Konsep limit pada suatu titik tertentu. B. Batas fungsi dasar. Batas Fungsi Monoton

Hari ini kita akan mempertimbangkan pilihan masalah baru untuk menemukan batas pada suatu titik. Mari kita mulai dengan contoh sederhana dari substitusi nilai, yang paling sering dipertimbangkan di kelas 11 kurikulum matematika sekolah.
Selanjutnya, kita akan berhenti dan menganalisis batas-batas dengan ketidakpastian, metode pengungkapan ketidakpastian, menggunakan batas-batas penting pertama dan kedua dan konsekuensinya.
Contoh-contoh yang diberikan tidak akan sepenuhnya mencakup seluruh topik, tetapi mereka akan memperjelas banyak pertanyaan.

Tentukan limit suatu fungsi di suatu titik:

Contoh 46. Batas suatu fungsi di suatu titik ditentukan oleh substitusi

Karena penyebut pecahan tidak berubah menjadi nol, setiap lulusan sekolah dapat menyelesaikan masalah seperti itu.

Contoh 47. Kami memiliki pecahan polinomial, selain itu, penyebutnya tidak mengandung singularitas (tidak sama dengan nol).
Tugas lain, sebenarnya, untuk kelas 11.

Contoh 48. Dengan menggunakan metode substitusi, kita menentukan limit fungsi
Ini mengikuti dari kondisi bahwa batas fungsi sama dengan dua jika variabel cenderung tak terhingga.

Contoh 49. Substitusi langsung x = 2 menunjukkan bahwa batas pada titik tersebut memiliki singularitas (0/0). Ini berarti pembilang dan penyebut secara implisit mengandung (x-2).
Kami melakukan faktorisasi polinomial menjadi faktor prima, dan kemudian membatalkan pecahan dengan faktor yang ditentukan (x-2).
Batas pecahan yang tersisa ditemukan dengan metode substitusi.

Contoh 50. Limit suatu fungsi pada suatu titik memiliki tipe singularitas (0/0).
Kami menghilangkan perbedaan antara akar dengan mengalikan dengan jumlah akar (ekspresi konjugasi), memperluas polinomial.
Selanjutnya, dengan menyederhanakan fungsi, kita menemukan nilai limit dalam kesatuan.

Contoh 51. Pertimbangkan masalah untuk batas kompleks.
Sampai sekarang, irasionalitas telah dihilangkan dengan mengalikan dengan ekspresi konjugasi.
Di sini, di penyebut, kami memiliki akar kubik, jadi Anda perlu menggunakan rumus untuk perbedaan antara kubus.
Semua transformasi lainnya diulang dari kondisi ke kondisi.
Kami menguraikan polinomial menjadi faktor prima,
selanjutnya kami membatalkan dengan faktor yang memperkenalkan singularitas (0)
dan mensubstitusi x = -3, kita menemukan limit fungsi di titik

Contoh 52. Sebuah fitur dari bentuk (0/0) diungkapkan menggunakan batas luar biasa pertama dan konsekuensinya.
Pertama, kami menulis perbedaan sinus sesuai dengan rumus trigonometri
sin (7x) -sin (3x) = 2sin (2x) cos (5x).
Selanjutnya, kami melengkapi pembilang dan penyebut pecahan dengan ekspresi yang diperlukan untuk menyoroti batas-batas penting.
Kami beralih ke produk dari batas dan memperkirakan embedding dari setiap faktor.

Inilah batas luar biasa pertama yang digunakan:

dan konsekuensi dari itu


dimana a dan b adalah bilangan arbitrer.

Contoh 53. Untuk mengungkapkan ketidakpastian ketika variabel cenderung nol, kami menggunakan batas luar biasa kedua.
Untuk menyoroti eksponen, kami membawa eksponen ke batas luar biasa ke-2, dan segala sesuatu yang tersisa di bagian batas akan memberikan derajat eksponensial.


Di sini kami menggunakan akibat wajar dari batas luar biasa kedua:

Hitung limit fungsi di suatu titik:

Contoh 54. Anda perlu mencari limit suatu fungsi di suatu titik. Substitusi sederhana dari nilai menunjukkan bahwa kita memiliki pembagian nol.
Untuk memperluasnya, kami menguraikan polinomial menjadi faktor prima dan melakukan pembatalan dengan faktor yang memperkenalkan singularitas (x + 2).
Namun, pembilang selanjutnya mengandung (x + 2), yang berarti bahwa pada x = -2 batasnya adalah nol.

Contoh 55. Kami memiliki fungsi pecahan - di pembilang perbedaan akar, di penyebut - log.
Substitusi langsung memberikan fitur bentuk (0/0).
Variabel cenderung minus satu, yang berarti harus mencari dan menghilangkan singularitas bentuk (x + 1).
Untuk melakukan ini, kita singkirkan irasionalitas dengan mengalikan dengan jumlah akar, dan menguraikan fungsi kuadrat menjadi faktor prima.
Setelah semua singkatan, metode substitusi menentukan batas fungsi pada titik

Contoh 56. Dari tampilan fungsi sublimit, orang dapat salah menyimpulkan bahwa limit pertama harus diterapkan, tetapi perhitungan menunjukkan bahwa semuanya jauh lebih sederhana.
Pertama, kita menulis jumlah sinus dalam penyebutnya sin (2x) + sin (6x) = 2sin (4x) * cos (2x).
Selanjutnya, kita lukis tg (2x), dan sinus sudut ganda sin (4x) = 2sin (2x) cos (2x).
Kami menyederhanakan sinus dan menggunakan metode substitusi untuk menghitung batas pecahan

Contoh 57. Soal kemampuan menggunakan limit luar biasa kedua:
intinya adalah Anda harus memilih bagian yang memberikan eksponen.
Sisanya yang tersisa di eksponen dalam perjalanan ke limit akan memberikan derajat eksponen.


Ini bukanlah akhir dari analisis masalah limit fungsi dan barisan.
Lebih dari 150 jawaban siap pakai hingga batas fungsi, jadi jelajahi dan bagikan tautan ke konten dengan teman sekelas.

Batas fungsi- nomor A akan menjadi limit dari beberapa nilai variabel jika, dalam proses perubahannya, nilai variabel ini mendekati tak terhingga A.

Atau dengan kata lain, nomor A adalah limit fungsi y = f (x) pada intinya x 0 jika untuk sembarang barisan titik dari domain fungsi yang tidak sama dengan x 0, dan yang konvergen ke titik x 0 (lim x n = x0), urutan nilai fungsi yang sesuai konvergen ke nomor A.

Grafik suatu fungsi yang limitnya untuk argumen yang cenderung tak hingga adalah L:

Arti A adalah limit (nilai pembatas) dari fungsi f (x) pada intinya x 0 jika untuk setiap urutan poin yang konvergen ke x 0 tapi yang tidak mengandung x 0 sebagai salah satu elemennya (yaitu, di lingkungan yang bocor x 0), urutan nilai fungsi konvergen ke A.

Batas Cauchy dari fungsi.

Arti A akan batas fungsi f (x) pada intinya x 0 jika untuk setiap nomor non-negatif yang diambil ke depan ε nomor non-negatif yang sesuai akan ditemukan δ = δ(ε) sedemikian rupa sehingga untuk setiap argumen x memenuhi syarat 0 < | x - x0 | < δ , ketidaksetaraan | f (x) A |< ε .

Akan sangat sederhana jika Anda memahami esensi dari limit dan aturan dasar untuk menemukannya. Berapakah limit suatu fungsi F (x) pada x bertujuan untuk A adalah sama dengan A, ditulis seperti ini:

Selain itu, nilai yang cenderung dimiliki variabel x, mungkin bukan hanya angka, tetapi juga tak terhingga (∞), terkadang + atau -∞, atau mungkin tidak ada batas sama sekali.

Untuk memahami caranya tentukan limit fungsi, yang terbaik adalah melihat contoh solusi.

Diperlukan untuk menemukan batas-batas fungsi F (x) = 1 /x pada:

x→ 2, x→ 0, x→ ∞.

Mari kita cari solusi untuk batas pertama. Untuk melakukan ini, Anda cukup menggantinya x jumlah yang cenderung, yaitu. 2, kita mendapatkan:

Tentukan limit kedua dari fungsi tersebut... Di sini, gantikan 0 dalam bentuk murninya sebagai ganti x tidak mungkin, karena Anda tidak dapat membagi dengan 0. Tapi kita bisa mengambil nilai mendekati nol, misalnya 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 dan seterusnya, dan nilai fungsinya F (x) akan meningkat: 100; 1000; 10.000; 100.000 dan seterusnya. Dengan demikian, dapat dipahami bahwa untuk x→ 0 nilai fungsi yang berada di bawah tanda limit akan bertambah tanpa batas, yaitu berusaha untuk tak terhingga. Ini berarti:

Berkenaan dengan batas ketiga. Situasi yang sama seperti pada kasus sebelumnya, tidak mungkin untuk menggantikan ∞ dalam bentuknya yang paling murni. Kita perlu mempertimbangkan kasus kenaikan tak terbatas x... Kami mengganti 1000 satu per satu; 10.000; 100000 dan seterusnya, kami memiliki nilai fungsi F (x) = 1 /x akan berkurang: 0,001; 0,0001; 0,00001; dan seterusnya, cenderung nol. Itu sebabnya:

Perlu untuk menghitung limit fungsi

Datang ke solusi dari contoh kedua, kita melihat ketidakpastian. Dari sini kita menemukan tingkat pembilang dan penyebut tertinggi - ini adalah x 3, kami mengeluarkannya dari tanda kurung di pembilang dan penyebut dan kemudian menguranginya:

Menjawab

Langkah pertama dalam menemukan batas ini, gantikan nilai 1 sebagai pengganti x, sebagai akibatnya kita memiliki ketidakpastian. Untuk menyelesaikannya, kita memfaktorkan pembilangnya menjadi faktor, kita akan melakukannya dengan metode mencari akar-akar persamaan kuadrat x2 + 2x - 3:

D = 2 2 - 4 * 1 * (- 3) = 4 +12 = 16→ √ D =√16 = 4

x 1,2 = (-2± 4) / 2→ x 1 = -3;x 2= 1.

Jadi pembilangnya adalah:

Menjawab

Ini adalah definisi dari nilai spesifiknya atau area tertentu, di mana fungsi jatuh, yang dibatasi oleh batas.

Untuk memecahkan batas, ikuti aturan:

Setelah memahami esensi dan utamanya aturan untuk menyelesaikan limit, Anda akan mendapatkan pemahaman dasar tentang cara menyelesaikannya.

Angka konstan A ditelepon membatasi urutan(x n) jika untuk sembarang bilangan positif kecilε > 0 ada angka N yang semua nilainya x n dimana n > N memenuhi pertidaksamaan

| x n - a |< ε. (6.1)

Mereka menulisnya sebagai berikut: atau x n → A.

Ketimpangan (6.1) setara dengan pertidaksamaan ganda

a-< x n < a + ε, (6.2)

yang berarti bahwa poin x n, mulai dari suatu bilangan n > N, terletak di dalam interval (a-, a + ), yaitu jatuh ke dalam sekecil apa punε -tetangga titik A.

Barisan yang memiliki limit disebut konvergen, sebaliknya - menyimpang.

Konsep limit suatu fungsi merupakan generalisasi dari konsep limit suatu barisan, karena limit suatu barisan dapat dianggap sebagai limit dari suatu fungsi x n = f (n) dari suatu argumen bilangan bulat n.

Biarkan fungsi f (x) diberikan dan biarkan A - titik batas domain dari fungsi ini D (f), yaitu, sebuah titik, setiap lingkungan yang berisi titik-titik himpunan D (f) selain A... Titik A mungkin atau mungkin tidak termasuk set D (f).

Definisi 1.Konstanta bilangan A disebut membatasi fungsi f (x) pada x →a jika untuk setiap urutan (x n) nilai argumen cenderung A, barisan yang bersesuaian (f (x n)) memiliki limit A yang sama.

Definisi ini disebut definisi limit suatu fungsi menurut Heine, atau " dalam bahasa urutan”.

Definisi 2... Konstanta bilangan A disebut membatasi fungsi f (x) pada x →a jika, dengan menentukan bilangan positif kecil sewenang-wenang, orang dapat menemukan seperti itu> 0 (tergantung pada), yang untuk semua x berbaring di-lingkungan dari nomor A, yaitu untuk x memenuhi ketidaksetaraan
0 < x-a< ε , nilai fungsi f (x) akan terletak pada-lingkungan dari angka A, mis.| f (x) -A |< ε.

Definisi ini disebut definisi limit Cauchy dari suatu fungsi, atau “Dalam bahasa - “.

Definisi 1 dan 2 setara. Jika fungsi f (x) sebagai x →memiliki membatasi sama dengan A, ini ditulis sebagai

. (6.3)

Jika barisan (f (x n)) bertambah (atau berkurang) tanpa batas untuk metode aproksimasi apa pun x sampai batasmu A, maka kita katakan bahwa fungsi f (x) memiliki batas tak berujung, dan tuliskan sebagai:

Variabel (yaitu, barisan atau fungsi) yang limitnya nol disebut nilai yang sangat kecil.

Variabel yang limitnya sama dengan tak hingga disebut besar tak terhingga.

Untuk menemukan limit dalam praktik, gunakan teorema berikut.

Teorema 1 ... Jika ada setiap batas

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Komentar... Ekspresi seperti 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - tidak pasti, misalnya, rasio dua jumlah yang sangat kecil atau besar tak terhingga, dan menemukan batas semacam ini disebut "pengungkapan ketidakpastian."

Teorema 2. (6.7)

itu. Anda dapat pergi ke batas di dasar derajat dengan eksponen konstan, khususnya, ;

(6.8)

(6.9)

Teorema 3.

(6.10)

(6.11)

di mana e » 2.7 adalah basis dari logaritma natural. Rumus (6.10) dan (6.11) disebut yang pertama batas yang luar biasa dan batas luar biasa kedua.

Konsekuensi dari rumus (6.11) juga digunakan dalam praktik:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

khususnya batas

Jika x → a dan pada saat yang sama x> a, maka ditulis x→ a + 0. Jika, khususnya, a = 0, maka alih-alih simbol 0 + 0, tulis +0. Demikian pula, jika x →a dan, selain itu, x a-0. Angka-angka dan dipanggil sesuai batas di sebelah kanan dan batas kiri fungsi f (x) pada intinya A... Agar ada limit dari fungsi f (x) sebagai x →a perlu dan cukup untuk ... Fungsi f(x) disebut kontinu pada intinya x 0 jika batas

. (6.15)

Kondisi (6.15) dapat ditulis ulang sebagai:

,

yaitu, lintasan ke batas di bawah tanda fungsi dimungkinkan jika kontinu pada titik tertentu.

Jika persamaan (6.15) dilanggar, maka dikatakan bahwa pada x = x o fungsi f (x) Memiliki merusak. Pertimbangkan fungsi y = 1 / x. Domain dari fungsi ini adalah himpunan R, kecuali untuk x = 0. Titik x = 0 adalah titik limit dari himpunan D (f), karena pada sembarang tetangganya, yaitu, setiap interval terbuka yang berisi titik 0 berisi poin dari D (f), tetapi itu sendiri bukan milik set ini. Nilai f (x o) = f (0) tidak terdefinisi, sehingga fungsi tersebut memiliki diskontinuitas di titik x o = 0.

Fungsi f(x) disebut terus menerus di sebelah kanan pada titik x o, jika limit

,

dan kiri terus menerus pada titik x o, jika limit

.

Kontinuitas suatu fungsi di suatu titik x o setara dengan kontinuitasnya pada titik ini baik di kanan maupun di kiri.

Agar fungsi kontinu di titik x o, misalnya, di sebelah kanan, perlu, pertama, ada batas hingga, dan kedua, batas ini sama dengan f (x o). Oleh karena itu, jika setidaknya salah satu dari dua kondisi ini tidak terpenuhi, maka fungsi tersebut akan memiliki diskontinuitas.

1. Jika limit ada dan tidak sama dengan f (x o), maka dikatakan bahwa fungsi f (x) pada intinya x o punya istirahat jenis pertama, atau melompat.

2. Jika limitnya adalah+ atau -∞ atau tidak ada, maka mereka mengatakan bahwa di titik x o fungsi memiliki celah jenis kedua.

Misalnya, fungsi y = ctg x untuk x→ +0 memiliki batas yang sama dengan +, maka, pada titik x = 0 memiliki diskontinuitas jenis kedua. Fungsi y = E (x) (bagian bilangan bulat dari x) pada titik-titik dengan absis bilangan bulat memiliki diskontinuitas jenis pertama, atau melompat.

Fungsi yang kontinu pada setiap titik interval disebut kontinu v . Fungsi kontinu ditampilkan sebagai kurva padat.

Banyak masalah yang terkait dengan pertumbuhan terus-menerus dari kuantitas apa pun mengarah ke batas luar biasa kedua. Tugas-tugas tersebut, misalnya, meliputi: pertumbuhan kontribusi menurut hukum bunga majemuk, pertumbuhan populasi negara, pembusukan zat radioaktif, reproduksi bakteri, dll.

Mempertimbangkan contoh Ya.I. Perelman memberikan interpretasi nomor e dalam masalah bunga majemuk. Nomor e ada batasnya ... Di bank tabungan, uang bunga ditambahkan ke modal tetap setiap tahun. Jika koneksi dibuat lebih sering, maka modal tumbuh lebih cepat, karena sejumlah besar terlibat dalam pembentukan bunga. Mari kita ambil contoh yang murni teoretis dan sangat disederhanakan. Biarkan bank menempatkan 100 sarang. unit dengan tarif 100% per tahun. Jika uang bunga akan ditambahkan ke modal tetap hanya setelah satu tahun, maka pada tanggal ini 100 sarang. unit akan berubah menjadi 200 unit moneter. Sekarang mari kita lihat apa yang akan berubah menjadi 100 sarang. unit, jika uang berbunga ditambahkan ke modal tetap setiap enam bulan. Setelah setengah tahun, 100 sarang. unit akan tumbuh menjadi 100× 1,5 = 150, dan enam bulan kemudian - 150× 1,5 = 225 (satuan moneter). Jika koneksi dilakukan setiap 1/3 tahun, maka setelah satu tahun, 100 sarang. unit berubah menjadi 100× (1 +1/3) 3 " 237 (satuan moneter). Kami akan mempercepat persyaratan untuk bergabung dengan uang berbunga menjadi 0,1 tahun, menjadi 0,01 tahun, menjadi 0,001 tahun, dll. Kemudian dari 100 sarang. unit setelah satu tahun itu akan berubah:

100 × (1 +1/10) 10"259 (satuan moneter),

100 × (1 + 1/100) 100 * 270 (satuan moneter),

100 × (1 + 1/1000) 1000 * 271 (unit moneter).

Dengan pengurangan tak terbatas dalam hal lampiran bunga, modal yang masih harus dibayar tidak tumbuh tanpa batas, tetapi mendekati batas tertentu, sama dengan sekitar 271. Modal yang dialokasikan pada 100% per tahun tidak dapat meningkat lebih dari 2,71 kali, bahkan jika akrual bunga ditambahkan ke modal setiap detik karena batasnya

Contoh 3.1.Dengan menggunakan definisi limit suatu barisan numerik, buktikan bahwa barisan x n = (n-1) / n mempunyai limit yang sama dengan 1.

Larutan.Kita perlu membuktikan bahwa apapunε Kami tidak mengambil> 0, karena ada bilangan asli N sedemikian rupa sehingga untuk semua n N pertidaksamaan berikut berlaku:| x n -1 |< ε.

Ambil sembarang e> 0. Sejak; x n -1 = (n + 1) / n - 1 = 1 / n, maka untuk mencari N cukup dengan menyelesaikan pertidaksamaan 1 / n< e. Oleh karena itu n> 1 / e dan, oleh karena itu, N dapat diambil sebagai bagian bilangan bulat dari 1 / e, N = E (1 / e ). Dengan demikian kami telah membuktikan bahwa batasnya.

Contoh 3.2 ... Temukan limit barisan yang diberikan oleh suku umum .

Larutan.Kami menerapkan teorema batas jumlah dan menemukan batas setiap istilah. untuk n→ pembilang dan penyebut setiap suku cenderung tak hingga, dan teorema limit hasil bagi tidak dapat langsung diterapkan. Oleh karena itu, pertama-tama kita ubah x n dengan membagi pembilang dan penyebut suku pertama dengan n 2, dan yang kedua pada n... Kemudian, dengan menerapkan teorema limit bagi dan jumlah limit, kita menemukan:

.

Contoh 3.3. ... Menemukan .

Larutan. .

Di sini kita telah menggunakan teorema batas derajat: batas derajat sama dengan derajat batas dasar.

Contoh 3.4 ... Menemukan ( ).

Larutan.Tidak mungkin untuk menerapkan teorema selisih batas, karena kita memiliki ketidakpastian bentuk ∞-∞ ... Kami mengubah rumus untuk anggota umum:

.

Contoh 3.5 ... Sebuah fungsi f (x) = 2 1 / x diberikan. Buktikan bahwa tidak ada batasan.

Larutan.Mari kita gunakan definisi 1 dari limit suatu fungsi dalam barisan. Ambil barisan (x n) yang konvergen ke 0, mis. Mari kita tunjukkan bahwa nilai f (x n) = berperilaku berbeda untuk barisan yang berbeda. Misalkan x n = 1 / n. Jelas, maka batasnya Mari kita sekarang memilih sebagai x n barisan dengan suku umum x n = -1 / n, juga cenderung nol. Oleh karena itu, tidak ada batasan.

Contoh 3.6 ... Buktikan bahwa tidak ada batasan.

Larutan.Misalkan x 1, x 2, ..., x n, ... adalah barisan yang
... Bagaimana barisan (f (x n)) = (sin x n) berperilaku untuk x n yang berbeda →

Jika x n = p n, maka sin x n = sin p n = 0 untuk semua n dan limit Jika
x n = 2 p n + p / 2, maka sin x n = sin (2 p n + p / 2) = sin p / 2 = 1 untuk semua n dan karenanya batasnya. Jadi itu tidak ada.

Widget untuk menghitung batas online

Di jendela atas, alih-alih sin (x) / x, masukkan fungsi yang batasnya ingin Anda temukan. Di jendela bawah, masukkan angka yang cenderung x dan tekan tombol Kalkulator, dapatkan batas yang diinginkan. Dan jika Anda mengklik Tampilkan langkah di sudut kanan atas di jendela hasil, Anda akan mendapatkan solusi terperinci.

Aturan entri fungsi: kuadrat (x) - akar kuadrat, cbrt (x) - akar pangkat tiga, exp (x) - eksponen, ln (x) - logaritma natural, sin (x) - sinus, cos (x) - cosinus, tan (x) adalah tangen, cot (x) adalah cotangen, arcsin (x) adalah arcsinus, arccos (x) adalah invers cosinus, arctan (x) adalah arctangent. Tanda: * perkalian, / pembagian, ^ eksponensial, bukan ketakterbatasan Ketakterbatasan. Contoh: fungsi dimasukkan seperti ini kuadrat (tan (x / 2)).

Membuktikan sifat-sifat limit suatu fungsi, kami memastikan bahwa tidak ada yang benar-benar diperlukan dari lingkungan bocor di mana fungsi kami didefinisikan dan yang muncul selama pembuktian, kecuali untuk sifat-sifat yang ditunjukkan dalam pengantar paragraf sebelumnya. 2. Keadaan ini berfungsi sebagai pembenaran untuk pemilihan objek matematika berikut.

A. Basis; definisi dan contoh dasar

Definisi 11. Suatu himpunan B dari himpunan bagian dari himpunan X akan disebut basis dalam himpunan X jika dua kondisi terpenuhi:

Dengan kata lain, elemen dari himpunan B adalah himpunan tak kosong, dan perpotongan dari dua himpunan tersebut berisi beberapa elemen dari himpunan yang sama.

Mari kita tunjukkan beberapa dasar yang paling umum digunakan dalam analisis.

Jika kemudian sebaliknya mereka menulis dan mengatakan bahwa x cenderung ke a dari kanan atau dari sisi nilai besar (masing-masing, dari kiri atau dari sisi nilai yang lebih kecil). Ketika entri singkat diterima alih-alih

Catatan akan digunakan sebagai pengganti Ini berarti bahwa a; cenderung sepanjang himpunan E ke a, tersisa lebih (kurang) dari a.

maka alih-alih menulis dan mengatakan bahwa x cenderung plus tak terhingga (masing-masing, hingga minus tak terhingga).

Entri akan digunakan sebagai pengganti

Karena, alih-alih kami (jika ini tidak menyebabkan kesalahpahaman), seperti yang biasa dalam teori limit barisan, kami akan menulis

Perhatikan bahwa semua basis yang terdaftar memiliki fitur bahwa perpotongan dari dua elemen dasar itu sendiri merupakan elemen dari basis ini, dan tidak hanya berisi beberapa elemen dasar. Kami akan bertemu basis lain ketika mempelajari fungsi yang tidak ditentukan pada sumbu bilangan.

Kami juga mencatat bahwa istilah "basis" yang digunakan di sini adalah sebutan singkat dari apa yang disebut "basis filter" dalam matematika, dan batas dasar yang diperkenalkan di bawah ini adalah bagian paling penting untuk analisis konsep batas filter, yang dibuat oleh matematikawan Prancis modern A. Cartan

B. Batas fungsi dasar

Definisi 12. Membiarkan menjadi fungsi pada himpunan X; B adalah basis di X. Suatu bilangan disebut limit suatu fungsi terhadap basis B jika, untuk sembarang lingkungan titik A, terdapat elemen alas yang bayangannya terdapat di lingkungan tersebut

Jika A adalah limit fungsi dalam basis B, maka ditulis

Mari kita ulangi definisi batas dasar dalam simbol logika:

Karena kita sedang mempertimbangkan fungsi dengan nilai numerik, akan berguna untuk mengingat bentuk definisi dasar berikut ini:

Dalam formulasi ini, alih-alih lingkungan sewenang-wenang V (A), kami mengambil lingkungan simetris (terhadap titik A) (e-neighborhood). Kesetaraan definisi ini untuk fungsi bernilai nyata mengikuti dari fakta bahwa, seperti yang telah disebutkan, setiap lingkungan dari suatu titik mengandung beberapa lingkungan simetris dari titik yang sama (lengkapi buktinya!).

Kami telah memberikan definisi umum dari batas fungsi dasar. Di atas, kami telah mempertimbangkan contoh database yang paling umum dalam analisis. Dalam tugas tertentu di mana satu atau lain dari basis ini muncul, perlu untuk dapat menguraikan definisi umum dan menuliskannya untuk basis tertentu.

Mempertimbangkan contoh basis, kami, khususnya, memperkenalkan konsep lingkungan tak terhingga. Jika kita menggunakan konsep ini, maka sesuai dengan definisi umum dari limit, masuk akal untuk menerima konvensi berikut:

atau, setara,

Biasanya nilai kecil yang dimaksud. Tentu saja, ini tidak terjadi dalam definisi di atas. Sesuai dengan kesepakatan yang diterima, misalnya, kita dapat menulis

Agar dapat mempertimbangkan sebagai terbukti dan dalam kasus umum limit pada sembarang basis semua teorema pada limit yang kami buktikan dalam Bagian 2 untuk basis khusus, perlu untuk memberikan definisi yang sesuai: akhirnya konstan, akhirnya terbatas dan sangat kecil untuk basis fungsi tertentu.

Definisi 13. Suatu fungsi disebut akhirnya konstan di basis B jika ada bilangan dan elemen basis tersebut, di sembarang titik di mana

Saat ini, manfaat utama dari pengamatan yang dilakukan dan konsep basis yang diperkenalkan sehubungan dengan itu adalah bahwa mereka menyelamatkan kita dari pemeriksaan dan bukti formal teorema tentang limit untuk setiap jenis lintasan tertentu ke limit atau, dalam kasus kita saat ini. terminologi, untuk setiap basis jenis tertentu.

Untuk akhirnya terbiasa dengan konsep batas dasar arbitrer, kami akan melakukan pembuktian sifat lebih lanjut dari limit fungsi dalam bentuk umum.

Fungsi y = f (x) hukum (aturan) disebut, yang menurutnya, setiap elemen x dari himpunan X dikaitkan dengan satu dan hanya satu elemen y dari himpunan Y.

Elemen x X disebut argumen fungsi atau variabel bebas.
elemen y Y disebut nilai fungsi atau variabel tak bebas.

Himpunan X disebut lingkup fungsi.
Himpunan elemen y Y yang memiliki bayangan di himpunan X disebut rentang atau kumpulan nilai suatu fungsi.

Fungsi sebenarnya disebut dibatasi di atas (bawah) jika ada angka M sehingga untuk semua pertidaksamaan berikut berlaku:
.
Fungsi numerik disebut terbatas jika ada angka M sehingga untuk semua:
.

tepi atas atau batas atas yang tepat fungsi real disebut bilangan terkecil yang membatasi rentang nilainya dari atas. Artinya, itu adalah bilangan s, yang untuk semua dan untuk semua, ada argumen seperti itu, nilai fungsi yang melebihi s :.
Batas atas suatu fungsi dapat dilambangkan sebagai berikut:
.

masing-masing tepi bawah atau batas bawah tepat fungsi nyata disebut yang terbesar dari angka, membatasi rentang nilainya dari bawah. Artinya, ini adalah angka i, yang untuk semua dan untuk semua, ada argumen seperti itu, yang nilai fungsinya kurang dari i :.
Batas bawah suatu fungsi dapat dilambangkan sebagai berikut:
.

Menentukan Limit Fungsi

Penentuan limit suatu fungsi menurut Cauchy

Batas Fungsi Hingga di Titik Akhir

Biarkan fungsi didefinisikan di beberapa lingkungan dari titik akhir, dengan pengecualian, mungkin, dari titik itu sendiri. pada titik jika untuk sembarang ada sedemikian sehingga untuk semua x yang pertidaksamaannya
.
Batas fungsi dilambangkan sebagai berikut:
.
Atau di.

Dengan menggunakan simbol logika keberadaan dan universalitas, definisi limit suatu fungsi dapat ditulis sebagai berikut:
.

Batas satu sisi.
Batas kiri pada titik (batas kiri):
.
Batas kanan pada titik (batas kanan):
.
Batas kiri dan kanan sering dilambangkan sebagai berikut:
; .

Batas Terhingga dari suatu Fungsi pada Titik Tak Terhingga

Batas pada titik tak terhingga ditentukan dengan cara yang sama.
.
.
.
Mereka sering disebut sebagai:
; ; .

Menggunakan konsep lingkungan suatu titik

Jika kita memperkenalkan konsep lingkungan tertusuk dari suatu titik, maka kita dapat memberikan definisi terpadu dari limit terbatas suatu fungsi pada titik-titik yang berhingga dan jauh tak berhingga:
.
Di sini untuk titik akhir
; ;
.
Setiap lingkungan di titik tak terhingga tertusuk:
; ; .

Batas fungsi tak terbatas

Definisi
Biarkan fungsi didefinisikan di beberapa lingkungan yang tertusuk dari suatu titik (jauh atau jauh tak terbatas). Batas fungsi f (x) sebagai x → x 0 sama dengan tak terhingga jika untuk sembarang, bilangan besar M > 0 , terdapat bilangan M > 0 tergantung pada M sedemikian rupa sehingga untuk semua x milik tertusuk M - lingkungan titik :, ketidaksetaraan berikut berlaku:
.
Batas tak hingga dilambangkan sebagai berikut:
.
Atau di.

Dengan menggunakan simbol logika keberadaan dan universalitas, definisi limit tak hingga dari suatu fungsi dapat ditulis sebagai berikut:
.

Anda juga dapat memasukkan definisi batas tak hingga untuk tanda-tanda tertentu yang sama dengan dan:
.
.

Definisi universal dari limit suatu fungsi

Dengan menggunakan konsep ketetanggaan suatu titik, kita dapat memberikan definisi universal dari batas hingga dan tak hingga dari suatu fungsi, berlaku baik untuk hingga (dua sisi dan satu sisi) dan untuk titik yang jauh tak terhingga:
.

Penentuan Batas Fungsi Heine

Biarkan fungsi didefinisikan pada beberapa set X:.
Bilangan a disebut limit fungsi pada titik:
,
jika untuk sembarang barisan yang konvergen ke x 0 :
,
yang elemen-elemennya termasuk dalam himpunan X :,
.

Mari kita tulis definisi ini menggunakan simbol logis keberadaan dan universalitas:
.

Jika untuk himpunan X kita ambil tetangga sebelah kiri dari titik x 0 , maka kita mendapatkan definisi batas kiri. Jika itu adalah sisi kanan, maka kita mendapatkan definisi batas yang tepat. Jika kita mengambil lingkungan titik di tak hingga sebagai himpunan X, maka kita memperoleh definisi limit fungsi di tak hingga.

Dalil
Definisi limit suatu fungsi menurut Cauchy dan Heine adalah ekivalen.
Bukti

Sifat dan teorema limit untuk suatu fungsi

Selanjutnya, kami menganggap bahwa fungsi yang dipertimbangkan didefinisikan dalam lingkungan yang sesuai dari titik, yang merupakan bilangan terbatas atau salah satu simbol :. Ini juga bisa menjadi titik batas satu sisi, yaitu, memiliki bentuk atau. Lingkungan adalah dua arah untuk batas dua arah dan satu arah untuk satu arah.

Sifat dasar

Jika nilai fungsi f (x) ubah (atau buat tidak terdefinisi) pada sejumlah titik x 1, x 2, x 3, ... x n, maka perubahan ini sama sekali tidak mempengaruhi keberadaan dan besaran limit fungsi pada titik sembarang x 0 .

Jika ada limit yang berhingga, maka ada temu yang tertusuk dari titik x 0 dimana fungsi f (x) terbatas pada:
.

Biarkan fungsi berada di titik x 0 batas bukan nol akhir:
.
Kemudian, untuk sembarang bilangan c dari interval, terdapat suatu lingkungan yang terputus-putus dari titik x 0 untuk apa,
, jika ;
, jika .

Jika, pada beberapa lingkungan titik yang tertusuk, adalah konstanta, maka.

Jika ada batas berhingga dan dan pada beberapa lingkungan yang tertusuk dari titik x 0
,
kemudian .

Jika, dan pada beberapa lingkungan titik
,
kemudian .
Secara khusus, jika di beberapa lingkungan titik
,
maka jika, maka dan;
jika, maka dan.

Jika pada beberapa lingkungan yang tertusuk dari titik x 0 :
,
dan ada batas yang sama terbatas (atau tak terbatas dari tanda tertentu):
, kemudian
.

Bukti properti utama diberikan di halaman
"Sifat dasar limit suatu fungsi."

Sifat aritmatika dari limit suatu fungsi

Biarkan fungsi dan didefinisikan di beberapa lingkungan titik yang tertusuk. Dan biarkan ada batas yang terbatas:
dan .
Dan biarkan C menjadi konstanta, yaitu, angka tertentu. Kemudian
;
;
;
, jika .

Jika kemudian.

Untuk bukti sifat aritmatika, lihat halaman
"Sifat aritmatika dari batas-batas suatu fungsi."

Kriteria Cauchy untuk keberadaan limit suatu fungsi

Dalil
Untuk suatu fungsi yang didefinisikan pada beberapa lingkungan tertusuk dari titik x yang berhingga atau jauh tak terhingga 0 , memiliki batas yang terbatas pada titik ini, perlu dan cukup untuk setiap > 0 ada lingkungan yang tertusuk dari titik x 0 , bahwa untuk sembarang titik dan dari lingkungan ini, pertidaksamaan berikut berlaku:
.

Batas fungsi kompleks

Teorema limit fungsi kompleks
Biarkan fungsi memiliki limit dan petakan lingkungan titik tertusuk ke lingkungan titik tertusuk. Biarkan fungsi didefinisikan pada lingkungan ini dan memiliki batas di atasnya.
Di sini - titik akhir atau titik jauh tak terhingga :. Lingkungan dan batas yang sesuai dapat berupa dua sisi dan satu sisi.
Maka ada limit dari fungsi kompleks dan sama dengan:
.

Teorema limit dari suatu fungsi kompleks diterapkan ketika fungsi tersebut tidak terdefinisi pada suatu titik atau memiliki nilai yang berbeda dari limitnya. Untuk menerapkan teorema ini, harus ada lingkungan tertusuk dari titik di mana himpunan nilai fungsi tidak mengandung titik:
.

Jika fungsi kontinu pada suatu titik, maka tanda limit dapat diterapkan pada argumen fungsi kontinu:
.
Di bawah ini adalah teorema yang sesuai dengan kasus ini.

Teorema pada limit fungsi kontinu dari suatu fungsi
Misalkan ada limit fungsi g (T) sebagai t → t 0 , dan sama dengan x 0 :
.
Di sini titik t 0 dapat terbatas atau jauh tak terhingga:.
Dan biarkan fungsi f (x) kontinu di titik x 0 .
Maka ada limit dari fungsi kompleks f (g (t)), dan sama dengan f (x 0):
.

Bukti teorema diberikan di halaman
"Batas dan kontinuitas fungsi kompleks."

Fungsi Infinitesimal dan Infinitesly Large

Fungsi Tak Terbatas

Definisi
Fungsi ini disebut sangat kecil karena jika
.

Jumlah, selisih, dan produk dari sejumlah terbatas fungsi yang sangat kecil untuk adalah fungsi yang sangat kecil untuk.

Produk dari suatu fungsi terbatas pada beberapa lingkungan titik yang tertusuk, ke yang sangat kecil untuk adalah fungsi yang sangat kecil untuk.

Agar suatu fungsi memiliki limit berhingga, perlu dan cukup bahwa
,
di mana adalah fungsi yang sangat kecil di.

"Sifat fungsi sangat kecil".

Fungsi yang sangat besar

Definisi
Fungsi ini disebut besar tak terhingga untuk jika
.

Jumlah atau selisih dari suatu fungsi yang dibatasi, pada suatu lingkungan titik yang tertusuk, dan suatu fungsi yang sangat besar di adalah fungsi yang sangat besar di.

Jika fungsinya sangat besar untuk, dan fungsinya terbatas, pada beberapa lingkungan titik yang tertusuk, maka
.

Jika fungsi tersebut, pada beberapa lingkungan titik yang tertusuk, memenuhi pertidaksamaan:
,
dan fungsinya sangat kecil untuk:
, dan (pada beberapa lingkungan titik yang tertusuk), maka
.

Bukti properti disajikan di bagian
"Sifat fungsi yang sangat besar."

Hubungan antara fungsi yang sangat besar dan sangat kecil

Hubungan antara fungsi yang sangat besar dan sangat kecil mengikuti dari dua sifat sebelumnya.

Jika fungsi tersebut sangat besar di, maka fungsi tersebut sangat kecil di.

Jika fungsi tersebut sangat kecil di, dan, maka fungsi tersebut sangat besar di.

Hubungan antara fungsi yang sangat kecil dan fungsi yang sangat besar dapat dinyatakan secara simbolis:
, .

Jika fungsi sangat kecil memiliki tanda pasti di, yaitu positif (atau negatif) pada beberapa lingkungan titik yang tertusuk, maka fakta ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
.
Dengan cara yang sama, jika suatu fungsi yang besar tak terhingga memiliki tanda pasti di, maka mereka menulis:
.

Kemudian hubungan simbolis antara fungsi yang sangat kecil dan fungsi yang sangat besar dapat dilengkapi dengan hubungan berikut:
, ,
, .

Rumus tambahan yang menghubungkan simbol infinity dapat ditemukan di halaman
"Menunjuk pada tak terhingga dan sifat-sifatnya".

Batas Fungsi Monoton

Definisi
Suatu fungsi yang didefinisikan pada beberapa himpunan bilangan real X disebut meningkat secara ketat jika untuk semua sehingga pertidaksamaan berlaku:
.
Oleh karena itu, untuk sangat menurun fungsi, pertidaksamaan berikut berlaku:
.
Untuk tidak berkurang:
.
Untuk tidak meningkat:
.

Oleh karena itu, fungsi yang meningkat secara ketat juga tidak menurun. Fungsi yang sangat menurun juga tidak meningkat.

Fungsi tersebut disebut membosankan jika tidak berkurang atau tidak bertambah.

Dalil
Biarkan fungsi tidak berkurang pada interval di mana.
Jika dibatasi dari atas oleh angka M:, maka ada batas yang terbatas. Jika tidak dibatasi dari atas, maka.
Jika dibatasi dari bawah oleh bilangan m :, maka ada limit berhingga. Jika tidak dibatasi dari bawah, maka.

Jika titik a dan b berada di tak hingga, maka dalam ekspresi tanda batas berarti bahwa.
Teorema ini dapat dirumuskan lebih kompak.

Biarkan fungsi tidak berkurang pada interval di mana. Maka ada limit satu sisi di titik a dan b:
;
.

Teorema serupa untuk fungsi tak naik.

Biarkan fungsi tidak meningkat pada interval di mana. Maka ada batas satu sisi:
;
.

Bukti teorema disajikan di halaman
"Batas fungsi monoton".

Referensi:
L.D. Kudryavtsev. Kursus analisis matematika. Jilid 1.Moskow, 2003.
CM. Nikolai. Kursus analisis matematika. Jilid 1.Moskow, 1983.