Dom » Dodatni krovni elementi » Kako pronaći visinu tačne formule piramide. Piramida. Vizuelni vodič (2019)

Kako pronaći visinu tačne formule piramide. Piramida. Vizuelni vodič (2019)

Piramida je poliedar sa poligonom u osnovi. Sva lica, zauzvrat, formiraju trouglove koji se konvergiraju u jednom vrhu. Piramide su trouglaste, četvorougaone i tako dalje. Da biste odredili koja se piramida nalazi ispred vas, dovoljno je izbrojati broj uglova u njenoj osnovi. Definicija "visine piramide" vrlo je česta u problemima geometrije u školskom programu. U članku ćemo pokušati razmotriti Različiti putevi pronalazeći ga.

Dijelovi piramide

Svaka piramida se sastoji od sljedećih elemenata:

bočne strane, koje imaju tri ugla i konvergiraju na vrhu;
apotema je visina koja se spušta s njenog vrha;
vrh piramide je tačka koja spaja bočne ivice, ali ne leži u ravni baze;
baza je poligon koji nema vrh;
visina piramide je segment koji prelazi vrh piramide i formira pravi ugao sa njenom bazom.

Kako pronaći visinu piramide ako je poznat njen volumen

Kroz formulu V = (S * h) / 3 (u formuli V je zapremina, S je površina osnove, h je visina piramide), nalazimo da je h = (3 * V) / S. Da bismo konsolidirali materijal, riješimo problem odmah. Trouglasta osnova je 50 cm 2, a zapremina 125 cm 3. Visina trouglaste piramide je nepoznata, koju moramo pronaći. Ovdje je sve jednostavno: unosimo podatke u našu formulu. Dobijamo h = (3 * 125) / 50 = 7,5 cm.

Kako pronaći visinu piramide ako znate dužinu dijagonale i njene ivice

Kao što se sjećamo, visina piramide formira pravi ugao sa svojom bazom. A to znači da visina, ivica i polovina dijagonale zajedno formiraju.Mnogi se, naravno, sjećaju Pitagorine teoreme. Poznavajući dva mjerenja, neće biti teško pronaći treću veličinu. Prisjetimo se dobro poznate teoreme a² = b² + c², gdje je a hipotenuza, au našem slučaju ivica piramide; b - prvi krak ili polovina dijagonale i c - drugi krak, odnosno visina piramide. Iz ove formule, c² = a² - b².

Sada problem: u pravilnoj piramidi dijagonala je 20 cm, dok je dužina rebra 30 cm. Potrebno je pronaći visinu. Rješavamo: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Otuda c = √ 500 = oko 22,4.

Kako pronaći visinu krnje piramide

To je poligon koji ima presjek paralelan s njegovom bazom. Visina skraćene piramide je segment linije koji spaja njene dvije osnove. Visina se može naći u ispravnoj piramidi ako su poznate dužine dijagonala obje baze, kao i ivica piramide. Neka je dijagonala veće baze d1, dok je dijagonala manje baze d2, a ivica dužine l. Da biste pronašli visinu, možete spustiti visine od dvije gornje suprotne točke dijagrama do njegove osnove. Vidimo da imamo dva pravougaona trougla, ostaje da pronađemo dužine njihovih nogu. Da biste to učinili, oduzmite manji od veće dijagonale i podijelite sa 2. Dakle, nalazimo jednu nogu: a = (d1-d2) / 2. Nakon toga, prema Pitagorinoj teoremi, ostaje nam samo pronaći drugi krak, a to je visina piramide.

Sada pogledajmo cijelu stvar u praksi. Pred nama je zadatak. Skraćena piramida ima kvadrat u osnovi, dužina dijagonale veće osnove je 10 cm, dok je manja 6 cm, a ivica 4 cm. Potrebno je pronaći visinu. Za početak, nalazimo jednu nogu: a = (10-6) / 2 = 2 cm. Jedna noga je 2 cm, a hipotenuza je 4 cm. Ispada da će drugi krak ili visina biti 16-4 = 12, odnosno h = √12 = oko 3,5 cm.

Dijelovi piramide

Svaka piramida se sastoji od sljedećih elemenata:

bočne strane, koje imaju tri ugla i konvergiraju na vrhu;
apotema je visina koja se spušta s njenog vrha;
vrh piramide je tačka koja spaja bočne ivice, ali ne leži u ravni baze;
baza je poligon koji nema vrh;
visina piramide je segment koji prelazi vrh piramide i formira pravi ugao sa njenom bazom.

Kako pronaći visinu piramide ako je poznat njen volumen

Kroz formulu za zapreminu piramide V = (S * h) / 3 (u formuli V je zapremina, S je površina osnove, h je visina piramide), nalazimo da je h = (3 * V) / S. Da bismo konsolidirali materijal, riješimo problem odmah. U trouglastoj piramidi površina osnove je 50 cm 2, dok je njena zapremina 125 cm 3. Visina trouglaste piramide je nepoznata, koju moramo pronaći. Ovdje je sve jednostavno: unosimo podatke u našu formulu. Dobijamo h = (3 * 125) / 50 = 7,5 cm.

Kako pronaći visinu piramide ako znate dužinu dijagonale i njene ivice

Kao što se sjećamo, visina piramide formira pravi ugao sa svojom bazom. To znači da visina, ivica i polovina dijagonale zajedno čine pravougaoni trougao. Mnogi se, naravno, sjećaju Pitagorine teoreme. Poznavajući dva mjerenja, neće biti teško pronaći treću veličinu. Prisjetimo se dobro poznate teoreme a² = b² + c², gdje je a hipotenuza, au našem slučaju ivica piramide; b - prvi krak ili polovina dijagonale i c - drugi krak, odnosno visina piramide. Iz ove formule, c² = a² - b².

Sada problem: u pravilnoj piramidi dijagonala je 20 cm, dok je dužina rebra 30 cm. Potrebno je pronaći visinu. Rješavamo: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Otuda c = √ 500 = oko 22,4.

Kako pronaći visinu krnje piramide

Ovdje ćemo analizirati primjere vezane za koncept volumena. Za rješavanje takvih zadataka neophodno je znati formulu za volumen piramide:

h - visina piramide

Baza može biti bilo koji poligon. Ali u većini zadataka na ispitu uslov je, po pravilu, ispravne piramide. Dozvolite mi da vas podsjetim na jedno od njegovih svojstava:

Vrh pravilne piramide projektovan je u centar njene osnove.

Pogledajte projekciju pravilne trouglaste, četvorougaone i šestougaone piramide (POGLED OD GORNJE):

Možete ga pročitati na blogu, gdje ste raspravljali o zadacima povezanim s pronalaženjem volumena piramide.Razmotrite zadatke:

27087. Nađi zapreminu pravilne trouglaste piramide čije su stranice osnove jednake 1, a visina jednaka korijenu od tri.

S- površina osnove piramide

h- visina piramide

Nađimo površinu osnove piramide, ovo je pravilan trokut. Koristimo formulu - površina trokuta jednaka je polovini umnoška susjednih stranica na sinus ugla između njih, što znači:

Odgovor: 0,25

27088. Nađi visinu pravilne trouglaste piramide čije su stranice osnove jednake 2, a zapremina jednaka korijenu od tri.

Koncepti kao što su visina piramide i karakteristike njene osnove povezani su formulom zapremine:

S- površina osnove piramide

h- visina piramide

Znamo sam volumen, možemo pronaći površinu baze, pošto znamo stranice trokuta, koji je osnova. Poznavajući navedene vrijednosti, lako možemo pronaći visinu.

Da bismo pronašli površinu baze, koristit ćemo formulu - površina trokuta jednaka je polovini umnoška susjednih stranica na sinus ugla između njih, što znači:

Dakle, zamjenom ovih vrijednosti u formulu volumena, možemo izračunati visinu piramide:

Visina je tri.

Odgovor: 3

27109. U pravilnoj četvorougaonoj piramidi visina je 6, bočna ivica je 10. Nađite njen volumen.

Zapremina piramide se izračunava po formuli:

S- površina osnove piramide

h- visina piramide

Znamo visinu. Morate pronaći površinu baze. Da vas podsjetim da je vrh pravilne piramide projektovan u centar njene osnove. Osnova pravilne četvorougaone piramide je kvadrat. Možemo pronaći njegovu dijagonalu. Zamislite pravougaoni trokut (označen plavom bojom):

Segment koji povezuje centar kvadrata sa tačkom B je krak, koji je polovina dijagonale kvadrata. Ovaj krak se može izračunati Pitagorinom teoremom:

Stoga je BD = 16. Izračunajte površinu kvadrata koristeći formulu za površinu četverokuta:

dakle:

Dakle, zapremina piramide je jednaka:

Odgovor: 256

27178. U pravilnoj četvorougaonoj piramidi, visina je 12, zapremina je 200. Pronađite bočnu ivicu ove piramide.

Visina piramide i njen volumen i zapremina su poznati, tako da možemo pronaći površinu kvadrata, koji je osnova. Poznavajući površinu kvadrata, možemo pronaći njegovu dijagonalu. Nadalje, uzimajući u obzir pravokutni trokut po Pitagorinoj teoremi, izračunavamo bočnu ivicu:

Pronađite površinu kvadrata (osnova piramide):

Izračunajmo dijagonalu kvadrata. Pošto je njegova površina 50, stranica će biti jednaka korijenu od pedeset i po Pitagorinoj teoremi:

Tačka O dijeli dijagonalu BD na pola, što znači krak pravokutnog trougla OB = 5.

Dakle, možemo izračunati koliko je jednaka bočna ivica piramide:

Odgovor: 13

245353. Pronađite zapreminu piramide prikazane na slici. Njegova osnova je mnogokut čije su susjedne strane okomite, a jedna od bočnih ivica je okomita na osnovnu ravninu i jednaka je 3.

Kao što je više puta rečeno - zapremina piramide se izračunava po formuli:

S- površina osnove piramide

h- visina piramide

Bočna ivica okomita na osnovu je tri, što znači da je visina piramide tri. Osnova piramide je mnogokut čija je površina jednaka:

Na ovaj način:

Odgovor: 27

27086. Osnova piramide je pravougaonik sa stranicama 3 i 4. Zapremina mu je 16. Odredi visinu ove piramide.

Definicija. Bočna ivica je trokut čiji jedan ugao leži na vrhu piramide, a suprotna strana se poklapa sa stranom baze (poligona).

Definicija. Bočna rebra su zajedničke strane bočnih strana. Piramida ima onoliko ivica koliko i uglova poligona.

Definicija. Visina piramide- ovo je okomita, spuštena od vrha do osnove piramide.

Definicija. Apothem- ovo je okomita na bočnu stranu piramide, spuštena sa vrha piramide na stranu osnove.

Definicija. Dijagonalni presjek je presjek piramide ravninom koja prolazi kroz vrh piramide i dijagonalu osnove.

Definicija. Ispravna piramida je piramida u kojoj je osnova pravilan poligon, a visina pada do centra baze.

Zapremina i površina piramide

Formula. Zapremina piramide kroz površinu osnove i visinu:

Svojstva piramide

Ako su sve bočne ivice jednake, tada se oko osnove piramide može opisati krug, a centar baze se poklapa sa središtem kruga. Također, okomica spuštena s vrha prolazi kroz centar baze (krug).

Ako su sve bočne ivice jednake, onda su nagnute prema ravni baze pod istim uglovima.

Bočne ivice su jednake kada formiraju jednake uglove sa osnovnom ravninom ili ako se oko osnove piramide može opisati krug.

Ako su bočne strane nagnute u odnosu na osnovnu ravninu pod jednim uglom, tada se u bazu piramide može upisati krug, a vrh piramide se projektuje u njeno središte.

Ako su bočne strane nagnute u odnosu na osnovnu ravninu pod istim uglom, tada su apoteme bočnih strana jednake.

Svojstva pravilne piramide

1. Vrh piramide je jednako udaljen od svih uglova baze.

2. Sva bočna rebra su jednaka.

3. Sva bočna rebra su nagnuta pod istim uglom u odnosu na bazu.

4. Apoteme svih bočnih strana su jednake.

5. Površine svih bočnih strana su jednake.

6. Sva lica imaju iste diedarske (ravne) uglove.

7. Oko piramide se može opisati sfera. Središte opisane sfere će biti tačka presjeka okomica koje prolaze kroz sredinu ivica.

8. U piramidu se može upisati kugla. Središte upisane sfere bit će presječna tačka simetrala koje izlaze iz ugla između ivice i baze.

9. Ako se centar upisane sfere poklapa sa centrom opisane sfere, tada je zbir ravnih uglova na vrhu jednak π ili obrnuto, jedan ugao je jednak π / n, gdje je n broj uglova u osnovi piramide.

Veza piramide sa sferom

Sfera se može opisati oko piramide kada u osnovi piramide leži poliedar oko kojeg se može opisati krug (neophodan i dovoljan uslov). Centar sfere će biti tačka preseka ravnina koje prolaze okomito kroz sredine bočnih ivica piramide.

Sfera se uvijek može opisati oko bilo koje trouglaste ili pravilne piramide.

Sfera se može upisati u piramidu ako se simetralne ravni unutrašnjih diedarskih uglova piramide seku u jednoj tački (neophodan i dovoljan uslov). Ova tačka će biti centar sfere.

Veza piramide sa konusom

Konus se naziva upisanim u piramidu ako mu se vrhovi poklapaju, a osnova konusa upisana u bazu piramide.

Konus se može upisati u piramidu ako su apoteme piramide jednake jedna drugoj.

Konus se naziva opisanim oko piramide ako im se vrhovi poklapaju, a osnova konusa je opisana oko osnove piramide.

Konus se može opisati oko piramide ako su sve bočne ivice piramide jednake jedna drugoj.

Veza piramide sa cilindrom

Za piramidu se kaže da je upisana u cilindar ako vrh piramide leži na jednoj osnovi cilindra, a osnova piramide upisana na drugoj bazi cilindra.

Cilindar se može opisati oko piramide ako se može opisati krug oko baze piramide.

Definicija. Krnja piramida (piramidalna prizma) je poliedar koji se nalazi između osnove piramide i ravni preseka paralelne bazi. Dakle, piramida ima veću osnovu i manju osnovu koja je slična većoj. Bočne strane su trapezoidne.

Definicija. Trouglasta piramida (tetraedar)- ovo je piramida u kojoj su tri lica i osnova proizvoljni trouglovi.

Tetraedar ima četiri lica i četiri vrha i šest ivica, pri čemu bilo koje dvije ivice nemaju zajedničke vrhove ali se ne dodiruju.

Svaki vrh ima tri lica i ivice koje se formiraju trouglasti ugao.

Segment koji povezuje vrh tetraedra sa centrom suprotnog lica naziva se srednji tetraedar(GM).

Bimedijan je segment koji povezuje sredine suprotnih ivica koje nisu u kontaktu (KL).

Svi bimedijani i medijani tetraedra se sastaju u jednoj tački (S). U ovom slučaju, bimedijani su podijeljeni na pola, a medijani u omjeru 3: 1, počevši od vrha.

Definicija. Kosa piramida je piramida u kojoj jedno od rebara formira tupi ugao (β) sa bazom.

Definicija. Pravougaona piramida - ovo je piramida u kojoj je jedna od bočnih strana okomita na bazu.

Definicija. Piramida sa oštrim uglom- ovo je piramida u kojoj je apotema više od polovine dužine stranice baze.

Definicija. Tupa piramida- ovo je piramida u kojoj je apotema manja od polovine dužine stranice baze.

Definicija. Regularni tetraedar- tetraedar u kojem su sva četiri lica jednakostranični trouglovi. To je jedan od pet pravilnih poligona. U pravilnom tetraedru, svi diedarski uglovi (između lica) i triedarski uglovi (na vrhu) su jednaki.

Definicija. Pravougaoni tetraedar se naziva tetraedar sa pravim uglom između tri ivice na vrhu (ivice su okomite). Formiraju se tri lica pravougaoni trouglasti ugao a lica su pravougli trougao, a osnova je proizvoljan trougao. Apotema bilo koje fasete jednaka je polovini stranice baze na koju apotema pada.

Definicija. Equhedral tetrahedron naziva se tetraedar u kojem su bočne strane jednake jedna drugoj, a osnova je pravilan trokut. Za takav tetraedar, lica su jednakokraki trouglovi.

Definicija. Ortocentrični tetraedar naziva se tetraedar u kojem se sve visine (okomice) koje su spuštene od vrha do suprotne strane sijeku u jednoj tački.

Definicija. Zvezdana piramida naziva se poliedar čija je osnova zvijezda.

Definicija. Bipiramida- poliedar koji se sastoji od dvije različite piramide (piramide se također mogu odsjeći), koji ima zajednički okvir, a vrhovi leže duž različite strane od ravni baze.

Trouglasta piramida je piramida čija je osnova trokut. Visina ove piramide je okomita, koja se spušta od vrha piramide do njene osnove.

Pronalaženje visine piramide

Kako pronaći visinu piramide? Veoma jednostavno! Da biste pronašli visinu bilo koje trokutaste piramide, možete koristiti formulu volumena: V = (1/3) Sh, gdje je S površina baze, V je zapremina piramide, h njena visina. Izvedite formulu visine iz ove formule: da biste pronašli visinu trokutaste piramide, morate pomnožiti volumen piramide sa 3, a zatim podijeliti rezultirajuću vrijednost s površinom baze, to će biti: h = (3V) / S. Budući da je osnova trokutaste piramide trokut, možete koristiti formulu za izračunavanje površine trokuta. Ako znamo: površinu trokuta S i njegove stranice z, onda po formuli površine S = (1/2) γh: h = (2S) / γ, gdje je h visina piramide, γ je ivica trougla; kut između stranica trokuta i samih dviju stranica, tada po sljedećoj formuli: S = (1/2) γφsinQ, gdje su γ, φ stranice trokuta, nalazimo površinu trokuta. Vrijednost sinusa ugla Q mora se naći u tabeli sinusa koja je dostupna na Internetu. Zatim zamjenjujemo vrijednost površine u formulu visine: h = (2S) / γ. Ako zadatak zahtijeva izračunavanje visine trokutaste piramide, tada je volumen piramide već poznat.

Pravilna trouglasta piramida

Odredite visinu pravilne trouglaste piramide, odnosno piramide u kojoj su sva lica jednakostranični trouglovi, znajući vrijednost ivice γ. U ovom slučaju ivice piramide su stranice jednakostraničnih trokuta. Visina pravilne trouglaste piramide će biti: h = γ√ (2/3), gdje je γ ivica jednakostraničnog trougla, h visina piramide. Ako je površina baze (S) nepoznata, a dati su samo dužina ivice (γ) i zapremina (V) poliedra, tada se potrebna varijabla u formuli iz prethodnog koraka mora zamijeniti svojim ekvivalentom, koji je izražen u smislu dužine ivice. Površina trokuta (pravilnog) jednaka je 1/4 proizvoda dužine stranice ovog trokuta na kvadrat kvadratnog korijena od 3. Zamijenite ovu formulu umjesto površine baze u prethodnu formulu, i dobijamo sledeću formulu: h = 3V4 / (γ 2 √3) = 12V / (γ 2 √3). Volumen tetraedra se može izraziti u smislu dužine njegove ivice, tada se sve varijable mogu ukloniti iz formule za izračunavanje visine figure i ostaviti samo stranu trokutastog lica figure. Zapremina takve piramide može se izračunati dijeljenjem kubne dužine njene fasete kvadratnim korijenom od 2 sa 12 iz proizvoda.

Zamjenom ovog izraza u prethodnu formulu dobijamo sljedeću formulu za izračunavanje: h = 12 (γ 3 √2 / 12) / (γ 2 √3) = (γ 3 √2) / (γ 2 √3) = γ √ (2 / 3) = (1/3) γ√6. Takođe, pravilna trouglasta prizma se može upisati u sferu, a znajući samo polumjer sfere (R), možete pronaći samu visinu tetraedra. Dužina ivice tetraedra je: γ = 4R / √6. Zamijenite varijablu γ ovim izrazom u prethodnoj formuli i dobijete formulu: h = (1/3) √6 (4R) / √6 = (4R) / 3. Ista formula se može dobiti znajući polumjer (R) kružnice upisane u tetraedar. U ovom slučaju, dužina ivice trokuta će biti jednaka 12 omjera između njih kvadratni korijen od 6 i radijusa. Ovaj izraz zamjenjujemo u prethodnu formulu i imamo: h = (1/3) γ√6 = (1/3) √6 (12R) / √6 = 4R.

Kako pronaći visinu pravilne četvorougaone piramide

Da biste odgovorili na pitanje kako pronaći dužinu visine piramide, morate znati, stotinu takvih pravilnih piramida. Četvorougaona piramida je piramida čija je osnova četverokut. Ako u uslovima problema imamo: zapreminu (V) i površinu osnove (S) piramide, tada će formula za izračunavanje visine poliedra (h) biti sljedeća - podijelite zapremina pomnožena sa 3 sa površinom S: h = (3V) / S. Sa kvadratnom osnovom piramide sa poznatim: datim volumenom (V) i dužinom stranice γ, zamijenite površinu (S) u prethodnoj formuli kvadratom dužine stranice: S = γ 2; H = 3V / γ 2. Visina pravilne piramide h = SO prolazi upravo kroz centar kruga, koji je opisan blizu osnove. Pošto je osnova ove piramide kvadrat, tačka O je presek dijagonala AD i BC. Imamo: OC = (1/2) BC = (1/2) AB√6. Dalje, nalazimo u pravouglom trouglu SOC (prema Pitagorinoj teoremi): SO = √ (SC 2 -OC 2). Sada znate kako pronaći visinu ispravne piramide.

Pregledi