Teorema tentang perubahan momentum sistem mekanik. Momentum sistem mekanik sama dengan produk massa sistem dan vektor kecepatan pusat massanya Vektor momentum utama
Kuantitas gerakan sistem sebut jumlah geometris dari jumlah gerakan semua titik material dari sistem
Untuk memperjelas arti fisis dari (70), kita hitung turunan dari (64)
.
(71)
Memecahkan (70) dan (71) bersama-sama, kami memperoleh
.
(72)
Lewat sini, vektor momentum sistem mekanik ditentukan oleh produk massa sistem dan kecepatan pusat massanya.
Mari kita hitung turunan dari (72)
.
(73)
Memecahkan (73) dan (67) bersama-sama, kami memperoleh
.
(74)
Persamaan (74) mengungkapkan teorema berikut.
Dalil: Turunan waktu dari vektor momentum sistem sama dengan jumlah geometrik semua gaya luar sistem.
Saat memecahkan masalah, persamaan (74) harus diproyeksikan ke sumbu koordinat:
.
(75)
Analisis (74) dan (75) menyiratkan sebagai berikut: hukum kekekalan momentum sistem: Jika jumlah semua gaya sistem sama dengan nol, maka vektor momentumnya mempertahankan besar dan arahnya.
Jika 
, kemudian 
,Q
=
konstan
.
(76)
Dalam kasus tertentu, hukum ini dapat dipenuhi di sepanjang salah satu sumbu koordinat.
Jika 
, kemudian, Q z =
konstan.
(77)
Disarankan untuk menggunakan teorema perubahan momentum dalam kasus di mana benda cair dan gas memasuki sistem.
Teorema tentang perubahan momentum sudut sistem mekanik
Jumlah gerak hanya mencirikan komponen translasi dari gerak. Untuk mengkarakterisasi gerakan rotasi suatu benda, konsep momen utama dari jumlah gerakan sistem relatif terhadap pusat tertentu (momen kinetik) diperkenalkan.
momentum sistem relatif terhadap suatu pusat tertentu adalah jumlah geometris dari momen-momen jumlah gerak semua titiknya relatif terhadap pusat yang sama
.
(78)
Dengan memproyeksikan (22) pada sumbu koordinat, seseorang dapat memperoleh ekspresi untuk momentum sudut sehubungan dengan sumbu koordinat
.
(79)
Momentum sudut benda terhadap sumbu sama dengan produk momen inersia benda terhadap sumbu ini dengan kecepatan sudut benda
.
(80)
Dari (80) dapat disimpulkan bahwa momen kinetik hanya mencirikan komponen rotasi dari gerak.
Karakteristik dari aksi rotasi suatu gaya adalah momennya relatif terhadap sumbu rotasi.
Teorema perubahan momentum menetapkan hubungan antara karakteristik gerak rotasi dan gaya yang menyebabkan gerak tersebut.
Dalil: Turunan waktu dari vektor momentum sudut sistem terhadap suatu pusat sama dengan jumlah geometris momen semua gaya luar sistem terhadappusat yang sama
.
(81)
Saat memecahkan masalah teknik (81), perlu untuk memproyeksikan ke sumbu koordinat
Analisis mereka (81) dan (82) menyiratkan hukum kekekalan momentum: Jika jumlah momen semua gaya luar terhadap pusat (atau sumbu) sama dengan nol, maka momen kinetik sistem terhadap pusat (atau sumbu) ini mempertahankan besar dan arahnya.
,
atau 
Momentum sudut tidak dapat diubah oleh aksi gaya-gaya internal sistem, tetapi karena gaya-gaya ini dimungkinkan untuk mengubah momen inersia, dan karenanya kecepatan sudut.
§satu. Jumlah pergerakan sistem (momentum sistem)
Momentum (momentum tubuh) adalah kuantitas fisik vektor yang sama dengan produk massa tubuh dan kecepatannya:
Momentum (momentum) adalah salah satu karakteristik yang paling mendasar dari pergerakan suatu benda atau sistem benda.
Mari kita menulis II Hukum Newton dalam bentuk yang berbeda, mengingat bahwa percepatan Maka oleh karena itu
Hasil kali gaya dan waktu aksinya sama dengan pertambahan momentum benda:
Di mana- impuls gaya, yang menunjukkan bahwa hasil aksi gaya tidak hanya bergantung pada nilainya, tetapi juga pada durasi aksinya.
Besarnya gerak sistem (momentum) adalah besaran vektor , sama dengan jumlah geometris (vektor utama) dari jumlah gerak (impuls) dari semua titik sistem (gbr.2):
Dapat dilihat dari gambar bahwa, terlepas dari kecepatan titik-titik sistem (kecuali kecepatan ini paralel), vektordapat mengambil nilai apa pun dan bahkan menjadi sama dengan nol ketika poligon dibangun dari vektor, akan tutup. Oleh karena itu, besarnyaseseorang tidak dapat sepenuhnya menilai sifat gerak sistem.
Gbr.2. Kuantitas sistem gerakan
2. Teorema tentang perubahan momentum (momentum)
Biarkan sebuah gaya bekerja pada benda bermassa m untuk selang waktu yang kecil t Di bawah aksi gaya ini, kecepatan benda berubah sebesar 
Oleh karena itu, selama waktu t benda bergerak dengan percepatan:
|
Dari hukum dasar dinamika(Hukum kedua Newton) berikut:
3. Hukum kekekalan momentum (hukum kekekalan momentum)
Dari teorema tentang perubahan momentum sistem, konsekuensi penting berikut dapat diperoleh:
1) Biarkan jumlah semua gaya eksternal yang bekerja pada sistem tertutup menjadi nol:
Kemudian dari persamaan maka Q = = konstan. Jadi, jika jumlah semua gaya luar yang bekerja pada sistem tertutup sama dengan nol, maka vektor momentum (momentum) sistem akan tetap besar dan arahnya.
2) Biarkan gaya eksternal yang bekerja pada sistem sedemikian rupa sehingga jumlah proyeksi mereka pada beberapa sumbu (misalnya TENTANG x ) sama dengan nol:
Kemudian dari persamaanberikut ini sementaraQ x= konstan. Jadi, jika jumlah proyeksi semua gaya eksternal yang bekerja pada sumbu apa pun sama dengan nol, maka proyeksi momentum (momentum) sistem pada sumbu ini adalah nilai konstan.
Hasil ini mengungkapkan hukum kekekalan momentum sistem: untuk setiap sifat interaksi benda-benda yang membentuk sistem tertutup, vektor momentum total sistem ini tetap konstan sepanjang waktu.
Ini mengikuti dari mereka bahwa gaya internal tidak dapat mengubah momentum total sistem.
Hukum kekekalan momentum total dari sistem yang terisolasi adalah hukum alam yang universal. Dalam kasus yang lebih umum, ketika sistem tidak tertutup, darimaka momentum total sistem terbuka tidak tetap. Perubahannya per satuan waktu sama dengan jumlah geometris semua gaya eksternal.
Mari kita lihat beberapa contoh:
a) Fenomena penganugerahan atau rollback. Jika kita menganggap senapan dan peluru sebagai satu sistem, maka tekanan gas bubuk saat ditembakkan akan menjadi gaya internal. Gaya ini tidak dapat mengubah momentum total sistem. Tetapi karena gas propelan, yang bekerja pada peluru, memberikan sejumlah gerakan yang diarahkan ke depan, mereka harus secara bersamaan memberikan jumlah gerakan yang sama kepada senapan ke arah yang berlawanan. Ini akan menyebabkan senapan bergerak mundur, mis. yang disebut kembali. Fenomena serupa terjadi ketika menembak dari pistol (rollback).
b) Pengoperasian baling-baling (propeller). Baling-baling menginformasikan massa udara (atau air) tertentu dari gerakan di sepanjang sumbu baling-baling, melemparkan massa ini kembali. Jika kita menganggap massa yang dikeluarkan dan pesawat (atau kapal) sebagai satu sistem, maka gaya interaksi baling-baling dan media sebagai internal tidak dapat mengubah momentum total sistem ini. Oleh karena itu, ketika massa udara (air) dilemparkan ke belakang, pesawat (atau kapal) menerima kecepatan maju yang sesuai, sehingga momentum total sistem yang dipertimbangkan tetap sama dengan nol, karena nol sebelum dimulainya gerakan. .
Efek serupa dicapai dengan aksi dayung atau roda dayung.
c.Propulsi jet. Dalam proyektil roket (roket), produk gas dari pembakaran bahan bakar dikeluarkan dengan kecepatan tinggi dari lubang di ekor roket (dari nosel mesin jet). Gaya tekanan yang bekerja dalam kasus ini adalah gaya internal, dan mereka tidak dapat mengubah momentum total sistem roket - produk pembakaran bahan bakar. Tetapi karena gas yang keluar memiliki sejumlah gerakan yang diarahkan ke belakang, roket dalam hal ini menerima kecepatan maju yang sesuai.
Pertanyaan untuk pemeriksaan diri:
Bagaimana teorema tentang perubahan momentum suatu sistem dirumuskan?
Tuliskan ekspresi matematis dari teorema tentang perubahan momentum sistem mekanik dalam bentuk diferensial dan integral.
Dalam hal apa momentum sistem mekanik tidak berubah?
Bagaimana impuls gaya variabel selama periode waktu yang terbatas ditentukan? Apa ciri-ciri momentum suatu gaya?
Apa proyeksi momentum gaya konstan dan variabel pada sumbu koordinat?
Berapakah momentum resultan tersebut?
Bagaimana momentum suatu titik yang bergerak beraturan dalam lingkaran berubah?
Berapakah momentum sistem mekanik?
Berapa momentum roda gila yang berputar pada sumbu tetap yang melalui pusat gravitasinya?
Dalam kondisi apa momentum sistem mekanik tidak berubah? Dalam kondisi apa proyeksinya pada beberapa sumbu tidak berubah?
Mengapa pistol mundur saat ditembakkan?
Dapatkah gaya dalam mengubah momentum sistem atau momentum bagiannya?
Pada faktor apa kecepatan gerak bebas roket bergantung?
Apakah kecepatan akhir roket bergantung pada waktu yang dibutuhkan untuk membakar bahan bakar?
Jumlah pergerakan sistem akan disebut besaran vektor Q, sama dengan jumlah geometrik (vektor utama) dari jumlah pergerakan semua titik sistem (Gbr. 288):
Dengan menggunakan definisi ini, kita akan menemukan formula yang dengannya lebih mudah untuk menghitung nilai Q, serta untuk memahami artinya. Ini mengikuti dari persamaan (D) bahwa
Mengambil turunan waktu dari kedua bagian, kita mendapatkan
Dari sini kita menemukan bahwa
yaitu, jumlah gerakan sistem sama dengan produk massa seluruh sistem dan kecepatan pusat massanya.
Hasil ini sangat nyaman digunakan saat menghitung momentum benda tegar.
Dapat dilihat dari rumus (19) bahwa jika benda (atau sistem) bergerak sedemikian rupa sehingga pusat massa tetap diam, maka momentum benda tersebut adalah nol. Misalnya, momentum benda yang berputar di sekitar sumbu tetap yang melewati pusat massanya akan menjadi nol.
Jika gerak benda itu kompleks, maka nilai Q tidak akan bergantung pada gerak rotasinya di sekitar pusat massa. Misalnya, untuk roda yang berputar, tidak peduli bagaimana roda berputar di sekitar pusat massanya C.
Dengan demikian, jumlah gerak dapat dianggap sebagai karakteristik gerak translasi sistem (benda), dan dalam kasus gerak kompleks - sebagai karakteristik bagian translasi dari gerak bersama dengan pusat massa.
Besarnya gerak sistem, sebagai besaran vektor, ditentukan oleh rumus (4.12) dan (4.13).
Dalil. Turunan waktu dari jumlah gerak sistem sama dengan jumlah geometrik dari semua gaya luar yang bekerja padanya.
Dalam proyeksi sumbu Cartesian, kita memperoleh persamaan skalar.
Anda dapat menulis vektor
(4.28)
dan persamaan skalar
Yang menyatakan teorema tentang perubahan momentum sistem dalam bentuk integral: perubahan momentum sistem selama periode waktu tertentu sama dengan jumlah impuls untuk periode waktu yang sama. Saat memecahkan masalah, persamaan (4.27) lebih sering digunakan
Hukum kekekalan momentum
Teorema tentang perubahan momen kinetik
Teorema tentang perubahan momentum sudut suatu titik relatif terhadap pusat: turunan waktu dari momentum sudut suatu titik relatif terhadap pusat tetap sama dengan momen vektor yang bekerja pada titik gaya relatif terhadap pusat yang sama.
atau 
(4.30)
Membandingkan (4.23) dan (4.30), kita melihat bahwa momen dari vektor dan dihubungkan oleh ketergantungan yang sama seperti vektor itu sendiri dan terhubung (Gbr. 4.1). Jika kita memproyeksikan persamaan pada sumbu yang melalui pusat O, kita mendapatkan
(4.31)
Persamaan ini menyatakan teorema momen momentum suatu titik terhadap sumbu.
|
(4.32)
Jika kita memproyeksikan ekspresi (4.32) ke sumbu yang melalui pusat O, maka kita memperoleh persamaan yang mencirikan teorema tentang perubahan momentum sudut terhadap sumbu.
(4.33)
Dengan mensubstitusikan (4.10) ke persamaan (4.33), persamaan diferensial dari benda tegar yang berputar (roda, gandar, poros, rotor, dll.) dapat ditulis dalam tiga bentuk.
(4.34)
(4.35)
(4.36)
Oleh karena itu, disarankan untuk menggunakan teorema tentang perubahan momen kinetik untuk mempelajari gerakan benda tegar, yang sangat umum dalam teknologi, rotasinya di sekitar sumbu tetap.
Hukum kekekalan momentum sudut sistem
1. Biarkan dalam ekspresi (4.32) .
Maka dari persamaan (4.32) diperoleh bahwa , yaitu. jika jumlah momen dari semua gaya luar yang diterapkan pada sistem relatif terhadap pusat tertentu adalah nol, maka momen kinetik sistem relatif terhadap pusat ini akan secara numerik dan arahnya akan konstan.
2. Jika , maka . Jadi, jika jumlah momen gaya luar yang bekerja pada sistem terhadap beberapa sumbu sama dengan nol, maka momen kinetik sistem terhadap sumbu ini akan menjadi nilai konstan.
Hasil ini menyatakan hukum kekekalan momentum sudut.
Dalam kasus benda tegar yang berotasi, persamaan (4.34) mengikuti bahwa jika , maka . Dari sini kita sampai pada kesimpulan berikut:
Jika sistem tidak dapat diubah (benda tegar mutlak), maka, akibatnya, dan dan benda tegar berputar di sekitar sumbu tetap dengan kecepatan sudut konstan.
Jika sistem dapat diubah, maka . Dengan bertambahnya (maka elemen individu dari sistem menjauh dari sumbu rotasi), kecepatan sudut berkurang, karena , dan meningkat dengan menurun, dengan demikian, dalam kasus sistem variabel, dengan bantuan gaya internal, adalah mungkin untuk mengubah kecepatan sudut.
Tugas kedua D2 dari pekerjaan kontrol dikhususkan untuk teorema tentang perubahan momentum sudut sistem relatif terhadap sumbu.
Tugas D2
Sebuah platform horizontal homogen (bulat dengan jari-jari R atau persegi panjang dengan sisi R dan 2R, di mana R = 1,2 m) dengan massa kg berputar dengan kecepatan sudut di sekitar sumbu vertikal z, yang berjarak dari pusat massa C dari platform di jarak OC = b (Gbr. D2.0 – D2.9, tabel D2); dimensi untuk semua platform persegi panjang ditunjukkan pada gambar. D2.0a (tampilan atas).
Pada saat waktu, beban D dengan massa kg mulai bergerak di sepanjang platform parasut (di bawah aksi gaya internal) menurut hukum , di mana s dinyatakan dalam meter, t adalah dalam detik. Pada saat yang sama, sepasang gaya dengan momen M (diberikan dalam newtonometer) mulai bekerja pada platform; pada M< 0 его направление противоположно показанному на рисунках).
Tentukan, dengan mengabaikan massa poros, ketergantungan yaitu kecepatan sudut platform sebagai fungsi waktu.
Pada semua gambar, beban D ditunjukkan pada posisi di mana s > 0 (ketika s< 0, груз находится по другую сторону от точки А). Изображая чертеж решаемой задачи, провести ось z на заданном расстоянии OC = b от центра C.
Petunjuk arah. Tugas D2 - tentang penerapan teorema tentang perubahan momentum sudut sistem. Ketika menerapkan teorema pada sistem yang terdiri dari platform dan beban, momentum sudut sistem terhadap sumbu z didefinisikan sebagai jumlah momen platform dan beban. Dalam hal ini, harus diperhitungkan bahwa kecepatan absolut beban adalah jumlah dari kecepatan relatif dan portabel, mis. . Oleh karena itu, jumlah pergerakan kargo ini 
. Kemudian kita dapat menggunakan teorema Varignon (statika), yang menyatakan ; momen-momen ini dihitung dengan cara yang sama seperti momen-momen gaya. Jalannya solusi dijelaskan secara lebih rinci dalam contoh D2.
Saat memecahkan masalah, akan berguna untuk menggambarkan pada gambar bantu pemandangan platform dari atas (dari ujung z), seperti yang dilakukan pada Gambar. D2.0,a - D2.9,a.
Momen inersia pelat bermassa m terhadap sumbu Cz, tegak lurus pelat dan melalui pusat massanya, sama dengan: untuk pelat persegi panjang dengan sisi dan
;
Untuk insert bulat berjari-jari R
| Nomor kondisi | B | s = F(t) | M |
| R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 R R/2 | -0,4 0,6 0,8 10t 0,4 -0,5t -0,6t 0,8t 0,4 0,5 | 4t -6 -8t -9 6 -10 12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Contoh D2. Sebuah platform horizontal homogen (persegi panjang dengan sisi 2l dan l), memiliki massa, diikat dengan kaku ke poros vertikal dan berputar dengannya di sekitar sumbu z dengan kecepatan sudut (Gbr. E2a ). Pada saat itu, torsi M mulai bekerja pada poros, dengan arah berlawanan ; sekaligus kargo D massa terletak di selokan AB pada intinya DARI, mulai bergerak di sepanjang saluran (di bawah aksi gaya internal) menurut hukum s = CD = F(t).
Diberikan: m 1 \u003d 16 kg, t 2= 10kg, aku\u003d 0,5 m, \u003d 2, s \u003d 0,4t 2 (s - dalam meter, t - dalam detik), M= kt, di mana k= 6 Nm/s. Tentukan: - hukum perubahan kecepatan sudut platform.
Larutan. Pertimbangkan sistem mekanis yang terdiri dari platform dan beban D. Untuk menentukan w, kita menerapkan teorema tentang perubahan momentum sudut sistem terhadap sumbu z:
(1)
Mari kita gambarkan gaya luar yang bekerja pada sistem: gaya gravitasi reaksi dan torsi M. Karena gaya dan sejajar dengan sumbu z, dan reaksi memotong sumbu ini, momennya relatif terhadap sumbu z adalah sama ke nol. Kemudian, dengan mempertimbangkan arah positif untuk momen (yaitu, berlawanan arah jarum jam), kita memperoleh 
dan persamaan (1) akan mengambil bentuk ini.
dan sistem mekanik
Jumlah gerakan suatu titik material adalah ukuran vektor gerakan mekanis, sama dengan produk massa titik dan kecepatannya, . Satuan besaran besaran gerak dalam sistem SI adalah 
. Jumlah gerakan sistem mekanis sama dengan jumlah gerakan semua titik material yang membentuk sistem:
.
(5.2)
Kami mengubah rumus yang dihasilkan
.
Menurut rumus (4.2) 
, itu sebabnya
.
Jadi, momentum sistem mekanik sama dengan produk massanya dan kecepatan pusat massa:
.
(5.3)
Karena jumlah gerakan sistem ditentukan oleh gerakan hanya salah satu titiknya (pusat massa), itu tidak dapat menjadi karakteristik lengkap dari gerakan sistem. Memang, untuk setiap gerakan sistem, ketika pusat massanya tetap diam, momentum sistem sama dengan nol. Misalnya, ini terjadi ketika benda tegar berputar di sekitar sumbu tetap yang melewati pusat massanya.
Kami memperkenalkan sistem referensi Cxyz, yang berasal dari pusat massa sistem mekanik DARI dan bergerak maju relatif terhadap sistem inersia 
(Gbr. 5.1). Kemudian pergerakan setiap titik 
dapat dianggap kompleks: gerakan translasi bersama dengan sumbu Cxyz dan gerakan tentang sumbu ini. Karena gerakan translasi sumbu Cxyz kecepatan portabel setiap titik sama dengan kecepatan pusat massa sistem, dan momentum sistem, ditentukan oleh rumus (5.3), hanya mencirikan gerak translasi translasinya.
5.3. Dorongan kekuatan
Untuk mengkarakterisasi aksi suatu gaya selama periode waktu tertentu, besaran yang disebut momentum kekuatan . Impuls dasar suatu gaya adalah ukuran vektor dari aksi suatu gaya, sama dengan hasil kali gaya dan interval waktu dasar dari aksinya:
.
(5.4)
Satuan ukuran impuls gaya dalam sistem SI adalah 
, yaitu dimensi momentum gaya dan momentum adalah sama.
Impuls gaya selama periode waktu yang terbatas 
sama dengan integral tertentu dari momentum elementer:
.
(5.5)
Impuls gaya konstan sama dengan produk gaya dan waktu aksinya:
.
(5.6)
Dalam kasus umum, momentum suatu gaya dapat ditentukan dengan proyeksinya ke sumbu koordinat:
.
(5.7)
5.4. Teorema tentang perubahan momentum
poin materi
Dalam persamaan utama dinamika (1.2), massa titik material adalah nilai konstan, percepatannya 
, yang memungkinkan untuk menulis persamaan ini dalam bentuk:
.
(5.8)
Hubungan yang dihasilkan memungkinkan kita untuk merumuskan teorema tentang perubahan momentum suatu titik material dalam bentuk diferensial: Turunan waktu dari momentum suatu titik material sama dengan jumlah geometris (vektor utama) dari gaya-gaya yang bekerja pada titik tersebut.
Kami sekarang memperoleh bentuk integral dari teorema ini. Ini mengikuti dari hubungan (5.8) bahwa
.
Mari kita integrasikan kedua bagian persamaan dalam batas-batas yang sesuai dengan momen waktu 
Dan 
,
.
(5.9)
Integral di ruas kanan adalah impuls gaya-gaya yang bekerja pada titik tersebut, jadi setelah integral ruas kiri kita peroleh
.
(5.10)
Dengan demikian, telah terbukti teorema tentang perubahan momentum suatu titik material dalam bentuk integral: Perubahan momentum suatu titik material selama periode waktu tertentu sama dengan jumlah geometrik impuls yang bekerja pada titik gaya untuk periode waktu yang sama.
Persamaan vektor (5.10) sesuai dengan sistem tiga persamaan dalam proyeksi ke sumbu koordinat:
;
;
(5.11)
.
Contoh 1
Tubuh bergerak maju sepanjang bidang miring membentuk sudut dengan cakrawala. Pada saat awal, ia memiliki kecepatan 
, diarahkan ke atas sepanjang bidang miring (Gbr. 5.2).
Setelah waktu berapa kecepatan benda akan sama dengan nol jika koefisien gesekannya adalah F ?
Mari kita ambil benda yang bergerak secara progresif sebagai titik material dan pertimbangkan gaya yang bekerja padanya. Ini gravitasi 
, reaksi normal bidang 
dan gaya gesekan 
. Mari kita arahkan porosnya x sepanjang bidang miring ke atas dan tuliskan persamaan pertama sistem (5.11)
di mana proyeksi jumlah gerak , dan proyeksi impuls gaya konstan 
,
Dan 
sama dengan produk dari proyeksi gaya dan waktu gerak:
Karena percepatan benda diarahkan sepanjang bidang miring, jumlah proyeksi ke sumbu kamu semua gaya yang bekerja pada benda sama dengan nol: 
, dari mana jadinya 
. Temukan gaya gesekan
dan dari persamaan (5.12) kita peroleh
dari mana kita menentukan waktu gerak tubuh
.
