Rezolvați ecuația pentru cramer. Rezolvarea ecuațiilor liniare prin metoda Kramer în matematică

Metoda lui Cramer se bazează pe utilizarea determinanților în rezolvarea sistemelor ecuatii lineare... Acest lucru accelerează foarte mult procesul de soluție.

Metoda lui Cramer poate fi folosită pentru a rezolva un sistem de atâtea ecuații liniare câte necunoscute există în fiecare ecuație. Dacă determinantul sistemului nu este egal cu zero, atunci metoda lui Cramer poate fi utilizată în soluție, dacă este egal cu zero, atunci nu poate. În plus, metoda lui Cramer poate fi folosită pentru a rezolva sisteme de ecuații liniare care au o soluție unică.

Definiție... Determinantul, compus din coeficienții necunoscutelor, se numește determinant de sistem și se notează cu (delta).

Determinanți

se obțin prin înlocuirea coeficienților cu termenii liberi necunoscuți corespunzători:

;

.

teorema lui Cramer. Dacă determinantul sistemului este diferit de zero, atunci sistemul de ecuații liniare are o soluție unică, iar necunoscuta este egală cu raportul determinanților. Numitorul conține determinantul sistemului, iar numărătorul conține determinantul obținut din determinantul sistemului prin înlocuirea coeficienților din această necunoscută cu termeni liberi. Această teoremă este valabilă pentru un sistem de ecuații liniare de orice ordin.

Exemplul 1. Rezolvați un sistem de ecuații liniare:

Conform teorema lui Cramer noi avem:

Deci, soluția sistemului (2):

calculator online, metoda de rezolvare a lui Cramer.

Trei cazuri la rezolvarea sistemelor de ecuații liniare

După cum este clar din teoremele lui Cramer, la rezolvarea unui sistem de ecuații liniare pot apărea trei cazuri:

Primul caz: un sistem de ecuații liniare are o soluție unică

(sistemul este consistent și definit)

Al doilea caz: un sistem de ecuații liniare are un număr infinit de soluții

(sistemul este consistent și nedefinit)

** ,

acestea. coeficienţii necunoscutelor şi termenilor liberi sunt proporţionali.

Al treilea caz: sistemul de ecuații liniare nu are soluții

(sistem inconsecvent)

Deci sistemul m ecuații liniare cu n sunt numite variabile inconsecventă dacă nu are soluții, și comun daca are cel putin o solutie. Se numește un sistem comun de ecuații care are o singură soluție un anumit, și mai mult de unul - nedefinit.

Exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare prin metoda lui Cramer

Să fie dat sistemul

.

Bazat pe teorema lui Cramer

………….
,

Unde
-

determinant de sistem. Restul determinanților se vor obține prin înlocuirea coloanei cu coeficienții variabilei corespunzătoare (necunoscute) cu termeni liberi:

Exemplul 2.

Prin urmare, sistemul este definit. Pentru a-i găsi soluția, calculăm determinanții

Conform formulelor lui Cramer, găsim:

Deci, (1; 0; -1) este singura soluție a sistemului.

Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți folosi calculatorul online care rezolvă metoda Cramer.

Dacă în sistemul de ecuații liniare în una sau mai multe ecuații nu există variabile, atunci în determinant elementele corespunzătoare sunt egale cu zero! Acesta este următorul exemplu.

Exemplul 3. Rezolvați sistemul de ecuații liniare prin metoda lui Cramer:

.

Soluţie. Găsim determinantul sistemului:

Priviți cu atenție sistemul de ecuații și determinantul sistemului și repetați răspunsul la întrebarea în care cazuri unul sau mai multe elemente ale determinantului sunt egale cu zero. Deci, determinantul nu este egal cu zero, prin urmare, sistemul este definit. Pentru a-i găsi soluția, calculăm determinanții pentru necunoscute

Conform formulelor lui Cramer, găsim:

Deci, soluția sistemului este (2; -1; 1).

Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți folosi calculatorul online care rezolvă metoda Cramer.

Înapoi la începutul paginii

Continuăm să rezolvăm împreună sisteme prin metoda lui Cramer

După cum sa menționat deja, dacă determinantul sistemului este egal cu zero, iar determinanții pentru necunoscute nu sunt egali cu zero, sistemul este inconsecvent, adică nu are soluții. Să ilustrăm cu următorul exemplu.

Exemplul 6. Rezolvați sistemul de ecuații liniare prin metoda lui Cramer:

Soluţie. Găsim determinantul sistemului:

Determinantul sistemului este egal cu zero, prin urmare, sistemul de ecuații liniare este fie inconsecvent și definit, fie inconsecvent, adică nu are soluții. Pentru a fi mai precis, calculăm determinanții pentru necunoscute

Determinanții pentru necunoscute nu sunt egali cu zero, prin urmare, sistemul este inconsecvent, adică nu are soluții.

Pentru a verifica soluțiile sistemelor de ecuații 3 X 3 și 4 X 4, puteți folosi calculatorul online care rezolvă metoda Cramer.

În problemele pe sisteme de ecuații liniare, există și acelea în care, pe lângă literele care denotă variabile, există și alte litere. Aceste litere reprezintă un anumit număr, cel mai adesea un număr real. În practică, astfel de ecuații și sisteme de ecuații sunt conduse de probleme de căutare a proprietăților generale ale unor fenomene și obiecte. Adică ai inventat vreunul material nou sau un dispozitiv și pentru a descrie proprietățile sale care sunt comune, indiferent de dimensiunea sau numărul unei instanțe, trebuie să rezolvați un sistem de ecuații liniare, în care în loc de unii coeficienți de variabile - litere. Nu trebuie să mergi departe pentru exemple.

Următorul exemplu este pentru o sarcină similară, doar numărul de ecuații, variabile și litere care denotă un număr real crește.

Exemplul 8. Rezolvați sistemul de ecuații liniare prin metoda lui Cramer:

Soluţie. Găsim determinantul sistemului:

Găsiți determinanți pentru necunoscute

2. Rezolvarea sistemelor de ecuații prin metoda matricei (folosind matricea inversă).
3. Metoda Gauss pentru rezolvarea sistemelor de ecuații.

metoda lui Cramer.

Metoda lui Cramer este folosită pentru a rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare ( SLAU).

Formule pentru exemplul unui sistem de două ecuații în două variabile.
Dat: Rezolvați sistemul prin metoda lui Cramer

Variabile Xși la.
Soluţie:
Să găsim determinantul matricei, compus din coeficienții sistemului Calculul determinanților. :

Aplicam formulele lui Cramer si gasim valorile variabilelor:
și .
Exemplul 1:
Rezolvați sistemul de ecuații:

referitor la variabile Xși la.
Soluţie:


Să înlocuim prima coloană din acest determinant cu coloana de coeficienți din partea dreaptă a sistemului și să găsim valoarea acesteia:

Să facem o acțiune similară, înlocuind a doua coloană în primul determinant:

Aplicabil formulele lui Cramerși găsiți valorile variabilelor:
și .
Răspuns:
Cometariu: Această metodă poate fi folosită pentru a rezolva sisteme de dimensiuni mai mari.

Cometariu: Dacă se dovedește că și este imposibil de împărțit la zero, atunci ei spun că sistemul nu are o singură soluție. În acest caz, sistemul are fie o infinitate de soluții, fie nicio soluție.

Exemplul 2(numar infinit de solutii):

Rezolvați sistemul de ecuații:

referitor la variabile Xși la.
Soluţie:
Să găsim determinantul matricei, compus din coeficienții sistemului:

Rezolvarea sistemelor prin metoda substituției.

Prima dintre ecuațiile din sistem este egalitatea, ceea ce este adevărat pentru orice valoare a variabilelor (deoarece 4 este întotdeauna egal cu 4). Deci a mai rămas o singură ecuație. Aceasta este ecuația pentru relația dintre variabile.
Obținută, soluția sistemului este orice pereche de valori ale variabilelor legate prin egalitate.
Soluția generală va fi scrisă astfel:
Soluții particulare pot fi determinate prin alegerea unei valori arbitrare a lui y și calculând x folosind această egalitate de conexiune.

etc.
Există o infinitate de astfel de soluții.
Răspuns: decizie comună
Soluții private:

Exemplul 3(fără soluții, sistemul este incompatibil):

Rezolvați sistemul de ecuații:

Soluţie:
Să găsim determinantul matricei, compus din coeficienții sistemului:

Formulele lui Cramer nu pot fi aplicate. Să rezolvăm acest sistem prin metoda substituției

A doua ecuație a sistemului este egalitatea, ceea ce nu este adevărat pentru nicio valoare a variabilelor (desigur, deoarece -15 nu este egal cu 2). Dacă una dintre ecuațiile sistemului nu este adevărată pentru nicio valoare a variabilelor, atunci întregul sistem nu are soluții.
Răspuns: fara solutii

Metoda lui Cramer este utilizată pentru a rezolva sisteme de ecuații algebrice liniare (SLAE), în care numărul de variabile necunoscute este egal cu numărul de ecuații, iar determinantul matricei de bază este diferit de zero. În acest articol, vom analiza modul în care variabilele necunoscute sunt găsite folosind metoda lui Cramer și vom obține formule. După aceea, ne întoarcem la exemple și descriem în detaliu soluția sistemelor de ecuații algebrice liniare prin metoda lui Cramer.

Navigare în pagină.

Metoda lui Cramer - derivarea formulelor.

Să presupunem că trebuie să rezolvăm un sistem de ecuații liniare de forma

Unde x 1, x 2, ..., x n - variabile necunoscute, a i j, i = 1, 2,…, n, j = 1, 2,…, n- coeficienți numerici, b 1, b 2,…, b n - termeni liberi. O soluție SLAE este un set de valori x 1, x 2,..., x n la care toate ecuațiile sistemului se transformă în identități.

Sub formă de matrice, acest sistem poate fi scris ca A ⋅ X = B, unde - matricea principală a sistemului, elementele sale sunt coeficienții variabilelor necunoscute, - matricea este coloana de termeni liberi și - matricea este coloana variabilelor necunoscute. După găsirea variabilelor necunoscute x 1, x 2,…, x n, matricea devine o soluție a sistemului de ecuații și egalitatea A ⋅ X = B devine o identitate.

Vom presupune că matricea A este nedegenerată, adică determinantul ei este diferit de zero. În acest caz, sistemul de ecuații algebrice liniare are o soluție unică care poate fi găsită prin metoda lui Cramer. (Metodele de rezolvare a sistemelor la sunt discutate în secțiunea de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare).

Metoda lui Cramer se bazează pe două proprietăți ale determinantului matricei:

Deci, să începem să găsim variabila necunoscută x 1. Pentru a face acest lucru, înmulțiți ambele părți ale primei ecuații a sistemului cu A 1 1, ambele părți ale celei de-a doua ecuații cu A 2 1 și așa mai departe, ambele părți ale ecuației a n-a cu A n 1 (adică, ecuațiile sistemului sunt înmulțite cu complementele algebrice corespunzătoare primei coloane a matricei A):

Să adunăm toate părțile stângi ale ecuației sistemului, grupând termenii pentru variabilele necunoscute x 1, x 2,..., x n și echivalăm această sumă cu suma tuturor părților drepte ale ecuațiilor:

Dacă ne întoarcem la proprietățile anunțate anterior ale determinantului, atunci avem

iar egalitatea anterioară ia forma

Unde

Găsiți x 2 într-un mod similar. Pentru a face acest lucru, înmulțim ambele părți ale ecuațiilor sistemului cu complementele algebrice ale coloanei a doua a matricei A:

Adunăm toate ecuațiile sistemului, grupăm termenii pentru variabilele necunoscute x 1, x 2, ..., x n și aplicăm proprietățile determinantului:

Unde
.

Variabilele rămase necunoscute se găsesc în mod similar.

Dacă notăm

Apoi primim formule pentru găsirea variabilelor necunoscute prin metoda lui Cramer .

Cometariu.

Dacă sistemul de ecuații algebrice liniare este omogen, adică , atunci are doar o soluție banală (at). Într-adevăr, pentru zero termeni liberi, toți determinanții vor fi egale cu zero, deoarece vor conține o coloană cu zero elemente. Prin urmare, formulele va da.

Algoritm pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare prin metoda lui Cramer.

Să scriem algoritm pentru rezolvarea sistemelor de ecuații algebrice liniare prin metoda lui Cramer.

Exemple de rezolvare a sistemelor de ecuații algebrice liniare prin metoda lui Cramer.

Să ne uităm la soluțiile mai multor exemple.

Exemplu.

Găsiți soluția sistemului neomogen de ecuații algebrice liniare prin metoda lui Cramer .

Soluţie.

Matricea principală a sistemului este. Să calculăm determinantul său prin formula :

Deoarece determinantul matricei principale a sistemului este diferit de zero, SLAE are o soluție unică și poate fi găsită prin metoda lui Cramer. Să notăm determinanții și. Înlocuim prima coloană a matricei principale a sistemului cu coloana de termeni liberi și obținem determinantul ... În mod similar, înlocuim a doua coloană a matricei principale cu coloana de termeni liberi și obținem.

Calculăm acești determinanți:

Găsiți variabilele necunoscute x 1 și x 2 cu ajutorul formulelor :

Sa verificam. Înlocuiți valorile obținute x 1 și x 2 în sistemul original de ecuații:

Ambele ecuații ale sistemului se transformă în identități, prin urmare, soluția este găsită corect.

Răspuns:

.

Unele elemente ale matricei SLAE principale pot fi egale cu zero. În acest caz, variabilele necunoscute corespunzătoare vor fi absente în ecuațiile sistemului. Să ne uităm la un exemplu.

Exemplu.

Aflați soluția unui sistem de ecuații liniare prin metoda lui Cramer .

Soluţie.

Rescriem sistemul ca pentru a vedea matricea principală a sistemului ... Să-i găsim determinantul prin formula

Noi avem

Determinantul matricei principale este diferit de zero, prin urmare, sistemul de ecuații liniare are o soluție unică. Să-l găsim prin metoda lui Cramer. Calculăm determinanții :

În acest fel,

Răspuns:

Denumirile variabilelor necunoscute din ecuațiile sistemului pot diferi de x 1, x 2,…, x n. Acest lucru nu afectează procesul decizional. Dar ordinea variabilelor necunoscute în ecuațiile sistemului este foarte importantă la compilarea matricei principale și a determinanților necesari ai metodei Cramer. Să explicăm acest punct cu un exemplu.

Exemplu.

Folosind metoda lui Cramer, găsiți soluția unui sistem de trei ecuații algebrice liniare în trei necunoscute .

Soluţie.

În acest exemplu, variabilele necunoscute sunt etichetate diferit (x, y și z în loc de x 1, x 2 și x 3). Acest lucru nu afectează cursul soluției, dar aveți grijă cu denumirile variabilelor. Ca matrice principală a sistemului, NU POȚI lua ... Este necesar mai întâi să ordonăm variabilele necunoscute în toate ecuațiile sistemului. Pentru aceasta, rescriem sistemul de ecuații ca ... Acum matricea principală a sistemului este clar vizibilă ... Să calculăm determinantul acestuia:

Determinantul matricei principale este diferit de zero, prin urmare, sistemul de ecuații are o soluție unică. Să-l găsim prin metoda lui Cramer. Să notăm determinanții (notați notația) și calculați-le:

Rămâne de găsit variabile necunoscute prin formule :

Sa verificam. Pentru a face acest lucru, înmulțim matricea principală cu soluția rezultată (dacă este necesar, consultați secțiunea):

Ca urmare, a fost obținută o coloană de termeni liberi ai sistemului original de ecuații, astfel încât soluția a fost găsită corect.

Răspuns:

x = 0, y = -2, z = 3.

Exemplu.

Rezolvați un sistem de ecuații liniare prin metoda lui Cramer unde a și b sunt numere reale.

Soluţie.

Răspuns:

Exemplu.

Găsiți soluția sistemului de ecuații prin metoda lui Cramer, - un număr real.

Soluţie.

Să calculăm determinantul matricei principale a sistemului:. expresiile sunt un interval, prin urmare, pentru orice valoare validă. În consecință, sistemul de ecuații are o soluție unică care poate fi găsită prin metoda lui Cramer. Calculăm și:

Fie că sistemul de ecuații liniare conține tot atâtea ecuații cât numărul de variabile independente, adică. are forma

Astfel de sisteme de ecuații liniare se numesc pătratice. Determinantul compus din coeficienții variabilelor independente ale sistemului (1.5) se numește determinant principal al sistemului. O vom desemna cu litera greacă D. Astfel,

. (1.6)

Dacă determinantul principal este arbitrar ( j-th) coloana, înlocuiți cu coloana de termeni liberi ai sistemului (1.5), apoi putem obține alta n determinanti auxiliari:

(j = 1, 2, …, n). (1.7)

regula lui Cramer soluția sistemelor pătratice de ecuații liniare este următoarea. Dacă determinantul principal D al sistemului (1.5) este diferit de zero, atunci sistemul are o soluție unică, care poate fi găsită prin formulele:

(1.8)

Exemplul 1.5. Folosind metoda lui Cramer pentru a rezolva sistemul de ecuații

.

Să calculăm principalul determinant al sistemului:

De la D¹0, sistemul are o soluție unică, care poate fi găsită prin formulele (1.8):

În acest fel,

Operații cu matrice

1. Înmulțirea unei matrice cu un număr. Operația de înmulțire a unei matrice cu un număr este definită după cum urmează.

2. Pentru a înmulți o matrice cu un număr, trebuie să înmulți toate elementele acesteia cu acest număr. Acesta este

. (1.9)

Exemplul 1.6. .

Adăugarea de matrici.

Această operație este introdusă numai pentru matrice de același ordin.

Pentru a adăuga două matrice, este necesar să adăugați elementele corespunzătoare ale celeilalte matrice la elementele unei matrice:

(1.10)
Operația de adunare a matricelor are proprietăți de asociativitate și comutativitate.

Exemplul 1.7. .

Înmulțirea matricei.

Dacă numărul de coloane ale matricei A se potrivește cu numărul de rânduri ale matricei V, atunci se introduce operația de înmulțire pentru astfel de matrici:

2

Astfel, la înmulțirea matricei A dimensiuni m´ n pe matrice V dimensiuni n´ k obținem matricea CU dimensiuni m´ k... Mai mult, elementele matricei CU se calculează folosind următoarele formule:

Sarcina 1.8. Găsiți, dacă este posibil, produsul matricelor ABși BA:

Soluţie. 1) Pentru a găsi o muncă AB, aveți nevoie de rânduri matrice Aînmulțiți cu coloanele matricei B:

2) Opera de artă BA nu există, deoarece numărul de coloane din matrice B nu se potrivește cu numărul de rânduri din matrice A.

Matrice inversă. Soluție matriceală a sistemelor de ecuații liniare

Matrice A - 1 se numește inversul matricei pătrate A dacă egalitatea este valabilă:

unde prin eu denotă matricea de identitate de același ordin ca și matricea A:

.

Pentru ca o matrice pătrată să aibă inversă, este necesar și suficient ca determinantul ei să fie diferit de zero. Matricea inversă se găsește prin formula:

, (1.13)

Unde A ij- adunări algebrice la elemente a ij matrici A(rețineți că complementul algebric la rândurile matricei A sunt situate în matricea inversă sub forma coloanelor corespunzătoare).

Exemplul 1.9. Găsiți matrice inversă A - 1 la matrice

.

Găsim matricea inversă prin formula (1.13), care pentru cazul n= 3 are forma:

.

Găsiți det A = | A| = 1 × 3 × 8 + 2 × 5 × 3 + 2 × 4 × 3 - 3 × 3 × 3 - 1 × 5 × 4 - 2 × 2 × 8 = 24 + 30 + 24 - 27 - 20 - 32 = - 1. Deoarece determinantul matricei originale este diferit de zero, matricea inversă există.

1) Aflați complementele algebrice A ij:

Pentru comoditatea găsirii matricei inverse, am plasat adunările algebrice la rândurile matricei originale în coloanele corespunzătoare.

Din complementele algebrice obţinute compunem matrice nouă si se imparte la determinantul det A... Astfel, obținem inversul matricei:

Sistemele pătratice de ecuații liniare cu un determinant principal diferit de zero pot fi rezolvate folosind o matrice inversă. Pentru aceasta, sistemul (1.5) este scris sub formă de matrice:

Unde

Înmulțirea ambelor părți ale egalității (1.14) din stânga cu A - 1, obținem soluția sistemului:

, Unde

Astfel, pentru a găsi o soluție la un sistem pătrat, trebuie să găsiți matricea inversă a matricei principale a sistemului și să o înmulțiți în dreapta cu matricea coloanei de termeni liberi.

Sarcina 1.10. Rezolvați un sistem de ecuații liniare

folosind matricea inversă.

Soluţie. Să scriem sistemul sub formă de matrice:,

Unde - matricea principală a sistemului, - coloana de necunoscute și - coloana de membri liberi. Deoarece principalul determinant al sistemului , apoi matricea principală a sistemului A are invers A-unu . Pentru a găsi matricea inversă A-1, calculăm complementele algebrice la toate elementele matricei A:

Din numerele obţinute, compunem o matrice (mai mult, completările algebrice ale rândurilor matricei A scriem în coloanele corespunzătoare) și o împărțim la determinantul D. Astfel, am găsit matricea inversă:

Găsim soluția sistemului prin formula (1.15):

În acest fel,

Rezolvarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda excepțiilor obișnuite de Jordan

Să fie dat un sistem arbitrar (nu neapărat pătratic) de ecuații liniare:

(1.16)

Este necesar să se găsească o soluție la sistem, de ex. un set de variabile care satisface toate egalitățile sistemului (1.16). În cazul general, sistemul (1.16) poate avea nu numai o soluție, ci și un număr infinit de soluții. De asemenea, ea poate să nu aibă deloc soluții.

La rezolvarea unor astfel de probleme se folosește metoda eliminării necunoscutelor, binecunoscută din cursul școlar, care se mai numește și metoda excepțiilor obișnuite ale Iordaniei. Esența acestei metode este că într-una din ecuațiile sistemului (1.16) una dintre variabile este exprimată în termenii altor variabile. Apoi această variabilă este înlocuită în alte ecuații ale sistemului. Rezultatul este un sistem care conține o ecuație și o variabilă mai puțin decât sistemul original. Se reține ecuația din care a fost exprimată variabila.

Acest proces se repetă până când rămâne o ultimă ecuație în sistem. În procesul de eliminare a necunoscutelor, unele ecuații se pot transforma în identități adevărate, de exemplu. Astfel de ecuații sunt excluse din sistem, deoarece sunt satisfăcute pentru orice valoare a variabilelor și, prin urmare, nu afectează soluția sistemului. Dacă, în procesul de eliminare a necunoscutelor, cel puțin o ecuație devine o egalitate care nu poate fi satisfăcută pentru nicio valoare a variabilelor (de exemplu), atunci ajungem la concluzia că sistemul nu are soluție.

Dacă în cursul rezolvării ecuațiilor contradictorii nu au apărut, atunci una dintre variabilele rămase în ea se găsește din ultima ecuație. Dacă mai rămâne o singură variabilă în ultima ecuație, atunci aceasta este exprimată ca număr. Dacă în ultima ecuație rămân alte variabile, atunci ele sunt considerate parametri, iar variabila exprimată prin intermediul acestora va fi o funcție a acestor parametri. Apoi are loc așa-numita „mișcare inversă”. Variabila găsită este înlocuită în ultima ecuație memorată și este găsită a doua variabilă. Apoi cele două variabile găsite sunt înlocuite în penultima ecuație memorată și se găsește a treia variabilă, și așa mai departe, până la prima ecuație memorată.

Ca rezultat, obținem soluția sistemului. Această soluție va fi singura dacă variabilele găsite sunt numere. Dacă prima variabilă găsită, și apoi toate celelalte, depind de parametri, atunci sistemul va avea un număr infinit de soluții (fiecărui set de parametri îi corespunde o nouă soluție). Formulele care vă permit să găsiți o soluție la un sistem în funcție de un anumit set de parametri se numesc soluția generală a sistemului.

Exemplul 1.11.

X

După memorarea primei ecuaţii și reducând termeni similari în a doua și a treia ecuație, ajungem la sistemul:

Să ne exprimăm y din a doua ecuație și înlocuiți-o în prima ecuație:

Să ne amintim de a doua ecuație, iar din prima găsim z:

Făcând mișcarea inversă, găsim succesiv yși z... Pentru a face acest lucru, înlocuim mai întâi în ultima ecuație memorată, de unde găsim y:

.

Apoi substituim în prima ecuație memorată de unde găsim X:

Sarcina 1.12. Rezolvați un sistem de ecuații liniare eliminând necunoscutele:

. (1.17)

Soluţie. Să exprimăm din prima ecuație variabila Xși înlocuiți-l în a doua și a treia ecuație:

.

Să ne amintim prima ecuație

În acest sistem, prima și a doua ecuație se contrazic reciproc. Într-adevăr, exprimând y , obținem că 14 = 17. Această egalitate nu este valabilă pentru nicio valoare a variabilelor X, y, și z... În consecință, sistemul (1.17) este inconsecvent, adică nu are solutie.

Sugerăm cititorilor să verifice în mod independent dacă determinantul principal al sistemului original (1.17) este egal cu zero.

Luați în considerare un sistem care diferă de sistemul (1.17) printr-un singur termen liber.

Sarcina 1.13. Rezolvați un sistem de ecuații liniare eliminând necunoscutele:

. (1.18)

Soluţie. Ca și mai înainte, exprimăm din prima ecuație variabila Xși înlocuiți-l în a doua și a treia ecuație:

.

Să ne amintim prima ecuație și dați termeni similari în a doua și a treia ecuație. Ajungem la sistem:

Prin exprimarea y din prima ecuație și înlocuind-o în a doua ecuație , obținem identitatea 14 = 14, care nu afectează soluția sistemului și, prin urmare, poate fi exclusă din sistem.

În ultima egalitate memorată, variabila z va fi considerat un parametru. Noi credem. Atunci

Substitui yși zîn prima egalitate memorată și găsiți X:

.

Astfel, sistemul (1.18) are un set infinit de soluții, iar orice soluție poate fi găsită prin formulele (1.19), alegând o valoare arbitrară a parametrului t:

(1.19)
Deci, soluțiile sistemului, de exemplu, sunt următoarele seturi de variabile (1; 2; 0), (2; 26; 14), etc. Formulele (1.19) exprimă soluția generală (orice) a sistemului (1.18) .

În cazul în care sistemul original (1.16) are suficient un numar mare de ecuații și necunoscute, metoda indicată a excepțiilor obișnuite de Jordan pare greoaie. Cu toate acestea, nu este. Este suficient să deducem algoritmul de recalculare a coeficienților sistemului la un pas într-o formă generală și să formulezi soluția problemei sub forma unor tabele speciale Jordan.

Să fie dat un sistem de forme liniare (ecuații):

, (1.20)
Unde x j- variabile independente (cautate), a ij- coeficienți constanți
(i = 1, 2,…, m; j = 1, 2,…, n). Partea dreaptă a sistemului y eu (i = 1, 2,…, m) pot fi atât variabile (dependente) cât și constante. Este necesar să se găsească soluții la acest sistem prin eliminarea necunoscutelor.

Luați în considerare următoarea operațiune, denumită în continuare „un pas al excepțiilor obișnuite ale Iordaniei”. Dintr-un arbitrar ( r-th) egalitate, exprimăm o variabilă arbitrară ( x s) și înlocuiți în toate celelalte egalități. Desigur, acest lucru este posibil doar dacă a rs¹ 0. Coeficient a rs numit element permisiv (uneori călăuzitor sau principal).

Obtinem urmatorul sistem:

. (1.21)

Din s egalitatea sistemului (1.21), vom găsi ulterior variabila x s(după ce restul variabilelor au fost găsite). S-a linia este memorată și exclusă în continuare din sistem. Sistemul rămas va conține o ecuație și o variabilă independentă mai puțin decât sistemul original.

Să calculăm coeficienții sistemului rezultat (1.21) în funcție de coeficienții sistemului original (1.20). Sa incepem cu r-a ecuație, care după expresia variabilei x s prin restul variabilelor va arăta astfel:

Astfel, noii coeficienți r-celele ecuații se calculează prin următoarele formule:

(1.23)
Să calculăm acum noii coeficienți b ij(i¹ r) a unei ecuații arbitrare. Pentru aceasta, înlocuim variabila exprimată în (1.22) x s v i-a-a ecuație a sistemului (1.20):

După ce aducem termeni similari, obținem:

(1.24)
Din egalitatea (1.24) obținem formule prin care se calculează coeficienții rămași ai sistemului (1.21) (cu excepția lui r ecuația):

(1.25)
Transformarea sistemelor de ecuații liniare prin metoda excepțiilor obișnuite Jordan se formalizează sub formă de tabele (matrici). Aceste mese se numesc mese „Iordania”.

Astfel, problema (1.20) este asociată cu următorul tabel Jordan:

Tabelul 1.1

	X 1	X 2	…	x j	…	x s	…	x n
y 1 =	A 11	A 12		A 1j		A 1s		A 1n
…………………………………………………………………..
y eu=	un i 1	un i 2		a ij		a este		a in
…………………………………………………………………..
y r=	a r 1	a r 2		a rj		a rs		a rn
………………………………………………………………….
y n=	a m 1	a m 2		a mj		o ms		un mn

Tabelul Jordan 1.1 conține coloana antet din stânga, în care sunt scrise părțile din dreapta ale sistemului (1.20) și rândul antet superior, în care sunt scrise variabilele independente.

Restul elementelor tabelului formează matricea principală a coeficienților sistemului (1.20). Dacă înmulțim matricea A la matricea formată din elementele rândului de antet superior, apoi obțineți matricea formată din elementele coloanei antet din stânga. Adică, în esență, un tabel Jordan este o notație matricială a unui sistem de ecuații liniare:. În acest caz, următorul tabel Jordan corespunde sistemului (1.21):

Tabelul 1.2

	X 1	X 2	…	x j	…	y r	…	x n
y 1 =	b 11	b 12		b 1 j		b 1 s		b 1 n
…………………………………………………………………..
y i =	b i 1	b i 2		b ij		b este		cos
…………………………………………………………………..
x s =	b r 1	b r 2		b rj		b rs		b rn
………………………………………………………………….
y n =	b m 1	b m 2		b mj		b ms		b mn

Element permisiv a rs o vom evidenția cu caractere aldine. Amintiți-vă că pentru ca o etapă a excepțiilor Jordan să aibă loc, elementul de rezolvare trebuie să fie diferit de zero. Rândul tabelului care conține elementul de autorizare se numește rândul de autorizare. Coloana care conține elementul de autorizare se numește coloana de autorizare. Când treceți de la acest tabel la următorul tabel, o variabilă ( x s) din rândul antet superior al tabelului este mutat în coloana antet din stânga și, invers, unul dintre membrii liberi ai sistemului ( y r) din coloana capului din stânga a tabelului este mutat în rândul capului de sus.

Să descriem un algoritm pentru recalcularea coeficienților la trecerea de la tabelul Jordan (1.1) la tabelul (1.2), care decurge din formulele (1.23) și (1.25).

1. Elementul de autorizare se înlocuiește cu o reciprocă:

2. Restul elementelor liniei de autorizare sunt împărțite la elementul de autorizare și schimbă semnul la opus:

3. Restul elementelor coloanei de rezolvare sunt împărțite în elementul de rezolvare:

4. Elementele care nu sunt incluse în linia de rezolvare și coloana de rezolvare sunt recalculate folosind formulele:

Ultima formulă este ușor de reținut dacă observi că elementele care compun fracția , sunt la intersecție i th și r-lea rânduri și j th și s--lea coloane (rândul de rezoluție, coloana de rezolvare și rândul și coloana la intersecția cărora se află elementul recalculat). Mai exact, la memorarea formulei se poate folosi următoarea diagramă:

-21 -26 -13 -37

Făcând primul pas al excepțiilor Jordan, orice element din Tabelul 1.3, situat în coloane X 1 ,…, X 5 (toate elementele specificate sunt diferite de zero). Nu ar trebui să selectați doar elementul de rezolvare din ultima coloană, deoarece doriți să găsiți variabile independente X 1 ,…, X 5 . Alegem, de exemplu, coeficientul 1 la variabilă X 3 din al treilea rând din Tabelul 1.3 (elementul de activare este prezentat cu caractere aldine). Când mergi la tabelul 1.4, variabila X 3 din rândul de sus al antetului este schimbat cu constanta 0 din coloana din stânga (randul al treilea). În acest caz, variabila X 3 este exprimat în termenii variabilelor rămase.

Şir X 3 (Tabelul 1.4) poate fi, după amintire, exclus din Tabelul 1.4. A treia coloană cu zero în linia superioară a titlului este, de asemenea, exclusă din tabelul 1.4. Cert este că, indiferent de coeficienții acestei coloane b i 3 toți termenii corespunzători fiecărei ecuații 0 b i 3 sisteme vor fi zero. Prin urmare, coeficienții indicați pot fi omiși. Eliminarea unei variabile X 3 și amintindu-ne una dintre ecuații, ajungem la sistemul corespunzător tabelului 1.4 (cu linia tăiată X 3). Alegerea din tabelul 1.4 ca element de rezolvare b 14 = -5, mergeți la tabelul 1.5. În tabelul 1.5, ne amintim primul rând și îl excludem din tabel împreună cu a patra coloană (cu un zero în partea de sus).

Tabelul 1.5 Tabelul 1.6

Din ultimul tabel 1.7 găsim: X 1 = - 3 + 2X 5 .

Substituind secvenţial variabilele deja găsite în liniile stocate, găsim variabilele rămase:

Astfel, sistemul are nenumărate soluții. Variabil X 5, puteți atribui valori arbitrare. Această variabilă acționează ca un parametru X 5 = t. Am dovedit compatibilitatea sistemului și am găsit soluția generală a acestuia:

X 1 = - 3 + 2t

X 2 = - 1 - 3t

X 3 = - 2 + 4t . (1.27)
X 4 = 4 + 5t

X 5 = t

Dând parametrul t valori diferite, obținem nenumărate soluții la sistemul original. Deci, de exemplu, soluția sistemului este următorul set de variabile (- 3; - 1; - 2; 4; 0).

În prima parte, am acoperit puțin material teoretic, o metodă de substituție, precum și o metodă de adunare termen cu termen pentru ecuațiile sistemului. Recomand tuturor celor care au venit pe site prin această pagină să citească prima parte. Poate că unii vizitatori vor găsi materialul prea simplu, dar în cursul rezolvării sistemelor de ecuații liniare, am făcut o serie de observații și concluzii foarte importante referitoare la rezolvarea problemelor matematice în general.

Și acum vom analiza regula lui Cramer, precum și rezolvarea unui sistem de ecuații liniare folosind o matrice inversă (metoda matricei). Toate materialele sunt prezentate într-un mod simplu, detaliat și ușor de înțeles, aproape toți cititorii vor putea învăța cum să rezolve sistemele în modurile de mai sus.

În primul rând, luăm în considerare în detaliu regula lui Cramer pentru un sistem de două ecuații liniare în două necunoscute. Pentru ce? - Dupa toate acestea cel mai simplu sistem poate fi rezolvată prin metoda școlii, metoda adunării termenilor!

Cert este că, chiar dacă uneori, se întâlnește o astfel de sarcină - să rezolve un sistem de două ecuații liniare cu două necunoscute după formulele lui Cramer. În al doilea rând, un exemplu mai simplu vă va ajuta să înțelegeți cum să folosiți regula lui Cramer pentru mai mult caz dificil- sisteme de trei ecuații cu trei necunoscute.

In plus, exista sisteme de ecuatii liniare cu doua variabile, pe care este indicat sa le rezolvi exact dupa regula lui Cramer!

Luați în considerare sistemul de ecuații

La primul pas, calculăm determinantul, se numește determinant principal al sistemului.

metoda Gauss.

Dacă, atunci sistemul are o soluție unică și pentru a găsi rădăcinile, trebuie să calculăm încă doi determinanți:
și

În practică, calificativele de mai sus pot fi notate și printr-o literă latină.

Găsim rădăcinile ecuației prin formulele:
,

Exemplul 7

Rezolvați un sistem de ecuații liniare

Soluţie: Vedem că coeficienții ecuației sunt suficient de mari, în partea dreaptă sunt fracții zecimale cu virgulă. Virgula este un oaspete destul de rar în sarcini practice la matematică, am luat acest sistem dintr-o problemă econometrică.

Cum se rezolvă un astfel de sistem? Puteți încerca să exprimați o variabilă prin alta, dar, în acest caz, probabil veți obține fracții fanteziste groaznice, cu care sunt extrem de incomod de lucrat, iar designul soluției va arăta îngrozitor. Puteți înmulți a doua ecuație cu 6 și efectuați scăderea termen cu termen, dar aceleași fracții vor apărea aici.

Ce să fac? În astfel de cazuri, formulele lui Cramer vin în ajutor.

;

;

Răspuns: ,

Ambele rădăcini au cozi infinite și se găsesc aproximativ, ceea ce este destul de acceptabil (și chiar comun) pentru problemele econometrice.

Nu sunt necesare comentarii aici, deoarece sarcina este rezolvată conform formulelor gata făcute, totuși, există o avertizare. Când utilizați această metodă, obligatoriu un fragment al misiunii este următorul fragment: „Ceea ce înseamnă că sistemul are singura soluție”... În caz contrar, recenzentul vă poate pedepsi pentru nerespectarea teoremei lui Cramer.

Nu va fi de prisos să verificați, ceea ce este convenabil de efectuat cu un calculator: înlocuim valorile aproximative în partea stângă a fiecărei ecuații din sistem. Ca rezultat, cu o mică eroare, ar trebui să obțineți numere care sunt în părțile potrivite.

Exemplul 8

Răspunsul este prezentat în fracții neregulate obișnuite. Faceți o verificare.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă (exemplu de finisare și răspuns la sfârșitul lecției).

Ne întoarcem acum la considerarea regulii lui Cramer pentru un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute:

Găsiți principalul determinant al sistemului:

Dacă, atunci sistemul are infinit de soluții sau este inconsecvent (nu are soluții). În acest caz, regula lui Cramer nu va ajuta; trebuie să utilizați metoda Gaussiană.

Dacă, atunci sistemul are o soluție unică și pentru a găsi rădăcinile, trebuie să calculăm încă trei determinanți:
, ,

Și în sfârșit, răspunsul este calculat folosind formulele:

După cum puteți vedea, cazul „trei câte trei” nu este în mod fundamental diferit de cazul „două câte doi”, coloana de membri liberi „merg” secvenţial de la stânga la dreapta de-a lungul coloanelor determinantului principal.

Exemplul 9

Rezolvați sistemul folosind formulele lui Cramer.

Soluţie: Să rezolvăm sistemul folosind formulele lui Cramer.

, ceea ce înseamnă că sistemul are o soluție unică.

Răspuns: .

De fapt, nu este nimic special de comentat din nou aici, având în vedere faptul că decizia se ia după formule gata făcute. Dar sunt câteva lucruri de remarcat.

Se întâmplă ca în urma calculelor să se obțină fracții ireductibile „rele”, de exemplu:.
Recomand următorul algoritm de „vindecare”. Dacă nu aveți un computer la îndemână, facem acest lucru:

1) Poate exista o eroare de calcul. De îndată ce te confrunți cu o fracție „rea”, ar trebui să verifici imediat este condiția rescrisă corect... Dacă condiția este rescrisă fără erori, atunci este necesar să se recalculeze determinanții folosind extinderea cu un alt rând (coloană).

2) Dacă nu au fost găsite erori în urma verificării, atunci cel mai probabil a existat o greșeală de tipar în starea sarcinii. În acest caz, cu calm și ATENȚIE rezolvăm sarcina până la capăt și apoi asigurați-vă că verificațiși faceți-o pe o copie curată după decizie. Desigur, verificarea unui răspuns fracționat este o sarcină neplăcută, dar va fi un argument dezarmant pentru un profesor care, ei bine, îi place foarte mult să pună un minus pentru orice byaka like. Modul de gestionare a fracțiilor este detaliat în răspunsul pentru Exemplul 8.

Dacă aveți un computer la îndemână, atunci utilizați un program automat pentru a-l verifica, care poate fi descărcat gratuit chiar la începutul lecției. Apropo, cel mai profitabil este să folosești programul imediat (chiar înainte de a începe soluția), vei vedea imediat pasul intermediar la care ai greșit! Același calculator calculează automat soluția sistemului prin metoda matricei.

A doua remarcă. Din când în când, există sisteme din ecuațiile cărora lipsesc unele variabile, de exemplu:

Aici, în prima ecuație îi lipsește o variabilă, în a doua îi lipsește o variabilă. În astfel de cazuri, este foarte important să scrieți corect și CU ATENȚIE principalul determinant:
- zerouri sunt puse în locul variabilelor lipsă.
Apropo, este rațional să deschidem determinanții cu zerouri în funcție de rândul (coloana) în care există zero, deoarece calculele sunt mult mai puține.

Exemplul 10

Rezolvați sistemul folosind formulele lui Cramer.

Acesta este un exemplu pentru o soluție independentă (o probă de finisare și răspunsul la sfârșitul lecției).

Pentru cazul unui sistem de 4 ecuații cu 4 necunoscute, formulele lui Cramer sunt scrise după principii similare. Un exemplu real poate fi găsit în lecția Proprietăți determinante. Scăderea ordinului determinantului - cinci determinanți de ordinul al 4-lea sunt destul de rezolvabili. Deși sarcina amintește deja destul de mult de cizma profesorului de pe pieptul unui student norocos.

Rezolvarea sistemului folosind matricea inversă

Metoda matricei inverse este în esență un caz special ecuația matriceală(vezi Exemplul # 3 al lecției specificate).

Pentru a studia această secțiune, trebuie să fiți capabil să extindeți determinanții, să găsiți matricea inversă și să efectuați înmulțirea matricei. Link-uri relevante vor fi furnizate pe parcurs.

Exemplul 11

Rezolvarea sistemului cu metoda matricei

Soluţie: Să scriem sistemul sub formă de matrice:
, Unde

Vă rugăm să aruncați o privire la sistemul de ecuații și la matrice. După ce principiu scriem elemente în matrice, cred că toată lumea înțelege. Singurul comentariu: dacă unele variabile lipsesc în ecuații, atunci ar trebui puse zerouri în locurile corespunzătoare din matrice.

Găsim matricea inversă prin formula:
, unde este matricea transpusă a complementelor algebrice ale elementelor corespunzătoare ale matricei.

În primul rând, ne ocupăm de determinantul:

Aici calificativul este extins pe prima linie.

Atenţie! Dacă, atunci matricea inversă nu există și este imposibil să se rezolve sistemul prin metoda matricei. În acest caz, sistemul se rezolvă prin metoda eliminării necunoscutelor (metoda Gauss).

Acum trebuie să calculați 9 minori și să le scrieți în matricea minorilor

Referinţă: Este util să cunoaștem semnificația indicelor duble în algebra liniară. Prima cifră este numărul liniei în care se află acest element. A doua cifră este numărul coloanei în care se află acest element:

Adică, un indice dublu indică faptul că articolul se află pe primul rând, pe a treia coloană și, de exemplu, pe rândul 3, pe coloana 2.