Momen inersia aksial. Momen inersia sentrifugal. Momen sentrifugal untuk benda dengan sumbu atau bidang simetri Bagaimana momen inersia sentrifugal diukur?

DEFINISI

Momen inersia aksial (atau ekuator) bagian tentang sumbu disebut nilai, yang didefinisikan sebagai:

Ekspresi (1) berarti, untuk menghitung momen inersia aksial, jumlah hasil kali luas tak terhingga () dikalikan kuadrat jarak darinya ke sumbu rotasi diambil dari seluruh luas S:

Jumlah momen inersia aksial bagian relatif terhadap sumbu yang saling tegak lurus (misalnya, relatif terhadap sumbu X dan Y dalam sistem koordinat Cartesian) memberikan momen inersia kutub () relatif terhadap titik perpotongan ini sumbu:

DEFINISI

Momen kutub inersia disebut momen inersia sebagai penampang terhadap suatu titik tertentu.

Momen inersia aksial selalu lebih besar dari nol, karena dalam definisinya (1) di bawah tanda integral ada nilai luas area dasar (), selalu positif dan kuadrat jarak dari area ini ke sumbu.

Jika kita berurusan dengan bagian dari bentuk yang kompleks, maka sering dalam perhitungan digunakan bahwa momen inersia aksial dari bagian kompleks terhadap sumbu sama dengan jumlah momen inersia aksial dari bagian-bagian ini. bagian tentang sumbu yang sama. Namun, harus diingat bahwa momen inersia yang ditemukan relatif terhadap sumbu dan titik yang berbeda tidak dapat dijumlahkan.

Momen inersia aksial terhadap sumbu yang melalui pusat gravitasi penampang memiliki nilai terkecil dari semua momen terhadap sumbu yang sejajar dengannya. Momen inersia terhadap sembarang sumbu (), asalkan sejajar dengan sumbu yang melalui pusat gravitasi, adalah:

di mana momen inersia penampang relatif terhadap sumbu yang melalui pusat gravitasi penampang; - luas penampang; - jarak antara sumbu.

Contoh pemecahan masalah

CONTOH 1

Olahraga	Berapa momen inersia aksial bagian segitiga sama kaki relatif terhadap sumbu Z yang melalui pusat gravitasi () segitiga, sejajar dengan alasnya? Tinggi segitiga tersebut adalah.
Larutan	Mari kita pilih area dasar persegi panjang pada bagian segitiga (lihat Gambar 1). Itu terletak pada jarak dari sumbu rotasi, panjang satu sisi, sisi lainnya. Dari Gambar 1 berikut bahwa: Luas persegi panjang yang dipilih, dengan mempertimbangkan (1.1), sama dengan: Untuk menemukan momen inersia aksial, kami menggunakan definisinya dalam bentuk:
Menjawab

CONTOH 2

Olahraga	Temukan momen aksial inersia relatif terhadap sumbu tegak lurus X dan Y (Gbr. 2) dari bagian yang berbentuk lingkaran yang diameternya sama dengan d.
Larutan	Untuk menyelesaikan masalah, lebih mudah untuk memulai dengan menemukan momen kutub relatif terhadap pusat bagian (). Kami membagi seluruh bagian menjadi cincin tipis tak terbatas dengan ketebalan, jari-jari yang kami tunjukkan. Kemudian kita cari luas dasar sebagai:

Kita sering mendengar ungkapan: "itu inert", "bergerak dengan inersia", "momen inersia". Dalam arti kiasan, kata "kelembaman" dapat diartikan sebagai kurangnya inisiatif dan tindakan. Kami tertarik pada makna langsungnya.

Apa itu inersia?

Menurut definisi kelembaman dalam fisika, itu adalah kemampuan tubuh untuk mempertahankan keadaan istirahat atau gerakan tanpa adanya kekuatan eksternal.

Jika dengan konsep inersia semuanya jelas pada tingkat intuitif, maka momen inersia- pertanyaan terpisah. Setuju, sulit membayangkan dalam pikiran Anda apa itu. Pada artikel ini, Anda akan belajar bagaimana memecahkan masalah dasar pada topik "Momen inersia".

Penentuan momen inersia

Diketahui dari kursus sekolah bahwa massa - ukuran kelembaman tubuh... Jika kita mendorong dua kereta yang massanya berbeda, maka yang lebih sulit akan lebih sulit dihentikan. Artinya, semakin besar massa, semakin banyak pengaruh eksternal yang diperlukan untuk mengubah gerakan tubuh. Dianggap mengacu pada gerak translasi, ketika gerobak dari contoh bergerak dalam garis lurus.

Dengan analogi dengan massa dan gerak translasi, momen inersia adalah ukuran kelembaman benda selama gerakan rotasi di sekitar sumbu.

Momen inersia Adalah besaran fisis skalar, ukuran kelembaman suatu benda ketika berputar di sekitar sumbu. Dilambangkan dengan huruf J dan dalam sistem SI diukur dalam kilogram dikalikan dengan meter persegi.

Bagaimana cara menghitung momen inersia? Ada rumus umum yang digunakan untuk menghitung momen inersia benda apa pun dalam fisika. Jika tubuh dipecah menjadi potongan-potongan kecil yang tak terhingga dengan massa dm , maka momen inersia akan sama dengan jumlah produk dari massa dasar ini dengan kuadrat jarak ke sumbu rotasi.

Ini adalah rumus umum untuk momen inersia dalam fisika. Untuk titik massa material M berputar di sekitar sumbu pada jarak R dari itu, rumus ini mengambil bentuk:

Teorema Steiner

Momen inersia bergantung pada apa? Mulai dari massa, posisi sumbu rotasi, bentuk dan ukuran benda.

Teorema Huygens-Steiner merupakan teorema yang sangat penting yang sering digunakan dalam memecahkan masalah.

Ngomong-ngomong! Untuk pembaca kami, sekarang ada diskon 10% untuk pekerjaan apapun

Teorema Huygens-Steiner menyatakan:

Momen inersia suatu benda terhadap sumbu sembarang sama dengan jumlah momen inersia suatu benda terhadap sumbu yang melalui pusat massa yang sejajar dengan sumbu sembarang dan hasil kali massa benda dengan kuadrat jarak antar sumbu.

Bagi mereka yang tidak ingin terus-menerus berintegrasi ketika memecahkan masalah menemukan momen inersia, kami memberikan gambar yang menunjukkan momen inersia dari beberapa benda homogen yang sering ditemukan dalam masalah:

Contoh penyelesaian masalah menemukan momen inersia

Mari kita lihat dua contoh. Tugas pertama adalah menemukan momen inersia. Tugas kedua adalah menggunakan teorema Huygens-Steiner.

Soal 1. Temukan momen inersia piringan homogen bermassa m dan jari-jari R. Sumbu rotasi melewati pusat piringan.

Larutan:

Kami membagi disk menjadi cincin tipis yang tak terhingga, radiusnya bervariasi dari 0 sebelum R dan pertimbangkan satu cincin seperti itu. Biarkan radiusnya menjadi R, dan massanya adalah dm... Maka momen inersia cincin:

Massa cincin dapat dinyatakan sebagai:

Di Sini dz- tinggi cincin. Substitusikan massa ke dalam rumus untuk momen inersia dan integralkan:

Hasilnya adalah rumus momen inersia piringan atau silinder tipis mutlak.

Soal 2. Misalkan lagi ada piringan bermassa m dan jari-jari R. Sekarang kita perlu mencari momen inersia piringan relatif terhadap sumbu yang melalui tengah salah satu jari-jarinya.

Larutan:

Momen inersia piringan terhadap sumbu yang melalui pusat massa diketahui dari soal sebelumnya. Kami menerapkan teorema Steiner dan menemukan:

Omong-omong, di blog kami, Anda dapat menemukan materi berguna lainnya tentang fisika dan pemecahan masalah.

Kami harap Anda menemukan sesuatu yang berguna dalam artikel ini. Jika kesulitan muncul dalam proses menghitung tensor inersia, jangan lupakan layanan siswa. Pakar kami akan memberi saran tentang masalah apa pun dan membantu Anda memecahkan masalah dalam hitungan menit.

Jika sumbu koordinat ditarik melalui titik O, maka dalam kaitannya dengan sumbu ini, momen inersia sentrifugal (atau produk inersia) disebut besaran yang ditentukan oleh persamaan:

di mana massa titik; - koordinat mereka; dalam hal ini, jelas bahwa, dll.

Untuk benda padat, rumus (10), dengan analogi dengan (5), ambil bentuk

Berbeda dengan momen inersia sentrifugal aksial, mereka dapat bernilai positif dan negatif, dan, khususnya, dengan cara tertentu dari sumbu yang dipilih, mereka dapat menghilang.

Sumbu utama inersia. Pertimbangkan benda homogen dengan sumbu simetri. Mari kita menggambar sumbu koordinat Oxyz sehingga sumbu diarahkan sepanjang sumbu simetri (Gbr. 279). Kemudian, karena simetri, setiap titik tubuh dengan massa mk dan koordinat akan bersesuaian dengan titik dengan indeks yang berbeda, tetapi dengan massa dan koordinat yang sama. Akibatnya, kita memperoleh bahwa karena dalam jumlah ini semua suku adalah identik berpasangan dalam nilai absolut dan berlawanan tanda; dari sini, dengan mempertimbangkan persamaan (10), kami menemukan:

Dengan demikian, simetri dalam distribusi massa terhadap sumbu z dicirikan oleh hilangnya dua momen inersia sentrifugal. Sumbu Oz, di mana momen inersia sentrifugal yang memuat nama sumbu ini dalam indeksnya sama dengan nol, disebut sumbu utama inersia benda untuk titik O.

Ini mengikuti dari sebelumnya bahwa jika tubuh memiliki sumbu simetri, maka sumbu ini adalah sumbu utama inersia tubuh untuk setiap titiknya.

Sumbu utama inersia belum tentu sumbu simetri. Pertimbangkan benda homogen dengan bidang simetri (dalam Gambar 279, bidang simetri benda adalah bidang). Mari kita menggambar beberapa sumbu dan sumbu yang tegak lurus pada bidang ini.Kemudian, karena simetri, setiap titik dengan massa dan koordinat akan bersesuaian dengan titik dengan massa dan koordinat yang sama. Akibatnya, seperti dalam kasus sebelumnya, kita menemukan bahwa atau dari mana sumbu adalah sumbu utama inersia untuk titik O. Jadi, jika benda memiliki bidang simetri, maka setiap sumbu yang tegak lurus terhadap bidang ini akan menjadi sumbu utama inersia benda untuk titik Oh, di mana sumbu memotong bidang.

Persamaan (11) menyatakan kondisi bahwa sumbu adalah sumbu utama inersia benda untuk titik O (asal).

Analoginya, jika sumbu Oy akan menjadi sumbu utama inersia untuk titik O. Oleh karena itu, jika semua momen inersia sentrifugal sama dengan nol, mis.

maka masing-masing sumbu koordinat adalah sumbu utama inersia benda untuk titik O (asal).

Misalnya, pada Gambar. 279, ketiga sumbu untuk titik O adalah sumbu utama inersia (sumbu sebagai sumbu simetri, dan sumbu Ox dan Oy tegak lurus terhadap bidang simetri).

Momen inersia benda relatif terhadap sumbu utama inersia disebut momen inersia utama benda.

Sumbu utama kelembaman yang dibangun untuk pusat massa benda disebut sumbu pusat utama kelembaman benda. Dari apa yang telah dibuktikan di atas, dapat disimpulkan bahwa jika tubuh memiliki sumbu simetri, maka sumbu ini adalah salah satu sumbu pusat utama inersia tubuh, karena pusat massa terletak pada sumbu ini. Jika benda memiliki bidang simetri, maka sumbu tegak lurus bidang ini dan melewati pusat massa benda juga akan menjadi salah satu sumbu pusat utama inersia benda.

Dalam contoh di atas, benda simetris dipertimbangkan, yang cukup untuk menyelesaikan masalah yang akan kita hadapi. Namun, dapat dibuktikan bahwa melalui titik mana pun dari benda mana pun dimungkinkan untuk menggambar setidaknya tiga sumbu yang saling tegak lurus yang akan dipegang oleh persamaan (11), yaitu, yang akan menjadi sumbu utama inersia benda untuk titik ini. .

Konsep sumbu utama inersia memainkan peran penting dalam dinamika benda tegar. Jika sumbu koordinat Oxyz diarahkan sepanjang sumbu tersebut, maka semua momen inersia sentrifugal akan hilang dan persamaan atau rumus yang sesuai menjadi sangat disederhanakan (lihat 105, 132). Konsep ini juga dikaitkan dengan penyelesaian masalah persamaan dinamis benda yang berputar (lihat 136), pada pusat tumbukan (lihat 157), dll.

Jika m = 1, n = 1, maka kita mendapatkan karakteristik

yang disebut momen inersia sentrifugal.

Momen inersia sentrifugal relatif terhadap sumbu koordinat - jumlah produk dari area dasar dA pada jarak mereka ke sumbu ini, diambil alih seluruh luas penampang SEBUAH.

Jika setidaknya salah satu sumbu kamu atau z adalah sumbu simetri bagian, momen inersia sentrifugal dari bagian tersebut relatif terhadap sumbu ini adalah nol (karena dalam hal ini setiap kuantitas positif z y dA kita dapat menempatkan korespondensi yang persis sama, tetapi negatif, di sisi lain dari sumbu simetri bagian, lihat gambar).

Pertimbangkan karakteristik geometris tambahan yang dapat diperoleh dari yang utama yang terdaftar dan juga sering digunakan dalam perhitungan kekuatan dan kekakuan.

Momen inersia kutub

Momen inersia kutub J p sebut karakteristik

Di sisi lain,

Momen inersia kutub(relatif terhadap titik tertentu) - jumlah produk dari area dasar dA dengan kuadrat jarak mereka sampai titik ini, mengambil alih seluruh luas penampang SEBUAH.

Dimensi momen inersia adalah m 4 dalam SI.

Momen resistensi

Momen resistensi relatif terhadap beberapa sumbu - nilai yang sama dengan momen inersia terhadap sumbu yang sama yang mengacu pada jarak ( y maksimal atau z maksimal) ke titik terjauh dari sumbu ini

Dimensi momen hambatan adalah m3 dalam SI.

Jari-jari girasi

Jari-jari girasi bagian relatif terhadap beberapa sumbu disebut nilai yang ditentukan dari rasio:

Jari-jari girasi dinyatakan dalam satuan SI.

Komentar: bagian dari elemen struktur modern sering mewakili komposisi bahan tertentu dengan ketahanan yang berbeda terhadap deformasi elastis, dicirikan, seperti yang diketahui dari kursus fisika, dengan modulus Young E... Dalam kasus paling umum dari bagian yang tidak homogen, modulus Young adalah fungsi kontinu dari koordinat titik-titik bagian, yaitu E = E (z, y)... Oleh karena itu, kekakuan suatu penampang yang tidak homogen dalam sifat elastisnya dicirikan oleh karakteristik yang lebih kompleks dari pada karakteristik geometris suatu penampang yang homogen, yaitu elastis-geometris.

2.2. Menghitung sifat geometris bentuk sederhana

Bagian persegi panjang

Tentukan momen inersia aksial persegi panjang terhadap sumbu z... Kami membagi area persegi panjang menjadi area dasar dengan dimensi B(lebar) dan dy(tinggi). Maka luas persegi panjang dasar (diarsir) sama dengan dA = b dy... Mengganti nilai dA ke dalam rumus pertama, kita dapatkan

Dengan analogi, kami menuliskan momen aksial terhadap sumbu pada:

Momen aksial hambatan persegi panjang:

;

Demikian pula, Anda bisa mendapatkan karakteristik geometris untuk bentuk sederhana lainnya.

Bagian bulat

Lebih mudah untuk menemukan pada awalnya momen inersia kutub J p.

Kemudian, mengingat itu untuk lingkaran J z = J y, sebuah J p = J z + J y, Temukan J z =J y = J p / 2.

Kami membagi lingkaran menjadi cincin yang sangat kecil dengan ketebalan d dan radius ρ ; luas cincin seperti itu dA = 2 dρ... Mengganti ekspresi untuk dA menjadi ekspresi untuk J p dan mengintegrasikan, kita dapatkan

2.3. Perhitungan momen inersia terhadap sumbu sejajar

z dan kamu:

Diperlukan untuk menentukan momen inersia bagian ini relatif terhadap sumbu "baru" z 1 dan y 1 sejajar dengan yang pusat dan berjarak dari mereka di kejauhan sebuah dan B masing-masing:

Koordinat titik mana pun dalam sistem koordinat "baru" z 1 0 1 y 1 dapat dinyatakan dalam koordinat dalam sumbu "lama" z dan kamu Jadi:

Sejak sumbu z dan kamu- pusat, lalu momen statis S z = 0.

Akhirnya, kita dapat menuliskan rumus untuk "transisi" dengan pergeseran paralel sumbu:

Perhatikan bahwa koordinat sebuah dan B harus diganti dengan mempertimbangkan tandanya (dalam sistem koordinat z 1 0 1 y 1).

2.4. Perhitungan momen inersia saat memutar sumbu koordinat

Biarkan momen inersia dari bagian sewenang-wenang relatif terhadap sumbu pusat diketahui z, kamu:

; ;

Ayo putar sumbunya z, kamu di ujung α berlawanan arah jarum jam, mengingat sudut rotasi sumbu dalam arah ini positif.

Diperlukan untuk menentukan momen inersia relatif terhadap sumbu "baru" (diputar) z 1 dan y 1:

Koordinat situs dasar dA dalam sistem koordinat "baru" z 1 0y 1 dapat dinyatakan dalam koordinat dalam sumbu "lama" sebagai berikut:

Kami mengganti nilai-nilai ini ke dalam rumus untuk momen inersia pada sumbu "baru" dan mengintegrasikan suku demi suku:

Setelah melakukan transformasi serupa dengan ekspresi lainnya, kita akhirnya akan menuliskan rumus "transisi" ketika sumbu koordinat diputar:

Perhatikan bahwa jika kita menambahkan dua persamaan pertama, kita mendapatkan

yaitu momen inersia kutub adalah kuantitas invarian(dengan kata lain, tidak berubah ketika sumbu koordinat diputar).

2.5. Sumbu utama dan momen inersia utama

Sampai sekarang, karakteristik geometris bagian dalam sistem koordinat arbitrer telah dipertimbangkan, tetapi sistem koordinat di mana bagian dijelaskan oleh jumlah terkecil dari karakteristik geometris adalah kepentingan praktis terbesar. Sistem koordinat "khusus" semacam itu diatur oleh posisi sumbu utama bagian tersebut. Mari kita perkenalkan konsep-konsepnya: sumbu utama dan momen inersia utama.

sumbu utama- dua sumbu yang saling tegak lurus, relatif di mana momen inersia sentrifugal adalah nol, sedangkan momen inersia aksial mengambil nilai ekstrem (maksimum dan minimum).

Sumbu utama yang melalui pusat gravitasi penampang disebut sumbu pusat utama.

Momen inersia terhadap sumbu utama disebut momen inersia utama.

Sumbu pusat utama biasanya dilambangkan dengan huruf kamu dan v; momen inersia utama - J u dan J v(Menurut definisi J uv = 0).

Mari kita turunkan ekspresi yang memungkinkan kita menemukan posisi sumbu utama dan besar momen inersia utama. Mengetahui bahwa J uv= 0, kita menggunakan persamaan (2.3):

Injeksi α 0 mendefinisikan posisi sumbu utama relatif terhadap sumbu pusat mana pun z dan kamu... Injeksi α 0 disimpan di antara sumbu z dan sumbu kamu dan dianggap positif dalam arah berlawanan arah jarum jam.

Perhatikan bahwa jika penampang memiliki sumbu simetri, maka, sesuai dengan sifat momen inersia sentrifugal (lihat Bagian 2.1, butir 4), sumbu tersebut akan selalu menjadi sumbu utama penampang.

Tidak termasuk sudut α dalam ekspresi (2.1) dan (2.2) menggunakan (2.4), kami memperoleh rumus untuk menentukan momen inersia aksial utama:

Mari kita tulis aturannya: sumbu maksimum selalu membuat sudut yang lebih kecil dengan sumbu (z atau y) sehubungan dengan momen inersia yang memiliki nilai lebih besar.

2.6. Bentuk penampang rasional

Tegangan normal pada titik sembarang dari penampang balok selama pembengkokan langsung ditentukan oleh rumus:

, (2.5)

di mana M- momen lentur pada penampang yang dipertimbangkan; pada- jarak dari titik yang ditinjau ke sumbu pusat utama yang tegak lurus terhadap bidang aksi momen lentur; Jx- momen inersia pusat utama dari bagian tersebut.

Tegangan normal tarik dan tekan terbesar pada penampang tertentu terjadi pada titik terjauh dari sumbu netral. Mereka ditentukan oleh rumus:

; ,

di mana pada 1 dan pada 2- jarak dari sumbu pusat utama x ke serat teregang dan terkompresi yang paling jauh.

Untuk balok yang terbuat dari bahan plastik, ketika [σ p] = [σ c] ([σ p], [σ c] adalah tegangan ijin untuk bahan balok, berturut-turut, dalam tarik dan tekan), gunakan penampang yang simetris terhadap sumbu pusat. Dalam hal ini, kondisi kekuatannya adalah sebagai berikut:

≤ [σ], (2.6)

di mana W x = J x / y maks- momen hambatan dari luas penampang balok relatif terhadap sumbu pusat utama; y maksimal = jam / 2(H- tinggi bagian); M maks- momen lentur terbesar dalam nilai absolut; [σ] adalah tegangan lentur yang diizinkan dari material.

Selain syarat kekuatan, balok juga harus memenuhi syarat ekonomis. Yang paling ekonomis adalah bentuk-bentuk penampang dimana nilai momen tahanan terbesar diperoleh dengan konsumsi bahan paling sedikit (atau dengan luas penampang terkecil). Agar bentuk bagian menjadi rasional, perlu, jika mungkin, untuk mendistribusikan bagian lebih jauh dari sumbu pusat utama.

Misalnya, balok I standar sekitar tujuh kali lebih kuat dan tiga puluh kali lebih kaku daripada balok persegi dengan luas yang sama dan terbuat dari bahan yang sama.

Harus diingat bahwa ketika posisi penampang berubah terhadap beban kerja, kekuatan balok berubah secara signifikan, meskipun luas penampang tetap tidak berubah. Akibatnya, penampang harus diposisikan sedemikian rupa sehingga garis gaya bertepatan dengan sumbu utama, relatif terhadap momen inersia minimal. Ini harus berusaha agar pembengkokan batang melewati bidang kekakuan terbesarnya.

Misalkan Anda memiliki sistem koordinat dengan asal di titik O dan sumbu OX; oh; ONS. Sehubungan dengan sumbu-sumbu ini, momen inersia sentrifugal (produk inersia) disebut besaran yang ditentukan oleh persamaan:

di mana massa titik material di mana tubuh rusak; - koordinat titik material yang sesuai.

Momen inersia sentrifugal memiliki sifat simetri, berikut dari definisinya:

Momen sentrifugal tubuh bisa positif dan negatif; dengan pilihan sumbu OXYZ tertentu, mereka bisa menghilang.

Untuk momen inersia sentrifugal, ada analog dengan teorema Steinberg. Jika kita mempertimbangkan dua sistem koordinat: dan. Salah satu sistem ini memiliki asal di pusat massa tubuh (titik C), sumbu sistem koordinat paralel berpasangan (). Misalkan dalam sistem koordinat koordinat pusat massa benda adalah (), maka:

mana berat badan.

Sumbu utama inersia tubuh

Biarkan benda homogen memiliki sumbu simetri. Mari kita buat sumbu koordinat sehingga sumbu OZ diarahkan sepanjang sumbu simetri benda. Kemudian, sebagai konsekuensi dari simetri, setiap titik tubuh dengan massa dan koordinat sesuai dengan titik dengan indeks yang berbeda, tetapi massa dan koordinat yang sama:. Akibatnya, kita mendapatkan bahwa:

karena dalam jumlah ini semua suku memiliki besaran yang sama, tetapi berlawanan tanda, sepasang. Ekspresi (4) setara dengan menulis:

Kami menemukan bahwa simetri aksial dari distribusi massa terhadap sumbu OZ dicirikan oleh persamaan dua momen inersia sentrifugal (5), yang berisi nama sumbu ini di antara indeksnya. Dalam hal ini, sumbu OZ disebut sumbu utama inersia benda untuk titik O.

Sumbu utama inersia tidak selalu merupakan sumbu simetri benda. Jika benda memiliki bidang simetri, maka setiap sumbu yang tegak lurus terhadap bidang ini adalah sumbu inersia utama untuk titik O di mana sumbu memotong bidang yang bersangkutan. Persamaan (5) mencerminkan kondisi bahwa sumbu OZ adalah sumbu utama inersia benda untuk titik O (asal). Jika kondisi terpenuhi:

maka sumbu OY akan menjadi sumbu utama inersia untuk titik O.

Dalam hal persamaan berlaku:

maka ketiga sumbu koordinat sistem koordinat OXYZ adalah sumbu utama inersia benda untuk titik asal.

Momen inersia benda dalam kaitannya dengan sumbu utama inersia disebut momen inersia utama benda. Sumbu utama kelembaman, yang dibangun untuk pusat massa tubuh, disebut sumbu pusat utama kelembaman tubuh.

Jika tubuh memiliki sumbu simetri, maka itu adalah salah satu sumbu pusat utama inersia tubuh, karena pusat massa terletak pada sumbu ini. Jika benda mempunyai bidang simetri, maka sumbu yang tegak lurus bidang ini dan melalui pusat massa benda merupakan salah satu sumbu pusat utama inersia benda.

Konsep sumbu utama inersia dalam dinamika benda tegar sangat penting. Jika sumbu koordinat OXYZ diarahkan sepanjang mereka, maka semua momen inersia sentrifugal menjadi sama dengan nol, dan rumus yang harus digunakan dalam memecahkan masalah dinamika sangat disederhanakan. Konsep sumbu utama inersia dikaitkan dengan solusi masalah tentang persamaan dinamis benda dalam rotasi dan tentang pusat tumbukan.

Momen inersia suatu benda (dan juga sentrifugal) dalam sistem satuan internasional diukur dalam:

Momen inersia sentrifugal penampang

Momen inersia sentrifugal dari suatu bagian (gambar datar) relatif terhadap dua sumbu yang saling normal (OX dan OY) disebut nilai yang sama dengan:

ekspresi (8) mengatakan bahwa momen inersia sentrifugal bagian relatif terhadap sumbu yang saling tegak lurus adalah jumlah produk dari area dasar () dengan jarak dari mereka ke sumbu yang dipertimbangkan, di seluruh area S.

Satuan untuk mengukur momen inersia suatu penampang dalam SI adalah:

Momen inersia sentrifugal bagian kompleks terhadap dua sumbu yang saling normal sama dengan jumlah momen inersia sentrifugal dari bagian-bagian penyusunnya relatif terhadap sumbu-sumbu ini.

Contoh pemecahan masalah

CONTOH 1

Olahraga

Dapatkan ekspresi untuk momen inersia sentrifugal dari bagian persegi panjang tentang sumbu (X, Y).

Larutan

Mari kita membuat gambar. Untuk menentukan momen inersia sentrifugal, kami memilih dari persegi panjang yang ada elemen luasnya (Gbr. 1), yang luasnya sama dengan: Pada tahap pertama penyelesaian masalah, kami menemukan momen inersia sentrifugal () dari strip vertikal dengan tinggi dan lebar, yang terletak pada jarak dari sumbu Y (kami akan memperhitungkan bahwa ketika mengintegrasikan untuk semua situs di strip vertikal yang dipilih, nilainya konstan):