K 4 penerapan sifat-sifat akar kuadrat aritmatika. Akar pangkat dua. Teori rinci dengan contoh. Properti utama dari root

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk kelas 8 institusi pendidikan.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan analisis awal: Buku teks untuk kelas 10 - 11 lembaga pendidikan.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan untuk pelamar ke sekolah teknik).

Saya melihat lagi pada tanda itu ... Dan ayo pergi!

Mari kita mulai dengan yang sederhana:

Tunggu sebentar. ini, yang berarti bahwa kita dapat menulis seperti ini:

Mengerti? Berikut ini untuk Anda:

Akar dari angka yang dihasilkan tidak persis diekstraksi? Tidak masalah - berikut beberapa contohnya:

Tetapi bagaimana jika faktornya bukan dua, tetapi lebih? Sama! Rumus perkalian akar bekerja dengan sejumlah faktor:

Sekarang sepenuhnya sendiri:

Jawaban: Sudah selesai dilakukan dengan baik! Setuju, semuanya sangat mudah, yang utama adalah mengetahui tabel perkalian!

Pembagian akar

Kami telah menemukan perkalian akar, sekarang mari kita turun ke sifat pembagian.

Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa rumus secara umum terlihat seperti ini:

Ini berarti bahwa akar hasil bagi sama dengan hasil bagi akar-akarnya.

Baiklah, mari kita cari tahu dengan contoh:

Itu semua ilmu. Berikut ini contohnya:

Semuanya tidak semulus pada contoh pertama, tetapi, seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit.

Tetapi bagaimana jika ekspresi seperti ini muncul:

Anda hanya perlu menerapkan rumus ke arah yang berlawanan:

Dan inilah contohnya:

Anda juga dapat menemukan ungkapan ini:

Semuanya sama, hanya di sini Anda perlu mengingat cara menerjemahkan pecahan (jika Anda tidak ingat, lihat topiknya dan kembali lagi!). Ingat? Sekarang kita putuskan!

Saya yakin Anda telah mengatasi segalanya, semuanya, sekarang mari kita coba membangun akar dalam derajat.

Eksponen

Tetapi apa yang terjadi jika akar kuadrat dikuadratkan? Sederhana saja, ingat arti akar kuadrat dari suatu angka - ini adalah angka yang akar kuadratnya sama dengan.

Jadi, jika kita menaikkan angka yang akar kuadratnya sama dengan kuadrat, lalu apa yang kita dapatkan?

Yah, tentu saja, !

Mari kita lihat contohnya:

Ini sederhana, bukan? Dan jika akarnya dalam derajat yang berbeda? Tidak apa-apa!

Ikuti logika yang sama dan ingat properti dan kemungkinan tindakan dengan derajat.

Baca teori tentang topik "" dan semuanya akan menjadi sangat jelas bagi Anda.

Misalnya, inilah ekspresi:

Dalam contoh ini, derajatnya genap, tetapi bagaimana jika ganjil? Sekali lagi, terapkan properti daya dan faktorkan semuanya:

Dengan ini, semuanya tampak jelas, tetapi bagaimana cara mengekstrak akar angka menjadi kekuatan? Misalnya, ini adalah:

Cukup sederhana, bukan? Dan jika gelarnya lebih dari dua? Kami mengikuti logika yang sama menggunakan properti derajat:

Nah, apakah semuanya jelas? Kemudian selesaikan sendiri contohnya:

Dan inilah jawabannya:

Pengantar di bawah tanda akar

Apa yang belum kita pelajari untuk dilakukan dengan akar! Tetap hanya berlatih memasukkan nomor di bawah tanda root!

Mudah!

Katakanlah kita punya nomor

Apa yang bisa kita lakukan dengannya? Yah, tentu saja, sembunyikan ketiganya di bawah akar, mengingat bahwa ketiganya adalah akar kuadrat dari!

Mengapa kita memerlukan ini? Ya, hanya untuk memperluas kemampuan kami saat memecahkan contoh:

Bagaimana Anda menyukai properti akar ini? Apakah itu membuat hidup lebih mudah? Bagi saya, itu benar! Hanya kita harus ingat bahwa kita hanya dapat memasukkan bilangan positif di bawah tanda akar kuadrat.

Selesaikan sendiri contoh ini -
Apakah Anda berhasil? Mari kita lihat apa yang harus Anda dapatkan:

Sudah selesai dilakukan dengan baik! Anda berhasil memasukkan nomor di bawah tanda root! Mari kita beralih ke yang sama pentingnya - mari kita lihat bagaimana membandingkan angka yang mengandung akar kuadrat!

Perbandingan akar

Mengapa kita harus belajar membandingkan bilangan yang mengandung akar kuadrat?

Sangat sederhana. Seringkali, dalam ekspresi besar dan panjang yang ditemui pada ujian, kita mendapatkan jawaban yang tidak rasional (apakah Anda ingat apa itu? Anda dan saya sudah membicarakannya hari ini!)

Kita perlu menempatkan jawaban yang diterima pada garis koordinat, misalnya, untuk menentukan interval mana yang cocok untuk menyelesaikan persamaan. Dan di sini muncul hambatan: tidak ada kalkulator pada ujian, dan tanpanya bagaimana membayangkan angka mana yang lebih besar dan mana yang lebih kecil? Itu saja!

Misalnya, tentukan mana yang lebih besar: atau?

Anda tidak bisa langsung tahu. Nah, mari kita gunakan properti yang dianalisis untuk memasukkan angka di bawah tanda akar?

Kemudian lanjutkan:

Dan, tentu saja, semakin besar angka di bawah tanda akar, semakin besar akar itu sendiri!

Itu. jika kemudian,.

Dari sini kami dengan tegas menyimpulkan bahwa. Dan tidak ada yang akan meyakinkan kita sebaliknya!

Mengekstrak akar dari jumlah besar

Sebelum itu, kami memperkenalkan faktor di bawah tanda root, tetapi bagaimana cara menghapusnya? Anda hanya perlu memfaktorkannya dan mengekstrak apa yang diekstraksi!

Dimungkinkan untuk mengambil jalur yang berbeda dan terurai menjadi faktor-faktor lain:

Tidak buruk, ya? Salah satu dari pendekatan ini benar, putuskan apa yang paling cocok untuk Anda.

Anjak sangat berguna saat menyelesaikan tugas non-standar seperti ini:

Kami tidak takut, tapi kami bertindak! Mari kita uraikan setiap faktor di bawah akar menjadi faktor-faktor terpisah:

Sekarang coba sendiri (tanpa kalkulator! Tidak akan ada di ujian):

Apakah ini akhirnya? Jangan berhenti di tengah jalan!

Itu saja, tidak begitu menakutkan, kan?

Telah terjadi? Dilakukan dengan baik, itu benar!

Sekarang coba selesaikan contoh ini:

Dan contohnya adalah kacang yang sulit untuk dipecahkan, jadi Anda tidak tahu bagaimana mendekatinya. Tapi kita, tentu saja, bisa mengatasinya.

Nah, mari kita mulai memfaktorkan? Perhatikan segera bahwa Anda dapat membagi angka dengan (ingat kriteria pembagian):

Sekarang, coba sendiri (sekali lagi, tanpa kalkulator!):

Nah, apa yang terjadi? Dilakukan dengan baik, itu benar!

Mari kita simpulkan

1. Akar kuadrat (akar kuadrat aritmatika) dari bilangan non-negatif adalah bilangan non-negatif yang kuadratnya sama dengan.
   .
2. Jika kita hanya mengambil akar kuadrat dari sesuatu, kita selalu mendapatkan satu hasil non-negatif.
3. Sifat akar aritmatika:
4. Saat membandingkan akar kuadrat, harus diingat bahwa semakin besar angka di bawah tanda akar, semakin besar akar itu sendiri.

Bagaimana Anda menyukai akar kuadrat? Semua jelas?

Kami mencoba menjelaskan kepada Anda tanpa air semua yang perlu Anda ketahui tentang ujian akar kuadrat.

Sekarang giliran Anda. Tulis kepada kami apakah itu topik yang sulit bagi Anda atau tidak.

Apakah Anda mempelajari sesuatu yang baru atau semuanya sudah jelas.

Tulis di komentar dan semoga berhasil dalam ujian Anda!

\ (\ sqrt (a) = b \) jika \ (b ^ 2 = a \), di mana \ (a≥0, b≥0 \)

Contoh:

\ (\ kuadrat (49) = 7 \) karena \ (7 ^ 2 = 49 \)
\ (\ kuadrat (0,04) = 0,2 \) karena \ (0,2 ^ 2 = 0,04 \)

Bagaimana cara mengekstrak akar kuadrat dari suatu bilangan?

Untuk mengekstrak akar kuadrat dari suatu angka, Anda perlu bertanya pada diri sendiri pertanyaan: angka berapa dalam kuadrat yang akan diberikan oleh ekspresi di bawah akar?

Sebagai contoh... Ekstrak akarnya: a) \ (\ sqrt (2500) \); b) \ (\ sqrt (\ frac (4) (9)) \); c) \ (\ kuadrat (0,001) \); d) \ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) \)

a) Berapa angka kuadrat yang akan diberikan \ (2500 \)?

\ (\ kuadrat (2500) = 50 \)

b) Berapakah bilangan kuadrat yang akan \ (\ frac (4) (9) \)?

\ (\ sqrt (\ frac (4) (9)) \) \ (= \) \ (\ frac (2) (3) \)

c) Berapa angka kuadrat yang akan diberikan \ (0,0001 \)?

\ (\ kuadrat (0,0001) = 0,01 \)

d) Berapakah bilangan kuadrat yang akan \ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) \)? Untuk menjawab pertanyaan, Anda perlu menerjemahkan ke yang salah.

\ (\ sqrt (1 \ frac (13) (36)) = \ sqrt (\ frac (49) (16)) = \ frac (7) (6) \)

Komentar: Meskipun \ (- 50 \), \ (- \ frac (2) (3) \), \ (- 0,01 \), \ (- \ frac (7) (6) \), juga menjawab yang diberikan pertanyaan, tetapi mereka tidak diperhitungkan, karena akar kuadrat selalu positif.

Properti utama dari root

Seperti yang Anda ketahui, dalam matematika, tindakan apa pun memiliki kebalikannya. Penambahan memiliki pengurangan, dan perkalian memiliki pembagian. Invers dari kuadrat adalah akar kuadrat. Oleh karena itu, tindakan ini membatalkan satu sama lain:

\ ((\ kuadrat (a)) ^ 2 = a \)

Ini adalah properti utama root, yang paling sering digunakan (termasuk di OGE)

Contoh ... (tugas dari OGE). Cari nilai dari ekspresi \ (\ frac ((2 \ sqrt (6)) ^ 2) (36) \)

Larutan :\ (\ frac ((2 \ sqrt (6)) ^ 2) (36) = \ frac (4 \ cdot (\ sqrt (6)) ^ 2) (36) = \ frac (4 \ cdot 6) (36 ) = \frac (4) (6) = \frac (2) (3) \)

Contoh ... (tugas dari OGE). Cari nilai dari ekspresi \ ((\ sqrt (85) -1) ^ 2 \)

Larutan:

Tentu saja, ketika bekerja dengan akar kuadrat, Anda juga perlu menggunakan yang lain.

Contoh ... (tugas dari OGE). Cari nilai dari ekspresi \ (5 \ sqrt (11) \ cdot 2 \ sqrt (2) \ cdot \ sqrt (22) \)
Larutan:

Menjawab: \(220\)

4 aturan yang selalu dilupakan

Akar tidak selalu diambil

Contoh: \ (\ sqrt (2) \), \ (\ sqrt (53) \), \ (\ sqrt (200) \), \ (\ sqrt (0,1) \) dll. - tidak selalu mungkin untuk mengekstrak akar dari angka dan ini normal!

Akar angka, juga angka

Tidak perlu merujuk ke \ (\ sqrt (2) \), \ (\ sqrt (53) \), entah bagaimana khususnya. Ini adalah angka, tetapi bukan bilangan bulat, ya, tetapi tidak semua yang ada di dunia kita diukur dalam bilangan bulat.

Akar diekstraksi hanya dari angka non-negatif

Oleh karena itu, dalam buku teks Anda tidak akan melihat entri seperti itu \ (\ sqrt (-23) \), \ (\ sqrt (-1) \), dll.

Judul: Makalah independen dan ujian aljabar dan geometri untuk kelas 8.

Manual ini berisi pekerjaan independen dan kontrol pada semua topik terpenting dari kursus aljabar dan geometri di kelas 8.

Karya terdiri dari 6 varian dari tiga tingkat kesulitan. Materi didaktik dimaksudkan untuk pengorganisasian karya mandiri siswa yang berbeda.

ISI
ALJABAR 4
P-1 Ekspresi Rasional. Mengurangi pecahan 4
C-2 Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan 5
K-1 pecahan rasional. Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan 7
C-3 Perkalian dan pembagian pecahan. Menaikkan pecahan ke pangkat 10
Transformasi Ekspresi Rasional C-4 12
-5 Invers proporsionalitas dan grafiknya 14
-2 pecahan rasional 16
C-6 Akar kuadrat aritmatika dari 18
C-7 Persamaan x2 = a. Fungsi y = y [x 20
-8 Akar kuadrat dari produk, fraksi, pangkat 22
K-3 Aritmatika akar kuadrat dan sifat-sifatnya 24
C-9 Pengenalan dan penghapusan pengali pada akar kuadrat 27
C-10 Konversi ekspresi yang mengandung akar kuadrat 28
K-4 Menerapkan sifat-sifat akar kuadrat aritmatika 30
P-11 Persamaan Kuadrat Tidak Lengkap 32
-12 Rumus untuk akar persamaan kuadrat 33
-13 Pemecahan masalah menggunakan persamaan kuadrat. Teorema Vieta 34
Persamaan Kuadrat K-5 36
P-14 Persamaan Rasional Pecahan 38
-15 Penerapan persamaan rasional pecahan. Pemecahan masalah 39
K-6 Persamaan Rasional Pecahan 40
C-16 Sifat-sifat pertidaksamaan numerik 43
K-7 Pertidaksamaan numerik dan sifat-sifatnya 44
-17 Pertidaksamaan linier dengan satu variabel 47
-18 Sistem pertidaksamaan linier 48
K-8 Pertidaksamaan linier dan sistem pertidaksamaan dengan satu variabel 50
-19 Derajat dengan indikator negatif 52
Gelar K-9 dengan bilangan bulat 54
-10 Tes tahunan 56
GEOMETRI (Menurut Pogorelov) 58
-1 Sifat dan tanda jajaran genjang. "58
C-2 Persegi Panjang. Belah ketupat. Persegi 60
K-1 Jajaran Genjang 62
Teorema -3 Thales. Garis tengah segitiga 63
C-4 Trapesium. Garis tengah trapesium 66
K-2 Trapesium. Garis tengah segitiga dan trapesium ... 68
C-5 Teorema Pythagoras 70
-6 Teorema yang berlawanan dengan teorema Pythagoras. Tegak lurus dan miring 71
C-7 Pertidaksamaan segitiga 73
K-3 Teorema Pythagoras 74
C-8 Solusi Segitiga Kanan 76
C-9 Sifat-sifat fungsi trigonometri 78
K-4 Segitiga siku-siku (uji umum) 80
-10 Koordinat titik tengah segmen. Jarak antar titik. Persamaan lingkaran 82
C-11 Persamaan garis lurus 84
Koordinat Kartesius K-5 86
-12 Gerakan dan sifat-sifatnya. Simetri pusat dan aksial. Putar 88
S-13. Transfer paralel 90
-14 Konsep vektor. Persamaan vektor 92
-15 Tindakan dengan vektor dalam bentuk koordinat. vektor collinear 94
-16 Tindakan dengan vektor dalam bentuk geometris 95
C-17 Produk titik 98
K-6 Vektor 99
-7 Ujian tahunan 102
GEOMETRI (Menurut Atanasyan) 104
-1 Sifat dan tanda jajaran genjang 104
C-2 Persegi Panjang. Belah ketupat. Persegi 106
-1 Segi empat 108
-3 Luas persegi panjang, persegi 109
-4 Luas jajar genjang, belah ketupat, segitiga 111
-5 Area trapesium 113
C-6 Teorema Pythagoras 114
K-2 Kotak. Teorema Pythagoras 116
C-7 Pengertian segitiga sebangun. Sifat garis bagi sudut segitiga 118
-8 Tanda Segitiga Segitiga 120
K-3 Kesamaan segitiga 122
-9 Menerapkan kesamaan untuk pemecahan masalah 124
C-10 Hubungan antara sisi dan sudut segitiga siku-siku 126
-4 Penerapan kesamaan untuk pemecahan masalah. Perbandingan antara sisi dan sudut segitiga siku-siku 128
-11 Garis singgung lingkaran 130
-12 Sudut tengah dan bertulis 132
-13 Teorema pada produk segmen akord berpotongan. Poin Indah dari Segitiga 134
-14 Lingkaran tertulis dan terbatas 136
Lingkar K-5 137
C-15 Penambahan dan pengurangan vektor 139
-16 Perkalian vektor dengan angka 141
-17 Garis tengah trapesium 142
K-6 Vektor. Menerapkan Vektor untuk Pemecahan Masalah 144
-7 Ujian tahunan 146
JAWABAN 148
REFERENSI 157

KATA PENGANTAR .
1. Satu buku yang relatif kecil berisi satu set lengkap tes (termasuk tes akhir) untuk seluruh mata pelajaran aljabar dan geometri kelas 8, jadi cukup untuk membeli satu set buku per kelas.
Kertas ujian dirancang untuk pelajaran, pekerjaan mandiri - selama 20-35 menit, tergantung pada topiknya. Untuk kenyamanan penggunaan buku, judul masing-masing pekerjaan independen dan tes mencerminkan materi pelajarannya.

2. Koleksi memungkinkan kontrol pengetahuan yang berbeda, karena tugas didistribusikan ke tiga tingkat kompleksitas A, B dan C. Level A sesuai dengan persyaratan program wajib, B - untuk tingkat kompleksitas rata-rata, tugas level C adalah ditujukan untuk siswa dengan minat yang meningkat dalam matematika, dan juga untuk digunakan di ruang kelas, sekolah, sekolah tata bahasa, dan sekolah menengah atas dengan studi matematika lanjutan. Untuk setiap level, ada 2 opsi setara yang berdekatan (seperti yang biasanya tertulis di papan tulis), jadi satu buku di atas meja sudah cukup untuk pelajaran.

Unduh gratis e-book dalam format yang nyaman, tonton dan baca:
Unduh buku Belajar mandiri dan tes dalam aljabar dan geometri untuk kelas 8. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004 - fileskachat.com, unduhan cepat dan gratis.

• Pekerjaan independen dan kontrol dalam geometri untuk kelas 11. Goloborodko V.V., Ershova A.P., 2004
• Pekerjaan mandiri dan tes dalam aljabar dan geometri untuk kelas 9. Ershova A.P., Goloborodko V.V., 2004
• Karya independen dan kontrol pada aljabar dan geometri, kelas 8, Ershova A.P., Goloborodko V.V., Ershova A.S., 2013