Penentuan momen gaya terhadap sumbu. Statika. Momen kekuasaan. besaran vektor

Yang sama dengan produk dari kekuatan di bahunya.

Momen gaya dihitung dengan menggunakan rumus:

di mana F- kekuatan, aku- bahu kekuatan.

Kekuatan bahu adalah jarak terpendek dari garis kerja gaya ke sumbu rotasi benda. Gambar di bawah menunjukkan benda tegar yang dapat berputar pada suatu sumbu. Sumbu rotasi benda ini tegak lurus terhadap bidang gambar dan melalui titik yang dilambangkan dengan huruf O. Gaya bahu F t ini jaraknya aku, dari sumbu rotasi ke garis kerja gaya. Definisikan dengan cara ini. Langkah pertama adalah menggambar garis aksi gaya, kemudian dari titik O, yang melaluinya sumbu rotasi benda lewat, sebuah garis tegak lurus diturunkan ke garis aksi gaya. Panjang tegak lurus ini ternyata menjadi lengan gaya yang diberikan.

Momen gaya mencirikan aksi rotasi gaya. Tindakan ini tergantung pada kekuatan dan bahu. Semakin besar bahu, semakin sedikit gaya yang harus diterapkan untuk mendapatkan hasil yang diinginkan, yaitu momen gaya yang sama (lihat gambar di atas). Itulah mengapa jauh lebih sulit untuk membuka pintu dengan mendorongnya di dekat engsel daripada dengan memegang pegangan, dan jauh lebih mudah untuk melepaskan mur dengan kunci pas panjang daripada dengan kunci pas pendek.

Satuan momen gaya dalam SI adalah momen gaya 1 N, yang bahunya adalah 1 m - Newton-meter (N m).

Aturan momen.

Benda tegar yang dapat berputar pada sumbu tetap berada dalam kesetimbangan jika momen gaya M 1 memutarnya searah jarum jam sama dengan momen gaya M 2 yang memutarnya berlawanan arah jarum jam:

Aturan momen adalah konsekuensi dari salah satu teorema mekanika, yang dirumuskan oleh ilmuwan Prancis P. Varignon pada tahun 1687.

Beberapa kekuatan.

Jika sebuah benda dikenai 2 gaya yang sama besar dan berlawanan arah yang tidak terletak pada satu garis lurus, maka benda tersebut tidak dalam kesetimbangan, karena momen yang dihasilkan dari gaya-gaya ini relatif terhadap sumbu apa pun tidak nol, karena kedua gaya memiliki momen yang diarahkan ke arah yang sama... Dua gaya yang bekerja secara bersamaan pada tubuh disebut dengan beberapa kekuatan... Jika tubuh terpaku pada suatu sumbu, maka di bawah aksi sepasang gaya itu akan berputar. Jika sepasang gaya diterapkan "ke benda bebas, maka benda itu akan berputar di sekitar sumbu. melewati pusat gravitasi tubuh, gambar B.

Momen sepasang gaya adalah sama terhadap setiap sumbu yang tegak lurus bidang pasangan tersebut. Momen kumulatif M pasangan selalu sama dengan produk dari salah satu gaya F di kejauhan aku antara kekuatan, yang disebut pasangan bahu, apa pun segmennya aku, dan berbagi posisi sumbu dengan bahu pasangan:

Momen beberapa gaya, yang resultannya sama dengan nol, akan sama terhadap semua sumbu yang sejajar satu sama lain, oleh karena itu, aksi semua gaya ini pada tubuh dapat digantikan oleh aksi sepasang gaya. kekuatan dengan momen yang sama.

Penentuan momen gaya terhadap suatu titik dan sumbu. Penentuan bahu gaya relatif terhadap titik. Formulasi dan bukti sifat-sifat momen gaya. Ekspresi nilai mutlak momen dalam bentuk produk lengan gaya dan modulus gaya.

Isi

Momen tentang titik O, dari gaya, garis aksi yang melewati titik ini, sama dengan nol.

.

Hal yang sama berlaku untuk gaya-gaya yang garis lanjutannya berpotongan di satu titik. Dalam hal ini, titik perpotongan garis-garis aksinya diambil sebagai titik penerapan jumlah gaya.

,
.

Momen kekuatan adalah vektor semu atau, yang sama, vektor aksial.

Properti ini mengikuti dari properti produk silang. Karena vektor dan adalah benar(atau kutub) vektor, maka hasil kali silangnya adalah vektor semu... Ini berarti bahwa kita hanya dapat menentukan nilai absolut dan sumbu di mana produk silang diarahkan. Arah yang sama di sepanjang sumbu ini kami atur secara sewenang-wenang, menggunakan aturan sekrup kanan. Artinya, kami secara mental menunda vektor dan dari satu pusat. Kemudian kami memutar pegangan dari posisi ke posisi. Akibatnya, sekrup kanan dipindahkan ke arah tegak lurus terhadap bidang di mana vektor berada. Kami mengambil arah ini sebagai arah produk vektor.

Tetapi jika kita menentukan arah menurut aturan ulir kiri, maka perkalian silang akan diarahkan ke arah yang berlawanan. Dalam hal ini, tidak ada kontradiksi yang muncul. Artinya, pada kenyataannya, vektor aksial dapat memiliki dua arah yang saling berlawanan. Agar tidak memperumit rumus matematika, kami memilih salah satunya, menerapkan aturan sekrup kanan. Untuk alasan ini, vektor semu tidak dapat ditambahkan secara geometris ke vektor sejati. Tetapi mereka dapat dikalikan menggunakan produk titik atau silang.

Momen gaya terhadap sumbu

Definisi

Seringkali ada kasus di mana kita tidak perlu mengetahui semua komponen momen gaya relatif terhadap titik yang dipilih, tetapi hanya perlu mengetahui momen gaya relatif terhadap sumbu yang dipilih.

Momen gaya terhadap suatu sumbu adalah proyeksi vektor momen gaya relatif terhadap suatu titik sembarang yang termasuk dalam sumbu ini ke arah sumbu.

Membiarkan menjadi vektor satuan diarahkan sepanjang sumbu. Dan biarkan O menjadi titik sewenang-wenang miliknya. Maka momen gaya terhadap sumbu adalah hasil kali titik:
.
Definisi seperti itu dimungkinkan, karena untuk setiap dua titik O dan O yang termasuk dalam sumbu, proyeksi momen-momen relatif terhadap titik-titik ini pada sumbu adalah sama. Mari kita tunjukkan.

Mari kita gunakan persamaan vektor:

;
.
Kami mengalikan skalar persamaan ini dengan vektor satuan yang diarahkan sepanjang sumbu:
.
Karena vektor sejajar dengan sumbu, maka. Dari sini
.
Artinya, proyeksi momen pada sumbu, relatif terhadap titik O dan O , yang termasuk dalam sumbu ini, adalah sama.

Properti

Momen tentang sumbu dari gaya, garis aksi yang melewati sumbu ini, sama dengan nol.

Bukti properti

Memindahkan titik penerapan gaya di sepanjang garis aksinya

Jika titik penerapan gaya digerakkan sepanjang garis kerja gaya, maka momen, dengan perpindahan seperti itu, tidak akan berubah.

Bukti

Biarkan gaya diterapkan pada titik A. Gambarlah garis lurus melalui titik A yang sejajar dengan vektor gaya. Garis lurus ini adalah garis tindakannya. Pindahkan titik A dari penerapan gaya ke titik A , yang termasuk dalam garis aksi. Kemudian
.
Vektor ditarik melalui dua titik dari garis aksi. Oleh karena itu, arahnya sama atau berlawanan dengan arah vektor gaya. Kemudian, di mana adalah parameter; ... jika titik A offset relatif terhadap A dalam arah vektor. Jika tidak .

Jadi, vektor yang ditarik dari O ke A memiliki bentuk:
.
Mari kita cari momen gaya yang diterapkan pada titik A , dengan menerapkan sifat-sifat produk vektor:

.
Kami melihat bahwa momennya tidak berubah:
.

Properti terbukti.

Nilai mutlak momen gaya

Nilai mutlak momen gaya relatif terhadap suatu titik sama dengan hasil kali nilai mutlak gaya oleh bahu gaya ini relatif terhadap titik yang dipilih.

Bukti

Nilai mutlak momen M relatif terhadap titik O sama dengan hasil kali gaya F pada bahunya d = | OD | ...

Misalkan kita memiliki gaya yang diterapkan pada titik A. Pertimbangkan momen gaya ini relatif terhadap beberapa titik O. Perhatikan bahwa titik O, A dan vektor terletak pada bidang yang sama. Mari kita gambarkan dalam gambar. Melalui titik A, searah dengan vektor, buatlah garis lurus AB. Garis lurus ini disebut garis kerja gaya. Jatuhkan OD tegak lurus ke garis aksi melalui titik O. Dan biarkan D menjadi titik potong garis aksi dan tegak lurus. Kemudian - bahu gaya relatif terhadap pusat O. Mari kita tentukan dengan surat. Mari kita manfaatkan fakta bahwa titik penerapan gaya dapat dipindahkan sepanjang garis kerjanya. Mari kita pindahkan ke titik D. Momen kekuatan:
.
Karena vektor dan tegak lurus, maka dengan sifat produk vektor, nilai mutlak momen:
,
dimana adalah nilai mutlak gaya.

Perhatikan bahwa vektor momen tegak lurus terhadap bidang gambar. Arahnya ditentukan oleh aturan sekrup kanan. Jika kita memutar sekrup yang melalui titik O tegak lurus bidang gambar, searah dengan gaya F, maka sekrup akan bergerak ke arah kita. Oleh karena itu, vektor momen tegak lurus terhadap bidang gambar dan diarahkan ke kita.

Properti terbukti.

Momen relatif terhadap suatu titik dari gaya yang melewati titik ini

Momen tentang titik O, dari gaya, garis aksi yang melewati titik ini, sama dengan nol.

Bukti

Biarkan garis aksi gaya melalui titik O. Maka bahu gaya ini relatif terhadap O sama dengan nol :. Menurut nilai absolut dari momen gaya relatif terhadap titik yang dipilih sama dengan nol:
.

Properti terbukti.

Momen jumlah gaya yang diterapkan pada satu titik

Momen dari jumlah vektor gaya yang diterapkan ke satu titik tubuh sama dengan jumlah vektor momen dari masing-masing gaya yang diterapkan ke titik yang sama:
.

Bukti

Biarkan gaya diterapkan pada satu titik A. Membiarkan menjadi jumlah vektor dari gaya-gaya ini. Temukan momen relatif terhadap beberapa titik O dari jumlah vektor yang diterapkan di titik A. Untuk melakukan ini, kami menerapkan properti produk silang:

.

Properti terbukti.

Momen sistem gaya, jumlah vektornya sama dengan nol

Jika jumlah vektor gaya adalah nol:
,
maka jumlah momen gaya-gaya ini tidak bergantung pada posisi pusat, relatif terhadap momen yang dihitung:
.

Bukti

Biarkan gaya diterapkan pada titik, masing-masing. Dan biarkan titik O dan C menunjukkan dua pusat, relatif terhadap mana kita akan menghitung momen. Maka persamaan vektor berikut terjadi:
.
Kami menggunakannya untuk menghitung jumlah momen relatif terhadap titik O:

ditunjukkan bahwa momen gaya terhadap sumbu adalah proyeksi vektor momen gaya relatif terhadap titik sembarang milik sumbu ini ke arah sumbu. Sebagai titik seperti itu kita mengambil titik perpotongan garis aksi gaya dengan sumbu. Tetapi, menurut, momen tentang titik ini sama dengan nol. Oleh karena itu, proyeksinya pada sumbu ini juga sama dengan nol.

Properti terbukti.

Momen terhadap sumbu dari gaya yang sejajar dengan sumbu ini

Momen terhadap sumbu dari gaya yang sejajar dengan sumbu ini adalah nol.

Bukti

Biarkan O menjadi titik sembarang pada sumbu. Pertimbangkan momen gaya relatif terhadap titik ini. Menurut definisi:
.
Menurut sifat produk vektor, vektor momen tegak lurus terhadap vektor gaya. Karena vektor gaya sejajar dengan sumbu, vektor momen tegak lurus terhadap sumbu tersebut. Oleh karena itu, proyeksi torsi relatif terhadap titik O ke sumbu adalah nol.

Properti terbukti.

Saat memecahkan masalah objek bergerak, dalam beberapa kasus dimensi spasialnya diabaikan, memperkenalkan konsep titik material. Untuk jenis masalah lain, di mana benda diam atau berputar dipertimbangkan, penting untuk mengetahui parameternya dan titik penerapan gaya eksternal. Dalam hal ini, kita berbicara tentang momen gaya relatif terhadap sumbu rotasi. Mari kita pertimbangkan masalah ini dalam artikel.

Konsep momen gaya

Sebelum mengemudi relatif tetap terhadap sumbu rotasi, perlu dijelaskan fenomena apa yang akan dibahas. Di bawah ini adalah gambar yang menunjukkan kunci pas dengan panjang d, gaya F diterapkan pada ujungnya. Mudah dibayangkan bahwa hasil aksinya adalah memutar kunci berlawanan arah jarum jam dan membuka mur.

Menurut definisi, momen gaya relatif produk bahu (d dalam hal ini) dan gaya (F), yaitu, Anda dapat menulis ekspresi berikut: M = d * F. Segera harus dicatat bahwa rumus di atas ditulis dalam bentuk skalar, yaitu, memungkinkan Anda untuk menghitung nilai absolut momen M. Seperti yang dapat dilihat dari rumus, satuan pengukuran nilai yang dimaksud adalah newton per meter (N * m).

- besaran vektor

Sebagaimana dinyatakan di atas, momen M sebenarnya adalah sebuah vektor. Untuk memperjelas pernyataan ini, pertimbangkan gambar lain.

Di sini kita melihat tuas dengan panjang L, yang dipasang pada sumbu (ditunjukkan oleh panah). Sebuah gaya F diterapkan pada ujungnya dengan sudut . Tidak sulit membayangkan bahwa gaya ini akan menyebabkan tuas terangkat. Rumus momen dalam bentuk vektor dalam hal ini akan ditulis sebagai berikut: M¯ = L¯ * F¯, di sini batang di atas simbol berarti nilai yang ditinjau adalah vektor. Harus dijelaskan bahwa L¯ diarahkan dari sumbu rotasi ke titik penerapan gaya F¯.

Ekspresi di atas adalah produk vektor. Vektor yang dihasilkan (M¯) akan diarahkan tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh L¯ dan F¯. Ada beberapa aturan untuk menentukan arah momen M¯ (tangan kanan, gimbal). Agar tidak menghafalnya dan tidak bingung dalam urutan perkalian vektor L¯ dan F¯ (arah M¯ tergantung padanya), Anda harus mengingat satu hal sederhana: momen gaya akan diarahkan sedemikian rupa sehingga jika dilihat dari ujung vektornya, maka gaya kerja F akan memutar tuas berlawanan arah jarum jam. Arah momen ini secara konvensional dianggap positif. Jika sistem berputar searah jarum jam, maka momen gaya yang dihasilkan bernilai negatif.

Jadi, dalam kasus yang ditinjau dengan tuas L, nilai M¯ diarahkan ke atas (dari gambar ke pembaca).

Dalam bentuk skalar, rumus momen akan ditulis sebagai: M = L * F * sin (180-Φ) atau M = L * F * sin (Φ) (sin (180-Φ) = sin (Φ)) . Menurut definisi sinus, persamaan dapat dituliskan: M = d * F, di mana d = L * sin (Φ) (lihat gambar dan segitiga siku-siku yang sesuai). Rumus terakhir mirip dengan yang diberikan pada paragraf sebelumnya.

Perhitungan di atas menunjukkan bagaimana bekerja dengan momen gaya vektor dan skalar untuk menghindari kesalahan.

Arti fisis dari besaran M¯

Karena dua kasus yang dibahas dalam paragraf sebelumnya terkait dengan gerak rotasi, orang dapat menebak apa arti momen gaya. Jika gaya yang bekerja pada suatu titik material adalah ukuran peningkatan kecepatan perpindahan linier titik tersebut, maka momen gaya adalah ukuran kemampuan rotasinya dalam kaitannya dengan sistem yang ditinjau.

Mari kita beri contoh ilustrasi. Siapapun membuka pintu dengan menggenggam gagangnya. Anda juga dapat melakukannya dengan mendorong pintu di area pegangan. Mengapa tidak ada yang membukanya dengan mendorong di area engsel? Ini sangat sederhana: semakin dekat gaya yang diterapkan ke engsel, semakin sulit untuk membuka pintu, dan sebaliknya. Kesimpulan dari kalimat sebelumnya mengikuti dari rumus momen (M = d * F), dari mana dapat diketahui bahwa untuk M = const nilai d dan F berbanding terbalik.

Momen gaya adalah besaran tambahan

Dalam semua kasus yang dipertimbangkan di atas, hanya ada satu kekuatan aktif. Saat memecahkan masalah nyata, situasinya jauh lebih rumit. Biasanya, sistem yang berputar atau berada dalam kesetimbangan dikenai beberapa gaya puntir, yang masing-masing menciptakan momennya sendiri. Dalam hal ini, pemecahan masalah direduksi menjadi menemukan momen total gaya-gaya relatif terhadap sumbu rotasi.

Momen total ditemukan dengan jumlah biasa dari momen individu untuk setiap gaya, namun, ingatlah untuk menggunakan tanda yang benar untuk masing-masing gaya.

Contoh penyelesaian masalah

Untuk mengkonsolidasikan pengetahuan yang diperoleh, diusulkan untuk memecahkan masalah berikut: perlu untuk menghitung momen gaya total untuk sistem yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Kita melihat bahwa tiga gaya (F1, F2, F3) bekerja pada tuas yang panjangnya 7 m, dan mereka memiliki titik penerapan yang berbeda relatif terhadap sumbu rotasi. Karena arah gaya tegak lurus terhadap tuas, tidak perlu menerapkan ekspresi vektor untuk momen puntir. Anda dapat menghitung momen total M menggunakan rumus skalar dan jangan lupa untuk mengatur tanda yang diinginkan. Karena gaya F1 dan F3 cenderung memutar tuas berlawanan arah jarum jam, dan F2 - searah jarum jam, momen rotasi untuk yang pertama akan positif, dan untuk yang kedua - negatif. Kami memiliki: M = F1 * 7-F2 * 5 + F3 * 3 = 140-50 + 75 = 165 N * m. Artinya, momen totalnya positif dan mengarah ke atas (ke arah pembaca).

Pada artikel kita akan berbicara tentang momen gaya tentang suatu titik dan sumbu, definisi, gambar dan grafik, apa satuan ukuran momen gaya, usaha dan gaya dalam gerak putar, serta contoh dan tugas.

Momen kekuatan adalah vektor dari kuantitas fisik yang sama dengan produk vektor kekuatan bahu(vektor radius partikel) dan kekuatan bertindak pada intinya. Lengan gaya adalah vektor yang menghubungkan titik di mana sumbu rotasi benda tegar melewati titik di mana gaya diterapkan.

di mana: r adalah bahu gaya, F adalah gaya yang diterapkan pada tubuh.

arah vektor kekuatan momen selalu tegak lurus terhadap bidang yang didefinisikan oleh vektor r dan F.

Poin utama- sistem gaya apa pun pada bidang yang relatif terhadap kutub yang diterima disebut momen aljabar dari semua gaya dari sistem ini relatif terhadap kutub ini.

Dalam gerakan rotasi, tidak hanya besaran fisis itu sendiri yang penting, tetapi juga bagaimana mereka ditempatkan relatif terhadap sumbu rotasi, yaitu, momen... Kita sudah tahu bahwa tidak hanya massa yang penting dalam gerakan berputar, tetapi juga. Dalam kasus gaya, efektivitasnya dalam memicu percepatan ditentukan oleh cara gaya diterapkan pada sumbu rotasi.

Hubungan antara gaya dan cara penerapannya menggambarkan MOMEN KEKUATAN. Momen gaya adalah hasil kali vektor lengan gaya R pada vektor gaya F:

Seperti pada setiap produk vektor, jadi di sini

Oleh karena itu, gaya tidak akan mempengaruhi rotasi ketika sudut antara vektor gaya F dan tuas R sama dengan 0 o atau 180 o. Apa efek penerapan momen gaya? M?

Kami menggunakan Hukum Kedua Newton tentang Gerak dan hubungan antara tali dan kecepatan sudut v = Rω dalam bentuk skalar, valid ketika vektor R dan ω saling tegak lurus

Mengalikan kedua ruas persamaan dengan R, kita peroleh

Karena mR 2 = I, kita simpulkan bahwa

Ketergantungan di atas juga berlaku untuk kasus badan material. Perhatikan bahwa sementara gaya eksternal memberikan percepatan linier sebuah, momen gaya luar memberikan percepatan sudut ε.

Satuan ukuran momen gaya

Ukuran utama untuk mengukur momen gaya dalam koordinat sistem SI adalah: [M] = N m

SGS: [M] = dyn cm

Kerja dan kekuatan dalam gerak putar

Usaha dalam gerak linier didefinisikan oleh ekspresi umum,

tetapi dalam gerakan rotasi,

dan akibatnya

Berdasarkan sifat-sifat produk campuran dari tiga vektor, kita dapat menulis:

Oleh karena itu, kami mendapat ekspresi untuk bekerja dalam gerak putar:

Daya rotasi:

Menemukan momen kekuatan, bekerja pada tubuh dalam situasi yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Misalkan r = 1m dan F = 2N.

sebuah) karena sudut antara vektor r dan F adalah 90°, maka sin (a) = 1:

M = r F = 1m 2N = 2Nm

B) karena sudut antara vektor r dan F adalah 0 °, maka sin (a) = 0:

M = 0
ya diarahkan kekuatan tidak bisa memberi poin gerakan berputar.

C) karena sudut antara vektor r dan F adalah 30°, maka sin (a) = 0,5:

M = 0,5 r F = 1N m.

Dengan demikian, gaya yang diarahkan akan menyebabkan rotasi tubuh, namun, efeknya akan lebih kecil daripada kasusnya sebuah).

Momen gaya terhadap sumbu

Misalkan datanya adalah sebuah titik HAI(tiang) dan kekuatan P. Pada intinya HAI kita ambil asal dari sistem koordinat persegi panjang. Momen kekuatan R dalam kaitannya dengan tiang HAI adalah vektor M dari (R), (gambar di bawah) .

Titik apa saja SEBUAH di telepon P memiliki koordinat (xo, yo, zo).
vektor paksa P memiliki koordinat Px, Py, Pz. Dengan menggabungkan titik A (xo, yo, zo) dengan awal sistem, kita mendapatkan vektor P... Koordinat vektor gaya P relatif terhadap tiang HAI ditunjukkan dengan simbol Mx, Saya, Mz. Koordinat ini dapat dihitung sebagai minimum dari determinan yang diberikan, di mana ( saya, j, k) - vektor satuan pada sumbu koordinat (opsi): saya, j, k

Setelah menyelesaikan determinan, koordinat momen akan sama:

Koordinat vektor momen mo (P) disebut momen gaya terhadap sumbu yang bersesuaian. Misalnya, momen kekuatan P tentang sumbu Ons mengelilingi template:

Mz = Pyxo - Pxyo

Pola ini ditafsirkan secara geometris seperti yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Berdasarkan interpretasi ini, momen gaya terhadap sumbu Ons dapat didefinisikan sebagai momen proyeksi gaya P tegak lurus sumbu Ons relatif terhadap titik penetrasi bidang ini oleh sumbu. Proyeksi paksa P tegak lurus terhadap sumbu ditandai Pxy , dan titik penetrasi bidang oxy- sumbu OS simbol HAI.
Dari definisi momen gaya terhadap sumbu di atas, dapat disimpulkan bahwa momen gaya terhadap sumbu adalah nol ketika gaya dan sumbu sama besar, pada bidang yang sama (jika gaya sejajar sumbu atau ketika gaya melintasi sumbu).
Menggunakan rumus untuk Mx, Saya, Mz, kita dapat menghitung nilai momen gaya P relatif terhadap titik HAI dan tentukan sudut yang terdapat di antara vektor M dan sumbu sistem:

Jika kekuatannya terletak pada pesawat Oxy, kemudian zo = 0 dan Pz = 0 (lihat gambar di bawah).

Momen kekuatan P terhadap titik (kutub) O adalah:
mx = 0,
saya = 0,
Mo (P) = Mz = Pyxo - Pxyo.

Label torsi:
plus (+) - rotasi gaya di sekitar sumbu O searah jarum jam,
minus (-) - rotasi berlawanan arah jarum jam dari gaya di sekitar sumbu O.

Setelah menetapkan momen gaya relatif terhadap sumbu, dan, kita dapat menulis:

di mana, dan modul proyeksi gaya pada bidang, tegak lurus terhadap sumbu relatif terhadap momen yang ditentukan; aku - bahu sama dengan panjang

tegak lurus dari titik perpotongan sumbu dengan bidang ke proyeksi atau kelanjutannya; tanda plus atau minus ditempatkan tergantung di sisi mana bahu berputar aku vektor proyeksi, jika Anda melihat bidang proyeksi dari sisi arah positif sumbu; ketika vektor proyeksi cenderung memutar bahu berlawanan arah jarum jam, kami setuju untuk menganggap momen positif, dan sebaliknya.

Karena itu, momen gaya terhadap sumbu disebut besaran aljabar (skalar) yang sama dengan momen proyeksi gaya pada bidang yang tegak lurus sumbu, relatif terhadap titik potong sumbu dengan bidang.

Gambar sebelumnya mengilustrasikan urutan penentuan momen gaya relatif terhadap sumbu Z. Jika gaya ditentukan dan sumbu dipilih (atau ditentukan), maka: a) bidang (bidang XOU) dipilih tegak lurus terhadap sumbu; b) gaya F diproyeksikan ke bidang ini dan modulus proyeksi ini ditentukan; c) dari titik 0 perpotongan sumbu dengan bidang, OS tegak lurus diturunkan ke proyeksi dan bahu l = OS ditentukan; d) melihat bidang HOU dari sisi arah positif sumbu Z (yaitu, dalam hal ini, dari atas), kita melihat bahwa OS diputar oleh vektor melawan arah jarum jam, yang berarti

Momen gaya relatif terhadap sumbu adalah nol jika gaya dan sumbu terletak pada bidang yang sama: a) gaya memotong sumbu (dalam hal ini aku = 0);

b) gaya sejajar dengan sumbu ();

c. gaya yang bekerja sepanjang sumbu ( aku= 0 dan).

Sistem spasial kekuatan yang ditempatkan secara sewenang-wenang.

Kondisi keseimbangan

Sebelumnya, proses membawa gaya ke suatu titik dijelaskan secara rinci dan terbukti bahwa setiap sistem gaya bidang direduksi menjadi gaya - vektor utama dan pasangan, momen yang disebut momen utama, dan gaya dan uap yang ekuivalen dengan sistem gaya ini bekerja pada bidang yang sama dengan sistem yang diberikan. Artinya jika momen utama digambarkan dalam bentuk vektor, maka vektor utama dan momen utama sistem gaya bidang selalu saling tegak lurus.

Penalaran dengan cara yang sama, seseorang dapat secara konsisten mengarah ke titik kekuatan sistem spasial. Tapi sekarang vektor utama adalah vektor penutup dari poligon daya spasial (dan tidak datar); titik utama tidak lagi dapat diperoleh dengan penambahan aljabar momen gaya-gaya ini relatif terhadap titik acuan. Saat mereduksi ke titik sistem gaya spasial, pasangan terlampir bertindak di bidang yang berbeda dan disarankan untuk mewakili momen mereka dalam bentuk vektor dan menambahkan secara geometris. Oleh karena itu, vektor utama (jumlah geometris gaya-gaya sistem) dan momen utama (jumlah geometris momen gaya-gaya relatif terhadap titik acuan) diperoleh sebagai hasil reduksi gaya sistem spasial, umumnya berbicara, tidak tegak lurus satu sama lain.

Persamaan vektor dan menyatakan kondisi yang diperlukan dan cukup untuk keseimbangan sistem spasial kekuatan yang ditempatkan secara sewenang-wenang.

Jika vektor utama adalah nol, maka proyeksinya ke tiga sumbu yang saling tegak lurus juga nol. Jika momen utama sama dengan nol, maka tiga komponennya pada sumbu yang sama juga sama dengan nol.

Ini berarti bahwa sistem gaya spasial arbitrer dapat didefinisikan secara statis hanya jika jumlah yang tidak diketahui tidak melebihi enam.

Di antara tugas-tugas statika, sering ada di mana sistem spasial gaya yang sejajar satu sama lain bekerja pada tubuh.

Dalam sistem spasial gaya paralel yang tidak diketahui, seharusnya tidak lebih dari tiga, jika tidak masalahnya menjadi statis tak tentu.

Bab 6. Kinematika titik

Konsep dasar kinematika

Cabang mekanika yang mempelajari gerak benda material tanpa memperhitungkan massa dan gaya yang bekerja padanya disebut kinematika.

Gerakan- bentuk utama keberadaan seluruh dunia material, kedamaian dan keseimbangan- kasus khusus.

Setiap gerakan, termasuk mekanis, terjadi dalam ruang dan waktu.

Semua tubuh terdiri dari titik-titik material. Untuk mendapatkan ide yang benar tentang pergerakan tubuh, Anda harus memulai studi dengan pergerakan suatu titik. Pergerakan suatu titik dalam ruang dinyatakan dalam meter, serta dalam satuan panjang pecahan (cm, mm) atau kelipatan (km), waktu - dalam detik. Dalam praktik atau situasi kehidupan, waktu sering dinyatakan dalam menit atau jam. Waktu ketika mempertimbangkan gerakan tertentu dari suatu titik adalah dari momen awal tertentu yang telah ditentukan sebelumnya ( T= 0).

Tempat kedudukan titik bergerak dalam kerangka acuan yang dipertimbangkan disebut lintasan... Berdasarkan jenis lintasannya, pergerakan titik dibagi dengan mudah dan lengkung... Lintasan titik dapat ditentukan dan ditentukan terlebih dahulu. Jadi, misalnya, lintasan satelit bumi buatan dan stasiun antarplanet dihitung terlebih dahulu, atau jika bus yang bergerak di sekitar kota diambil sebagai titik material, maka lintasan (rute) mereka juga diketahui. Dalam kasus seperti itu, posisi titik pada setiap momen waktu ditentukan oleh jarak (koordinat busur) S, yaitu. panjang bagian lintasan, dihitung dari beberapa titik tetapnya, diambil sebagai titik asal. Penghitungan jarak dari awal lintasan dapat dilakukan dua arah, oleh karena itu penghitungan satu arah secara konvensional dianggap positif, dan dalam

sebaliknya - untuk negatif , itu. jarak S adalah besaran aljabar. Itu bisa positif (S> 0) atau negatif (S<0).

Saat bergerak, suatu titik untuk jangka waktu tertentu melewati titik tertentu jalur L, yang diukur di sepanjang jalur dalam arah perjalanan.

Jika titik mulai bergerak bukan dari titik asal O, melainkan dari posisi yang terletak pada jarak awal S o maka

Besaran vektor yang mencirikan pada waktu tertentu arah dan kecepatan gerak suatu titik disebut kecepatan.

Kecepatan suatu titik pada setiap saat gerakannya diarahkan secara tangensial ke lintasan.

Perhatikan bahwa persamaan vektor ini hanya mencirikan posisi, dan modulus kecepatan rata-rata dari waktu ke waktu:

di mana adalah jalan yang dilalui oleh titik waktu.

Modulus kecepatan rata-rata sama dengan hasil bagi membagi jarak yang ditempuh dengan waktu selama jarak tersebut ditempuh.

Besaran vektor yang mencirikan kecepatan perubahan arah dan nilai numerik kecepatan disebut percepatan.

Dengan gerak beraturan sepanjang lintasan lengkung, titik tersebut juga mengalami percepatan, karena dalam hal ini arah kecepatan berubah.

Satuan percepatan biasanya diambil.

6.2. Metode untuk menentukan pergerakan titik

Ada tiga cara: alami, koordinat, vektor.

Cara alami untuk menentukan pergerakan titik... Jika, selain lintasan di mana titik asal O ditandai, ketergantungan

antara jarak S dan waktu t, persamaan ini disebut hukum gerak suatu titik sepanjang lintasan tertentu.

Misalnya, biarkan lintasan tertentu diberikan, pergerakan titik sepanjang yang ditentukan oleh persamaan. Kemudian pada saat waktu, yaitu titik berada di titik asal O; pada saat titik berada di kejauhan; pada saat ini, titik tersebut berada pada jarak dari titik asal O.

Mengkoordinasikan cara menentukan pergerakan titik... Ketika lintasan suatu titik tidak diketahui sebelumnya, posisi suatu titik dalam ruang ditentukan oleh tiga koordinat: absis X, ordinat Y, dan aplikasi Z.

Atau, tidak termasuk waktu.

Persamaan ini menyatakan hukum gerak suatu titik dalam sistem koordinat persegi panjang (OXYZ).

Dalam kasus tertentu, jika suatu titik bergerak pada bidang datar, hukum gerak suatu titik dinyatakan dengan dua persamaan: atau .

misalnya... Gerak suatu titik dalam sistem koordinat bidang diberikan oleh persamaan dan ( x dan kamu- cm, t - s). Kemudian pada saat waktu dan, yaitu. titik berada di titik asal; pada saat itu koordinat titik , ; pada saat itu koordinat titik , dll.

Mengetahui hukum gerak suatu titik dalam sistem koordinat persegi panjang, Anda dapat menentukan persamaan lintasan titik.

Misalnya, mengecualikan waktu t dari persamaan dan di atas, kita memperoleh persamaan lintasan. Seperti yang Anda lihat, dalam hal ini, titik bergerak sepanjang garis lurus yang melewati titik asal.

6.3. Menentukan kecepatan suatu titik dengan cara alami
tugas gerakannya

Biarkan pergerakan titik A sepanjang lintasan tertentu terjadi sesuai dengan persamaan, diperlukan untuk menentukan kecepatan titik pada waktu t.

Untuk jangka waktu tertentu, intinya telah berlalu , nilai kelajuan rata-rata pada lintasan ini disebut garis singgung, atau percepatan tangensial... Modul Akselerasi Tangensial

,

sama dengan turunan kecepatan pada saat tertentu dalam waktu atau, dengan kata lain, turunan kedua jarak dalam waktu, mencirikan laju perubahan nilai kecepatan.

Terbukti bahwa vektor setiap saat tegak lurus terhadap garis singgung, oleh karena itu disebut percepatan normal.

Ini berarti bahwa modulus percepatan normal sebanding dengan pangkat dua modulus kecepatan pada saat tertentu, berbanding terbalik dengan jari-jari kelengkungan lintasan pada titik tertentu, dan mencirikan laju perubahan arah kecepatan.

Modul akselerasi