Koji su brojevi međusobno prosti? Koja su svojstva relativno prostih brojeva? Najveći zajednički djelitelj. Koprosti brojevi. Najmanji zajednički višekratnik Najmanji zajednički višekratnik koprostih brojeva je
Najveći zajednički djelitelj međusobno prostih brojeva je uvijek jedan.
Primjeri čvorova relativno prostih brojeva.
GCD brojeva 11 i 7
Brojevi 11 i 7 su međusobno prosti i, u isto vrijeme, prosti.
Brojevi 11 i 7 nemaju druge zajedničke djelitelje osim 1.
gcd(11, 7) = 1
GCD brojeva 11 i 15
Brojevi 11 i 15 su relativno prosti. U ovom slučaju, 11 je prost broj, a 15 je složeni broj.
Delitelji 11 su 1 i 11.
Delitelji 15 su 1, 3, 5, 15.
Kao što vidite, jedini zajednički faktor brojeva 11 i 15 je broj 1. Jedinica je, dakle, GCD brojeva 11 i 15:
gcd(11, 15) = 1
GCD brojeva 10 i 21
Brojevi 10 i 21 su relativno prosti. U ovom slučaju, i broj 10 i broj 21 su složeni.
Faktori od 10 su 1, 2, 5, 10.
Faktori broja 21 su 1, 3, 7, 21.
Kao što vidite, jedini zajednički faktor brojeva 10 i 21 je broj 1. Jedinica je, dakle, GCD brojeva 10 i 21:
gcd(21, 10) = 1
GCD brojeva 16 i 23
Brojevi 16 i 23 su međusobno prosti. U ovom slučaju, 23 je prost broj, a 16 je složeni broj.
Zadatak: Pronađite GCD i LCM brojeva na najprikladniji način:
a) 12 i 40; b) 9 i 40; c) 12 i 72.
Za zadatak se daje 5 minuta.
Koji je najbolji način za izvođenje svake vježbe?
Slide breakdown.
a) Pogodnije je riješiti metodom dekompozicije na proste faktore
12 = 2 2 3; 40 = 2 2 2 5
GCD(12;40)=2 2=4; LCM(12;40) = 2 2 2 3 5 = 120
b) Da li brojevi 9 i 40 imaju zajedničke djelitelje? (je, 1.)
Kako se zovu ovi brojevi? ? (Coprime.)
Koliki je GCD ovih brojeva ? (gcd(9;40) = 1)
Koliki je LCM ovih brojeva ? (LCM(9;40) = 9 40=360.)
c) Šta možete reći o brojevima 12 i 72 ? (72 podijeljeno sa 12) Koje pravilo znamo? (ako je jedan broj djeljiv s drugim, onda je GCD = najmanji broj, a LCM - najveći)
gcd(12;72) = 12; LCM(12;72) = 72
Provjerite podatke koje ste dobili standardom koji se nalazi na stolu nastavnika.
FO: Ocjenjuju se prema kriterijima napisanim u standardnom listu. Stavljanje kvačice pored kriterijuma.
7 krpelja - visok nivo
6-4 krpelja - prosječan nivo
1-3 krpelja - nizak nivo
Fizminutka
Brzo ustao, nasmiješio se,
Povučen gore.
Pa, ispravi ramena
Podigni, spusti.
Skrenite desno, skrenite lijevo
Koljenima dodirnite ruke.
Sedi, ustani, sedi, ustani
I potrčali su na licu mjesta.
Pitanje nastavnika: Gdje već koristimo naše znanje o GCD i LCM brojevima?
Prilikom rješavanja problema.
Ispred njih, na učiteljskom stolu, stoji „kamilica zadataka“ koja se sastoji od 21 latice.
Crvena latica - zadaci nivoa C.
Žuta latica - zadaci nivoa B.
Zelena latica - zadaci nivoa A.
| Maša je kupila jaja za Medveda u radnji. Na putu do šume shvatila je da je broj jaja djeljiv sa 2,3,5,10 i 15. Koliko je jaja kupila Maša? |
|
| Od 210 bordo, 126 bijelih, 294 crvene ruže, prikupljeni su buketi, au svakom buketu jednak je broj ruža iste boje. Koji najveći broj buketi napravljeni od ovih ruža i koliko ruža svake boje ima u jednom buketu? |
|
| List kartona ima oblik pravougaonika čija je dužina 48 cm, a širina 40 cm. Ovaj list se mora bez otpada izrezati na jednake kvadrate. Koji su najveći kvadrati koji se mogu dobiti iz ovog lista i koliko? |
|
| Koliko vojnika maršira na paradnom poligonu ako marširaju u formaciji od 12 ljudi u koloni i presvlače se u kolonu od 18 ljudi u koloni? |
|
| U lučkom gradu počinju tri turistička putovanja brodom, od kojih prvi traje 15 dana, drugi - 20, a treći - 12 dana. Vrativši se u luku, brodovi istog dana ponovo kreću na putovanje. Iz luke su danas na sve tri rute krenuli motorni brodovi. Za koliko dana će prvi put otploviti zajedno?Koliko putovanja će svaki brod napraviti? |
|
| Kamin u prostoriji mora biti postavljen završnim pločicama u obliku kvadrata. Koliko pločica je potrebno za kamin od 195 ͯ 156 cm i koje su najveće veličine pločica? |
|
| Volodjin korak je 75 cm, a Katjin 60 cm. Na kojoj minimalnoj udaljenosti će oboje napraviti ceo broj koraka? |
|
| Za Novogodišnji pokloni kupio 180 jabuka, 90 narandži i 900 slatkiša. Sva djeca su dobila iste poklone. Koji je najveći broj identičnih poklona sastavljen od ovog voća i slatkiša? |
|
| Okućnica veličine 54 ͯ 48 m po obodu mora biti ograđena, za to se moraju u redovnim intervalima postavljati betonski stubovi. Koliko stubova se mora donijeti za gradilište i na kojoj maksimalnoj udaljenosti jedan od drugog će stupovi stajati? |
|
| Pronađite: LCM(360;252). |
|
| Za novogodišnje poklone kupljeno je 78 čokoladica, 156 medenjaka, 52 pakovanja keksa, 104 pomorandže i 130 jabuka. Koji je najveći broj identičnih poklona koje možete prikupiti? |
|
| Potrebno je napraviti kutiju sa kvadratnim dnom za slaganje kutija dimenzija 16 ͯ 20 cm. Koja bi trebala biti najkraća strana kvadratnog dna da bi kutije stajale u ravnini s kutijom? |
|
| Izračunajte GCD(720,216), LCM(720,216). |
|
| Koliki je omjer LCM (308,264) prema GCM (308,264)? |
|
| Za uređenje jelke kupljeni su orasi, slatkiši i medenjaci - ukupno 760 komada. Uzeli su 80 orašastih plodova više nego slatkiša, a 120 manje medenjaka nego orašastih plodova. Koji je najveći broj identičnih poklona za djecu koji se mogu napraviti od ove zalihe? |
|
| Nađi LCM(84,160,96), |
|
| Pronađite količnik LCM(24, 2004) podijeljen sa GCD istih brojeva. |
|
| Pronađite najmanji prirodni broj koji je višekratnik 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. |
|
| Pronađite GCD (56, 72). |
|
| Na stolu su knjige čiji je broj manji od 100. Koliko knjiga ima ako se zna da se mogu vezati u pakovanju od 3, 4 i 5 komada? |
|
| Prodavnica je donela manje od 600, ali više od 500 tanjira. Kada su ih počeli slagati na desetine, tada 3 ploče nisu bile dovoljne da dođu do punog broja desetica, a kada su ih počeli slagati na desetine (po 12 ploča), ostalo je 7 ploča. Koliko ste tanjira doneli u radnju? |
FD: Preovlađujući broj latica crvene boje ukazuje na visok nivo asimilacije, žute - prosječan nivo asimilacije i zelene - nizak nivo asimilacije.
Prirodni brojevi a i b se nazivaju coprime, ako je njihov najveći zajednički djelitelj 1 (gcd(a; b) = 1). Drugim riječima, ako brojevi a i b nemaju zajedničke djelitelje osim 1, tada su međusobno prosti.
Primjeri parova međusobno prostih brojeva: 2 i 5, 13 i 16, 35 i 88, itd. Možete navesti nekoliko međusobno prostih brojeva, na primjer, brojevi 7, 9, 16 su međusobno prosti.
Često se koprosti brojevi označavaju na sljedeći način: (a, b) \u003d 1. Na primjer, (23, 30) \u003d 1. Ovaj zapis je, takoreći, skraćenica za oznaku najvećeg zajedničkog djelitelja dva broja (GCD (23, 30) \u003d 1), i kaže da je njihov najveći zajednički djelitelj 1.
Dva susedna prirodna broja će uvek biti međusobno prosta. Na primjer, 15 i 16 su par relativno prostih brojeva, baš kao i 16 i 17. To je lako razumjeti ako uzmemo u obzir "pravilo" da ako su dva prirodna broja a i b djeljiva istim prirodnim brojem veći je nego 1 ( n > 1), onda njihova razlika mora biti djeljiva i ovim brojem n (ovdje mislimo da su a, b i njihova razlika podijeljene cijelim brojem, odnosno da su višekratnici broja n). Ali ako su a i b dva susjedna broja (neka je a< b ), то b – a = 1; но 1 делится только на 1 (из ряда prirodni brojevi). Dakle, a i b nemaju drugih zajedničkih djelitelja osim 1.
Iz definicije koprostih brojeva i prostih brojeva također slijedi da različiti prosti brojevi su uvijek međusobno prosti. Na kraju krajeva, jedini djelitelji bilo kojeg prostog broja su on sam i 1.
Svojstva međusobno prostih brojeva
- Najmanji zajednički višekratnik (LCM) para koprostih brojeva jednak je njihovom proizvodu. Na primjer, (3, 8) = 1 (što znači relativno prost), pa je njihov LCM 3 × 8 = 24 (LCM(3, 8) = 24). Zaista, nećete naći manji broj od 24 koji je višekratnik i 3 i 8.
- Ako su brojevi a i b međusobno prosti i broj c je višekratnik i a i b, tada će i ovaj broj biti višekratnik proizvoda ab. Ovo se može napisati na sljedeći način: ako su c a i c b, onda c ab. Na primjer, (3, 10) = 1, broj 60 je višekratnik i 3 i 10, a također je višekratnik 30 (3 × 10).
- Ako su brojevi a i b međusobno prosti i broj c se uzme kao višekratnik od b (c b ), tada će i proizvod ac biti višekratnik od b (ac b ). Na primjer, (2, 17) = 1, neka je c = 34. Broj 34 je višekratnik b = 17, tada je ac = 2 × 34 = 68. Provjerite: 68 ÷ 17 = 4, tj. djeljiv je, što znači da je 68 višestruko 17.
Obično ima više nekretnina nego što je ovdje navedeno. Osim toga, svojstva relativno prostih brojeva se formulišu na različite načine. Također je ponekad potrebno dokazati ova svojstva (u ovom slučaju nisu dati dokazi).
