K 4 primjena svojstava aritmetičkog kvadratnog korijena. Kvadratni korijen. Detaljna teorija s primjerima. Glavno svojstvo korijena
U ovom članku ćemo obraditi glavne svojstva korena... Počnimo sa svojstvima aritmetičkog kvadratnog korijena, dajmo njihove formulacije i dajmo dokaze. Nakon toga ćemo se pozabaviti svojstvima aritmetičkog korijena n-tog stepena.
Navigacija po stranici.
Svojstva kvadratnog korijena
Na ovom mjestu ćemo se pozabaviti sljedećim glavnim svojstva aritmetičkog kvadratnog korijena:
U svakoj od pisanih jednakosti, lijeva i desna strana mogu se zamijeniti, na primjer, jednakost se može prepisati kao 
... U ovom "obrnutom" obliku, svojstva aritmetičkog kvadratnog korijena primjenjuju se kada pojednostavljenje izraza jednako često kao i u "direktnom" obliku.
Dokaz prva dva svojstva temelji se na definiciji aritmetičkog kvadratnog korijena i dalje. A da bi se potkrijepilo posljednje svojstvo aritmetičkog kvadratnog korijena, morat ćete zapamtiti.
Pa počnimo s dokaz svojstva aritmetičkog kvadratnog korijena proizvoda dva nenegativna broja:. Za to je, prema definiciji aritmetičkog kvadratnog korijena, dovoljno pokazati da je to nenegativan broj čiji je kvadrat jednak a · b. Uradimo to. Vrijednost izraza je negativna kao proizvod nenegativnih brojeva. Svojstvo stepena proizvoda dva broja omogućava vam da napišete jednakost 
, a budući da je po definiciji aritmetičkog kvadratnog korijena i, tada.
Slično, dokazano je da je aritmetički kvadratni korijen proizvoda k nenegativnih faktora a 1, a 2, ..., a k jednak umnošku aritmetičkih kvadratnih korijena ovih faktora. Zaista ,. Ova jednakost implicira da.
Evo nekoliko primjera: i.
Hajde sada da dokažemo svojstvo aritmetičkog kvadratnog korijena količnika:. Svojstvo količnika u prirodnom stepenu omogućava nam da napišemo jednakost 
, a 
, a postoji i negativan broj. Ovo je dokaz.
Na primjer, i 
.
Vrijeme je za rastavljanje svojstvo aritmetičkog kvadratnog korijena kvadrata broja, u obliku jednakosti, piše se kao. Da biste to dokazali, razmotrite dva slučaja: za a≥0 i za a<0 .
Očigledno, jednakost vrijedi za a≥0. Takođe je lako uvideti da za a<0
будет верно равенство . Действительно, в этом случае −a>0 i (−a) 2 = a 2. Dakle, 
, po potrebi.
Evo nekoliko primjera: 
i 
.
Svojstvo upravo dokazanog kvadratnog korijena omogućava nam da potkrijepimo sljedeći rezultat, gdje je a bilo koji realan broj, a m bilo koji. Zaista, svojstvo podizanja stepena na stepen omogućava nam da zamijenimo snagu a 2 m izrazom (a m) 2, tada 
.
Na primjer, 
i 
.
Svojstva n -tog korijena
Prvo navedimo glavne svojstva n-tih korijena:
Sve zabilježene jednakosti ostaju važeće ako se u njih zamijene lijeva i desna strana. U ovom obliku se također često koriste, uglavnom pri pojednostavljivanju i transformiranju izraza.
Dokaz svih zvučnih svojstava korijena temelji se na definiciji aritmetičkog korijena n-tog stupnja, na svojstvima stupnja i na definiciji modula broja. Dokažimo ih po prioritetu.
Počnimo s dokazima svojstva n -tog korijena proizvoda ... Za negativne a i b, vrijednost izraza je također negativna, poput proizvoda nenegativnih brojeva. Svojstvo proizvoda u prirodnom stepenu omogućava nam da napišemo jednakost 
... Po definiciji aritmetičkog korijena n -tog stepena i, prema tome, 
... Ovo dokazuje svojstvo korijena koji se razmatra.
Ovo svojstvo se dokazuje slično za proizvod k faktora: za nenegativne brojeve a 1, a 2, ..., a n, 
i.
Evo primjera korištenja svojstva n -tog korijena proizvoda: 
i.
Dokažimo svojstvo korijena količnika... Za a≥0 i b> 0 uslov je ispunjen i 
.
Pokažimo primjere: 
i 
.
Idemo dalje. Dokažimo svojstvo n -tog korijena broja na n -tu stepen... Odnosno, mi ćemo to dokazati 
za svaki pravi a i prirodni m. Za a≥0 imamo i, što dokazuje jednakost i jednakost očigledno. Za<0
имеем и 
(posljednji odlomak vrijedi zbog svojstva stepena s parnom eksponentom), što dokazuje jednakost, i je istina zbog činjenice da smo, govoreći o korijenu neparnog stepena, uzeli 
za bilo koji negativan broj c.
Evo primjera korištenja raščlanjenog korijenskog svojstva: i 
.
Prelazimo na dokaz svojstva korijena iz korijena. Zamijenit ćemo mjesta desne i lijeve strane, odnosno dokazati valjanost jednakosti, što će značiti valjanost izvorne jednakosti. Za negativan broj a, korijen korijena oblika je nenegativan broj. Sjećajući se svojstva podizanja stepena na stepen i koristeći definiciju korijena možemo zapisati lanac jednakosti oblika 
... Ovo dokazuje svojstvo koje se razmatra kao korijen iz korijena.
Svojstvo korijena iz korijena iz korijena itd. Dokazuje se na sličan način. Zaista, 
.
Na primjer, 
i.
Dokažimo sljedeće. svojstvo smanjenja eksponenta korijena... Za to je, na temelju definicije korijena, dovoljno pokazati da postoji nenegativan broj, koji je, kada se podigne na stepen n · m, jednak a m. Uradimo to. Jasno je da ako je broj a negativan, tada je n-ti korijen broja a nenegativan broj. Pri čemu 
, čime je dokaz potpun.
Evo primjera korištenja raščlanjenog root svojstva :.
Dokažimo sljedeće svojstvo - svojstvo korijena stupnja oblika 
... Očigledno, za a≥0, stepen je nenegativan broj. Štaviše, njen n-ti stepen je zaista jednak m, zaista ,. Ovo dokazuje svojstvo stepena koji se razmatra.
Na primjer, 
.
Idemo dalje. Dokažimo da za sve pozitivne brojeve a i b za koji je uvjet a , odnosno a≥b. A to je u suprotnosti s uvjetom a
Kao primjer predstavljamo ispravnu nejednakost 
.
Konačno, ostaje da se dokaže posljednje svojstvo n -tog korijena. Dokažimo prvo prvi dio ovog svojstva, odnosno dokazat ćemo da je za m> n i 0 Slično, kontradiktornošću se dokazuje da je za m> n i a> 1 uslov ispunjen. Navedimo primjere primjene dokazane osobine korijena u konkretnim brojevima. Na primjer, nejednakosti i su istinite.
, odnosno a n ≤a m. I rezultirajuća nejednakost za m> n i 0
Bibliografija.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: udžbenik za 8. razred obrazovne institucije.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i drugi Algebra i početak analize: Udžbenik za 10 - 11 razreda obrazovnih ustanova.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (vodič za kandidate u tehničkim školama).
Ponovo sam pogledao znak ... I idemo!
Počnimo s jednostavnim:
Samo minut. ovo, što znači da možemo pisati ovako:
Jasno? Evo sljedeće za vas:
Koreni dobijenih brojeva nisu tačno izvučeni? Nije važno - evo nekoliko primjera:
Ali šta ako faktori nisu dva, već više? Isto! Formula množenja korijena radi sa bilo kojim brojem faktora:
Sada potpuno samostalno:
Odgovori: Dobro urađeno! Slažem se, sve je vrlo jednostavno, najvažnije je znati tablicu množenja!
Podjela korijena
Shvatili smo množenje korijena, sada ćemo prijeći na svojstvo dijeljenja.
Dopustite mi da vas podsjetim da formula općenito izgleda ovako:
Ovo znači to korijen količnika jednak je količniku korijena.
Pa, hajde da to shvatimo primjerima:
To je sva nauka. Evo primjera:
Nije sve tako glatko kao u prvom primjeru, ali, kao što vidite, nema ništa komplicirano.
Ali šta ako dođe do ovakvog izraza:
Samo trebate primijeniti formulu u suprotnom smjeru:
I evo primjera:
Takođe možete naići na ovaj izraz:
Sve je isto, samo se ovdje morate sjetiti kako prevesti razlomke (ako se ne sjećate, pogledajte temu i vratite se!). Zapamtio? Sada odlučujemo!
Siguran sam da ste se nosili sa svime, sa svime, sada pokušajmo izgraditi korijene u moći.
Eksponentiranje
Ali šta se dešava ako je kvadratni korijen na kvadrat? Jednostavno je, zapamtite značenje kvadratnog korijena broja - ovo je broj čiji je kvadratni korijen jednak.
Dakle, ako broj, čiji je kvadratni korijen jednak, podignemo na kvadrat, što onda dobivamo?
Pa, naravno,!
Pogledajmo primjere:
Jednostavno je, zar ne? A ako je korijen u različitom stepenu? Uredu je!
Slijedite istu logiku i zapamtite svojstva i moguće radnje sa stupnjevima.
Pročitajte teoriju o temi "" i sve će vam postati vrlo jasno.
Na primjer, evo izraza:
U ovom primjeru stepen je paran, ali šta ako je neparan? Opet, primijenite svojstva snage i faktor sve:
Čini se da je s ovim sve jasno, ali kako izvući korijen broja na stepen? Na primjer, ovo je:
Prilično jednostavno, zar ne? A ako je stepen veći od dva? Slijedimo istu logiku koristeći svojstva stepena:
Pa, je li sve jasno? Zatim sami riješite primjere:
A evo i odgovora:
Uvod pod znakom korijena
Šta nismo naučili da radimo sa korijenima! Ostaje samo vježbati unos broja pod znakom korijena!
To je lako!
Recimo da imamo broj
Šta možemo učiniti s tim? Pa, naravno, sakrijte tri ispod korijena, imajući na umu da je tri kvadratni korijen iz!
Zašto nam ovo treba? Da, samo da proširimo naše mogućnosti pri rješavanju primjera:
Kako vam se sviđa ovo svojstvo korijena? Čini li vam život mnogo lakšim? Za mene, to je tačno! Samo moramo zapamtiti da pozitivne brojeve možemo uvesti samo pod znak kvadratnog korijena.
Riješite ovaj primjer sami -
Jeste li se snašli? Pogledajmo šta biste trebali dobiti:
Dobro urađeno! Uspjeli ste unijeti broj pod znak root! Prijeđimo na jednako važan - pogledajmo kako uporediti brojeve koji sadrže kvadratni korijen!
Poređenje korena
Zašto bismo trebali naučiti uspoređivati brojeve koji sadrže kvadratni korijen?
Veoma jednostavno. Često, u velikim i dugim izrazima koji se nalaze na ispitu, dobivamo iracionalan odgovor (sjećate li se šta je to? Vi i ja smo već pričali o tome danas!)
Moramo postaviti primljene odgovore na koordinatnu liniju, na primjer, kako bismo odredili koji interval odgovara za rješavanje jednadžbe. I tu nastaje začkoljica: nema kalkulatora na ispitu, a bez njega kako zamisliti koji je broj veći, a koji manji? To je to!
Na primjer, definirajte što je veće: ili?
Ne možete odmah reći. Pa, upotrijebimo analizirano svojstvo unosa broja pod znakom korijena?
Onda samo naprijed:
I, očito, što je veći broj pod znakom korijena, veći je i sam korijen!
One. ako onda,.
Iz ovoga čvrsto zaključujemo da. I niko nas neće uvjeriti u suprotno!
Izdvajanje korijena iz velikog broja
Prije toga smo uveli faktor pod znakom korijena, ali kako ga ukloniti? Samo morate to uzeti u obzir i izvući ono što je izvučeno!
Bilo je moguće krenuti drugim putem i razgraditi se na druge faktore:
Nije loše, ha? Bilo koji od ovih pristupa je ispravan, odlučite šta vam najviše odgovara.
Faktoring je vrlo koristan pri rješavanju nestandardnih zadataka poput ovog:
Ne bojimo se, ali djelujemo! Razložimo svaki faktor pod korijenom na zasebne faktore:
Sada pokušajte sami (bez kalkulatora! Neće biti na ispitu):
Je li ovo kraj? Ne stajte na pola puta!
To je sve, nije tako strašno, zar ne?
Dogodilo se? Bravo, tako je!
Sada pokušajte riješiti ovaj primjer:
A primjer je tvrd orah pa jednostavno ne možete shvatiti kako mu pristupiti. Ali mi, naravno, možemo izdržati.
Pa, počnimo s faktoringom? Imajte na umu odmah da broj možete podijeliti sa (sjetite se kriterija djeljivosti):
Sada pokušajte sami (opet, bez kalkulatora!):
Pa, je li uspjelo? Bravo, tako je!
Hajde da rezimiramo
- Kvadratni korijen (aritmetički kvadratni korijen) negativnog broja je nenegativan broj čiji je kvadrat jednak.
. - Ako samo uzmemo kvadratni korijen nečega, uvijek dobijemo jedan negativan rezultat.
- Svojstva aritmetičkog korijena:
- Kada se uspoređuju kvadratni korijeni, mora se imati na umu da što je veći broj pod znakom korijena, veći je i sam korijen.
Kako vam se sviđa kvadratni korijen? Sve jasno?
Pokušali smo vam bez vode objasniti sve što trebate znati na ispitu za kvadratni korijen.
Sada ste vi na redu. Napišite nam je li vam to teška tema ili ne.
Jeste li naučili nešto novo ili vam je sve već bilo jasno.
Napišite u komentarima i sretno na ispitima!
\ (\ sqrt (a) = b \) ako \ (b ^ 2 = a \), gdje \ (a≥0, b≥0 \)
Primjeri:
\ (\ sqrt (49) = 7 \) budući da \ (7 ^ 2 = 49 \)
\ (\ sqrt (0.04) = 0.2 \) budući da \ (0.2 ^ 2 = 0.04 \)
Kako izvući kvadratni korijen iz broja?
Da biste izvukli kvadratni korijen broja, morate sebi postaviti pitanje: koji će broj u kvadratu dati izraz pod korijenom?
Na primjer... Izdvojite korijen: a) \ (\ sqrt (2500) \); b) \ (\ sqrt (\ frac (4) (9)) \); c) \ (\ sqrt (0.001) \); d) \ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) \)
a) Koji će broj na kvadrat dati \ (2500 \)?
\ (\ sqrt (2500) = 50 \)
b) Koji će broj na kvadrat biti \ (\ frac (4) (9) \)?
\ (\ sqrt (\ frac (4) (9)) \) \ (= \) \ (\ frac (2) (3) \)
c) Koji će broj na kvadrat dati \ (0.0001 \)?
\ (\ sqrt (0,0001) = 0,01 \)
d) Koji će broj na kvadrat dati \ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) \)? Da biste odgovorili na pitanje, morate prevesti na pogrešno.
\ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) = \ sqrt (\ frac (49) (16)) = \ frac (7) (6) \)
Komentar: Iako \ (- 50 \), \ (- \ frac (2) (3) \), \ (- 0,01 \), \ (- \ frac (7) (6) \), također odgovorite na pitanja, ali se ne uzimaju u obzir, budući da je kvadratni korijen uvijek pozitivan.
Glavno svojstvo korijena
Kao što znate, u matematici svaka radnja ima suprotno. Sabiranje ima oduzimanje, množenje ima dijeljenje. Inverzija kvadrata je kvadratnom korijenu. Stoga se ove radnje međusobno poništavaju:
\ ((\ sqrt (a)) ^ 2 = a \)
Ovo je glavno svojstvo korijena, koje se najčešće koristi (uključujući i OGE)
Primjer ... (zadatak OGE -a). Nađi vrijednost izraza \ (\ frac ((2 \ sqrt (6)) ^ 2) (36) \)
Rešenje :\ (\ frac ((2 \ sqrt (6)) ^ 2) (36) = \ frac (4 \ cdot (\ sqrt (6)) ^ 2) (36) = \ frac (4 \ cdot 6) (36 ) = \ frac (4) (6) = \ frac (2) (3) \)
Primjer ... (zadatak OGE -a). Pronađite vrijednost izraza \ ((\ sqrt (85) -1) ^ 2 \)
Rešenje:
Odgovor: \ (86-2 \ sqrt (85) \)Naravno, pri radu s kvadratnim korijenom morate koristiti i druge.
Primjer
... (zadatak OGE -a). Pronađite vrijednost izraza \ (5 \ sqrt (11) \ cdot 2 \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (22) \)
Rešenje:
Odgovor: \(220\)
4 pravila koja se uvijek zaboravljaju
Koren nije uvek pronađen
Primjer: \ (\ sqrt (2) \), \ (\ sqrt (53) \), \ (\ sqrt (200) \), \ (\ sqrt (0,1) \) itd. - nije uvijek moguće izdvojiti korijen iz broja i to je normalno!
Koren broja, takođe broj
Nije potrebno pozivati se na \ (\ sqrt (2) \), \ (\ sqrt (53) \), nekako posebno. To su brojevi, ali ne i cijeli brojevi, da, ali ne sve se u našem svijetu mjeri cijelim brojevima.
Korijen se vadi samo iz negativnih brojeva
Stoga u udžbenicima nećete vidjeti takve unose \ (\ sqrt (-23) \), \ (\ sqrt (-1) \) itd.
Naslov: Samostalni i kontrolni radovi iz algebre i geometrije za 8. razred.
Priručnik sadrži samostalne i kontrolne radove o svim najvažnijim temama iz predmeta algebra i geometrija u 8. razredu.
Radovi se sastoje od 6 varijanti tri nivoa težine. Didaktički materijali namijenjeni su organizaciji diferenciranog samostalnog rada učenika.
SADRŽAJ
ALGEBRA 4
P-1 Racionalni izraz. Smanjivanje razlomaka 4
C-2 Zbrajanje i oduzimanje razlomaka 5
K-1 Racionalne frakcije. Zbrajanje i oduzimanje razlomaka 7
C-3 Množenje i dijeljenje razlomaka. Podizanje razlomka na stepen 10
C-4 Transformacija racionalnog izraza 12
S-5 Inverzna proporcionalnost i njen grafikon 14
K-2 Racionalni razlomci 16
C-6 Aritmetički kvadratni korijen od 18
C-7 Jednačina x2 = a. Funkcija y = y [x 20
S-8 Kvadratni korijen proizvoda, frakcija, snaga 22
K-3 Aritmetički kvadratni korijen i njegova svojstva 24
C-9 Uvođenje i uklanjanje množitelja u kvadratnim korijenima 27
C-10 Pretvaranje izraza koji sadrže kvadratne korijene 28
K-4 Primjena svojstava aritmetičkog kvadratnog korijena 30
P-11 Nepotpune kvadratne jednadžbe 32
S-12 Formula za korijene kvadratne jednadžbe 33
S-13 Rješavanje problema pomoću kvadratnih jednadžbi. Vijetina teorema 34
K-5 Kvadratne jednadžbe 36
P-14 Frakcijske racionalne jednadžbe 38
S-15 Primjena frakcijskih racionalnih jednadžbi. Rješavanje problema 39
K-6 Frakcijske racionalne jednadžbe 40
C-16 Svojstva numeričkih nejednačina 43
K-7 Numeričke nejednakosti i njihova svojstva 44
S-17 Linearne nejednakosti s jednom varijablom 47
S-18 Sistemi linearnih nejednakosti 48
K-8 Linearne nejednakosti i sistemi nejednakosti s jednom varijablom 50
S-19 Stepen sa negativnim pokazateljem 52
K-9 stupanj s cijelim brojem 54
K-10 Godišnji test 56
GEOMETRIJA (prema Pogorelovu) 58
S-1 Svojstva i znakovi paralelograma. "58
C-2 Pravokutnik. Rhombus. Kvadrat 60
K-1 paralelogram 62
S-3 Thalesova teorema. Srednja linija trokuta 63
C-4 Trapez. Srednja linija trapeza 66
K-2 trapez. Srednje linije trokuta i trapeza ... 68
C-5 Pitagorina teorema 70
S-6 Suprotna teorema Pitagorinoj teoremi. Okomito i koso 71
C-7 Nejednakost trougla 73
K-3 Pitagorina teorema 74
C-8 Rješenje za pravi trokut 76
C-9 Svojstva trigonometrijskih funkcija 78
K-4 Pravokutni trokut (opći test) 80
S-10 Koordinate središnje točke segmenta. Rastojanje između tačaka. Jednačina kružnice 82
C-11 Jednadžba ravne linije 84
K-5 kartezijanske koordinate 86
Kretanje S-12 i njegove osobine. Centralna i aksijalna simetrija. Navrši 88
S-13. Paralelni prijenos 90
S-14 Vektorski koncept. Jednakost vektora 92
S-15 Radnje s vektorima u koordinatnom obliku. Kolinearni vektori 94
S-16 Radnje s vektorima u geometrijskom obliku 95
C-17 Dot proizvod 98
K-6 Vektori 99
K-7 Godišnji pregled 102
GEOMETRIJA (prema Atanasjanu) 104
S-1 Svojstva i znakovi paralelograma 104
C-2 Pravokutnik. Rhombus. Kvadrat 106
K-1 četverokut 108
S-3 Površina pravokutnika, kvadrat 109
S-4 Područje paralelograma, romb, trokut 111
S-5 Trapezijsko područje 113
C-6 Pitagorina teorema 114
K-2 kvadrati. Pitagorina teorema 116
C-7 Definicija sličnih trokuta. Svojstvo simetrale ugla trokuta 118
S-8 Znakovi sličnosti trokuta 120
K-3 Sličnost trokuta 122
S-9 Primjena sličnosti u rješavanju problema 124
C-10 Odnos stranica i kutova pravokutnog trokuta 126
K-4 Primjena sličnosti u rješavanju problema. Omjeri stranica i kutova pravokutnog trokuta 128
S-11 Tangenta na krug 130
S-12 Centar i upisani uglovi 132
S-13 Teorema o proizvodu segmenata ukrštajućih tetiva. Čudesne tačke trougla 134
S-14 Upisani i opisani krugovi 136
K-5 Opseg 137
C-15 Vektorsko sabiranje i oduzimanje 139
S-16 Množenje vektora brojem 141
S-17 Srednja linija trapeza 142
K-6 Vektori. Primjena vektora na rješavanje problema 144
K-7 Godišnji pregled 146
ODGOVORI 148
LITERATURA 157
PREDGOVOR
.
1. Jedna relativno mala knjiga sadrži cijeli niz testova (uključujući završne testove) za cijeli kurs algebre i geometrije 8. razreda, pa je dovoljno kupiti jedan komplet knjiga po razredu.
Testni radovi osmišljeni su za pouku, samostalan rad - 20-35 minuta, ovisno o temi. Radi lakšeg korištenja knjige, naslov svakog nezavisnog i testnog rada odražava njegovu temu.
2. Zbirka omogućava različitu kontrolu znanja, budući da su zadaci raspoređeni na tri nivoa složenosti A, B i C. Nivo A odgovara obaveznim programskim zahtjevima, B - prosječnom nivou složenosti, predviđeni su zadaci nivoa C za učenike sa povećanim interesovanjem za matematiku, a takođe i za upotrebu u učionicama, školama, gimnazijama i srednjim školama sa naprednim studijem matematike. Za svaki nivo postoje 2 susjedne ekvivalentne opcije (kako su obično napisane na tabli), pa je jedna knjiga na stolu dovoljna za čas.
Besplatno preuzmite e-knjigu u prikladnom formatu, gledajte i čitajte:
Preuzmite knjigu Samoučenje i testovi iz algebre i geometrije za 8. razred. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004. - fileskachat.com, brzo i besplatno preuzimanje.
- Samostalni i kontrolni rad iz geometrije za 11. razred. Goloborodko V.V., Ershova A.P., 2004
- Samostalni i testni rad iz algebre i geometrije za 9. razred. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004
- Samostalni i kontrolni radovi iz algebre i geometrije, ocjena 8, Ershova A.P., Goloborodko V.V., Ershova A.S., 2013
