Dom » Meki krov » Vektori x y. Vektori za ispit iz matematike. Akcije na vektore. Operacije nad vektorima navedenim u koordinatnom obliku

Vektori x y. Vektori za ispit iz matematike. Akcije na vektore. Operacije nad vektorima navedenim u koordinatnom obliku

Takav koncept kao vektor razmatra se u gotovo svim prirodnim znanostima, a može imati potpuno različita značenja, stoga je nemoguće dati jednoznačnu definiciju vektora za sva područja. Ali hajde da pokušamo da to shvatimo. Dakle, vektor - šta je to?

Koncept vektora u klasičnoj geometriji

Vektor u geometriji je segment za koji je naznačeno koja je njegova tačka početak, a koja kraj. To jest, jednostavnije rečeno, vektor je usmjereni segment.

U skladu s tim, vektor se označava (o čemu je gore rečeno), kao segment, odnosno dva velika slova latinice s dodatkom linije ili strelice koja pokazuje desno na vrhu. Može se potpisati i malim (malim) slovom latinice sa linijom ili strelicom. Strelica je uvijek usmjerena udesno i ne mijenja se ovisno o lokaciji vektora.

Dakle, vektor ima pravac i dužinu.

Oznaka vektora također sadrži njegov smjer. Ovo je izraženo kao na slici ispod.

Promjena smjera obrće vrijednost vektora.

Dužina vektora je dužina segmenta od kojeg je formiran. Označen je kao modul vektora. Ovo je prikazano na donjoj slici.

Prema tome, vektor čija je dužina jednaka nuli je nula. Iz ovoga slijedi da je nulti vektor tačka, a početna i krajnja tačka se u njoj poklapaju.

Dužina vektora - vrijednost uvijek nije negativna. Drugim riječima, ako postoji segment, onda on nužno ima određenu dužinu ili je tačka, tada je njegova dužina nula.

Sam koncept tačke je osnovni i nema definiciju.

Vektorsko dodavanje

Postoje posebne formule i pravila za vektore koje možete koristiti za sabiranje.

Pravilo trougla. Za dodavanje vektora prema ovom pravilu dovoljno je spojiti kraj prvog vektora i početak drugog, koristeći paralelnu translaciju, i povezati ih. Rezultirajući treći vektor će biti jednak sabiranju druga dva.

Pravilo paralelograma. Za sabiranje po ovom pravilu potrebno je nacrtati oba vektora iz jedne tačke, a zatim nacrtati drugi vektor sa kraja svakog od njih. Odnosno, drugi će biti izvučen iz prvog vektora, a prvi će biti izvučen iz drugog. Rezultat je nova tačka preseka i paralelogram. Ako kombinirate točku presjeka početaka i krajeva vektora, tada će rezultirajući vektor biti rezultat zbrajanja.

Oduzimanje je također moguće na sličan način.

Vektori razlika

Slično sabiranju vektora, moguće je izvršiti njihovo oduzimanje. Zasnovan je na principu prikazanom na donjoj slici.

Odnosno, dovoljno je vektor koji treba oduzeti predstaviti u obliku vektora koji mu je suprotan i izračunati prema principima sabiranja.

Također, apsolutno svaki vektor različit od nule može se pomnožiti sa bilo kojim brojem k, što će promijeniti njegovu dužinu k puta.

Osim ovih, postoje i druge vektorske formule (na primjer, za izražavanje dužine vektora u smislu njegovih koordinata).

Vektori pozicioniranja

Sigurno su mnogi naišli na takav koncept kao kolinearni vektor. Šta je kolinearnost?

Kolinearnost vektora je ekvivalentna paralelizmu pravih linija. Ako dva vektora leže na ravnim linijama koje su međusobno paralelne, ili na jednoj pravoj liniji, tada se takvi vektori nazivaju kolinearni.

Smjer. Kolinearni vektori jedan u odnosu na drugi mogu biti kosmjerni ili suprotno usmjereni, što je određeno smjerom vektora. Prema tome, ako je vektor ko-usmjeren s drugim, tada je vektor suprotan njemu suprotno usmjeren.

Prva slika prikazuje dva suprotno usmjerena vektora i treći, koji im nije kolinearan.

Nakon uvođenja navedenih svojstava, moguće je dati definiciju jednakim vektorima - to su vektori koji su usmjereni u jednom smjeru i imaju istu dužinu segmenata od kojih su formirani.

U mnogim naukama koristi se i koncept radijus vektora. Takav vektor opisuje položaj jedne tačke na ravni u odnosu na drugu fiksnu tačku (često je ovo ishodište).

Vektori u fizici

Pretpostavimo da je prilikom rješavanja problema nastao uvjet: tijelo se kreće brzinom od 3 m / s. To znači da se tijelo kreće u određenom smjeru duž jedne prave, pa će ova varijabla biti vektorska vrijednost. Za rješenje je važno znati i vrijednost i smjer, jer, ovisno o razmatranju, brzina može biti jednaka i 3 m/s i -3 m/s.

Općenito, vektor se u fizici koristi za označavanje smjera sile koja djeluje na tijelo i za određivanje rezultante.

Kada su ove sile označene na slici, one su označene strelicama sa potpisom vektora iznad njih. Klasično, dužina strelice je jednako važna, uz pomoć nje pokazuju koja sila djeluje jače, ali ovo svojstvo je sekundarno, ne biste se trebali oslanjati na nju.

Vektor u linearnoj algebri i računu

Elementi linearnih prostora nazivaju se i vektori, ali u ovom slučaju oni su uređeni sistem brojeva koji opisuju neke od elemenata. Dakle, pravac u ovom slučaju više nema nikakvu važnost. Definicija vektora u klasičnoj geometriji i u matematičkoj analizi je veoma različita.

Projektovanje vektora

Projektovani vektor - šta je to?

Često je za ispravan i zgodan proračun potrebno proširiti vektor koji se nalazi u dvodimenzionalnom ili trodimenzionalnom prostoru duž koordinatnih osa. Ova operacija je neophodna, na primjer, u mehanici kada se računaju sile koje djeluju na tijelo. Vektor se prilično često koristi u fizici.

Da biste izvršili projekciju, dovoljno je spustiti okomice s početka i kraja vektora na svaku od koordinatnih osa, segmenti dobiveni na njima će se zvati projekcija vektora na osu.

Da bi se izračunala dužina projekcije, dovoljno je pomnožiti njenu početnu dužinu određenom trigonometrijskom funkcijom, koja se dobija prilikom rešavanja mini zadatka. U stvari, postoji pravokutni trokut u kojem je hipotenuza originalni vektor, jedan krak je projekcija, a drugi krak ispuštena okomica.

DEFINICIJA

Vector(od lat." vektor"-" ležaj") - usmjereni segment prave linije u prostoru ili na ravni.

Grafički, vektor je prikazan kao usmjeren segment određene dužine. Vektor, čiji je početak u tački, a kraj u tački, označava se kao (slika 1). Također, vektor se može označiti jednim malim slovom, na primjer,.

Ako je koordinatni sistem specificiran u prostoru, tada vektor može biti jedinstveno specificiran skupom njegovih koordinata. Odnosno, vektor se shvata kao objekat koji ima veličinu (dužinu), pravac i tačku primene (početak vektora).

Počeci vektorskog računa javljaju se u radovima 1831. godine u radovima njemačkog matematičara, mehaničara, fizičara, astronoma i geodeta Johanna Karl Friedricha Gaussa (1777-1855). Radove o operacijama s vektorima objavio je irski matematičar, mehaničar i teorijski fizičar Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) u okviru svog kvaterninskog računa. Naučnik je predložio termin "vektor" i opisao neke operacije na vektorima. Vektorski račun je dalje razvijen zahvaljujući radu o elektromagnetizmu britanskog fizičara, matematičara i mehaničara Jamesa Clerka Maxwella (1831-1879). 1880-ih godina objavljena je knjiga "Elementi vektorske analize" koju je objavio američki fizičar, fizikohemičar, matematičar i mehaničar Josiah Willard Gibbs (1839-1903). Modernu vektorsku analizu opisao je 1903. godine engleski samouki naučnik, inženjer, matematičar i fizičar Oliver Hevisajd (1850-1925).

DEFINICIJA

Dužina ili vektorski modul je dužina usmjerenog segmenta koji definira vektor. Označeno je kao.

Osnovne vrste vektora

Nulti vektor je vektor čija se početna i krajnja tačka poklapaju. Dužina nultog vektora je nula.

Vektori koji su paralelni jednoj pravoj liniji ili leže na jednoj pravoj liniji nazivaju se kolinearno(sl. 2).

korežirao ako su im pravci isti.

Na slici 2 to su vektori i. Ko-usmjerenost vektora se označava na sljedeći način:.

Dva kolinearna vektora se nazivaju suprotno usmerena ako su im pravci suprotni.

Na slici 3, ovo su vektori i. Oznaka:.

U ovom članku ćemo dati definiciju vektora u smislu geometrije, kao i osnovne povezane koncepte. Na ravni i u prostoru vektor je punopravni geometrijski objekat, odnosno ima sasvim stvarne obrise, što ćete vidjeti na datim grafičkim ilustracijama.

Definicija.

Vector Je usmjeren segment.

Odnosno, uzimamo segment na ravni ili u prostoru kao vektor, smatrajući da je jedna od njegovih graničnih tačaka početak, a druga kraj.

Za označavanje vektora koristit ćemo, na primjer, mala latinična slova sa strelicom iznad njih. Ako su date granične tačke početka i kraja segmenta, na primjer A i B, tada će vektor biti označen kao.

Definicija.

Nulti vektor Da li je bilo koja tačka u ravni ili prostoru.

Definicija.

Dužina vektora je nenegativan broj jednak dužini segmenta AB.

Dužina vektora će biti označena kao.

Pošto se oznaka dužine vektora tačno poklapa sa predznakom modula, možete čuti da se dužina vektora naziva modulom vektora. I dalje preporučujemo korištenje izraza "vektorska dužina". Dužina nultog vektora je nula.

Definicija.

Dva vektora se nazivaju kolinearno ako leže na jednoj pravoj ili na paralelnoj liniji.

Definicija.

Dva vektora se nazivaju nekolinearno ako ne leže na jednoj pravoj ili paralelnoj liniji.

Vektor nula je kolinearan sa bilo kojim drugim vektorom.

Definicija.

korežirao, ako im se pravci poklapaju i označavaju.

Definicija.

Dva kolinearna vektora i se nazivaju suprotno usmerena, ako su njihovi smjerovi suprotni i označite.

Definicija.

Dva vektora se nazivaju jednaka ako su kosmjerne i njihove dužine jednake.

Definicija.

Dva vektora se nazivaju suprotno ako su suprotno usmjereni i njihove dužine jednake.

Jednaki vektori nam omogućavaju da vidimo vektore bez pozivanja na određene tačke. Drugim riječima, imamo mogućnost zamijeniti vektor jednakim vektorom iz bilo koje tačke.

Neka i dva proizvoljna vektora na ravni ili u prostoru. Odvojimo vektore i iz neke tačke O ravni ili prostora. Grede OA i OB formiraju ugao.

1. Šta je vektor?

2. Sabiranje vektora.

3. Jednakost vektora.

4. Skalarni proizvod dva vektora i njegova svojstva.

5. Svojstva operacija nad vektorima.

6. Dokazi i rješavanje problema.

Jedan od temeljnih koncepata moderne matematike je vektor i njegova generalizacija - tenzor. Evolucija koncepta vektora je izvršena zbog široke upotrebe ovog koncepta u različitim oblastima matematike, mehanike, kao i u tehnologiji.

Kraj prošlog i početak sadašnjeg stoljeća obilježen je ekstenzivnim razvojem vektorskog računa i njegove primjene. Stvorena je vektorska algebra i vektorska analiza, opća teorija vektorskog prostora. Ove teorije su korišćene u konstrukciji specijalne i opšte teorije relativnosti, koje igraju izuzetno važnu ulogu u modernoj fizici.

U skladu sa zahtjevima novog nastavnog plana i programa matematike, koncept vektora je postao jedan od vodećih pojmova u školskom predmetu matematike.

Šta je vektor? Začudo, odgovor na ovo pitanje predstavlja određene poteškoće. Postoje različiti pristupi definisanju koncepta vektora; Štaviše, čak i ako se ograničimo samo na elementarni geometrijski pristup pojmu vektora, koji nam je ovdje najzanimljiviji, onda će i tada postojati različiti pogledi na ovaj koncept. Naravno, bez obzira koju definiciju da uzmemo, vektor je - sa elementarne geometrijske tačke gledišta - geometrijski objekat koji karakteriše pravac (odnosno, dat paralelizmu na pravu i pravac na njoj) i dužina. , takva definicija je previše opšta i ne uzrokuje specifične geometrijske reprezentacije. Prema ovoj opštoj definiciji, paralelno prevođenje se može smatrati vektorom. Zaista, mogla bi se prihvatiti ovakva definicija: “Svaki paralelni prijenos naziva se vektor”. Ova definicija je logički besprijekorna i na njenoj osnovi se može izgraditi čitava teorija djelovanja na vektore i razviti primjene ove teorije. Međutim, ova definicija nas, uprkos svojoj potpunoj konkretnosti, ni ovdje ne može zadovoljiti, jer nam se pojam vektora kao geometrijske transformacije čini nedovoljno jasnim i daleko od fizičkih koncepata vektorskih veličina.

dakle, vektor je porodica svih međusobno paralelnih jednako usmjerenih i jednakih dužina segmenata (slika 1).

Vektor je na crtežima prikazan linijskim segmentom sa strelicom (tj. nije prikazana cijela porodica segmenata linija, koja je vektor, već samo jedan od ovih segmenata). Podebljana latinična slova koriste se za označavanje vektora u knjigama i člancima. a, b, c i tako dalje, iu sveskama i na tabli - latinična slova sa crticom na vrhu , Isto slovo, ali ne podebljano, već svetlo (a u svesci i na tabli isto slovo bez crtice) označava dužinu vektora. Dužina se ponekad označava i vertikalnim trakama - kao modul (apsolutna vrijednost) broja. Dakle, dužina vektora a označeno sa a ili ja a I, a u rukom pisanom tekstu dužina vektora je a označeno sa a ili ja a I. U vezi sa predstavljanjem vektora u obliku segmenata (slika 2), treba imati na umu da su krajevi segmenta koji predstavlja vektor nejednaki: jedan kraj segmenta drugom.

Razlikovati početak i kraj vektora (tačnije, segment koji predstavlja vektor).

Često se konceptu vektora daje drugačija definicija: vektor je usmjereni segment. U ovom slučaju se pretpostavlja da su vektori (tj. usmjereni segmenti) iste dužine i istog smjera (slika 3) jednaki.

Vektori se nazivaju identično usmjereni ako su njihove poluprave identično usmjerene.

Sabiranje vektora.

Sve navedeno još uvijek ne daje koncept vektora dovoljno smislen i koristan. Koncept vektora dobija veliko značenje i bogate mogućnosti primene kada uvedemo neku vrstu „geometrijske aritmetike“ – vektorsku aritmetiku koja omogućava sabiranje vektora, njihovo oduzimanje i izvođenje niza drugih operacija nad njima. Napomenimo s tim u vezi da pojam broja postaje zanimljiv tek kada se uvedu aritmetičke operacije, a ne sam po sebi.

Zbir vektora a i v sa koordinatama a 1, a 2 i u 1, u 2 naziva se vektor sa sa koordinatama a 1 + u 1, a 2 + u 2, one. a(a 1; a 2) + v(u 1; u 2) = sa(a 1 + u 1; a 2 + u 2).

Zaključak:

Da bismo dokazali komutativnost sabiranja vektora na ravni, moramo razmotriti primjer. a i v - vektori (slika 5).

Neka bude

1. Gradimo paralelogram OASV: AM II OV, VN II OA.

Da bismo dokazali asocijativnost, odlažemo vektor iz proizvoljne tačke O OA = a, iz tačke A vektora AB = in a iz tačke b - vektor BC = s. tada imamo: AB + BC = AC.
odakle slijedi jednakost a + (c + c) = (a + b)+ s. Imajte na umu da gornji dokaz uopće ne koristi crtež. Ovo je tipično (uz određenu vještinu) za rješavanje problema pomoću vektora. Zaustavimo se sada na slučaju kada su vektori a i v usmjerene u suprotnim smjerovima i jednake dužine; takvi vektori se nazivaju suprotni. Naše pravilo za sabiranje vektora čini zbir dva suprotna vektora “vektorom” nulte dužine i bez smjera; ovaj “vektor” je predstavljen “segmentom nulte dužine”, tj. tačka. Ali ovo je također vektor, koji se naziva nula i označava se simbolom 0.

Jednakost vektora.

Za dva vektora se kaže da su jednaka ako su poravnati paralelnim prevođenjem. To znači da postoji paralelna translacija koja uzima početak i kraj jednog vektora na početak i kraj drugog vektora, respektivno.

Iz ove definicije jednakosti vektora proizilazi da su različiti vektori jednako usmjereni i jednaki po apsolutnoj vrijednosti.

I obrnuto: ako su vektori jednako usmjereni i jednaki po apsolutnoj vrijednosti, onda su jednaki.

Zaista, neka vektori AB i WITH D - identično usmjereni vektori jednaki po apsolutnoj vrijednosti (slika 6). Paralelni prenos, prenoseći tačku C u tačku A, poravnava polupravu CD sa polupravom AB, pošto su one podjednako usmerene. A pošto su segmenti AB i CD jednaki, tada se tačka D poklapa sa tačkom B, odnosno, paralelni prenos prevodi vektor CD u vektoru AB. Otuda i vektori AB i WITH D jednaki su, prema potrebi.

Definicija

Skalarna količina- količina koja se može okarakterisati brojem. Na primjer, dužina, površina, masa, temperatura itd.

Vector poziva se usmjereni segment $ \ overline (A B) $; tačka $ A $ je početak, tačka $ B $ je kraj vektora (slika 1).

Vektor se označava ili sa dva velika slova - njegovim početkom i krajem: $ \ overline (A B) $ ili jednim malim slovom: $ \ overline (a) $.

Definicija

Ako se početak i kraj vektora poklapaju, onda se takav vektor naziva nula... Najčešće se nulti vektor označava kao $ \ overline (0) $.

Vektori se nazivaju kolinearno ako leže ili na jednoj pravoj liniji ili na paralelnim pravim linijama (slika 2).

Definicija

Dva kolinearna vektora $ \ overline (a) $ i $ \ overline (b) $ se nazivaju korežirao ako im se pravci poklapaju: $ \ nadcrt (a) \ uparrow \ uparrow \ nadcrt (b) $ (slika 3, a). Dva kolinearna vektora $ \ overline (a) $ i $ \ overline (b) $ se nazivaju suprotno usmerena ako su im smjerovi suprotni: $ \ nadcrt (a) \ strelica prema gore \ dolje \ nadcrt (b) $ (slika 3, b).