15 profil ujian cara menyelesaikan dengan logaritma. Karya Manov "ketidaksetaraan logaritmik dalam ujian"

“SOLUSI KETIMPANGAN LOGARITMI (TUGAS No. 15 PENGGUNAAN PROFIL). APLIKASI LOGARITMA DALAM BERBAGAI BIDANG KEHIDUPAN MANUSIA”

Prasasti pelajaran akan menjadi kata-kata Maurice Kline “Musik dapat meninggikan atau menentramkan jiwa, melukis dapat menyenangkan mata, puisi dapat membangkitkan indera, filsafat dapat memuaskan kebutuhan batin, rekayasa dapat meningkatkan sisi material kehidupan masyarakat, danmatematika mampu mencapai semua tujuan tersebut »

Sekarang mari kita ciptakan mood sukses!

Kami akan menjawab pertanyaan berikut:

Praktik memeriksa kertas ujian, dan saya telah menjadi ahli USE dalam matematika sejak tahun 2005, menunjukkan bahwa kesulitan terbesar bagi anak sekolah adalah penyelesaian pertidaksamaan transendental, khususnya pertidaksamaan logaritma dengan basis variabel.

Oleh karena itu, saya mengusulkan untuk mempertimbangkan, pertama, metode rasionalisasi (metode dekomposisi Modenov) atau disebut metode penggantian pengali Golubev, yang memungkinkan Anda untuk membawa pertidaksamaan logaritmik yang kompleks, khususnya, ke sistem pertidaksamaan rasional yang lebih sederhana.

Jadi, misalnya, ketika menyelesaikan pertidaksamaan
dalam versi evaluasi yang ditawarkan kepada para ahli USE, keputusan berikut diberikan:

Saya mengusulkan untuk menggunakan metode rasionalisasi:

Memecahkan pertidaksamaan pertama dengan metode interval dan memperhitungkan apa yang kita dapatkan

Penyelesaian pertidaksamaan berikut

Saya melihatnya seperti ini:

Dan saya menjelaskan kepada siswa bahwa terkadang solusi grafis lebih mudah.

Dan sebagai hasilnya, solusi dari ketidaksetaraan ini memiliki bentuk:

Pertimbangkan ketidaksetaraan

Memecahkan ketidaksetaraan ini, kita dapat menggunakan rumus

tetapi pergi ke pangkalan - angka, dan benar-benar apa saja:

dan selesaikan pertidaksamaan yang dihasilkan dengan metode interval:

ODZ:

dan selesaikan pertidaksamaan yang dihasilkan dengan metode interval

dan dengan mempertimbangkan ODZ kita mendapatkan:

Dan, ketika menyelesaikan jenis pertidaksamaan berikut, siswa biasanya kehilangan salah satu solusi saat menuliskan jawabannya. Anda pasti harus memperhatikan hal ini.

Mari kita temukan ODZnya:

dan lakukan penggantian: kita dapatkan:

Saya menarik perhatian Anda pada fakta bahwa seringkali siswa, ketika menyelesaikan ini, ketidaksetaraan yang dihasilkan, membuang penyebut, sehingga kehilangan salah satu solusi:

Dengan mempertimbangkan ODZ, kami mendapatkan: dan

Dan mengakhiri pelajaran, saya menawarkan kepada siswa fakta menarik tentang penggunaan logaritma di berbagai bidang.

Dimanapun ada proses yang berubah dari waktu ke waktu, logaritma digunakan.

Logaritma adalah konsep matematika yang digunakan di semua cabang ilmu pengetahuan: kimia, biologi, fisika, geografi, ilmu komputer dan banyak lainnya, tetapi logaritma paling banyak digunakan dalam ekonomi.

KETIMPANGAN LOGARITMI DALAM PENGGUNAAN

Sechin Mikhail Alexandrovich

Akademi Ilmu Pengetahuan Kecil untuk Pelajar Republik Kazakhstan "Pencari"

MBOU "Sekolah menengah Soviet No. 1", kelas 11, kota. Distrik Soviet Sovietsky

Gunko Lyudmila Dmitrievna, guru MBOU "sekolah menengah Soviet No. 1"

Distrik Sovietsky

Objektif: studi tentang mekanisme untuk memecahkan ketidaksetaraan logaritmik C3 menggunakan metode non-standar, mengidentifikasi fakta Menarik logaritma.

Subjek studi:

3) Belajar memecahkan pertidaksamaan logaritmik C3 spesifik menggunakan metode non-standar.

Hasil:

Isi

Pendahuluan……………………………………………………………………………….4

Bab 1. Latar Belakang……………………………………………………….5

Bab 2. Kumpulan Pertidaksamaan Logaritma ………………………… 7

2.1. Transisi ekuivalen dan metode umum interval…………… 7

2.2. Metode rasionalisasi ………………………………………………… 15

2.3. Substitusi non-standar…………………………………………………………………………………………………. ..... 22

2.4. Tugas dengan jebakan…………………………………………………… 27

Kesimpulan……………………………………………………………………… 30

Literatur……………………………………………………………………. 31

pengantar

Saya di kelas 11 dan saya berencana untuk masuk universitas di mana matematika adalah mata pelajaran inti. Dan itulah mengapa saya banyak mengerjakan tugas bagian C. Dalam tugas C3, Anda perlu menyelesaikan ketidaksetaraan non-standar atau sistem pertidaksamaan, biasanya terkait dengan logaritma. Saat mempersiapkan ujian, saya mengalami masalah kurangnya metode dan teknik untuk memecahkan ketidaksetaraan logaritmik ujian yang ditawarkan di C3. Metode yang dipelajari dalam kurikulum sekolah tentang topik ini tidak memberikan dasar untuk menyelesaikan tugas C3. Guru matematika menyarankan agar saya mengerjakan tugas C3 sendiri di bawah bimbingannya. Selain itu, saya tertarik dengan pertanyaan: apakah ada logaritma dalam hidup kita?

Dengan pertimbangan ini, tema dipilih:

"Persamaan logaritma dalam ujian"

Objektif: studi tentang mekanisme untuk memecahkan masalah C3 menggunakan metode non-standar, mengungkapkan fakta menarik tentang logaritma.

Subjek studi:

1) Temukan informasi yang diperlukan tentang metode non-standar untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik.

2) Temukan informasi tambahan tentang logaritma.

3) Belajar memecahkan masalah C3 tertentu menggunakan metode non-standar.

Hasil:

Signifikansi praktis terletak pada perluasan peralatan untuk memecahkan masalah C3. Materi ini dapat digunakan dalam beberapa pelajaran, untuk melakukan lingkaran, kelas opsional dalam matematika.

Produk proyek akan menjadi kumpulan "Pertidaksamaan logaritmik C3 dengan solusi".

Bab 1. Latar Belakang

Selama abad ke-16, jumlah perkiraan perhitungan meningkat pesat, terutama dalam astronomi. Peningkatan instrumen, studi tentang pergerakan planet, dan pekerjaan lain membutuhkan perhitungan yang sangat besar, terkadang bertahun-tahun. Astronomi berada dalam bahaya nyata tenggelam dalam perhitungan yang tidak terpenuhi. Kesulitan juga muncul di bidang lain, misalnya dalam bisnis asuransi diperlukan tabel bunga majemuk untuk nilai persentase yang berbeda. Kesulitan utama adalah perkalian, pembagian bilangan multi-digit, terutama besaran trigonometri.

Penemuan logaritma didasarkan pada sifat-sifat progresi yang terkenal pada akhir abad ke-16. Archimedes berbicara tentang hubungan antara anggota deret geometri q, q2, q3, ... dan deret aritmatika indikator mereka 1, 2, 3, ... di Psalmite. Prasyarat lainnya adalah perluasan konsep derajat ke pangkat negatif dan pecahan. Banyak penulis telah menunjukkan bahwa perkalian, pembagian, pangkat, dan ekstraksi akar secara eksponensial sesuai dalam aritmatika - dalam urutan yang sama - penambahan, pengurangan, perkalian dan pembagian.

Berikut adalah ide logaritma sebagai eksponen.

Dalam sejarah perkembangan doktrin logaritma, beberapa tahapan telah dilalui.

Tahap 1

Logaritma ditemukan paling lambat 1594 secara independen oleh baron Skotlandia Napier (1550-1617) dan sepuluh tahun kemudian oleh mekanik Swiss Burgi (1552-1632). Keduanya ingin memberikan cara baru yang nyaman untuk perhitungan aritmatika, meskipun mereka mendekati masalah ini dengan cara yang berbeda. Napier secara kinematis mengekspresikan fungsi logaritmik dan dengan demikian memasuki bidang teori fungsi baru. Bürgi tetap atas dasar pertimbangan progresi diskrit. Namun, definisi logaritma untuk keduanya tidak sama dengan definisi modern. Istilah "logaritma" (logaritmus) milik Napier. Itu muncul dari kombinasi kata Yunani: logos - "hubungan" dan ariqmo - "jumlah", yang berarti "jumlah hubungan". Awalnya, Napier menggunakan istilah yang berbeda: numeri artificiales - "bilangan buatan", sebagai lawan dari numeri naturalts - "bilangan asli".

Pada tahun 1615, dalam percakapan dengan Henry Briggs (1561-1631), seorang profesor matematika di Gresh College di London, Napier menyarankan untuk mengambil nol untuk logaritma satu, dan 100 untuk logaritma sepuluh, atau, berapa jumlah yang sama , hanya 1. Beginilah cara logaritma desimal dan Tabel logaritma pertama dicetak. Kemudian, tabel Briggs dilengkapi oleh penjual buku dan matematikawan Belanda Andrian Flakk (1600-1667). Napier dan Briggs, meskipun mereka datang ke logaritma sebelum orang lain, menerbitkan tabel mereka lebih lambat dari yang lain - pada tahun 1620. Tanda-tanda log dan log diperkenalkan pada tahun 1624 oleh I. Kepler. Istilah "logaritma natural" diperkenalkan oleh Mengoli pada tahun 1659, diikuti oleh N. Mercator pada tahun 1668, dan guru London John Spadel menerbitkan tabel-tabel logaritma natural dari angka dari 1 hingga 1000 dengan nama "Logaritma Baru".

Di Rusia, tabel logaritmik pertama diterbitkan pada 1703. Namun di semua tabel logaritmik, terjadi kesalahan dalam perhitungan. Tabel bebas kesalahan pertama diterbitkan pada tahun 1857 di Berlin dalam pemrosesan matematikawan Jerman K. Bremiker (1804-1877).

Tahap 2

Pengembangan lebih lanjut dari teori logaritma dikaitkan dengan aplikasi geometri analitik yang lebih luas dan kalkulus yang sangat kecil. Pada saat itu, hubungan antara kuadratur hiperbola sama sisi dan logaritma natural telah dibuat. Teori logaritma periode ini dikaitkan dengan nama sejumlah matematikawan.

Ahli matematika, astronom, dan insinyur Jerman Nikolaus Mercator dalam esainya

"Logarithmotechnics" (1668) memberikan deret yang memberikan ekspansi ln(x + 1) dalam bentuk

kekuatan x:

Ungkapan ini sesuai persis dengan jalan pikirannya, meskipun, tentu saja, dia tidak menggunakan tanda d, ..., tetapi simbol yang lebih rumit. Dengan ditemukannya deret logaritma, teknik penghitungan logaritma berubah: mulai ditentukan menggunakan deret tak hingga. Dalam kuliahnya "Matematika dasar dari sudut pandang yang lebih tinggi", yang dibaca pada tahun 1907-1908, F. Klein menyarankan menggunakan rumus sebagai titik awal untuk membangun teori logaritma.

Tahap 3

Definisi fungsi logaritma sebagai fungsi dari invers

eksponensial, logaritma sebagai eksponen dari basis yang diberikan

tidak segera diformulasikan. Karya Leonhard Euler (1707-1783)

"Pengantar analisis infinitesimals" (1748) berfungsi sebagai lebih lanjut

pengembangan teori fungsi logaritma. Lewat sini,

134 tahun telah berlalu sejak logaritma pertama kali diperkenalkan

(dihitung dari 1614) sebelum matematikawan menemukan definisi

konsep logaritma, yang sekarang menjadi dasar kursus sekolah.

Bab 2. Kumpulan pertidaksamaan logaritma

2.1. Transisi ekuivalen dan metode umum interval.

Transisi yang setara

jika a > 1

jika 0 < а < 1

Metode interval umum

Metode ini adalah yang paling universal dalam memecahkan ketidaksetaraan dari hampir semua jenis. Skema solusi terlihat seperti ini:

1. Bawa pertidaksamaan ke bentuk seperti itu, di mana fungsinya terletak di sisi kiri
, dan 0 di sebelah kanan.

2. Temukan ruang lingkup fungsi
.

3. Temukan nol dari suatu fungsi
, yaitu, selesaikan persamaan
(dan menyelesaikan persamaan biasanya lebih mudah daripada menyelesaikan pertidaksamaan).

4. Gambarkan domain definisi dan nol dari fungsi tersebut pada garis nyata.

5. Tentukan tanda-tanda fungsi
pada interval yang diterima.

6. Pilih interval di mana fungsi mengambil nilai yang diperlukan, dan tuliskan jawabannya.

Contoh 1

Larutan:

Terapkan metode interval

di mana

Untuk nilai-nilai ini, semua ekspresi di bawah tanda logaritma adalah positif.

Menjawab:

Contoh 2

Larutan:

1 jalan . ODZ ditentukan oleh pertidaksamaan x> 3. Mengambil logaritma untuk itu x di basis 10, kita dapatkan

Pertidaksamaan terakhir dapat diselesaikan dengan menerapkan aturan dekomposisi, yaitu membandingkan faktor dengan nol. Namun, dalam hal ini mudah untuk menentukan interval kekonstanan fungsi

sehingga metode interval dapat diterapkan.

Fungsi F(x) = 2x(x- 3.5)lgǀ x- 3ǀ kontinu untuk x> 3 dan menghilang di titik x 1 = 0, x 2 = 3,5, x 3 = 2, x 4 = 4. Jadi, kami menentukan interval kekonstanan fungsi F(x):

Menjawab:

cara ke-2 . Mari kita terapkan ide-ide metode interval langsung ke pertidaksamaan asli.

Untuk ini, kita ingat bahwa ekspresi sebuah B- sebuah c dan ( sebuah - 1)(B- 1) memiliki satu tanda. Maka pertidaksamaan kita untuk x> 3 sama dengan pertidaksamaan

atau

Pertidaksamaan terakhir diselesaikan dengan metode interval

Menjawab:

Contoh 3

Larutan:

Terapkan metode interval

Menjawab:

Contoh 4

Larutan:

Sejak 2 x 2 - 3x+ 3 > 0 untuk semua nyata x, kemudian

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kedua, kami menggunakan metode interval

Pada pertidaksamaan pertama, kita buat perubahannya

maka kita sampai pada pertidaksamaan 2y 2 - kamu - 1 < 0 и, применив метод интервалов, получаем, что решениями будут те kamu, yang memenuhi pertidaksamaan -0,5< kamu < 1.

Dari mana, karena

kita mendapatkan ketidaksetaraan

yang dilakukan dengan x, untuk 2 x 2 - 3x - 5 < 0. Вновь применим метод интервалов

Sekarang, dengan mempertimbangkan solusi dari pertidaksamaan kedua dari sistem, kita akhirnya memperoleh

Menjawab:

Contoh 5

Larutan:

Ketimpangan setara dengan seperangkat sistem

atau

Terapkan metode interval atau

Menjawab:

Contoh 6

Larutan:

Ketimpangan sama saja dengan sebuah sistem

Membiarkan

kemudian kamu > 0,

dan pertidaksamaan pertama

sistem mengambil bentuk

atau, memperluas

trinomial kuadrat untuk faktor,

Menerapkan metode interval ke pertidaksamaan terakhir,

kita melihat bahwa solusinya memenuhi kondisi kamu> 0 akan menjadi segalanya kamu > 4.

Jadi, pertidaksamaan asli ekuivalen dengan sistem:

Jadi, solusi dari pertidaksamaan adalah semua

2.2. metode rasionalisasi.

Sebelumnya, metode rasionalisasi ketidaksetaraan tidak diselesaikan, tidak diketahui. Ini baru modern metode yang efektif solusi pertidaksamaan eksponensial dan logaritmik" (kutipan dari buku oleh Kolesnikova S.I.)
Dan bahkan jika guru mengenalnya, ada ketakutan - tetapi apakah ahli USE mengenalnya, dan mengapa mereka tidak memberikannya di sekolah? Ada situasi ketika guru berkata kepada siswa: "Di mana kamu mendapatkannya? Duduklah - 2."
Sekarang metode ini sedang dipromosikan di mana-mana. Dan untuk para ahli, ada pedoman yang terkait dengan metode ini, dan dalam "Edisi paling lengkap dari varian tipe ..." dalam solusi C3, metode ini digunakan.
METODENYA BAGUS!

"Meja Ajaib"

Di sumber lain

jika a >1 dan b >1, lalu log a b >0 dan (a -1)(b -1)>0;

jika a >1 dan 0

jika 0<sebuah<1 и b >1, lalu log a b<0 и (a -1)(b -1)<0;

jika 0<sebuah<1 и 00 dan (a -1)(b -1)>0.

Alasan di atas sederhana, tetapi sangat menyederhanakan solusi pertidaksamaan logaritmik.

Contoh 4

log x (x 2 -3)<0

Larutan:

Contoh 5

log 2 x (2x 2 -4x +6)≤log 2 x (x 2 +x )

Larutan:

Menjawab. (0; 0,5) U .

Contoh 6

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan ini, kita tulis (x-1-1) (x-1) sebagai ganti penyebut, dan hasil kali (x-1) (x-3-9 + x) sebagai ganti pembilang.

Menjawab : (3;6)

Contoh 7

Contoh 8

2.3. Substitusi non-standar.

Contoh 1

Contoh 2

Contoh 3

Contoh 4

Contoh 5

Contoh 6

Contoh 7

log 4 (3 x -1) log 0,25

Mari kita buat substitusi y=3 x -1; maka pertidaksamaan ini berbentuk

log 4 log 0,25
.

Karena log 0.25 = -log 4 = -(log 4 y -log 4 16)=2-log 4 y , maka pertidaksamaan terakhir kita tulis ulang menjadi 2log 4 y -log 4 2 y .

Mari kita buat penggantian t =log 4 y dan dapatkan pertidaksamaan t 2 -2t +≥0, solusinya adalah interval - .

Jadi, untuk menemukan nilai y, kami memiliki dua pertidaksamaan paling sederhana
Solusi dari himpunan ini adalah interval 0<у≤2 и 8≤у<+.

Oleh karena itu, pertidaksamaan asli ekuivalen dengan himpunan dua pertidaksamaan eksponensial,
yaitu agregat

Solusi dari pertidaksamaan pertama dari himpunan ini adalah interval 0<х≤1, решением второго – промежуток 2≤х<+. Jadi, pertidaksamaan asli berlaku untuk semua nilai x dari interval 0<х≤1 и 2≤х<+.

Contoh 8

Larutan:

Ketimpangan sama saja dengan sebuah sistem

Penyelesaian pertidaksamaan kedua, yang menentukan ODZ, adalah himpunan dari pertidaksamaan tersebut x,

untuk itu x > 0.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan pertama, kita buat perubahannya

Maka kita mendapatkan pertidaksamaan

atau

Himpunan solusi dari pertidaksamaan terakhir ditemukan dengan metode

interval: -1< T < 2. Откуда, возвращаясь к переменной x, kita mendapatkan

atau

Banyak dari mereka x, yang memenuhi pertidaksamaan terakhir

milik ODZ ( x> 0), oleh karena itu, adalah solusi untuk sistem,

dan karenanya ketidaksetaraan asli.

Menjawab:

2.4. Tugas dengan perangkap.

Contoh 1

.

Larutan. ODZ dari pertidaksamaan adalah semua x memenuhi kondisi 0 . Oleh karena itu, semua x dari interval 0

Contoh 2

log 2 (2x +1-x 2)>log 2 (2x-1 +1-x)+1.. ? Intinya adalah bahwa angka kedua jelas lebih besar dari

Kesimpulan

Tidak mudah untuk menemukan metode khusus untuk memecahkan masalah C3 dari berbagai macam sumber pendidikan yang berbeda. Selama pekerjaan yang dilakukan, saya dapat mempelajari metode non-standar untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritmik kompleks. Ini adalah: transisi setara dan metode interval umum, metode rasionalisasi , substitusi non-standar , tugas dengan jebakan di ODZ. Metode-metode ini tidak ada dalam kurikulum sekolah.

Dengan menggunakan metode yang berbeda, saya memecahkan 27 ketidaksetaraan yang ditawarkan di USE di bagian C, yaitu C3. Ketidaksetaraan dengan solusi dengan metode ini membentuk dasar dari kumpulan "Ketidaksetaraan Logaritmik C3 dengan Solusi", yang menjadi produk proyek dari aktivitas saya. Hipotesis yang saya kemukakan di awal proyek terbukti: masalah C3 dapat diselesaikan secara efektif jika metode ini diketahui.

Selain itu, saya menemukan fakta menarik tentang logaritma. Itu menarik bagi saya untuk melakukannya. Produk proyek saya akan berguna bagi siswa dan guru.

Kesimpulan:

Dengan demikian, tujuan proyek tercapai, masalahnya terpecahkan. Dan saya mendapatkan pengalaman paling lengkap dan serbaguna dalam aktivitas proyek di semua tahap pekerjaan. Selama mengerjakan proyek, dampak perkembangan utama saya adalah pada kompetensi mental, kegiatan yang berkaitan dengan operasi mental logis, pengembangan kompetensi kreatif, inisiatif pribadi, tanggung jawab, ketekunan, dan aktivitas.

Jaminan keberhasilan saat membuat proyek penelitian untuk saya menjadi: pengalaman sekolah yang signifikan, kemampuan untuk mengekstrak informasi dari berbagai sumber, memeriksa keandalannya, memberi peringkat berdasarkan signifikansi.

Selain pengetahuan mata pelajaran matematika secara langsung, ia memperluas keterampilan praktisnya di bidang ilmu komputer, memperoleh pengetahuan dan pengalaman baru di bidang psikologi, menjalin kontak dengan teman sekelas, dan belajar bekerja sama dengan orang dewasa. Selama kegiatan proyek, keterampilan dan kemampuan pendidikan umum organisasi, intelektual dan komunikatif dikembangkan.

literatur

1. Koryanov A. G., Prokofiev A. A. Sistem ketidaksetaraan dengan satu variabel (tugas khas C3).

2. Malkova A. G. Mempersiapkan Ujian Negara Bersatu dalam Matematika.

3. S. S. Samarova, Solusi pertidaksamaan logaritma.

4. Matematika. Kumpulan karya pelatihan yang diedit oleh A.L. Semyonov dan I.V. Yaschenko. -M.: MTsNMO, 2009. - 72 hal.-

Artikel ini dikhususkan untuk analisis tugas 15 dari ujian profil dalam matematika untuk tahun 2017. Dalam tugas ini, siswa ditawari untuk menyelesaikan pertidaksamaan, paling sering pertidaksamaan logaritmik. Meskipun mereka bisa menjadi indikasi. Artikel ini memberikan analisis contoh pertidaksamaan logaritma, termasuk yang mengandung variabel pada basis logaritma. Semua contoh diambil dari bank terbuka tugas USE dalam matematika (profil), jadi ketidaksetaraan seperti itu kemungkinan besar akan Anda temui pada ujian sebagai tugas 15. Ideal bagi mereka yang ingin mempelajari cara menyelesaikan tugas 15 dari yang kedua bagian dari profil GUNAKAN dalam waktu singkat dalam matematika untuk mendapatkan nilai yang lebih tinggi pada ujian.

Analisis tugas 15 dari ujian profil dalam matematika

Contoh 1. Selesaikan pertidaksamaan:

Dalam tugas 15 dari Unified State Examination dalam matematika (profil), ketidaksetaraan logaritmik sering ditemukan. Penyelesaian pertidaksamaan logaritmik dimulai dengan definisi kisaran nilai yang dapat diterima. Dalam hal ini, tidak ada variabel di basis kedua logaritma, hanya ada angka 11, yang sangat menyederhanakan tugas. Oleh karena itu, satu-satunya batasan yang kita miliki di sini adalah bahwa kedua ekspresi di bawah tanda logaritma adalah positif:

Title="(!LANG:Dirender oleh QuickLaTeX.com">!}

Pertidaksamaan pertama dalam sistem adalah pertidaksamaan kuadrat. Untuk menyelesaikannya, kita sebaiknya memfaktorkan ruas kiri. Saya pikir Anda tahu bahwa setiap trinomial persegi dalam bentuk Difaktorkan sebagai berikut:

dimana dan adalah akar-akar persamaan . Dalam hal ini, koefisiennya adalah 1 (ini adalah koefisien numerik di depan ). Koefisiennya juga sama dengan 1, dan koefisiennya adalah suku bebas, sama dengan -20. Akar trinomial paling mudah ditentukan menggunakan teorema Vieta. Persamaan kami diberikan, yang berarti jumlah akar dan akan sama dengan koefisien dengan tanda yang berlawanan, yaitu -1, dan produk dari akar-akar ini akan sama dengan koefisien, yaitu -20. Mudah ditebak bahwa akarnya adalah -5 dan 4.

Sekarang sisi kiri pertidaksamaan dapat difaktorkan: title="(!LANG:Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="163" style="vertical-align: -5px;"> Решаем это неравенство. График соответствующей функции — это парабола, ветви которой направлены вверх. Эта парабола пересекает ось !} x pada titik -5 dan 4. Oleh karena itu, solusi yang diinginkan untuk pertidaksamaan adalah interval . Bagi yang belum paham apa yang tertulis di sini, bisa lihat detailnya di video, mulai dari sekarang. Di sana Anda juga akan menemukan penjelasan rinci tentang bagaimana ketidaksetaraan kedua sistem diselesaikan. Ini sedang diselesaikan. Selain itu, jawabannya persis sama dengan pertidaksamaan pertama dari sistem. Artinya, himpunan yang tertulis di atas adalah luas dari nilai pertidaksamaan yang dapat diterima.

Jadi, dengan mempertimbangkan faktorisasi, pertidaksamaan asli berbentuk:

Dengan menggunakan rumus, mari kita tambahkan 11 ke pangkat dari ekspresi di bawah tanda logaritma pertama, dan pindahkan logaritma kedua ke sisi kiri pertidaksamaan, sambil mengubah tandanya menjadi kebalikannya:

Setelah reduksi kita peroleh:

Pertidaksamaan terakhir, karena peningkatan fungsi , setara dengan pertidaksamaan , yang penyelesaiannya adalah interval . Tetap melintasinya dengan area nilai ketidaksetaraan yang dapat diterima, dan ini akan menjadi jawaban untuk seluruh tugas.

Jadi, jawaban yang diinginkan untuk tugas memiliki bentuk:

Kami menemukan tugas ini, sekarang kami beralih ke contoh berikutnya dari tugas 15 Ujian Negara Terpadu dalam matematika (profil).

Contoh 2. Selesaikan pertidaksamaan:

Kami memulai solusinya dengan menentukan kisaran nilai yang dapat diterima dari ketidaksetaraan ini. Basis setiap logaritma harus berupa bilangan positif yang tidak sama dengan 1. Semua ekspresi di bawah tanda logaritma harus positif. Penyebut pecahan tidak boleh nol. Kondisi terakhir ekuivalen dengan , karena jika tidak, kedua logaritma dalam penyebut akan hilang. Semua kondisi ini menentukan kisaran nilai yang dapat diterima dari pertidaksamaan ini, yang diberikan oleh sistem pertidaksamaan berikut:

Title="(!LANG:Dirender oleh QuickLaTeX.com">!}

Dalam rentang nilai yang dapat diterima, kita dapat menggunakan rumus transformasi logaritma untuk menyederhanakan ruas kiri pertidaksamaan. Menggunakan rumus hilangkan penyebutnya:

Sekarang kita hanya memiliki logaritma dasar. Ini sudah lebih nyaman. Selanjutnya, kita menggunakan formula, dan juga formula untuk membawa ekspresi worth glory ke bentuk berikut:

Dalam perhitungan, kami menggunakan apa yang berada dalam kisaran nilai yang dapat diterima. Dengan menggunakan substitusi, kita sampai pada ekspresi:

Mari kita gunakan satu substitusi lagi: . Akibatnya, kami sampai pada hasil berikut:

Jadi, secara bertahap kembali ke variabel awal. Pertama ke variabel: