Persamaan dan pertidaksamaan eksponensial. Solusi persamaan dan pertidaksamaan eksponensial Contoh sistem persamaan dan pertidaksamaan eksponensial

Metode untuk memecahkan sistem persamaan

Untuk memulainya, mari kita ingat secara singkat metode penyelesaian sistem persamaan apa yang ada secara umum.

Ada empat cara utama solusi sistem persamaan:

Metode substitusi: salah satu persamaan ini diambil dan $ y $ dinyatakan melalui $ x $, kemudian $ y $ disubstitusikan ke dalam persamaan sistem, dari mana variabel $ x ditemukan. $ Setelah itu kita dapat dengan mudah menghitung variabel $ y. $

Metode Penjumlahan: dalam metode ini perlu untuk mengalikan salah satu atau kedua persamaan dengan bilangan sedemikian sehingga ketika keduanya dijumlahkan, salah satu variabel “hilang”.

Metode grafis: kedua persamaan sistem ditampilkan pada bidang koordinat dan titik perpotongannya ditemukan.

Metode memperkenalkan variabel baru: dalam metode ini, kami mengganti ekspresi apa pun untuk menyederhanakan sistem, dan kemudian menerapkan salah satu metode di atas.

Sistem persamaan eksponensial

Definisi 1

Sistem persamaan yang terdiri dari persamaan eksponensial disebut sistem persamaan eksponensial.

Kami akan mempertimbangkan solusi sistem persamaan eksponensial dengan contoh.

Contoh 1

Memecahkan sistem persamaan

Gambar 1.

Larutan.

Kami akan menggunakan metode pertama untuk menyelesaikan sistem ini. Pertama, mari kita nyatakan $ y $ dalam bentuk $ x $ dalam persamaan pertama.

Gambar 2.

Substitusikan $ y $ ke persamaan kedua:

\ \ \ [- 2-x = 2 \] \ \

Menjawab: $(-4,6)$.

Contoh 2

Memecahkan sistem persamaan

Gambar 3.

Larutan.

Sistem ini setara dengan sistem

Gambar 4.

Mari kita terapkan metode keempat untuk menyelesaikan persamaan. Misalkan $2 ^ x = u \ (u> 0) $, dan $3 ^ y = v \ (v> 0) $, kita peroleh:

Gambar 5.

Mari selesaikan sistem yang dihasilkan dengan metode penjumlahan. Mari kita tambahkan persamaan:

\ \

Kemudian dari persamaan kedua, kita mendapatkan bahwa

Kembali ke penggantian, saya mendapatkan sistem persamaan eksponensial baru:

Gambar 6.

Kita mendapatkan:

Gambar 7.

Menjawab: $(0,1)$.

Sistem pertidaksamaan eksponensial

Definisi 2

Sistem pertidaksamaan yang terdiri dari persamaan eksponensial disebut sistem pertidaksamaan eksponensial.

Kami akan mempertimbangkan solusi sistem pertidaksamaan eksponensial dengan contoh.

Contoh 3

Memecahkan sistem pertidaksamaan

Angka 8.

Larutan:

Sistem ketidaksetaraan ini setara dengan sistem

Gambar 9.

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan pertama, ingat teorema berikut tentang persamaan pertidaksamaan eksponensial:

Teorema 1. Pertidaksamaan $ a ^ (f (x))> a ^ (\ varphi (x)) $, di mana $ a> 0, a \ ne 1 $ setara dengan kumpulan dua sistem

\ U)