Koordinat umum, gaya umum. Gaya umum dari suatu sistem dengan satu derajat kebebasan Gaya umum

Pertimbangkan sistem mekanis dengan koneksi ideal. Biarkan menjadi gaya aktif sistem. Mari kita beri sistem mekanis perpindahan virtual dan hitung kerja dasar gaya-gaya sistem pada perpindahan ini:

.

Menggunakan persamaan (17.2), kami menyatakan variasinya
radius vektor poin M k melalui variasi
koordinat umum:

karena itu,

. (17.6)

Mari kita ubah urutan penjumlahan dalam persamaan (17,6):

. (17.7)

Menunjukkan dalam ekspresi (17.7)

. (17.8)

.

Kekuatan umum Q J adalah koefisien untuk variasi koordinat umum dalam ekspresi kerja dasar gaya sistem.

Bergantung pada dimensi variasi koordinat umum
kekuatan umum Q J dapat memiliki dimensi gaya, momen, dll.

Metode untuk menghitung gaya umum

Pertimbangkan tiga cara untuk menghitung gaya umum.

1. Penentuan gaya umum dengan rumus dasar(17.8)

. (17.9)

Formula (17.9) jarang digunakan dalam praktik. Saat memecahkan masalah, metode kedua sering digunakan.

2. Metode koordinat umum "membekukan".

Mari kita beri sistem mekanik perpindahan virtual sedemikian rupa sehingga semua variasi koordinat umum kecuali
sama dengan nol:

Kami menghitung pekerjaan untuk gerakan ini
semua gaya aktif yang diterapkan pada sistem

.

Menurut definisi, pengali variasi
sama dengan gaya umum pertama Q 1 .

dan tentukan gaya umum kedua Q 2, menghitung kerja virtual semua gaya sistem

.

Kami menghitung semua gaya umum lainnya dari sistem dengan cara yang sama.

3. Kasus medan gaya potensial.

Misalkan energi potensial sistem mekanik diketahui

Kemudian
dan dengan rumus (32.8)

Prinsip perpindahan virtual statika dalam koordinat umum

Menurut prinsip perpindahan maya statika untuk kesetimbangan sistem dengan kendala stasioner holonomik yang membatasi, perlu dan cukup bahwa kondisi

pada kecepatan awal nol.

Lewat ke koordinat umum, kita dapatkan

. (17.11)

Karena variasi koordinat umum adalah independen, persamaan dengan nol ekspresi (17.11) hanya mungkin jika semua koefisien variasi koordinat umum sama dengan nol:

Lewat sini, agar sistem mekanis dengan batasan ideal, holonomik, stasioner, dan penahan berada dalam kesetimbangan, perlu dan cukup bahwa semua gaya umum sistem sama dengan nol (pada kecepatan awal sistem nol).

Persamaan Lagrange dalam koordinat umum (Persamaan Lagrange jenis kedua)

Persamaan Lagrange diturunkan dari persamaan umum dinamika dengan mengganti perpindahan maya dengan ekspresinya dalam bentuk variasi koordinat umum. Mereka mewakili sistem persamaan diferensial gerak sistem mekanis dalam koordinat umum:

. (17.13)

di mana
kecepatan umum,

T energi kinetik sistem, disajikan sebagai fungsi koordinat umum dan kecepatan umum

Q J kekuatan umum.

Jumlah persamaan sistem (17.13) ditentukan oleh jumlah derajat kebebasan dan tidak bergantung pada jumlah benda yang termasuk dalam sistem. Dengan kendala ideal, hanya gaya aktif yang akan masuk ke ruas kanan persamaan. Jika koneksi tidak sempurna, maka reaksi mereka harus dikaitkan dengan gaya aktif.

Dalam kasus gaya potensial yang bekerja pada sistem mekanik, persamaan (17.13) berbentuk:

.

Jika kita memperkenalkan fungsi Lagrange L = T  P, kemudian dengan mempertimbangkan bahwa energi potensial tidak bergantung pada kecepatan umum, kita memperoleh persamaan Lagrange jenis kedua untuk kasus gaya potensial dalam bentuk berikut

.

Saat menyusun persamaan Lagrange jenis kedua, Anda perlu melakukan hal berikut:

Tetapkan jumlah derajat kebebasan sistem mekanis dan pilih koordinat umumnya.

Buatlah ekspresi untuk energi kinetik sistem dan nyatakan sebagai fungsi koordinat umum dan kecepatan umum.

Dengan menggunakan metode yang diuraikan di atas, temukan gaya aktif umum dari sistem.

Lakukan semua operasi diferensiasi yang diperlukan dalam persamaan Lagrange.

Contoh.

di mana J z momen inersia benda terhadap sumbu rotasi z,
kecepatan sudut benda.

3. Mari kita definisikan gaya umum. Mari kita beri benda perpindahan maya dan hitung kerja maya semua gaya aktif sistem:

Karena itu, Q = M z momen utama gaya aktif sistem relatif terhadap sumbu rotasi benda.

4. Mari kita lakukan operasi diferensiasi dalam persamaan Lagrange

: (17.14)

. (17.15)

Substitusi persamaan (17.15) ke persamaan (173

14) kita memperoleh persamaan diferensial dari gerak rotasi benda

.

1. Gaya umum dapat dihitung dengan rumus (227), yang menentukannya, yaitu.

2. Gaya umum dapat dihitung sebagai koefisien untuk variasi yang sesuai dari koordinat umum dalam ekspresi untuk pekerjaan dasar (226 "), yaitu.

3. Metode yang paling tepat untuk menghitung gaya-gaya umum, yang diperoleh dari (226 ""), jika sistem diberitahukan suatu perpindahan yang mungkin di mana hanya satu koordinat umum yang berubah, sedangkan yang lain tidak berubah. Jadi jika, dan sisanya , maka dari (179 ") kita memiliki

.

Indeks menunjukkan bahwa jumlah pekerjaan dasar dihitung pada kemungkinan perpindahan, di mana hanya koordinat yang berubah (bervariasi). Jika koordinat variabelnya adalah, maka

. (227")

Kondisi keseimbangan untuk sistem gaya dalam hal gaya umum

Kondisi kesetimbangan sistem diturunkan dari prinsip kemungkinan perpindahan. Mereka berlaku untuk sistem yang prinsip ini benar: untuk keseimbangan sistem mekanis yang tunduk pada kendala holonomik, stasioner, ideal, dan tidak membebaskan, pada saat kecepatan semua titik sistem sama dengan nol, perlu dan cukup bahwa semua gaya umum sama dengan nol

. (228")

Persamaan umum dinamika

Persamaan umum dinamika untuk sistem dengan kendala apa pun (prinsip gabungan d'Alembert-Lagrange atau persamaan umum mekanika):

, (229)

di mana gaya aktif diterapkan ke titik sistem; - kekuatan reaksi ikatan; - kekuatan inersia suatu titik; - kemungkinan gerakan.

Dalam kasus keseimbangan sistem, ketika semua gaya inersia dari titik-titik sistem menjadi nol, itu berubah menjadi prinsip perpindahan yang mungkin. Biasanya digunakan untuk sistem dengan kendala ideal yang kondisinya

Dalam hal ini, (229) mengambil salah satu bentuk:

,

,

. (230)

Lewat sini, menurut persamaan umum dinamika, pada setiap momen gerak sistem dengan kendala ideal, jumlah kerja dasar semua gaya aktif dan gaya inersia titik-titik sistem sama dengan nol pada setiap kemungkinan perpindahan sistem diperbolehkan oleh batasan.

Persamaan umum dinamika dapat diberikan bentuk lain yang setara. Memperluas produk skalar vektor, dapat dinyatakan sebagai:

dimana adalah koordinat titik th dari sistem. Mempertimbangkan bahwa proyeksi gaya inersia pada sumbu koordinat melalui proyeksi percepatan pada sumbu ini dinyatakan oleh hubungan

,

persamaan umum dinamika dapat diberikan bentuk

Dalam bentuk ini disebut persamaan umum dinamika dalam bentuk analitik.

Saat menggunakan persamaan umum dinamika, perlu untuk dapat menghitung kerja dasar gaya inersia sistem pada kemungkinan perpindahan. Untuk ini, rumus yang sesuai untuk pekerjaan dasar, yang diperoleh untuk gaya konvensional, diterapkan. Mari kita pertimbangkan penerapannya untuk gaya inersia benda tegar dalam kasus-kasus tertentu gerakannya.

Saat bergerak maju. Dalam hal ini, tubuh memiliki tiga derajat kebebasan dan, karena kendala yang diberikan, ia hanya dapat melakukan gerakan translasi. Kemungkinan perpindahan tubuh, yang memungkinkan koneksi, juga translasi.

Gaya-gaya inersia selama gerak translasi direduksi menjadi resultan ... Untuk jumlah kerja elementer gaya inersia pada perpindahan translasi yang mungkin dari tubuh, kita memperoleh

di mana kemungkinan perpindahan pusat massa dan setiap titik tubuh, karena perpindahan translasi yang mungkin di semua titik tubuh adalah sama: percepatannya juga sama, yaitu

Ketika benda tegar berputar pada sumbu tetap. Tubuh dalam hal ini memiliki satu derajat kebebasan. Itu bisa berputar di sekitar sumbu tetap. Gerakan yang mungkin, yang diperbolehkan oleh kendala yang dipaksakan, juga merupakan rotasi benda dengan sudut dasar di sekitar sumbu tetap.

Gaya-gaya inersia, direduksi menjadi satu titik pada sumbu rotasi, direduksi menjadi vektor utama dan momen utama. Vektor utama gaya inersia diterapkan pada suatu titik tetap, dan kerja dasarnya pada kemungkinan perpindahan adalah nol. Pada momen utama gaya inersia, kerja dasar yang tidak sama dengan nol hanya akan dilakukan dengan proyeksinya ke sumbu rotasi. Jadi, untuk jumlah kerja gaya-gaya inersia pada kemungkinan perpindahan yang dipertimbangkan, kita memperoleh

,

jika sudut dilaporkan dalam arah panah busur dari percepatan sudut.

Dengan gerakan datar. Kendala yang dikenakan pada benda tegar, dalam hal ini, hanya memungkinkan perpindahan bidang yang mungkin. Dalam kasus umum, ini terdiri dari kemungkinan gerakan translasi bersama dengan kutub, di belakangnya kita memilih pusat massa, dan rotasi dengan sudut dasar di sekitar sumbu yang melewati pusat massa dan tegak lurus terhadap bidang, sejajar dengan mana tubuh dapat melakukan gerakan datar.

Dalam mekanika analitik, bersama dengan konsep gaya sebagai besaran vektor yang mencirikan efek pada benda tertentu dari benda material lain, konsep kekuatan umum... Untuk menentukan kekuatan umum pertimbangkan kerja virtual gaya yang diterapkan pada titik-titik sistem.

Jika sistem mekanis dengan pembatasan holonomik dikenakan padanya H memiliki koneksi s = 3n-h derajat kebebasan , maka posisi sistem ini ditentukan ( saya = s)

koordinat umum dan (2.11) : Menurut (2.13), (2.14) perpindahan maya k - titik

(2.13)

(2.14)

Substitusi (2.14): ke dalam rumus kerja virtual gaya

(2.24), kita peroleh

Besaran skalar = (2.26)

disebut kekuatan umum sesuai Saya-th koordinat umum.

Kekuatan umumsesuai saya-koordinat umum, disebut nilai yang sama dengan pengali dengan variasi dari koordinat umum yang diberikan dalam ekspresi kerja virtual gaya yang bekerja pada sistem mekanis.

Pekerjaan virtual ditentukan dari

mengatur kekuatan aktif, tidak tergantung pada kendala dan

reaksi koneksi (jika koneksi tidak ideal, maka untuk menyelesaikan masalah perlu mengatur ketergantungan fisik tambahan T j dari n J, ( T j adalah, sebagai aturan, gaya gesek atau momen perlawanan terhadap gesekan guling, yang kita tahu bagaimana menentukannya).

Secara umum kekuatan umum adalah fungsi dari koordinat umum, kecepatan titik sistem dan waktu. Ini mengikuti dari definisi bahwa kekuatan umum nilai skalar yang bergantung pada koordinat umum yang dipilih untuk sistem mekanis yang diberikan. Ini berarti bahwa ketika himpunan koordinat umum yang menentukan posisi sistem yang diberikan berubah, dan kekuatan umum.

Contoh 2.10. Untuk disk dengan radius R dan massa M, yang menggelinding tanpa meluncur pada bidang miring (Gambar 2.9), dapat diambil sebagai koordinat umum:

baik q = s perpindahan pusat massa piringan,

Setiap Q= j adalah sudut rotasi piringan. Jika kita mengabaikan tahanan gelinding, maka:

dalam kasus pertama kekuatan umum akan

Beras. 2.9 Q s = mg sina, dan

dalam kasus kedua Q j = mg r cosa.

Koordinat umum juga menentukan unit pengukuran yang sesuai kekuatan umum. Dari ekspresi (2.25)

(2.27)

maka satuan pengukuran kekuatan umum sama dengan unit pengukuran kerja dibagi dengan unit pengukuran koordinat umum.

Jika sebagai koordinat umum Q menerima q = s memindahkan titik, maka unit pengukuran kekuatan umum Q s akan [newton] ,

Namun, jika sebagai Q= j sudut rotasi (dalam radian) benda akan diambil, maka satuan pengukurannya kekuatan umum Q j akan menjadi [ newton meter].

Gambar 71

Gambar 70

Gambar 69

Posisi titik-titik mekanisme engkol (Gbr. 70) dapat ditentukan dengan mengatur sudut atau jarak engkol S menentukan posisi slide V(pada ).

Posisi bandul bola (Gbr. 71) ditentukan dengan menentukan dua parameter, sudut dan.

Jumlah minimum koordinat umum independen, yang cukup untuk secara lengkap dan jelas menentukan posisi semua titik sistem, disebut jumlah derajat kebebasan sistem ini.

Secara umum, beberapa koordinat umum dapat ditetapkan untuk sistem material apa pun. Misalnya, untuk mekanisme engkol (Gbr. 70), dua koordinat umum dan ditunjukkan. Tetapi ini tidak berarti bahwa mekanisme memiliki dua derajat kebebasan, karena satu koordinat dapat ditentukan melalui yang lain:

Tetapi bandul (Gbr. 71) memiliki dua derajat kebebasan, karena posisinya ditentukan oleh dua koordinat umum independen. Omong-omong, jika panjang bandul berubah, maka untuk menentukan posisi titik M satu parameter lagi diperlukan - koordinat umum aku, panjang benang. Dan bandul akan memiliki tiga derajat kebebasan.

Koordinat umum dalam kasus umum akan dilambangkan dengan huruf Q.

Biarkan sistem material memiliki S derajat kebebasan. Posisinya ditentukan oleh koordinat umum: Q 1 , Q 2 , Q 3 ,…, q k,…, q s. .

Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa koordinat Cartesian n titik-titik sistem dapat didefinisikan sebagai fungsi koordinat umum dan waktu:

Jadi bandul (Gbr. 71) memiliki koordinat titik M

ada fungsi koordinat aku, dan, dan waktu T, jika l = l (t).

Dengan demikian, vektor jari-jari dari titik-titik sistem dapat didefinisikan sebagai fungsi dari koordinat umum dan waktu:

Untuk setiap koordinat umum, gaya umum yang sesuai dapat dihitung Q k.

Perhitungan dilakukan sesuai dengan aturan ini.

Untuk menentukan gaya umum Q k sesuai dengan koordinat umum q k, koordinat ini perlu diberi kenaikan (tambahkan koordinat dengan nilai ini), biarkan semua koordinat lainnya tidak berubah, hitung jumlah pekerjaan semua gaya yang diterapkan pada sistem pada perpindahan titik yang sesuai dan bagi dengan kenaikan koordinat:

dimana perpindahan Saya-titik sistem, diperoleh dengan mengubah k-Th koordinat umum.

Gaya umum ditentukan dengan menggunakan pekerjaan dasar. Oleh karena itu, gaya ini dapat dihitung secara berbeda:

Dan karena ada kenaikan vektor radius karena kenaikan koordinat dengan sisa koordinat dan waktu tidak berubah T, relasi tersebut dapat didefinisikan sebagai turunan parsial. Kemudian

dimana koordinat titik adalah fungsi dari koordinat umum (5).

Jika sistemnya konservatif, yaitu, gerakan terjadi di bawah aksi gaya medan potensial, yang proyeksinya, di mana, dan koordinat titik-titiknya adalah fungsi dari koordinat umum, maka

Gaya umum dari sistem konservatif adalah turunan parsial dari energi potensial sepanjang koordinat umum yang sesuai dengan tanda minus.

Tentu saja, ketika menghitung gaya umum ini, energi potensial harus ditentukan sebagai fungsi dari koordinat umum

P = P ( Q 1 , Q 2 , Q 3 ,…,q s).

Catatan.

Pertama. Saat menghitung gaya umum, reaksi kendala ideal tidak diperhitungkan.

Kedua. Dimensi gaya umum tergantung pada dimensi koordinat umum. Jadi jika dimensi [ Q] - meter, lalu dimensi

Nm / m = Newton jika [ Q] - radian, maka = Nm; jika [ Q] = m2, lalu dst.

Contoh 23. Sebuah cincin meluncur di sepanjang batang yang berayun dalam bidang vertikal M berat R(gbr. 72). Kami menganggap tongkat itu tidak berbobot. Mari kita mendefinisikan kekuatan umum.

Tentu saja, ketika menghitung gaya umum ini, energi potensial harus ditentukan sebagai fungsi dari koordinat umum

P = P ( Q 1 , Q 2 , Q 3 ,…,q s).

Catatan.

Pertama. Saat menghitung gaya umum, reaksi kendala ideal tidak diperhitungkan.

Kedua. Dimensi gaya umum tergantung pada dimensi koordinat umum. Jadi jika dimensi [ Q] - meter, lalu dimensi

[Q] = Nm / m = Newton jika [ Q] - radian, lalu [Q] = Nm; jika [ Q] = m 2, lalu [Q] = H / m, dst.

Contoh 4. Sebuah cincin meluncur di sepanjang batang yang berayun dalam bidang vertikal M berat R(gbr. 10). Kami menganggap tongkat itu tidak berbobot. Mari kita mendefinisikan kekuatan umum.

Gambar 10

Larutan. Sistem memiliki dua derajat kebebasan. Menetapkan dua koordinat umum S dan .

Mari kita cari gaya umum yang sesuai dengan koordinat S. Kami memberikan kenaikan pada koordinat ini, membiarkan koordinat tidak berubah, dan menghitung pekerjaan satu-satunya gaya aktif R, kita memperoleh gaya umum

Kemudian kita menambah koordinat dengan mengatur S= konstanta Ketika batang diputar melalui suatu sudut, titik penerapan gaya R, cincin M, akan pindah ke. Kekuatan umum akan berubah

Karena sistem ini konservatif, gaya umum juga dapat ditemukan menggunakan energi potensial. Kita mendapatkan dan ... Ternyata jauh lebih mudah.

Persamaan kesetimbangan Lagrange

Menurut definisi (7), gaya umum , k = 1,2,3,…,S, di mana S- jumlah derajat kebebasan.

Jika sistem dalam keadaan setimbang, maka menurut prinsip kemungkinan perpindahan (1) ... Di sini - perpindahan yang diizinkan oleh tautan, kemungkinan perpindahan. Oleh karena itu, ketika sistem material berada dalam kesetimbangan, semua gaya umum sama dengan nol:

Q k= 0, (k=1,2,3,…, S). (10)

Persamaan ini, persamaan keseimbangan dalam koordinat umum atau Persamaan keseimbangan lagrange , memungkinkan pemecahan masalah statika dengan metode lain.

Jika sistemnya konservatif, maka. Oleh karena itu, dalam posisi keseimbangan. Artinya, dalam posisi kesetimbangan sistem material seperti itu, energi potensialnya adalah maksimum atau minimum, yaitu. fungsi (q) memiliki ekstrem.

Ini jelas dari analisis contoh paling sederhana (Gbr. 11). Energi potensial bola pada posisinya M 1 memiliki minimal di posisi M 2 adalah maksimum. Anda bisa melihatnya di posisi M 1 saldo akan stabil; hamil M 2 - tidak stabil.

Gambar 11

Kesetimbangan dianggap stabil jika tubuh dalam posisi ini diberikan dengan kecepatan rendah atau dipindahkan dengan jarak kecil dan penyimpangan ini tidak akan meningkat di masa depan.

Dapat dibuktikan (teorema Lagrange-Dirichlet) bahwa jika dalam posisi kesetimbangan sistem konservatif energi potensialnya minimum, maka posisi kesetimbangan ini stabil.

Untuk sistem konservatif dengan satu derajat kebebasan, kondisi energi potensial minimum, dan karenanya stabilitas posisi kesetimbangan, ditentukan oleh turunan kedua, dengan nilainya dalam posisi kesetimbangan,

Contoh 5. Inti OA berat R dapat berputar dalam bidang vertikal di sekitar sumbu HAI(gbr. 12). Mari kita cari dan selidiki stabilitas posisi kesetimbangan.

Gambar 12

Larutan. Batang memiliki satu derajat kebebasan. Koordinat umum adalah sudut.

Sehubungan dengan posisi yang lebih rendah, nol, energi potensial adalah P = h atau

Dalam posisi setimbang harus ada ... Oleh karena itu, kami memiliki dua posisi kesetimbangan yang sesuai dengan sudut dan (posisi OA 1 dan OA 2). Mari kita selidiki stabilitasnya. Temukan turunan kedua. Tentu dengan,. Posisi kesetimbangan stabil. Pada , ... Posisi keseimbangan kedua tidak stabil. Hasilnya jelas.

Kekuatan umum inersia.

Dengan teknik yang sama (8), dimana gaya umum dihitung Q k sesuai dengan gaya aktif, yang diberikan, gaya umum juga ditentukan S k sesuai dengan gaya inersia dari titik-titik sistem:

Dan sejak kemudian

Beberapa transformasi matematika.

Jelas sekali,

Karena а qk = qk (t), (k = 1,2,3, ..., s), maka

Oleh karena itu, turunan parsial dari kecepatan terhadap

Selain itu, pada suku terakhir (14), urutan diferensiasi dapat diubah:

Substitusi (15) dan (16) menjadi (14), dan kemudian (14) menjadi (13), kita memperoleh

Membagi jumlah terakhir dengan dua dan mengingat bahwa jumlah turunannya sama dengan turunan dari jumlah tersebut, kita dapatkan

di mana adalah energi kinetik sistem, adalah kecepatan umum.

persamaan Lagrange.

Menurut definisi (7) dan (12), gaya umum

Tetapi berdasarkan persamaan umum dinamika (3), ruas kanan persamaan sama dengan nol. Dan karena semuanya ( k = 1,2,3,…,S) adalah bukan nol, maka. Mengganti nilai gaya inersia umum (17), kita memperoleh persamaan

Persamaan ini disebut persamaan diferensial gerak dalam koordinat umum, persamaan Lagrange jenis kedua atau hanya – persamaan Lagrange.

Jumlah persamaan ini sama dengan jumlah derajat kebebasan sistem material.

Jika sistem konservatif dan bergerak di bawah aksi gaya medan potensial, ketika gaya digeneralisasi, persamaan Lagrange dapat ditulis dalam bentuk

di mana L = T- P disebut fungsi Lagrange (diasumsikan bahwa energi potensial P tidak bergantung pada kecepatan umum).

Seringkali, ketika mempelajari gerak sistem material, ternyata beberapa koordinat umum q j tidak secara eksplisit disertakan dalam fungsi Lagrange (atau dalam T dan P). Koordinat seperti itu disebut berhubung dgn putaran. Persamaan Lagrange yang sesuai dengan koordinat ini lebih mudah diperoleh.

Integral pertama dari persamaan tersebut ditemukan segera. Ini disebut integral siklik:

Penelitian lebih lanjut dan transformasi persamaan Lagrange adalah subjek dari bagian khusus mekanika teoretis - "Mekanika Analitik".

Persamaan Lagrange memiliki sejumlah keunggulan dibandingkan dengan metode lain untuk mempelajari gerak sistem. Keuntungan utama: metode menyusun persamaan sama di semua masalah, reaksi koneksi ideal tidak diperhitungkan saat menyelesaikan masalah.

Dan satu hal lagi - persamaan ini dapat digunakan untuk mempelajari tidak hanya mekanik, tetapi juga sistem fisik lainnya (listrik, elektromagnetik, optik, dll.).

Contoh 6. Mari kita lanjutkan mempelajari gerakan cincin M pada tongkat ayun (contoh 4).

Koordinat umum ditugaskan - dan s (Gbr. 13). Kekuatan umum didefinisikan: dan .

Gambar 13

Larutan. Energi kinetik cincin Dimana a dan.

Kami membuat dua persamaan Lagrange

maka diperoleh persamaan sebagai berikut:

Menerima dua persamaan diferensial nonlinier orde kedua, untuk penyelesaian yang memerlukan metode khusus.

Contoh 7. Mari kita buat persamaan diferensial gerak balok AB, yang menggelinding tanpa meluncur pada permukaan silinder (Gbr. 14). Panjang balok AB = aku, berat - R.

Dalam posisi setimbang, balok terletak horizontal dan pusat gravitasi DENGAN itu di bagian atas silinder. Balok memiliki satu derajat kebebasan. Posisinya ditentukan oleh koordinat umum - sudut (Gbr. 76).

Gambar 14

Larutan. Sistemnya konservatif. Oleh karena itu, kami menyusun persamaan Lagrange menggunakan energi potensial P = mgh, dihitung relatif terhadap posisi horizontal. Pada titik singgung, ada pusat kecepatan sesaat dan (sama dengan panjang busur lingkaran dengan sudut).

Oleh karena itu (lihat gambar 76) dan.

Energi kinetik (berkas membuat gerak bidang-paralel)

Kami menemukan turunan yang diperlukan untuk persamaan dan

Kami membuat persamaan

atau, akhirnya,

Soal tes mandiri

Apa yang disebut dengan gerakan yang mungkin dari sistem mekanis tak bebas?

Bagaimana kemungkinan dan gerakan aktual dari sistem saling berhubungan?

Sambungan apa yang disebut: a) stasioner; b.ideal?

Merumuskan prinsip kemungkinan perpindahan. Tuliskan ekspresi rumusnya.

Apakah mungkin untuk menerapkan prinsip gerakan virtual ke sistem dengan koneksi yang tidak sempurna?

Apa koordinat umum dari sistem mekanik?

Berapakah jumlah derajat kebebasan suatu sistem mekanik?

Dalam hal apa koordinat Cartesian dari titik-titik sistem tidak hanya bergantung pada koordinat umum, tetapi juga pada waktu?

Apa yang disebut dengan kemungkinan gerakan sistem mekanis?

Apakah kemungkinan perpindahan bergantung pada gaya yang bekerja pada sistem?

Hubungan apa dari sistem mekanis yang disebut ideal?

Mengapa ikatan gesekan bukan ikatan sempurna?

Bagaimana prinsip kemungkinan perpindahan dirumuskan?

Jenis persamaan kerja apa yang dapat dimiliki?

Mengapa prinsip perpindahan yang mungkin menyederhanakan penurunan kondisi untuk keseimbangan gaya yang diterapkan pada sistem tidak bebas yang terdiri dari sejumlah besar benda?

Bagaimana persamaan kerja untuk gaya yang bekerja pada sistem mekanik dengan beberapa derajat kebebasan disusun?

Apa hubungan antara gaya penggerak dan gaya hambatan pada mesin yang paling sederhana?

Bagaimana aturan emas mekanika dirumuskan?

Bagaimana reaksi ikatan ditentukan dengan menggunakan prinsip kemungkinan perpindahan?

Jenis koneksi apa yang disebut holonomik?

Apa yang disebut jumlah derajat kebebasan sistem mekanis?

Apa koordinat umum dari sistem?

Berapa banyak koordinat umum yang dimiliki sistem mekanis tak bebas?

Berapa derajat kebebasan yang dimiliki roda kemudi?

Apa yang disebut kekuatan umum?

Tuliskan rumus yang menyatakan kerja dasar lengkap dari semua gaya yang diterapkan pada sistem dalam koordinat umum.

Bagaimana dimensi gaya umum ditentukan?

Bagaimana gaya umum dihitung dalam sistem konservatif?

Tuliskan salah satu rumus yang menyatakan persamaan umum dinamika sistem dengan kendala ideal. Apa arti fisis dari persamaan ini?

Apa yang disebut gaya umum gaya aktif yang diterapkan pada sistem?

Apa itu gaya inersia umum?

Merumuskan prinsip d'Alembert dalam gaya umum.

Apa bentuk persamaan umum dinamika?

Apa yang disebut gaya umum yang sesuai dengan beberapa koordinat umum sistem, dan dimensi apa yang dimilikinya?

Apa reaksi umum dari koneksi ideal yang sama?

Turunkan persamaan umum dinamika dalam gaya umum.

Bagaimana bentuk kondisi kesetimbangan gaya yang diterapkan pada sistem mekanik yang diperoleh dari persamaan umum dinamika gaya umum?

Rumus apa yang digunakan untuk menyatakan gaya umum melalui proyeksi gaya pada sumbu tetap koordinat Cartesian?

Bagaimana gaya umum didefinisikan dalam kasus gaya konservatif dan non-konservatif?

Jenis hubungan apa yang disebut geometris?

Berikan notasi vektor dari prinsip kemungkinan perpindahan.

Apa kondisi yang diperlukan dan cukup untuk keseimbangan sistem mekanik dengan kendala geometris stasioner yang ideal?

Properti apa yang dimiliki fungsi kekuatan sistem konservatif dalam keadaan setimbang?

Tuliskan sistem persamaan diferensial Lagrange jenis kedua.

Berapa banyak persamaan Lagrange jenis kedua yang dapat dibuat untuk sistem mekanis tak bebas?

Apakah jumlah persamaan Lagrange suatu sistem mekanis bergantung pada jumlah benda yang menyusun sistem tersebut?

Apa yang disebut potensial kinetik suatu sistem?

Untuk sistem mekanis manakah fungsi Lagrange tersedia?

Fungsi argumen apa yang merupakan vektor kecepatan dari suatu titik yang termasuk dalam sistem mekanis dengan S derajat kebebasan?

Berapakah turunan parsial dari vektor kecepatan suatu titik dalam sistem terhadap beberapa kecepatan umum?

Fungsi dari argumen apa adalah energi kinetik dari suatu sistem yang tunduk pada kendala holonomik nonstasioner?

Apa bentuk persamaan Lagrange jenis kedua? Berapa jumlah persamaan ini untuk setiap sistem mekanik?

Apa bentuk persamaan Lagrange jenis kedua dalam kasus ketika gaya konservatif dan non-konservatif bekerja secara simultan pada sistem?

Apa fungsi Lagrange, atau potensial kinetik?

Apa bentuk persamaan Lagrange jenis kedua untuk sistem konservatif?

Bergantung pada variabel apa yang harus diungkapkan energi kinetik sistem mekanik saat menyusun persamaan Lagrange?

Bagaimana energi potensial sistem mekanik di bawah pengaruh gaya elastis ditentukan?

Tugas untuk solusi independen

Tujuan 1. Menerapkan prinsip kemungkinan perpindahan, tentukan reaksi ikatan struktur komposit. Diagram struktural ditunjukkan pada Gambar. 15, dan data yang diperlukan untuk solusi diberikan dalam tabel. 1. Dalam gambar, semua dimensi dalam meter.

Tabel 1

R 1, kN R 2, kn Q, kN / m M, kNm R 1, kN R 2, kn Q, kN / m M, kNm

Opsi 1 Opsi 2

Opsi 3 Opsi 4

Opsi 5 Opsi 6

Opsi 7 Opsi 8

Gambar 16 Gambar 17

Larutan. Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa dalam masalah ini semua kondisi untuk menerapkan prinsip Lagrange terpenuhi (sistem dalam kesetimbangan, kendalanya stasioner, holonomik, terbatas, dan ideal).

Melepaskan ikatan yang sesuai dengan reaksi x A (gbr. 17). Untuk melakukan ini, pada titik A, engsel tetap harus diganti, misalnya, dengan penyangga batang, dan sistem menerima satu derajat kebebasan. Seperti yang telah dicatat, kemungkinan pergerakan sistem ditentukan oleh kendala yang dikenakan padanya dan tidak bergantung pada gaya yang diterapkan. Oleh karena itu, penentuan kemungkinan perpindahan adalah tugas kinematik. Karena dalam contoh ini bingkai hanya dapat bergerak pada bidang gambar, maka kemungkinan gerakannya adalah datar. Dalam kasus gerak datar, gerakan benda dapat dianggap sebagai rotasi di sekitar pusat kecepatan sesaat. Jika pusat kecepatan sesaat terletak tak terhingga, maka ini sesuai dengan kasus gerak translasi sesaat, ketika perpindahan semua titik benda adalah sama.

Untuk menemukan pusat kecepatan sesaat, kita perlu mengetahui arah kecepatan dua titik benda. Oleh karena itu, penentuan kemungkinan perpindahan struktur komposit harus dimulai dengan mencari kemungkinan perpindahan elemen yang kecepatannya diketahui. Dalam hal ini, Anda harus mulai dengan bingkai. CDB sejak titik V diam dan, oleh karena itu, gerakan yang mungkin dari bingkai ini adalah rotasinya dengan sudut di sekitar sumbu yang melewati engsel B. Sekarang, mengetahui kemungkinan pergerakan titik DENGAN(secara bersamaan milik kedua bingkai sistem) dan kemungkinan pergerakan titik SEBUAH(kemungkinan pergerakan titik A adalah pergerakannya sepanjang sumbu x), kami menemukan pusat kecepatan sesaat C 1 dari bingkai MEA... Dengan demikian, dimungkinkan untuk memindahkan bingkai MEA adalah rotasinya di sekitar titik C 1 dengan sudut. Hubungan antara sudut dan ditentukan melalui pergerakan titik C (lihat Gambar 17)

Dari persamaan segitiga EC 1 C dan BCD kita peroleh

Akibatnya, kami mendapatkan dependensi:

Menurut prinsip kemungkinan gerakan

Mari kita hitung secara berurutan kemungkinan pekerjaan yang disertakan di sini:

Q = 2q adalah resultan dari beban terdistribusi, titik aplikasi yang ditunjukkan pada Gambar. 79; kemungkinan pekerjaan yang dia lakukan adalah sama.