Definisi ketat limit suatu fungsi di suatu titik. Menggunakan konsep tetangga suatu titik. Batas suatu fungsi sebagai x ®

Membuktikan sifat-sifat batas suatu fungsi, kami memastikan bahwa tidak ada yang benar-benar diperlukan dari lingkungan bocor di mana fungsi kami didefinisikan dan yang muncul selama pembuktian, kecuali untuk sifat-sifat yang ditunjukkan dalam pengantar paragraf sebelumnya 2. Keadaan ini berfungsi sebagai pembenaran untuk pemilihan objek matematika berikut.

A. Basis; definisi dan contoh dasar

Definisi 11. Kumpulan B dari himpunan bagian dari himpunan X akan disebut basis dalam himpunan X jika dua kondisi terpenuhi:

Dengan kata lain, elemen dari himpunan B adalah himpunan tak kosong, dan perpotongan dari dua himpunan tersebut berisi beberapa elemen dari himpunan yang sama.

Mari kita tunjukkan beberapa dasar yang paling umum digunakan dalam analisis.

Jika kemudian sebaliknya mereka menulis dan mengatakan bahwa x cenderung ke a dari kanan atau dari samping nilai besar(masing-masing, ke kiri atau dari sisi nilai yang lebih kecil). Ketika entri singkat diterima alih-alih

Catatan akan digunakan sebagai pengganti Ini berarti bahwa a; cenderung sepanjang himpunan E ke a, tersisa lebih (kurang) dari a.

maka alih-alih menulis dan mengatakan bahwa x cenderung plus tak terhingga (masing-masing, hingga minus tak terhingga).

Entri akan digunakan sebagai pengganti

Karena, alih-alih kami (jika ini tidak menyebabkan kesalahpahaman), seperti yang biasa dalam teori limit barisan, kami akan menulis

Perhatikan bahwa semua alas yang terdaftar memiliki ciri bahwa perpotongan dua elemen alas itu sendiri merupakan elemen dari alas ini, dan tidak hanya berisi beberapa elemen alas. Kami akan bertemu basis lain ketika mempelajari fungsi yang tidak ditentukan pada sumbu bilangan.

Kami juga mencatat bahwa istilah "basis" yang digunakan di sini adalah sebutan singkat dari apa yang disebut "basis filter" dalam matematika, dan batas dasar yang diperkenalkan di bawah ini adalah bagian paling penting untuk analisis konsep batas filter, yang dibuat oleh matematikawan Prancis modern A. Cartan

B. Batas fungsi dasar

Definisi 12. Membiarkan menjadi fungsi pada himpunan X; B adalah basis di X. Suatu bilangan disebut limit suatu fungsi terhadap basis B jika, untuk sembarang tetangga dari titik A, ada elemen dari alas yang bayangannya terdapat di lingkungan tersebut

Jika A adalah limit fungsi dalam basis B, maka ditulis

Mari kita ulangi definisi batas dasar dalam simbol logika:

Karena kita sedang mempertimbangkan fungsi dengan nilai numerik, akan berguna untuk mengingat bentuk definisi dasar berikut ini:

Dalam formulasi ini, alih-alih lingkungan sewenang-wenang V (A), kami mengambil lingkungan simetris (terhadap titik A) (e-neighborhood). Kesetaraan definisi ini untuk fungsi bernilai nyata mengikuti dari fakta bahwa, seperti yang telah disebutkan, setiap lingkungan dari suatu titik mengandung beberapa lingkungan simetris dari titik yang sama (lengkapi buktinya!).

Kami telah memberikan definisi umum dari batas fungsi dasar. Di atas, kami telah mempertimbangkan contoh database yang paling umum dalam analisis. Dalam tugas tertentu di mana satu atau lain dari basis ini muncul, perlu untuk dapat menguraikan definisi umum dan menuliskannya untuk basis tertentu.

Mempertimbangkan contoh basis, kami, khususnya, memperkenalkan konsep lingkungan tak terhingga. Jika kita menggunakan konsep ini, maka sesuai dengan definisi umum batas wajar untuk menerima perjanjian berikut:

atau, setara,

Biasanya nilai kecil yang dimaksud. Tentu saja, ini tidak terjadi dalam definisi di atas. Sesuai dengan kesepakatan yang diterima, misalnya, kita dapat menulis

Agar dapat mempertimbangkan sebagai terbukti dan dalam kasus umum batas pada basis sewenang-wenang semua teorema pada batas yang kami buktikan dalam Bagian 2 untuk basis khusus, perlu untuk memberikan definisi yang sesuai: akhirnya konstan, akhirnya terbatas dan sangat kecil untuk basis fungsi tertentu.

Definisi 13. Suatu fungsi disebut akhirnya konstan di basis B jika ada bilangan dan elemen basis tersebut, di sembarang titik di mana

Saat ini, manfaat utama dari pengamatan yang dilakukan dan konsep basis yang diperkenalkan sehubungan dengan itu adalah bahwa mereka menyelamatkan kita dari pemeriksaan dan bukti formal teorema tentang limit untuk setiap jenis lintasan tertentu ke limit atau, dalam kasus kita saat ini. terminologi, untuk setiap basis jenis tertentu.

Untuk akhirnya terbiasa dengan konsep batas dasar arbitrer, kami akan melakukan pembuktian sifat lebih lanjut dari limit suatu fungsi dalam bentuk umum.

Fungsi y = f (x) hukum (aturan) disebut, yang menurutnya, setiap elemen x dari himpunan X dikaitkan dengan satu dan hanya satu elemen y dari himpunan Y.

Elemen x X disebut argumen fungsi atau variabel bebas.
elemen y Y disebut nilai fungsi atau variabel tak bebas.

Himpunan X disebut lingkup fungsi.
Himpunan elemen y Y yang memiliki bayangan di himpunan X disebut rentang atau kumpulan nilai suatu fungsi.

Fungsi sebenarnya disebut dibatasi di atas (bawah) jika ada angka M sehingga untuk semua pertidaksamaan berikut berlaku:
.
Fungsi numerik disebut terbatas jika ada angka M sehingga untuk semua:
.

tepi atas atau batas atas yang tepat fungsi nyata disebut bilangan terkecil, yang membatasi rentang nilainya dari atas. Artinya, itu adalah bilangan s, yang untuk semua dan untuk semua, ada argumen seperti itu, nilai fungsi yang melebihi s :.
Batas atas suatu fungsi dapat dilambangkan sebagai berikut:
.

masing-masing tepi bawah atau batas bawah tepat fungsi nyata disebut yang terbesar dari angka, membatasi rentang nilainya dari bawah. Artinya, ini adalah angka i, yang untuk semua dan untuk semua, ada argumen seperti itu, yang nilai fungsinya kurang dari i :.
Batas bawah suatu fungsi dapat dilambangkan sebagai berikut:
.

Menentukan Limit Fungsi

Penentuan limit suatu fungsi menurut Cauchy

Batas Fungsi Hingga di Titik Akhir

Biarkan fungsi didefinisikan di beberapa lingkungan dari titik akhir, dengan pengecualian, mungkin, dari titik itu sendiri. pada suatu titik jika untuk sembarang ada sedemikian sehingga untuk semua x yang pertidaksamaannya
.
Batas fungsi dilambangkan sebagai berikut:
.
Atau di.

Dengan menggunakan simbol logika keberadaan dan universalitas, definisi limit suatu fungsi dapat ditulis sebagai berikut:
.

Batas satu sisi.
Batas kiri pada titik (batas kiri):
.
Batas kanan pada titik (batas kanan):
.
Batas kiri dan kanan sering dilambangkan sebagai berikut:
; .

Batas Terhingga dari suatu Fungsi pada Titik Tak Terhingga

Batas pada titik tak terhingga ditentukan dengan cara yang sama.
.
.
.
Mereka sering disebut sebagai:
; ; .

Menggunakan konsep lingkungan suatu titik

Jika kita memperkenalkan konsep lingkungan tertusuk suatu titik, maka kita dapat memberikan definisi terpadu dari batas hingga suatu fungsi pada titik-titik yang berhingga dan jauh tak hingga:
.
Di sini untuk titik akhir
; ;
.
Setiap lingkungan di titik tak terhingga tertusuk:
; ; .

Batas fungsi tak terbatas

Definisi
Biarkan fungsi didefinisikan di beberapa lingkungan yang tertusuk dari suatu titik (jauh atau jauh tak terhingga). Batas fungsi f (x) sebagai x → x 0 sama dengan tak terhingga jika untuk apapun, sewenang-wenang jumlah yang besar M > 0 , terdapat bilangan M > 0 tergantung pada M sedemikian rupa sehingga untuk semua x milik tertusuk M - lingkungan titik :, ketidaksetaraan berikut berlaku:
.
Batas tak hingga dilambangkan sebagai berikut:
.
Atau di.

Dengan menggunakan simbol logika keberadaan dan universalitas, definisi limit tak hingga dari suatu fungsi dapat ditulis sebagai berikut:
.

Anda juga dapat memasukkan definisi batas tak hingga untuk tanda-tanda tertentu yang sama dengan dan:
.
.

Definisi universal dari limit suatu fungsi

Dengan menggunakan konsep ketetanggaan suatu titik, kita dapat memberikan definisi universal dari batas hingga dan tak hingga dari suatu fungsi, berlaku baik untuk hingga (dua sisi dan satu sisi) dan untuk titik yang jauh tak terhingga:
.

Penentuan limit suatu fungsi menurut Heine

Biarkan fungsi didefinisikan pada beberapa set X:.
Bilangan a disebut limit fungsi pada titik:
,
jika untuk sembarang barisan yang konvergen ke x 0 :
,
yang elemen-elemennya termasuk dalam himpunan X :,
.

Mari kita tulis definisi ini menggunakan simbol logis keberadaan dan universalitas:
.

Jika untuk himpunan X kita ambil tetangga sebelah kiri dari titik x 0 , maka kita mendapatkan definisi limit kiri. Jika itu adalah sisi kanan, maka kita mendapatkan definisi batas yang tepat. Jika kita mengambil lingkungan titik di tak hingga sebagai himpunan X, maka kita memperoleh definisi limit fungsi di tak hingga.

Dalil
Definisi limit suatu fungsi oleh Cauchy dan Heine adalah ekivalen.
Bukti

Sifat dan teorema limit untuk suatu fungsi

Selanjutnya, kami menganggap bahwa fungsi yang dipertimbangkan didefinisikan dalam lingkungan yang sesuai dari titik, yang merupakan bilangan terbatas atau salah satu simbol :. Ini juga bisa menjadi titik batas satu sisi, yaitu memiliki bentuk atau. Lingkungan adalah dua arah untuk batas dua arah dan satu arah untuk satu arah.

Sifat dasar

Jika nilai fungsi f (x) ubah (atau buat tidak terdefinisi) pada sejumlah titik x 1, x 2, x 3, ... x n, maka perubahan ini sama sekali tidak mempengaruhi keberadaan dan besaran limit fungsi pada titik sembarang x 0 .

Jika ada limit yang berhingga, maka ada temu yang tertusuk dari titik x 0 dimana fungsi f (x) terbatas pada:
.

Biarkan fungsi berada di titik x 0 batas bukan nol akhir:
.
Kemudian, untuk sembarang bilangan c dari interval, terdapat suatu lingkungan yang terputus-putus dari titik x 0 untuk apa,
, jika ;
, jika .

Jika, pada beberapa lingkungan titik yang tertusuk, adalah konstanta, maka.

Jika ada batas berhingga dan dan pada beberapa lingkungan yang tertusuk dari titik x 0
,
kemudian .

Jika, dan pada beberapa lingkungan titik
,
kemudian .
Secara khusus, jika di beberapa lingkungan titik
,
maka jika, maka dan;
jika, maka dan.

Jika pada beberapa lingkungan yang tertusuk dari titik x 0 :
,
dan ada batas yang sama terbatas (atau tak terbatas dari tanda tertentu):
, kemudian
.

Bukti properti utama diberikan di halaman
"Sifat dasar limit suatu fungsi."

Sifat aritmatika dari limit suatu fungsi

Biarkan fungsi dan didefinisikan di beberapa lingkungan titik yang tertusuk. Dan biarkan ada batas yang terbatas:
dan .
Dan biarkan C menjadi konstanta, yaitu, angka tertentu. Kemudian
;
;
;
, jika .

Jika kemudian.

Untuk bukti sifat aritmatika, lihat halaman
"Sifat aritmatika dari batas-batas suatu fungsi."

Kriteria Cauchy untuk keberadaan limit suatu fungsi

Dalil
Untuk suatu fungsi yang didefinisikan pada beberapa lingkungan tertusuk dari titik x yang berhingga atau jauh tak terhingga 0 , memiliki batas yang terbatas pada titik ini, perlu dan cukup untuk setiap > 0 ada lingkungan yang tertusuk dari titik x 0 , bahwa untuk sembarang titik dan dari lingkungan ini, pertidaksamaan berikut berlaku:
.

Batas fungsi kompleks

Teorema limit fungsi kompleks
Biarkan fungsi memiliki limit dan petakan lingkungan titik tertusuk ke lingkungan titik tertusuk. Biarkan fungsi didefinisikan pada lingkungan ini dan memiliki batas di atasnya.
Di sini - titik akhir atau titik jauh tak terhingga :. Lingkungan dan batas yang sesuai dapat berupa dua sisi dan satu sisi.
Maka ada limit dari fungsi kompleks dan sama dengan:
.

Teorema limit dari suatu fungsi kompleks diterapkan jika fungsi tersebut tidak terdefinisi pada suatu titik atau memiliki nilai yang berbeda dari limitnya. Untuk menerapkan teorema ini, harus ada lingkungan tertusuk dari titik di mana himpunan nilai fungsi tidak mengandung titik:
.

Jika fungsi kontinu pada suatu titik, maka tanda limit dapat diterapkan pada argumen fungsi kontinu:
.
Di bawah ini adalah teorema yang sesuai dengan kasus ini.

Teorema limit fungsi kontinu dari suatu fungsi
Misalkan ada limit fungsi g (T) sebagai t → t 0 , dan sama dengan x 0 :
.
Di sini titik t 0 dapat terbatas atau jauh tak terhingga:.
Dan biarkan fungsi f (x) kontinu di titik x 0 .
Maka ada limit dari fungsi kompleks f (g (t)), dan sama dengan f (x 0):
.

Bukti teorema diberikan di halaman
"Batas dan kontinuitas fungsi kompleks."

Fungsi Infinitesimal dan Infinitely Large

Fungsi Tak Terbatas

Definisi
Fungsi ini disebut sangat kecil karena jika
.

Jumlah, selisih, dan produk dari sejumlah terbatas fungsi yang sangat kecil untuk adalah fungsi yang sangat kecil untuk.

Produk dari suatu fungsi terbatas pada beberapa lingkungan titik yang tertusuk, ke yang sangat kecil untuk adalah fungsi yang sangat kecil untuk.

Agar suatu fungsi memiliki limit berhingga, perlu dan cukup bahwa
,
di mana adalah fungsi yang sangat kecil di.

"Sifat fungsi sangat kecil".

Fungsi yang sangat besar

Definisi
Fungsi ini disebut besar tak terhingga untuk jika
.

Jumlah atau selisih dari suatu fungsi yang dibatasi, pada suatu lingkungan titik yang tertusuk, dan suatu fungsi yang sangat besar di adalah fungsi yang sangat besar di.

Jika fungsinya sangat besar untuk, dan fungsinya terbatas, pada beberapa lingkungan titik yang tertusuk, maka
.

Jika fungsi tersebut, pada beberapa lingkungan titik yang tertusuk, memenuhi pertidaksamaan:
,
dan fungsinya sangat kecil untuk:
, dan (pada beberapa lingkungan titik yang tertusuk), maka
.

Bukti properti disajikan di bagian
"Sifat fungsi yang sangat besar."

Hubungan antara fungsi yang sangat besar dan sangat kecil

Hubungan antara fungsi yang sangat besar dan sangat kecil mengikuti dari dua sifat sebelumnya.

Jika fungsi tersebut sangat besar di, maka fungsi tersebut sangat kecil di.

Jika fungsi tersebut sangat kecil di, dan, maka fungsi tersebut sangat besar di.

Hubungan antara fungsi yang sangat kecil dan fungsi yang sangat besar dapat dinyatakan secara simbolis:
, .

Jika fungsi sangat kecil memiliki tanda pasti di, yaitu positif (atau negatif) pada beberapa lingkungan titik yang tertusuk, maka fakta ini dapat dinyatakan sebagai berikut:
.
Dengan cara yang sama, jika suatu fungsi yang besar tak terhingga memiliki tanda pasti di, maka mereka menulis:
.

Kemudian hubungan simbolis antara fungsi yang sangat kecil dan fungsi yang sangat besar dapat dilengkapi dengan hubungan berikut:
, ,
, .

Rumus tambahan yang menghubungkan simbol infinity dapat ditemukan di halaman
"Menunjuk pada tak terhingga dan sifat-sifatnya".

Batas Fungsi Monoton

Definisi
Suatu fungsi yang didefinisikan pada beberapa himpunan bilangan real X disebut meningkat secara ketat jika untuk semua sehingga pertidaksamaan berlaku:
.
Oleh karena itu, untuk sangat menurun fungsi, pertidaksamaan berikut berlaku:
.
Untuk tidak berkurang:
.
Untuk tidak meningkat:
.

Oleh karena itu, fungsi yang meningkat secara ketat juga tidak menurun. Fungsi yang sangat menurun juga tidak meningkat.

Fungsi tersebut disebut membosankan jika tidak berkurang atau tidak bertambah.

Dalil
Biarkan fungsi tidak berkurang pada interval di mana.
Jika dibatasi dari atas oleh angka M:, maka ada batas yang terbatas. Jika tidak dibatasi dari atas, maka.
Jika dibatasi dari bawah oleh bilangan m :, maka ada limit berhingga. Jika tidak dibatasi dari bawah, maka.

Jika titik a dan b berada di tak hingga, maka dalam ekspresi tanda batas berarti bahwa.
Teorema ini dapat dirumuskan lebih kompak.

Biarkan fungsi tidak berkurang pada interval di mana. Maka ada limit satu sisi di titik a dan b:
;
.

Teorema serupa untuk fungsi tak naik.

Biarkan fungsi tidak meningkat pada interval di mana. Maka ada batas satu sisi:
;
.

Bukti teorema disajikan di halaman
"Batas fungsi monoton".

Referensi:
L.D. Kudryavtsev. Kursus analisis matematika. Jilid 1.Moskow, 2003.
CM. Nikolai. Kursus analisis matematika. Jilid 1.Moskow, 1983.

Hari ini dalam pelajaran kita akan menganalisis urutan yang ketat dan definisi yang ketat dari limit suatu fungsi, dan juga belajar bagaimana memecahkan masalah yang sesuai yang bersifat teoritis. Artikel ini ditujukan terutama untuk mahasiswa tahun pertama ilmu alam dan spesialisasi teknik yang mulai mempelajari teori analisis matematika dan mengalami kesulitan dalam memahami bagian matematika yang lebih tinggi ini. Selain itu, materinya cukup mudah diakses oleh siswa SMA.

Selama bertahun-tahun keberadaan situs, saya menerima selusin surat dengan isi kira-kira sebagai berikut: "Saya tidak mengerti analisis matematika, apa yang harus saya lakukan?", "Saya tidak mengerti matan sama sekali, saya pikir saya akan berhenti dari studi saya”, dll. Memang, matan-lah yang sering menipiskan kelompok siswa setelah sesi pertama. Mengapa demikian? Karena subjeknya sangat sulit? Sama sekali tidak! Teori analisis matematis tidak sesulit yang aneh... Dan Anda harus menerima dan mencintainya apa adanya =)

Mari kita mulai dengan kasus terburuk. Pertama dan terpenting, tidak perlu berhenti sekolah. Pahami dengan benar, untuk berhenti, itu akan selalu punya waktu ;-) Tentu saja, jika setelah satu atau dua tahun Anda merasa sakit dari spesialisasi yang dipilih, maka ya - Anda harus memikirkannya (dan tidak mencambuk demam!) tentang perubahan aktivitas. Tapi untuk saat ini layak untuk dilanjutkan. Dan, tolong, lupakan frasa "Saya tidak mengerti apa-apa" - itu tidak terjadi bahwa SAMA SEKALI tidak mengerti apa-apa.

Bagaimana jika teorinya buruk? Omong-omong, ini tidak hanya menyangkut analisis matematis. Jika teorinya buruk, maka pertama-tama Anda harus SERIUS berlatih. Pada saat yang sama, dua tugas strategis sedang diselesaikan sekaligus:

- Pertama, sebagian besar pengetahuan teoretis berasal dari praktik. Dan karena itu, banyak orang memahami teori melalui ... - itu benar! Tidak, tidak, kamu tidak memikirkan itu =)

- Dan, kedua, keterampilan praktis cenderung "meregangkan" Anda pada ujian, bahkan jika ..., tetapi jangan disetel seperti itu! Semuanya nyata dan semuanya nyata "untuk meningkatkan" cukup waktu singkat... Analisis matematika adalah cabang favorit saya dari matematika yang lebih tinggi, dan karena itu saya tidak bisa tidak membantu Anda:

Pada awal semester 1, batas urut dan batas fungsi biasanya dilewati. Tidak mengerti apa ini dan tidak tahu bagaimana menyelesaikannya? Mulailah dengan sebuah artikel Batas fungsi, di mana "dengan jari" konsep itu sendiri dipertimbangkan dan contoh paling sederhana dianalisis. Kemudian kerjakan pelajaran lain tentang topik tersebut, termasuk pelajaran tentang dalam urutan di mana saya sebenarnya sudah merumuskan definisi yang ketat.

Ikon apa yang Anda ketahui selain pertidaksamaan dan modulus?

- tongkat vertikal panjang berbunyi seperti ini: "Seperti itu", "seperti itu", "seperti itu" atau "seperti itu", dalam kasus kami, jelas, kami berbicara tentang angka - oleh karena itu "sehingga";

- untuk semua "en", lebih besar dari;

– tanda modulus berarti jarak, yaitu entri ini memberi tahu kita bahwa jarak antara nilai kurang dari epsilon.

Apakah itu sulit yang mematikan? =)

Setelah menguasai latihan, saya menunggu Anda di paragraf berikutnya:

Dan pada kenyataannya, mari kita berpikir sedikit - bagaimana merumuskan definisi yang ketat dari suatu urutan? ... Hal pertama yang terlintas dalam pikiran di dunia Latihan praktik: "Batas suatu barisan adalah bilangan yang anggota barisannya sangat dekat."

Oke, mari kita tanda tangani selanjutnya :

Tidak sulit untuk memahami itu selanjutnya sangat dekat dengan -1, dan suku genap - untuk satu".

Atau mungkin ada dua batasan? Tapi mengapa beberapa urutan tidak memiliki sepuluh atau dua puluh? Jadi kamu bisa pergi jauh. Dalam hal ini, adalah logis untuk mengasumsikan bahwa jika urutan memiliki batas, maka itu adalah satu-satunya.

Catatan : barisan tidak memiliki batas, tetapi dua turunan dapat dibedakan darinya (lihat di atas), yang masing-masing memiliki batasnya sendiri.

Dengan demikian, definisi di atas ternyata tidak dapat dipertahankan. Ya, ini berfungsi untuk kasus seperti (yang tidak saya gunakan dengan benar dalam penjelasan sederhana tentang contoh-contoh praktis), tetapi sekarang kita perlu menemukan definisi yang ketat.

Percobaan kedua: “batas barisan adalah bilangan yang didekati oleh SEMUA anggota barisan, dengan pengecualian, mungkin, akhir kuantitas ". Ini lebih dekat dengan kebenaran, tetapi masih belum sepenuhnya akurat. Jadi, misalnya, urutannya setengah dari anggota tidak mendekati nol sama sekali - mereka sama dengan itu =) Omong-omong, "flasher" umumnya mengambil dua nilai tetap.

Rumusannya tidak sulit untuk dijelaskan, tetapi kemudian muncul pertanyaan lain: bagaimana cara menulis definisi dalam tanda matematika? Dunia ilmiah memperjuangkan masalah ini untuk waktu yang lama sampai situasinya terselesaikan maestro terkenal, yang, pada dasarnya, memformalkan kalkulus klasik dengan segala ketelitiannya. Cauchy menawarkan untuk beroperasi lingkungan , daripada secara signifikan memajukan teori.

Pertimbangkan titik tertentu dan sewenang-wenang-lingkungan:

Arti "epsilon" selalu positif, dan, terlebih lagi, kita berhak memilihnya sendiri... Misalkan di lingkungan tertentu ada satu set istilah (belum tentu semua) beberapa urutan. Bagaimana cara menuliskan fakta bahwa, misalnya, anggota kesepuluh masuk ke lingkungan? Biarkan itu berada di sisi kanannya. Maka jarak antara titik harus kurang dari "epsilon" :. Namun, jika "x kesepuluh" terletak di sebelah kiri titik "a", maka selisihnya akan negatif, dan oleh karena itu Anda perlu menambahkan tanda padanya modul: .

Definisi: bilangan tersebut disebut limit barisan jika untuk apa saja sekitarnya (dipilih sebelumnya) ada bilangan asli - SEPERTI itu SEMUA anggota urutan dengan nomor yang lebih tinggi akan berada di dalam lingkungan:

Atau singkatnya: jika

Dengan kata lain, tidak peduli seberapa kecil nilai "epsilon" yang kita ambil, cepat atau lambat "ekor tak terbatas" dari urutan akan SEPENUHNYA di lingkungan ini.

Jadi, misalnya, "ekor tak terbatas" dari urutan SEPENUHNYA masuk ke lingkungan kecil yang sewenang-wenang. Jadi, nilai ini adalah limit dari barisan menurut definisi. Saya mengingatkan Anda bahwa barisan yang batasnya nol disebut kecil sekali.

Perlu dicatat bahwa untuk urutan tidak mungkin lagi mengatakan "ekor tak terbatas" akan datang"- anggota dengan angka ganjil sebenarnya sama dengan nol dan" jangan kemana-mana "=) Itu sebabnya kata kerja" akan muncul "digunakan dalam definisi. Dan, tentu saja, anggota urutan seperti itu juga "tidak pergi ke mana pun." Omong-omong, periksa apakah jumlahnya adalah batasnya.

Sekarang kita akan menunjukkan bahwa barisan tidak memiliki batas. Pertimbangkan, misalnya, lingkungan suatu titik. Cukup jelas bahwa tidak ada nomor seperti itu setelah ALL anggota akan berada di lingkungan tertentu - anggota ganjil akan selalu "melompat" ke "minus satu". Untuk alasan yang sama, tidak ada batasan pada suatu titik.

Mari kita perbaiki materi dengan latihan:

Contoh 1

Buktikan bahwa limit barisan tersebut adalah nol. Tentukan nomor yang setelahnya semua anggota barisan dijamin berada di dalam lingkungan kecil sembarang titik.

Catatan : untuk banyak barisan, bilangan asli yang diinginkan tergantung pada nilai - maka notasinya.

Larutan: mempertimbangkan sewenang-wenang disana nomor - sehingga SEMUA anggota dengan nomor yang lebih tinggi akan berada di dalam lingkungan ini:

Untuk menunjukkan adanya bilangan yang diinginkan, kita nyatakan melalui.

Karena untuk setiap nilai "en", tanda modulus dapat dihilangkan:

Kami menggunakan tindakan "sekolah" dengan ketidaksetaraan, yang saya ulangi di kelas Pertidaksamaan linier dan Lingkup fungsi... Dalam hal ini, keadaan penting adalah bahwa "epsilon" dan "en" positif:

Karena di sebelah kiri kita berbicara tentang bilangan asli, dan sisi kanan umumnya pecahan, maka perlu dibulatkan:

Catatan : kadang-kadang unit ditambahkan ke kanan untuk berada di sisi yang aman, tetapi ini sebenarnya berlebihan. Secara relatif, jika kita juga memperlemah hasilnya dengan pembulatan ke bawah, maka bilangan terdekat yang sesuai ("tiga") akan tetap memenuhi pertidaksamaan semula.

Sekarang kita melihat ketidaksetaraan dan ingat bahwa kita awalnya mempertimbangkan sewenang-wenang-lingkungan, mis. Epsilon bisa sama dengan setiap angka positif.

Keluaran: untuk setiap -tetanggaan kecil sewenang-wenang dari titik, nilainya ... Jadi, bilangan adalah limit dari barisan menurut definisi. Q.E.D.

Ngomong-ngomong, dari hasil yang didapat keteraturan alami terlihat jelas: semakin kecil lingkungan, semakin besar jumlah yang setelah itu SEMUA anggota barisan akan berada di lingkungan yang diberikan. Tapi tidak peduli seberapa kecil "epsilon", akan selalu ada "ekor tak berujung" di dalam, dan di luar - meskipun besar, namun akhir jumlah anggota.

Bagaimana kesan Anda? =) Saya setuju bahwa itu aneh. Tapi ketat! Silakan baca ulang dan pahami semuanya lagi.

Mari kita lihat contoh serupa dan berkenalan dengan teknik lain:

Contoh 2

Larutan: dengan definisi barisan, perlu dibuktikan bahwa (kami mengatakannya dengan lantang !!!).

Mempertimbangkan sewenang-wenang-lingkungan titik dan periksa apakah apakah itu ada? bilangan asli - sedemikian rupa sehingga untuk semua bilangan yang lebih besar, ketidaksetaraan berikut terpenuhi:

Untuk menunjukkan keberadaan seperti itu, Anda perlu mengekspresikan "en" melalui "epsilon". Mari kita sederhanakan ekspresi di bawah tanda modul:

Modul menghancurkan tanda minus:

Penyebutnya positif untuk setiap "en", oleh karena itu, tongkat dapat dilepas:

Acak:

Sekarang kita perlu mengekstrak akar kuadrat, tetapi tangkapannya adalah bahwa untuk beberapa "epsilon" sisi kanan akan negatif. Untuk menghindari masalah ini akan memperkuat pertidaksamaan dengan modulus:

Mengapa ini bisa dilakukan? Jika, secara kondisional, ternyata, maka lebih banyak lagi kondisi yang akan terpenuhi. Modul dapat hanya meningkat ingin nomor, dan itu akan cocok untuk kita juga! Secara kasar, jika yang keseratus cocok, maka yang ke-200 akan berhasil! Menurut definisi, perlu untuk menunjukkan fakta keberadaan nomor(setidaknya beberapa), setelah itu semua anggota urutan akan berada di lingkungan -. Omong-omong, itu sebabnya kami tidak takut dengan pembulatan terakhir dari sisi kanan ke atas.

Ekstrak akarnya:

Dan bulatkan hasilnya:

Keluaran: sejak nilai "epsilon" dipilih secara sewenang-wenang, kemudian untuk setiap lingkungan kecil yang sewenang-wenang dari titik, nilainya ditemukan , sehingga untuk semua bilangan besar pertidaksamaan ... Dengan demikian, a-prioritas. Q.E.D.

Menasihati khususnya untuk memahami penguatan dan pelemahan ketidaksetaraan - ini adalah metode analisis matematika yang khas dan sangat umum. Satu-satunya hal yang perlu Anda pantau adalah kebenaran tindakan ini atau itu. Jadi, misalnya, ketidaksetaraan dalam keadaan apa pun melonggarkan dengan mengurangkan, katakanlah, satu:

Sekali lagi, dengan syarat: jika nomornya pas, maka yang sebelumnya mungkin tidak cocok lagi.

Contoh berikut adalah untuk solusi do-it-yourself:

Contoh 3

Dengan menggunakan definisi barisan, buktikan bahwa

Solusi singkat dan jawaban di akhir tutorial.

Jika urutan luar biasa hebat, maka definisi limit dirumuskan dengan cara yang sama: suatu titik disebut limit suatu barisan, jika untuk sembarang, sebesar yang kamu suka nomor, ada nomor sedemikian rupa sehingga untuk semua angka yang lebih besar, ketidaksetaraan akan berlaku. Nomor tersebut disebut sekitar titik "plus infinity":

Dengan kata lain, apapun sangat penting kami tidak mengambil "ekor tak terbatas" dari urutan untuk masuk ke -neighborhood dari titik, hanya menyisakan jumlah anggota yang terbatas di sebelah kiri.

Contoh tugas:

Dan singkatannya: jika

Untuk kasusnya, tulis sendiri definisinya. Versi yang benar ada di akhir pelajaran.

Setelah Anda mendapatkan contoh-contoh praktis dan menemukan definisi limit barisan, Anda dapat beralih ke literatur tentang analisis matematika dan / atau buku catatan Anda dengan kuliah. Saya sarankan mengunduh volume pertama Bohan (lebih sederhana - untuk siswa luar sekolah) dan Fichtengolts (lebih detail dan detail)... Di antara penulis lain, saya menyarankan Piskunov, yang kursusnya difokuskan pada universitas teknis.

Cobalah untuk mempelajari teorema-teorema yang berkaitan dengan limit barisan, buktinya, akibat wajarnya. Teorinya mungkin tampak "kabur" pada awalnya, tetapi tidak apa-apa - hanya perlu membiasakan diri. Dan banyak yang bahkan akan merasakannya!

Definisi ketat dari limit suatu fungsi

Mari kita mulai dengan hal yang sama - bagaimana merumuskan konsep ini? Definisi verbal limit suatu fungsi dirumuskan lebih sederhana: “suatu bilangan adalah limit suatu fungsi, jika dengan“ x ”cenderung (baik kiri dan kanan), nilai fungsi yang sesuai cenderung " (lihat gambar)... Semuanya tampak normal, tetapi kata-kata adalah kata-kata, makna adalah makna, ikon adalah ikon, dan tidak ada notasi matematika yang cukup ketat. Dan di paragraf kedua kita akan berkenalan dengan dua pendekatan untuk menyelesaikan masalah ini.

Biarkan fungsi didefinisikan pada beberapa interval kecuali, mungkin, sebuah titik. Dalam literatur pendidikan, secara umum diterima bahwa fungsi itu ada bukan didefinisikan:

Pilihan ini menekankan esensi batas fungsi: "X" sangat dekat pendekatan ke, dan nilai fungsi yang sesuai adalah sangat dekat Ke . Dengan kata lain, konsep limit tidak menyiratkan "entri yang tepat" ke titik-titik, yaitu pendekatan yang sangat dekat, tidak masalah apakah fungsi didefinisikan pada titik atau tidak.

Definisi pertama dari limit suatu fungsi, tidak mengherankan, dirumuskan dengan menggunakan dua barisan. Pertama, konsep terkait, dan, kedua, batas fungsi biasanya dipelajari setelah batas barisan.

Perhatikan urutannya poin (tidak ditunjukkan dalam gambar) milik interval dan Selain daripada yang konvergen Ke . Kemudian nilai fungsi yang sesuai juga membentuk urutan numerik, yang anggotanya terletak pada sumbu ordinat.

Batas fungsi heine untuk apa saja urutan titik (milik dan selain) yang konvergen ke suatu titik, urutan nilai fungsi yang sesuai konvergen ke.

Eduard Heine adalah seorang matematikawan Jerman. ... Dan Anda tidak perlu memikirkan hal seperti itu, hanya ada satu gay di Eropa - ini adalah Gay-Lussac =)

Definisi kedua dari batas dibangun ... ya, Anda benar. Tapi pertama-tama, mari kita lihat desainnya. Pertimbangkan -lingkungan titik yang sewenang-wenang (Lingkungan "Hitam")... Berdasarkan paragraf sebelumnya, notasi berarti bahwa beberapa arti fungsinya ada di dalam lingkungan epsilon.

Sekarang kita menemukan -neighborhood yang cocok dengan -neighborhood yang diberikan (secara mental menggambar garis putus-putus hitam dari kiri ke kanan dan kemudian dari atas ke bawah)... Perhatikan bahwa nilainya sedang diambil sepanjang segmen yang lebih kecil, dalam hal ini - sepanjang segmen kiri yang lebih pendek. Selain itu, "merah" -sekitar titik bahkan dapat dikurangi, karena dalam definisi berikut fakta keberadaan itu penting lingkungan ini. Dan, demikian pula, catatan berarti bahwa beberapa nilai ada di dalam lingkungan "delta".

Batas Cauchy dari suatu fungsi: suatu bilangan disebut limit suatu fungsi di suatu titik jika untuk apa saja dipilih sebelumnya lingkungan (betapapun kecilnya), ada-tetangga titik, SEPERTI bahwa: SEBAGAI HANYA nilai (dimiliki oleh) termasuk dalam lingkungan ini: (panah merah)- SEGERA nilai fungsi yang sesuai dijamin masuk ke -neighborhood: (panah biru).

Saya harus memperingatkan Anda bahwa demi kejelasan yang lebih besar, saya berimprovisasi sedikit, jadi jangan berlebihan =)

Entri singkat: jika

Apa inti dari definisi? Secara kiasan, dengan mengurangi -neighborhood secara tak terbatas, kami "menemani" nilai-nilai fungsi hingga batasnya, sehingga tidak ada alternatif untuk mendekatinya di tempat lain. Cukup tidak biasa, tetapi sekali lagi ketat! Untuk mendapatkan ide yang benar, baca ulang kata-katanya lagi.

! Perhatian: jika Anda hanya perlu merumuskan Definisi Heine atau hanya Definisi Cauchy tolong jangan lupa tentang penting komentar awal: "Pertimbangkan sebuah fungsi yang didefinisikan pada interval tertentu, dengan kemungkinan pengecualian sebuah titik."... Saya menunjukkan ini sekali di awal dan tidak mengulanginya setiap kali.

Menurut teorema analisis matematika yang sesuai, definisi menurut Heine dan menurut Cauchy adalah setara, tetapi yang paling terkenal adalah versi kedua (masih mau!), yang juga disebut "batas lidah":

Contoh 4

Dengan menggunakan definisi limit, buktikan bahwa

Larutan: fungsi didefinisikan pada garis bilangan bulat kecuali titik. Dengan menggunakan definisi, kami membuktikan keberadaan limit pada titik tertentu.

Catatan : nilai "delta" -neighborhood tergantung pada "epsilon", maka notasinya

Mempertimbangkan sewenang-wenang-lingkungan. Tugasnya adalah memeriksa dengan nilai ini, apakah itu ada?-lingkungan, SEPERTI, yang dari pertidaksamaan ketidaksetaraan berikut .

Dengan asumsi bahwa, kami mengubah ketidaksetaraan terakhir:
(menguraikan trinomial persegi)

Definisi 1. Mari E- satu set tak terbatas. Jika ada lingkungan yang berisi titik-titik dari himpunan E selain titik A, kemudian A ditelepon terakhir titik himpunan E.

Definisi 2. (Heinrich Heine (1821-1881)). Biarkan fungsinya
ditentukan pada himpunan NS dan A ditelepon membatasi fungsi
pada intinya (atau di
jika untuk setiap urutan nilai argumen
konvergen ke , urutan nilai fungsi yang sesuai konvergen ke nomor A... Mereka menulis:
.

Contoh dari... 1) Fungsi
memiliki limit yang sama dengan dengan, di sembarang titik pada garis bilangan.

Memang, untuk titik apa pun dan urutan nilai argumen apa pun
konvergen ke dan terdiri dari angka selain , urutan nilai fungsi yang sesuai memiliki bentuk
, dan kita tahu bahwa barisan ini konvergen ke dengan... Itu sebabnya
.

2) Untuk fungsi

.

Ini jelas karena jika
, kemudian
.

3) fungsi Dirichlet
tidak memiliki batas pada setiap titik.

Memang, mari
dan
dan semua Apakah bilangan rasional. Kemudian
untuk semua n, karena itu
... Jika
dan semua Apakah bilangan irasional, maka
untuk semua n, karena itu
... Kami melihat bahwa kondisi Definisi 2 tidak terpenuhi, oleh karena itu
tidak ada.

4)
.

Memang, ambil urutan yang sewenang-wenang
konvergen ke

nomor 2. Lalu. Q.E.D.

Definisi 3. (Cauchy (1789-1857)). Biarkan fungsinya
ditentukan pada himpunan NS dan Apakah titik batas dari himpunan ini. Nomor A ditelepon membatasi fungsi
pada intinya (atau di
jika untuk apapun
akan ada
, sehingga untuk semua nilai argumen NS memenuhi ketidaksetaraan

,

ketidaksamaan itu benar

.

Mereka menulis:
.

Definisi Cauchy juga dapat diberikan dengan bantuan lingkungan, jika kita perhatikan bahwa, dan:

biarkan fungsinya
ditentukan pada himpunan NS dan Apakah titik batas dari himpunan ini. Nomor A disebut batas fungsi
pada intinya jika untuk apapun -tetangga titik A
ada yang tertusuk - titik lingkungan
seperti yang
.

Hal ini berguna untuk mengilustrasikan definisi ini dengan menggambar.

Contoh 5.
.

Memang, ambil
sewenang-wenang dan temukan
, sehingga untuk semua orang NS memenuhi ketidaksetaraan
ketidaksetaraan berlaku
... Pertidaksamaan terakhir sama dengan pertidaksamaan
, jadi kami melihat bahwa itu cukup untuk mengambil
... Pernyataan itu terbukti.

Adil

Dalil 1. Definisi limit suatu fungsi menurut Heine dan Cauchy adalah ekivalen.

Bukti... 1) Biarkan
oleh Cauchy. Mari kita buktikan bahwa bilangan yang sama juga merupakan limit Heine.

Mari kita ambil
sewenang-wenang. Menurut Definisi 3, ada
, sehingga untuk semua orang
ketidaksetaraan berlaku
... Biarlah
- urutan sewenang-wenang sehingga
pada
... Lalu ada nomor n sedemikian rupa sehingga untuk semua orang
ketidaksetaraan berlaku
, karena itu
untuk semua
, yaitu

menurut Hein.

2) Sekarang mari
menurut Hein. Mari kita buktikan bahwa
dan menurut Cauchy.

Misalkan sebaliknya, yaitu Apa
oleh Cauchy. Lalu ada
sedemikian rupa sehingga untuk setiap
akan ada
,
dan
... Perhatikan urutannya
... Untuk yang ditentukan
dan apa saja n ada

dan
... Ini berarti bahwa
, meskipun
, yaitu nomor A bukan batasnya
pada intinya menurut Hein. Kami mendapat kontradiksi, yang membuktikan pernyataan itu. Teorema terbukti.

Dalil 2 (pada keunikan batas). Jika ada limit fungsi di titik , maka dia adalah satu-satunya.

Bukti... Jika limit didefinisikan oleh Heine, maka keunikannya mengikuti keunikan limit barisan tersebut. Jika limit didefinisikan oleh Cauchy, maka keunikannya mengikuti ekivalensi definisi limit oleh Cauchy dan Heine. Teorema terbukti.

Sama halnya dengan kriteria Cauchy untuk barisan, kriteria Cauchy untuk keberadaan limit suatu fungsi berlaku. Sebelum merumuskannya, kami memberikan

Definisi 4. Dikatakan fungsi
memenuhi kondisi Cauchy pada titik jika untuk apapun
ada

seperti yang
dan
, ketidaksetaraan
.

Dalil 3 (Kriteria Cauchy untuk keberadaan limit). Agar fungsinya
memiliki pada titik batas berhingga, perlu dan cukup bahwa pada titik ini fungsi memenuhi kondisi Cauchy.

Bukti.Membutuhkan... Biarlah
... Perlu dibuktikan bahwa
memuaskan pada intinya kondisi Cauchy.

Mari kita ambil
sewenang-wenang dan menempatkan
... Menurut definisi batas untuk ada
, sehingga untuk sembarang nilai
memenuhi ketidaksetaraan
dan
, ketidaksetaraan berlaku
dan
... Kemudian

Keharusan telah terbukti.

Kecukupan... Biarkan fungsinya
memuaskan pada intinya kondisi Cauchy. Hal ini diperlukan untuk membuktikan bahwa itu ada pada intinya batas akhir.

Mari kita ambil
sewenang-wenang. Menurut definisi 4, ada
, sehingga pertidaksamaan
,
mengikuti itu
- itu diberikan.

Mari kita tunjukkan dulu bahwa untuk urutan apa pun
konvergen ke , selanjutnya
nilai fungsi konvergen. Memang, jika
, maka, berdasarkan definisi limit barisan, untuk suatu
ada nomor n sedemikian rupa sehingga untuk setiap

dan
... Sejauh
pada intinya memenuhi kondisi Cauchy, kita punya
... Kemudian, dengan kriteria Cauchy untuk barisan, barisan itu
konvergen. Mari kita tunjukkan bahwa semua urutan seperti itu
konvergen ke limit yang sama. Misalkan sebaliknya, yaitu apa urutannya?
dan
,
,
, seperti yang. Pertimbangkan urutannya. Jelas konvergen ke , oleh karena itu, dengan apa yang telah dibuktikan di atas, barisan tersebut konvergen, yang tidak mungkin, karena turunannya
dan
memiliki batasan yang berbeda dan ... Kontradiksi yang dihasilkan menunjukkan bahwa =... Oleh karena itu, menurut definisi Heine, fungsi memiliki titik batas akhir. Kecukupan, dan karenanya teorema, terbukti.

Angka konstan A ditelepon membatasi urutan(x n) jika untuk sembarang bilangan positif kecilε > 0 ada angka N yang semua nilainya x n, yang n> N, memenuhi pertidaksamaan

| x n - a |< ε. (6.1)

Mereka menulisnya sebagai berikut: atau x n → A.

Ketimpangan (6.1) setara dengan pertidaksamaan ganda

a-< x n < a + ε, (6.2)

yang berarti bahwa poin x n, mulai dari suatu bilangan n > N, terletak di dalam interval (a-, a + ), yaitu jatuh ke dalam sekecil apa punε -tetangga titik A.

Barisan yang memiliki limit disebut konvergen, sebaliknya - menyimpang.

Konsep limit suatu fungsi merupakan generalisasi dari konsep limit suatu barisan, karena limit suatu barisan dapat dianggap sebagai limit dari suatu fungsi x n = f (n) dari suatu argumen bilangan bulat n.

Biarkan fungsi f (x) diberikan dan biarkan A - titik batas domain dari fungsi ini D (f), yaitu, sebuah titik, setiap lingkungan yang berisi titik-titik himpunan D (f) selain A... Titik A mungkin atau mungkin tidak termasuk set D (f).

Definisi 1.Konstanta bilangan A disebut membatasi fungsi f (x) pada x →a jika untuk setiap urutan (x n) nilai argumen cenderung A, barisan yang bersesuaian (f (x n)) memiliki limit A yang sama.

Definisi ini disebut definisi limit suatu fungsi menurut Heine, atau " dalam bahasa urutan”.

Definisi 2... Konstanta bilangan A disebut membatasi fungsi f (x) pada x →a jika, dengan menentukan bilangan positif kecil sewenang-wenang, orang dapat menemukan seperti itu> 0 (tergantung pada), yang untuk semua x berbaring di-lingkungan dari nomor A, yaitu untuk x memenuhi ketidaksetaraan
0 < x-a< ε , nilai fungsi f (x) akan terletak pada-lingkungan dari angka A, mis.| f (x) -A |< ε.

Definisi ini disebut definisi limit Cauchy dari suatu fungsi, atau “Dalam bahasa - “.

Definisi 1 dan 2 setara. Jika fungsi f (x) sebagai x →memiliki membatasi sama dengan A, ini ditulis sebagai

. (6.3)

Jika barisan (f (x n)) bertambah (atau berkurang) tanpa batas untuk metode aproksimasi apa pun x sampai batasmu A, maka kita katakan bahwa fungsi f (x) memiliki batas tak berujung, dan tuliskan sebagai:

Variabel (yaitu, barisan atau fungsi) yang limitnya nol disebut nilai yang sangat kecil.

Variabel yang limitnya sama dengan tak hingga disebut besar tak terhingga.

Untuk menemukan limit dalam praktik, gunakan teorema berikut.

Teorema 1 ... Jika ada setiap batas

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Komentar... Ekspresi seperti 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - tidak pasti, misalnya, rasio dua jumlah yang sangat kecil atau besar tak terhingga, dan menemukan batas semacam ini disebut "pengungkapan ketidakpastian."

Teorema 2. (6.7)

itu. Anda dapat pergi ke batas di dasar derajat dengan eksponen konstan, khususnya, ;

(6.8)

(6.9)

Teorema 3.

(6.10)

(6.11)

di mana e » 2.7 adalah basis dari logaritma natural. Rumus (6.10) dan (6.11) disebut yang pertama batas yang luar biasa dan batas luar biasa kedua.

Konsekuensi dari rumus (6.11) juga digunakan dalam praktik:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

khususnya batas

Jika x → a dan pada saat yang sama x> a, maka ditulis x→ a + 0. Jika, khususnya, a = 0, maka alih-alih simbol 0 + 0, tulis +0. Demikian pula, jika x →a dan, selain itu, x a-0. Angka-angka dan dipanggil sesuai batas di sebelah kanan dan batas kiri fungsi f (x) pada intinya A... Agar ada limit dari fungsi f (x) sebagai x →a perlu dan cukup untuk ... Fungsi f(x) disebut kontinu pada intinya x 0 jika batas

. (6.15)

Kondisi (6.15) dapat ditulis ulang sebagai:

,

yaitu, lintasan ke batas di bawah tanda fungsi dimungkinkan jika kontinu pada titik tertentu.

Jika persamaan (6.15) dilanggar, maka dikatakan bahwa pada x = x o fungsi f (x) Memiliki merusak. Pertimbangkan fungsi y = 1 / x. Domain dari fungsi ini adalah himpunan R, kecuali untuk x = 0. Titik x = 0 adalah titik limit dari himpunan D (f), karena pada sembarang tetangganya, yaitu, setiap interval terbuka yang berisi titik 0 berisi poin dari D (f), tetapi itu sendiri bukan milik set ini. Nilai f (x o) = f (0) tidak terdefinisi, sehingga fungsi tersebut memiliki diskontinuitas di titik x o = 0.

Fungsi f(x) disebut terus menerus di sebelah kanan pada titik x o, jika limit

,

dan kiri terus menerus pada titik x o, jika limit

.

Kontinuitas suatu fungsi di suatu titik x o setara dengan kontinuitasnya pada titik ini baik di kanan maupun di kiri.

Agar fungsi kontinu di titik x o, misalnya, di sebelah kanan, perlu, pertama, ada batas hingga, dan kedua, batas ini sama dengan f (x o). Oleh karena itu, jika setidaknya salah satu dari dua kondisi ini tidak terpenuhi, maka fungsi tersebut akan memiliki diskontinuitas.

1. Jika limit ada dan tidak sama dengan f (x o), maka dikatakan bahwa fungsi f (x) pada intinya x o punya istirahat jenis pertama, atau melompat.

2. Jika limitnya adalah+ atau -∞ atau tidak ada, maka mereka mengatakan bahwa di titik x o fungsi memiliki celah jenis kedua.

Misalnya, fungsi y = ctg x untuk x→ +0 memiliki batas yang sama dengan +, maka, pada titik x = 0 memiliki diskontinuitas jenis kedua. Fungsi y = E (x) (bagian bilangan bulat dari x) pada titik-titik dengan absis bilangan bulat memiliki diskontinuitas jenis pertama, atau melompat.

Fungsi yang kontinu pada setiap titik interval disebut kontinu v . Fungsi kontinu ditampilkan sebagai kurva padat.

Banyak masalah yang terkait dengan pertumbuhan terus-menerus dari kuantitas apa pun mengarah ke batas luar biasa kedua. Tugas-tugas tersebut, misalnya, meliputi: pertumbuhan kontribusi menurut hukum bunga majemuk, pertumbuhan populasi negara, pembusukan zat radioaktif, reproduksi bakteri, dll.

Mempertimbangkan contoh Ya.I. Perelman memberikan interpretasi nomor e dalam masalah bunga majemuk. Nomor e ada batasnya ... Di bank tabungan, uang bunga ditambahkan ke modal tetap setiap tahun. Jika koneksi dibuat lebih sering, maka modal tumbuh lebih cepat, karena sejumlah besar terlibat dalam pembentukan bunga. Mari kita ambil contoh yang murni teoretis dan sangat disederhanakan. Biarkan bank menempatkan 100 sarang. unit dengan tarif 100% per tahun. Jika uang bunga akan ditambahkan ke modal tetap hanya setelah satu tahun, maka pada tanggal ini 100 sarang. unit akan berubah menjadi 200 unit moneter. Sekarang mari kita lihat apa yang akan berubah menjadi 100 sarang. unit, jika uang berbunga ditambahkan ke modal tetap setiap enam bulan. Setelah setengah tahun, 100 sarang. unit akan tumbuh menjadi 100× 1,5 = 150, dan enam bulan kemudian - 150× 1,5 = 225 (satuan moneter). Jika penyambungan dilakukan setiap 1/3 tahun, maka setelah tahun 100 sarang. unit berubah menjadi 100× (1 +1/3) 3 " 237 (satuan moneter). Kami akan mempercepat persyaratan untuk bergabung dengan uang berbunga menjadi 0,1 tahun, menjadi 0,01 tahun, menjadi 0,001 tahun, dll. Kemudian dari 100 sarang. unit setelah satu tahun itu akan berubah:

100 × (1 +1/10) 10"259 (satuan moneter),

100 × (1 + 1/100) 100 * 270 (satuan moneter),

100 × (1 + 1/1000) 1000 * 271 (unit moneter).

Dengan pengurangan tak terbatas dalam hal lampiran bunga, modal yang masih harus dibayar tidak tumbuh tanpa batas, tetapi mendekati batas tertentu, sama dengan sekitar 271. Modal yang dialokasikan pada 100% per tahun tidak dapat meningkat lebih dari 2,71 kali, bahkan jika akrual bunga ditambahkan ke modal setiap detik karena batas

Contoh 3.1.Dengan menggunakan definisi limit suatu barisan bilangan, buktikan bahwa barisan x n = (n-1) / n mempunyai limit yang sama dengan 1.

Larutan.Kita perlu membuktikan bahwa apapunε > 0 kami tidak mengambil, karena itu ada bilangan asli N sedemikian rupa sehingga untuk semua n N pertidaksamaan| x n -1 |< ε.

Ambil sembarang e> 0. Sejak; x n -1 = (n + 1) / n - 1 = 1 / n, maka untuk mencari N cukup dengan menyelesaikan pertidaksamaan 1 / n< e. Oleh karena itu n> 1 / e dan, oleh karena itu, N dapat diambil sebagai bagian bilangan bulat dari 1 / e, N = E (1 / e ). Dengan demikian kami telah membuktikan bahwa batasnya.

Contoh 3.2 ... Temukan limit barisan yang diberikan oleh suku umum .

Larutan.Kami menerapkan teorema batas jumlah dan menemukan batas setiap istilah. untuk n→ pembilang dan penyebut tiap suku cenderung tak hingga, dan teorema limit hasil bagi tidak dapat langsung diterapkan. Oleh karena itu, pertama-tama kita ubah x n dengan membagi pembilang dan penyebut suku pertama dengan n 2, dan yang kedua pada n... Kemudian, dengan menerapkan teorema limit bagi hasil dan jumlah limit, kita menemukan:

.

Contoh 3.3. ... Menemukan .

Larutan. .

Di sini kita telah menggunakan teorema batas derajat: batas derajat sama dengan derajat batas dasar.

Contoh 3.4 ... Menemukan ( ).

Larutan.Tidak mungkin untuk menerapkan teorema selisih batas, karena kita memiliki ketidakpastian bentuk ∞-∞ ... Kami mengubah rumus untuk anggota umum:

.

Contoh 3.5 ... Sebuah fungsi f (x) = 2 1 / x diberikan. Buktikan bahwa tidak ada batasan.

Larutan.Mari kita gunakan definisi 1 dari limit suatu fungsi dalam barisan. Ambil barisan (x n) yang konvergen ke 0, mis. Mari kita tunjukkan bahwa nilai f (x n) = berperilaku berbeda untuk barisan yang berbeda. Misalkan x n = 1 / n. Jelas, maka batasnya Mari kita sekarang memilih sebagai x n barisan dengan suku umum x n = -1 / n, juga cenderung nol. Oleh karena itu, tidak ada batasan.

Contoh 3.6 ... Buktikan bahwa tidak ada batasan.

Larutan.Misalkan x 1, x 2, ..., x n, ... adalah barisan yang
... Bagaimana barisan (f (x n)) = (sin x n) berperilaku untuk x n yang berbeda →

Jika x n = p n, maka sin x n = sin p n = 0 untuk semua n dan limit Jika
x n = 2 p n + p / 2, maka sin x n = sin (2 p n + p / 2) = sin p / 2 = 1 untuk semua n dan karenanya batasnya. Jadi itu tidak ada.

Widget untuk menghitung batas online

Di jendela atas, alih-alih sin (x) / x, masukkan fungsi yang batasnya ingin Anda temukan. Di jendela bawah, masukkan angka yang cenderung x dan tekan tombol Kalkulator, dapatkan batas yang diinginkan. Dan jika Anda mengklik Tampilkan langkah di sudut kanan atas di jendela hasil, Anda akan mendapatkan solusi terperinci.

Aturan entri fungsi: kuadrat (x) - akar kuadrat, cbrt (x) - akar pangkat tiga, exp (x) - eksponen, ln (x) - logaritma natural, sin (x) - sinus, cos (x) - cosinus, tan (x) adalah tangen, cot (x) adalah cotangen, arcsin (x) adalah arcsinus, arccos (x) adalah invers cosinus, arctan (x) adalah arctangent. Tanda: * perkalian, / pembagian, ^ eksponensial, bukan ketakterbatasan Ketakterbatasan. Contoh: fungsi dimasukkan seperti ini kuadrat (tan (x / 2)).