Persamaan logaritma 13 pengaturan ujian. Berlatih pemecahan masalah secara teratur

Dalam tugas ke-13 dari tingkat profil USE dalam matematika, perlu untuk menyelesaikan persamaan, tetapi sudah memiliki tingkat kerumitan yang meningkat, karena tugas-tugas tingkat C sebelumnya dimulai dari tugas ke-13, dan tugas ini dapat disebut C1. Mari kita beralih ke memeriksa contoh tugas khas.

Analisis opsi tipikal untuk tugas No. 13 dari USE dalam matematika tingkat profil

Varian pertama dari tugas (versi demo 2018)

a) Selesaikan persamaan cos2x = 1-cos (n / 2-x)

b) Temukan semua akar persamaan ini yang termasuk dalam interval [-5n / 2; -n].

Algoritma solusi:

1. T
2. Kami melakukan perubahan terbalik dan memecahkan persamaan trigonometri paling sederhana.

1. Kami membangun sumbu angka.
2. Kami meletakkan akar di atasnya.
3. Kami menandai ujung segmen.
4. Kami memilih nilai-nilai yang terletak di dalam interval.
5. Kami menuliskan jawabannya.

Larutan:

1. Transformasikan ruas kanan persamaan menggunakan rumus reduksi cos ( π/ 2−x) = sin x... Kita punya:

cos2x = 1 - sin x.

Transformasikan ruas kiri persamaan menggunakan rumus kosinus argumen ganda menggunakan sinus:

cos (2x) = 1−2sin 2x

Kami mendapatkan persamaan berikut: 1 sin 2 x= 1− sin x

Sekarang persamaan hanya berisi satu fungsi trigonometri sin x.

2. Kami memperkenalkan pengganti: T= dosa x... Kami memecahkan persamaan kuadrat yang dihasilkan:

1−2T 2 =1−T,

−2T 2 +T=0,

T(−2T+1)=0,

t = 0 atau -2t + 1 = 0,

t 1 = 0 t 2 = 1/2.

3. Kami melakukan penggantian terbalik:

dosa x= 0 atau sin x = ½

Kami memecahkan persamaan ini:

dosa x =0↔x=n, nЄZ

dosa ( x)=1/2↔x= (-1) n ( / 6)+n, nЄZ.

Oleh karena itu, kami memperoleh dua keluarga solusi.

1. Pada bagian sebelumnya, diperoleh dua keluarga, yang masing-masing berisi banyak solusi tak terhingga. Penting untuk mengetahui yang mana dari mereka yang berada dalam interval yang diberikan. Untuk melakukan ini, kami membuat garis bilangan.

2. Kami meletakkan akar kedua keluarga di atasnya, menandainya dengan hijau (pertama) dan biru (kedua).

3. Tandai ujung celah dengan warna merah.

4. Dalam interval yang ditunjukkan ada tiga akar yang merupakan tiga akar: 2 π ;−11π/ 6 dan 7 π/ 6.

sebuah) n, nЄZ;(-1) n ( / 6)+n, nЄZ

b) 2 π ;−11π 6;−7π 6

Varian kedua dari tugas (dari Yashchenko, no. 1)

Algoritma solusi:

1. Ganti fungsi ini dengan variabel T dan selesaikan persamaan kuadrat yang dihasilkan.
2. Kami membuat substitusi terbalik dan memecahkan eksponensial paling sederhana, kemudian persamaan trigonometri.

1. Kami membangun bidang koordinat dan lingkaran radius satuan di atasnya.
2. Tandai titik-titik yang merupakan ujung segmen.
3. Kami memilih nilai-nilai yang terletak di dalam segmen.
4. Kami menuliskan jawabannya.

Larutan:

1. Perkenalkan penggantian t = 4 cos x. maka persamaan tersebut akan berbentuk:

Kami memecahkan persamaan kuadrat menggunakan rumus diskriminan dan akar:

D = b 2 - c = 81 - 4 4 2 = 49,

t 1 = (9 - 7) / 8 = , t 2 = (9 + 7) / 8 = 2.

3. Kembali ke variabel x:

1. Bangun bidang koordinat dan lingkaran radius satuan di atasnya.

2. Tandai titik-titik yang merupakan ujung segmen.

3. Pilih nilai yang terletak di dalam segmen.

Ini adalah akarnya. Ada dua dari mereka.

sebuah)

B)

Varian ketiga dari tugas (dari Yashchenko, no. 6)

Algoritma solusi:

1. Menggunakan rumus trigonometri, kami membawa persamaan ke bentuk yang hanya berisi satu fungsi trigonometri.
2. Ganti fungsi ini dengan variabel T dan selesaikan persamaan kuadrat yang dihasilkan.
3. Kami membuat substitusi terbalik dan memecahkan eksponensial paling sederhana, dan kemudian persamaan trigonometri.

1. Kami memecahkan ketidaksetaraan untuk setiap kasus.
2. Kami menuliskan jawabannya.

Larutan:

1. Menurut rumus reduksi .

2. Maka persamaan ini akan berbentuk:

3. Memperkenalkan pengganti ... Kita mendapatkan:

Kami memecahkan persamaan kuadrat biasa menggunakan rumus diskriminan dan akar:

rumah

Bagaimana menyelesaikan soal ujian nomor 13 pada persamaan eksponensial dan logaritma | 1C: Guru

Apa yang perlu Anda ketahui tentang persamaan eksponensial dan logaritmik untuk menyelesaikan masalah USE dalam matematika?

Untuk dapat menyelesaikan persamaan eksponensial dan logaritmik sangat penting untuk keberhasilan kelulusan ujian keadaan terpadu dalam matematika tingkat profil. Penting karena dua alasan:

Pertama, tugas No. 13 dari USE versi KIM, meskipun jarang, tetapi terkadang masih mewakili persamaan yang tidak hanya perlu diselesaikan, tetapi juga (mirip dengan tugas dalam trigonometri) untuk memilih akar persamaan yang memenuhi beberapa kondisi.

Jadi, salah satu opsi untuk 2017 termasuk tugas berikut:

a) Selesaikan persamaan 8 x – 7 . 4 x – 2 x +4 + 112 = 0.

b) Tunjukkan akar-akar persamaan ini yang termasuk dalam segmen tersebut.

Menjawab: a) 2; log 2 7 dan b) log 2 7.

Di versi lain, ada tugas seperti itu:

a) Selesaikan persamaan 6log 8 2 x- 5log 8 x + 1 = 0

b) Temukan semua akar persamaan ini yang termasuk dalam segmen.

Menjawab: a) 2 dan 2√ 2 ; b) 2.

Ada juga yang berikut:

a) Selesaikan persamaan 2log 3 2 (2cos x) - 5log 3 (2cos x) + 2 = 0.

b) Temukan semua akar persamaan ini yang termasuk dalam segmen [π; 5π / 2].

Menjawab: sebuah) (π / 6 + 2πk; -π / 6 + 2k, k∊Z) dan b) 11π / 6; 13π / 6.

Kedua, studi tentang metode untuk memecahkan persamaan eksponensial dan logaritmik adalah baik, karena metode dasar untuk memecahkan persamaan dan pertidaksamaan sebenarnya menggunakan ide matematika yang sama.

Metode utama untuk memecahkan persamaan eksponensial dan logaritmik mudah diingat, hanya ada lima di antaranya: reduksi ke persamaan paling sederhana, penggunaan transisi yang setara, pengenalan yang tidak diketahui baru, logaritma dan faktorisasi. Metode menggunakan sifat-sifat eksponensial, logaritmik, dan fungsi lainnya saat memecahkan masalah bernilai satu metode terpisah: terkadang kunci untuk memecahkan persamaan adalah domain definisi, rentang nilai, non-negatif, batas, paritas fungsi termasuk di dalamnya.

Sebagai aturan, dalam Soal No. 13 ada persamaan yang mengharuskan penggunaan lima metode dasar di atas. Masing-masing metode ini memiliki karakteristiknya sendiri yang perlu Anda ketahui, karena ketidaktahuan merekalah yang menyebabkan kesalahan dalam menyelesaikan masalah.

Apa kesalahan yang biasa dilakukan peserta tes?

Seringkali, ketika memecahkan persamaan yang mengandung fungsi eksponensial, anak sekolah lupa untuk mempertimbangkan salah satu kasus ketika persamaan terpenuhi. Seperti diketahui, persamaan jenis ini setara dengan satu set dua sistem kondisi (lihat di bawah), kita berbicara tentang kasus ketika sebuah ( x) = 1

Kesalahan ini disebabkan oleh fakta bahwa ketika menyelesaikan persamaan, peserta ujian secara formal menggunakan definisi fungsi eksponensial (y = kapak, a> 0, a 1): untuk sebuah ≤ 0 fungsi eksponensial tidak benar-benar didefinisikan,

Tetapi dengan sebuah = 1 didefinisikan, tetapi tidak indikatif, karena unit dalam derajat nyata apa pun secara identik sama dengan dirinya sendiri. Ini berarti bahwa jika dalam persamaan yang dipertimbangkan di sebuah(x) = 1 ada persamaan numerik yang benar, maka nilai variabel yang sesuai akan menjadi akar persamaan.

Kesalahan lain adalah menerapkan sifat-sifat logaritma tanpa memperhitungkan rentang nilai yang valid. Misalnya, properti terkenal "logaritma produk sama dengan jumlah logaritma", ternyata memiliki generalisasi:
mencatat ( F(x)G(x)) = log a F(x) + log a g ( x) , untuk F(x)G(x) > 0, sebuah > 0, sebuah ≠ 1

Memang, agar ekspresi di sisi kiri persamaan ini dapat didefinisikan, cukuplah bahwa produk dari fungsi F dan G adalah positif, tetapi fungsinya sendiri dapat menjadi lebih besar secara bersamaan dan secara bersamaan lebih kecil dari nol, oleh karena itu, ketika menerapkan properti ini, perlu menggunakan konsep modul.

Dan ada banyak contoh seperti itu. Oleh karena itu, untuk pengembangan metode yang efektif untuk memecahkan persamaan eksponensial dan logaritmik, yang terbaik adalah menggunakan layanan yang akan dapat memberi tahu tentang "perangkap" semacam itu dengan contoh pemecahan masalah ujian yang sesuai.

Berlatih pemecahan masalah secara teratur

Cukup dengan mulai berlatih di portal 1C: Tutor.
Kamu bisa:

Semua kursus terdiri dari urutan teori dan praktik yang benar secara metodologis yang diperlukan untuk pemecahan masalah yang sukses. Meliputi teori dalam bentuk teks, slide dan video, masalah dengan solusi, simulator interaktif, model, dan tes.

Masih ada pertanyaan? Hubungi kami di 8 800 551-50-78 atau tulis ke obrolan online.

Berikut adalah frasa kunci untuk membantu mesin telusur menemukan kiat kami dengan lebih baik:
Bagaimana menyelesaikan tugas 13 di ujian ujian, masalah untuk logaritma, Kim USE 2017, persiapan untuk Profil Ujian Negara Bersatu matematika, Profil matematika, menyelesaikan persamaan dan logaritma, menyelesaikan masalah persamaan eksponensial USE, menghitung sifat-sifat logaritma, fungsi eksponensial, masalah dalam matematika tingkat profil, menerapkan sifat-sifat logaritma, menyelesaikan masalah pada akar, masalah GUNAKAN 2017 persamaan eksponensial, persiapan ujian lulusan kelas 11 tahun 2018, masuk universitas teknik.