Cara mencari tinggi rumus piramida yang benar. Piramida. Panduan Visual (2019)
Piramida adalah polihedron dengan poligon di dasarnya. Semua wajah, pada gilirannya, membentuk segitiga yang bertemu di satu titik. Piramida berbentuk segitiga, segi empat, dan seterusnya. Untuk menentukan piramida mana yang ada di depan Anda, cukup menghitung jumlah sudut di dasarnya. Definisi "tinggi piramida" sangat umum dalam masalah geometri dalam kurikulum sekolah. Dalam artikel tersebut, kami akan mencoba mempertimbangkan cara yang berbeda menemukannya.
Bagian dari piramida
Setiap piramida terdiri dari elemen-elemen berikut:
- wajah samping, yang memiliki tiga sudut dan menyatu di bagian atas;
- apotema adalah ketinggian yang turun dari puncaknya;
- bagian atas piramida adalah titik yang menghubungkan tepi samping, tetapi tidak terletak pada bidang alasnya;
- basis adalah poligon yang tidak memiliki simpul;
- ketinggian piramida adalah segmen yang melintasi bagian atas piramida dan membentuk sudut siku-siku dengan alasnya.
Bagaimana cara mencari tinggi piramida jika volumenya diketahui?
Melalui rumus V = (S * h) / 3 (dalam rumus V adalah volume, S adalah luas alas, h adalah tinggi piramida), kita menemukan bahwa h = (3 * V) / S. Untuk mengkonsolidasikan materi, mari kita selesaikan masalah segera. Alas segitiga adalah 50 cm 2, sedangkan volumenya adalah 125 cm 3. Ketinggian piramida segitiga tidak diketahui, yang perlu kita temukan. Semuanya sederhana di sini: kami memasukkan data ke dalam rumus kami. Kami mendapatkan h = (3 * 125) / 50 = 7,5 cm.
Bagaimana cara mencari tinggi piramida jika diketahui panjang diagonal dan rusuknya?
Seperti yang kita ingat, ketinggian piramida membentuk sudut siku-siku dengan alasnya. Dan ini berarti bahwa tinggi, tepi dan setengah dari diagonal bersama-sama membentuk Banyak, tentu saja, ingat teorema Pythagoras. Mengetahui dua pengukuran, tidak akan sulit untuk menemukan besaran ketiga. Ingat teorema terkenal a² = b² + c², di mana a adalah sisi miring, dan dalam kasus kami tepi piramida; b - kaki pertama atau setengah dari diagonal dan c - masing-masing, kaki kedua, atau ketinggian piramida. Dari rumus ini, c² = a² - b².
Sekarang masalahnya: pada piramida biasa, diagonalnya adalah 20 cm, sedangkan panjang rusuknya adalah 30 cm, perlu untuk menemukan tingginya. Kami memecahkan: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Oleh karena itu c = 500 = sekitar 22,4.
Bagaimana menemukan ketinggian piramida terpotong
Ini adalah poligon yang memiliki bagian yang sejajar dengan alasnya. Ketinggian piramida terpotong adalah segmen garis yang menghubungkan dua alasnya. Tinggi dapat ditemukan untuk piramida biasa jika panjang diagonal kedua alas diketahui, serta tepi piramida. Misalkan diagonal alas yang lebih besar adalah d1, sedangkan diagonal alas yang lebih kecil adalah d2, dan panjang rusuknya l. Untuk menemukan tingginya, Anda dapat menurunkan ketinggian dari dua titik berlawanan atas diagram ke alasnya. Kami melihat bahwa kami memiliki dua segitiga siku-siku, tinggal mencari panjang kaki mereka. Untuk melakukan ini, kurangi yang lebih kecil dari diagonal yang lebih besar dan bagi dengan 2. Jadi kita menemukan satu kaki: a = (d1-d2) / 2. Setelah itu, menurut teorema Pythagoras, kita hanya perlu menemukan kaki kedua, yaitu ketinggian piramida.
Sekarang mari kita lihat semuanya dalam praktik. Kami memiliki tugas di depan kami. Piramida terpotong mempunyai alas berbentuk bujur sangkar, panjang diagonal alas yang lebih besar 10 cm, alas yang lebih kecil 6 cm, dan rusuknya 4 cm, diperlukan untuk mencari tingginya. Untuk memulai, kita menemukan satu kaki: a = (10-6) / 2 = 2 cm Satu kaki adalah 2 cm, dan sisi miringnya adalah 4 cm.Ternyata kaki atau tinggi kedua adalah 16-4 = 12, yaitu, h = 12 = sekitar 3,5 cm.
Piramida adalah polihedron dengan poligon di dasarnya. Semua wajah, pada gilirannya, membentuk segitiga yang bertemu di satu titik. Piramida berbentuk segitiga, segi empat, dan seterusnya. Untuk menentukan piramida mana yang ada di depan Anda, cukup menghitung jumlah sudut di dasarnya. Definisi "tinggi piramida" sangat umum dalam masalah geometri dalam kurikulum sekolah. Dalam artikel ini kami akan mencoba mempertimbangkan berbagai cara untuk menemukannya.
Bagian dari piramida
Setiap piramida terdiri dari elemen-elemen berikut:
- wajah samping, yang memiliki tiga sudut dan menyatu di bagian atas;
- apotema adalah ketinggian yang turun dari puncaknya;
- bagian atas piramida adalah titik yang menghubungkan tepi samping, tetapi tidak terletak pada bidang alasnya;
- basis adalah poligon yang tidak memiliki simpul;
- ketinggian piramida adalah segmen yang melintasi bagian atas piramida dan membentuk sudut siku-siku dengan alasnya.
Bagaimana cara mencari tinggi piramida jika volumenya diketahui?
Melalui rumus volume piramida V = (S * h) / 3 (dalam rumus V adalah volume, S adalah luas alas, h adalah tinggi piramida), kita menemukan bahwa h = (3 * V) / S. Untuk mengkonsolidasikan materi, mari kita selesaikan masalah segera. Pada sebuah piramida segitiga, luas alasnya adalah 50 cm2, sedangkan volumenya adalah 125 cm3. Ketinggian piramida segitiga tidak diketahui, yang perlu kita temukan. Semuanya sederhana di sini: kami memasukkan data ke dalam rumus kami. Kami mendapatkan h = (3 * 125) / 50 = 7,5 cm.
Bagaimana cara mencari tinggi piramida jika diketahui panjang diagonal dan rusuknya?
Seperti yang kita ingat, ketinggian piramida membentuk sudut siku-siku dengan alasnya. Ini berarti bahwa tinggi, tepi, dan setengah dari diagonal bersama-sama membentuk segitiga siku-siku. Banyak, tentu saja, ingat teorema Pythagoras. Mengetahui dua pengukuran, tidak akan sulit untuk menemukan besaran ketiga. Ingat teorema terkenal a² = b² + c², di mana a adalah sisi miring, dan dalam kasus kami tepi piramida; b - kaki pertama atau setengah dari diagonal dan c - masing-masing, kaki kedua, atau ketinggian piramida. Dari rumus ini, c² = a² - b².
Sekarang masalahnya: pada piramida biasa, diagonalnya adalah 20 cm, sedangkan panjang rusuknya adalah 30 cm, perlu untuk menemukan tingginya. Kami memecahkan: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Oleh karena itu c = 500 = sekitar 22,4.
Bagaimana menemukan ketinggian piramida terpotong
Ini adalah poligon yang memiliki bagian yang sejajar dengan alasnya. Ketinggian piramida terpotong adalah segmen garis yang menghubungkan dua alasnya. Tinggi dapat ditemukan untuk piramida biasa jika panjang diagonal kedua alas diketahui, serta tepi piramida. Misalkan diagonal alas yang lebih besar adalah d1, sedangkan diagonal alas yang lebih kecil adalah d2, dan panjang rusuknya l. Untuk menemukan tingginya, Anda dapat menurunkan ketinggian dari dua titik berlawanan atas diagram ke alasnya. Kami melihat bahwa kami memiliki dua segitiga siku-siku, tinggal mencari panjang kaki mereka. Untuk melakukan ini, kurangi yang lebih kecil dari diagonal yang lebih besar dan bagi dengan 2. Jadi kita menemukan satu kaki: a = (d1-d2) / 2. Setelah itu, menurut teorema Pythagoras, kita hanya perlu menemukan kaki kedua, yaitu ketinggian piramida.
Di sini kita akan menganalisis contoh yang berkaitan dengan konsep volume. Untuk menyelesaikan tugas-tugas seperti itu, sangat penting untuk mengetahui rumus volume piramida:
S
h - ketinggian piramida
Basis dapat berupa poligon apa pun. Tetapi di sebagian besar masalah ujian, kondisinya, sebagai suatu peraturan, adalah tentang piramida yang benar. Biarkan saya mengingatkan Anda tentang salah satu propertinya:
Bagian atas piramida biasa diproyeksikan ke tengah alasnya.
Lihatlah proyeksi segitiga biasa, segi empat dan piramida heksagonal (TOP VIEW):
Anda dapat mengunjungi blog, di mana tugas-tugas yang terkait dengan menemukan volume piramida diselesaikan.Pertimbangkan tugas-tugasnya:
27087. Temukan volume piramida segitiga biasa, sisi alasnya sama dengan 1, dan tingginya sama dengan akar tiga.
S- luas dasar piramida
H- tinggi piramida
Mari kita cari luas alas piramida, ini adalah segitiga biasa. Mari kita gunakan rumus - luas segitiga sama dengan setengah dari produk sisi-sisi yang berdekatan dengan sinus sudut di antara mereka, yang berarti:
Jawaban: 0,25
27088. Temukan tinggi piramida segitiga biasa, sisi alasnya sama dengan 2, dan volumenya sama dengan akar tiga.
Konsep seperti ketinggian piramida dan karakteristik alasnya dihubungkan dengan rumus volume:
S- luas dasar piramida
H- tinggi piramida
Kita mengetahui volume itu sendiri, kita dapat menemukan luas alasnya, karena kita mengetahui sisi-sisi segitiga yang merupakan alasnya. Mengetahui nilai yang ditunjukkan, kita dapat dengan mudah menemukan ketinggian.
Untuk menemukan luas alasnya, kita akan menggunakan rumus - luas segitiga sama dengan setengah produk dari sisi-sisi yang berdekatan dengan sinus sudut di antara mereka, yang berarti:
Jadi, dengan mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus volume, kita dapat menghitung ketinggian piramida:
Tingginya tiga.
Jawaban: 3
27109. Dalam piramida segi empat biasa, tingginya adalah 6, sisi sampingnya adalah 10. Temukan volumenya.
Volume piramida dihitung dengan rumus:
S- luas dasar piramida
H- tinggi piramida
Kita tahu ketinggiannya. Anda perlu menemukan area pangkalan. Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa bagian atas piramida biasa diproyeksikan ke tengah alasnya. Dasar piramida segi empat beraturan adalah persegi. Kita dapat menemukan diagonalnya. Pertimbangkan segitiga siku-siku (disorot dengan warna biru):
Ruas yang menghubungkan pusat bujur sangkar dengan titik B adalah kaki, yang merupakan setengah diagonal bujur sangkar. Kaki ini dapat dihitung dengan teorema Pythagoras:
Jadi BD = 16. Hitung luas persegi menggunakan rumus luas persegi:
Karenanya:
Jadi, volume piramida adalah:
Jawaban: 256
27178. Dalam piramida segi empat biasa, tingginya 12, volumenya 200. Temukan tepi samping piramida ini.
Tinggi piramida dan volume serta volumenya diketahui, sehingga kita dapat menemukan luas persegi yang merupakan alasnya. Mengetahui luas persegi, kita dapat menemukan diagonalnya. Selanjutnya, dengan mempertimbangkan segitiga siku-siku dengan teorema Pythagoras, kami menghitung tepi lateral:
Cari luas persegi (dasar piramida):
Mari kita hitung diagonal persegi. Karena luasnya adalah 50, sisinya akan sama dengan akar lima puluh dan oleh teorema Pythagoras:
Titik O membagi diagonal BD menjadi dua, yang berarti kaki segitiga siku-siku OB = 5.
Dengan demikian, kita dapat menghitung apa yang sama dengan tepi sisi piramida:
Jawaban: 13
245353. Temukan volume piramida yang ditunjukkan pada gambar. Basisnya adalah poligon, sisi-sisi yang berdekatan tegak lurus, dan salah satu sisinya tegak lurus terhadap bidang alas dan sama dengan 3.
Seperti yang telah dikatakan berkali-kali - volume piramida dihitung dengan rumus:
S- luas dasar piramida
H- tinggi piramida
Tepi samping yang tegak lurus dengan alas adalah tiga, yang berarti tinggi piramida adalah tiga. Dasar piramida adalah poligon dengan luas yang sama dengan:
Dengan demikian:
Jawaban: 27
27086. Dasar piramida adalah persegi panjang dengan sisi 3 dan 4. Volumenya adalah 16. Tentukan tinggi piramida ini.
Definisi. tepi samping adalah segitiga, salah satu sudutnya terletak di bagian atas piramida, dan sisi yang berlawanan bertepatan dengan sisi alas (poligon).
Definisi. Iga samping adalah sisi umum dari sisi wajah. Piramida memiliki tepi sebanyak sudut poligon.
Definisi. Tinggi piramida- ini adalah tegak lurus, diturunkan dari atas ke dasar piramida.
Definisi. Apotema adalah tegak lurus terhadap sisi muka piramida, diturunkan dari puncak piramida ke sisi alas.
Definisi. Bagian diagonal adalah bagian dari piramida oleh bidang yang melewati bagian atas piramida dan diagonal alasnya.
Definisi. Piramida yang benar adalah piramida di mana alasnya adalah poligon beraturan, dan tingginya turun ke tengah alas.
Volume dan luas permukaan piramida
Rumus. Volume piramida melalui luas alas dan tinggi:
Sifat piramida
Jika semua sisi sisinya sama, maka lingkaran dapat digambarkan di sekitar pangkal piramida, dan pusat alasnya bertepatan dengan pusat lingkaran. Juga, tegak lurus yang dijatuhkan dari atas melewati pusat alas (lingkaran).
Jika semua sisi sisinya sama, maka mereka miring ke bidang alas pada sudut yang sama.
Sisi-sisinya sama jika mereka membentuk sudut yang sama dengan bidang alas atau jika lingkaran dapat digambarkan di sekitar alas piramida.
Jika sisi-sisinya dimiringkan ke bidang alas pada satu sudut, maka sebuah lingkaran dapat ditorehkan ke dasar piramida, dan puncak piramida diproyeksikan ke pusatnya.
Jika sisi-sisinya miring ke bidang alas dengan sudut yang sama, maka apotema dari sisi-sisinya adalah sama.
Sifat-sifat piramida biasa
1. Bagian atas piramida berjarak sama dari semua sudut alasnya.
2. Semua sisi sisinya sama.
3. Semua rusuk samping miring pada sudut yang sama ke alas.
4. Apotema dari semua sisi sisi adalah sama.
5. Luas semua sisi sisinya sama.
6. Semua wajah memiliki sudut dihedral (datar) yang sama.
7. Sebuah bola dapat digambarkan di sekitar piramida. Pusat bola yang dibatasi akan menjadi titik perpotongan garis tegak lurus yang melewati tengah tepi.
8. Sebuah bola dapat tertulis di piramida. Pusat bola tertulis akan menjadi titik persimpangan garis-bagi yang berasal dari sudut antara tepi dan alas.
9. Jika pusat bola bertulisan bertepatan dengan pusat bola yang dibatasi, maka jumlah sudut bidang pada titik sudut sama dengan atau sebaliknya, satu sudut sama dengan / n, di mana n adalah bilangan sudut di dasar piramida.
Hubungan piramida dengan bola
Sebuah bola dapat digambarkan di sekitar piramida ketika polihedron terletak di dasar piramida di mana lingkaran dapat digambarkan (kondisi yang diperlukan dan cukup). Pusat bola akan menjadi titik perpotongan bidang-bidang yang lewat secara tegak lurus melalui titik-titik tengah tepi samping piramida.
Sebuah bola selalu dapat digambarkan di sekitar piramida segitiga atau biasa.
Sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam piramida jika bidang-bidang bagi dari sudut dihedral bagian dalam piramida berpotongan pada satu titik (kondisi yang diperlukan dan cukup). Titik ini akan menjadi pusat bola.
Koneksi piramida dengan kerucut
Kerucut disebut bertulisan dalam piramida jika puncaknya berhimpitan dan pangkal kerucut bertulisan di dasar piramida.
Sebuah kerucut dapat dimasukkan ke dalam piramida jika apotema piramida sama satu sama lain.
Kerucut disebut dibatasi di sekitar piramida jika puncaknya bertepatan, dan pangkal kerucut dibatasi di sekitar dasar piramida.
Sebuah kerucut dapat digambarkan di sekitar piramida jika semua sisi sisi piramida sama satu sama lain.
Koneksi piramida dengan silinder
Piramida disebut bertulisan dalam silinder jika puncak piramida terletak di salah satu dasar silinder, dan dasar piramida tertulis di dasar silinder yang lain.
Sebuah silinder dapat digambarkan di sekitar piramida jika lingkaran dapat digambarkan di sekitar dasar piramida.
Sebuah tetrahedron memiliki empat wajah dan empat simpul dan enam tepi, di mana setiap dua tepi tidak memiliki simpul yang sama tetapi tidak bersentuhan.
Setiap simpul terdiri dari tiga sisi dan sisi yang membentuk sudut segitiga.
Ruas yang menghubungkan puncak segi empat dengan pusat sisi yang berlawanan disebut tetrahedron median(GM).
Bimedian adalah ruas yang menghubungkan titik tengah dari sisi berlawanan yang tidak bersinggungan (KL).
Semua bimedian dan median dari tetrahedron bertemu pada satu titik (S). Dalam hal ini, bimedian dibagi dua, dan median dalam perbandingan 3: 1, mulai dari atas.
Definisi. Piramida siku-siku- ini adalah piramida di mana apotema lebih dari setengah panjang sisi alasnya.
Definisi. Piramida tumpul- ini adalah piramida di mana apotema kurang dari setengah panjang sisi alasnya.
Definisi. Tetrahedron biasa- tetrahedron di mana keempat wajah adalah segitiga sama sisi. Ini adalah salah satu dari lima poligon reguler. Dalam tetrahedron beraturan, semua sudut dihedral (antara wajah) dan sudut trihedral (pada titik puncak) adalah sama.
Definisi. Tetrahedron persegi panjang disebut tetrahedron dengan sudut siku-siku di antara tiga sisi pada titik tersebut (sisi-sisinya tegak lurus). Bentuk tiga wajah sudut segitiga persegi panjang dan wajah-wajahnya adalah segitiga siku-siku, dan alasnya adalah segitiga sembarang. Apotema dari setiap segi sama dengan setengah dari sisi alas tempat apotema itu berada.
Definisi. Tetrahedron isohedral disebut tetrahedron di mana sisi-sisinya berhadapan sama satu sama lain, dan alasnya adalah segitiga beraturan. Untuk tetrahedron seperti itu, wajah-wajahnya adalah segitiga sama kaki.
Definisi. Tetrahedron ortosentris disebut tetrahedron di mana semua ketinggian (tegak lurus) yang diturunkan dari atas ke wajah yang berlawanan berpotongan di satu titik.
Definisi. Piramida bintang disebut polihedron yang alasnya adalah bintang.
Piramida segitiga adalah piramida dengan segitiga di alasnya. Ketinggian piramida ini adalah tegak lurus, yang diturunkan dari puncak piramida ke alasnya.
Mencari ketinggian piramida
Bagaimana cara mencari tinggi piramida? Sangat sederhana! Untuk menemukan tinggi piramida segitiga apa pun, Anda dapat menggunakan rumus volume: V = (1/3) Sh, di mana S adalah luas alasnya, V adalah volume piramida, h adalah tingginya. Turunkan rumus tinggi dari rumus ini: untuk menemukan tinggi piramida segitiga, Anda perlu mengalikan volume piramida dengan 3, dan kemudian membagi nilai yang dihasilkan dengan luas alasnya, itu akan menjadi: h = (3V) / S. Karena alas piramida segitiga adalah segitiga, Anda dapat menggunakan rumus untuk menghitung luas segitiga. Jika diketahui: luas segitiga S dan sisinya z, maka dengan rumus luas S = (1/2) h: h = (2S) / , di mana h adalah tinggi piramida, adalah tepi segitiga; sudut antara sisi-sisi segitiga dan kedua sisi itu sendiri, maka dengan rumus sebagai berikut: S = (1/2) sinQ, di mana , adalah sisi-sisi segitiga, kita cari luas segitiga. Nilai sinus sudut Q harus ditemukan di tabel sinus, yang tersedia di Internet. Selanjutnya, kita substitusikan nilai luas ke dalam rumus tinggi: h = (2S) / . Jika tugas mengharuskan untuk menghitung tinggi piramida segitiga, maka volume piramida sudah diketahui.
Piramida segitiga biasa
Temukan ketinggian piramida segitiga biasa, yaitu piramida di mana semua wajah adalah segitiga sama sisi, mengetahui nilai tepi . Dalam hal ini, tepi piramida adalah sisi segitiga sama sisi. Tinggi piramida segitiga beraturan adalah: h = (2/3), di mana adalah tepi segitiga sama sisi, h adalah tinggi piramida. Jika luas alas (S) tidak diketahui, tetapi hanya panjang tepi (γ) dan volume (V) polihedron yang diberikan, maka variabel yang diperlukan dalam rumus dari langkah sebelumnya harus diganti dengan ekuivalennya, yang dinyatakan dalam panjang sisi. Luas segitiga (beraturan) sama dengan 1/4 hasil kali panjang sisi segitiga ini, dikuadratkan dengan akar kuadrat dari 3. Gantikan rumus ini dengan luas alas di rumus sebelumnya, dan kita mendapatkan rumus berikut: h = 3V4 / (γ 2 3) = 12V / (γ 2 3). Volume tetrahedron dapat dinyatakan dalam panjang sisinya, maka semua variabel dapat dihilangkan dari rumus untuk menghitung tinggi gambar dan hanya sisi wajah segitiga dari gambar yang dapat dibiarkan. Volume piramida semacam itu dapat dihitung dengan membagi 12 dari produk panjang pangkat tiga wajahnya dengan akar kuadrat dari 2.
Mengganti ekspresi ini ke dalam rumus sebelumnya, kita memperoleh rumus perhitungan berikut: h = 12 (γ 3 2 / 12) / (γ 2 3) = (γ 3 2) / (γ 2 3) = (2 / 3) = (1/3) 6. Juga, prisma segitiga biasa dapat dituliskan ke dalam bola, dan hanya mengetahui jari-jari bola (R), Anda dapat menemukan ketinggian tetrahedron. Panjang tepi tetrahedron adalah: = 4R / 6. Ganti variabel dengan ekspresi ini pada rumus sebelumnya dan dapatkan rumus: h = (1/3) 6 (4R) / 6 = (4R) / 3. Rumus yang sama dapat diperoleh dengan mengetahui jari-jari (R) lingkaran yang tertulis dalam tetrahedron. Dalam hal ini, panjang tepi segitiga akan menjadi 12 rasio antara akar kuadrat dari 6 dan jari-jarinya. Kami mengganti ekspresi ini ke dalam rumus sebelumnya dan kami memiliki: h = (1/3) 6 = (1/3) 6 (12R) / 6 = 4R.
Cara mencari tinggi piramida segi empat biasa
Untuk menjawab pertanyaan tentang bagaimana menemukan panjang tinggi piramida, Anda perlu tahu, seratus piramida biasa. Piramida segi empat adalah piramida dengan segi empat di alasnya. Jika dalam kondisi masalah kita memiliki: volume (V) dan luas alas (S) piramida, maka rumus untuk menghitung tinggi polihedron (h) adalah sebagai berikut - bagilah volume dikalikan 3 dengan luas S: h = (3V) / S. Dengan alas persegi limas yang diketahui: diketahui volume (V) dan panjang sisi , ganti luas (S) pada rumus sebelumnya dengan kuadrat panjang sisinya: S = 2; H = 3V / 2. Ketinggian piramida beraturan h = SO melewati pusat lingkaran, yang digambarkan di dekat alasnya. Karena alas piramida ini berbentuk bujur sangkar, titik O adalah perpotongan diagonal AD dan BC. Kami memiliki: OC = (1/2) BC = (1/2) AB√6. Selanjutnya, kita temukan dalam segitiga siku-siku SOC (dengan teorema Pythagoras): SO = (SC 2 -OC 2). Sekarang Anda tahu cara menemukan ketinggian piramida yang benar.
