Momen inersia aksial. Momen inersia sentrifugal. Momen sentrifugal untuk benda dengan sumbu atau bidang simetri Temukan momen inersia sentrifugal
produk inersia, salah satu besaran yang mencirikan distribusi massa dalam suatu benda (sistem mekanis). Ts.M. Dan. dihitung sebagai jumlah produk dari massa saya ke titik tubuh (sistem) menjadi dua koordinat x k, y k, z k poin-poin ini:
Nilai-nilai Ts. M. Dan. bergantung pada arah sumbu koordinat. Dalam hal ini, untuk setiap titik tubuh, setidaknya ada tiga sumbu yang saling tegak lurus, yang disebut sumbu utama inersia, di mana Ts. M. Dan. sama dengan nol.
Konsep Ts. M. And. memegang peranan penting dalam mempelajari gerak rotasi benda. Dari nilai-nilai Ts. M. Dan. besarnya gaya tekanan pada bantalan di mana sumbu benda yang berputar diperbaiki. Tekanan ini akan menjadi yang terkecil (sama dengan statis) jika sumbu rotasi adalah sumbu utama inersia yang melewati pusat massa benda.
- - & nbsp...
Ensiklopedia fisik
- - & nbsp...
Ensiklopedia fisik
- - lihat Eferen ...
Ensiklopedia psikologis besar
- - karakteristik geometris dari penampang batang berdinding tipis terbuka, sama dengan jumlah produk dari luas penampang dasar dengan kuadrat dari luas sektoral - sektor tersebut adalah momen inersia - ...
Kosakata konstruksi
- - karakteristik geometris dari penampang batang, sama dengan jumlah produk dari luas dasar penampang dengan kuadrat jaraknya ke sumbu yang dipertimbangkan - momen adalah inersia - momen setrvačnosti - Trägheitsmoment -...
Kosakata konstruksi
- - nilai yang mencirikan distribusi massa dalam tubuh dan, bersama dengan massa, merupakan ukuran kelembaman tubuh jika tidak tersedia. pergerakan. Bedakan antara aksial dan sentrifugal M. dan. Aksial M. dan. sama dengan jumlah produk...
- - utama, tiga sumbu yang saling tegak lurus, yang dapat ditarik melalui titik mana pun di TV. benda-benda, dicirikan bahwa jika benda yang terpaku pada titik ini diputar di sekitar salah satu dari mereka, maka dengan tidak adanya ...
Ilmu pengetahuan Alam. kamus ensiklopedis
- - sumbu pada bidang penampang benda padat, relatif terhadap mana momen inersia bagian ditentukan - sumbu inersia - osa setrvačnosti - Trägheitsachse - inerciatengely - tenhlag inersia - oś bezwładności - axă de inerţie - osa inercije - eje...
Kosakata konstruksi
- - titik waktu di mana produk yang dikirim ke pembeli dianggap terjual ...
Kamus Ensiklopedis Ekonomi dan Hukum
- - konsep ini diperkenalkan ke dalam sains oleh Euler, meskipun Huygens telah menggunakan ekspresi dari jenis yang sama, tanpa memberinya nama khusus: salah satu jalur menuju definisinya adalah sebagai berikut ...
Kamus Ensiklopedis Brockhaus dan Euphron
- - nilai yang mencirikan distribusi massa dalam tubuh dan, bersama dengan massa, merupakan ukuran kelembaman tubuh selama gerakan non-translasi. Dalam mekanika membedakan M. dan. aksial dan sentrifugal ...
- - utama, tiga sumbu yang saling tegak lurus, ditarik melalui beberapa titik tubuh, memiliki properti yang, jika mereka diambil sebagai sumbu koordinat, maka momen inersia sentrifugal tubuh relatif terhadap ...
Ensiklopedia Besar Soviet
- - produk inersia, salah satu kuantitas yang mencirikan distribusi massa dalam tubuh ...
Ensiklopedia Besar Soviet
- - nilai yang mencirikan distribusi massa dalam tubuh dan, bersama dengan massa, merupakan ukuran kelembaman tubuh jika tidak tersedia. pergerakan. Membedakan momen inersia aksial dan sentrifugal...
- - yang utama adalah tiga sumbu yang saling tegak lurus yang dapat ditarik melalui titik mana pun dari benda padat, berbeda dalam hal jika benda, tetap pada titik ini, diputar di sekitar salah satunya, maka pada ...
Kamus ensiklopedis besar
- - ...
Bentuk kata
"Momen inersia sentrifugal" dalam buku
Berlawanan dengan inersia
Dari buku Sphinx abad XX penulis Petrov Rem ViktorovichBerlawanan dengan inersia
Dari buku Sphinx abad XX penulis Petrov Rem ViktorovichBertentangan dengan inersia "Dalam dua dekade terakhir, sifat imunologi penolakan cangkok jaringan telah menjadi umum diakui dan semua aspek dari proses penolakan berada di bawah kontrol eksperimental yang ketat." Sidik Jari Leslie Brent Jadi, untuk pertanyaan "Apa?
Dengan kelembaman
Dari buku Berapa Banyak Pria. Kisah pengalaman dalam 12 buku catatan dan 6 jilid. penulisDengan kelembaman
Dari buku Berapa Banyak Pria. Buku Sepuluh: Di bawah "sayap" tambang penulis Kersnovskaya Euphrosinia AntonovnaDengan inersia Untuk menghargai pemandangan, Anda perlu melihat gambar dari jarak tertentu. Untuk mengevaluasi suatu peristiwa dengan benar, Anda juga memerlukan jarak tertentu. Hukum inersia berlaku. Sementara semangat perubahan mencapai Norilsk, untuk waktu yang lama sepertinya semuanya meluncur bersama
24. Gaya Inersia
Dari buku Mekanika Ethereal penulis Danina Tatiana24. Gaya Inersia Eter yang dipancarkan oleh belahan belakang partikel yang bergerak secara inersia, ini adalah Gaya Inersia. Gaya Inersia ini merupakan gaya tolak menolak Eter yang mengisi partikel dengan Eter yang dipancarkan dengan sendirinya Besarnya Gaya Inersia sebanding dengan kecepatan pancaran
3.3.1. Pompa sentrifugal submersible
Dari buku Tukang ledeng saya sendiri. Pipa komunikasi pinggiran kota penulis Kashkarov Andrey Petrovich3.3.1. Pompa sentrifugal submersible Di bagian ini, kami akan mempertimbangkan opsi dengan pompa sentrifugal submersible NPTs-750. Saya menggunakan air dari kunci dari April hingga Oktober. Saya memompanya dengan pompa sentrifugal submersible NPTs-750 / 5nk (angka pertama menunjukkan konsumsi daya dalam watt,
Sama di mana-mana, kalau begitu
J a = (V) r 2 d V. (\ displaystyle J_ (a) = \ rho \ int \ limit _ ((V)) r ^ (2) dV.)Teorema Huygens - Steiner
Momen inersia benda tegar terhadap sembarang sumbu bergantung pada massa, bentuk dan ukuran benda, serta pada posisi benda dalam kaitannya dengan sumbu ini. Menurut teorema Huygens - Steiner, momen inersia suatu benda J terhadap sumbu sembarang sama dengan jumlah momen inersia benda ini J c relatif terhadap sumbu yang melalui pusat massa benda yang sejajar dengan sumbu yang bersangkutan, dan hasil kali massa benda M per jarak persegi D antara as:
J = J c + m d 2, (\ gaya tampilan J = J_ (c) + md ^ (2),)di mana M- berat badan keseluruhan.
Misalnya, momen inersia batang terhadap sumbu yang melalui ujungnya adalah:
J = J c + m d 2 = 1 12 m l 2 + m (l 2) 2 = 1 3 m l 2. (\ gaya tampilan J = J_ (c) + md ^ (2) = (\ frac (1) (12)) ml ^ (2) + m \ kiri ((\ frac (l) (2)) \ kanan) ^ (2) = (\ frac (1) (3)) ml ^ (2).)Momen inersia aksial dari beberapa benda
| Tubuh | Keterangan | Posisi sumbu sebuah | Momen inersia J a |
|---|---|---|---|
| Titik massa bahan M | Pada jarak R dari satu titik, tidak bergerak | ||
| Silinder berdinding tipis berongga atau cincin radius R dan massa M | Sumbu silinder | m r 2 (\ gaya tampilan mr ^ (2)) | |
| Silinder padat atau cakram radius R dan massa M | Sumbu silinder | 1 2 m r 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (2)) mr ^ (2)) | |
| Silinder massa berdinding tebal berongga M dengan radius luar R 2 dan radius dalam R 1 | Sumbu silinder | m r 2 2 + r 1 2 2 (\ displaystyle m (\ frac (r_ (2) ^ (2) + r_ (1) ^ (2)) (2))) | |
| Panjang silinder padat aku, radius R dan massa M | 1 4 m r 2 + 1 12 m l 2 (\ gaya tampilan (1 \ lebih 4) m \ cdot r ^ (2) + (1 \ lebih dari 12) m \ cdot l ^ (2)) | ||
| Panjang (cincin) silinder berdinding tipis berongga aku, radius R dan massa M | Sumbu tegak lurus terhadap silinder dan melalui pusat massanya | 1 2 m ⋅ r 2 + 1 12 m l 2 (\ gaya tampilan (1 \ lebih dari 2) m \ cdot r ^ (2) + (1 \ lebih dari 12) m \ cdot l ^ (2)) | |
| Panjang batang tipis lurus aku dan massa M | Sumbu tegak lurus dengan batang dan melalui pusat massanya | 1 12 ml 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (12)) ml ^ (2)) | |
| Panjang batang tipis lurus aku dan massa M | Sumbu tegak lurus dengan batang dan melalui ujungnya | 1 3 ml 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (3)) ml ^ (2)) | |
| Bola berdinding tipis dengan radius R dan massa M | Sumbu melalui pusat bola | 2 3 m r 2 (\ displaystyle (\ frac (2) (3)) mr ^ (2)) | |
| radius bola R dan massa M | Sumbu melalui pusat bola | 2 5 m r 2 (\ displaystyle (\ frac (2) (5)) mr ^ (2)) | |
| Kerucut radius R dan massa M | Sumbu kerucut | 3 10 m r 2 (\ displaystyle (\ frac (3) (10)) mr ^ (2)) | |
| Segitiga sama kaki dengan tinggi H, dasar sebuah dan massa M | Sumbu tegak lurus terhadap bidang segitiga dan melalui titik sudut | 1 24 m (a 2 + 12 j 2) (\ displaystyle (\ frac (1) (24)) m (a ^ (2) + 12j ^ (2))) | |
| Segitiga beraturan dengan sisi sebuah dan massa M | Sumbu tegak lurus terhadap bidang segitiga dan melalui pusat massa | 1 12 m a 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (12)) ma ^ (2)) | |
| Persegi dengan sisi sebuah dan massa M | Sumbu tegak lurus terhadap bidang bujur sangkar dan melalui pusat massa | 1 6 m a 2 (\ displaystyle (\ frac (1) (6)) ma ^ (2)) | |
| Persegi panjang dengan sisi sebuah dan B dan massa M | Sumbu tegak lurus terhadap bidang persegi panjang dan melalui pusat massa | 1 12 m (a 2 + b 2) (\ displaystyle (\ frac (1) (12)) m (a ^ (2) + b ^ (2))) | |
| Jari-jari n-gon reguler R dan massa M | Sumbu tegak lurus terhadap bidang dan melalui pusat massa | m r 2 6 [1 + 2 cos (π / n) 2] (\ displaystyle (\ frac (mr ^ (2)) (6)) \ kiri) | |
| Torus (berongga) dengan radius lingkaran pemandu R, jari-jari lingkaran pembangkit R dan massa M | Sumbu tegak lurus terhadap bidang lingkaran pemandu torus dan melewati pusat massa | I = m (3 4 r 2 + R 2) (\ gaya tampilan I = m \ kiri ((\ frac (3) (4)) \, r ^ (2) + R ^ (2) \ kanan)) |
Turunan dari rumus
Silinder berdinding tipis (cincin, ring)
Derivasi rumus
Momen inersia suatu benda sama dengan jumlah momen inersia bagian-bagian penyusunnya. Mari kita pecahkan silinder berdinding tipis menjadi elemen-elemen dengan massa dm dan momen inersia dJ saya... Kemudian
J = d J i = R i 2 d m. (satu) . (\ displaystyle J = \ sum dJ_ (i) = \ sum R_ (i) ^ (2) dm. \ qquad (1).)Karena semua elemen silinder berdinding tipis berada pada jarak yang sama dari sumbu rotasi, rumus (1) diubah menjadi bentuk
J = R 2 d m = R 2 d m = m R 2. (\ gaya tampilan J = \ jumlah R ^ (2) dm = R ^ (2) \ jumlah dm = mR ^ (2).)Silinder berdinding tebal (cincin, ring)
Derivasi rumus
Biarkan ada cincin homogen dengan jari-jari luar R, radius dalam R 1, tebal H dan kepadatan . Mari kita memecahnya menjadi cincin tipis yang tebal dr... Massa dan momen inersia cincin tipis berjari-jari R akan
d m = d V = 2 r h d r; d J = r 2 d m = 2 ρ h r 3 d r. (\ displaystyle dm = \ rho dV = \ rho \ cdot 2 \ pi rhdr; \ qquad dJ = r ^ (2) dm = 2 \ pi \ rho hr ^ (3) dr.)Kami menemukan momen inersia cincin tebal sebagai integral
J = R 1 R d J = 2 ρ h ∫ R 1 R r 3 dr = (\ gaya tampilan J = \ int _ (R_ (1)) ^ (R) dJ = 2 \ pi \ rho h \ int _ (R_ (1)) ^ (R) r ^ (3) dr =) = 2 j r 4 4 | R 1 R = 1 2 h (R 4 - R 1 4) = 1 2 h (R 2 - R 1 2) (R 2 + R 1 2). (\ displaystyle = 2 \ pi \ rho h \ kiri. (\ frac (r ^ (4)) (4)) \ kanan | _ (R_ (1)) ^ (R) = (\ frac (1) (2 )) \ pi \ rho h \ kiri (R ^ (4) -R_ (1) ^ (4) \ kanan) = (\ frac (1) (2)) \ pi \ rho h \ kiri (R ^ (2 ) -R_ (1) ^ (2) \ kanan) \ kiri (R ^ (2) + R_ (1) ^ (2) \ kanan).)Karena volume dan massa cincin sama
V = (R 2 - R 1 2) h; m = V = ρ (R 2 - R 1 2) h, (\ gaya tampilan V = \ pi \ kiri (R ^ (2) -R_ (1) ^ (2) \ kanan) h; \ qquad m = \ rho V = \ pi \ rho \ kiri (R ^ (2) -R_ (1) ^ (2) \ kanan) h,)kita mendapatkan rumus akhir untuk momen inersia cincin
J = 1 2 m (R 2 + R 1 2). (\ displaystyle J = (\ frac (1) (2)) m \ kiri (R ^ (2) + R_ (1) ^ (2) \ kanan).)Cakram homogen (silinder padat)
Derivasi rumus
Mengingat silinder (cakram) sebagai cincin dengan jari-jari dalam nol ( R 1 = 0), kita memperoleh rumus untuk momen inersia silinder (cakram):
J = 1 2 m R 2. (\ displaystyle J = (\ frac (1) (2)) mR ^ (2).)Kerucut padat
Derivasi rumus
Mari kita pecahkan kerucut menjadi cakram tipis yang tebal dh tegak lurus terhadap sumbu kerucut. Jari-jari piringan tersebut adalah
r = R h H, (\ gaya tampilan r = (\ frac (Rh) (H)),)di mana R- jari-jari dasar kerucut, H- tinggi kerucut, H Adalah jarak dari puncak kerucut ke piringan. Massa dan momen inersia piringan tersebut adalah
d J = 1 2 r 2 d m = 1 2 r 4 d h = 1 2 (R h H) 4 d h; (\ displaystyle dJ = (\ frac (1) (2)) r ^ (2) dm = (\ frac (1) (2)) \ pi \ rho r ^ (4) dh = (\ frac (1) ( 2)) \ pi \ rho \ kiri ((\ frac (Rh) (H)) \ kanan) ^ (4) dh;)Mengintegrasikan, kita mendapatkan
J = 0 H d J = 1 2 (R H) 4 0 H h 4 d h = 1 2 (R H) 4 h 5 5 | 0 H == 1 10 R 4 H = (ρ 1 3 R 2 H) 3 10 R 2 = 3 10 m R 2. (\ displaystyle (\ begin (aligned) J = \ int _ (0) ^ (H) dJ = (\ frac (1) (2)) \ pi \ rho \ left ((\ frac (R) (H)) \ kanan) ^ (4) \ int _ (0) ^ (H) h ^ (4) dh = (\ frac (1) (2)) \ pi \ rho \ kiri ((\ frac (R) (H) ) \ kanan) ^ (4) \ kiri (\ frac (h ^ (5)) (5)) \ kanan | _ (0) ^ (H) == (\ frac (1) (10)) \ pi \ rho R ^ (4) H = \ kiri (\ rho \ cdot (\ frac (1) (3)) \ pi R ^ (2) H \ kanan) (\ frac (3) (10)) R ^ ( 2) = (\ frac (3) (10)) mR ^ (2).\ End (sejajar)))Bola homogen padat
Derivasi rumus
Mari kita pecahkan bola menjadi piringan tipis yang tebal dh tegak lurus terhadap sumbu rotasi. Jari-jari piringan semacam itu terletak di ketinggian H dari pusat bola, kita temukan dengan rumus
r = R 2 - jam 2. (\ gaya tampilan r = (\ sqrt (R ^ (2) -h ^ (2))).)Massa dan momen inersia piringan tersebut adalah
d m = d V = r 2 d h; (\ displaystyle dm = \ rho dV = \ rho \ cdot \ pi r ^ (2) dh;) d J = 1 2 r 2 dm = 1 2 ρ r 4 dh = 1 2 (R 2 - h 2) 2 dh = 1 2 (R 4 - 2 R 2 h 2 + h 4) d h . (\ displaystyle dJ = (\ frac (1) (2)) r ^ (2) dm = (\ frac (1) (2)) \ pi \ rho r ^ (4) dh = (\ frac (1) ( 2)) \ pi \ rho \ kiri (R ^ (2) -h ^ (2) \ kanan) ^ (2) dh = (\ frac (1) (2)) \ pi \ rho \ kiri (R ^ ( 4) -2R ^ (2) h ^ (2) + h ^ (4) \ kanan) dh.)Kami menemukan momen inersia bola dengan mengintegrasikan:
J = - RR d J = 2 0 R d J = ∫ 0 R (R 4 - 2 R 2 h 2 + h 4) dh = = π (R 4 h - 2 3 R 2 h 3 + 1 5 j 5) | 0 R = (R 5 - 2 3 R 5 + 1 5 R 5) = 8 15 R 5 = = (4 3 R 3 ) 2 5 R 2 = 2 5 m R 2. (\ displaystyle (\ begin (aligned) J & = \ int _ (- R) ^ (R) dJ = 2 \ int _ (0) ^ (R) dJ = \ pi \ rho \ int _ (0) ^ ( R ) \ kiri (R ^ (4) -2R ^ (2) h ^ (2) + h ^ (4) \ kanan) dh = \\ & = \ pi \ rho \ kiri \ kiri (R ^ (4 ) h - (\ frac (2) (3)) R ^ (2) h ^ (3) + (\ frac (1) (5)) h ^ (5) \ kanan) \ kanan | _ (0) ^ ( R) = \ pi \ rho \ kiri (R ^ (5) - (\ frac (2) (3)) R ^ (5) + (\ frac (1) (5)) R ^ (5) \ kanan ) = (\ frac (8) (15)) \ pi \ rho R ^ (5) = \\ & = \ kiri ((\ frac (4) (3)) \ pi R ^ (3) \ rho \ kanan ) \ cdot (\ frac (2) (5)) R ^ (2) = (\ frac (2) (5)) mR ^ (2). \ end (sejajar)))Bola berdinding tipis
Derivasi rumus
Untuk penurunannya, kami menggunakan rumus momen inersia bola homogen berjari-jari R :
J 0 = 2 5 M R 2 = 8 15 R 5. (\ displaystyle J_ (0) = (\ frac (2) (5)) MR ^ (2) = (\ frac (8) (15)) \ pi \ rho R ^ (5).)Mari kita hitung berapa banyak momen inersia bola akan berubah jika, pada kerapatan konstan , jari-jarinya bertambah sangat kecil. dR .
J = d J 0 d R d R = dd R (8 15 R 5) d R = = 8 3 π ρ R 4 d R = (ρ 4 R 2 d R) 2 3 R 2 = 2 3 m R 2. (\ displaystyle (\ begin (sejajar) J & = (\ frac (dJ_ (0)) (dR)) dR = (\ frac (d) (dR)) \ kiri ((\ frac (8) (15)) \ pi \ rho R ^ (5) \ kanan) dR = \\ & = (\ frac (8) (3)) \ pi \ rho R ^ (4) dR = \ kiri (\ rho \ cdot 4 \ pi R ^ (2) dR \ kanan) (\ frac (2) (3)) R ^ (2) = (\ frac (2) (3)) mR ^ (2). \ End (sejajar))Batang tipis (sumbu melewati pusat)
Derivasi rumus
Mari kita mematahkan batang menjadi potongan-potongan kecil panjangnya dr... Massa dan momen inersia dari fragmen tersebut adalah
d m = m d r l; d J = r 2 d m = m r 2 d r l. (\ gaya tampilan dm = (\ frac (mdr) (l)); \ qquad dJ = r ^ (2) dm = (\ frac (mr ^ (2) dr) (l)).)Mengintegrasikan, kita mendapatkan
J = - l / 2 l / 2 d J = 2 0 l / 2 d J = 2 m l ∫ 0 l / 2 r 2 d r = 2 m l r 3 3 | 0 l / 2 = 2 m l l 3 24 = 1 12 m l 2. (\ displaystyle J = \ int _ (- l / 2) ^ (l / 2) dJ = 2 \ int _ (0) ^ (l / 2) dJ = (\ frac (2m) (l)) \ int _ (0) ^ (l / 2) r ^ (2) dr = (\ frac (2m) (l)) \ kiri (\ Frac (r ^ (3)) (3)) \ kanan | _ (0) ^ (l / 2) = (\ frac (2m) (l)) (\ frac (l ^ (3)) (24)) = (\ frac (1) (12)) ml ^ (2).)Batang tipis (sumbu melewati ujung)
Derivasi rumus
Saat menggerakkan sumbu rotasi dari tengah batang ke ujungnya, pusat gravitasi batang bergerak relatif terhadap sumbu dengan jarak l 2... Dengan teorema Steiner, momen inersia baru akan sama dengan
J = J 0 + m r 2 = J 0 + m (l 2) 2 = 1 12 m l 2 + 1 4 m l 2 = 1 3 m l 2. (\ displaystyle J = J_ (0) + mr ^ (2) = J_ (0) + m \ kiri ((\ frac (l) (2)) \ kanan) ^ (2) = (\ frac (1) ( 12)) ml ^ (2) + (\ frac (1) (4)) ml ^ (2) = (\ frac (1) (3)) ml ^ (2).)Momen inersia tak berdimensi planet dan satelit
Momen inersia tak berdimensi sangat penting untuk studi struktur internal planet dan satelitnya. Momen inersia tak berdimensi dari benda berjari-jari R dan massa M sama dengan rasio momen inersia relatif terhadap sumbu rotasi terhadap momen inersia suatu titik material dengan massa yang sama relatif terhadap sumbu rotasi tetap yang terletak pada jarak R(sama dengan Pak 2). Nilai ini mencerminkan distribusi kedalaman massa. Salah satu metode untuk mengukurnya di planet dan satelit adalah dengan menentukan pergeseran Doppler dari sinyal radio yang ditransmisikan oleh AMC yang terbang di sekitar planet atau satelit tertentu. Untuk bola berdinding tipis, momen inersia tak berdimensi adalah 2/3 (~ 0,67), untuk bola homogen - 0,4, dan umumnya semakin kecil, semakin besar massa benda yang terkonsentrasi di pusatnya. Misalnya, Bulan memiliki momen inersia tak berdimensi yang mendekati 0,4 (sama dengan 0,391), oleh karena itu diasumsikan bahwa ia relatif seragam, kerapatannya sedikit berubah dengan kedalaman. Momen inersia Bumi yang tidak berdimensi lebih kecil daripada momen inersia bola homogen (sama dengan 0,335), yang merupakan argumen yang mendukung keberadaan inti padat di dalamnya.
Momen inersia sentrifugal
Momen inersia sentrifugal suatu benda terhadap sumbu sistem koordinat kartesius persegi panjang adalah besaran berikut:
J xy = (m) xydm = (V) xy d V, (\ gaya tampilan J_ (xy) = \ int \ batas _ ((m)) xydm = \ int \ batas _ ((V)) xy \ rho dV,) J xz = (m) xzdm = (V) xz d V, (\ gaya tampilan J_ (xz) = \ int \ batas _ ((m)) xzdm = \ int \ batas _ ((V)) xz \ rho dV,) J yz = (m) yzdm = (V) yz ρ d V, (\ gaya tampilan J_ (yz) = \ int \ batas _ ((m)) yzdm = \ int \ batas _ ((V)) yz \ rho dV,)di mana x , kamu dan z- koordinat elemen kecil benda dengan volume dV, densitas dan massa dm .
Sumbu OX disebut sumbu utama inersia tubuh jika momen inersia sentrifugal J xy dan J xz secara bersamaan sama dengan nol. Tiga sumbu utama inersia dapat ditarik melalui setiap titik tubuh. Sumbu-sumbu ini saling tegak lurus satu sama lain. Momen inersia benda sehubungan dengan tiga sumbu utama inersia yang ditarik pada titik yang berubah-ubah HAI tubuh disebut momen inersia utama dari tubuh yang diberikan.
Sumbu utama kelembaman yang melalui pusat massa benda disebut sumbu pusat utama inersia tubuh, dan momen inersia terhadap sumbu-sumbu ini adalah momen pusat utama inersia... Sumbu simetri benda homogen selalu merupakan salah satu sumbu pusat inersia utamanya.
Momen inersia geometrik
Momen inersia geometri volume
J V a = (V) r 2 d V, (\ gaya tampilan J_ (Va) = \ int \ batas _ ((V)) r ^ (2) dV,)dimana, seperti sebelumnya R- jarak dari elemen dV ke poros sebuah .
Momen inersia geometris daerah tersebut tentang sumbu - karakteristik geometris tubuh, dinyatakan dengan rumus:
J S a = (S) r 2 d S, (\ displaystyle J_ (Sa) = \ int \ batas _ ((S)) r ^ (2) dS,)di mana integrasi dilakukan di atas permukaan S, sebuah dS adalah elemen dari permukaan ini.
Dimensi J Sa- panjang pangkat keempat ( d i m J S a = L 4 (\ displaystyle \ mathrm (redup) J_ (Sa) = \ mathrm (L ^ (4)))), masing-masing, satuan SI adalah 4. Dalam perhitungan konstruksi, literatur dan bermacam-macam produk logam canai, sering ditunjukkan dalam cm 4.
Melalui momen inersia geometrik dari area tersebut, momen hambatan dari bagian tersebut dinyatakan:
W = J S a r m a x. (\ gaya tampilan W = (\ frac (J_ (Sa)) (r_ (maks))).)Di Sini r maks- jarak maksimum dari permukaan ke sumbu.
| Momen inersia geometris dari luas beberapa angka | |
|---|---|
| Tinggi persegi panjang h (\ gaya tampilan h) dan lebar b (\ gaya tampilan b): | J y = b h 3 12 (\ gaya tampilan J_ (y) = (\ frac (bh ^ (3)) (12)))
J z = h b 3 12 (\ gaya tampilan J_ (z) = (\ frac (hb ^ (3)) (12))) |
| Penampang kotak persegi panjang dengan tinggi dan lebar di sepanjang kontur luar H (\ gaya tampilan H) dan B (\ gaya tampilan B), dan oleh internal h (\ gaya tampilan h) dan b (\ gaya tampilan b) masing-masing | J z = BH 3 12 - bh 3 12 = 1 12 (BH 3 - bh 3) (\ gaya tampilan J_ (z) = (\ frac (BH ^ (3)) (12)) - (\ frac (bh ^ ( 3)) (12)) = (\ frac (1) (12)) (BH ^ (3) -bh ^ (3)))
J y = HB 3 12 - hb 3 12 = 1 12 (HB 3 - hb 3) (\ gaya tampilan J_ (y) = (\ frac (HB ^ (3)) (12)) - (\ frac (hb ^ ( 3)) (12)) = (\ frac (1) (12)) (HB ^ (3) -hb ^ (3))) |
| Diameter lingkaran d (\ gaya tampilan d) | J y = J z = π d 4 64 (\ gaya tampilan J_ (y) = J_ (z) = (\ frac (\ pi d ^ (4)) (64))) |
Momen inersia relatif terhadap bidang
Momen inersia benda tegar relatif terhadap bidang tertentu adalah besaran skalar yang sama dengan jumlah produk massa setiap titik benda dengan kuadrat jarak dari titik ini ke bidang yang bersangkutan.
Jika melalui titik sembarang O (\ gaya tampilan O) menggambar sumbu koordinat x, y, z (\ gaya tampilan x, y, z), maka momen inersia terhadap bidang koordinat x O y (\ gaya tampilan xOy), y O z (\ gaya tampilan yOz) dan z O x (\ gaya tampilan zOx) akan dinyatakan dengan rumus:
J x O y = i = 1 n m i z i 2, (\ gaya tampilan J_ (xOy) = \ sum _ (i = 1) ^ (n) m_ (i) z_ (i) ^ (2) \,) J y O z = i = 1 n m i x i 2, (\ gaya tampilan J_ (yOz) = \ sum _ (i = 1) ^ (n) m_ (i) x_ (i) ^ (2) \,) J z O x = i = 1 n m i y i 2. (\ displaystyle J_ (zOx) = \ sum _ (i = 1) ^ (n) m_ (i) y_ (i) ^ (2) \.)Dalam kasus benda padat, penjumlahan diganti dengan integrasi.
Momen inersia pusat
Momen inersia pusat (momen inersia terhadap titik O, momen inersia terhadap kutub, momen inersia kutub) J O (\ gaya tampilan J_ (O)) adalah nilai yang ditentukan oleh ekspresi:
J a = (m) r 2 dm = (V) r 2 d V, (\ gaya tampilan J_ (a) = \ int \ batas _ ((m)) r ^ (2) dm = \ int \ batas _ ((V)) \ rho r ^ (2) dV,)Momen inersia pusat dapat dinyatakan dalam momen inersia aksial utama, serta dalam momen inersia relatif terhadap bidang:
JO = 1 2 (J x + J y + J z), (\ gaya tampilan J_ (O) = (\ frac (1) (2)) \ kiri (J_ (x) + J_ (y) + J_ (z) \ Baik),) J O = J x O y + J y O z + J x O z. (\ gaya tampilan J_ (O) = J_ (xOy) + J_ (yOz) + J_ (xOz).)Tensor inersia dan ellipsoid inersia
Momen inersia suatu benda terhadap sumbu sembarang yang melalui pusat massa dan memiliki arah yang diberikan oleh vektor satuan s → = s x, s y, s z T, | s → | = 1 (\ displaystyle (\ vec (s)) = \ kiri \ Vert s_ (x), s_ (y), s_ (z) \ kanan \ Vert ^ (T), \ kiri \ vert (\ vec (s) ) \ kanan \ vert = 1), dapat direpresentasikan sebagai bentuk kuadratik (bilinear):
I s = s → T J ^ s →, (\ displaystyle I_ (s) = (\ vec (s)) ^ (T) \ cdot (\ hat (J)) \ cdot (\ vec (s)) , \ qquad) (1)dimana adalah tensor inersia. Matriks tensor inersia adalah simetris, memiliki dimensi 3 × 3 (\ gaya tampilan 3 \ kali 3) dan terdiri dari komponen momen sentrifugal:
Dengan memilih sistem koordinat yang sesuai, matriks tensor inersia dapat direduksi menjadi bentuk diagonal. Untuk melakukan ini, kita perlu menyelesaikan masalah nilai eigen untuk matriks tensor J ^ (\ tampilan gaya (\ topi (J))):
di mana Q ^ (\ gaya tampilan (\ topi (Q)))) adalah matriks ortogonal transisi ke basis yang tepat dari tensor inersia. Pada dasarnya sendiri, sumbu koordinat diarahkan sepanjang sumbu utama dari tensor inersia, dan juga bertepatan dengan sumbu semi utama dari ellipsoid inersia tensor. Kuantitas J X, J Y, J Z (\ gaya tampilan J_ (X), J_ (Y), J_ (Z))- momen inersia utama. Ekspresi (1) dalam sistem koordinatnya sendiri berbentuk:
dari mana persamaan ellipsoid dalam koordinat eigen diperoleh. Membagi kedua ruas persamaan dengan I s (\ gaya tampilan I_ (s))
dan melakukan penggantian:
= sx I s, = sy I s, = sz I s, (\ displaystyle \ xi = (s_ (x) \ over (\ sqrt (I_ (s)))), \ eta = (s_ (y ) \ lebih (\ sqrt (I_ (s)))), \ zeta = (s_ (z) \ lebih (\ sqrt (I_ (s)))),)kami memperoleh bentuk kanonik dari persamaan ellipsoid dalam koordinat (\ displaystyle \ xi \ eta \ zeta):
2 ⋅ JX + 2 JY + 2 JZ = 1. (\ displaystyle \ xi ^ (2) \ cdot J_ (X) + \ eta ^ (2) \ cdot J_ (Y) + \ zeta ^ ( 2) \ cdot J_ (Z) = 1.)Jarak dari pusat ellipsoid ke beberapa titiknya terkait dengan nilai momen inersia tubuh sepanjang garis lurus yang melewati pusat ellipsoid dan titik ini:
r 2 = 2 + 2 + 2 = (s x I s) 2 + (s y I s) 2 + (s z I s) 2 = 1 I s. (\ displaystyle r ^ (2) = \ xi ^ (2) + \ eta ^ (2) + \ zeta ^ (2) = \ kiri ((s_ (x) \ over (\ sqrt (I_ (s)))) ) \ kanan) ^ (2) + \ kiri ((s_ (y) \ atas (\ sqrt (I_ (s)))) \ kanan) ^ (2) + \ kiri ((s_ (z) \ atas (\ sqrt (I_ (s)))) \ kanan) ^ (2) = (1 \ di atas I_ (s)).)Mari kita pertimbangkan beberapa karakteristik geometris dari bangun datar. Salah satu karakteristik ini disebut aksial atau khatulistiwa momen inersia. Karakteristik ini relatif terhadap sumbu dan 
(Gbr.4.1) berbentuk:
;
. (4.4)
Sifat utama momen inersia aksial adalah tidak boleh kurang dari nol atau sama dengan nol. Momen inersia ini selalu lebih besar dari nol: 
;
... Satuan ukuran momen inersia aksial adalah (panjang 4).
Hubungkan asal koordinat dengan segmen garis lurus 
dengan luas yang sangat kecil 
dan tunjukkan segmen ini dengan huruf 
(Gbr.4.4). Momen inersia suatu gambar relatif terhadap kutub - asal koordinat - disebut momen inersia kutub:
.
(4.5)
Momen inersia ini, seperti momen aksial, selalu lebih besar dari nol ( 
) dan memiliki dimensi - (panjang 4).
Ayo tulis kondisi invarian jumlah momen inersia ekuator terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus. Gambar 4.4 menunjukkan bahwa 
.
Mengganti ekspresi ini ke dalam rumus (4.5), kita mendapatkan:
Kondisi invarians dirumuskan sebagai berikut: jumlah momen inersia aksial tentang dua sumbu yang saling tegak lurus adalah nilai konstan dan sama dengan momen inersia kutub tentang titik perpotongan sumbu-sumbu ini.
Momen inersia suatu bangun datar relatif terhadap dua sumbu yang saling tegak lurus secara serentak disebut biaksial atau sentrifugal momen inersia. Momen inersia sentrifugal adalah sebagai berikut:
.
(4.7)
Momen inersia sentrifugal memiliki dimensi - (panjang 4). Itu bisa positif, negatif, atau nol. Sumbu-sumbu yang momen inersia sentrifugalnya sama dengan nol disebut sumbu utama inersia... Mari kita buktikan bahwa sumbu simetri bangun datar adalah sumbu utama.
Perhatikan gambar datar yang ditunjukkan pada Gambar 4.5.
Mari kita pilih ke kiri dan ke kanan dari sumbu simetri 
dua elemen dengan luas yang sangat kecil 
... Pusat gravitasi seluruh gambar berada di titik C. Tempatkan titik asal di titik C dan tunjukkan koordinat vertikal elemen yang dipilih dengan huruf “ 
", Horizontal - untuk elemen kiri" 
", Untuk elemen yang tepat" 
”. Kami menghitung jumlah momen inersia sentrifugal untuk elemen yang dipilih dengan luas yang sangat kecil relatif terhadap sumbu 
dan 
:
Jika kita integrasikan ekspresi (4.8) di kiri dan kanan, kita dapatkan:
,
(4.9)
karena jika sumbu 
adalah sumbu simetri, maka untuk setiap titik yang terletak di sebelah kiri sumbu ini, selalu ada titik simetris.
Menganalisis solusi yang diperoleh, kami sampai pada kesimpulan bahwa sumbu simetri 
adalah sumbu utama inersia. Sumbu tengah 
juga merupakan sumbu utama, meskipun bukan merupakan sumbu simetri, karena momen inersia sentrifugal dihitung secara bersamaan untuk kedua sumbu 
dan 
dan ternyata sama dengan nol.
DEFINISI
Momen inersia aksial (atau ekuator) bagian tentang sumbu disebut nilai, yang didefinisikan sebagai:
Ekspresi (1) berarti, untuk menghitung momen inersia aksial, jumlah produk dari area yang sangat kecil () dikalikan dengan kuadrat jarak dari mereka ke sumbu rotasi diambil dari seluruh area S:
Jumlah momen inersia aksial bagian relatif terhadap sumbu yang saling tegak lurus (misalnya, relatif terhadap sumbu X dan Y dalam sistem koordinat Cartesian) memberikan momen inersia kutub () relatif terhadap titik perpotongan ini sumbu:
DEFINISI
Momen kutub inersia disebut momen inersia sebagai penampang terhadap suatu titik tertentu.
Momen inersia aksial selalu lebih besar dari nol, karena dalam definisinya (1) di bawah tanda integral ada nilai luas area dasar (), selalu positif dan kuadrat jarak dari area ini ke sumbu.
Jika kita berurusan dengan bagian dari bentuk yang kompleks, maka dalam perhitungan sering digunakan bahwa momen inersia aksial dari bagian kompleks terhadap sumbu sama dengan jumlah momen inersia aksial dari bagian-bagian ini. bagian tentang sumbu yang sama. Namun, harus diingat bahwa momen inersia yang ditemukan relatif terhadap sumbu dan titik yang berbeda tidak dapat dijumlahkan.
Momen inersia aksial tentang sumbu yang melalui pusat gravitasi bagian memiliki nilai terkecil dari semua momen tentang sumbu yang sejajar dengannya. Momen inersia terhadap sembarang sumbu (), asalkan sejajar dengan sumbu yang melalui pusat gravitasi, adalah:
di mana momen inersia penampang relatif terhadap sumbu yang melalui pusat gravitasi penampang; - luas penampang; - jarak antara sumbu.
Contoh pemecahan masalah
CONTOH 1
| Olahraga | Berapa momen inersia aksial bagian segitiga sama kaki relatif terhadap sumbu Z yang melalui pusat gravitasi () segitiga, sejajar dengan alasnya? Tinggi segitiga tersebut adalah. |
| Larutan | Mari kita pilih area dasar persegi panjang pada bagian segitiga (lihat Gambar 1). Itu terletak pada jarak dari sumbu rotasi, panjang satu sisi, sisi lainnya. Dari Gambar 1 berikut bahwa:
Luas persegi panjang yang dipilih, dengan mempertimbangkan (1.1), sama dengan: Untuk menemukan momen inersia aksial, kami menggunakan definisinya dalam bentuk: |
| Menjawab |
CONTOH 2
| Olahraga | Temukan momen aksial inersia relatif terhadap sumbu tegak lurus X dan Y (Gbr. 2) dari bagian yang berbentuk lingkaran yang diameternya sama dengan d. |
| Larutan | Untuk menyelesaikan masalah, lebih mudah untuk memulai dengan menemukan momen kutub relatif terhadap pusat bagian (). Kami membagi seluruh bagian menjadi cincin tipis tak terbatas dengan ketebalan, jari-jari yang kami tunjukkan. Kemudian kita cari luas dasar sebagai: |
Momen inersia sentrifugal sekitar dua sumbu koordinat disebut jumlah produk dari massa setiap titik tubuh dengan koordinat sepanjang sumbu yang sesuai.
Jika tubuh memiliki sumbu simetri, maka momen inersia sentrifugal tubuh adalah nol dan sumbu y, x adalah yang utama.
17. Teorema Huygens-Steiner tentang menghitung momen tentang sumbu paralel.
Momen inersia suatu benda tegar terhadap sumbu yang tidak melalui pusat massa sama dengan jumlah momen inersia terhadap sumbu pusat yang melalui pusat massa dan sejajar dengan sumbu yang diberikan dan hasil kali benda massa dengan kuadrat jarak antara sumbu.
JC adalah momen inersia yang diketahui terhadap sumbu yang melalui pusat massa benda,
J adalah momen inersia yang diperlukan terhadap sumbu sejajar,
m - berat badan,
d adalah jarak antara sumbu yang ditentukan.
18. Perhitungan momen inersia benda homogen: pelat tipis, batang tipis, cincin, silinder, kerucut.
Batang tipis: 
silinder tipis:
piring tipis: 
Kerucut: 
cincin tipis: 
Bola: 
Perhitungan momen inersia terhadap sumbu sembarang.
Memungkinkan Anda menemukan momen inersia terhadap sumbu mana pun yang melalui sumbu koordinat dan komponen batubara
Dengan sumbu-sumbu ini, melalui nilai-nilai momen inersia aksial dan sentrifugal dari sumbu-sumbu ini.
Elipsoid inersia. Sumbu pusat inersia. Sifat ekstrim momen inersia.
Pusat ellipsoid berada di titik asal.
3 sumbu simetri ellipsoid disebut sumbu utama inersia, momen inersia terhadap sumbu utama disebut momen inersia utama.
Jika kita mengambil sumbu utama inersia sebagai sumbu koordinat, maka momen inersia sentrifugal tentang sumbu ini akan sama dengan nol.
ELLIPSOID OF INERTIA adalah permukaan yang mencirikan distribusi momen inersia suatu benda relatif terhadap berkas sumbu yang melewati titik tetap O. seperti geom. tempat ujung segmen OK = 1 /, diletakkan di sepanjang Ol dari titik O, di mana Ol adalah sumbu yang melewati titik O; Il adalah momen inersia benda terhadap sumbu ini (Gbr.). Pusat E. dan. bertepatan dengan titik O, dan persamaannya dalam sumbu koordinat yang ditarik secara sewenang-wenang, Oxyz memiliki bentuk
di mana Ix, Iy, Iz - aksial, dan Ixу, Iyz, Lzx - momen inersia sentrifugal benda relatif terhadap sumbu koordinat yang ditentukan. Pada gilirannya, mengetahui E. dan. untuk titik O, Anda dapat menemukan momen inersia relatif terhadap setiap sumbu l yang melalui titik ini, dari persamaan Il = 1 / R2, dengan mengukur jarak R = OK dalam satuan yang sesuai.
