cara membuktikannya mudah:

Sebuah pengali konstan dapat diambil dari tanda harapan, yaitu:

Ini adalah kasus khusus dari properti linearitas dari ekspektasi matematis.

Konsekuensi lain dari linearitas ekspektasi matematis:

yaitu, ekspektasi matematis dari jumlah variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematis dari variabel acak.

Biarkan X, Y menjadi variabel acak independen, kemudian:

Ini juga mudah dibuktikan) XY itu sendiri adalah variabel acak, sedangkan jika nilai awal bisa diambil n Dan M nilai masing-masing, maka XY dapat mengambil nilai nm. Probabilitas masing-masing nilai dihitung berdasarkan fakta bahwa probabilitas peristiwa independen dikalikan. Hasilnya, kami mendapatkan ini:

Ekspektasi matematis dari variabel acak kontinu

Misalkan ada distribusi seragam:

Sifat-sifat ekspektasi matematis - linearitas, dll., yang berlaku untuk variabel acak diskrit, juga berlaku di sini.

Hubungan ekspektasi matematis dengan indikator statistik lainnya

Dalam analisis statistik, bersama dengan ekspektasi matematis, ada sistem indikator yang saling bergantung yang mencerminkan homogenitas fenomena dan stabilitas proses. Seringkali, indikator variasi tidak memiliki arti independen dan digunakan untuk analisis data lebih lanjut. Pengecualian adalah koefisien variasi, yang mencirikan homogenitas data, yang merupakan karakteristik statistik yang berharga.

Derajat variabilitas atau stabilitas proses dalam ilmu statistika dapat diukur dengan menggunakan beberapa indikator.

Indikator terpenting yang mencirikan variabilitas variabel acak adalah Penyebaran, yang paling dekat dan berhubungan langsung dengan ekspektasi matematis. Parameter ini secara aktif digunakan dalam jenis analisis statistik lainnya (pengujian hipotesis, analisis hubungan sebab-akibat, dll.). Seperti deviasi linier rata-rata, varians juga mencerminkan sejauh mana data menyebar di sekitar rata-rata.

Hal ini berguna untuk menerjemahkan bahasa isyarat ke dalam bahasa kata-kata. Ternyata varians adalah kuadrat rata-rata dari deviasi. Artinya, nilai rata-rata dihitung terlebih dahulu, kemudian selisih antara masing-masing nilai asli dan rata-rata diambil, dikuadratkan, dijumlahkan lalu dibagi dengan jumlah nilai dalam populasi ini. Selisih antara nilai individu dan mean mencerminkan ukuran deviasi. Ini dikuadratkan untuk memastikan bahwa semua penyimpangan menjadi bilangan positif eksklusif dan untuk menghindari pembatalan timbal balik dari penyimpangan positif dan negatif ketika dijumlahkan. Kemudian, dengan deviasi kuadrat, kita cukup menghitung mean aritmatika. Rata-rata - persegi - deviasi. Penyimpangan dikuadratkan, dan rata-rata dipertimbangkan. Jawaban untuk kata ajaib "dispersi" hanya tiga kata.

Namun, dalam bentuknya yang murni, seperti, misalnya, rata-rata aritmatika, atau indeks, dispersi tidak digunakan. Ini lebih merupakan indikator tambahan dan perantara yang digunakan untuk jenis analisis statistik lainnya. Dia bahkan tidak memiliki satuan ukuran normal. Dilihat dari rumusnya, ini adalah kuadrat dari unit data asli.

Mari kita mengukur variabel acak n kali, misalnya, kami mengukur kecepatan angin sepuluh kali dan ingin mencari nilai rata-rata. Bagaimana hubungan nilai rata-rata dengan fungsi distribusi?

Atau kita akan melempar dadu berkali-kali. Jumlah poin yang akan jatuh pada dadu selama setiap lemparan adalah variabel acak dan dapat mengambil nilai natural dari 1 hingga 6. n itu cenderung ke angka yang sangat spesifik - ekspektasi matematis Mx. Dalam hal ini, Mx = 3,5.

Bagaimana nilai ini muncul? Biarkan masuk n percobaan n1 setelah 1 poin dijatuhkan, n2 kali - 2 poin dan seterusnya. Maka jumlah hasil di mana satu poin turun:

Demikian pula untuk hasil ketika 2, 3, 4, 5 dan 6 poin jatuh.

Mari kita asumsikan bahwa kita mengetahui hukum distribusi variabel acak x, yaitu, kita tahu bahwa variabel acak x dapat mengambil nilai x1, x2, ..., xk dengan probabilitas p1, p2, ... , pk.

Ekspektasi matematis Mx dari variabel acak x adalah:

Ekspektasi matematis tidak selalu merupakan estimasi yang masuk akal dari beberapa variabel acak. Jadi, untuk memperkirakan upah rata-rata, lebih masuk akal untuk menggunakan konsep median, yaitu nilai sedemikian rupa sehingga jumlah orang yang menerima kurang dari gaji rata-rata dan lebih, adalah sama.

Contoh. Di bawah kondisi pengujian saat memotret target, hitung varians dan standar deviasi dari variabel acak:

Variasi rentang(R) adalah selisih antara nilai maksimum dan minimum sifat dalam populasi yang diteliti. Indikator ini memberikan gambaran paling umum tentang fluktuasi sifat yang diteliti, karena hanya menunjukkan perbedaan antara nilai ekstrim varian. Ketergantungan pada nilai ekstrim atribut memberikan rentang variasi karakter acak yang tidak stabil.

Deviasi linier rata-rata adalah rata-rata aritmatika dari penyimpangan absolut (modulo) dari semua nilai populasi yang dianalisis dari nilai rata-ratanya:

Ekspektasi matematis dalam teori perjudian

Harapan matematisnya adalah jumlah rata-rata uang yang bisa dimenangkan atau kalah oleh penjudi pada taruhan yang diberikan. Ini adalah konsep yang sangat penting bagi seorang pemain, karena merupakan dasar penilaian sebagian besar situasi permainan. Ekspektasi matematis juga merupakan alat terbaik untuk menganalisis tata letak kartu dasar dan situasi permainan.

Katakanlah Anda bermain koin dengan seorang teman, membuat taruhan $1 setiap kali, tidak peduli apa yang muncul. Ekor - Anda menang, kepala - Anda kalah. Peluangnya untuk muncul adalah 1-1 dan Anda bertaruh $1 hingga $1. Jadi, ekspektasi matematis Anda adalah nol, karena berbicara secara matematis, Anda tidak bisa tahu apakah Anda akan memimpin atau kalah setelah dua gulungan atau setelah 200.

Keuntungan per jam Anda adalah nol. Pembayaran per jam adalah jumlah uang yang Anda harapkan untuk menang dalam satu jam. Anda dapat melempar koin 500 kali dalam satu jam, tetapi Anda tidak akan menang atau kalah karena peluang Anda tidak positif atau negatif. Jika Anda melihat, dari sudut pandang pemain yang serius, sistem taruhan seperti itu tidak buruk. Tapi itu hanya buang-buang waktu.

Tapi misalkan seseorang ingin bertaruh $2 melawan $1 Anda dalam permainan yang sama. Kemudian Anda segera memiliki harapan positif sebesar 50 sen dari setiap taruhan. Mengapa 50 sen? Rata-rata, Anda memenangkan satu taruhan dan kehilangan yang kedua. Taruhan dolar pertama dan kalahkan $1, pertaruhkan yang kedua dan menangkan $2. Anda bertaruh $1 dua kali dan unggul $1. Jadi setiap taruhan satu dolar Anda memberi Anda 50 sen.

Jika koin jatuh 500 kali dalam satu jam, keuntungan per jam Anda sudah menjadi $250, karena. rata-rata, Anda kehilangan $1.250 kali dan memenangkan $2.250 kali. $500 dikurangi $250 sama dengan $250, yang merupakan total kemenangan. Perhatikan bahwa nilai yang diharapkan, yang merupakan jumlah rata-rata yang Anda menangkan pada satu taruhan, adalah 50 sen. Anda memenangkan $250 dengan bertaruh satu dolar 500 kali, yang sama dengan 50 sen dari taruhan Anda.

Harapan matematis tidak ada hubungannya dengan hasil jangka pendek. Lawan Anda, yang memutuskan untuk bertaruh $2 melawan Anda, dapat mengalahkan Anda pada sepuluh lemparan pertama berturut-turut, tetapi Anda, dengan keunggulan taruhan 2-ke-1, semuanya sama, menghasilkan 50 sen untuk setiap $1 taruhan di bawah keadaan. Tidak masalah jika Anda menang atau kalah satu taruhan atau beberapa taruhan, tetapi hanya dengan syarat Anda memiliki cukup uang untuk dengan mudah mengganti biayanya. Jika Anda terus bertaruh dengan cara yang sama, maka dalam jangka waktu yang lama, kemenangan Anda akan mencapai jumlah nilai yang diharapkan dalam gulungan individu.

Anda bertaruh dengan hasil terbaik jika harapan Anda positif, dan itu positif jika peluangnya menguntungkan Anda. Dengan bertaruh dengan hasil terburuk, Anda memiliki ekspektasi negatif, yang terjadi ketika peluangnya berlawanan dengan Anda. Pemain serius hanya bertaruh dengan hasil terbaik, dengan yang terburuk - mereka lipat. Apa arti peluang yang menguntungkan Anda? Anda mungkin akhirnya menang lebih dari yang dihasilkan oleh peluang yang sebenarnya. Peluang sebenarnya untuk memukul ekor adalah 1 banding 1, tetapi Anda mendapatkan 2 banding 1 karena rasio taruhan. Dalam hal ini, kemungkinannya menguntungkan Anda. Anda pasti mendapatkan hasil terbaik dengan harapan positif sebesar 50 sen per taruhan.

Berikut adalah contoh yang lebih kompleks dari ekspektasi matematis. Teman tersebut menuliskan angka dari satu sampai lima dan bertaruh $5 melawan $1 Anda bahwa Anda tidak akan memilih nomor tersebut. Apakah Anda setuju dengan taruhan seperti itu? Apa harapan di sini?

Seorang pemain yang akan menang lebih dari yang dia pertaruhkan, seperti pada contoh di atas, menangkap peluang. Sebaliknya, dia merusak peluang ketika dia berharap untuk menang lebih sedikit dari yang dia pertaruhkan. Petaruh dapat memiliki harapan positif atau negatif tergantung pada apakah dia menangkap atau merusak peluang.

Jika Anda bertaruh $50 untuk memenangkan $10 dengan peluang menang 4 banding 1, Anda akan mendapatkan ekspektasi negatif $2, karena rata-rata, Anda akan menang empat kali $10 dan kalah $50 sekali, yang menunjukkan bahwa kerugian per taruhan adalah $10. Tetapi jika Anda bertaruh $30 untuk memenangkan $10, dengan peluang yang sama untuk menang 4 banding 1, maka dalam hal ini Anda memiliki ekspektasi positif sebesar $2, karena Anda kembali menang empat kali $10 dan kehilangan $30 sekali, untuk keuntungan $10. Contoh-contoh ini menunjukkan bahwa taruhan pertama buruk dan yang kedua baik.

Harapan matematis adalah pusat dari setiap situasi permainan. Ketika seorang bandar mendorong penggemar sepak bola untuk bertaruh $11 untuk memenangkan $10, mereka memiliki ekspektasi positif sebesar 50 sen untuk setiap $10. Jika kasino membayar bahkan uang dari garis lulus Craps, maka harapan positif rumah adalah sekitar $1,40 untuk setiap $100; permainan ini disusun sehingga setiap orang yang bertaruh pada baris ini kehilangan rata-rata 50,7% dan menang 49,3% setiap saat. Tidak diragukan lagi, harapan positif yang tampaknya minimal inilah yang membawa keuntungan besar bagi pemilik kasino di seluruh dunia. Seperti yang dikatakan oleh pemilik kasino Vegas World, Bob Stupak, “Seperseribu persen kemungkinan negatif dalam jarak yang cukup jauh akan membuat orang terkaya di dunia bangkrut.”

Ekspektasi matematis saat bermain poker

Permainan Poker adalah contoh yang paling ilustratif dan ilustratif dalam hal penggunaan teori dan sifat-sifat ekspektasi matematis.

Expected Value dalam Poker adalah keuntungan rata-rata dari suatu keputusan tertentu, dengan syarat keputusan tersebut dapat dipertimbangkan dalam kerangka teori bilangan besar dan jarak jauh. Poker yang sukses adalah tentang selalu menerima gerakan dengan harapan matematis yang positif.

Makna matematis dari ekspektasi matematis saat bermain poker adalah kita sering menjumpai variabel acak saat mengambil keputusan (kita tidak tahu kartu mana yang ada di tangan lawan, kartu mana yang akan muncul pada ronde pertaruhan berikutnya). Kita harus mempertimbangkan setiap solusi dari sudut pandang teori bilangan besar, yang mengatakan bahwa dengan sampel yang cukup besar, nilai rata-rata variabel acak akan cenderung ke ekspektasi matematisnya.

Di antara formula khusus untuk menghitung ekspektasi matematis, berikut ini yang paling berlaku di poker:

Saat bermain poker, ekspektasi matematis dapat dihitung untuk taruhan dan panggilan. Dalam kasus pertama, ekuitas lipat harus diperhitungkan, dalam kasus kedua, peluang pot itu sendiri. Saat mengevaluasi ekspektasi matematis dari gerakan tertentu, harus diingat bahwa fold selalu memiliki ekspektasi matematis nol. Dengan demikian, membuang kartu akan selalu menjadi keputusan yang lebih menguntungkan daripada tindakan negatif apa pun.

Ekspektasi memberi tahu Anda apa yang dapat Anda harapkan (laba atau rugi) untuk setiap dolar yang Anda risikokan. Kasino menghasilkan uang karena ekspektasi matematis dari semua permainan yang dipraktikkan di dalamnya mendukung kasino. Dengan rangkaian permainan yang cukup panjang, dapat diharapkan bahwa klien akan kehilangan uangnya, karena “probabilitas” berpihak pada kasino. Namun, pemain kasino profesional membatasi permainan mereka untuk waktu yang singkat, sehingga meningkatkan peluang yang menguntungkan mereka. Hal yang sama berlaku untuk investasi. Jika ekspektasi Anda positif, Anda dapat menghasilkan lebih banyak uang dengan melakukan banyak perdagangan dalam waktu singkat. Harapannya adalah persentase keuntungan per kemenangan Anda dikalikan dengan keuntungan rata-rata Anda dikurangi kemungkinan kerugian Anda dikalikan dengan kerugian rata-rata Anda.

Poker juga dapat dipertimbangkan dalam hal ekspektasi matematis. Anda dapat berasumsi bahwa langkah tertentu menguntungkan, tetapi dalam beberapa kasus itu mungkin bukan yang terbaik, karena langkah lain lebih menguntungkan. Katakanlah Anda mencapai rumah penuh dalam lima kartu draw poker. Taruhan lawan Anda. Anda tahu bahwa jika Anda menaikkan taruhan, dia akan menelepon. Jadi membesarkan sepertinya taktik terbaik. Tetapi jika Anda menaikkan, dua pemain yang tersisa pasti akan terlipat. Tetapi jika Anda memanggil taruhan, Anda akan sepenuhnya yakin bahwa dua pemain lain setelah Anda akan melakukan hal yang sama. Saat Anda menaikkan taruhan, Anda mendapatkan satu unit, dan hanya dengan menelepon Anda mendapatkan dua. Jadi menelepon memberi Anda nilai harapan positif yang lebih tinggi dan merupakan taktik terbaik.

Ekspektasi matematis juga dapat memberikan gambaran tentang taktik poker mana yang kurang menguntungkan dan mana yang lebih menguntungkan. Misalnya, jika Anda memainkan tangan tertentu dan Anda pikir kerugian rata-rata Anda adalah 75 sen termasuk taruhannya, maka Anda harus memainkan tangan itu karena ini lebih baik daripada melipat ketika taruhannya adalah $1.

Alasan penting lainnya untuk memahami nilai yang diharapkan adalah bahwa hal itu memberi Anda ketenangan pikiran apakah Anda memenangkan taruhan atau tidak: jika Anda membuat taruhan yang bagus atau melipat tepat waktu, Anda akan tahu bahwa Anda telah mendapatkan atau menyimpan sejumlah uang. uang, yang tidak bisa disimpan oleh pemain yang lebih lemah. Jauh lebih sulit untuk melipat jika Anda frustrasi karena lawan Anda memiliki tangan yang lebih baik dalam undian. Konon, uang yang Anda hemat dengan tidak bermain, alih-alih bertaruh, ditambahkan ke kemenangan semalam atau bulanan Anda.

Ingatlah bahwa jika Anda berpindah tangan, lawan Anda akan memanggil Anda, dan seperti yang akan Anda lihat di artikel Teorema Dasar Poker, ini hanyalah salah satu keuntungan Anda. Anda harus bersukacita ketika ini terjadi. Anda bahkan dapat belajar menikmati kehilangan tangan, karena Anda tahu bahwa pemain lain di posisi Anda akan kehilangan lebih banyak.

Seperti yang dibahas dalam contoh permainan koin di awal, tingkat pengembalian per jam terkait dengan ekspektasi matematis, dan konsep ini sangat penting bagi pemain profesional. Ketika Anda akan bermain poker, Anda harus memperkirakan secara mental berapa banyak yang bisa Anda menangkan dalam satu jam bermain. Dalam kebanyakan kasus, Anda perlu mengandalkan intuisi dan pengalaman Anda, tetapi Anda juga dapat menggunakan beberapa perhitungan matematis. Misalnya, jika Anda bermain draw lowball dan Anda melihat tiga pemain bertaruh $10 dan kemudian menarik dua kartu, yang merupakan taktik yang sangat buruk, Anda dapat menghitung sendiri bahwa setiap kali mereka bertaruh $10, mereka kehilangan sekitar $2. Masing-masing dari mereka melakukan ini delapan kali dalam satu jam, yang berarti bahwa ketiganya kehilangan sekitar $48 per jam. Anda adalah salah satu dari empat pemain yang tersisa, yang kira-kira sama, jadi keempat pemain ini (dan Anda di antara mereka) harus berbagi $48, dan masing-masing akan mendapat untung $12 per jam. Tarif per jam Anda dalam hal ini hanyalah bagian Anda dari jumlah uang yang hilang oleh tiga pemain jahat per jam.

Selama periode waktu yang lama, total kemenangan pemain adalah jumlah dari ekspektasi matematisnya dalam distribusi terpisah. Semakin banyak Anda bermain dengan ekspektasi positif, semakin banyak Anda menang, dan sebaliknya, semakin banyak tangan yang Anda mainkan dengan ekspektasi negatif, semakin banyak Anda kalah. Akibatnya, Anda harus memprioritaskan permainan yang dapat memaksimalkan harapan positif Anda atau meniadakan harapan negatif Anda sehingga Anda dapat memaksimalkan keuntungan per jam Anda.

Ekspektasi matematis positif dalam strategi permainan

Jika Anda tahu cara menghitung kartu, Anda mungkin memiliki keunggulan dibandingkan kasino jika mereka tidak memperhatikan dan menendang Anda keluar. Kasino menyukai penjudi mabuk dan tidak tahan menghitung kartu. Keuntungannya akan memungkinkan Anda untuk menang lebih banyak daripada yang Anda kalahkan dari waktu ke waktu. Pengelolaan uang yang baik menggunakan perhitungan ekspektasi dapat membantu Anda memanfaatkan keunggulan Anda dan mengurangi kerugian Anda. Tanpa keuntungan, Anda lebih baik memberikan uang untuk amal. Dalam permainan di bursa efek, keuntungan diberikan oleh sistem permainan, yang menciptakan lebih banyak keuntungan daripada kerugian, perbedaan harga dan komisi. Tidak ada jumlah pengelolaan uang yang akan menyelamatkan sistem permainan yang buruk.

Harapan positif didefinisikan oleh nilai yang lebih besar dari nol. Semakin besar angka ini, semakin kuat ekspektasi statistik. Jika nilainya kurang dari nol, maka ekspektasi matematisnya juga akan negatif. Semakin besar modulus nilai negatif, semakin buruk situasinya. Jika hasilnya nol, maka ekspektasinya impas. Anda hanya bisa menang jika Anda memiliki ekspektasi matematis yang positif, sistem permainan yang masuk akal. Bermain dengan intuisi menyebabkan bencana.

Ekspektasi matematis dan perdagangan saham

Ekspektasi matematis adalah indikator statistik yang cukup banyak diminati dan populer dalam perdagangan pertukaran di pasar keuangan. Pertama-tama, parameter ini digunakan untuk menganalisis keberhasilan perdagangan. Tidak sulit untuk menebak bahwa semakin besar nilai ini, semakin banyak alasan untuk menganggap perdagangan yang diteliti berhasil. Tentu saja, analisis pekerjaan seorang pedagang tidak dapat dilakukan hanya dengan bantuan parameter ini. Namun, nilai yang dihitung, dalam kombinasi dengan metode lain untuk menilai kualitas pekerjaan, dapat secara signifikan meningkatkan akurasi analisis.

Ekspektasi matematis sering dihitung dalam layanan pemantauan akun perdagangan, yang memungkinkan Anda dengan cepat mengevaluasi pekerjaan yang dilakukan pada deposit. Sebagai pengecualian, kami dapat mengutip strategi yang menggunakan "overstay" dari kerugian perdagangan. Seorang pedagang mungkin beruntung untuk beberapa waktu, dan karena itu, dalam pekerjaannya mungkin tidak ada kerugian sama sekali. Dalam hal ini, tidak mungkin untuk menavigasi hanya dengan harapan, karena risiko yang digunakan dalam pekerjaan tidak akan diperhitungkan.

Dalam trading di pasar, ekspektasi matematis paling sering digunakan saat memprediksi profitabilitas strategi trading atau saat memprediksi pendapatan trader berdasarkan statistik trading sebelumnya.

Dalam hal pengelolaan uang, sangat penting untuk dipahami bahwa ketika melakukan perdagangan dengan ekspektasi negatif, tidak ada skema pengelolaan uang yang pasti dapat menghasilkan keuntungan yang tinggi. Jika Anda terus memainkan pertukaran dalam kondisi ini, maka terlepas dari bagaimana Anda mengelola uang Anda, Anda akan kehilangan seluruh akun Anda, tidak peduli seberapa besar awalnya.

Perbedaan antara harapan negatif dan harapan positif adalah perbedaan antara hidup dan mati. Tidak peduli seberapa positif atau negatif ekspektasi itu; yang penting adalah apakah itu positif atau negatif. Karena itu, sebelum mempertimbangkan pengelolaan uang, Anda harus menemukan permainan dengan harapan positif.

Jika Anda tidak memiliki permainan itu, maka tidak ada jumlah pengelolaan uang di dunia yang akan menyelamatkan Anda. Di sisi lain, jika Anda memiliki harapan positif, maka dimungkinkan, melalui pengelolaan uang yang tepat, untuk mengubahnya menjadi fungsi pertumbuhan eksponensial. Tidak peduli seberapa kecil ekspektasi positifnya! Dengan kata lain, tidak peduli seberapa menguntungkan sistem perdagangan berdasarkan satu kontrak. Jika Anda memiliki sistem yang memenangkan $10 per kontrak pada satu perdagangan (setelah biaya dan slippage), Anda dapat menggunakan teknik pengelolaan uang untuk membuatnya lebih menguntungkan daripada sistem yang menunjukkan keuntungan rata-rata $1.000 per perdagangan (setelah dikurangi komisi dan kelicinan).

Yang penting bukanlah seberapa menguntungkan sistem itu, tetapi seberapa yakin dapat dikatakan bahwa sistem tersebut akan menunjukkan setidaknya keuntungan minimal di masa depan. Oleh karena itu, persiapan terpenting yang dapat dilakukan seorang trader adalah memastikan bahwa sistem menunjukkan nilai harapan yang positif di masa depan.

Untuk memiliki nilai harapan positif di masa depan, sangat penting untuk tidak membatasi derajat kebebasan sistem Anda. Ini dicapai tidak hanya dengan menghilangkan atau mengurangi jumlah parameter yang akan dioptimalkan, tetapi juga dengan mengurangi aturan sistem sebanyak mungkin. Setiap parameter yang Anda tambahkan, setiap aturan yang Anda buat, setiap perubahan kecil yang Anda buat pada sistem mengurangi jumlah derajat kebebasan. Idealnya, Anda ingin membangun sistem yang cukup primitif dan sederhana yang akan selalu menghasilkan keuntungan kecil di hampir semua pasar. Sekali lagi, penting bagi Anda untuk memahami bahwa tidak masalah seberapa menguntungkan suatu sistem, selama itu menguntungkan. Uang yang Anda peroleh dalam perdagangan akan diperoleh melalui pengelolaan uang yang efektif.

Mengetahui bahwa pengelolaan uang hanyalah permainan angka yang membutuhkan penggunaan harapan positif, seorang pedagang dapat berhenti mencari "cawan suci" dari perdagangan saham. Sebaliknya, ia dapat mulai menguji metode perdagangannya, mencari tahu bagaimana metode ini secara logis masuk akal, apakah itu memberikan harapan positif. Metode pengelolaan uang yang tepat yang diterapkan pada metode apa pun, bahkan metode perdagangan yang sangat biasa-biasa saja, akan menyelesaikan pekerjaan selanjutnya.

Setiap trader untuk sukses dalam pekerjaan mereka perlu menyelesaikan tiga tugas terpenting: . Untuk memastikan bahwa jumlah transaksi yang berhasil melebihi kesalahan dan kesalahan perhitungan yang tak terhindarkan; Siapkan sistem perdagangan Anda sehingga peluang untuk menghasilkan uang sesering mungkin; Raih hasil positif yang stabil dari operasi Anda.

Dan di sini, bagi kami, pedagang yang bekerja, harapan matematis dapat memberikan bantuan yang baik. Istilah dalam teori probabilitas ini adalah salah satu kuncinya. Dengan itu, Anda dapat memberikan perkiraan rata-rata dari beberapa nilai acak. Ekspektasi matematis dari variabel acak seperti pusat gravitasi, jika kita membayangkan semua probabilitas yang mungkin sebagai titik dengan massa yang berbeda.

Sehubungan dengan strategi perdagangan, untuk mengevaluasi keefektifannya, ekspektasi matematis untung (atau rugi) paling sering digunakan. Parameter ini didefinisikan sebagai jumlah produk dari tingkat keuntungan dan kerugian tertentu dan kemungkinan terjadinya. Misalnya, strategi perdagangan yang dikembangkan mengasumsikan bahwa 37% dari semua operasi akan menghasilkan keuntungan, dan bagian sisanya - 63% - tidak akan menguntungkan. Pada saat yang sama, pendapatan rata-rata dari transaksi yang berhasil adalah $7, dan kerugian rata-rata adalah $1,4. Mari kita hitung ekspektasi matematis trading menggunakan sistem berikut:

Apa arti dari angka ini? Dikatakan bahwa, mengikuti aturan sistem ini, rata-rata, kami akan menerima 1,708 dolar dari setiap transaksi yang ditutup. Karena skor efisiensi yang dihasilkan lebih besar dari nol, sistem seperti itu dapat digunakan untuk pekerjaan nyata. Jika, sebagai hasil perhitungan, ekspektasi matematis ternyata negatif, maka ini sudah menunjukkan kerugian rata-rata dan perdagangan semacam itu akan mengarah pada kehancuran.

Jumlah keuntungan per perdagangan juga dapat dinyatakan sebagai nilai relatif dalam bentuk%. Sebagai contoh:

– persentase pendapatan per 1 transaksi - 5%;

– persentase operasi perdagangan yang berhasil - 62%;

– persentase kerugian per 1 perdagangan - 3%;

- persentase transaksi yang gagal - 38%;

Artinya, rata-rata transaksi akan mendatangkan 1,96%.

Dimungkinkan untuk mengembangkan sistem yang, terlepas dari dominasi kerugian perdagangan, akan memberikan hasil yang positif, karena MO>0-nya.

Namun, menunggu saja tidak cukup. Sulit untuk menghasilkan uang jika sistem memberikan sinyal perdagangan yang sangat sedikit. Dalam hal ini, profitabilitasnya akan sebanding dengan bunga bank. Biarkan setiap operasi menghasilkan rata-rata hanya 0,5 dolar, tetapi bagaimana jika sistem mengasumsikan 1000 transaksi per tahun? Ini akan menjadi jumlah yang sangat serius dalam waktu yang relatif singkat. Secara logis mengikuti dari sini bahwa ciri lain dari sistem perdagangan yang baik dapat dianggap sebagai periode penahanan yang singkat.

Sumber dan tautan

dic.academic.ru - kamus akademik online

math.ru - situs pendidikan matematika

nsu.ru – situs web pendidikan Universitas Negeri Novosibirsk

webmath.ru adalah portal pendidikan untuk siswa, pelamar, dan anak sekolah.

exponenta.ru situs web matematika pendidikan

ru.tradimo.com - sekolah perdagangan online gratis

crypto.hut2.ru - sumber informasi multidisiplin

poker-wiki.ru - ensiklopedia poker gratis

sernam.ru - Perpustakaan ilmiah dari publikasi ilmu alam terpilih

reshim.su - situs web MEMECAHKAN tugas mengontrol kursus

unfx.ru – Forex di UNFX: pendidikan, sinyal perdagangan, manajemen kepercayaan

slovopedia.com - Kamus Ensiklopedis Besar

pokermansion.3dn.ru - Panduan Anda ke dunia poker

statanaliz.info - blog informasi "Analisis data statistik"

forex-trader.rf - portal Forex-Trader

megafx.ru - analitik Forex terkini

fx-by.com - segalanya untuk trader

Larutan:

6.1.2 Sifat harapan

1. Ekspektasi matematis dari nilai konstanta sama dengan konstanta itu sendiri.

2. Faktor konstan dapat diambil dari tanda harapan.

3. Ekspektasi matematis produk dua variabel acak independen sama dengan produk ekspektasi matematisnya.

Properti ini berlaku untuk sejumlah variabel acak yang berubah-ubah.

4. Ekspektasi matematis dari jumlah dua variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematis dari suku-suku tersebut.

Properti ini juga berlaku untuk sejumlah variabel acak yang berubah-ubah.

Contoh: M(X) = 5, KU)= 2. Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak Z, menerapkan sifat-sifat harapan matematis, jika diketahui bahwa Z=2X + 3Y.

Larutan: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =

1) ekspektasi matematis dari jumlah sama dengan jumlah ekspektasi matematis

2) faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda harapan

Biarkan n percobaan independen dilakukan, probabilitas terjadinya peristiwa A di mana sama dengan p. Maka teorema berikut berlaku:

Dalil. Ekspektasi matematis M(X) dari banyaknya kejadian A dalam n percobaan bebas sama dengan hasil kali banyaknya percobaan dan peluang terjadinya kejadian dalam setiap percobaan.

6.1.3 Dispersi variabel acak diskrit

Harapan matematis tidak dapat sepenuhnya mencirikan proses acak. Selain ekspektasi matematis, perlu untuk memperkenalkan nilai yang mencirikan penyimpangan nilai-nilai variabel acak dari ekspektasi matematis.

Deviasi ini sama dengan selisih antara variabel acak dan ekspektasi matematisnya. Dalam hal ini, ekspektasi matematis dari deviasi adalah nol. Ini dijelaskan oleh fakta bahwa beberapa kemungkinan penyimpangan adalah positif, yang lain negatif, dan sebagai akibat dari pembatalan timbal baliknya, nol diperoleh.

Dispersi (hamburan) Variabel acak diskrit disebut ekspektasi matematis dari deviasi kuadrat variabel acak dari ekspektasi matematisnya.

Dalam praktiknya, metode menghitung varians ini tidak nyaman, karena mengarah ke perhitungan rumit untuk sejumlah besar nilai variabel acak.

Oleh karena itu, metode lain digunakan.

Dalil. Varians sama dengan selisih antara ekspektasi matematis kuadrat variabel acak X dan kuadrat ekspektasi matematisnya.

Bukti. Dengan mempertimbangkan fakta bahwa ekspektasi matematis M (X) dan kuadrat dari ekspektasi matematis M 2 (X) adalah nilai konstan, kita dapat menulis:

Contoh. Temukan varians dari variabel acak diskrit yang diberikan oleh hukum distribusi.

x
X 2
R	0.2	0.3	0.1	0.4

Solusi: .

6.1.4 Sifat dispersi

1. Dispersi nilai konstanta adalah nol. .

2. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda dispersi dengan mengkuadratkannya. .

3. Varians jumlah dua variabel acak independen sama dengan jumlah varians dari variabel-variabel tersebut. .

4. Varians selisih dua variabel acak independen sama dengan jumlah varians dari variabel-variabel tersebut. .

Dalil. Varians banyaknya kemunculan peristiwa A dalam n percobaan bebas, di mana masing-masing peluang p terjadinya peristiwa itu konstan, sama dengan hasil kali banyaknya percobaan dan peluang terjadinya dan tidak terjadinya peristiwa dalam setiap percobaan.

Contoh: Tentukan varians DSV X - banyaknya kemunculan kejadian A dalam 2 percobaan bebas, jika peluang terjadinya kejadian dalam percobaan ini sama dan diketahui bahwa M(X) = 1,2.

Kami menerapkan teorema dari Bagian 6.1.2:

M(X) = np

M(X) = 1,2; n= 2. Temukan P:

1,2 = 2∙P

P = 1,2/2

Q = 1 – P = 1 – 0,6 = 0,4

Mari kita cari dispersi dengan rumus:

D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48

6.1.5 Standar deviasi dari variabel acak diskrit

Standar deviasi variabel acak X disebut akar kuadrat dari varians.

(25)

Dalil. Simpangan baku dari jumlah sejumlah variabel acak yang saling bebas berhingga adalah sama dengan akar kuadrat dari jumlah simpangan baku kuadrat dari variabel-variabel ini.

6.1.6 Modus dan median variabel acak diskrit

Mode M o DSV nilai yang paling mungkin dari variabel acak disebut (yaitu nilai yang memiliki probabilitas tertinggi)

Median M e DSW adalah nilai variabel acak yang membagi deret distribusi menjadi dua. Jika jumlah nilai variabel acak genap, maka median ditemukan sebagai rata-rata aritmatika dari dua nilai rata-rata.

Contoh: Cari Modus dan Median DSW x:

x
P	0.2	0.3	0.1	0.4

Aku = = 5,5

Proses kerja

1. Kenali bagian teoretis dari pekerjaan ini (ceramah, buku teks).

2. Selesaikan tugas sesuai pilihan Anda.

3. Menyusun laporan hasil kerja.

4. Lindungi pekerjaan Anda.

2. Tujuan pekerjaan.

3. Kemajuan pekerjaan.

4. Keputusan pilihan Anda.

6.4 Varian tugas untuk pekerjaan mandiri

Opsi nomor 1

1. Temukan ekspektasi matematis, varians, standar deviasi, modus dan median DSV X yang diberikan oleh hukum distribusi.

x
P	0.1	0.6	0.2	0.1

2. Tentukan ekspektasi matematis dari variabel acak Z, jika ekspektasi matematis X dan Y diketahui: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.

3. Tentukan varians DSV X - banyaknya kemunculan kejadian A dalam dua percobaan bebas, jika peluang terjadinya kejadian dalam percobaan ini sama dan diketahui bahwa M(X) = 1.

4. Daftar nilai yang mungkin dari variabel acak diskrit diberikan x: x 1 = 1, x2 = 2, x 3

Opsi nomor 2

x
P	0.3	0.1	0.2	0.4

2. Tentukan ekspektasi matematis dari variabel acak Z, jika ekspektasi matematis X dan Y diketahui: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.

3. Tentukan varians DSV X - banyaknya kemunculan kejadian A dalam tiga percobaan bebas, jika peluang terjadinya kejadian dalam percobaan ini sama dan diketahui bahwa M (X) = 0,9.

x 1 = 1, x2 = 2, x 3 = 4, x4= 10, dan ekspektasi matematis dari kuantitas ini dan kuadratnya juga diketahui: , . Temukan peluang , , , yang sesuai dengan nilai yang mungkin , , dan buatlah hukum distribusi DSW.

Opsi nomor 3

1. Temukan ekspektasi matematis, varians dan standar deviasi dari DSV X yang diberikan oleh hukum distribusi.

x
P	0.5	0.1	0.2	0.3

2. Tentukan ekspektasi matematis dari variabel acak Z, jika ekspektasi matematis X dan Y diketahui: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.

3. Tentukan varians DSV X - banyaknya kemunculan kejadian A dalam empat percobaan bebas, jika peluang terjadinya kejadian dalam percobaan ini sama dan diketahui bahwa M (x) = 1,2.

4. Daftar nilai yang mungkin dari variabel acak diskrit X diberikan: x 1 = 0, x2 = 1, x 3 = 2, x4= 5, dan ekspektasi matematis dari kuantitas ini dan kuadratnya juga diketahui: , . Temukan peluang , , , yang sesuai dengan nilai yang mungkin , , dan buatlah hukum distribusi DSW.

Opsi nomor 4

1. Temukan ekspektasi matematis, varians dan standar deviasi dari DSV X yang diberikan oleh hukum distribusi.

Seperti yang telah diketahui, hukum distribusi sepenuhnya mencirikan variabel acak. Namun, hukum distribusi seringkali tidak diketahui dan seseorang harus membatasi diri pada informasi yang lebih sedikit. Kadang-kadang bahkan lebih menguntungkan untuk menggunakan angka yang menggambarkan variabel acak secara total; bilangan seperti itu disebut karakteristik numerik dari variabel acak. Ekspektasi matematis adalah salah satu karakteristik numerik yang penting.

Ekspektasi matematis, seperti yang akan ditunjukkan di bawah, kira-kira sama dengan nilai rata-rata variabel acak. Untuk menyelesaikan banyak masalah, cukup mengetahui ekspektasi matematisnya. Misalnya, jika diketahui bahwa ekspektasi matematis dari jumlah poin yang dicetak oleh penembak pertama lebih besar daripada yang kedua, maka penembak pertama, rata-rata, menghasilkan lebih banyak poin daripada yang kedua, dan karena itu menembak lebih baik daripada kedua. Meskipun ekspektasi matematis memberikan lebih sedikit informasi tentang variabel acak daripada hukum distribusinya, tetapi untuk memecahkan masalah seperti yang diberikan dan banyak lainnya, pengetahuan tentang ekspektasi matematis sudah cukup.

2. Ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit

harapan matematis Variabel acak diskrit disebut jumlah produk dari semua nilai yang mungkin dan probabilitasnya.

Biarkan variabel acak x hanya bisa mengambil nilai x 1 , X 2 , ..., x P , yang probabilitasnya masing-masing sama R 1 , R 2 , . . ., R P . Maka ekspektasi matematis M(x) variabel acak x ditentukan oleh persamaan

M(x) = x 1 R 1 + x 2 R 2 + … + x n P n .

Jika variabel acak diskrit x mengambil satu set nilai yang mungkin dapat dihitung, maka

M(x)=

apalagi, ekspektasi matematis ada jika deret di ruas kanan persamaan konvergen mutlak.

Komentar. Ini mengikuti dari definisi bahwa ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit adalah variabel non-acak (konstanta). Kami menyarankan Anda untuk mengingat pernyataan ini, karena akan digunakan berulang kali di kemudian hari. Nanti akan ditunjukkan bahwa ekspektasi matematis dari variabel acak kontinu juga merupakan nilai konstanta.

Contoh 1 Temukan harapan matematis dari variabel acak x, mengetahui hukum distribusinya:

Larutan. Harapan matematis yang diinginkan sama dengan jumlah produk dari semua nilai yang mungkin dari variabel acak dan probabilitasnya:

M(x)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

Contoh 2 Temukan harapan matematis dari jumlah kemunculan suatu peristiwa TETAPI dalam satu percobaan, jika peluang suatu kejadian TETAPI adalah sama dengan R.

Larutan. Nilai acak x - jumlah kemunculan acara TETAPI dalam satu tes - hanya dapat mengambil dua nilai: x 1 = 1 (peristiwa TETAPI terjadi) dengan probabilitas R Dan x 2 = 0 (peristiwa TETAPI tidak terjadi) dengan probabilitas Q= 1 -R. Harapan matematis yang diinginkan

M(x)= 1* P+ 0* Q= P

Jadi, harapan matematis dari jumlah kemunculan suatu peristiwa dalam satu percobaan sama dengan probabilitas dari peristiwa ini. Hasil ini akan digunakan di bawah ini.

3. Makna probabilitas dari ekspektasi matematis

Biarkan diproduksi P tes di mana variabel acak x diterima T 1 nilai kali x 1 , T 2 nilai kali x 2 ,...,M k nilai kali x k , dan T 1 + T 2 + …+t ke = hal. Kemudian jumlahkan semua nilai yang diambil x, adalah sama dengan

x 1 T 1 + x 2 T 2 + ... + x ke T ke .

Temukan mean aritmatika dari semua nilai yang diterima sebagai variabel acak, yang kami bagi jumlah yang ditemukan dengan jumlah total percobaan:

= (x 1 T 1 + x 2 T 2 + ... + x ke T ke)/P,

= x 1 (M 1 / n) + x 2 (M 2 / n) + ... + x ke (T ke /P). (*)

Memperhatikan bahwa hubungan M 1 / n- Frekuensi relatif W 1 nilai-nilai x 1 , M 2 / n - Frekuensi relatif W 2 nilai-nilai x 2 dst., kita tuliskan relasi (*) sebagai berikut:

=x 1 W 1 + x 2 W 2 + .. . + x ke W k . (**)

Mari kita asumsikan bahwa jumlah percobaan cukup besar. Maka frekuensi relatif kira-kira sama dengan peluang terjadinya peristiwa (ini akan dibuktikan pada Bab IX, 6):

W 1 P 1 , W 2 P 2 , …, W k P k .

Mengganti frekuensi relatif dalam hubungan (**) dengan probabilitas yang sesuai, kita memperoleh

x 1 P 1 + x 2 R 2 + … + x ke R ke .

Ruas kanan persamaan perkiraan ini adalah M(x). Jadi,

M(x).

Arti probabilistik dari hasil yang diperoleh adalah sebagai berikut: harapan matematis kira-kira sama dengan(semakin akurat semakin banyak jumlah percobaan) rata-rata aritmatika dari nilai yang diamati dari variabel acak.

Catatan 1. Mudah untuk melihat bahwa ekspektasi matematis lebih besar dari nilai terkecil dan lebih kecil dari kemungkinan terbesar. Dengan kata lain, pada sumbu angka, nilai yang mungkin terletak di sebelah kiri dan kanan dari nilai yang diharapkan. Dalam pengertian ini, harapan mencirikan lokasi distribusi dan oleh karena itu sering disebut sebagai Pusat distribusi.

Istilah ini dipinjam dari mekanika: jika massa R 1 , R 2 , ..., R P terletak di titik-titik dengan absis x 1 , x 2 , ..., x n, dan
maka absis pusat gravitasi

x C =
.

Mengingat bahwa
= M (x) Dan
kita mendapatkan M(x)= x dari .

Jadi, harapan matematis adalah absis pusat gravitasi dari sistem titik material, absisnya sama dengan nilai yang mungkin dari variabel acak, dan massanya sama dengan probabilitasnya.

Catatan 2. Asal usul istilah "harapan" dikaitkan dengan periode awal munculnya teori probabilitas (abad XVI-XVII), ketika ruang lingkupnya terbatas pada perjudian. Pemain tertarik pada nilai rata-rata dari hasil yang diharapkan, atau, dengan kata lain, ekspektasi matematis dari hasil.

Tampilan