Temukan ekspektasi matematis dari nilai-nilai variabel acak. Harapan matematis dari variabel acak. Ekspektasi matematis dan varians dari variabel acak kontinu

Teori probabilitas adalah cabang khusus matematika yang hanya dipelajari oleh mahasiswa. Apakah Anda suka perhitungan dan rumus? Anda tidak takut dengan prospek kenalan dengan distribusi normal, entropi ensemble, ekspektasi matematis, dan varians diskrit variabel acak? Maka subjek ini akan sangat menarik bagi Anda. Mari berkenalan dengan beberapa konsep dasar terpenting dalam cabang ilmu ini.

Mari kita ingat dasar-dasarnya

Bahkan jika Anda mengingat konsep teori probabilitas yang paling sederhana, jangan abaikan paragraf pertama artikel tersebut. Faktanya adalah bahwa tanpa pemahaman yang jelas tentang dasar-dasarnya, Anda tidak akan dapat bekerja dengan rumus-rumus yang dibahas di bawah ini.

Jadi, beberapa peristiwa acak terjadi, beberapa eksperimen. Sebagai hasil dari tindakan yang dilakukan, kita bisa mendapatkan beberapa hasil - beberapa di antaranya lebih umum, yang lain kurang umum. Probabilitas suatu peristiwa adalah rasio jumlah hasil yang benar-benar diperoleh dari satu jenis ke jumlah seluruhnya mungkin. Hanya mengetahui definisi klasik dari konsep ini, Anda dapat mulai belajar harapan matematis dan varians variabel acak kontinu.

Rata-rata

Kembali di sekolah, dalam pelajaran matematika, Anda mulai bekerja dengan rata-rata aritmatika. Konsep ini banyak digunakan dalam teori probabilitas, dan oleh karena itu tidak dapat diabaikan. Hal utama bagi kita saat ini adalah bahwa kita akan menemukannya dalam rumus untuk harapan matematis dan varians dari variabel acak.

Kami memiliki urutan angka dan ingin mencari mean aritmatika. Yang diperlukan dari kita hanyalah menjumlahkan semua yang tersedia dan membaginya dengan jumlah elemen dalam urutan. Misalkan kita memiliki angka dari 1 hingga 9. Jumlah elemennya adalah 45, dan nilainya akan kita bagi dengan 9. Jawaban: - 5.

Penyebaran

Secara ilmiah, varians adalah kuadrat rata-rata dari deviasi nilai fitur yang diperoleh dari mean aritmatika. Satu dilambangkan dengan huruf Latin kapital D. Apa yang Anda butuhkan untuk menghitungnya? Untuk setiap elemen barisan, hitung selisih antara bilangan yang tersedia dan rata-rata aritmatika dan kuadratkan. Akan ada banyak nilai yang bisa dihasilkan untuk acara yang sedang kita pertimbangkan. Selanjutnya, kami merangkum semua yang diterima dan membaginya dengan jumlah elemen dalam urutan. Jika kita memiliki lima kemungkinan hasil, maka kita bagi dengan lima.

Varians juga memiliki sifat-sifat yang perlu diingat untuk diterapkan ketika memecahkan masalah. Misalnya, ketika variabel acak dinaikkan X kali, varians meningkat X kali kuadrat (yaitu, X * X). Itu tidak pernah kurang dari nol dan tidak bergantung pada pergeseran nilai dengan nilai yang sama ke atas atau ke bawah. Selain itu, untuk uji independen, varians jumlah sama dengan jumlah varians.

Sekarang kita pasti perlu mempertimbangkan contoh varians dari variabel acak diskrit dan ekspektasi matematis.

Katakanlah kita menjalankan 21 eksperimen dan mendapatkan 7 hasil yang berbeda. Kami mengamati masing-masing, masing-masing 1,2,2,3,4,4 dan 5 kali. Apa variansnya?

Pertama, mari kita hitung rata-rata aritmatika: jumlah elemen, tentu saja, sama dengan 21. Bagi dengan 7, dapatkan 3. Sekarang, dari setiap angka dalam urutan asli, kurangi 3, kuadratkan setiap nilainya, dan tambahkan hasil bersama. Ini akan menjadi 12. Sekarang kita hanya perlu membagi angka dengan jumlah elemen, dan, sepertinya, hanya itu. Tapi ada tangkapan! Mari kita bahas.

Ketergantungan pada jumlah percobaan

Ternyata saat menghitung varians, penyebutnya bisa berupa salah satu dari dua angka: N atau N-1. Di sini N adalah jumlah percobaan yang dilakukan atau jumlah item dalam urutan (yang pada dasarnya sama). Itu tergantung pada apa?

Jika jumlah tes diukur dalam ratusan, maka kita harus memasukkan penyebut N. Jika dalam satuan, maka N-1. Para ilmuwan memutuskan untuk menggambar perbatasan secara simbolis: hari ini batas itu berjalan pada angka 30. Jika kita melakukan kurang dari 30 percobaan, maka kita akan membagi jumlahnya dengan N-1, dan jika lebih, maka dengan N.

Tugas

Mari kembali ke contoh penyelesaian masalah varians dan ekspektasi. Kami mendapat angka tengah 12, yang harus dibagi dengan N atau N-1. Karena kami melakukan 21 percobaan, yang kurang dari 30, kami akan memilih opsi kedua. Jadi jawabannya adalah: variansnya adalah 12/2 = 2.

Nilai yang diharapkan

Mari kita beralih ke konsep kedua, yang pasti harus kita pertimbangkan dalam artikel ini. Nilai yang diharapkan adalah jumlah dari semua hasil yang mungkin dikalikan dengan probabilitas yang sesuai. Penting untuk dipahami bahwa nilai yang diperoleh, serta hasil penghitungan varians, diperoleh hanya sekali untuk seluruh masalah, tidak peduli berapa banyak hasil yang dipertimbangkan di dalamnya.

Rumus untuk ekspektasi matematis cukup sederhana: kita ambil hasilnya, kalikan dengan probabilitasnya, tambahkan sama untuk hasil kedua, ketiga, dll. Segala sesuatu yang berhubungan dengan konsep ini mudah dihitung. Misalnya, jumlah harapan sama dengan harapan jumlah. Hal yang sama berlaku untuk sebuah karya. Tidak setiap nilai dalam teori probabilitas memungkinkan operasi sederhana seperti itu dilakukan dengan dirinya sendiri. Mari kita ambil masalah dan hitung arti dari dua konsep yang kita pelajari sekaligus. Selain itu, kami terganggu oleh teori - saatnya untuk berlatih.

Satu lagi contoh

Kami menjalankan 50 percobaan dan mendapatkan 10 jenis hasil - angka dari 0 hingga 9 - terjadi dalam persentase yang berbeda. Ini adalah, masing-masing: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Ingatlah bahwa untuk mendapatkan probabilitas, Anda perlu membagi nilai dalam persen dengan 100. Jadi, kami mendapatkan 0,02; 0,1, dll. Mari kita sajikan contoh pemecahan masalah untuk varians dari variabel acak dan ekspektasi matematis.

Kami menghitung rata-rata aritmatika menggunakan rumus yang kami ingat dari sekolah dasar: 50/10 = 5.

Sekarang mari kita ubah probabilitas menjadi jumlah hasil "berkeping-keping" agar lebih mudah dihitung. Kami mendapatkan 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 dan 9. Kurangi rata-rata aritmatika dari setiap nilai yang diperoleh, setelah itu kami kuadratkan setiap hasil yang diperoleh. Lihat bagaimana melakukannya dengan menggunakan elemen pertama sebagai contoh: 1 - 5 = (-4). Berikutnya: (-4) * (-4) = 16. Untuk nilai lainnya, lakukan operasi ini sendiri. Jika Anda melakukan semuanya dengan benar, maka setelah menambahkan semua, Anda mendapatkan 90.

Mari kita lanjutkan menghitung varians dan mean dengan membagi 90 dengan N. Mengapa kita memilih N dan bukan N-1? Itu benar, karena jumlah percobaan yang dilakukan melebihi 30. Jadi: 90/10 = 9. Kami mendapatkan variansnya. Jika Anda mendapatkan nomor yang berbeda, jangan putus asa. Kemungkinan besar, Anda membuat kesalahan umum dalam perhitungan. Periksa kembali apa yang telah Anda tulis, dan pasti semuanya akan sesuai dengan tempatnya.

Akhirnya, mari kita mengingat kembali rumus untuk ekspektasi matematis. Kami tidak akan memberikan semua perhitungan, kami hanya akan menulis jawaban yang dapat Anda periksa setelah menyelesaikan semua prosedur yang diperlukan. Harapannya adalah 5,48. Mari kita ingat bagaimana melakukan operasi, menggunakan contoh elemen pertama: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... dan seterusnya. Seperti yang Anda lihat, kami hanya mengalikan nilai hasil dengan probabilitasnya.

Deviasi

Konsep lain yang terkait erat dengan varians dan ekspektasi matematis adalah standar deviasi. Ini dilambangkan dengan huruf Latin sd, atau dengan huruf kecil Yunani "sigma". Konsep ini menunjukkan seberapa besar nilai-nilai yang menyimpang dari fitur sentral secara rata-rata. Untuk menemukan nilainya, Anda perlu menghitung akar kuadrat dari varians.

Jika Anda memplot distribusi normal dan ingin melihat deviasi kuadrat secara langsung, ini dapat dilakukan dalam beberapa langkah. Ambil setengah dari gambar ke kiri atau kanan mode (nilai pusat), gambar tegak lurus terhadap sumbu horizontal sehingga area bentuk yang dihasilkan sama. Nilai segmen antara tengah distribusi dan proyeksi yang dihasilkan ke sumbu horizontal akan mewakili standar deviasi.

Perangkat lunak

Seperti yang dapat dilihat dari uraian rumus dan contoh yang disajikan, perhitungan varians dan ekspektasi matematis bukanlah prosedur yang paling sederhana dari sudut pandang aritmatika. Agar tidak membuang waktu, masuk akal untuk menggunakan program yang digunakan di pendidikan tinggi - ini disebut "R". Ini memiliki fungsi yang memungkinkan Anda menghitung nilai untuk banyak konsep dari statistik dan teori probabilitas.

Misalnya, Anda mendefinisikan vektor nilai. Ini dilakukan sebagai berikut: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Akhirnya

Dispersi dan ekspektasi matematis - tanpanya sulit untuk menghitung apa pun di masa depan. Dalam kursus utama kuliah di universitas, mereka dianggap sudah dalam bulan-bulan pertama mempelajari subjek. Karena kurangnya pemahaman tentang konsep-konsep sederhana ini dan ketidakmampuan untuk menghitungnya, banyak siswa segera mulai tertinggal dalam program dan kemudian menerima nilai buruk berdasarkan hasil sesi, yang membuat mereka kehilangan beasiswa.

Berlatihlah setidaknya selama satu minggu, setengah jam sehari, selesaikan tugas-tugas yang serupa dengan yang disajikan dalam artikel ini. Kemudian pada tes apa pun tentang teori probabilitas, Anda akan mengatasi contoh-contoh tanpa tip dan lembar contekan yang asing.

Seperti yang telah diketahui, hukum distribusi sepenuhnya mencirikan variabel acak. Namun, hukum distribusi seringkali tidak diketahui dan seseorang harus membatasi diri pada informasi yang lebih sedikit. Kadang-kadang bahkan lebih menguntungkan untuk menggunakan angka yang menggambarkan variabel acak secara total; bilangan seperti itu disebut karakteristik numerik dari variabel acak.

Ekspektasi matematis adalah salah satu karakteristik numerik yang penting.

Ekspektasi matematis kira-kira sama dengan nilai rata-rata variabel acak.

Ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit sebut jumlah produk dari semua nilai yang mungkin dengan probabilitasnya.

Jika variabel acak dicirikan oleh deret distribusi hingga:

NS	x 1	x 2	x 3	…	x n
R	hal 1	hal 2	hal 3	…	hal

maka nilai yang diharapkan M (X) ditentukan dengan rumus:

Ekspektasi matematis dari variabel acak kontinu ditentukan oleh persamaan:

di mana adalah kepadatan probabilitas dari variabel acak NS.

Contoh 4.7. Temukan ekspektasi matematis dari jumlah poin yang dijatuhkan dengan melempar dadu.

Larutan:

Nilai acak NS mengambil nilai 1, 2, 3, 4, 5, 6. Mari kita buat hukum distribusinya:

NS
R

Maka ekspektasi matematisnya adalah:

Sifat ekspektasi matematis:

1. Harapan matematis dari sebuah konstanta sama dengan yang paling konstan:

M (C) = C.

2. Faktor konstanta dapat diambil dari tanda ekspektasi matematis:

M (CX) = CM (X).

3. Ekspektasi matematis produk dua variabel acak independen sama dengan produk ekspektasi matematisnya:

M (XY) = M (X) M (Y).

Contoh 4.8... Variabel acak independen x dan kamu diberikan oleh hukum distribusi berikut:

NS					kamu
R	0,6	0,1	0,3		R	0,8	0,2

Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak XY.

Larutan.

Mari kita cari ekspektasi matematis dari masing-masing besaran ini:

Variabel Acak x dan kamu independen, oleh karena itu harapan matematis yang diinginkan:

M (XY) = M (X) M (Y) =

Konsekuensi. Ekspektasi matematis dari hasil kali beberapa variabel acak yang saling bebas sama dengan hasil kali ekpektasi matematisnya.

4. Ekspektasi matematis dari jumlah dua variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematis dari suku-suku:

M (X + Y) = M (X) + M (Y).

Konsekuensi. Ekspektasi matematis dari jumlah beberapa variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematis dari suku-suku tersebut.

Contoh 4.9. Menembakkan 3 tembakan dengan kemungkinan mengenai target sama dengan hal 1 = 0,4; hal 2= 0,3 dan hal 3= 0,6. Temukan nilai yang diharapkan dari jumlah total klik.

Larutan.

Jumlah pukulan pada tembakan pertama adalah variabel acak X 1, yang hanya dapat mengambil dua nilai: 1 (hit) dengan probabilitas hal 1= 0,4 dan 0 (meleset) dengan probabilitas q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

Ekspektasi matematis dari jumlah pukulan pada tembakan pertama sama dengan probabilitas pukulan:

Demikian pula, kami menemukan ekspektasi matematis dari jumlah pukulan pada tembakan kedua dan ketiga:

M (X 2)= 0,3 dan M (X 3) = 0,6.

Jumlah total hit juga merupakan variabel acak yang terdiri dari jumlah hit di masing-masing dari tiga tembakan:

X = X 1 + X 2 + X 3.

Harapan matematis yang diinginkan NS kita temukan dengan teorema pada matematika, harapan jumlah.

Pada yang sebelumnya, kami memberikan sejumlah rumus yang memungkinkan kami menemukan karakteristik numerik fungsi ketika hukum distribusi argumen diketahui. Namun, dalam banyak kasus, untuk menemukan karakteristik numerik fungsi, seseorang bahkan tidak perlu mengetahui hukum distribusi argumen, tetapi cukup mengetahui hanya beberapa karakteristik numeriknya; dalam hal ini, kami umumnya mengelola tanpa undang-undang distribusi apa pun. Penentuan karakteristik numerik fungsi dengan karakteristik numerik yang diberikan dari argumen banyak digunakan dalam teori probabilitas dan memungkinkan untuk menyederhanakan solusi sejumlah masalah secara signifikan. Untuk sebagian besar, metode yang disederhanakan tersebut adalah fungsi linier; namun, beberapa fungsi nonlinier dasar juga memungkinkan pendekatan serupa.

Saat ini kami menyajikan sejumlah teorema tentang karakteristik numerik fungsi, yang secara keseluruhan mewakili peralatan yang sangat sederhana untuk menghitung karakteristik ini, yang dapat diterapkan dalam berbagai kondisi.

1. Ekspektasi matematis dari nilai non-acak

Properti yang diformulasikan cukup jelas; dapat dibuktikan dengan mempertimbangkan nilai non-acak sebagai bentuk tertentu dari nilai acak, dengan satu nilai yang mungkin dengan probabilitas satu; maka menurut rumus umum untuk ekspektasi matematis:

.

2. Dispersi besaran tidak acak

Jika merupakan besaran tidak acak, maka

3. Mengambil nilai non-acak untuk tanda ekspektasi matematis

, (10.2.1)

yaitu, nilai non-acak dapat diambil dari tanda harapan matematis.

Bukti.

a) Untuk besaran diskontinu

b) Untuk besaran kontinu

.

4. Pengurangan nilai non-acak untuk tanda varians dan standar deviasi

Jika adalah nilai non-acak, dan merupakan nilai acak, maka

, (10.2.2)

yaitu, kuantitas non-acak dapat dikeluarkan dari tanda varians dengan mengkuadratkannya.

Bukti. Menurut definisi varians

Konsekuensi

,

yaitu, nilai non-acak dapat diambil di luar tanda deviasi kuadrat rata-rata dengan nilai absolutnya. Kami memperoleh bukti dengan mengekstrak akar kuadrat dari rumus (10.2.2) dan dengan mempertimbangkan bahwa r.s.s. adalah nilai yang sangat positif.

5. Ekspektasi matematis dari jumlah variabel acak

Mari kita buktikan bahwa untuk setiap dua variabel acak dan

yaitu, ekspektasi matematis dari jumlah dua variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematisnya.

Sifat ini dikenal sebagai teorema penjumlahan harapan.

Bukti.

a) Membiarkan menjadi sistem variabel acak diskontinu. Kami menerapkan jumlah variabel acak rumus umum (10.1.6) untuk ekspektasi matematis dari fungsi dua argumen:

.

Ho mewakili tidak lebih dari probabilitas total bahwa nilai akan mengambil nilai:

;

karenanya,

.

Mari kita buktikan dengan cara yang sama bahwa

,

dan teorema terbukti.

b) Membiarkan menjadi sistem variabel acak kontinu. Menurut rumus (10.1.7)

. (10.2.4)

Kami mengubah integral pertama (10.2.4):

;

demikian pula

,

dan teorema terbukti.

Perlu dicatat secara khusus bahwa teorema penambahan ekspektasi matematis berlaku untuk setiap variabel acak, baik dependen maupun independen.

Teorema penambahan ekspektasi matematis digeneralisasikan ke sejumlah istilah yang berubah-ubah:

, (10.2.5)

yaitu, ekspektasi matematis dari jumlah beberapa variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematisnya.

Untuk pembuktiannya, cukup dengan menerapkan metode induksi penuh.

6. Ekspektasi matematis dari fungsi linier

Pertimbangkan fungsi linier dari beberapa argumen acak:

di mana adalah koefisien non-acak. Mari kita buktikan bahwa

, (10.2.6)

yaitu, ekspektasi matematis dari fungsi linier sama dengan fungsi linear yang sama dari ekspektasi matematis argumen.

Bukti. Menggunakan teorema penjumlahan untuk m. dan aturan untuk menempatkan nilai non-acak di luar tanda m.o., kita mendapatkan:

.

7. Tampilanepini adalah jumlah dari variabel acak

Varians jumlah dua variabel acak sama dengan jumlah variansnya ditambah momen korelasi ganda:

Bukti. Kami menunjukkan

Dengan teorema penambahan ekspektasi matematis

Mari kita beralih dari variabel acak ke nilai terpusat yang sesuai. Mengurangi persamaan (10.2.9) suku demi suku dari persamaan (10.2.8), kita mendapatkan:

Menurut definisi varians

Q.E.D.

Rumus (10.2.7) untuk varians jumlah dapat digeneralisasi ke sejumlah istilah:

, (10.2.10)

di mana adalah momen korelasi besaran, tanda di bawah jumlah berarti bahwa penjumlahan berlaku untuk semua kemungkinan kombinasi berpasangan dari variabel acak .

Buktinya mirip dengan yang sebelumnya dan mengikuti rumus kuadrat dari polinomial.

Rumus (10.2.10) dapat ditulis dalam bentuk lain:

, (10.2.11)

di mana jumlah ganda berlaku untuk semua elemen dari matriks korelasi sistem kuantitas mengandung momen korelasi dan varians.

Jika semua variabel acak memasuki sistem tidak berkorelasi (yaitu, pada), rumus (10.2.10) mengambil bentuk:

, (10.2.12)

yaitu, varians dari jumlah variabel acak yang tidak berkorelasi sama dengan jumlah varians dari istilah.

Pernyataan ini dikenal sebagai teorema penambahan varians.

8. Dispersi fungsi linier

Pertimbangkan fungsi linier dari beberapa variabel acak.

di mana adalah nilai non-acak.

Mari kita buktikan bahwa varians dari fungsi linier ini dinyatakan dengan rumus

, (10.2.13)

di mana adalah momen korelasi besaran,.

Bukti. Mari kita perkenalkan notasi:

. (10.2.14)

Menerapkan ke sisi kanan ekspresi (10.2.14) rumus (10.2.10) untuk varians jumlah dan dengan mempertimbangkan bahwa, kita mendapatkan:

di mana momen korelasi besaran:

.

Mari kita hitung momen ini. Kita punya:

;

demikian pula

Mengganti ekspresi ini dalam (10.2.15), kita sampai pada rumus (10.2.13).

Dalam kasus tertentu ketika semua kuantitas tidak berkorelasi, rumus (10.2.13) berbentuk:

, (10.2.16)

yaitu, varians dari fungsi linier dari variabel acak yang tidak berkorelasi sama dengan jumlah produk kuadrat dari koefisien dan varians dari argumen yang sesuai.

9. Ekspektasi matematis dari produk variabel acak

Ekspektasi matematis produk dua variabel acak sama dengan produk ekspektasi matematisnya ditambah momen korelasi:

Bukti. Kami akan melanjutkan dari definisi momen korelasi:

Kami mengubah ekspresi ini menggunakan sifat-sifat ekspektasi matematis:

yang jelas setara dengan rumus (10.2.17).

Jika variabel acak tidak berkorelasi, maka rumus (10.2.17) mengambil bentuk:

yaitu, ekspektasi matematis produk dua variabel acak yang tidak berkorelasi sama dengan produk ekspektasi matematisnya.

Pernyataan ini dikenal sebagai teorema perkalian harapan.

Rumus (10.2.17) tidak lebih dari ekspresi momen pusat campuran kedua dari sistem melalui momen awal campuran kedua dan ekspektasi matematis:

. (10.2.19)

Ungkapan ini sering digunakan dalam praktik ketika menghitung momen korelasi dengan cara yang sama seperti untuk satu variabel acak, varians sering dihitung melalui momen awal kedua dan ekspektasi matematis.

Teorema perkalian harapan matematis digeneralisasikan ke sejumlah faktor yang berubah-ubah, hanya dalam kasus ini untuk penerapannya tidak cukup bahwa jumlahnya tidak berkorelasi, tetapi diperlukan bahwa beberapa momen campuran yang lebih tinggi juga hilang, yang jumlahnya tergantung pada jumlah istilah dalam produk. Kondisi ini tentu terpenuhi jika variabel acak yang termasuk dalam produk adalah independen. Pada kasus ini

, (10.2.20)

yaitu, ekspektasi matematis produk variabel acak independen sama dengan produk ekspektasi matematisnya.

Pernyataan ini mudah dibuktikan dengan metode induksi lengkap.

10. Dispersi produk variabel acak independen

Mari kita buktikan bahwa untuk besaran bebas

Bukti. Mari kita tandai. Menurut definisi varians

Karena kuantitasnya independen, dan

Pada nilai independen juga independen; karenanya,

,

Tetapi tidak ada yang lebih dari momen awal kedua besarnya, dan, oleh karena itu, dinyatakan dalam varians:

;

demikian pula

.

Mengganti ekspresi ini ke dalam rumus (10.2.22) dan membawa istilah serupa, kita sampai pada rumus (10.2.21).

Dalam kasus ketika variabel acak terpusat dikalikan (nilai dengan harapan matematis sama dengan nol), rumus (10.2.21) berbentuk:

, (10.2.23)

yaitu, varians produk variabel acak terpusat bebas sama dengan produk variansnya.

11. Momen yang lebih tinggi dari jumlah variabel acak

Dalam beberapa kasus, perlu untuk menghitung momen tertinggi dari jumlah variabel acak independen. Mari kita buktikan beberapa hubungan yang berhubungan dengan ini.

1) Jika jumlahnya bebas, maka

Bukti.

dari mana dengan teorema perkalian harapan matematis

Tetapi momen sentral pertama untuk kuantitas apa pun adalah nol; dua istilah tengah menghilang, dan rumus (10.2.24) terbukti.

Relasi (10.2.24) dapat dengan mudah digeneralisasikan dengan induksi ke sejumlah suku bebas:

. (10.2.25)

2) Momen sentral keempat dari jumlah dua variabel acak independen dinyatakan dengan rumus

di mana adalah varians dari jumlah dan.

Buktinya benar-benar mirip dengan yang sebelumnya.

Dengan metode induksi lengkap, mudah untuk membuktikan generalisasi rumus (10.2.26) ke sejumlah suku bebas yang berubah-ubah.

Karakteristik DSV dan propertinya. Ekspektasi matematis, varians, standar deviasi

Hukum distribusi sepenuhnya mencirikan variabel acak. Namun, ketika tidak mungkin untuk menemukan hukum distribusi, atau ini tidak diperlukan, seseorang dapat membatasi diri untuk menemukan nilai, yang disebut karakteristik numerik dari variabel acak. Nilai-nilai ini menentukan beberapa nilai rata-rata di mana nilai-nilai variabel acak dikelompokkan, dan tingkat penyebarannya di sekitar nilai rata-rata ini.

Harapan matematis Variabel acak diskrit adalah jumlah produk dari semua nilai yang mungkin dari variabel acak dengan probabilitasnya.

Ekspektasi matematis ada jika deret di ruas kanan persamaan konvergen mutlak.

Dari sudut pandang probabilitas, kita dapat mengatakan bahwa harapan matematis kira-kira sama dengan rata-rata aritmatika dari nilai-nilai yang diamati dari variabel acak.

Contoh. Hukum distribusi variabel acak diskrit diketahui. Temukan nilai yang diharapkan.

x
P	0.2	0.3	0.1	0.4

Larutan:

9.2 Sifat-sifat ekspektasi matematis

1. Ekspektasi matematis dari nilai konstan sama dengan yang paling konstan.

2. Faktor konstanta dapat diambil di luar tanda ekspektasi matematis.

3. Ekspektasi matematis produk dua variabel acak independen sama dengan produk ekspektasi matematisnya.

Properti ini berlaku untuk sejumlah variabel acak yang berubah-ubah.

4. Ekspektasi matematis dari jumlah dua variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematis dari suku-suku tersebut.

Properti ini juga berlaku untuk sejumlah variabel acak yang berubah-ubah.

Biarkan n tes independen dilakukan, probabilitas terjadinya peristiwa A di mana sama dengan p.

Dalil. Ekspektasi matematis M (X) dari banyaknya kejadian A dalam n percobaan bebas sama dengan hasil kali banyaknya percobaan dan peluang terjadinya kejadian pada setiap percobaan.

Contoh. Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak Z jika ekspektasi matematis X dan Y diketahui: M (X) = 3, M (Y) = 2, Z = 2X + 3Y.

Larutan:

9.3 Dispersi variabel acak diskrit

Namun, ekspektasi matematis tidak dapat sepenuhnya mencirikan proses acak. Selain ekspektasi matematis, perlu juga memasukkan nilai yang mencirikan penyimpangan nilai variabel acak dari ekspektasi matematis.

Deviasi ini sama dengan selisih antara variabel acak dan ekspektasi matematisnya. Dalam hal ini, ekspektasi matematis dari deviasi adalah nol. Ini disebabkan oleh fakta bahwa beberapa kemungkinan penyimpangan positif, yang lain negatif, dan sebagai hasil dari pembayaran timbal balik mereka, nol diperoleh.

Dispersi (dispersi) variabel acak diskrit adalah ekspektasi matematis dari kuadrat deviasi variabel acak dari ekspektasi matematisnya.

Dalam praktiknya, metode menghitung varians ini tidak nyaman, karena mengarah ke perhitungan rumit untuk sejumlah besar nilai variabel acak.

Oleh karena itu, metode yang berbeda digunakan.

Dalil. Varians sama dengan selisih antara ekspektasi matematis kuadrat variabel acak X dan kuadrat ekspektasi matematisnya.

Bukti. Dengan mempertimbangkan fakta bahwa ekspektasi matematis M (X) dan kuadrat dari ekspektasi matematis M 2 (X) adalah nilai konstan, kita dapat menulis:

Contoh. Temukan varians dari variabel acak diskrit yang diberikan oleh hukum distribusi.

NS
X2
R	0.2	0.3	0.1	0.4

Solusi: .

9.4 Sifat dispersi

1. Varians dari konstanta adalah nol. ...

2. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda dispersi dengan mengkuadratkannya. .

3. Varians dari jumlah dua variabel acak independen sama dengan jumlah varians dari nilai-nilai ini. ...

4. Varians selisih dua variabel acak independen sama dengan jumlah varians dari nilai-nilai ini. ...

Dalil. Varians banyaknya kemunculan suatu peristiwa A dalam n percobaan bebas, di mana masing-masing peluang p terjadinya suatu peristiwa adalah konstan, sama dengan hasil kali banyaknya percobaan dan peluang terjadinya dan non- terjadinya suatu peristiwa dalam setiap percobaan.

9.5 Standar deviasi dari variabel acak diskrit

Penyimpangan kuadrat rata-rata variabel acak X disebut akar kuadrat dari varians.

Dalil. Simpangan baku dari jumlah sejumlah variabel acak yang saling bebas berhingga adalah sama dengan akar kuadrat dari jumlah kuadrat simpangan baku nilai-nilai ini.

- jumlah anak laki-laki di antara 10 bayi yang baru lahir.

Cukup jelas bahwa jumlah ini tidak diketahui sebelumnya, dan pada sepuluh anak berikutnya yang lahir mungkin ada:

Atau anak laki- satu dan hanya satu dari opsi yang terdaftar.

Dan, agar tetap bugar, sedikit pendidikan jasmani:

- jarak lompat jauh (di beberapa unit).

Bahkan master olahraga pun tidak bisa memprediksinya :)

Namun, hipotesis Anda?

2) Variabel acak kontinu - mengambil semua nilai numerik dari beberapa rentang terbatas atau tak terbatas.

Catatan : dalam literatur pendidikan, singkatan DSV dan NSV sangat populer

Pertama, mari kita menganalisis variabel acak diskrit, lalu - kontinu.

Hukum distribusi variabel acak diskrit

- ini korespondensi antara nilai yang mungkin dari kuantitas ini dan probabilitasnya. Paling sering, hukum ditulis dalam tabel:

Cukup sering istilah itu baris distribusi tetapi kedengarannya ambigu dalam beberapa situasi, jadi saya akan tetap berpegang pada "hukum".

Dan sekarang poin yang sangat penting: karena variabel acak perlu akan menerima salah satu arti, maka bentuk kejadian yang sesuai grup lengkap dan jumlah probabilitas kemunculannya sama dengan satu:

atau, jika ditulis diciutkan:

Jadi, misalnya, hukum distribusi peluang poin yang dijatuhkan pada dadu adalah sebagai berikut:

Tidak ada komentar.

Anda mungkin mendapat kesan bahwa variabel acak diskrit hanya dapat mengambil nilai integer "baik". Mari kita hilangkan ilusi - mereka bisa apa saja:

Contoh 1

Beberapa permainan memiliki hukum distribusi kemenangan berikut:

... Anda mungkin sudah lama memimpikan tugas seperti itu :) Saya akan memberi tahu Anda sebuah rahasia - saya juga. Apalagi setelah selesai mengerjakan teori medan.

Larutan: karena variabel acak hanya dapat mengambil satu dari tiga nilai, peristiwa yang sesuai terbentuk grup lengkap, yang berarti jumlah peluangnya sama dengan satu:

Kami akan mengekspos "partisan":

- dengan demikian, probabilitas memenangkan unit konvensional adalah 0,4.

Kontrol: apa yang diperlukan untuk diyakinkan.

Menjawab:

Tidak jarang hukum distribusi harus dibuat secara mandiri. Untuk melakukan ini, gunakan definisi klasik dari probabilitas, teorema perkalian / penjumlahan untuk peluang kejadian dan chip lainnya tervera:

Contoh 2

Kotak itu berisi 50 tiket lotre, di antaranya 12 menang, dengan 2 di antaranya masing-masing memenangkan 1.000 rubel, dan sisanya - masing-masing 100 rubel. Buatlah hukum distribusi variabel acak - ukuran hasil, jika satu tiket diambil secara acak dari kotak.

Larutan: seperti yang Anda perhatikan, adalah kebiasaan untuk mengatur nilai-nilai variabel acak dalam urutan naik... Karena itu, kita mulai dengan kemenangan terkecil, yaitu rubel.

Ada total 50 - 12 = 38 tiket seperti itu, dan definisi klasik:
- probabilitas bahwa tiket yang diambil secara acak ternyata kalah.

Sisa kasus sederhana. Probabilitas memenangkan rubel adalah:

Periksa: - dan ini adalah momen yang sangat menyenangkan dari tugas-tugas seperti itu!

Menjawab: distribusi hasil yang diperlukan:

Tugas selanjutnya untuk solusi independen:

Contoh 3

Peluang penembak mengenai sasaran adalah. Buatlah hukum distribusi variabel acak - jumlah pukulan setelah 2 tembakan.

... Saya tahu bahwa Anda merindukannya :) Ingat teorema perkalian dan penjumlahan... Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Hukum distribusi sepenuhnya menggambarkan variabel acak, tetapi dalam praktiknya berguna (dan kadang-kadang lebih berguna) untuk mengetahui hanya sebagian saja. karakteristik numerik .

Ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit

Secara sederhana, itu adalah rata-rata nilai yang diharapkan dengan beberapa pengulangan tes. Biarkan variabel acak mengambil nilai dengan probabilitas masing-masing. Maka ekspektasi matematis dari variabel acak yang diberikan adalah jumlah produk dari semua nilainya dengan probabilitas yang sesuai:

atau runtuh:

Mari kita hitung, misalnya, ekspektasi matematis dari variabel acak - jumlah poin yang dijatuhkan pada dadu:

Sekarang mari kita ingat permainan hipotetis kita:

Timbul pertanyaan: apakah menguntungkan memainkan game ini sama sekali? … Siapa yang memiliki kesan apa? Jadi setelah semua "begitu saja" dan Anda tidak akan mengatakan! Tetapi pertanyaan ini dapat dengan mudah dijawab dengan menghitung nilai yang diharapkan, pada kenyataannya - rata-rata tertimbang dengan peluang menang:

Jadi, ekspektasi matematis dari game ini kekalahan.

Jangan percaya tayangan - percaya angka!

Ya, di sini Anda bisa menang 10 atau bahkan 20-30 kali berturut-turut, tetapi dalam jangka panjang kita pasti akan hancur. Dan saya tidak akan menyarankan Anda untuk memainkan game seperti itu :) Yah, mungkin saja untuk kesenangan.

Dari semua hal di atas, maka ekspektasi matematis bukan lagi nilai RANDOM.

Tugas kreatif untuk belajar mandiri:

Contoh 4

Tuan X memainkan roulette Eropa menurut sistem berikut: terus-menerus bertaruh 100 rubel pada "merah". Buatlah hukum distribusi variabel acak - keuntungannya. Hitung ekspektasi matematis dari sebuah kemenangan dan bulatkan ke kopeck terdekat. berapa banyak rata-rata pemain kalah dengan setiap seratus taruhan?

referensi : Roulette Eropa berisi 18 sektor merah, 18 hitam dan 1 hijau ("nol"). Dalam hal hit "merah", pemain dibayar taruhan dua kali lipat, jika tidak maka akan masuk ke pendapatan kasino

Ada banyak sistem roulette lain di mana Anda dapat membuat tabel probabilitas Anda sendiri. Tetapi ini adalah kasus ketika kita tidak memerlukan hukum dan tabel distribusi apa pun, karena telah ditetapkan dengan pasti bahwa ekspektasi matematis pemain akan persis sama. Dari sistem ke sistem hanya perubahan