Biblioteca deschisă - o bibliotecă deschisă de informații educaționale. Bibliotecă deschisă - bibliotecă deschisă de informații educaționale Fractal Pythagoreean unghi aleatoriu

În timp ce studiam algoritmii de detectare a evenimentelor electrocardiogramei pentru partea de cercetare a tezei mele, am descoperit că durata intervalului R-R al cardiogramei, calculată până la a doua zecimală, caracterizează destul de exact sistemul cardiovascular al unei anumite persoane. Din moment ce sunt fascinat de geometria fractală de ceva timp, mi-a apărut imediat în cap o idee despre cum să dau calități „personale” unui obiect fractal simplu.

Așa a apărut „Arborele Pitagoreic Electrocardiografic”.

Partea teoretică – 1. Despre electrocardiogramă

O înregistrare grafică a diferenței de potențial creată între diferite părți ale mușchiului inimii în timpul excitației sale se numește electrocardiogramă (ECG). Orientarea și mărimea acestor potențiale cardiace pe electrocardiogramă sunt exprimate în amplitudinea undelor și direcția (polaritatea) acestora în raport cu linia izoelectrică. Și acopera intervalul de 0,15...300 Hz la un nivel de semnal de 0,3...3 mV.

Un ECG normal constă din unde și segmente de linii situate orizontal între ele (Figura 1).

Figura 1 – Reprezentarea schematică a unei electrocardiograme normale.

În practica clinică, cablurile sunt utilizate din diferite părți ale suprafeței corpului. Aceste piste sunt numite superficiale. La înregistrarea unui ECG, se folosesc de obicei 12 derivații convenționale, șase de la membre și șase de la piept. Primele trei piste standard au fost propuse de Einthoven. Frecvența cardiacă (HR) este determinată de durata unui ciclu cardiac, adică de durata intervalului R – R.

Standardul și cel mai convenabil pentru determinarea ritmului cardiac este plumbul II conform lui Einthoven, deoarece în ea, este unda R care are cea mai mare amplitudine.

Partea practică - 1

Pentru calcule, vom folosi un ECG real al unei persoane sănătoase în derivația II conform lui Einthoven, obținut dintr-o bază de date de semnale fiziologice.

Parametrii ECG:
Rezoluție ADC 12 biți;
Frecvența de eșantionare 100 Hz;
Durata 10 secunde;

Figura 2 – Imaginea unui ECG normal din baza de date.

În continuare, vom determina complexul QRS pentru a extrage apoi unda R din el. Pentru a face acest lucru, vom folosi un algoritm bazat pe un operator derivată primară ponderat și pătrat și un filtru de medie mobilă.

Sună mai complicat decât pare:

Unde x(n)- semnal ECG, N-latimea ferestrei in cadrul caruia se calculeaza diferenta de ordinul I, la patrat si se pondereaza cu ajutorul coeficientului (N-i+1).

Coeficientul de ponderare scade liniar, pornind de la diferenta curenta, pana la diferenta calculata la N contează mai devreme în timp, ceea ce oferă un efect de netezire.

O netezire suplimentară este efectuată folosind un filtru de medie mobilă M puncte:

La o rată de eșantionare de 100 Hz, lățimea ferestrei filtrului este setată ca M=N=8. Acest algoritm produce un singur vârf pentru fiecare complex QRS și suprimă undele P și T. Ca rezultat al procesării, obținem următoarea vizualizare ECG (Figura 3).

Figura 3 – Imagine ECG după filtrare.

Găsirea undei R în semnalul procesat se poate face folosind un algoritm simplu de găsire a vârfurilor:
1. Scanarea unui fragment dintr-un semnal g(n), la care se așteaptă prezența unui vârf, și determinând valoarea maximă gmax.
2. Definirea pragului ca o anumită fracțiune a maximului, Th=0,8gmax.
3. Pentru toate g(n)>Th, sunt selectate acele citiri pentru care valorile corespunzătoare g(n) mai mult decât un anumit număr dat M lecturi anterioare sau ulterioare g(n).

Setul astfel definit (p) contine indicii tuturor celor gasiti in semnal g(n) culmi
Vârfurile cauzate de artefacte pot fi respinse de condiții suplimentare, de exemplu, intervalul minim dintre două vârfuri adiacente.

Figura 4 – Imagine ECG cu undele R marcate.

Urmează sarcina simplă în sine - determinarea lungimii medii a intervalului R-R al unui ECG dat. Și în acest caz este egal cu 733ms. Pentru distracție, să calculăm ritmul cardiac: 60/0.733=81.85 batai/min. Acum avem o valoare care caracterizează munca inimii unei anumite persoane.

O mica explicatie:
Inima nu este un metronom; nu poate bate o bătaie cu intervale de timp egale între bătăi. Intervalul R-R pentru o persoană sănătoasă variază în limite mici. Dacă fluctuațiile în interval sunt semnificative, aceasta indică prezența aritmiilor și a altor tulburări. Mecanismul de oscilație este un set foarte complex de procese asociate cu conductivitatea electrică a unei anumite inimi.

Folosind valoarea intervalului mediu R-R ca parametru la construirea unui arbore pitagoreic, îi puteți da caracteristici „unice” („personale”).

Partea teoretică – 2. Despre fractali

Fractalii sunt obiecte geometrice: linii, suprafețe, corpuri spațiale care au o formă extrem de accidentată și au proprietatea de a se autoasemăna. Fondatorul teoriei fractalilor, matematicianul franco-american Benoit Mandelbrot, a format termenul de fractal din participiul latin fractus. Verbul corespunzător frangere este tradus ca a rupe, rupe, i.e. creează fragmente de formă neregulată. Auto-asemănarea predetermina invarianța (scalarea) la scară a principalelor caracteristici geometrice ale unui obiect fractal, invarianța lor atunci când scara se schimbă. Repetabilitatea liniilor zimțate ale obiectelor fractale poate fi completă (în acest caz vorbim de fractali obișnuiți), sau poate fi observat un element de aleatorie (astfel de fractali se numesc aleatoriu). Structura fractalilor aleatorii la scară mică nu este exact identică cu întregul obiect, dar caracteristicile lor statistice sunt aceleași.

Arborele pitagoreic este un tip de fractal geometric regulat bazat pe figura cunoscută sub numele de „Pantalonii pitagoreici”.

Principiul construirii unui fractal geometric este recursiunea.

Partea practică - 2

Algoritm pentru construirea unui arbore pitagoreic:
1) Construiți un segment vertical;
2) Din capătul superior al acestui segment construim recursiv încă 2 segmente de lungime mai mică la un unghi de 90° unul față de celălalt;
3) Apelați funcția de construire a două segmente ulterioare pentru fiecare ramură a arborelui;

Funcție pentru construirea unui arbore pitagoreic în limbajul C.

Void Draw(dublu x, dublu y, dublu L, dublu a) ( dacă(L > max) ( L*=0,7; mutare la(x,y); lineto((int)(x+L*cos(a))) ,(int)(y-L*sin(a))); x=x+L*cos(a); y=y-L*sin(a); Draw(x,y,L,a+Pi/n); Draw (x,y,L,a-Pi/m); ))
Figura 5 – Arborele lui Pitagora pentru ECG la R-R: 733ms.

Singurul lucru rămas de schimbat este să utilizați lungimea calculată a intervalului mediu R-R ECG din program ca variabilă L.

În acest fel, poți obține un arbore pitagoreic „personal” care va „respira”, în funcție de activitatea fizică, iar lungimea ramurilor și răsucirea lor îți vor „descrie” personalitatea cât mai exact posibil.

Bibliografie

1. Resursă de cercetare a semnalelor fiziologice complexe:

Arborele lui Pitagora- un tip de fractal bazat pe o figură cunoscută sub numele de Pythagore Pants.

Poveste

Pitagora, demonstrându-și celebra teoremă, a construit o figură cu pătrate pe laturile unui triunghi dreptunghic. În secolul nostru, această figură a lui Pitagora a crescut într-un copac întreg. Arborele pitagoreic a fost construit pentru prima dată de A.E. Bosman (1891-1961) în timpul celui de-al doilea război mondial, folosind o riglă de desen obișnuită.

Particularități

Una dintre proprietățile arborelui pitagoreic este că, dacă aria primului pătrat este egală cu unu, atunci la fiecare nivel suma ariilor pătratelor va fi, de asemenea, egală cu unu.

Dacă în arborele pitagoreic clasic unghiul este de 45 de grade, atunci este și posibil să construiți un arbore pitagoreic generalizat folosind alte unghiuri. Acest copac este adesea numit arborele suflat de vânt al lui Pitagora. Dacă înfățișați doar segmente care conectează într-un fel „centrele” triunghiurilor selectate, obțineți un copac pitagoreic gol.

Algoritm:

1) Construiți un segment vertical
2) Din capătul superior al acestui segment construim recursiv încă 2 segmente la anumite unghiuri
3) Apelați funcția de construire a două segmente ulterioare pentru fiecare ramură a arborelui

Exemple

Arborele lui Pitagora clasic

Arborele pitagoreic suflat de vânt

Arborele nud al lui Pitagora

Arborele expus de vânt al lui Pitagora

Bună ziua, prieteni interesați de fractali și multe altele. Începând din acest moment, lansez o serie de postări în care voi explica principiile construirii celor mai simpli fractali. Este întotdeauna interesant să studiezi și te voi ajuta cu asta: de acum încolo vom cunoaște mulți, mulți fractali. Atractorul Lorenz din articolul despre haos a fost un exemplu în acest sens. Și astăzi vă voi povesti despre arborele pitagoreic.

Deci ce este? Arborele lui Pitagora este cel mai simplu fractal care poate fi desenat pe hârtie. Dar de ce acest fractal este numit arborele lui Pitagora? Faptul este că aici există o legătură cu teorema lui Pitagora - unul dintre fundamentele geometriei euclidiene. Îți amintești de ea? Permiteți-mi să vă reamintesc: a2 + b2 = c2 (suma pătratelor lungimii catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei). Această teoremă este cunoscută din cele mai vechi timpuri; în prezent există peste 400 de dovezi ale teoremei și doar Pitagora a fost primul care a demonstrat-o geometric. A construit următoarea figură: a luat un triunghi dreptunghic și a desenat pătrate pe laturile lui. Această figură este numită și „pantaloni pitagoreici”:

Dacă continuăm această construcție recursiv, ajungem la un arbore pitagoreic:
Prima iterație (în arborele nostru pitagoreic unghiul este de 45 de grade):

A doua iterație:

A treia iterație:

A zecea iterație:

O proprietate importantă a arborelui pitagoreic: dacă aria primului pătrat este egală cu unu, atunci la fiecare nivel suma ariilor pătratelor va fi, de asemenea, egală cu unu.
Dacă unghiul este schimbat de la 45 de grade, atunci pot fi construite alte tipuri de arbore pitagoreic.
Iată, de exemplu, așa-numitul „copac al lui Pitagora suflat de vânt”:

Unii generatori de grafice fractale implementează o formulă pentru construirea unui fractal bazat pe arborele lui Pitagora. Această implementare amintește foarte mult de sistemul IFS, mai ales dacă înlocuiți pătratele cu dreptunghiuri sau forme alungite.
Atât pentru astăzi, până la următoarele întâlniri, în care vor fi mulți alți fractali interesanți)

Arborele lui Pitagora

Arborele lui Pitagora este un tip de fractal bazat pe figura cunoscută sub numele de Pantaloni Pitagoreici.

Poveste.

Pitagora, demonstrându-și celebra teoremă, a construit o figură cu pătrate pe laturile unui triunghi dreptunghic. În secolul nostru, această figură a lui Pitagora a crescut într-un copac întreg. Arborele pitagoreic a fost construit pentru prima dată de A.E. Bosman (1891-1961) în timpul celui de-al doilea război mondial, folosind o riglă de desen obișnuită.

Particularități.

Una dintre proprietățile arborelui pitagoreic este că, dacă aria primului pătrat este egală cu unu, atunci la fiecare nivel suma ariilor pătratelor va fi, de asemenea, egală cu unu.

Dacă în arborele pitagoreic clasic unghiul este de 45 de grade, atunci este și posibil să construiți un arbore pitagoreic generalizat folosind alte unghiuri. Acest copac este adesea numit arborele suflat de vânt al lui Pitagora. Dacă înfățișați doar segmente care conectează într-un fel „centrele” triunghiurilor selectate, obțineți un copac pitagoreic gol.

Arborele lui Pitagora clasic

Arborele pitagoreic suflat de vânt

Arborele nud al lui Pitagora

Arborele expus de vânt al lui Pitagora

triplă pitagoreică

Triplele lui Pitagora sunt numere care satisfac teorema lui Pitagora:

3, 4, 5; 7, 24, 25; 11,60, 61; 15, 8, 17; 33, 56, 65;

35, 12, 37; 63, 16, 65;

Aceste numere au o serie de proprietăți interesante:

Unul dintre picioare trebuie să fie multiplu de trei

Unul dintre picioare trebuie să fie multiplu de patru

Unul dintre numerele pitagorice trebuie să fie un multiplu de cinci

În matematică, un triplu pitagoreic este un tuplu de trei numere naturale care satisfac relația lui Pitagora:

Tripleți primitivi

Deoarece ecuația este omogenă, atunci când este înmulțită cu același număr natural, se obține un alt triplu pitagoreic. Un triplu pitagoreic se numește primitiv dacă nu poate fi obținut în acest fel de la un alt triplu pitagoreic, adică sunt numere coprime.

teorema lui Pitagora arborele pantalonilor

Este ușor de observat că într-un triplu primitiv numerele x și y au parități diferite și par este divizibil cu 4, iar z este întotdeauna impar.

Orice triplă primitivă pitagoreică unde x este impar și y este par, poate fi reprezentată în mod unic sub forma unor numere naturale coprime de diferite parități, care pot fi calculate folosind formulele:

Dimpotrivă, orice astfel de pereche de numere definește un triplu pitagoreic primitiv

Proprietăți.

Un triunghi ale cărui laturi sunt egale cu numerele pitagoreice este dreptunghiular. În plus, orice astfel de triunghi este un triunghi heronian, adică toate laturile și aria lui sunt numere întregi. Cel mai simplu dintre ele este triunghiul egiptean cu laturi

Fiecare triplă pitagoreică definește un punct cu coordonate raționale pe cercul unitar

Nu se știe dacă există două triple pitagorice diferite care au același produs.

Dacă cea mai mare suprafață este L × L, întregul copac pitagoreic se potrivește strâns într-o cutie de 6L × 4L. Subtilitățile lemnului amintesc de curba Levy.

Constructie

Construcția arborelui pitagoreic începe cu un pătrat. Pe această zonă sunt construite două pătrate, fiecare redusă coeficient liniar½ √ 2, deci unghiurile pătratelor coincid în perechi. Aceeași procedură se aplică recursiv, apoi la două - pătrate chiar mai mici, la infinit. Figura de mai jos arată primele câteva iterații din procesul de construcție.

Pătrat

N - iterația în construcție adaugă 2n ​​pătrate de dimensiune (½ √ 2) N, pentru o suprafață totală de 1. Astfel, în această parte arborele ar părea să crească fără limită în limita N → ∞. Cu toate acestea, unele dintre zone se suprapun începând de ordinul iterației 5, iar arborele are de fapt o zonă finită, deoarece corespunde dimensiunilor de 6 × 4. Nu este greu de demonstrat că aria A a unui arbore pitagoreic trebuie să fie în intervalul de 5<А <18, которая может быть сужена в дальнейшем дополнительными усилиями.

Schimbarea unghiului

Un set interesant de variații poate fi construit prin menținerea unui triunghi isoscel, dar schimbând unghiul de bază (90 de grade pentru arborele pitagoreic standard). În special, când jumătatea unghiului de bază este de 30° = arcsinus (0,5), este ușor de observat că dimensiunea celulelor rămâne constantă. Prima suprapunere are loc în a patra iterație. Designul general este în esență o țiglă trihexagonală de diamant, în care o serie de hexagoane este mărginită de un design de pătrate.

În limită, când jumătatea unghiului este de 90 de grade, evident că nu există suprapunere, iar aria totală este de două ori mai mare decât aria bazei pătratului. Ar fi interesant de știut dacă există o relație între valoarea algoritmică a semiunghiului de bază și iterația la care pătratele se suprapun.

Arborele pitagoreic modificat și modificat (fractal) pentru utilizare în tehnologia antenei.

Folosind originalul arbore fractal Pythagoras (UPTF) a fost inventat de matematicianul olandez Albert E. Bosman în 1942. Arborele lui Pitagora este un fractal 2D construit din pătrate. După cum s-a descris mai devreme, începând cu a cincea iterație, unele dintre zone se suprapun, iar arborele fractal are de fapt o zonă finită, deoarece se încadrează în caseta 6×4. Din acest motiv, este necesar să se întârzie suprapunerea degetelor mâinii stângi și drepte UPTF în a 4-a iterație, așa că proiectăm MPT - fractal eliminând primele iterații de suprafață mare și schimbăm triunghiul dreptunghic isoscel într-un triunghi isoscel cu abrupt. unghiuri (α = 10 grade) astfel încât să reducă înălțimea fractalului și să proiecteze antene compacte. Scopul nostru în proiectarea unei unități de sănătate este să folosim acest fractal pentru a controla lățimea de bandă și rezistența rezonanțelor. Pe baza rezultatelor simulării modificării arborelui lui Pitagora, se observă un potențial foarte bun de miniaturizare datorită proprietății sale de auto-similare, fără a reduce semnificativ capacitatea și eficiența antenei.

Artistul flamand Jos de Mey a creat multe lucrări având ca motiv principal arborele lui Pitagora. Mai jos puteți vedea lucrarea lui.

http://demonstrations.wolfram.com/PythagorasTree/- Design fractal bazat pe teorema lui Pitagora. Aceasta este o opțiune asimetrică; este posibilă și o opțiune simetrică.

http://demonstrations.wolfram.com/download-cdf-player.html- descărcați playerul pentru vizionare

Sursa: http://en.wikipedia.org/wiki/Pythagoras_tree_(fractal)

Traducere: Dmitri Şahhov