Sebuah perangkat untuk menentukan kelengkungan sumur. Permukaan dasar ruang dan konstruksinya Persamaan bidang umum

satu). Jenis kurva hal.3-4.

2). Jumlah putaran hal 4-6.

3). Tonjolan hal.6-7.

4). Pertanyaan terbesar adalah hal.7.

5). Kartun kecil hal.8-10.

6). Kurva dan Persamaan hal.11.

7). Contoh dengan. 12.

delapan). Referensi hal.13

Berapa banyak kurva yang ada di bumi?

Pertanyaan ini sepertinya aneh. Anda dapat menggambar berbagai kurva yang tak terlukiskan. Mari kita sepakati dulu apa yang akan kita pertimbangkan. Di sinilah pengalaman sehari-hari seharusnya membantu kita. Tali atau kawat ulet yang baik tidak memiliki sudut yang tajam. Oleh karena itu, kita hanya akan mempelajari kurva halus (tanpa kerutan) yang digambar di permukaan bumi. Kurva seperti itu diperbolehkan memiliki sejumlah titik potong sendiri.

Jenis kurva

Kurva adalah objek matematika populer dengan banyak karakteristik menarik: kelengkungan, panjang, jumlah titik potong sendiri, titik belok, dll. Semuanya layak dipelajari. (Beberapa di antaranya dijelaskan dalam artikel Tabachnikov "On Plane Curves" dalam "Quantum" No. 11, 1988) Dan mana yang penting bagi kita? Mungkin panjangnya? Tapi masih ada terlalu banyak kurva dengan panjang yang sama. Pertimbangkan kurva dengan kelengkungan yang sama menjadi sama? Kemudian akan ada lebih banyak kurva yang berbeda dari fungsi - sedikit terlalu banyak ... Agar tidak menebak-nebak lagi, mari kita lupakan semua karakteristik kurva sekaligus.

Kita akan memahami ungkapan "kurva tidak jauh berbeda satu sama lain secara harfiah dan mempertimbangkan kurva yang sama yang berbeda dalam" gangguan kecil ". Sekarang kita harus menghitung dua kurva yang dapat diubah bentuknya (ditarik) satu sama lain sehingga tetap mulus sepanjang waktu adalah sama (Gbr. 1). Bagaimanapun, deformasi seperti itu dapat dipecah menjadi serangkaian "gerakan kecil". Kami akan menyebut kurva seperti itu kurva dari jenis yang sama.

Kami telah membuang perbedaan yang terlihat antara kurva. Wajar untuk berasumsi bahwa dengan konvensi naif seperti itu, semua kurva memiliki tipe yang sama. Ini adalah kasus untuk kurva terbuka. Bayangkan seutas tali tergeletak di tanah, mulai lurus di salah satu ujungnya. Tali seperti itu akan dengan mulus terbentang menjadi garis lurus (Gbr. 2). Jadi, menarik untuk dipertimbangkan saja tertutupth kurva.

Anda sekarang siap untuk merumuskan pertanyaan matematika yang ketat:

Berapa banyak jenis kurva tertutup yang ada di Bumi?

Pertanyaan ini memiliki banyak variasi dan tambahan, membawa kita ke area matematika modern yang paling populer. Ini akan dibahas nanti, tetapi untuk saat ini, mari kita pertimbangkan Bumi datar.

Beras. 1. Gambar. 2.

Beras. 3.

Jumlah putaran

Cobalah untuk mengubah bentuk "delapan" menjadi nol. " Telah terjadi? Kemudian, dalam perjalanan, Anda pasti akan memiliki ujung tombak (gbr, 3). Apakah mungkin untuk berubah bentuk sehingga kurva tetap mulus? Tampaknya itu tidak mungkin. Bagaimana hal ini dapat dibuktikan secara ketat? Pikiran pertama adalah menghitung jumlah perpotongan kurva atau jumlah daerah di mana kurva membagi bidang. Tapi angka-angka ini bisa berubah. Kita telah melihat pada Gambar 1 bagaimana kurva angka delapan telah kehilangan beberapa titik potong sendiri. Ini berarti bahwa bahkantawonjadilah angka itu sendiriHAIpersimpangan tetap tidak berubah. (Benar, pada saat pertama, dua titik berubah menjadi satu, tetapi itu harus dianggap sebagai pasangan yang digabungkan.) Situasinya persis sama dengan jumlah daerah: mereka terbentuk dan menghilang berpasangan. Jadi, "delapan" dan "nol" memiliki tipe yang berbeda. Mungkin hanya ada dua jenis kurva? Tidak ada yang seperti ini.

Ada banyak sekali jenis kurva tertutup yang berbeda pada bidang.

Untuk membuktikan ini teorema pertama kami, kami mengasosiasikan bilangan asli dengan setiap kurva tertutup di pesawat. Pertimbangkan sebuah titik yang bergerak sepanjang kurva (vektor kecepatannya menyentuh kurva pada setiap saat). Untuk beberapa waktu, biarkan titik mengelilingi seluruh kurva dan kembali ke posisi awalnya.

Jumlah belokan kurva kita akan menyebut jumlah putaran lengkap yang dibuat oleh vektor kecepatan titik ini. (Tidak masalah ke arah mana vektor berputar. Itu tergantung pada arah pergerakan titik sepanjang kurva.)

Kecepatan - invarian , yaitu, itu tidak berubah ketika kurva berubah bentuk. Lagi pula, angka ini tidak dapat berubah secara tiba-tiba dengan "gangguan kecil" pada kurva, dan deformasi tidak dapat diubah oleh rantai "gangguan" semacam itu. Akibatnya, kurva dengan kecepatan yang berbeda memiliki jenis yang berbeda.

Ada banyak sekali angka yang berbeda, yang berarti ada kurva juga. Teorema terbukti.

Sebenarnya, kecepatan- invarian unik kurva datar. Ini berarti bahwa dua kurva dengan kecepatan yang sama memiliki jenis yang sama. Cobalah untuk membuat bukti sendiri, dan jika tidak berhasil, bereksperimenlah. Sebagai upaya terakhir, baca "Quantum" No. 4, 1983. Dan sebaiknya kita ingat bahwa Bumi adalah bola.

Namun ternyata ...

Permukaan bumi berbentuk bola. Berapa banyak kurva yang ada di atasnya? Bola adalah bidang ditambah satu titik lagi (Gbr. 4). Gambar 4 disebut proyeksi stereografik. Mari kita membuat proyeksi stereografik dari titik yang tidak terletak pada kurva. Kemudian kurva ini jatuh pada bidang. Apakah ini berarti "ada banyak jenis kurva pada bola seperti halnya pada bidang?" Ya, kita tidak jauh dari mereka yang benar-benar percaya bahwa Bumi itu datar. Inilah jawaban yang benar.

Ada persis dua jenis kurva tertutup yang berbeda pada bola.

Mari kita ayunkan bukti dari gambar (gbr. 5). Seperti yang Anda lihat, RPM tidak lagi disimpan. Inilah yang membedakan kurva pada bola dengan kurva pada bidang. Setelah "membungkus" di sekitar bola, kurva kehilangan dua putaran. Sekarang mudah untuk melakukan operasi yang sama pada kurva dengan sejumlah putaran (Anda hanya perlu menggambar beberapa loop di mana saja pada kurva pada Gambar 5). Kami mendapatkan bahwa kurva apa pun dapat dideformasi menjadi salah satu kurva pada Gambar 6. Yang mana persisnya bergantung pada paritas jumlah putaran.

Tetapi bagaimana membuktikan bahwa kurva a) dan 6) berbeda jenis tidak hanya pada bidang, tetapi juga pada bola? Memang, secara tegas, jumlah revolusi dalam hal ini tidak ditentukan sama sekali. Paritas yang sudah dikenal dari nomor persimpangan sendiri membantu. Untuk kurva b) angka ini ganjil, dan untuk kurva a) jelas (sama dengan nol).

pengantar

Klasifikasi titik-titik dari permukaan biasa

Badan dan permukaan cembung

1 Konsep dasar

2 kelengkungan

4 Ketidakfleksibelan bola

Permukaan pelana

3 Masalah Dataran Tinggi

Kesimpulan

Bibliografi

pengantar

Karya ini dikhususkan untuk presentasi studi geometri eksternal permukaan dengan tipe titik yang konstan. Ini termasuk pertanyaan yang berkaitan dengan permukaan cembung dan pelana.

Masalah penelitian ini memiliki relevansi di dunia modern. Hal ini dibuktikan dengan seringnya mengkaji isu-isu yang diangkat, banyak karya yang dikhususkan untuk kajiannya. Pada dasarnya materi yang disajikan dalam literatur pendidikan bersifat umum.

Geometri diferensial sepanjang abad ke-19. dikembangkan dalam kontak dekat dengan mekanika dan analisis, terutama dengan teori persamaan diferensial parsial. Karena selama periode ini dalam analisis banyak berurusan dengan pertanyaan integrasi formal, maka untuk geometri diferensial ada masalah alami dari arah formal-analitis. Objek utama dari teori permukaan adalah permukaan biasa yang dianggap "dalam ukuran kecil".

Pada abad XX, bahkan pada awalnya, pertanyaan-pertanyaan yang bersifat formal tidak dapat lagi dianggap relevan untuk mekanika dan analisis. Sementara itu, dalam teori permukaan, sebagian besar studi masih melanjutkan tradisi abad ke-19. Dengan demikian, celah telah terbentuk antara teori klasik permukaan, di satu sisi, dan analisis dan mekanika, di sisi lain. Masalah yang lebih modern dan metode analisis dan mekanika kualitatif ternyata asing bagi teori permukaan klasik. Dan di dalam teori klasik permukaan, sebuah cabang baru telah digariskan, yang subjeknya tetap permukaan biasa, tetapi diselidiki "secara keseluruhan"; cabang ini juga bergabung dengan analisis modern. Tetapi di sini sangat penting untuk mencatat hal-hal berikut: sementara departemen geometri "dalam skala besar", di mana sifat-sifat permukaan padat dipelajari, telah lama memiliki sistem metode umum yang cukup berkembang (setidaknya untuk permukaan cembung), studi tentang deformasi permukaan dan hubungan di antara mereka, sifat internal dan eksternal ("secara umum") adalah terpisah-pisah. Semua ini dijelaskan oleh fakta bahwa ahli geometri yang bekerja di bidang geometri "dalam skala besar" masih mendekati masalah bidang ini dengan alat analisis klasik, yang dalam banyak kasus ternyata tidak banyak berguna di sini. Untuk keberhasilan pengembangan teori permukaan yang bermakna, ternyata sangat penting untuk membangun sistem metode langsung umum untuk mempelajari sifat intrinsik permukaan. Ini dilakukan oleh A. D. Aleksandrov (dengan partisipasi murid-muridnya I. M. Lieberman dan S. P. Olovyanishnikov). Permukaan cembung secara alami mewakili bidang yang sangat disukai untuk beton dan hasil visual geometris. Tapi ini bukan hanya tentang hasil individu. Untuk pengembangan setiap departemen matematika, tingkat umum masalah dan metodenya penting, penting bahwa tingkat ini sesuai dengan kemajuan ilmu pengetahuan. Untuk pengembangan teori permukaan, penting bahwa itu bukan disiplin yang berdiri sendiri dan terisolasi. Studi A.D. Aleksandrov, A.V. Pogorelov, A.L. Verner dan ahli matematika lainnya justru karena mereka sangat penting untuk teori permukaan, karena mereka membuka area masalah baru dan metode yang sesuai di dalamnya, yang mengikuti garis lurus. metode analisis modern.

Relevansi karya ini disebabkan, di satu sisi, karena minat besar pada topik ini dalam sains modern, di sisi lain, karena perkembangannya yang tidak mencukupi. Pertimbangan isu-isu yang terkait dengan topik ini memiliki signifikansi teoretis dan praktis.

Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mempelajari aspek teoretis dari topik "Geometri eksternal permukaan dengan jenis titik yang konstan" dari sudut pandang penelitian domestik dan asing terbaru tentang masalah serupa.

1. Klasifikasi titik-titik dari permukaan biasa

Permukaan S diberikan oleh persamaan vektor , kami akan memanggil -reguler jika di area pengaturan parameter D fungsi memiliki turunan kontinu orde k (k 2) dan pertidaksamaan berlaku di semua titik domain D.

Bentuk kuadrat kedua dari permukaan S disebut hasil kali skalar dari vektor dan n:

. (1)

Sangat mudah untuk melihat bahwa pada setiap titik permukaan bentuk S (1) adalah bentuk kuadrat terhadap diferensial dan .

Untuk koefisien bentuk kuadrat kedua, sebutan diadopsi

yang memungkinkan Anda untuk menulisnya dalam bentuk berikut:.

Misalkan S adalah permukaan beraturan dan adalah vektor radiusnya.

Pilih di permukaan S beberapa titik dan pertimbangkan pesawatnya yang menyentuh permukaan S pada titik ini.

Penyimpangan titik sewenang-wenang permukaan S dari pesawat kita definisikan dengan rumus

, (2)

di mana adalah vektor normal satuan terhadap permukaan di suatu titik.

Penyimpangan ini, diambil dalam nilai absolut, sama dengan jarak dari titik ke pesawat ... Deviasi positif jika titik dan akhir vektor berbaring di satu sisi pesawat dan negatif jika titik-titik ini terletak pada sisi yang berlawanan dari bidang (Gambar 1).

Mari kita beralih ke rumus (2). Perbedaan mengakui representasi berikut:

dimana .

Mari kita kalikan kedua sisi persamaan (3) secara skalar dengan sebuah vektor. Kemudian, menempatkan

kita mengerti itu

. (4)

Perhatikan bahwa koefisien dan dalam rumus (4) dihitung pada titik.

Jadi kita harus menolak tampilan berikut:

, (5)

melalui mana menunjukkan bentuk kuadrat kedua dari permukaan, dihitung pada titik, dan pada .

Kami menggunakan rumus yang diperoleh (5) untuk mempelajari struktur permukaan S di dekat titik.

Kami menghitung diskriminan dari bentuk kuadrat kedua

pada intinya ... Kasus-kasus berikut mungkin terjadi.

) adalah tanda pasti.

Kami memperbaiki pada intinya beberapa arah di permukaan; untuk kepastian.

Kemudian arah lain di permukaan pada titik dapat diatur menggunakan sudut , yang terbentuk dengan arah yang dipilih (Gbr. 2).

Mari kita menempatkan. Kemudian

(6)

Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa

dimana konstanta

dan berdasarkan kondisi itu positif.

Jadi, pertidaksamaan

dilakukan terlepas dari pilihan sudut.

Karena urutan cenderung ke nol di istilah kedua di sisi kanan rumus (5) lebih tinggi dari dua, maka kesimpulan berikut dapat diambil dari perkiraan terakhir.

Deviasi mempertahankan tanda yang bertepatan dengan tanda bentuk kuadrat kedua , untuk semua nilai yang cukup kecil terlepas dari pilihan arah di permukaan.

Ini berarti bahwa semua titik pada permukaan S yang cukup dekat dengan titik terletak di salah satu sisi bidang singgung permukaan S pada titik ini. Titik seperti itu di permukaan disebut elips (Gbr. 3)

) - bentuk kuadrat kedua dari permukaan di titik bergantian.

Mari kita tunjukkan bahwa dalam kasus ini pada intinya Anda dapat menentukan dua arah collinear pada permukaan dengan properti berikut:

a) untuk nilai diferensial yang menentukan arah ini, bentuk kuadrat kedua dari permukaan, dihitung pada titik , menghilang;

b) semua arah lain di permukaan pada titik dibagi menjadi dua kelas - untuk diferensial yang menentukan arah salah satu kelas, bentuk kuadrat kedua positif dan negatif bagi yang lain.

Biarkan beberapa arah kelas positif diberikan oleh sudut ... Sesuai dengan rumus (6), kita memiliki

di mana .

Seperti dapat dilihat dari rumus (5), tanda deviasi untuk semua nilai yang cukup kecil dalam arah yang dipertimbangkan bertepatan dengan tanda bentuk kuadrat kedua ... Oleh karena itu, jika titik permukaan S cukup dekat dengan titik , maka penyimpangan ini positif.

Penalaran dengan cara yang sama, Anda dapat menunjukkan titik-titik di permukaan dekat dengan titik yang penyimpangannya negatif (Gbr. 4).

Alasan di atas menunjukkan bahwa mendekati titik , permukaan S terletak di sisi berlawanan dari bidang singgung ... Dalam hal ini, proyeksi titik-titik permukaan, yang penyimpangannya positif, pada bidang singgung isi set yang ditunjukkan pada gambar (Gbr. 5).

Dalam kasus yang sedang dipertimbangkan, intinya disebut titik hiperbolik S.

) , tetapi setidaknya salah satu koefisiennya bukan nol.

Biarkan untuk kepastian ... Maka bentuk kuadrat kedua dari permukaan S di titik dapat ditulis sebagai berikut:

Jadi, tergantung pada tandanya membentuk atau tidak negatif ( ) atau tidak positif ( ). Terlebih lagi, di permukaan S pada titik Anda dapat menentukan arah , sehingga diferensial yang menentukan dan Balikkan bentuk kuadrat kedua ke nol. Untuk semua arah lain di permukaan pada titik membentuk memiliki tanda yang sama (bertepatan dengan tanda) (Gbr. 6).

Dalam hal ini, intinya disebut titik parabola dari S.

Poin seperti itu disebut titik perataan permukaan. Lokasi titik-titik permukaan yang dekat dengan titik perataan relatif terhadap bidang singgung permukaan pada titik ini bisa sangat beragam (Gbr. 7).

Tergantung pada jenis titik, jenis permukaan berikut dibedakan:

· jika semua titik permukaan berbentuk elips, maka permukaannya cembung;

· jika semua titik permukaan hiperbolik, maka permukaan tersebut adalah permukaan pelana.

2. Badan dan permukaan cembung

1 Konsep dasar

Himpunan M dalam ruang Euclidean tiga dimensi disebut cembung jika, bersama-sama dengan dua titik X dan Y, berisi segmen garis lurus yang menghubungkannya (Gbr. 8). Himpunan cembung datar tertutup dengan titik-titik interior disebut domain cembung.

Bagian yang terhubung dari batas daerah cembung disebut kurva cembung. Batas daerah cembung berhingga disebut kurva cembung tertutup. Kurva cembung tertutup adalah homeomorfik untuk sebuah lingkaran. Garis lurus g yang melalui titik X dari batas daerah cembung G disebut tumpuan jika seluruh daerah terletak pada salah satu setengah bidang yang ditentukan oleh garis lurus ini. Setidaknya satu garis penyangga melewati setiap titik batas daerah cembung.

Jika kurva cembung adalah batas daerah cembung G atau bagian dari batasnya, maka garis acuan pada setiap titik kurva ke daerah G juga disebut garis acuan kurva.

Titik-titik kurva cembung dibagi menjadi halus dan bersudut. Yaitu, titik X dari kurva cembung disebut mulus jika satu-satunya garis penopang melewati titik ini. Jika tidak, titik X disebut titik sudut. Di titik sudut, garis penyangga mengisi sudut vertikal tertentu dengan titik di titik ini, dan sisi sudut ini juga merupakan garis penyangga (Gbr. 10).

Setiap kurva cembung dapat diperbaiki, mis. memiliki panjang tertentu. Jika kurva tertutup membentang kurva cembung maka panjangnya tidak melebihi panjang.

Benda cembung adalah himpunan cembung tertutup dalam ruang yang memiliki titik-titik interior. Agar himpunan cembung tertutup menjadi benda cembung, perlu dan cukup bahwa tidak ada bidang yang memuat himpunan ini. Perpotongan (bagian umum) dari setiap kumpulan benda cembung, jika mengandung titik interior, juga merupakan benda cembung.

Area (kumpulan terbuka terhubung) pada batas benda cembung disebut permukaan cembung. Komponen yang terhubung dari batas benda cembung disebut permukaan cembung lengkap. Jika kita mengecualikan dua kasus sepele ketika benda cembung adalah seluruh ruang atau wilayah antara dua bidang paralel, maka permukaan cembung lengkap dapat didefinisikan secara sederhana sebagai batas benda cembung. Batas benda cembung berhingga bersifat homeomorfik terhadap bola dan disebut permukaan cembung tertutup. Setiap permukaan cembung lengkap adalah homeomorfik baik untuk bidang, bola, atau silinder. Dalam kasus terakhir, permukaan itu sendiri adalah silinder.

Sama seperti dalam kasus daerah datar cembung, konsep bidang referensi diperkenalkan untuk benda cembung. Yaitu pesawat melewati titik batas X benda K disebut poros di titik X ini jika semua titik benda terletak pada satu sisi bidang , yaitu di salah satu setengah ruang yang didefinisikannya. Setidaknya satu bidang referensi melewati setiap titik batas benda cembung. Sebuah vektor satuan yang tegak lurus terhadap bidang referensi dan diarahkan ke setengah ruang yang tidak mengandung titik-titik tubuh disebut normal keluar untuk bidang referensi ini.

Benda cembung V yang terdiri dari setengah garis yang berasal dari titik S disebut kerucut cembung; ini mengecualikan kasus ketika tubuh V bertepatan dengan seluruh ruang. Konsep kerucut cembung yang didefinisikan dengan cara ini mengandung sudut dihedral dan ruang setengah sebagai kasus khusus. Permukaan kerucut cembung juga biasa disebut sebagai kerucut cembung. Dalam dua kasus khusus ini, seseorang berbicara tentang degenerasi kerucut sebagai permukaan menjadi sudut atau bidang dihedral.

Setiap titik S dari batas benda cembung K secara alami terkait dengan kerucut tertentu V (S) yang dibentuk oleh setengah garis yang berasal dari titik S dan memotong benda K setidaknya satu titik berbeda dari S (Gbr. 11) .

Kerucut ini disebut kerucut singgung di titik S, dan permukaannya disebut kerucut singgung permukaan cembung yang membatasi benda.

Tergantung pada jenis kerucut singgung, titik-titik permukaan cembung dibagi menjadi kerucut, bergaris dan halus. Ini adalah titik X dari permukaan cembung yang disebut kerucut jika kerucut singgung V (X) tidak merosot pada titik ini. Jika kerucut singgung V (X) berdegenerasi menjadi sudut atau bidang dihedral, maka X masing-masing disebut titik bergaris atau halus. Titik-titik yang tidak mulus pada permukaan cembung dalam arti tertentu merupakan pengecualian. Yaitu, himpunan titik bergaris memiliki ukuran nol, dan himpunan titik kerucut paling banyak dapat dihitung.

Benda cembung non-sepele yang paling sederhana adalah politop cembung - persimpangan sejumlah ruang setengah yang terbatas. Permukaan polihedron cembung terdiri dari poligon datar cembung dan juga disebut polihedron cembung. Poligon yang membentuk permukaan polihedron disebut wajah polihedron, sisi-sisinya adalah tepi polihedron, dan simpulnya adalah simpul polihedron.

Dalam teori benda cembung, konsep lambung cembung memainkan peran penting. Lambung cembung dari suatu himpunan M adalah perpotongan dari semua setengah ruang yang berisi M. Oleh karena itu, ia adalah himpunan cembung dan, terlebih lagi, yang terkecil di antara semua himpunan cembung yang berisi M. Setiap polihedron cembung adalah lambung cembung dari simpulnya (hingga dan sangat jauh), dan karena itu ditentukan secara unik ...

Untuk barisan permukaan cembung, konsep konvergensi didefinisikan. Barisan permukaan cembung disebut konvergen ke permukaan cembung F jika sembarang himpunan terbuka G secara simultan memotong atau tidak memotong permukaan F dan semua permukaan pada ... Setiap permukaan cembung dapat direpresentasikan sebagai batas polihedra cembung atau permukaan cembung biasa.

Kumpulan tak hingga dari permukaan cembung memiliki sifat kekompakan yang penting, yaitu bahwa dari urutan permukaan cembung lengkap yang tidak menuju tak terhingga, barisan konvergen dengan batas dalam bentuk permukaan cembung, mungkin merosot (menjadi datar tertutup ganda domain , lurus, setengah garis atau segmen).

Kami mencatat properti yang sangat umum dari konvergensi bidang pendukung dari urutan konvergen permukaan cembung. Membiarkan - urutan permukaan cembung yang konvergen ke permukaan cembung F, - titik di permukaan dan adalah bidang referensi pada titik ini. Kemudian jika urutan titik konvergen ke titik X dari permukaan F, dan urutan bidang pendukung konvergen ke pesawat , maka bidang ini menopang permukaan F di titik X. Oleh karena itu, khususnya, jika barisan titik pada permukaan cembung F konvergen ke titik X dari permukaan ini, dan bidang pendukung dalam poin konvergen ke pesawat , maka bidang ini akan menjadi acuan di titik X.

2 kelengkungan

Misalkan G suatu daerah pada permukaan F. Kita akan menggambar di semua titik di daerah G semua bidang singgung (penopang) ke permukaan F dan kita akan menggambar dari pusat beberapa satuan bola jari-jari S yang diarahkan sejajar dengan garis normal luar ke pesawat pendukung ini. Himpunan titik pada bola S, yang dibentuk oleh ujung jari-jari yang ditarik dengan cara ini, disebut gambar bola dari daerah G. Luas gambar bola dari daerah G ini akan disebut kelengkungan luar dari wilayah ini (Gbr. 12).

Untuk bayangan sferis dari permukaan cembung, arah lintasan bayangan sferis pada permukaan tersebut bertepatan dengan arah lintasan bidang itu sendiri. Akibatnya, kelengkungan permukaan cembung selalu bilangan positif.

Ternyata kelengkungan ekstrinsik adalah fungsi aditif sepenuhnya pada permukaan cembung, yang ditentukan untuk semua set Borel.

Bukti teorema ini didasarkan pada dua proposisi berikut:

Bayangan bola dari suatu himpunan tertutup pada permukaan cembung adalah himpunan tertutup.

Himpunan titik-titik dari gambar bola dari permukaan cembung, yang masing-masing memiliki setidaknya dua gambar terbalik di permukaan, memiliki luas sama dengan nol.

Untuk kelengkungan luar permukaan cembung, teorema konvergensi berikut berlaku:

Jika barisan permukaan cembung konvergen ke permukaan cembung F dan barisan himpunan tertutup berbaring di permukaan konvergen ke himpunan tertutup M pada F, maka , di mana menunjukkan kelengkungan luar dari himpunan yang sesuai.

Biarkan urutan permukaan cembung konvergen ke permukaan cembung F, dan G adalah himpunan terbuka pada permukaan dan F, dan dan - penutupan set ini. Kemudian, jika himpunan konvergen ke , dan himpunan konvergen ke F-G, dan kelengkungan luar himpunan konvergen ke kelengkungan luar , maka kelengkungan luar konvergen ke kelengkungan luar G.

Jika X adalah titik kerucut dari permukaan F, maka bayangan bola itu sendiri membentuk seluruh wilayah pada bola S (Gbr. 13). Jika L adalah tepi permukaan yang tidak bujursangkar, maka bayangan bolanya juga mencakup seluruh daerah pada bola S (Gbr. 14).

Kelengkungan intrinsik didefinisikan sebagai fungsi dari himpunan pada permukaan, yaitu setiap himpunan M dari kelas himpunan tertentu dikaitkan dengan nomor - kelengkungan himpunan M. Sesuai dengan terminologi yang diadopsi dalam geometri diferensial, kita harus berbicara tentang kelengkungan internal total (atau integral), tetapi demi singkatnya kita akan menghilangkan kedua kata sifat ini, yang tidak akan mengarah ke kesalahpahaman, karena dalam satu kata "kelengkungan" kita tidak kita tidak akan menyebut yang lain.

Segitiga adalah bangun datar yang homeomorfik pada lingkaran dan dibatasi oleh tiga busur terpendek. Jalur terpendek itu sendiri disebut sisi, dan titik-titik di mana mereka bertemu berpasangan disebut simpul segitiga.

Kelengkungan internal didefinisikan pertama untuk himpunan dasar - titik, jalur terpendek terbuka dan segitiga terbuka - sebagai berikut.

Jika M adalah sebuah titik dan adalah total sudut di sekelilingnya di permukaan, maka kelengkungan internal M sama dengan.

Jika M adalah jalur terpendek terbuka, mis. jalur terpendek dengan ujung yang dikecualikan, maka.

Jika M adalah segitiga terbuka, mis. segitiga dengan sisi dan simpul dikecualikan, maka , di mana - sudut segitiga.

Untuk set seperti itu.

Dibuktikan bahwa kelengkungan internal dari himpunan elementer yang ditentukan dengan cara ini tidak bergantung pada cara himpunan tersebut direpresentasikan sebagai jumlah dari himpunan basis. Pembuktiannya berdasarkan teorema berikut.

Teorema: Biarkan P menjadi bagian dalam poligon geodesik dengan sudut dan karakteristik Euler ... Maka kelengkungan P sama dengan.

Jelas, kelengkungan intrinsik himpunan elementer pada permukaan cembung adalah fungsi aditif.

Sampai sekarang, kelengkungan intrinsik permukaan cembung telah didefinisikan hanya untuk himpunan elementer. Kami mendefinisikannya untuk himpunan tertutup sebagai batas bawah eksak untuk kelengkungan dalam dari himpunan elementer yang berisi himpunan tertutup yang diberikan. Akhirnya, untuk sembarang himpunan Borel, kita mendefinisikan kelengkungan intrinsik sebagai batas atas yang tepat pada kelengkungan intrinsik himpunan tertutup yang ada di dalamnya.

Ingatlah bahwa himpunan borel adalah himpunan yang diperoleh dari himpunan tertutup dan himpunan terbuka dengan menggunakan paling banyak kumpulan operasi gabungan dan irisan yang dapat dihitung. Jelas, gabungan dari himpunan Borel yang dapat dihitung akan menjadi himpunan Borel.

Fakta bahwa definisi kelengkungan intrinsik untuk himpunan tertutup dan, secara umum, Borel tidak bertentangan dengan definisi kelengkungan intrinsik yang diperkenalkan sebelumnya untuk himpunan elementer dijamin oleh teorema dasar berikut.

Teorema: Kelengkungan intrinsik setiap Borel yang dipasang pada permukaan cembung sama dengan kelengkungan ekstrinsiknya, mis. luas gambar bola.

3 Kelengkungan spesifik permukaan cembung

Setiap domain G pada permukaan cembung memiliki luas S (G) dan kelengkungan tertentu ... Sikap disebut kelengkungan spesifik domain G. Jika untuk semua domain G dibatasi oleh suatu konstanta, maka permukaan tersebut disebut permukaan kelengkungan terbatas.

Properti permukaan untuk memiliki kelengkungan spesifik yang terbatas dipertahankan ketika pergi ke batas. Itulah sebabnya teorema berikut terjadi.

Teorema: Jika barisan permukaan cembung dengan kelengkungan spesifik berbatas seragam konvergen ke permukaan F, maka permukaan ini adalah permukaan kelengkungan terbatas.

Pembuktiannya didasarkan pada teorema konvergensi area dan kelengkungan barisan permukaan cembung yang konvergen.

Kelengkungan spesifik permukaan cembung di titik X, mis. membatasi , ketika daerah G berkontraksi ke titik X, disebut kelengkungan Gaussian permukaan di titik ini. Sangat mudah untuk membuktikan bahwa jika kelengkungan Gaussian ada di setiap titik permukaan, maka itu kontinu.

Permukaan kelengkungan terbatas memiliki sejumlah sifat permukaan cembung beraturan. Secara khusus, dari setiap titik permukaan cembung dengan kelengkungan terbatas ke segala arah, Anda dapat menggambar jalur terpendek ke jarak yang hanya bergantung pada kelengkungan spesifik permukaan.

Keberadaan terpendek dari titik tertentu ke segala arah untuk panjang memungkinkan Anda memasukkan koordinat kutub di sekitar titik ini ... Selain itu, jika permukaan memiliki kelengkungan Gaussian yang pasti di setiap titik, maka metrik permukaan di lingkungan parameter dapat ditentukan oleh elemen linier , di mana koefisien G adalah fungsi kontinu yang dapat diturunkan dua kali terhadap r. Hubungan antara koefisien ini dan kelengkungan Gaussian dari permukaan ditentukan oleh rumus yang terkenal.

Jika kurva permukaan Gaussian konstan dan lebih besar dari nol, maka, seperti yang mudah dilihat, koefisien G, memenuhi persamaan , harus terlihat seperti.

Akibatnya, permukaan seperti itu secara lokal isometrik ke bola jari-jari.

Jika dalam segitiga pada permukaan cembung, kelengkungan spesifik , maka sudut-sudutnya tidak lebih kecil (tidak lebih) dari sudut-sudut yang bersesuaian pada segitiga tersebut dengan sisi yang sama pada bola berjari-jari.

Jika dalam segitiga pada permukaan cembung, kelengkungan spesifik , maka luas S segitiga ini tidak lebih kecil (tidak lebih) dari luas segitiga dengan sisi yang sama pada bola dengan jari-jari ... Selain itu, ada perkiraan:

jika dalam segitiga kelengkungan tertentu, dan

jika dalam segitiga kelengkungan tertentu.

Membiarkan dan - dua jalur terpendek keluar dari titik O pada permukaan cembung. Membiarkan dan - poin variabel aktif dan , , , dan - sudut dalam segitiga dengan sisi sisi yang berlawanan , pada bola radius ... Mereka mengatakan metrik permukaan memenuhi kondisi K-cembung, atau K-cembung jika untuk sembarang dan injeksi adalah fungsi tak naik di sembarang interval , dimana ada yang terpendek ... Mereka mengatakan metrik memenuhi kondisi cekung-K, atau cekung-K, jika adalah fungsi tak menurun terhadap dalam interval yang sama (Gbr. 15). Teorema berikut berlaku.

Teorema: Jika pada permukaan cembung kelengkungan spesifik , maka kondisi K-cembung (K-cekung) terpenuhi pada permukaan ini.

Titik permukaan cembung dapat terdiri dari tiga jenis: kerucut, di mana kerucut tangen tidak merosot dan, oleh karena itu, sudut totalnya lebih kecil , bergaris - dengan kerucut tangen merosot menjadi sudut dihedral, dan datar, di mana kerucut tangen merosot menjadi bidang. Jelas, tidak akan ada titik kerucut pada permukaan kelengkungan terbatas, karena pada titik-titik tersebut kelengkungan spesifik sama dengan tak terhingga. Titik bergaris juga bisa berada di permukaan dengan kelengkungan terbatas. Namun, teorema berikut berlaku.

Teorema: Jika pada permukaan cembung kelengkungan spesifik dari daerah yang cukup kecil yang mengandung titik A tidak melebihi bilangan konstan, maka titik A mulus atau tepi bujursangkar dari permukaan melewatinya.

Oleh karena itu, sebagai akibatnya, ternyata permukaan cembung tertutup dari kelengkungan terbatas adalah halus. Permukaan cembung lengkap tak terbatas dari kelengkungan terbatas, yang bukan silinder di bagian berhingga mana pun, adalah halus.

Jika suatu ruas garis lurus melalui titik A pada permukaan cembung, maka pada permukaan tersebut terdapat daerah-daerah kecil yang mengandung titik A dan memiliki kelengkungan spesifik yang kecil secara sembarang.

Akibatnya, jika kelengkungan spesifik permukaan cembung tertutup dalam batas positif untuk semua daerah di permukaan, maka permukaan seperti itu mulus.

4 Ketidakfleksibelan bola

Sepotong permukaan yang cukup kecil selalu dapat mengalami perubahan bentuknya, menjaga panjangnya. Ini tidak berlaku untuk permukaan secara keseluruhan. Sudah Mingding pada tahun 1838 mengajukan dugaan bahwa permukaan bola secara keseluruhan memiliki kekakuan. Tetapi hanya pada tahun 1899 Liebman memperkuat pernyataan ini. Karena, menurut teorema Gauss, ukuran kelengkungan tetap tidak berubah untuk pemetaan isometrik, teorema Liebmann dapat dirumuskan sebagai berikut: bola adalah satu-satunya permukaan tertutup dengan kelengkungan konstan.

Jika tidak ada persyaratan kebenaran yang membatasi diperkenalkan, maka pernyataan ini jelas salah. Memang, jika kita memotong segmennya dari bola dan mengganti segmen ini dengan bayangan cerminnya relatif terhadap bidang penampang, maka kita mendapatkan bola "kusut", yang, meskipun memiliki ukuran kelengkungan yang konstan, memiliki tepi. Kami selanjutnya akan berasumsi bahwa kita berhadapan dengan permukaan analitik yang benar di mana-mana.

Jika untuk garis parametrik permukaan kita mengambil garis kelengkungannya, maka dari rumus kelengkungan utama

memasukkannya terlebih dahulu dan kemudian kita mendapatkan:

. (1)

Untuk nilai timbal balik kita akan memiliki:

. (2)

Menggunakan rumus Codazzi dari formulir

dan rumus (2) kita peroleh, (3)

. (4)

Dalam membuktikan teorema Liebman, kita dapat mengasumsikan bahwa ... Memang, kasusnya dikecualikan karena permukaan ini memiliki generator bujursangkar dan, oleh karena itu, jelas merupakan permukaan yang tidak tertutup. Dengan cara yang sama, tidak mungkin ada permukaan tertutup, yang kelengkungannya di mana-mana negatif: ... Memang, pada titik tertinggi dari permukaan seperti itu, ukuran kelengkungan harus positif: ... Jadi, tetap hanya mempertimbangkan kasusnya , dan dalam hal ini, transformasi kesamaan selalu dapat dilakukan atau, setara,.

Jika di permukaan kita di mana-mana ada hubungan , maka semua titik permukaan adalah titik pembulatan dan, oleh karena itu, kami memiliki bola. Jika kita mengambil permukaan yang berbeda dari bola dan diperoleh dengan menekuk yang terakhir, maka pada permukaan seperti itu pasti ada titik-titik yang ... Kita dapat menganggap kedua besaran ini sebagai fungsi kontinu; karena permukaan tertutup, kedua kuantitas dan mencapai maksimum di permukaan. Salah satu dari maksima ini dalam hal apapun lebih besar dari 1. Biarkan, misalnya, kuantitas mencapai titik maksimum yang lebih besar dari 1. Kemudian, untuk beberapa lingkungan titik kita punya: , dan kuantitas pada intinya mencapai minimum. Karena bukan titik pembulatan, maka jaringan garis lengkung yang teratur ada di sekitarnya.

Berdasarkan relasinya alih-alih rumus (3) - (4) kita dapat menulis persamaan:

. (5)

Dengan mengintegrasikan mereka, kami mendapatkan:

. (6)

Karena elemen busur dari garis kelengkungan dan dinyatakan dengan rumus , maka kita punya , dan rumus (6) berdasarkan hubungan memberi: di sekitar titik.

Sejak pada titik besarnya mencapai maksimum, dan nilai - minimal, maka pada titik ini kondisi berikut harus terjadi:

Rumus (3) dan (4) kemudian akan memberi kita :. (7)

Mengganti ke dalam rumus Gauss

kita dapatkan untuk intinya:

Rumus kanan rumus ini negatif berdasarkan hubungan (7), sedangkan ruas kiri, menurut asumsi kita, adalah positif dan sama dengan 1. Jadi, asumsi bahwa permukaan kita bukan bola mengarah ke kontradiksi. Buktinya lengkap.

Hasil yang diperoleh juga dapat dirumuskan sebagai berikut: di dalam sepotong permukaan kelengkungan positif konstan untuk suatu titik yang bukan merupakan titik pembulatan, tidak ada jari-jari utama kelengkungan yang dapat memiliki nilai maksimum atau minimum.

Jika lubang kecil sewenang-wenang dipotong di permukaan bola, maka permukaannya bisa ditekuk.

5 Bola sebagai permukaan oval tunggal dengan kelengkungan rata-rata konstan

Teorema yang mirip dengan teorema sebelumnya juga berlaku jika kita mengharuskan kelengkungan rata-rata konstan di permukaan, bukan ukuran kelengkungan:

Teorema ini juga dibuktikan oleh Liebman. Permukaan cembung tertutup, yang akan kita asumsikan di mana-mana teratur dan analitik dan, terlebih lagi, memiliki ukuran kelengkungan positif di mana-mana, akan disebut permukaan oval. Kemudian teorema dapat dirumuskan sebagai berikut: bola adalah satu-satunya permukaan oval dengan kelengkungan rata-rata konstan.

Teorema ini dapat direduksi menjadi teorema sebelumnya menggunakan teknik yang ditunjukkan oleh Bonnet. Untuk melakukan ini, pertama-tama perlu untuk menetapkan proposisi berikut: di antara permukaan yang sejajar dengan beberapa permukaan dengan kelengkungan positif konstan, ada satu, yang kelengkungan rata-ratanya konstan, dan sebaliknya.

Membiarkan ada permukaan yang , biarkan saja memiliki kelengkungan rata-rata ... Memang, untuk garis kelengkungan permukaan

Garis kelengkungan permukaan , karena

Bukti pernyataan langsung sudah lengkap.

Mari kita buktikan proposisi kebalikannya, yaitu di antara permukaan-permukaan yang sejajar dengan suatu permukaan dengan kelengkungan rata-rata konstan, ada permukaan yang kelengkungan Gaussiannya konstan.

Kami memiliki permukaan oval, kelengkungan rata-rata yang memenuhi persamaan , sebuah adalah vektor satuan dari normalnya. Maka permukaannya sejajar dengan itu memiliki kelengkungan Gaussian ... Ini mengikuti dari alasan berikut. Untuk garis kelengkungan permukaan kita memiliki, menurut rumus Rodrigues:

Garis kelengkungan permukaan sesuai dengan garis kelengkungan permukaan , karena ... Jari-jari kelengkungan utama yang sesuai dihubungkan oleh relasi ... Oleh karena itu, berdasarkan rasio, kami memiliki:

Buktinya lengkap.

Teorema tentang kekakuan bola dapat diperluas dalam volume yang dipersempit ke permukaan oval yang sewenang-wenang. Kami juga berutang proliferasi ini kepada Liebman. Teorema tersebut berbunyi sebagai berikut: jika perubahan yang dialami permukaan oval harus kontinu dan isometrik, maka permukaan ini hanya dapat bergerak sebagai benda padat.

3. Permukaan pelana

1 Konsep dan sifat dasar

Permukaan pelana memiliki sifat yang berlawanan dengan permukaan cembung. Seperti permukaan cembung, mereka dapat didefinisikan secara geometris murni, dan dalam kasus biasa mereka memiliki karakteristik analitik sederhana - kelengkungan Gaussian non-positif.

Biarkan F menjadi permukaan yang ditentukan oleh perendaman manifold dua dimensi v ... Bidang P dikatakan memotong punuk dari F jika di antara komponen bayangan terbalik dari himpunan F \ P di ada komponen G dengan penutupan kompak. Bagian permukaan F yang sesuai dengan komponen G ini disebut punuk. Jelas punuk akan menjadi permukaan yang memiliki batas berbaring di pesawat P. Contoh humpback ditunjukkan pada Gambar. 16.

Permukaan F dalam disebut pelana jika tidak memungkinkan pemotongan punuk oleh bidang apa pun. Contoh permukaan sadel adalah hiperboloid satu lembar, paraboloid hiperbolik, permukaan beraturan, catenoid, dll.

Ini mengikuti dari definisi bahwa di antara permukaan pelana di tidak ada permukaan tertutup.

Definisi permukaan sadel tidak terhubung, seperti dalam kasus permukaan cembung, dengan persyaratan keteraturan apa pun. Ini memungkinkan Anda menjelajahi permukaan sadel yang tidak beraturan.

Teorema: Untuk permukaan kelas F v adalah titik pelana, perlu dan cukup bahwa pada setiap titik X dari permukaan F kelengkungan Gaussiannya K (X) adalah non-positif.

Bukti.

Membutuhkan. Biarkan F menjadi permukaan pelana. Misalkan pada titik kelengkungan Gaussian ... Kemudian beberapa lingkungan poin pada F terletak pada satu sisi bidang singgung T ke F di titik , dan urutan sadel sama dengan 0. Setiap bidang sejajar dengan T, cukup dekat dengan T dan terletak dengan di satu sisi T, memotong punuk dari F, yang tidak mungkin (Gbr. 17).

Oleh karena itu, di mana-mana di F.

Kecukupan. Membiarkan di mana-mana di F. Misalkan bidang P memotong dari F punuk dengan batas ... Tetapkan kompak dalam ... Oleh karena itu, kita dapat mengambil paraboloid P eliptik, dari mana P memotong punuk seperti itu bahwa terletak di antara dan P, dan - set kosong (Gbr. 18). Pertimbangkan keluarga paraboloid yang diperoleh dari kontraksi affine ke bidang P. Dalam keluarga ini ada paraboloid yang memiliki titik yang sama dengan , tetapi terletak di antara dan punuk dipotong dari oleh bidang P. Di titik permukaan F dan sentuh, dan semua kelengkungan normal F dan pada titik ini memiliki satu tanda. Oleh karena itu, pada titik kelengkungan Gaussian ... Ini bertentangan dengan kondisi teorema. Teorema terbukti.

Akibat wajar: Pada setiap punuk permukaan biasa, ada titik di mana kelengkungan Gaussian positif.

Sekarang kita beralih ke konstruksi di contoh permukaan lengkap kelengkungan Gaussian negatif, karakteristik Euler yang dapat mengambil nilai apa pun ... Selain itu, di antara contoh yang dibangun ada permukaan apa pun. Metode untuk membangun permukaan seperti itu ditunjukkan oleh J. Hadamard pada tahun 1898.

Perhatikan terlebih dahulu bahwa jika F adalah paraboloid hiperbolik, maka , dan jika F adalah hiperboloid satu lembar, maka ... Kami sekarang akan membangun permukaan F untuk itu.

Ambil dua hiperboloid satu lembar revolusi dan diberikan oleh persamaan

hiperboloid dan berpotongan di bidang Q: pada hiperbola. Biarkan permukaan diperoleh dari dan sebagai berikut: dari , ; dari potong bagian yang terletak di sudut dihedral , ; bagian yang tersisa direkatkan di sepanjang cabang hiperbola berbaring di setengah bidang atas bidang Q (Gbr. 19). Bersama permukaan memiliki tepi berbentuk pelana, dan di bawah bidang P: di cabang lain dari hiperbola - persimpangan sendiri.

Menghaluskan tepi permukaan ... Pesawat R: menyeberang di atas segmen sepanjang kurva diberikan oleh persamaan

(3)

Di atas segmen atur fungsinya

(4)

sehingga persamaan

(5)

Kemungkinan didefinisikan oleh persamaan (5). Pada interval atur fungsinya

(6)

Ini mengikuti dari persamaan (3) - (6) bahwa dan ... Sangat mudah untuk menghitungnya ... Di pita U: di pesawat kita mendefinisikan fungsi

. (7)

Grafiknya akan menjadi permukaan kelengkungan negatif, karena

. (8)

Di atas strip : permukaan bertepatan dengan hiperboloid , dan di atas strip : - dengan hiperboloid ... Oleh karena itu, mengganti bagian permukaan di atas strip U terletak di atas bidang P dekat permukaan , kita mendapatkan permukaannya , di setiap titik di mana kelengkungan Gaussian negatif. Permukaan F memiliki sifat Euler.

Jelas, dengan meningkatkan jumlah hiperboloid awal dan menghaluskan jumlah tepi yang berbeda, seseorang dapat memperoleh permukaan F dari karakteristik Euler apa pun. dan jenis apa pun dengan sejumlah titik di tak terhingga (Gbr. 20) Keteraturan smoothing dapat ditingkatkan ke kelas karena pendekatan berikutnya dengan fungsi rata-rata.

Untuk menghaluskan tepi datar permukaan sadel, sejumlah metode umum dikembangkan oleh E.R. Rosendorn. Pada tahun 1961 ia membangun sebuah contoh yang membantah hipotesis yang dianggap sangat masuk akal sampai saat itu setiap permukaan pelana lengkap di akan tidak terbatas. Membangun contoh seperti itu membutuhkan serangkaian perhitungan yang membosankan. Tanpa mereproduksinya di sini, kami akan memberikan skema yang agak rinci untuk membangun contoh E.R. Rosendorn.

Mari kita ambil urutan nomor dengan properti seperti ini:

(9)

Mari membangun sistem bola konsentris dengan jari-jari dan berpusat pada titik tetap O. Batas untuk bola S memiliki jari-jari R. Kami membangun di graf G yang terdiri dari segmen-segmen garis lurus dan memiliki sifat-sifat sebagai berikut:

) grafik G adalah homeomorfik untuk grafik - penutup universal sekelompok dua lingkaran;

) simpul peringkat grafik G terletak pada bola (kami berasumsi bahwa);

) setiap empat titik adalah ujung dari empat segmen yang keluar dari satu simpul menghitung , - akan menjadi simpul dari tetrahedron, di dalamnya terletak simpul ; tetrahedron, di mana titik itu terletak, teratur;

) panjang tautan peringkat apa pun grafik G, yaitu tautan yang menghubungkan simpul peringkat dengan peringkat simpul, lebih banyak ;

) graf G tidak memiliki perpotongan sendiri.

Graf G dapat dibangun. Perhatikan bahwa kondisi 4) menunjukkan bahwa sudut antara tautan peringkat dan jari-jari bola dipegang di ujungnya, cenderung , Kapan ... Ini mengikuti dari hubungan (9) bahwa panjang garis putus-putus titik penghubung dengan Oh, mencari ketika titik A pergi ke bola S, yaitu. grafik G lengkap sehubungan dengan metrik intrinsiknya. Grafik G, seolah-olah, adalah "kerangka" di mana permukaan pelana lengkap yang diperlukan akan dibangun. Permukaan ini terdiri dari bagian-bagian dari jenis yang sama. Mari kita jelaskan struktur detail seperti itu. Ambil tetrahedron T biasa dengan simpul di titik ... Kami menulis di T empat kerucut dengan simpul di titik , panduan yang akan menjadi lingkaran tertulis di wajah berlawanan dengan vertex ... Ayo ambil kerucut dan di sepanjang tulang rusuk kita menggambar bidang yang membagi dua sudut dihedral yang sesuai dari tetrahedron T. Bidang-bidang ini akan terputus dari sebagian dengan puncak pada suatu titik , dibatasi oleh tiga busur elips dengan ujung-ujung di tengah-tengah permukaannya (gbr. 21). Bagian , , kerucut , , ... Mari kita membangun permukaan.

Permukaan memiliki empat titik kerucut dan enam tepi pelana datar terletak di tepi permukaan ... Jika dari hapus poin dan tepi pelana datar yang halus, maka Anda dapat mempelajari permukaan pelana halus P, yang memiliki empat titik batas (Gbr. 22).

Sekarang di setiap tautan dari grafik G kami memperbaiki beberapa titik ... Empat poin berbaring di tautan memiliki simpul yang sama , akan menjadi simpul dari tetrahedron ... Membiarkan adalah transformasi affine yang mengubah T menjadi , sebuah ... Mari kita membangun "permukaan"

. (10)

(Sekelompok tidak akan menjadi permukaan, karena titik tidak punya homeomorfik lingkungan ke lingkaran.) Di lingkungan setiap titik perbaiki "permukaan" , mengganti beberapa bagian dari "permukaan" ini dengan sentuhan permukaan annular sadel ... Dengan melakukan semua perubahan tersebut, kita memperoleh permukaan pelana halus yang dibutuhkan F yang terletak di dalam bola S (Gbr. 23).

Konstruksi di atas dapat sedikit diubah dan diperoleh dalam permukaan pelana penuh kelas berbaring di dalam S, di mana kelengkungan Gaussian menghilang hanya pada kumpulan titik terisolasi yang dapat dihitung yang sesuai dengan pusat wajah tetrahedra.

Pada tahun 1915 S.N.Bernstein menyelidiki struktur permukaan sadel lengkap yang diberikan oleh persamaan atas seluruh pesawat.

Teorema 1: Biarkan permukaan F diberikan oleh persamaan

, (11)

di mana dan didefinisikan di seluruh pesawat ... Jika kelengkungan Gaussian K dari permukaan P adalah non-positif dan ada titik-titik di mana K<0, то

. (12)

Dalam pembuktian teorema ini, hanya bentuk pelana dari permukaan F yang benar-benar digunakan.Hal ini memungkinkan G.M. Adelson-Velsky untuk membuktikan generalisasi teorema S.N.Bernstein berikut.

Teorema 2: Biarkan permukaan pelana F masuk diberikan oleh persamaan , dimana fungsi kontinu didefinisikan di seluruh pesawat ... Lalu jika , maka F adalah permukaan silinder.

Selain itu, S.N. Bernstein memperoleh generalisasi Teorema 1 berikut ini.

Teorema 3: Jika permukaan F memenuhi kondisi Teorema 1, maka dimungkinkan untuk menunjukkan: ketidaksetaraan itu

tidak layak untuk semua orang , berapa pun nomor yang diberikan.

Sebagai penerapan Teorema 1, kami menyajikan teorema Bernstein pada permukaan minimal di ... Ingat bahwa permukaan minimum adalah permukaan di mana kelengkungan rata-rata berada.

Teorema 4: Jika permukaan minimal mengatur seluruh pesawat persamaan , maka F adalah bidang.

2 tabung pelana tak terbatas

Sejak di tidak ada permukaan sadel tertutup, maka pertanyaan tentang tak terbatasnya permukaan sadel lengkap direduksi untuk memperoleh kondisi yang cukup untuk tak terbatasnya tabung sadel di ... Fakta bahwa ada tabung pelana terbatas di , menunjukkan contoh E.R. Rosendorn.

Mari kita beralih ke kelas khusus tabung pelana - tanduk pelana. Yaitu, di bawah ini kita akan membuktikan teorema bahwa dalam setiap klakson pelana biasa T tidak terikat.Pembuktian hasil ini terbagi menjadi dua kasus, berbeda dalam cara pembuktiannya. Pertama, kami mempertimbangkan tanduk T seperti itu, di mana batas bawah tepat dari panjang sabuk dan kemudian tanduk yang ... Jika , maka tanduk T disebut tajam, dan jika, maka tidak tajam.

Teorema 5 (Yu.D. Burago): Jika T adalah tanduk pelana kelas v dan , maka klakson T tidak terbatas.

Teorema 6 (A.L. Werner): Sebuah pelana beraturan yang tajam (dari kelas ) tanduk T di tidak terbatas.

Untuk membuktikan teorema ini, kita membutuhkan lemma berikut.

Lemma 1: Sebuah titik tunggal A pada tanduk sadel tajam yang dibatasi T tidak dapat dipotong.

Lemma 2: Biarkan F menjadi permukaan lengkap atau tabung di diberikan oleh -perendaman f: ... Jika tampilan bola tidak terarah : F terhadap beberapa himpunan terbuka tak kosong G memiliki multiplisitas tidak lebih , maka himpunan semua titik batas untuk semua barisan divergen yang mungkin tidak padat di G, dan F tidak terbatas.

Bukti Teorema 6. Misalkan T terbatas pada ... Kemudian, berdasarkan Lemma 1, titik tunggal A dari tanduk T tidak terpotong, dan T A akan menjadi permukaan pelana dengan tepi L dan satu titik tunggal - titik A.

Kita dapat mengasumsikan bahwa tepi tanduk T akan menjadi kurva L, yang terdiri dari bilangan berhingga busur cembung planar , ... Kurva L seperti itu dapat dibangun dari busur cembung bagian normal tanduk T yang tidak berjalan dalam arah asimtotik. Untuk sembarang bidang P di atur P L memiliki paling banyak komponen, karena setiap himpunan P memiliki tidak lebih dari dua komponen.

Mari kita tunjukkan bahwa pemetaan memiliki multiplisitas yang terbatas.

Karena titik A tidak terpotong, maka batas setiap komponen G dari himpunan atau memiliki busur pada lingkaran = , dan oleh karena itu jumlah total komponen dalam dan untuk apa saja dan tidak lebih ... Secara khusus, ke titik O di set dan cocok tidak lebih dari komponen, yaitu titik A dapat dianggap pada T sebagai titik pelana di mana urutan seperti pelana paling banyak.

Kami memperbaiki beberapa arah ... Biarkan T terletak di antara bidang dan , ... Mari kita tunjukkan dengan jumlah komponen himpunan ... Jelas sekali, , sebuah ... Kami akan meningkatkan dari sebelum dan ikuti perubahannya ... Berarti bertambah 1 karena munculnya komponen baru setiap kali dukungan lokal ke L sehubungan dengan beberapa komponen , dan di sekitar komponen kurva L terletak di atas , yaitu pada titik minimum proyeksi kurva L ke ... Jumlah titik tersebut pada L dilambangkan dengan. Jelas sekali, .

Turunkan nilai terjadi di depan semua orang ketika pesawat menyentuh T, satu per satu untuk setiap titik singgung dan untuk , Kapan melewati titik A. Dalam kasus terakhir berkurang sebesar , di mana - jumlah komponen himpunan , di perbatasan di mana titik O terletak.

Jika melalui menyatakan jumlah titik di T, termasuk titik-titik di L, di mana bidang singgung ke T ortogonal, maka kita peroleh

Karena itu,

Berikut ini sudah aktif multiplisitas tidak lebih tinggi ... Berdasarkan Lemma 2, tanduk T harus tidak terikat. Kami mendapat kontradiksi. Teorema terbukti.

Teorema 5 dan 6 menyiratkan hasil umum pada tanduk pelana.

Teorema 7: Tanduk pelana beraturan tidak terbatas.

Teorema ini memungkinkan Anda untuk mempelajari secara rinci struktur eksternal tanduk pelana. Studi ini dilakukan oleh A.L. Verner.

Lemma 3: Meminimalkan Urutan Belt pada tanduk pelana biasa menyimpang ke dalam , yaitu tidak mengandung batasan apa pun urutan.

Lemma 4: Biarkan T menjadi klakson pelana biasa di , - meminimalkan urutan sabuk pada T dan A - setiap titik tetap di ... Jika titik , maka setiap urutan segmen konvergen ke beberapa sinar di .

Lemma 5: Klakson pelana biasa tampak penuh di dalam , yaitu setiap urutan titik divergen pada tanduk divergen di.

Lemma 6: Biarkan klakson T menjadi memenuhi syarat yang dirumuskan di atas. Jika kurva cembung - Pinggiran , maka T terletak di dalam silinder C dengan pemandu dan generator sejajar dengan balok.

Teorema 8: Biarkan T menjadi klakson pelana beraturan di ... Kemudian untuk sembarang titik A dan sembarang barisan titik divergen oleh T, segmen konvergen ke sinar tertentu - arah tanduk T. Tanduk T terletak di dalam silinder tertutup, yang generasinya sejajar dengan sinar.

Teorema 9: Biarkan T menjadi klakson pelana beraturan di ... Lalu jika putaran klakson , maka himpunan akan menjadi lingkaran lingkaran besar pada unit sphere , bidang yang tegak lurus terhadap arah tanduk T. Jika lalu atau , atau akan menjadi busur pada , tidak kurang dari setengah lingkaran.

Catatan: Contoh permukaan lengkap F dari kelengkungan negatif dengan tanduk yang: diberikan dalam koordinat silinder persamaan menunjukkan bahwa mungkin setengah lingkaran (gbr. 24). Permukaan F memiliki gambar bola univalen. Perhatikan juga bahwa jika , maka sabuk datar di T memiliki persimpangan sendiri.

3.3 Masalah Dataran Tinggi

Masalah Plateau dirumuskan sebagai berikut: Diberikan kurva tertutup. Diperlukan untuk menggambar permukaan dengan luas minimum melalui permukaan melengkung ini. Pada permukaan yang dicari, relasi ... persamaan adalah persamaan diferensial ekstrem dari masalah variasi kita. Permukaan dengan kelengkungan rata-rata nol yang identik, karena merupakan solusi untuk masalah minimal Plato, disebut permukaan minimal. Penelitian yang berkaitan dengan permukaan minimal telah dilakukan oleh Lagrange, Monge, Riemann, Weierstrass, Schwarz, Beltrami, Lee dan Ribaucourt. Jika sebelumnya kita membatasi diri kita hanya pada permukaan analitik, maka definisi permukaan minimal dapat dengan mudah direduksi untuk menemukan kurva isotropik. Kami memperkenalkan pada beberapa permukaan melengkung dua keluarga kurva isotropik yang: , sebagai garis parametrik. Akan memiliki , dan untuk kelengkungan rata-rata kita mendapatkan:

Jika , maka hubungan tersebut harus terjadi ... Membedakan rasio , pada dan , kita akan mendapatkan dan ... Mengingat kesetaraan , di mana adalah vektor normal satuan, kita memiliki: independen linier. Oleh karena itu berikut ini menghilang secara identik. Kami memiliki, oleh karena itu, ... Berdasarkan persamaan tersebut, diperoleh .

Hasil yang ditemukan dapat dinyatakan sebagai berikut: permukaan minimal adalah permukaan geser yang dipandu oleh kurva isotropik. Jadi, integrasi persamaan diferensial direduksi menjadi penentuan kurva isotropik.

4 Permukaan sadel penuh dengan gambar bulat satu-ke-satu

Jika permukaan berorientasi reguler F in memiliki pemetaan bola topologi lokal , maka kelengkungan Gaussian K pada F tidak berubah tanda. Atas dasar ini, A.L. Verner mengusulkan klasifikasi permukaan sadel univalen bola berikut.

Kita akan menganggap bahwa permukaan F lengkap. Kemudian, jika K , maka F adalah permukaan cembung, dan oleh karena itu satu-ke-satu. Jika K , maka F dapat memiliki karakteristik Euler apa pun.

Pertimbangkan reguler lengkap (dari kelas ) permukaan pelana dengan pemetaan bola satu-ke-satu. Kelas permukaan tersebut dilambangkan dengan E. Permukaan kelas ini disebut permukaan pelana univalen bola.

Bersama dengan permukaan cembung lengkap, permukaan pelana univalen sferis membentuk kelas permukaan lengkap dengan pemetaan sferis satu-ke-satu.

Lemma 1: Tidak ada dua geodesik tertutup sederhana yang terputus-putus pada permukaan sadel univalen bola.

Kami akan menganggap bahwa permukaan didefinisikan dalam perendaman f: ... Karena F dan W adalah homeomorfik ke domain , maka F dan W memiliki genus nol. Oleh karena itu, kita dapat mengasumsikan bahwa W akan menjadi bola dari mana sejumlah poin terbatas telah dihapus - poin di tak terhingga dari W. Selain itu, , karena ... Poin juga akan disebut titik yang jauh tak terhingga dari permukaan F. Setiap titik yang jauh tak terhingga ke F sesuai dengan tabung memiliki titik jauhnya yang tak terhingga. Sebuah tabung bisa berupa tanduk atau mangkuk. Oleh karena itu, tentang setiap titik yang jauh tak terhingga kami mengatakan bahwa itu sesuai dengan tanduk atau mangkuk di F. Tabung di F dianggap setara jika mereka memiliki titik yang sama di tak terhingga, dan tidak setara sebaliknya.

Pinggiran gambar bulat permukaan F memiliki jumlah komponen yang sama , , berapa banyak titik di tak hingga yang berada di dekat permukaan F. Kita asumsikan komponen sesuai dengan titik , yaitu adalah satu set untuk tabung dengan titik jauh tak terhingga , dan panggil gambar bola dari titik yang jauh tak terhingga.

Mari kita asumsikan bahwa intinya cocok dengan tanduknya ... Kemudian himpunan akan menjadi lingkaran besar di , Kapan memiliki rotasi bukan nol , atau busur lingkaran besar, tidak kurang dari setengah lingkaran, bila.

Sejak himpunan berpasangan tidak memiliki titik yang sama, maka dari apa yang dikatakan di atas dan sifat-sifat gambar bola geodesik itu mengikuti

Lemma 2: Di permukaan bisa ada paling banyak satu titik di tak terhingga yang sesuai dengan tanduk rotasi bukan nol. Jika ada titik seperti itu, maka sisa titik di tak hingga permukaan F sesuai dengan cangkir dan tidak ada geodesik tertutup sederhana di F.

Pertimbangkan kasus yang dapat diterima untuk F dalam hal kemungkinan jumlah tanduk atau mangkuk yang tidak setara pada F.

)... Permukaan F adalah homeomorfik , memiliki satu titik di tak terhingga , dan titik ini sesuai dengan mangkuk. Contohnya adalah paraboloid hiperbolik (Gbr. 25).

2) ... Permukaan F adalah homeomorfik ke silinder dan memiliki dua titik di tak terhingga dan ... Mangkuk sesuai dengan setidaknya salah satu dari mereka. Oleh karena itu, kasus seperti itu dimungkinkan:

a) Setiap titik yang jauh tak terhingga dan mangkuk sesuai, misalnya: hiperboloid satu lembar (Gbr. 26);

b) Satu titik di tak terhingga, katakan satu titik , sesuai dengan tanduk rotasi bukan nol, dan ke titik - mangkuk. Contoh: permukaan F: ... Pada kasus ini - lingkaran besar aktif , dan oleh karena itu terletak pada satu belahan, terbatas.

c) Titik sesuai dengan tanduk rotasi nol, dan ke titik - mangkuk. Contoh: permukaan didefinisikan oleh persamaan ... Permukaan dari tipe yang dipertimbangkan selalu memiliki persimpangan sendiri.

) ... Harus ada mangkuk di permukaan F. Tetapi tidak ada dua mangkuk yang setara di F. Berdasarkan Lemma 2, F juga tidak dapat memiliki tanduk rotasi bukan nol, karena F memiliki siklus geodesik homotopik ke sabuk mangkuk F. Akibatnya, dalam kasus yang dipertimbangkan, satu titik di tak terhingga permukaan F sesuai dengan mangkuk, dan dua lainnya sesuai dengan tanduk rotasi bukan nol.

) ... Jika F memiliki setidaknya satu mangkuk, maka F akan memiliki dua siklus geodesik yang terputus-putus: salah satunya akan homotopik dengan sabuk pada mangkuk ini, dan yang lainnya akan memisahkan satu pasang titik di tak terhingga dari yang lain di F. Hal ini tidak mungkin dilakukan oleh Lemma 1. Oleh karena itu, tidak ada mangkuk di F, dan oleh Lemma 2, semua tanduk hanya dapat memiliki putaran nol. Fakta bahwa permukaan seperti itu tidak ada dibuktikan oleh P.Sh. Rechevsky dan S.Z. Shefele.

Jadi permukaan hanya dapat dimiliki oleh salah satu dari lima subkelas yang terdaftar: 1), 2a), b), c) dan 3), dan sejauh ini tidak ada contoh permukaan dari subkelas 3) yang ditemukan.

Di antara permukaan subkelas ini, sifat yang paling sederhana dan jelas secara geometris adalah yang memiliki tanduk rotasi bukan nol, mis. permukaan subkelas 2b). Pertimbangkan permukaan seperti itu.

Teorema: Biarkan F menjadi permukaan pelana univalen bola dengan tanduk dengan rotasi bukan nol. Jika - Koordinat kartesius dalam dan sumbu memiliki arah tanduk dari permukaan F, maka dalam koordinat ini F dapat diberikan oleh persamaan , dan domain dari fungsi - proyeksi F ke bidang P: - akan ada area , di mana M adalah himpunan cembung tertutup terbatas pada P yang bersesuaian dengan titik terompet di tak hingga permukaan F.

Bukti. Kami akan menganggap bahwa F diberikan oleh perendaman , dan , dot sesuai dengan tanduk, dan titik - di atas permukaan F. Gambar bulat titik jauh tak terhingga tanduk akan menjadi ekuator di bola ... Kita asumsikan F berorientasi sedemikian rupa sehingga bayangan bolanya terletak di belahan atas bola .

Biarkan bidang Q sejajar dengan sumbu z, dan (Q) adalah gambaran awal penuh dari himpunan F Q di W. Bidang Q tidak dapat bersinggungan dengan F. Oleh karena itu, komponen himpunan (Q) tidak memiliki titik cabang. Tidak ada kurva tertutup di antara komponen-komponen ini, karena gambar komponen tersebut pada F akan memiliki garis singgung vertikal, dan kemudian F akan memiliki bidang singgung vertikal (yaitu, sejajar dengan sumbu z), yang tidak mungkin. Oleh karena itu, komponen (Q) hanya ada busur sederhana dengan ujung di titik dan ... Gambar komponen-komponen ini pada F adalah kurva terbuka sederhana yang lengkap terhadap F. Mereka tidak memiliki garis singgung vertikal, dan oleh karena itu setiap kurva tersebut diproyeksikan secara unik ke P.

Membiarkan - komponen (Q). Ini mengikuti dari sifat-sifat tanduk pelana (Teorema 8, Bagian 2.2) bahwa tidak dapat memiliki kedua ujungnya di , oleh karena itu, dua kasus dimungkinkan.

a) Kedua ujungnya berbohong pada intinya ... Kemudian proyeksi akan ada garis lurus di P, karena panjang s tidak terbatas di kedua arah, dan garis singgung s membentuk sudut dengan P yang tidak lebih besar dari beberapa.

b) busur pergi dari titik ke titik ... Dalam hal ini, dalam satu arah s menuju klakson, dan oleh karena itu proyeksinya ke P dari sisi ini dibatasi, dan dalam arah yang berlawanan, proyeksi s ke P sekali lagi tidak terbatas, yaitu. dalam hal ini proyeksi s ke P akan menjadi sinar.

Sekarang kita akan memotong F dengan bidang P ( ): z = ... Di antara bidang-bidang seperti itu, mungkin hanya satu yang bersinggungan dengan F. Oleh karena itu, ada seperti untuk apa di set , di mana , komponen tidak memiliki titik cabang dan salah satu komponen akan menjadi siklus di mana titik terletak (Teorema 8, bagian 2.2). Pada gambar F dari siklus akan ada sabuk memotong klakson T dari F ... Karena F tidak mengizinkan pemotongan punuk, hanya satu komponen di bisa menjadi lingkaran. Sejak klakson T berjalan ke arah sumbu z, lalu ke dalam tidak ada komponen lain dari set ... Biarkan kurva cembung tertutup , dan C - silinder cembung dengan pemandu G dan generator sejajar sumbu z. Tanduk T terletak di dalam C ... Mari kita tunjukkan dengan bagian permukaan F yang terletak di luar C.

Dari sifat-sifat proyeksi kurva di atas pada P itu dengan mudah mengikuti bahwa proyeksi bagian pada p akan ada satu set P \ .

Pertimbangkan sekarang set ... Membiarkan adalah prototipe di W. Set kompak di W. Oleh karena itu, hanya siklus yang dapat menjadi komponennya. Gambar dari siklus ini pada F tidak dapat memiliki garis singgung vertikal, dan karena itu semua kurva dari memiliki poin di dalam , yaitu gambar mereka akan menjadi sabuk di F. If memiliki lebih dari satu komponen, maka pada F akan ada daerah melingkar seperti U, yang batasnya terdiri dari dua kurva tertutup yang terletak di C ... Jelas, U terletak di dalam C , karena U tidak mengizinkan pemotongan punuk. Membiarkan - proyeksi U ke P ... Ambil titik X yang terletak pada batas himpunan tapi tidak di G , dan tarik garis lurus melalui X sejajar dengan sumbu z. Lurus akan bersinggungan dengan F, dan oleh karena itu ada bidang singgung vertikal di U sedemikian rupa sehingga p

Setiap generatrix silinder C menyeberang , dan karenanya F, pada jumlah titik yang sama. Angka ini (kami menyatakannya dengan ) sama dengan jumlah putaran sekitar silinder. Ini akan sama untuk setiap silinder C, di dalamnya terletak C , dan karena itu sama untuk semua orang ketika .

Loop halus dan adalah homotopik di W, dan terletak di dalam ... Membiarkan - area tertutup di W antara dan , dan D adalah bayangannya pada F. Himpunan D dapat dibagi menjadi beberapa bagian yang berhingga , yang masing-masing diproyeksikan secara unik ke ... Hubungkan di dalam kurva dan keluarga kurva mulus satu parameter , di mana , , , dan di kurva konvergen ke bersama dengan garis singgung. Lintas menunjukkan gambar kurva pada F.

Membiarkan dan - proyeksi dan pada p ... busur kurva berbaring di dalam , tidak memiliki persimpangan sendiri. Oleh karena itu, untuk lintasan kurva yang konsisten rotasi bidang kurva tangen semuanya sama dan sama dengan rotasi bidang singgung kurva , yaitu sama dengan ... Dan kemudian kurva datar rotasi bidang normal luar juga sama dengan ... Tapi normal untuk adalah proyeksi ke P normal ke F pada titik-titik yang bersesuaian pada kurva ... Karena bayangan bulat dari kurva akan ada kurva Jordan , untuk cukup besar sedekat mungkin dengan khatulistiwa , maka rotasi medan normal menjadi sama dengan +1, yaitu ... Ini berarti bahwa F adalah proyeksi satu-satu ke P.

Dengan proyeksi F ke P atau, yang sama, di P akan ada daerah seperti itu bahwa himpunan tertutup akan hanya terhubung dan terbatas. Himpunan M akan cembung. Jika tidak, adalah mungkin untuk memotong dari F oleh bidang vertikal Q bagian U dibatasi oleh kurva bidang L, bayangan di W memiliki kedua ujung di titik , yang tidak mungkin, seperti yang dibuktikan di atas. Jadi M cembung. Teorema terbukti.

Kesimpulan

Dalam makalah ini, saya mempertimbangkan aspek teoritis yang terkait dengan permukaan dengan tipe titik konstan, khususnya, masalah yang berkaitan dengan permukaan cembung dan pelana. Saya berkenalan dengan klasifikasi titik-titik permukaan biasa, dengan beberapa sifat geometri eksternal permukaan cembung dan pelana, mempertimbangkan hubungan permukaan dengan tipe titik konstan dengan teori gambar bola dan teori kelengkungan.

Materi karya dapat digunakan oleh siswa dalam memperoleh pendidikan profesional yang lebih tinggi, serta oleh guru untuk melakukan sesi pelatihan.

Bibliografi

Alexandrov A.D. Geometri internal permukaan cembung. - M.: OGIZ, 1948.

Bakelman I.Ya., Werner A., ​​L., Kantor B.E. Pengantar geometri diferensial "dalam besar". - M.: Nauka, 1973.

Blaschke V. Geometri diferensial. - M.: ONTI, 1935.

Verner A.L. Pada geometri eksterior permukaan lengkap paling sederhana dari kelengkungan non-positif. -M., 1968.

A.A. Dubrovin Keteraturan permukaan cembung dengan metrik reguler dalam ruang kelengkungan konstan. - Inggris, 1965.

Dubrovin B.A., Novikov S.P., Fomenko A.T. Geometri modern. - M.: Sains, 1979.

Efimov N.V. Munculnya singularitas pada permukaan kelengkungan negatif. -M., 1964.

Cohn-Vossen S.E. Kelenturan permukaan "secara keseluruhan". - M.: UMN, 1936.

Mishchenko A.S., Fomenko A.T. Kursus singkat dalam geometri diferensial dan topologi. - M.: FIZMALIT, 2004.

Norden A.P. Teori permukaan. - M.: Gostekhizdat, 1956.

A.V. Pogorelov Geometri eksternal permukaan cembung. - M.: Sains

A.V. Pogorelov Pembengkokan permukaan cembung. - M.: Gostekhizdat

Poznyak E.G., Shikin E.V. Geometri Diferensial: Kenalan Pertama. Ed. 2, dikoreksi. dan tambahkan. - M.: Editorial URSS, 2003.

Rashevsky P.K. mata kuliah geometri diferensial. - M .: Gostekhizdat, 1956.Kelengkungan pelana bola permukaan

Rosendorn E.R. Permukaan lengkap kelengkungan negatif dalam ruang Euclidean. -M., 1962.

Http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00015/74000.htm

Bimbingan Belajar

Butuh bantuan untuk menjelajahi topik?

Pakar kami akan memberi saran atau memberikan layanan bimbingan belajar tentang topik yang Anda minati.
Kirim permintaan dengan indikasi topik sekarang untuk mencari tahu tentang kemungkinan mendapatkan konsultasi.

Invensi ini memberikan kandungan informasi yang tinggi dengan meningkatkan bidang sudut sambil meningkatkan kualitas gambar monokromatik. Inti dari penemuan: perangkat berisi filter interferensi yang terletak di sepanjang sinar, memproyeksikan lensa yang mengandung komponen cermin cembung dan cekung konsentris, dan sistem perekaman yang mengandung elemen serat optik yang terhubung ke satu atau sekelompok fotodetektor. Komponen cembung lensa dibuat dalam bentuk belahan cermin dengan zona transparan annular yang diterapkan pada permukaan luar bola transparan berongga. Komponen cekung dibuat dalam bentuk belahan dengan lubang masuk pusat dan perifer dengan diameter yang sama. Jumlah zona transparan annular pada komponen cembung sama dengan jumlah bukaan inlet yang terletak berlawanan dari komponen cekung dan, karenanya, sama dengan jumlah filter interferensi yang dipasang di depan bukaan inlet. Filter terletak di permukaan meniskus konsentris. Pusat kelengkungan permukaan optik masing-masing meniskus sejajar dengan pusat pupil masuk yang sesuai. 7 sakit.

Invensi ini berkaitan dengan bidang instrumentasi optik dan optoelektronik, khususnya perangkat penginderaan jauh yang dirancang, khususnya, untuk memperoleh gambar monokromatik dari lapisan atas atmosfer saat melakukan studi proses magnetosfer-ionosfer yang ditampilkan dalam aurora. Baru-baru ini, dalam penginderaan jauh, berbagai jenis perangkat optik dan optoelektronik telah digunakan, yang memiliki dua kelemahan signifikan. Salah satu kelemahan ini adalah kecilnya nilai medan sudut dalam ruang benda. Kelemahan signifikan lainnya adalah kemampuan penyaringan spektral rendah, yang mengurangi kualitas gambar monokromatik yang terbentuk. Dari perangkat yang diketahui, esensi teknis yang paling dekat dengan penemuan ini adalah perangkat untuk membangun gambar monokromatik, yang dirancang untuk mempelajari aurora (emisi aurora) dari pesawat ruang angkasa Viking. Perangkat ini dipilih sebagai prototipe dan terdiri dari filter interferensi yang terletak di sepanjang jalur pancaran pada substrat bidang-paralel, lensa proyeksi yang berisi dua komponen optik konsentris berupa cermin cembung dan cermin cekung, pusat kelengkungan bersama yang disejajarkan dengan pusat pupil masuk, dan sistem perekaman yang termasuk seri yang terletak pelat saluran mikro dan elemen serat optik yang terhubung ke matriks CCD dua dimensi. Perangkat semacam itu, yang dimaksudkan untuk digunakan di wilayah spektrum ultraviolet, membentuk gambar yang terletak pada bola yang konsentris dengan pusat kelengkungan cermin yang sama dan memiliki jari-jari yang kira-kira sama dengan panjang fokus lensa proyeksi. Kerugian dari perangkat ini adalah bidang sudut kecil, serta ketidakmungkinan mendapatkan gambar monokromatik (dengan pita 15-30) dari atmosfer atas dalam batas-batas oval aurora. Secara khusus, kelemahan terakhir ini disebabkan oleh fakta bahwa filter interferensi datar yang dipasang pada input sistem optik ini pada sudut kerja bidang pandang 25 o secara nyata memperburuk karakteristiknya untuk berkas sinar miring yang miring. sebesar 12,5 o terhadap sumbu sistem. Dalam hal ini, bandwidth spektral dari filter interferensi secara signifikan meningkatkan bandwidth spektral, dan untuk berkas sinar miring, transmisi maksimum filter digeser ke daerah panjang gelombang pendek dari spektrum sehubungan dengan posisi spektral maksimum. , yang sesuai dengan insiden balok aksial pada filter interferensi datar secara normal, yaitu sepanjang sumbu optik sistem. Kedua kekurangan tersebut tidak memungkinkan tingginya kandungan informasi dalam penginderaan jauh. Tujuan dari penemuan ini adalah untuk meningkatkan kandungan informasi perangkat penginderaan jauh yang membangun gambar monokromatik. Hasil teknis dari masalah yang dipecahkan adalah meningkatkan bidang sudut dengan peningkatan kualitas gambar monokromatik secara simultan. Hasil teknis ini dicapai dengan fakta bahwa dalam perangkat yang diusulkan untuk membangun gambar monokromatik, terdiri dari filter interferensi yang terletak di sepanjang jalur pancaran, lensa proyeksi yang mengandung komponen cermin cembung dan cekung konsentris, dan dari sistem perekaman yang digabungkan secara optik ke lensa, mengandung elemen serat optik, terhubung ke satu atau sekelompok fotodetektor, komponen lensa cembung dibuat dalam bentuk belahan cermin yang diterapkan pada permukaan luar bola transparan berongga dengan zona transparan annular, diameter dalam yang masing-masing sama dengan diameter pupil masuk D, dan D n luar ditentukan dari rasio

Selain itu, tempat geometris pusatnya adalah lingkaran dengan langkah sudut pusat lubang ini, ditentukan dari hubungan

Dalam hal ini, jumlah zona transparan annular pada komponen cembung sama dengan jumlah lubang input yang terletak berlawanan dari komponen cekung dan, karenanya, sama dengan jumlah filter interferensi yang dipasang di depan lubang input, dibuat bulat pada substrat dalam bentuk meniskus konsentris, pusat kelengkungan umum dari permukaan optik masing-masing sejajar dengan pusat pupil masuk yang sesuai. Dalam perangkat yang diklaim, filter interferensi bola dapat diterapkan baik pada permukaan cembung atau cekung dari meniskus konsentris, yang fungsinya tidak hanya berfungsi sebagai substrat untuk filter semacam itu, tetapi juga untuk memperbaiki penyimpangan bola. dari lensa proyeksi. Fungsi serupa pada perangkat yang diusulkan dilakukan oleh bola transparan berongga, yang berfungsi sebagai substrat untuk belahan cermin komponen lensa cembung dan pada saat yang sama mengkompensasi distorsi aberasi dari gambar monokromatik yang terbentuk pada yang terakhir, dekat- permukaan optik fokus lensa proyeksi. Dalam hal ini, filter interferensi bola diterapkan ke salah satu permukaan meniskus konsentris, konsentris ke pusat pupil masuk, mempertahankan karakteristiknya (bandwidth dan posisi spektral maksimum transmisi) untuk aksial dan off-sumbu (miring). ) berkas sinar. Keadaan terakhir mengarah pada peningkatan yang signifikan dalam kemampuan penyaringan spektral perangkat. Untuk melindungi filter interferensi dari pengaruh atmosfer dan mekanis yang berbahaya, dimungkinkan, tanpa memperburuk kualitas gambar yang terbentuk, untuk melakukan meniskus konsentris dalam bentuk doublet, yaitu dalam bentuk dua elemen optik konsentris yang dipisahkan oleh a celah udara tipis. Dalam hal ini, ketebalan total kedua elemen optik konsentris sama dengan ketebalan meniskus konsentris asli. Dalam hal ini, filter interferensi dapat ditempatkan di dalam doublet pada salah satu permukaan bola elemen optik konsentris yang membentuk doublet ini. Dalam komponen cembung, area transparan yang mengelilingi lingkaran cermin dan membentuk zona transparan annular di sekitarnya dimaksudkan untuk melewati bola transparan berongga dari sinar yang sebelumnya dipantulkan dari komponen cermin cekung, dan lubang masuk di komponen cekung. , dengan meniskus konsentris dipasang di depannya, dimaksudkan untuk masuknya sinar ke dalam lensa. Penjajaran pusat kelengkungan umum permukaan masing-masing meniskus konsentris ini dengan pusat pupil masuk, mis. dengan pusat lingkaran cermin yang sesuai dari komponen cembung, memungkinkan meminimalkan pelindung bagian tengah pupil masuk, dan, akibatnya, meningkatkan bukaan efektif lensa proyeksi. Pada perangkat yang diusulkan, elemen serat optik dipasang di belakang bola berongga transparan. Pada saat yang sama, di perangkat yang diklaim, lensa proyeksi membentuk gambar objek yang jauh tak terhingga di dekat permukaan optik terakhir lensa, pada permukaan input elemen serat optik, yang dibuat dalam bentuk cekung. belahan bumi dengan radius dekat besarnya dengan panjang fokus lensa f. " permukaan input elemen serat optik dikaitkan dengan penyediaan koreksi aberasi (khususnya, dengan kompensasi kelengkungan permukaan gambar), yang pada gilirannya memungkinkan untuk meningkatkan bidang sudut perangkat secara keseluruhan tabung televisi transmisi vakum, atau area fotosensitif dari bekas sinyal video solid-state, misalnya, area gambar dua -matriks CCD dimensi. Perangkat yang diusulkan dapat diklasifikasikan sebagai sistem optik dengan medan sudut yang disintesis, dan ini berarti bahwa medan sudut total adalah jumlah dari medan sudut dari bagian-bagian penyusun lensa proyeksi, yang dibuat secara keseluruhan secara struktural. Akibatnya, pada keluaran sistem, salah satu fotodetektor dengan area penerima besar (atau fotokatoda) dapat digunakan, atau sekelompok fotodetektor di mana dimensi setiap area sensitif (setiap fotokatoda) ditentukan oleh medan sudut. dari bagian penyusun lensa, dan total luas permukaan semua area sensitif (fotokatoda ) akan sesuai dengan total medan sudut sistem optik secara keseluruhan. Bidang sudut yang disintesis dari sistem optik yang diusulkan menentukan nilai maksimum yang diizinkan dari masing-masing bidang sudut 2w dari bagian komponen lensa proyeksi, dan

ARA. 2 adalah diagram susunan meniskus konsentris dengan filter interferensi bola yang diterapkan;

ARA. 3 adalah diagram letak lubang masuk pada komponen lensa cermin cekung;

ARA. 4 adalah diagram susunan lingkaran cermin dan zona transparan berbentuk lingkaran yang terbentuk di sekitar masing-masing lingkaran ini pada komponen cermin cembung lensa;

ARA. 5 adalah diagram optik perangkat dengan jalur sinar di bagian utama;

ARA. 6 - tabel dengan parameter desain varian perangkat;

ARA. 7 - grafik penyimpangan sisa lensa sistem. Perangkat untuk membangun gambar monokromatik (Gbr. 1) berisi filter interferensi bola yang ditempatkan secara berurutan 1 yang diterapkan pada substrat dalam bentuk meniskus konsentris 2, memproyeksikan lensa, yang memiliki komponen cermin cembung dan cekung konsentris 3 dan 4, serta sebagai bola transparan berongga 5 dengan diterapkan di atasnya dengan cermin cembung komponen 3, dan sistem perekaman yang terdiri dari elemen serat optik 6 dan sekelompok fotodetektor 7. Komponen cekung 4 dibuat berupa belahan bumi dengan pusat dan lubang periferal 8 (Gbr. 3), di seberangnya, pada komponen cembung 3, lingkaran cermin 9, yang merupakan elemen reflektif cembung, di sekelilingnya terdapat zona transparan tumpang tindih annular 10 (Gbr. 4). Perangkat untuk membuat gambar monokromatik berfungsi sebagai berikut. Berkas sinar paralel dari suatu objek memasuki sistem optik melalui lubang 8, di depannya masing-masing filter interferensi bola 1 ditempatkan pada substrat dalam bentuk meniskus konsentris 2, melewati mana berkas sinar jatuh pada cembung elemen reflektif, yaitu lingkaran cermin 9 dari komponen cembung 3, permukaan cermin yang diterapkan pada permukaan luar bola transparan berongga 5. Setelah refleksi dari lingkaran cermin 9, berkas sinar yang dipertimbangkan selanjutnya dipantulkan dari permukaan cermin cekung komponen 4, setelah itu berkas-berkas ini melewati zona transparan annular 10 pada bola transparan berongga 5, melewati mana berkas sinar ini membentuk gambar objek pada permukaan input cekung dari elemen serat optik 6, mentransmisikan gambar ini ke daerah peka cahaya dari kelompok kerja fotodetektor 7. Fotodetektor tersebut dapat digunakan, khususnya, matriks CCD dua dimensi. Sinyal video yang diterima dari berbagai penerima dari kelompok kerja kemudian dirangkum, misalnya, dalam memori komputer, sebagai hasilnya, kami memperoleh informasi lengkap dari sistem dengan bidang sudut yang disintesis. Perangkat yang diusulkan secara struktural sederhana. Ini mewakili secara konsentris dikelompokkan sekitar satu bola transparan dua belahan kaku bersarang dengan masing-masing terletak di atasnya filter interferensi bola pada substrat dalam bentuk menisci konsentris, lubang dan zona cermin. Untuk meningkatkan teknologi pembuatan perangkat, bola transparan berongga dapat dibuat komposit, mis. terdiri dari dua bagian, direkatkan atau dihubungkan pada kontak optik. Perangkat ini simetris melingkar, sehingga mudah dipasang dan disejajarkan, dan hampir tidak dapat dihancurkan. Elemen lensa yang berdekatan identik karena simetri melingkar. Perangkat ini memiliki kualitas gambar yang tinggi. Dalam hal ini, medan sudut yang disintesis hingga 180 ° C dapat dicapai. Bahan komposit dari jenis karbon-karbon dapat dipilih sebagai bahan untuk pembuatan komponen lensa cekung. Selain itu, komponen cekung ini dapat dibuat dari logam kaca dengan basis titanium atau berilium. Parameter desain salah satu contoh implementasi perangkat untuk panjang fokus lensa 17,9 mm dengan aperture relatif 1: 2.2 disajikan dalam tabel pada Gambar. 6. Filter interferensi di sini dibuat menggunakan cermin dielektrik multilayer dan dirancang untuk memilih panjang gelombang 0,5577 mikron. Diagram lensa dari alat tersebut ditunjukkan pada Gambar. 5, dan plot aberasi residual diperlihatkan dalam Gambar. 7. Penyimpangan bola lateral lensa ini diminimalkan; lensa memiliki sejumlah kecil astigmatisme, koma dan distorsi. Lokasi pupil masuk sesuai dengan setiap lingkaran cermin pada komponen cembung lensa proyeksi. Selain menyediakan bidang sudut yang disintesis, mis. sudut lebar, perangkat ini memiliki keunggulan teknis tambahan, yang mencakup invarian spasial, keandalan, dan tidak membingungkan. Perangkat untuk membangun gambar monokromatik seharusnya digunakan untuk penginderaan jauh ruang dan objek terestrial di daerah spektral ultraviolet, tampak dan inframerah dengan restrukturisasi sederhana dari rentang kerja di bidang sudut besar. Dimungkinkan untuk menggunakan perangkat yang diusulkan sebagai perangkat tampilan melingkar, misalnya, dalam sistem penglihatan dalam robotika untuk merasakan robot adaptif. Sumber informasi. 1. Goetz A.F.H., Wellmann J.B., Barnes W.L. Penginderaan jauh optik Bumi - Proc. dari IEEE Juni 1985, v. 73, No. 6, hal. 950-969. 2. Chikov K.N. dan sistem optik lainnya dari kompleks spektrometri video. - Izv. Universitas "Teknik Instrumen" Uni Soviet, v. XXXI, N 12, 1988. 3. Avanesov G.A., Chikov K.N. dkk. Pengamatan televisi dari Phobos. - Nature, v. 341, No. 6243, 19 Oktober 1989, hlm. 585-587. 4. Kemarahan C. D., Rabey S. K., Broadfoot A. L., Brown R. G., Cogger L.L., Gattinger R., Haslett J.W., King R.A., McEwen D.HJ, Murphree T.S., Richardson E. H., Sandell B.R., Smith K., Jones F.V. Pencitra aurora ultraviolet untuk Pesawat Luar Angkasa Viking. - Geophys.Res. Lett., V. L4, No. 4, 1987, hlm. 387-390. 5. Rusinov M. M. Komposisi sistem optik. - L.: Teknik mesin, 1989.

MENGEKLAIM

Sebuah perangkat untuk membangun gambar monokromatik, terdiri dari filter interferensi yang terletak di sepanjang jalur pancaran, lensa proyeksi yang mengandung komponen cermin cembung dan cekung konsentris, dan sistem perekaman yang digabungkan secara optik ke lensa, yang mengandung elemen serat optik, dicirikan bahwa elemen serat optik dihubungkan dengan satu atau sekelompok fotodetektor, komponen cembung lensa dibuat dalam bentuk belahan cermin yang diterapkan pada permukaan luar bola transparan berongga dengan zona transparan annular, diameter dalam masing-masing yang sama dengan diameter pupil masuk D, dan diameter luar D n ditentukan dari rasio

Dimana r 3 adalah jari-jari komponen cembung;

R 4 - jari-jari komponen cekung,

Dan komponen cekung dibuat dalam bentuk belahan dengan lubang masuk pusat dan perifer dengan diameter yang sama D in, ditentukan dari rasio

D di = Dr 4 / r 3,

Selain itu, tempat geometris pusatnya adalah lingkaran dengan langkah sudut pusat lubang ini, ditentukan dari hubungan

Dalam hal ini, jumlah zona transparan annular pada komponen cembung sama dengan jumlah lubang masuk komponen cekung yang terletak di seberangnya dan, karenanya, sama dengan jumlah filter interferensi yang dipasang di depan lubang masuk, dibuat pada substrat dalam bentuk meniskus konsentris, pusat kelengkungan umum dari permukaan optik yang masing-masing sejajar dengan pusat pupil input yang sesuai.

Kelas 5a, 18 YVTO 1EKOE EVIDELETVO DI IZO EENI.

DESKRIPSI perangkat untuk menentukan kelengkungan sumur.

1930 (sertifikat aplikasi No. 68898).

Sudah ada instrumen yang dikenal untuk menentukan kelengkungan lubang bor menggunakan jarum magnet untuk menentukan azimut sudut deviasi, serta penggunaan permukaan bola dengan kisi geografis yang diterapkan di atasnya, seperti yang diketahui. fitur yang untuk memperbaiki belahan bumi pada posisi yang diambil ketika lubang bor melengkung, klem diterapkan bertindak dari gerakan ke bawah katup dengan slot miring.rol dengan pita dan dengan kertas fotokopi yang menempel pada permukaan belahan bumi yang dijepit.Dalam hal ini kasing, menurunkan katup, menekan kubus, memutar rol pita dan melebarkan sayap pemandu dicapai dengan menggunakan baut yang diputar oleh roda gigi dari rol yang diputar oleh penggerak rantai dari permukaan bumi.

Dalam gambar, Gbr. 1 menggambarkan bagian vertikal dari instrumen di sepanjang garis C - I dalam Gambar. 2; ara. 2 - bagian horizontal di sepanjang garis A - B pada Gambar. satu; ara. 3 - tampilan atas perangkat.

Massive | th pendulum-hemisphere 1 (gambar 2) dengan ujung sumbu 2 yang menonjol, masuk-. bergoyang, menjadi dua lubang berlawanan 4 dari cincin 3 (Gbr. 1), yang juga memiliki lubang yang terletak di pasangan lubang pertama pada sudut 90, di mana tabung aksial 5, terpasang di salah satu ujungnya ke riser b, masuk . Dalam tabung 5, dengan kaki yang dimasukkan 8 dari dua klem cekung 9, ada slot memanjang 7. Di ujung lain dari kaki 8 ada pin tembus 10, yang, dengan ujung yang menonjol, bergerak di sepanjang slot 7 di tabung 5. Dengan menggunakan dua kait 11, dihubungkan secara bergantian

Batang berbentuk U 22 dengan slot miring 11, klem 9 bergerak satu arah ke bola 1, lalu kembali.

Di bawah belahan 1 (Gbr. 1) ada penjepit ketiga 14 dengan permukaan cekung. menghadap belahan bumi yang sama 1. Penjepit 14 dengan kakinya 16 bergerak bebas di dalam tabung 17, disekrup ke piringan 18 dengan terletak! di atasnya tuas 15, berputar berengsel pada pemberhentian 15. Tuas 15. ketika ditekan pada salah satu ujung kait 11, ujung lainnya bekerja pada penjepit ketiga 14, ditarik dari belahan 1 oleh pegas 19. Di tengah belahan 1 pada sisi terpotong (horisontal atas) dipasang jarum 12 , ujung tajam yang berfungsi sebagai penopang. magnet dan berfungsi sebagai kompas belahan bumi berongga 13, permukaan cembung luarnya adalah kisi-kisi dengan garis cembung dan angka yang konsentris ke tepi kompas, yang menunjukkan derajat dan meridian. Angka-angka terletak di seluruh permukaan kompas. Pada strip 22, di slot pada sumbu 23, rol 24 dan 24 dengan pita kertas 25 digulung di atasnya berputar; satu rol - penerima 24 dilengkapi dengan rol beralur di samping. Di tengah, bilah 22, dari bawah, sebuah kubus 28 terletak di garpu 27, berputar pada sumbu 29, dan pada sumbu yang sama, rol beralur terletak dekat dengan kubus di satu sisi dan roda gigi 31 di yang lain, diikat ke sebuah kubus 28 yang dilapisi dengan empat karet bebas di sisi-sisinya agar pas dengan kompas. Kertas fotokopi direkatkan di atas karet, dan pita kertas 25 melewatinya dari satu rol 24 dan lainnya, rol penerima 124, menempel erat ke bagian bawah kubus 28. Penggulung beralur dari kubus 28 dan rol penerima (24), untuk rotasi simultannya, memiliki spiral tak berujung yang sama, sebuah kabel pegas (30) dilemparkan ke atas rol ini. Pada palang 20 yang dipasang di pilar kiri b, dipasang pawl (26) dengan pegas. Di atas tali 22 ada kopling 32 diikat padanya, yang dengan memutar baut 33, kemudian memindahkan kubus menjauh dari kompas, lalu menekannya pada kompas, dan dengan menggerakkan kait 11 kemudian melepaskan belahan bumi 1 dan kompas 13 dari klem, kemudian mereka juga menjepit belahan bumi dan kompas, membuatnya tidak bergerak. Baut 33, melewati segel oli 34 dari cakram 35 (yang menutup rapat seluruh mekanisme yang dijelaskan), di salah satu ujungnya memiliki roda gigi 39 yang diputar oleh poros sekrup 40 pada bantalan di tiang umum b rol beralur 38 dengan soket untuk masing-masing tautan rantai yang terletak di sepanjang alur (seperti roda dari jam tangan dengan kettlebell). Roller 38 digerakkan secara rotasi

s kedua sisi, dengan menarik rantai melaluinya, dilanjutkan di kedua ujungnya dengan tali yang panjangnya sama dengan kedalaman lubang bor. Untuk membawa badan pahat ke posisi sejajar dengan lubang sumur. di tengah cakram luar 37 ada poros 46 dari roda gigi 42, digerakkan secara berputar oleh sumbu heliks 43 dari rol beralur 44, dengan aksi yang sama dengan rol beralur 38 dan dengan cara yang sama dengan menarik tertentu panjang rantai, juga dilanjutkan di kedua ujungnya dengan tali. Pada gandar 46 (Gbr. 3) ada potongan melintang 45 yang dipasang dengan kaku, keempat ujungnya diartikulasikan dengan batang penghubung 47, dan pada saat yang sama diartikulasikan dengan sayap 42, yang berbentuk palung , dengan sisi cekung berdekatan dengan sisi silinder luar badan perangkat. Sayap, sendirian dengan penunggang kuda longitudinalnya, terhubung secara poros ke badan perangkat dan memiliki

Tujuan dari sisi cembungnya, menjauh dari tubuh, untuk menempel erat ke dinding sumur untuk memberi

1 badan pahat sejajar dengan posisi lubang bor. Rol 49 (Gbr. 1) dipasang pada badan pahat pada roller untuk menghilangkan gesekan pahat dengan dinding lubang bor.

Perangkat beroperasi sebagai berikut. Alat diturunkan ke dalam lubang bor dengan tali, dan ujung yang sesuai dari kabel mekanisme eksternal ditarik keluar, yang menggerakkan rol 42 dalam rotasi, sementara sayap 48 menyimpang ke samping, berbatasan dengan dinding lubang bor . Dengan tindakan ini, pahat dibawa ke posisi stasioner dan sejajar dengan sumur.

Setelah menunggu waktu yang dibutuhkan kompas untuk tenang, a) tarik untuk panjang tertentu yang lain, ditarik melalui roller beralur 38, annur untuk ujung yang sesuai, b) bingkai (batang 22) dan katup diturunkan. Penjepit 9 dan 14 pada saat yang sama membawa belahan bumi 1 dan kompas 13 ke keadaan diam, kubus 28, menangkap anjing 26 dengan roda gigi 31, membuat seperempat putarannya, dan pada saat yang sama dengan yang lebih rendah sisi dengan erat menekan pita kertas 25 ke kompas 13, di sisi dalam yang , berdekatan dengan kertas fotokopi, dan bagian kompas dengan kisi dan angka yang menyimpang dari vertikal akan dicetak, dan oleh karena itu azimuth akan ditandai. Kemudian tali ini ditarik dengan ujung yang lain, paaa 22 naik, kompas 13 dan belahan bumi 1 dilepaskan dari klem, setelah itu tali pertama juga ditarik oleh ujung yang lain dan dengan demikian alat dibebaskan dari kontak dengan dinding dari sumur.

Cuplikan diambil. Tindakan ini dapat diulang segera atau, jika diinginkan, menurunkan atau menaikkan perangkat ke kedalaman yang diinginkan. Jadi, dalam satu kali pengoperasian perangkat, sejumlah penentuan dapat dibuat, yang jumlahnya hanya akan bergantung pada panjang strip kertas 25. Subjek dari penemuan ini.

Perangkat untuk menentukan kelengkungan sumur, yang terdiri dari lingkaran baru pendulum yang tergantung pada kartu, belahan bumi dengan jarum vertikal yang berfungsi sebagai penopang belahan bumi yang dimagnetisasi dengan kisi geografis cembung yang diterapkan, dicirikan dalam klem itu 14 9 - 9 dan 14 ,. bekerja dari gerakan ke bawah daun jendela DAN dengan potongan miring 11, dan untuk mendapatkan cetakan jala pada pita, kubus 28 yang duduk pada sumbu 29 di garpu 27 digunakan, ditekan bersama dengan pita yang bergerak di antara rol 24 dan 24 dan kertas fotokopi yang ditempelkan pada permukaan hemisfer 13 yang dijepit, misalnya baut 33 berfungsi untuk menurunkan klep 9 - 9 dan 14, menekan kubus 28, memutar tape roller, dan juga untuk menggerakkan guide wing 48 terpisah. dapat diputar dengan menggunakan roda gigi bergigi dari roller (38) yang diputar oleh penggerak rantai dari tanah. (gbr. 2)

Paten serupa:

Jari-jari kelengkungan permukaan cembung dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut:

dimana: T1 - jari-jari kelengkungan permukaan cembung, mm;

T2 - jari-jari kelengkungan zona optik permukaan cekung, mm;

D - pembiasan titik lensa, dalam dioptri; n adalah indeks bias bahan lensa; t adalah ketebalan di tengah lensa sepanjang sumbunya, mm.

Pada mandrel bulat yang dipanaskan dengan jari-jari yang sesuai dengan jari-jari zona optik produk setengah jadi, lilin yang direkatkan diterapkan dan produk setengah jadi direkatkan dari sisi permukaan cekung yang diproses. Pemusatan dilakukan pada perangkat pemusatan khusus dengan akurasi 0,02-0,04 mm.

Setelah pendinginan, mandrel, bersama dengan produk setengah jadi yang berpusat di atasnya, dipasang pada kerucut pendaratan bubut bulat untuk memproses permukaan cembung.

Jari-jari yang dihitung diatur oleh indikator yang terletak di dukungan pivot. Dengan bantuan indikator lain yang dipasang pada poros mesin, ketebalan lapisan material yang dihilangkan selama pemrosesan ditentukan. Pemutaran permukaan cembung dilakukan dalam beberapa lintasan (mirip dengan pemesinan permukaan cekung) hingga ketebalan yang ditentukan tercapai di tengah lensa.

Pemolesan permukaan cembung dilakukan dengan bantalan pemoles khusus yang dibasahi dengan suspensi pemoles pada mesin pemoles (tunggal atau multi-spindel). Waktu pemolesan adalah dari 2 hingga 5 menit (tergantung bahannya).

Kebersihan permukaan optik lensa diperiksa menggunakan mikroskop binokular atau kaca pembesar segera setelah lensa dibuat sebelum dikeluarkan dari mandrel dengan lubang di tengah. Daya optik diukur dengan diopter meter. Jika selama proses pengendalian ternyata hasil pengolahannya tidak memuaskan, maka dilakukan penyesuaian proses.

Setelah akhir pemolesan dan kontrol optik, lensa dilepas dari dudukannya, dibersihkan dari lilin perekat.

Saat membuat permukaan luar lensa pembiasan negatif, pertama, permukaan bola dengan radius kelengkungan yang dihitung dari zona optik digiling hingga ketebalan tertentu di tengah, dan kemudian zona lentikular dengan ketebalan tepi tertentu digiling. sampai kawin dengan zona optik. Jari-jari kelengkungan zona lenticular dihitung dan tergantung pada fitur desain lensa. Saat menghitung, harus diingat bahwa ketebalan lensa di sepanjang tepi tidak boleh melebihi 0,2 mm, dan diameter zona optik permukaan luar harus setidaknya 7,5 mm.

Dalam pembuatan permukaan luar lensa refraksi positif, pertama, permukaan bola digerinda dengan radius yang dihitung hingga ketebalan di tengah yang melebihi yang diperlukan sebesar 0,03 mm. Ukuran jari-jari tergantung pada ketebalan lensa di tengah dan di tepi. Kemudian zona lenticular digiling, mulai dari tepi benda kerja hingga diameter yang dihitung dari zona optik permukaan luar, yang dipilih 0,4-0,5 mm lebih besar dari diameter permukaan dalam. Indikator mengatur radius yang dihitung dari zona optik. Dengan memutar penyangga pemotong dan suplai benda kerja yang sesuai, ujung pemotong disejajarkan dengan bagian periferal zona optik dan zona optik permukaan cembung diproses.

Pemolesan dilakukan pada mesin pemoles menggunakan bantalan pemoles khusus yang dibasahi dengan suspensi.

Pembuatan GPZhKL dilakukan sesuai dengan skema yang sama, tetapi mode pemrosesan yang kurang intensif dan komposisi khusus untuk membersihkan dan memoles bahan-bahan ini digunakan.

Saat memproses lensa spherotorik, permukaan bola cekung lensa pertama digiling sesuai dengan teknik yang dibahas di atas, dan kemudian, untuk mendapatkan permukaan torik di pinggiran, diproses dengan alat torik (biasanya penggiling dan bantalan pemoles) dengan jari-jari kelengkungan permukaan yang ditentukan dalam dua bidang yang saling tegak lurus fis. 76). Jumlah instrumen toric yang disiapkan tergantung pada jumlah permukaan toric yang dibutuhkan di zona perataan (sliding).

Untuk menggiling penggiling, gunakan mesin bubut khusus yang dirancang untuk pembuatan alat toric. Dalam hal ini, Anda harus mematuhi aturan berikut:

1. Berdasarkan perbedaan antara jari-jari di meridian utama, perpindahan transversal spindel relatif terhadap penopang putar diatur. Kontrol gerakan dilakukan pada indikator dial. Misalnya, untuk pahat torik dengan jari-jari 8,0 / 8,5 mm, nilai ini, yang disebut selisih torik, adalah 0,5 mm.

2. Dengan memutar penopang putar, alat kosong dikerjakan hingga kedalaman

Beras. 76. Skema bantalan pemoles toric.

baik, tidak lebih dari 0,05 mm untuk setiap lintasan, sampai diperoleh radius tertentu, diukur dengan indikator tumpuan putar.

Kemudian alat yang diproduksi dipasang di perangkat khusus ("garpu torus") dari mesin pemoles.

Substrat dengan benda kerja yang dikerjakan dengan mesin dipasang secara kaku ke tali garpu torik. Kemudian leash dipasang pada alur-alur garpu sehingga permukaan cekung benda kerja bertumpu pada permukaan kerja toric tool. Pin

poros atas mesin pemoles memperbaiki penggerak garpu toric. Dengan menggerakkan kepala ayun mesin pemukul secara vertikal, perlu untuk mencapai posisi benda kerja seperti itu sehingga hanya bergerak di bagian tengah alat toric. Penggilingan dilakukan dengan serbuk gerinda M7 dan M3 sampai diperoleh ukuran zona optik yang ditentukan. Waktu penggilingan tergantung pada rasio jari-jari lensa dengan perbedaan torik alat. Kontrol ukuran zona optik yang diperoleh dilakukan dengan menggunakan kaca pembesar ukur dengan perbesaran 10x.