Статический расчет арки. Статический расчет арок

Производим в следующем порядке. Определяем действующие на арку расчетные нагрузки. Затем вычисляют опорные реакции - вертикальную R и горизонтальную H - и действующие в сечениях арки усилия - изгибающие моменты М, продольные N и поперечные Q силы. Затем подбирают сечения арки - ее верхнего и нижнего поясов и проверяют действующие в них нормальные  и скалывающие  напряжения, которые не должны превышать расчетных сопротив­лений древесины при сжатии R c , растяжении R р, скалывании  и расчетного сопротивления стали R. В заключение рассчитывают узловые соединения.

Распределенные нагрузки определяются с учетом шага расста­новки арок B. Они являются линейными и их удобно вычислять в кН/м, сосредоточенные нагрузки - в кН.

Постоянная нагрузка g условно, в небольшой запас прочности, считается равномерно распределенной по длине пролета арки, для чего ее фактическое значение увеличивается на отношение длины арки к ее пролету, т. е. 2S/l. Снеговая нагрузка S на треугольные и стрельчатые арки дается в нормах условно равномерно распре­деленной по длине пролета арки, расположенной на всем пролете или на полупролетах. Снеговая нагрузка на сегментные арки может быть равномерно распределенной по всему пролету или его половинам и зависит от отношения длины пролета к его высоте - l/(8f). Эта нагрузка S 1 может быть также треугольной с максимальными значениями над опорными узлами и нулевыми в коньке в зависимости от отношения высоты арки к пролету f/l.

Ветровая нагрузка W дается нормами равномерно распределен­ной по длине верхнего пояса арки. На пологие треугольные и сегментальные арки она действует в виде ветрового отсоса W и, как правило, не учитывается в расчете, так как она почти не увеличивает усилий, действующих в сечениях этих арок. На относительно высокие сегментные треугольные и стрельчатые арки ветровая нагрузка действует в виде давления W+ на подветренную сторону и отсоса W- на заветренную, обычно близких по значению. На стрельчатые арки ветровая нагрузка может приниматься условно равномерно распределенной по длине хорд полуарок. При расчете этих арок ветровая нагрузка обязательно учитывает­ся, так как она существенно увеличивает усилия в их сечениях. Сосредоточенные нагрузки от подвесного оборудования с грузами Р принимаются в соответствии с данными технологической части расчета.

Определение усилий в сечениях арок производится с учетом того, что трехшарнирные арки являются статически определенными конструкциями. Двухшарнирные арки однажды статически не определимы. Однако расчет их как трехшарнирных дает в большинстве случаев результаты, достаточно близкие к расчету, с учетом их статической неопределимости.

Опорные реакции трехшарнирной арки без затяжки, опираю­щиеся прямо на фундаменты, имеют вертикальные и горизон­тальные составляющие. Вертикальная опорная реакция арки R определяется из условия равенства нулю изгибающего момента в противоположном опорном шарнире. Горизонтальная опорная реак­ция Н, численно равная распору арки без затяжки, определяется из условия равенства нулю изгибающего момента в коньковом шарнире. В арке с затяжкой горизонтальная опорная реакция отсутствует. В такой арке возникает продольная растягивающая сила в затяжке, численно равная горизонтальной опорной реакции арки без затяжки. Например, при равномерной снеговой наг­рузке на левом полупролете арки без затяжки вертикальная опор­ная реакция левой опоры R = Зs1/8, а при этой нагрузке на правом полупролете R = s1/8. В обоих случаях горизонтальная опорная реакция H = 5sl2/(16f).

При треугольной снеговой нагрузке s 1 на левом полупролете арки с максимальным значением на опоре вертикальная опорная реакция левой опоры R = 5s 1 l/24. При такой же нагрузке на правом полупролете вертикальная опорная реакция левой опоры R = sl/24. В обоих случаях горизонтальная опорная реакция H = sl 2 /(48f). Опорные реакции от двусторонней равномерной нагрузки будут равны сумме реакций от нагрузок на левом и правом полупролетах, т. е. R=q1/2 и H= ql 2 /(8f).

Усилия в сечениях арок - изгибающие моменты М, продоль­ные N и поперечные Q силы - определяются в зависимости от нагрузок, координат сечений x и у и углов наклона , касательных к оси в этих сечениях. Например, при равномерной снеговой нагрузке s на левом полупролете арки М х, Q x и N х определяются по формулам:

М х = R х - Ну - sх 2 /2; N х = (R - sх)sin + Нcos;

Q х = (R - sx)соs - Hsin.

При равномерной снеговой нагрузке на правой полуарке эти усилия определяются по тем же формулам без членов, содержа­щих нагрузку s. При треугольной нагрузке на левом полупролете с максимальным значением над опорой s 1 и промежуточными значе­ниями s x = (1 - 2x/l)s 1 усилия в верхнем поясе сегментной арки определяются по формулам:

М х = R х - Ну - s 1 х 2 /2+sx 3 /(3l); N х = (R - s 1 х+ s 1 х 2 /l)sin + Нcos;

Q Х = (R- s 1 x+ s 1 х 2 /l)соs - Hsin.

При треугольной снеговой нагрузке на правом полупролете усилия в левой полуарке сегментной арки определяют по этим же формулам без членов, содержащих нагрузку s 1 .

Определение опорных реакций и усилий в сечениях удобно производить в одной, например, левой полуарке в следующем порядке. Сначала от снеговой равномерно распределенной и тре­угольной нагрузки на левом и затем на правом полупролете арки, затем от ветровой нагрузки при ветре слева и справа и далее от подвесного оборудования.

Изгибающие моменты следует определять во всех сечениях левой полуарки и иллюстрировать их эпюрами моментов. Продольные и поперечные силы можно определять только в опорном и коньковом шарнирах сегментных арок, где они достигают наибольших значений. Усилия от двусторонней снеговой равномерно распределенной нагрузки определяются путем суммирования усилий от снеговых нагрузок на левом и правом полупролетах арки, а усилия от постоянной равномерно распределенной нагрузки определяются путем умножения усилий от равномерно распределенной нагрузки на всем пролете арки на отношение постоянной и снеговой равномерно распределенных нагрузок g/s. Полученные значения сводятся в таблицу усилий в сечениях арки. Затем с помощью этой таблицы определяют мак­симальные положительные и отрицательные изгибающие момен­ты, продольные и поперечные силы в сечениях арки и опорные реакции при расчетных сочетаниях действующих нагрузок. При этом усилия от двух и более временных нагрузок уменьша­ются коэффициентом сочетаний k = 0,9.

АРОЧНЫЕ КОНСТРУКЦИИ

Происхождение, история, физические свойства и виды арок.

Арка - одна из древнейших архитектурных форм, на заре цивилизации она не была просто перекрытием, она несла в себе ритуально-символический смысл. Слово «арка» происходит от латинского «arcus» - дуга, но существует версия, что слово происходит от ивритского «арука», что означает «длинная, тянущаяся». С развитием каменного зодчества, арки приобрели повсеместный характер и стали частью многих типов сооружений. Сегодня арка является популярным декоративным элементом, подчеркивающим изящность и одновременно монументальность объекта, наряду с этим они заняли нишу в промышленном строительстве и стали неотъемлемым элементом многих хозяйственных построек.

Так как же появился столь прекрасный и незаменимый элемент? Откуда человек смог его почерпнуть? Какие схожие конструкции присутствуют в архитектуре и природе? Как развивалась и трансформировалась арка в ходе истории, и какие приобретала значения для человечества? Люди часто забывают о значимости обыденных вещей и редко задумываются о происхождении, на первый взгляд привычного и естественного. Потому-то и стоит периодически освещать простые, знакомые каждому и давно забытые как проблема, вещи и явления.

Изучение арок, как основного элемента храмовой и соборной архитектуры, а так же, и как отдельно стоящего произведения монументальной архитектуры - триумфальной арки, занимает в истории искусств огромное место. Применение арок как пролетов или несущих конструкций имело повсеместный характер уже в начале нашей эры, а оформление арочной конструкцией входа и окон - с 10 по 15 века являлось каноническим и предопределяло становление архитектурных стилей. Возможность распределять нагрузку всего здания на одни лишь арки сыграла роль в становлении и развитии искусства постройки готических соборов, и способствовала появлению в них витража. Особое место арочный пролет занимает в мостострое, ведь именно благодаря этому элементу было создано огромное количество переправ. Сейчас же при помощи арочного принципа можно с легкостью создать покрытия промышленных, сельскохозяйственных и общественных зданий пролетом от 12 до 100м. Это могут быть ангары и складские помещения, спортивные и торговые комплексы, различные кровельные системы. Виды и формы арок, их назначение, а так же сооружение, в которых они применяются, достигли необыкновенного разнообразия и, скорее всего, пришли к кульминационному моменту развития, продолжая свой длинный исторический путь.

Происхождение и природа арок

Как же человек пришел к такой несокрушимой и долговечной конструкции, которую легко соорудить из природных материалов, создав прочную опору для всего сооружения?

Скорее всего, люди заметили эту форму в природе, окружающей человека испокон веков. Арки были всегда на виду у человека - это и вход в пещеру, и грот, и склоненные друг к другу деревья, и радуга, и полукруг заходящего солнца. В мире встречаются необычные и причудливые природные арки. Они разбросаны по свету и присутствуют на каждом материке. Эти гигантские естественные шедевры вырезаны из твердых скал, под влиянием воды, ветра и солнца.

Некоторые из них возвышаются на десятки метров над землей, в то время как другие едва сформированы и почти незаметны, но в любом случае их объединяет одно - все эти красивые естественные формирования обладают уникальной формой арки. Примеров таких явлений бесконечное множество, так что придется привести лишь наиболее монументальные и известные арки. Это Лондонская арка на побережье южной Австралии , гора Слоновий хобот, расположенная на побережье реки в южном Китае , утес Персе в Квебеке в восточной Канаде , Дердл-Дор - выступ на северном побережье Великобритании , Лазурное Око на западном побережье мальтийских островов . Радужный мост и Изящная арка находятся в США в штате Юта, где располагается целый национальный парк арок. В парке находится более 2000 природных арок из песчаника, а так же множество других ландшафтных образований. Он имеет площадь 309 кв. км и находится неподалеку от города Моаб. А самой большой на данный момент считается арка, расположенная в Китае, - мост Фей, пролет которой около 120 метров. Подобные, сформированные природой, арки можно встретить и в России : гора Кольцо в окрестностях Кисловодска, грот Дианы в мысе Лермонтова, Арка Стеллера на дальневосточном побережье, скала Золотые ворота близ массива Кара-Даг и др.

У людей первобытного мира арка принимала участие в ритуалах и, скорее, служила символом, в который вложен особый смысл, ведь через нее можно пройти. Например, у некоторых племен центральной Африки существует обряд, согласно которому, что бы мальчик стал мужчиной, он должен на несколько дней отправиться в лес и выжить там. Племя строит из веток арку на окраине леса, юноши, которые должны доказать, что уже готовы повзрослеть, уходят через арку в чащу, а оставшееся в деревне племя, начинает их оплакивать. Когда же те вернуться, то считаются уже зрелыми и готовыми к жизни мужчинами. Так же, пигмеи верят в существование бога радуги и, когда она, наконец, появляется, они, выражая желание общаться с ним, берут лук и стреляют в радугу. У римлян, где богом ворот и дверей был двуликий Янус , проход через ворота, по сторонам которых находились алтари Януса и Юноны , символизировал переход из одного возраста в другой. Значение ворот в религии Древнего Рима не ограничивалось обрядом юношеской инициации, но также было своеобразным способом очищения от зла. Арка была символом небосвода, у греков она обозначала Зевса, у римлян - Юпитера , а 35 арок символизировали дорогу жизни. Арки участвовали и в ритуале чествования и освящения победы. Триумфальные арки в конце концов наводнили всю Италию. Они были символом, увековечивающим победы. Однопролетные, глубокие, массивные арки на Руси были городскими воротами, защищающими от врагов, но в мирное время служили точкой отправления ритуальных шествий, так например, у главных ворот встречали масленицу и поедали блины. Дуга была и обтекаемым, динамичным элементом, присутствуя в конской упряжке. Важным является присутствие арки в обряде кумования на троицу. По обычаю, нужно сплести верхушки двух молодых, стоящих рядом берез, и, пройдя через получившуюся арку, обняться и поцеловаться - покумоваться. После этого девушки становились неразлучными подругами, и их не должны были посещать ссоры. Таким образом, арка, как символ, элемент быта, инструмент обрядов присутствует у различных народов и цивилизаций и играет важную роль в их жизни и культуре.

Схемы нагрузок показаны на рис. 9.

Расчет арки производим для следующих сочетаний нагрузок 1) постоянной и снеговой, равномерно распределенной по всему пролету; 2) постоянной по всему пролету и снеговой, равномерно распределенной на половине пролета, 3) постоянной по всему пролету и снеговой, распределенной по треугольнику на половине пролета (СНиП 2.01.07-85, п. 5.3).

Определяем усилия в арке при разных схемах нагружения от нагрузки 10 кН/м:

а) от равномерно распределенной нагрузки по всему пролету:

вертикальные опорные реакции

V А = V В = q·L/2 = 10·60/2 = 300 кН ;

горизонтальный распор

H = q·L 2 /(8f) = 10·60 2 /(8×11) = 410 кН ;

Рис. 9. Схема нагрузок от собственного веса и снега, действующих на арку

б) от равномерно распределенной нагрузки на полупролете (слева):

вертикальные опорные реакции:

V А = 10·L/8 = 3×60/8 = 75 кН ;

V В = 10·L/8 = 60/8 = 75 кН ;

горизонтальный распор

H = q·L 2 /(16f) = 10·60 2 /(16×11) = 205 кН ;

в) от распределенной по треугольнику нагрузки наполовине пролета (слева):

вертикальные опорные реакции

V А = 5·q·L/24 = 5×10·60/24 = 125 кН ;

V В = q·L/24 = 10·60/24 = 25 кН ;

горизонтальный распор

H = q·L 2 /(48f) = 10·60 2 /(48×11) = 68,2 кН .

Значения M x , Q x и N x для загружения (п. а ) и на участке 0 ≤ x ≤ L /2 (п. б ) вычислены по формулам:

M x = V А ×x - x 2 /2 - H×y ;

Q x = -Hsin φ + (V А - x)cos φ;

N x = Hcos φ + (V А - x)sin φ.

На участке L/2 ≤ x ≤ L - по формулам:

M x = V В (L - x) - Hy ;

Q x = Hsin φ - V В cos φ;

N x = -Hcos φ - V В sin φ.

Для загружения (по п. в ) вычисления проводились по формулам

на участке 0 ≤ x ≤ L/2 :

M x = V А - Hy;

Q x = V А cos φ - Hsin φ;

N x = Hcos φ + V А sin φ;

на участке L/2 ≤ x ≤ L :

M x = V В (L - x) - Hy;

Q x = Hsin φ - V В cos φ;

N x = -H cos φ - V В sin φ.

На рис. 10 даны эпюры изгибающих моментов от нагрузок по пп. а , б , в и от сочетания нагрузок по схемам 1, 2 и 3. На рис. 11 даны эпюры нормальных и поперечных сил от сочетания нагрузок по схемам 1, 2 и 3. Вертикальные опорные реакции V А и V В и распор H для различных схем загружения соответственно равны 384, 384, 523 кН (схема 1); 341, 254, 406 кН (схема 2) и 433, 255, 408 кН (схема 3).

Как видно из эпюр, расчетной является схема загружения 3 как по положительным, так и по отрицательным моментам. Максимальный положительный момент имеется в сечениях с абсциссой x = 10 м, а отрицательный - с абсциссой x = 50 м.

Расчетные усилия

M 10 = 343 кН×м; N 10 = -461 кН; M 50 = -477 кН×м; M 50 = -449 кН.

Рис. 10. Эпюры изгибающих моментов в арке от расчетных нагрузок и от их сочетания

а) постоянной (собственный вес арки); б) снеговой, равномерно распределенной по всему пролету; в) снеговой, равномерно распределенной на половине пролета; г) снеговой, распределенной по треугольнику на половине пролета; 1 - постоянной (а) и снеговой (б); 2 - постоянной (а) и снеговой (в); 3 - постоянной (а) и снеговой (г)

Рис. 11. Эпюры нормальных (N) и поперечных (Q) сил в арке от сочетания расчетных нагрузок

1 - постоянной (а) и снеговой (б); 2 - постоянной (а) и снеговой (в); 3 - постоянной (а) и снеговой (г)