Tentukan momen inersia aksial terhadap sumbu pusat. Sumbu inersia. Contoh pemecahan masalah

Dari rumus (6.29) - (6.31) dapat dilihat bahwa ketika sumbu koordinat diputar, momen inersia sentrifugal berubah tanda, dan oleh karena itu, ada posisi sumbu di mana momen sentrifugal adalah nol.

Sumbu yang relatif terhadap hilangnya momen inersia sentrifugal bagian disebut sumbu utama, dan sumbu utama yang melewati pusat gravitasi bagian disebut sumbu pusat utama inersia bagian.

Momen inersia terhadap sumbu utama inersia penampang disebut momen inersia utama dari bagian dan dilambangkan dengan Saya 1 dan Saya 2 lebih-lebih lagi Saya 1 > Saya 2 ... Biasanya, berbicara tentang momen utama, itu berarti momen inersia aksial tentang sumbu pusat utama inersia.

Misalkan sumbu kamu dan v yang utama. Kemudian

.

Persamaan (6.32) menentukan posisi sumbu utama inersia penampang pada titik tertentu relatif terhadap sumbu koordinat semula. Ketika sumbu koordinat diputar, momen inersia aksial juga berubah. Mari kita cari posisi sumbu relatif terhadap mana momen inersia aksial mencapai nilai ekstrim. Untuk ini kita ambil turunan pertama dari Sayakamu pada α dan samakan dengan nol:

.

Kondisi sayav/Dα . Membandingkan ekspresi terakhir dengan rumus (6.32), kami sampai pada kesimpulan bahwa sumbu utama inersia adalah sumbu relatif yang momen inersia aksial bagian mencapai nilai ekstrim.

Untuk menyederhanakan perhitungan momen inersia utama, rumus (6.29) - (6.31) ditransformasikan, dengan mengecualikan fungsi trigonometri darinya menggunakan relasi (6.32):

.

Tanda plus di depan radikal sesuai dengan yang lebih besar Saya 1 , dan tanda minusnya lebih kecil Saya 2 dari momen inersia penampang.

Mari kita tunjukkan satu sifat penting penampang yang momen inersia aksialnya terhadap sumbu utama adalah sama. Misalkan sumbu kamu dan z utama ( Sayayz= 0), dan Sayakamu=Sayaz... Kemudian, menurut persamaan (6.29) - (6.31), untuk setiap sudut rotasi sumbu α momen inersia sentrifugal Sayauv= 0, dan aksial Sayakamu= Sayav.

Jadi, jika momen inersia penampang terhadap sumbu utama adalah sama, maka semua sumbu yang melalui titik yang sama pada penampang adalah yang utama dan momen inersia aksial terhadap semua sumbu ini adalah sama: Sayakamu= Sayav= Sayakamu= Sayaz. Properti ini dimiliki, misalnya, dengan bagian persegi, bulat, annular.

Rumus (6.33) mirip dengan rumus (3.25) untuk tegangan utama. Akibatnya, momen inersia utama dapat ditentukan secara grafis dengan metode Mohr.

Momen inersia aksial penampang sehubungan dengan sumbu x dan pada(lihat gambar 32, sebuah) integral tertentu dari bentuk

Saat menentukan momen inersia aksial, dalam beberapa kasus seseorang harus bertemu dengan karakteristik geometris baru lainnya dari bagian - momen inersia sentrifugal.

Momen inersia sentrifugal bagian tentang dua sumbu yang saling tegak lurus x y(lihat gambar 32, sebuah)

Momen inersia kutub bagian relatif terhadap asal HAI(lihat gambar 32, sebuah) disebut integral tertentu dari bentuk

di mana R- jarak dari asal ke situs dasar hari

Momen inersia aksial dan kutub selalu positif, dan momen sentrifugal, tergantung pada pilihan sumbu, bisa positif, negatif, atau nol. Satuan penunjukan momen inersia - cm 4, mm 4.

Berikut adalah hubungan antara momen inersia kutub dan aksial:

Menurut rumus (41), jumlah momen inersia aksial tentang dua sumbu yang saling tegak lurus sama dengan momen inersia kutub tentang titik perpotongan sumbu-sumbu ini (asal).

Momen inersia bagian tentang sumbu paralel, beberapa di antaranya adalah pusat (x s, kumis)> ditentukan dari ekspresi:

di mana dan iv- koordinat pusat gravitasi bagian C (Gbr. 34).

Rumus (42), yang memiliki aplikasi praktis yang besar, dibaca sebagai berikut: momen inersia suatu penampang terhadap sembarang sumbu sama dengan momen inersia terhadap sumbu yang sejajar dengannya dan melewati pusat gravitasi penampang, ditambah produk dari luas penampang dengan kuadrat jarak antara sumbu.

catatan: koordinat a dan b harus diganti dalam rumus di atas (42) dengan mempertimbangkan tanda-tandanya.

Beras. 34.

Dari rumus (42) berikut bahwa dari semua momen inersia tentang sumbu paralel, momen terkecil adalah tentang sumbu yang melewati pusat gravitasi bagian, yaitu, momen inersia pusat.

Rumus untuk menentukan kekuatan dan kekakuan suatu struktur termasuk momen inersia, yang dihitung relatif terhadap sumbu, yang tidak hanya pusat, tetapi juga yang utama. Untuk menentukan sumbu mana yang melalui pusat gravitasi adalah yang utama, seseorang harus dapat menentukan momen inersia tentang sumbu yang diputar relatif satu sama lain dengan sudut tertentu.

Ketergantungan antara momen inersia ketika sumbu koordinat diputar (Gbr. 35) adalah sebagai berikut:

di mana sebuah- sudut rotasi sumbu dan dan v sehubungan dengan sumbu inai masing-masing. Sudut a dianggap positif jika rotasi sumbu dan dan kamu terjadi berlawanan arah jarum jam.

Beras. 35.

Jumlah momen inersia aksial relatif terhadap sumbu yang saling tegak lurus tidak berubah ketika diputar:

Ketika sumbu diputar di sekitar titik asal, momen inersia sentrifugal berubah terus menerus oleh karena itu, pada posisi sumbu tertentu, itu menjadi sama dengan nol.

Dua sumbu yang saling tegak lurus, yang momen inersia sentrifugalnya sama dengan nol, disebut sumbu utama inersia.

Arah sumbu utama inersia dapat didefinisikan sebagai berikut:

Kedua nilai sudut diperoleh dari rumus (43) sebuah berbeda satu sama lain sebesar 90 ° dan memberikan posisi sumbu utama. Seperti yang Anda lihat, yang lebih kecil dari sudut-sudut ini dalam nilai absolut tidak melebihi l / 4. Berikut ini, kita hanya akan menggunakan sudut yang lebih kecil. Sumbu utama yang ditarik pada sudut ini akan dilambangkan dengan huruf dan. dalam gambar. 36 menunjukkan beberapa contoh penunjukan sumbu utama sesuai dengan aturan yang ditentukan. Sumbu awal ditandai dengan huruf hee y.

Beras. 36.

Dalam masalah lentur, penting untuk mengetahui momen inersia aksial penampang relatif terhadap sumbu utama yang melalui pusat gravitasi penampang.

Sumbu utama yang melalui pusat gravitasi penampang disebut sumbu pusat utama. Berikut ini, sebagai aturan, untuk singkatnya kita akan menyebut sumbu ini secara sederhana as roda utama, menghilangkan kata "pusat".

Sumbu simetri bagian datar adalah sumbu pusat utama inersia bagian ini, sumbu kedua tegak lurus terhadapnya. Dengan kata lain, sumbu simetri dan setiap sumbu yang tegak lurus terhadapnya membentuk sistem sumbu utama.

Jika suatu penampang bidang memiliki paling sedikit dua sumbu simetri yang tidak saling tegak lurus, maka semua sumbu yang melalui pusat gravitasi penampang tersebut adalah sumbu pusat inersia utamanya. Jadi, dalam gambar. 37 menunjukkan beberapa jenis bagian (lingkaran, cincin, persegi, segi enam biasa, dll.) Dengan properti berikut: sumbu apa pun yang melewati pusat gravitasinya adalah yang utama.

Beras. 37.

Perlu dicatat bahwa sumbu utama non-pusat tidak menarik bagi kami.

Dalam teori lentur, momen inersia terhadap sumbu pusat utama adalah yang paling penting.

Momen sentral utama inersia atau momen inersia utama momen inersia terhadap sumbu pusat utama disebut. Selain itu, relatif terhadap salah satu sumbu utama, momen inersia maksimal, relatif terhadap yang lain - minimal:

Momen inersia aksial dari bagian yang ditunjukkan pada Gambar. 37, dihitung sehubungan dengan sumbu pusat utama, sama satu sama lain: J y, kemudian: J u = J x cos 2 a + J y sin a = Jx.

Momen inersia bagian kompleks sama dengan jumlah momen inersia bagian-bagiannya. Oleh karena itu, untuk menentukan momen inersia bagian kompleks, Anda dapat menulis:

gd eJ xi, J y J xiyi adalah momen inersia masing-masing bagian bagian.

NB: jika bagian tersebut berlubang, maka lebih mudah untuk menganggapnya sebagai bagian dengan area negatif.

Untuk melakukan perhitungan kekuatan lebih lanjut, kami memperkenalkan karakteristik geometris baru dari kekuatan batang yang beroperasi di tikungan lurus. Sifat geometrik ini disebut momen aksial tahanan atau momen tahanan lentur.

Perbandingan momen inersia penampang terhadap sumbu dengan jarak dari sumbu ini ke titik terjauh penampang disebut momen aksial resistansi:

Momen hambatan memiliki dimensi mm3, cm3.

Momen inersia dan momen resistensi dari bagian sederhana yang paling umum ditentukan oleh rumus yang diberikan dalam tabel. 3.

Untuk balok baja canai (I-balok, U-balok, balok sudut, dll.), momen inersia dan momen hambatan diberikan dalam tabel berbagai baja canai, di mana, selain dimensi, penampang daerah, posisi pusat gravitasi dan karakteristik lainnya diberikan.

Sebagai kesimpulan, kami memperkenalkan konsep radius girasi bagian relatif terhadap sumbu koordinat x dan pada - saya x dan aku kamu masing-masing, yang ditentukan oleh rumus berikut.

Rumus (31,5), (32,5) dan (34,5) memungkinkan untuk menetapkan bagaimana nilai momen inersia bagian berubah ketika sumbu diputar dengan sudut sewenang-wenang a. Untuk beberapa nilai sudut a, nilai momen inersia aksial mencapai maksimum dan minimum. Nilai ekstrim (maksimum dan minimum) dari momen inersia aksial bagian disebut momen inersia utama. Sumbu-sumbu di mana momen inersia aksial memiliki nilai ekstrem disebut sumbu utama inersia.

Dari rumus (33.5) dapat disimpulkan bahwa jika momen inersia aksial terhadap sumbu tertentu adalah maksimum (yaitu, sumbu ini adalah yang utama), maka momen inersia aksial terhadap sumbu yang tegak lurus terhadapnya adalah minimum (yaitu, sumbu ini juga yang utama), sehingga jumlah momen aksial inersia sekitar dua sumbu yang saling tegak lurus tidak bergantung pada sudut a.

Dengan demikian, sumbu utama inersia saling tegak lurus.

Untuk menemukan momen inersia utama dan posisi sumbu utama inersia, kita mendefinisikan turunan pertama terhadap sudut a dari momen inersia [lihat. rumus (31,5) dan Gambar. 19.5]:

Kami menyamakan hasil ini dengan nol:

di mana adalah sudut di mana sumbu koordinat y harus diputar sehingga bertepatan dengan sumbu utama.

Membandingkan ekspresi (35.5) dan (34.5), kami menetapkan bahwa

Oleh karena itu, relatif terhadap sumbu utama inersia, momen inersia sentrifugal adalah nol. Oleh karena itu, sumbu utama inersia dapat disebut sumbu relatif yang momen inersia sentrifugalnya sama dengan nol.

Seperti yang telah diketahui, momen inersia sentrifugal dari bagian tentang sumbu, yang salah satu atau keduanya bertepatan dengan sumbu simetri, sama dengan nol.

Akibatnya, sumbu yang saling tegak lurus, yang salah satu atau keduanya bertepatan dengan sumbu simetri bagian, selalu merupakan sumbu utama inersia. Aturan ini memungkinkan dalam banyak kasus untuk secara langsung (tanpa perhitungan) mengatur posisi sumbu utama.

Selesaikan persamaan (35.5) sehubungan dengan sudut

Persamaan (36.5) dalam setiap kasus tertentu dipenuhi oleh sejumlah nilai, salah satu dari mereka dipilih. Jika positif, maka untuk menentukan posisi salah satu sumbu utama inersia, sumbu harus diputar dengan sudut berlawanan arah jarum jam, dan jika negatif, maka searah jarum jam; sumbu utama lainnya dari inersia tegak lurus dengan yang pertama. Salah satu sumbu utama inersia adalah sumbu maksimum (relatif terhadapnya, momen inersia aksial bagian maksimum), dan yang lainnya adalah sumbu minimum (relatif terhadapnya, momen inersia aksial bagian minimal ).

Sumbu maksimum selalu membuat sudut yang lebih kecil dengan sumbu (y atau), relatif terhadap momen inersia aksial yang lebih penting. Keadaan ini memudahkan untuk menentukan sumbu utama inersia mana yang merupakan sumbu maksimum dan mana yang merupakan sumbu minimum. Jadi, misalnya, jika sumbu utama inersia u dan v terletak, seperti yang ditunjukkan pada Gambar. 20.5, maka sumbu adalah sumbu maksimum (karena membentuk sudut yang lebih kecil dengan sumbu y daripada dengan sumbu), dan sumbu v adalah sumbu minimum.

Saat memecahkan masalah numerik tertentu untuk menentukan momen inersia utama, nilai sudut yang dipilih dan nilainya dapat disubstitusikan ke dalam rumus (31,5) atau (32,5).

Mari kita selesaikan masalah ini secara umum. Dengan rumus dari trigonometri, menggunakan ekspresi (36,5), kami menemukan

Mengganti ekspresi ini ke dalam rumus (31,5), setelah transformasi sederhana kita peroleh

Sumbu utama inersia dapat ditarik melalui titik manapun yang diambil pada bidang penampang. Namun, hanya sumbu utama yang melewati pusat gravitasi bagian, yaitu, inersia pusat utama, yang praktis penting untuk perhitungan elemen struktural. Momen inersia terhadap sumbu-sumbu ini (momen inersia sentral utama) selanjutnya akan dilambangkan dengan

Mari kita pertimbangkan beberapa kasus khusus.

1. Jika maka rumus (34.5) memberikan nilai momen inersia sentrifugal relatif terhadap pasangan sumbu yang saling tegak lurus, sama dengan nol, dan, oleh karena itu, setiap sumbu yang diperoleh dengan memutar sistem koordinat adalah sumbu utama inersia ( serta sumbu). Pada kasus ini

2. Untuk gambar dengan lebih dari dua sumbu simetri, momen inersia aksial relatif terhadap semua sumbu pusat adalah sama satu sama lain. Memang, mari kita arahkan salah satu sumbu () di sepanjang salah satu sumbu simetri, dan yang lainnya - tegak lurus terhadapnya. Untuk sumbu ini Jika gambar memiliki lebih dari dua sumbu simetri, maka salah satu dari mereka membuat sudut lancip dengan sumbu. Mari kita tunjukkan sumbu seperti itu dan sumbu yang tegak lurus terhadapnya

Momen inersia sentrifugal karena sumbu adalah sumbu simetri. Dengan rumus (34,5).

Sumbu utama - ini adalah sumbu di mana momen inersia aksial mengambil nilai ekstrem: minimum dan maksimum.

Momen inersia pusat utama dihitung relatif terhadap sumbu utama yang melewati pusat gravitasi.

Contoh pemecahan masalah

Contoh 1. Tentukan nilai momen inersia aksial bangun datar relatif terhadap sumbu Oh dan OU(gbr. 25.5).

Larutan

1. Tentukan momen inersia aksial terhadap sumbu Oh. Kami menggunakan rumus untuk titik fokus utama. Kami mewakili momen inersia bagian sebagai perbedaan antara momen inersia lingkaran dan persegi panjang.

Untuk lingkaran

Untuk persegi panjang

Untuk persegi panjang, sumbu Oh tidak melewati CG. Momen inersia persegi panjang terhadap sumbu Oh:

di mana A adalah luas penampang; a - jarak antara sumbu Oh dan Oh oh.

Momen inersia bagian

Contoh 2. Temukan momen inersia pusat utama dari bagian tentang sumbu Oh(gbr. 25.6).

Larutan

1. Bagian ini terdiri dari profil standar, momen inersia sentral utama yang diberikan dalam tabel GOST, lihat Lampiran 1. Untuk balok-I No. 14 menurut GOST 8239-89 Jox 1 = 572 cm4.

Untuk saluran No. 16 sesuai dengan GOST 8240-89 Jox 2 = 757 cm4.

Luas A 2 = 18,1 cm 2, Jo y 2 = 63,3 cm4.

2. Tentukan koordinat pusat gravitasi saluran relatif terhadap sumbu Oh. Di bagian tertentu, saluran diputar dan dinaikkan. Pada saat yang sama, sumbu pusat utama ditukar.

y2 = (h 1/2) + d 2-zo 2, menurut GOST kami menemukan h 1 = 14cm; d 2= 5mm; z o = 1,8 cm.

Momen inersia penampang sama dengan jumlah momen inersia saluran dan balok-I relatif terhadap sumbu Oh. Kami menggunakan rumus untuk momen inersia relatif terhadap sumbu paralel:

Pada kasus ini

Contoh 3. Untuk penampang tertentu (Gbr. 2.45), hitung momen inersia pusat utama.

Larutan

Bagian tersebut memiliki dua sumbu simetri, yang merupakan sumbu pusat utamanya.

Kami membagi bagian menjadi dua bentuk sederhana: persegi panjang ( Saya) dan dua lingkaran (II).

Momen inersia penampang terhadap sumbu x

Sumbu x(garis tengah bagian) bukan garis tengah lingkaran. Oleh karena itu, momen inersia lingkaran harus dihitung dengan rumus

Mengganti nilai Jx'', a, F "ke dalam rumus, kita dapatkan

Sumbu pada adalah pusat persegi panjang dan lingkaran. Karena itu,

Contoh 4. Untuk penampang tertentu (Gambar 2.46), tentukan posisi sumbu pusat utama dan hitung momen inersia pusat utama.

Larutan

Pusat gravitasi terletak pada sumbu Oy, karena merupakan sumbu simetri penampang. Dengan membagi bagian menjadi dua persegi panjang Saya(160 x 100) dan II(140 x 80) dan memilih sumbu bantu dan, tentukan koordinat pusat gravitasi v 0 sesuai dengan rumus

as Oh dan OU- sumbu pusat utama bagian ( OU- sumbu simetri, sumbu Oh melewati pusat gravitasi bagian dan tegak lurus terhadap OU).

Kami menghitung momen inersia utama bagian Jx dan J:

Sumbu Oy adalah sumbu pusat untuk persegi panjang 1 dan 11. Karena itu,

Untuk memeriksa kebenaran solusi, Anda dapat membagi bagian menjadi persegi panjang dengan cara lain dan melakukan perhitungan lagi. Kebetulan hasil akan menjadi konfirmasi kebenaran mereka.

Contoh 5. Hitung momen pusat utama inersia bagian (Gbr. 2.47).

Larutan

Bagian tersebut memiliki dua sumbu simetri, yang merupakan sumbu pusat utamanya.

Kami membagi bagian menjadi dua persegi panjang dengan b * h = 140 x 8 dan dua saluran yang digulung. Untuk saluran No. 16 dari tabel GOST 8240 - 72 yang kami miliki J X 1 = J x = 747 cm 4; J y 1 = 63, 3 cm 9, F 1= 18,1 cm2, z 0= 1,8cm.

Hitung J x dan J y:

Contoh 6. Tentukan posisi sumbu pusat utama dan hitung momen inersia pusat utama dari bagian tertentu (Gbr. 2.48).

Larutan

Kami membagi bagian yang diberikan menjadi profil bergulir: saluran Saya dan dua balok-I II. Kami mengambil karakteristik geometris saluran dan balok-I dari tabel baja canai GOST 8240-72 dan GOST 8239 - 72.

Untuk saluran No. 20 J Xl = 113 cm 4 (dalam tabel J y); J y 1 = 1520 cm 4 (dalam tabel jx); F 1= 23,4 cm2; G 0 = 2,07cm.

Untuk I-beam No. 18 Jx2= 1330 cm 4 (pada tabel J x); Jy 2 = 94,6 cm 4 (dalam tabel J y); F2 = 23,8 cm2.

Salah satu sumbu utama adalah sumbu simetri OU, sumbu utama lainnya Oh melewati pusat gravitasi dari bagian yang tegak lurus dengan yang pertama.

Memilih sumbu bantu dan dan tentukan koordinatnya v 0:

di mana v 1= 180 + 20,7 = 200,7 mm dan v 2= 180/2 = 90mm. Kami menghitung Jx dan J pada:

Soal dan tugas tes

1. Diameter poros padat digandakan. Berapa kali momen inersia aksial akan meningkat?

2. Momen aksial masing-masing bagian adalah sama Jx = 2,5 mm 4 dan J y = 6.5mm. Tentukan momen kutub bagian tersebut.

3. Momen inersia aksial cincin terhadap sumbu Oh Jx = 4cm4. Tentukan nilai J hal.

4. Dalam hal apa? Jx terkecil (gbr. 25.7)?

5. Manakah dari rumus di atas untuk menentukan Jx cocok untuk bagian yang ditunjukkan pada gambar. 25.8?

6. Momen inersia saluran No. 10 relatif terhadap sumbu pusat utama J XQ= 174cm 4; luas penampang 10,9 cm2.

Tentukan momen inersia aksial terhadap sumbu yang melalui dasar saluran (gbr. 25.9).

7. Bandingkan momen inersia kutub dari dua bagian yang memiliki luas yang hampir sama (Gbr. 25.10).

8. Bandingkan momen inersia aksial terhadap sumbu Oh persegi panjang dan persegi yang memiliki luas yang sama (Gbr. 25.11).

Utama, tiga sumbu yang saling tegak lurus, ditarik melalui K.-L. titik tubuh dan memiliki properti bahwa jika mereka diambil sebagai sumbu koordinat, maka momen inersia sentrifugal tubuh relatif terhadap sumbu ini akan sama dengan nol. jika tv. tubuh, tetap pada satu titik, dibawa ke rotasi di sekitar sumbu, tepi pada titik tertentu yavl. utama O. dan., maka tubuh tanpa adanya kekuatan eksternal akan terus berputar di sekitar sumbu ini, seolah-olah di sekitar sumbu yang tidak bergerak. Konsep utama O. dan. memainkan peran penting dalam dinamika TV. tubuh.

Kamus ensiklopedis fisik. - M.: ensiklopedia Soviet..1983 .

Sumbu kelembaman

Yang utama adalah tiga sumbu yang saling tegak lurus yang ditarik melalui Ph.D. titik tubuh, bertepatan dengan sumbu ellipsoid inersia tubuh pada titik ini. O utama dan. memiliki properti bahwa jika mereka diambil sebagai sumbu koordinat, maka momen inersia sentrifugal tubuh relatif terhadap sumbu ini akan sama dengan nol. Jika salah satu sumbu koordinat, misalnya. sumbu Oh, adalah untuk poin HAI O utama dan., momen inersia sentrifugal, indeks yang menyertakan nama sumbu ini, mis. saya xy dan saya xz sama dengan nol. Jika benda padat, tetap pada satu titik, diputar di sekitar sumbu, tepi pada titik tertentu adalah O utama dan., Kemudian benda itu, tanpa adanya eksternal. gaya akan terus berputar di sekitar sumbu ini, seolah-olah di sekitar sumbu yang diam.

Ensiklopedia fisik. Dalam 5 volume. - M.: ensiklopedia Soviet.Pemimpin Redaksi A.M. Prokhorov.1988 .