Cum se găsește înălțimea formulei piramidale corecte. Piramidă. Ghid vizual (2019)
O piramidă este un poliedru cu un poligon la baza sa. Toate fețele, la rândul lor, formează triunghiuri care converg la un vârf. Piramidele sunt triunghiulare, patrulatere și așa mai departe. Pentru a determina ce piramidă este în fața ta, este suficient să numeri numărul de colțuri de la baza ei. Definiția „înălțimii piramidei” este foarte frecventă în problemele de geometrie din programa școlară. În articol vom încerca să luăm în considerare căi diferite găsindu-l.
Părți ale piramidei
Fiecare piramidă constă din următoarele elemente:
- fețele laterale, care au trei colțuri și converg în partea de sus;
- apotema este înălțimea care coboară din vârful său;
- vârful piramidei este un punct care leagă marginile laterale, dar nu se află în planul bazei;
- baza este un poligon care nu are un vârf;
- înălțimea piramidei este un segment care traversează vârful piramidei și formează un unghi drept cu baza sa.
Cum se găsește înălțimea unei piramide dacă se cunoaște volumul acesteia
Prin formula V = (S * h) / 3 (în formula V este volumul, S este aria bazei, h este înălțimea piramidei), constatăm că h = (3 * V) / S. Pentru a consolida materialul, să rezolvăm problema imediat. Baza triunghiulară este de 50 cm 2, în timp ce volumul său este de 125 cm 3. Înălțimea piramidei triunghiulare este necunoscută, pe care trebuie să o găsim. Totul este simplu aici: introducem date în formula noastră. Obținem h = (3 * 125) / 50 = 7,5 cm.
Cum să găsești înălțimea unei piramide dacă știi lungimea diagonalei și marginile acesteia
După cum ne amintim, înălțimea piramidei formează un unghi drept cu baza sa. Și aceasta înseamnă că înălțimea, marginea și jumătatea diagonalei se formează împreună. Mulți, desigur, își amintesc de teorema lui Pitagora. Cunoscând două măsurători, nu va fi dificil să găsești a treia cantitate. Reamintim bine-cunoscuta teoremă a² = b² + c², unde a este hipotenuza și, în cazul nostru, marginea piramidei; b - primul picior sau jumătate din diagonală și c - respectiv, al doilea picior sau înălțimea piramidei. Din această formulă, c² = a² - b².
Acum problema: într-o piramidă obișnuită, diagonala este de 20 cm, în timp ce lungimea coastei este de 30 cm. Este necesar să se găsească înălțimea. Rezolvăm: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Prin urmare, c = √ 500 = aproximativ 22,4.
Cum se găsește înălțimea unei piramide trunchiate
Este un poligon care are o secțiune paralelă cu baza sa. Înălțimea unei piramide trunchiate este un segment de linie care leagă cele două baze ale sale. Înălțimea poate fi găsită pentru o piramidă regulată dacă sunt cunoscute lungimile diagonalelor ambelor baze, precum și marginea piramidei. Fie diagonala bazei mai mari să fie d1, în timp ce diagonala bazei mai mici este d2, iar marginea are lungimea l. Pentru a găsi înălțimea, puteți coborî înălțimile de la cele două puncte opuse superioare ale diagramei la baza acesteia. Vedem că avem două triunghiuri unghiulare, rămâne să găsim lungimea picioarelor lor. Pentru a face acest lucru, scădeți-l pe cel mai mic din diagonala mai mare și împărțiți la 2. Deci găsim un picior: a = (d1-d2) / 2. După aceea, conform teoremei lui Pitagora, nu trebuie decât să găsim al doilea picior, care este înălțimea piramidei.
Acum, să privim totul în practică. Avem o sarcină în fața noastră. Piramida trunchiată are un pătrat la bază, lungimea diagonală a bazei mai mari este de 10 cm, în timp ce cea mai mică are 6 cm, iar marginea este de 4 cm. Este necesar să se găsească înălțimea. Pentru început, găsim un picior: a = (10-6) / 2 = 2 cm. Un picior are 2 cm, iar hipotenuza este de 4 cm. Se pare că al doilea picior sau înălțimea va fi de 16-4 = 12, adică h = √12 = aproximativ 3,5 cm.
O piramidă este un poliedru cu un poligon la baza sa. Toate fețele, la rândul lor, formează triunghiuri care converg la un vârf. Piramidele sunt triunghiulare, patrulatere și așa mai departe. Pentru a determina ce piramidă este în fața ta, este suficient să numeri numărul de colțuri la baza sa. Definiția „înălțimii piramidei” este foarte frecventă în problemele de geometrie din programa școlară. În articol vom încerca să luăm în considerare diferite moduri de a-l găsi.
Părți ale piramidei
Fiecare piramidă constă din următoarele elemente:
- fețele laterale, care au trei colțuri și converg în partea de sus;
- apotema este înălțimea care coboară din vârful său;
- vârful piramidei este un punct care leagă marginile laterale, dar nu se află în planul bazei;
- baza este un poligon care nu are un vârf;
- înălțimea piramidei este un segment care traversează vârful piramidei și formează un unghi drept cu baza sa.
Cum se găsește înălțimea unei piramide dacă se cunoaște volumul acesteia
Prin formula pentru volumul piramidei V = (S * h) / 3 (în formula V este volumul, S este aria bazei, h este înălțimea piramidei), constatăm că h = (3 * V) / S. Pentru a consolida materialul, să rezolvăm problema imediat. Într-o piramidă triunghiulară, suprafața de bază este de 50 cm 2, în timp ce volumul său este de 125 cm 3. Înălțimea piramidei triunghiulare este necunoscută, pe care trebuie să o găsim. Totul este simplu aici: introducem date în formula noastră. Obținem h = (3 * 125) / 50 = 7,5 cm.
Cum să găsești înălțimea unei piramide dacă știi lungimea diagonalei și marginile acesteia
După cum ne amintim, înălțimea piramidei formează un unghi drept cu baza sa. Aceasta înseamnă că înălțimea, marginea și jumătatea diagonalei formează împreună un triunghi unghiular. Mulți, desigur, își amintesc de teorema lui Pitagora. Cunoscând două măsurători, nu va fi dificil să găsești a treia cantitate. Reamintim bine-cunoscuta teoremă a² = b² + c², unde a este hipotenuza și, în cazul nostru, marginea piramidei; b - primul picior sau jumătate din diagonală și, respectiv, c - al doilea picior sau înălțimea piramidei. Din această formulă, c² = a² - b².
Acum problema: într-o piramidă obișnuită, diagonala este de 20 cm, în timp ce lungimea coastei este de 30 cm. Este necesar să se găsească înălțimea. Rezolvăm: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Prin urmare, c = √ 500 = aproximativ 22,4.
Cum se găsește înălțimea unei piramide trunchiate
Este un poligon care are o secțiune paralelă cu baza sa. Înălțimea unei piramide trunchiate este un segment de linie care leagă cele două baze ale sale. Înălțimea poate fi găsită pentru o piramidă regulată dacă sunt cunoscute lungimile diagonalelor ambelor baze, precum și marginea piramidei. Fie diagonala bazei mai mari să fie d1, în timp ce diagonala bazei mai mici este d2, iar marginea are lungimea l. Pentru a găsi înălțimea, puteți coborî înălțimile de la cele două puncte opuse superioare ale diagramei la baza acesteia. Vedem că avem două triunghiuri unghiulare, rămâne să găsim lungimea picioarelor lor. Pentru a face acest lucru, scădeți-l pe cel mai mic din diagonala mai mare și împărțiți la 2. Deci găsim un picior: a = (d1-d2) / 2. După aceea, conform teoremei lui Pitagora, trebuie doar să găsim al doilea picior, care este înălțimea piramidei.
Aici vom analiza exemple legate de conceptul de volum. Pentru a rezolva astfel de sarcini, este imperativ să cunoașteți formula pentru volumul piramidei:
S
h - înălțimea piramidei
Baza poate fi orice poligon. Dar, în majoritatea problemelor la examen, condiția, de regulă, este legată de piramidele corecte. Permiteți-mi să vă reamintesc una dintre proprietățile sale:
Vârful unei piramide obișnuite este proiectat în centrul bazei sale.
Uită-te la proiecția piramidelor triunghiulare, pătrangulare și hexagonale obișnuite (VEDERE DE Sus):
O puteți citi pe blog, unde ați discutat despre sarcinile asociate cu găsirea volumului piramidei.Luați în considerare sarcinile:
27087. Aflați volumul unei piramide triunghiulare regulate, ale cărei laturi ale bazei sunt egale cu 1, iar înălțimea este egală cu rădăcina a trei.
S- zona bazei piramidei
h- înălțimea piramidei
Să găsim aria bazei piramidei, acesta este un triunghi regulat. Să folosim formula - aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul laturilor adiacente prin sinusul unghiului dintre ele, ceea ce înseamnă:
Răspuns: 0,25
27088. Aflați înălțimea unei piramide triunghiulare regulate, ale cărei laturi ale bazei sunt egale cu 2, iar volumul este egal cu rădăcina a trei.
Concepte precum înălțimea piramidei și caracteristicile bazei sale sunt legate de formula volumului:
S- zona bazei piramidei
h- înălțimea piramidei
Cunoaștem volumul în sine, putem găsi aria bazei, deoarece cunoaștem laturile triunghiului, care este baza. Cunoscând valorile indicate, putem găsi cu ușurință înălțimea.
Pentru a găsi aria bazei, vom folosi formula - aria triunghiului este egală cu jumătate din produsul laturilor adiacente prin sinusul unghiului dintre ele, ceea ce înseamnă:
Astfel, substituind aceste valori în formula volumului, putem calcula înălțimea piramidei:
Înălțimea este de trei.
Răspuns: 3
27109. Într-o piramidă patrulateră regulată, înălțimea este 6, marginea laterală este 10. Găsește-i volumul.
Volumul piramidei este calculat prin formula:
S- zona bazei piramidei
h- înălțimea piramidei
Știm înălțimea. Trebuie să găsiți zona bazei. Permiteți-mi să vă reamintesc că vârful unei piramide obișnuite este proiectat în centrul bazei sale. Baza unei piramide patrulatere regulate este un pătrat. Ii putem gasi diagonala. Luați în considerare un triunghi unghiular (evidențiat în albastru):
Segmentul care leagă centrul pătratului cu punctul B este piciorul, care este jumătate din diagonala pătratului. Acest picior poate fi calculat prin teorema lui Pitagora:
Prin urmare BD = 16. Calculați aria unui pătrat folosind formula pentru aria unui patrulater:
Prin urmare:
Astfel, volumul piramidei este:
Răspuns: 256
27178. Într-o piramidă patrulateră regulată, înălțimea este 12, volumul este 200. Găsiți marginea laterală a acestei piramide.
Înălțimea piramidei și volumul și volumul acesteia sunt cunoscute, deci putem găsi aria pătratului, care este baza. Cunoscând aria unui pătrat, putem găsi diagonala acestuia. Mai mult, având în vedere un triunghi unghiular după teorema lui Pitagora, calculăm muchia laterală:
Găsiți suprafața pătratului (baza piramidei):
Să calculăm diagonala pătratului. Deoarece aria sa este de 50, latura va fi egală cu rădăcina de cincizeci și de teorema lui Pitagora:
Punctul O împarte diagonala BD în jumătate, ceea ce înseamnă piciorul triunghiului unghiular OB = 5.
Astfel, putem calcula cu ce este egală marginea laterală a piramidei:
Răspuns: 13
245353. Găsiți volumul piramidei prezentat în figură. Baza sa este un poligon, ale cărui laturi adiacente sunt perpendiculare, iar una dintre marginile laterale este perpendiculară pe planul de bază și este egală cu 3.
După cum sa spus de mai multe ori - volumul piramidei este calculat prin formula:
S- zona bazei piramidei
h- înălțimea piramidei
Marginea laterală perpendiculară pe bază este de trei, ceea ce înseamnă că înălțimea piramidei este de trei. Baza piramidei este un poligon cu o suprafață egală cu:
Prin urmare:
Răspuns: 27
27086. Baza piramidei este un dreptunghi cu laturile 3 și 4. Volumul său este 16. Aflați înălțimea acestei piramide.
Definiție. Marginea laterală este un triunghi, al cărui colț se află în vârful piramidei, iar partea opusă coincide cu partea bazei (poligon).
Definiție. Coaste laterale sunt laturile comune ale fețelor laterale. Piramida are la fel de multe margini ca colțurile poligonului.
Definiție. Înălțimea piramidei- aceasta este o perpendiculară, coborâtă de sus până la baza piramidei.
Definiție. Apotem este perpendiculară pe fața laterală a piramidei, coborâtă din vârful piramidei în partea de bază.
Definiție. Secțiunea diagonală este o secțiune a piramidei de către un plan care trece prin vârful piramidei și diagonala bazei.
Definiție. Piramida corectă este o piramidă în care baza este un poligon regulat, iar înălțimea scade la centrul bazei.
Volumul și suprafața piramidei
Formulă. Volumul piramidei prin zona de bază și înălțime:
Proprietăți piramidale
Dacă toate marginile laterale sunt egale, atunci un cerc poate fi descris în jurul bazei piramidei, iar centrul bazei coincide cu centrul cercului. De asemenea, perpendicularul scăzut din partea de sus trece prin centrul bazei (cerc).
Dacă toate marginile laterale sunt egale, atunci ele sunt înclinate spre planul bazei în aceleași unghiuri.
Marginile laterale sunt egale atunci când formează unghiuri egale cu planul de bază sau dacă un cerc poate fi descris în jurul bazei piramidei.
Dacă fețele laterale sunt înclinate spre planul de bază la un unghi, atunci un cerc poate fi înscris în baza piramidei, iar vârful piramidei este proiectat în centrul acesteia.
Dacă fețele laterale sunt înclinate spre planul de bază la același unghi, atunci apotemele fețelor laterale sunt egale.
Proprietățile unei piramide obișnuite
1. Vârful piramidei este echidistant de toate colțurile bazei.
2. Toate marginile laterale sunt egale.
3. Toate nervurile laterale înclină la același unghi față de bază.
4. Apotemele tuturor fețelor laterale sunt egale.
5. Zonele tuturor fețelor laterale sunt egale.
6. Toate fețele au aceleași unghiuri diedre (plane).
7. O sferă poate fi descrisă în jurul piramidei. Centrul sferei circumscrise va fi punctul de intersecție al perpendicularelor care trec prin mijlocul marginilor.
8. În piramidă se poate înscrie o sferă. Centrul sferei inscripționate va fi punctul de intersecție al bisectoarelor care emană din unghiul dintre margine și bază.
9. Dacă centrul sferei inscripționate coincide cu centrul sferei circumscrise, atunci suma unghiurilor plane de la vârf este egală cu π sau invers, un unghi este egal cu π / n, unde n este numărul de unghiuri la baza piramidei.
Legătura piramidei cu sfera
O sferă poate fi descrisă în jurul piramidei atunci când la baza piramidei se află un poliedru în jurul căruia poate fi descris un cerc (o condiție necesară și suficientă). Centrul sferei va fi punctul de intersecție al planurilor care trec perpendicular prin punctele medii ale marginilor laterale ale piramidei.
O sferă poate fi întotdeauna descrisă în jurul oricărei piramide triunghiulare sau regulate.
O sferă poate fi înscrisă în piramidă dacă planurile bisectoare ale colțurilor diedrice interioare ale piramidei se intersectează la un punct (o condiție necesară și suficientă). Acest punct va fi centrul sferei.
Conexiunea unei piramide cu un con
Un con se numește înscris într-o piramidă dacă vârfurile lor coincid și baza conului este înscrisă în baza piramidei.
Un con poate fi înscris într-o piramidă dacă apotemele piramidei sunt egale între ele.
Un con se numește circumscris în jurul unei piramide dacă vârfurile lor coincid, iar baza conului este circumscrisă în jurul bazei piramidei.
Un con poate fi descris în jurul piramidei dacă toate marginile laterale ale piramidei sunt egale între ele.
Conexiunea unei piramide cu un cilindru
O piramidă este numită înscrisă într-un cilindru dacă vârful piramidei se află pe o bază a cilindrului, iar baza piramidei este înscrisă într-o altă bază a cilindrului.
Un cilindru poate fi descris în jurul unei piramide dacă un cerc poate fi descris în jurul bazei piramidei.
Un tetraedru are patru fețe și patru vârfuri și șase margini, unde oricare două margini nu au vârfuri comune, dar nu se ating.
Fiecare vârf este format din trei fețe și margini care se formează colț triunghiular.
Segmentul care leagă vârful tetraedrului de centrul feței opuse se numește tetraedru median(GM).
Bimedian este segmentul care leagă punctele medii ale muchiilor opuse care nu sunt în contact (KL).
Toți bimedienii și medianele tetraedrului se întâlnesc la un moment dat (S). În acest caz, bimedienii sunt împărțiți la jumătate, iar medianele sunt într-un raport de 3: 1, începând de sus.
Definiție. Piramida unghiulară acută- aceasta este o piramidă în care apotema are mai mult de jumătate din lungimea laturii bazei.
Definiție. Piramida obuză- aceasta este o piramidă în care apotema are mai puțin de jumătate din lungimea laturii bazei.
Definiție. Tetraedru regulat- un tetraedru în care toate cele patru fețe sunt triunghiuri echilaterale. Este unul dintre cele cinci poligoane obișnuite. Într-un tetraedru regulat, toate unghiurile diedrice (între fețe) și unghiurile triedrale (la vârf) sunt egale.
Definiție. Tetraedru dreptunghiular se numește tetraedru cu unghi drept între trei margini la vârf (marginile sunt perpendiculare). Se formează trei fețe colț triunghiular dreptunghiular iar fețele sunt triunghiuri dreptunghiulare, iar baza este un triunghi arbitrar. Apotema oricărei fațete este egală cu jumătate din latura bazei pe care cade apotema.
Definiție. Tetraedru ecedric numit tetraedru în care fețele laterale sunt egale între ele, iar baza este un triunghi regulat. Pentru un astfel de tetraedru, fețele sunt triunghiuri isoscele.
Definiție. Tetraedru ortocentric se numește tetraedru în care toate înălțimile (perpendiculare) care sunt coborâte de sus spre fața opusă se intersectează la un moment dat.
Definiție. Piramida stelară se numește poliedru a cărui bază este o stea.
O piramidă triunghiulară este o piramidă cu un triunghi la baza sa. Înălțimea acestei piramide este perpendiculară, care este coborâtă din vârful piramidei până la baza sa.
Găsirea înălțimii piramidei
Cum se găsește înălțimea unei piramide? Foarte simplu! Pentru a găsi înălțimea oricărei piramide triunghiulare, puteți utiliza formula volumului: V = (1/3) Sh, unde S este aria bazei, V este volumul piramidei, h este înălțimea sa. Derivați formula înălțimii din această formulă: pentru a găsi înălțimea unei piramide triunghiulare, trebuie să multiplicați volumul piramidei cu 3 și apoi să împărțiți valoarea rezultată la aria bazei, va fi: h = (3V) / S. Deoarece baza unei piramide triunghiulare este un triunghi, puteți utiliza formula pentru calcularea ariei unui triunghi. Dacă știm: aria triunghiului S și latura sa z, atunci prin formula ariei S = (1/2) γh: h = (2S) / γ, unde h este înălțimea piramidei, γ este marginea triunghiului; unghiul dintre laturile triunghiului și cele două laturi în sine, apoi prin următoarea formulă: S = (1/2) γφsinQ, unde γ, φ sunt laturile triunghiului, găsim aria triunghiului. Valoarea sinusului unghiului Q trebuie găsită în tabelul sinusurilor disponibil pe internet. Apoi, înlocuim valoarea zonei cu formula înălțimii: h = (2S) / γ. Dacă sarcina necesită calcularea înălțimii unei piramide triunghiulare, atunci volumul piramidei este deja cunoscut.
Piramida triunghiulară regulată
Găsiți înălțimea unei piramide triunghiulare regulate, adică o piramidă în care toate fețele sunt triunghiuri echilaterale, cunoscând valoarea muchiei γ. În acest caz, marginile piramidei sunt laturile triunghiurilor echilaterale. Înălțimea unei piramide triunghiulare regulate va fi: h = γ√ (2/3), unde γ este marginea unui triunghi echilateral, h este înălțimea piramidei. Dacă aria bazei (S) este necunoscută, dar sunt date doar lungimea muchiei (γ) și volumul (V) poliedrului, atunci variabila necesară din formula din pasul anterior trebuie înlocuită prin echivalentul său, care se exprimă în termenii lungimii muchiei. Aria unui triunghi (regulat) este egală cu 1/4 din produsul lungimii laturii acestui triunghi, pătrat de rădăcina pătrată a lui 3. Înlocuiți această formulă în locul ariei bazei în formula anterioară și obținem următoarea formulă: h = 3V4 / (γ 2 √3) = 12V / (γ 2 √3). Volumul unui tetraedru poate fi exprimat în funcție de lungimea muchiei sale, apoi toate variabilele pot fi eliminate din formula de calcul a înălțimii figurii și numai partea laterală a feței triunghiulare a figurii poate fi lăsată. Volumul unei astfel de piramide poate fi calculat împărțind cu 12 din produs lungimea cubului feței sale la rădăcina pătrată de 2.
Înlocuind această expresie în formula anterioară, obținem următoarea formulă de calcul: h = 12 (γ 3 √2 / 12) / (γ 2 √3) = (γ 3 √2) / (γ 2 √3) = γ √ (2/3) = (1/3) γ√6. De asemenea, o prismă triunghiulară regulată poate fi înscrisă într-o sferă și, cunoscând doar raza sferei (R), puteți găsi chiar înălțimea tetraedrului. Lungimea marginii tetraedrului este: γ = 4R / √6. Înlocuiți variabila γ cu această expresie din formula anterioară și obțineți formula: h = (1/3) √6 (4R) / √6 = (4R) / 3. Aceeași formulă se poate obține cunoscând raza (R) a unui cerc înscris într-un tetraedru. În acest caz, lungimea marginii triunghiului va fi de 12 ori rădăcina pătrată a lui 6 și raza. Înlocuim această expresie în formula anterioară și avem: h = (1/3) γ√6 = (1/3) √6 (12R) / √6 = 4R.
Cum se găsește înălțimea unei piramide pătrangulare regulate
Pentru a răspunde la întrebarea cum să găsiți lungimea înălțimii piramidei, trebuie să știți, o sută de piramide atât de obișnuite. O piramidă patrulateră este o piramidă cu un patrulater la baza sa. Dacă în condițiile problemei avem: volumul (V) și aria bazei (S) piramidei, atunci formula pentru calcularea înălțimii poliedrului (h) va fi după cum urmează - împărțiți volumul înmulțit cu 3 cu aria S: h = (3V) / S. Cu o bază pătrată a piramidei cu cunoscut: volumul dat (V) și lungimea laturii γ, înlocuiți zona (S) din formula anterioară cu pătratul lungimii laterale: S = γ 2; H = 3V / γ2. Înălțimea piramidei regulate h = SO trece doar prin centrul cercului, care este descris lângă bază. Deoarece baza acestei piramide este un pătrat, punctul O este intersecția diagonalelor AD și BC. Avem: OC = (1/2) BC = (1/2) AB√6. Mai departe, găsim într-un triunghi unghiular SOC (prin teorema lui Pitagora): SO = √ (SC 2 -OC 2). Acum știi cum să găsești înălțimea piramidei corecte.
