Ecuații logaritmice 13 stabilirea examenului. Exersați în mod regulat rezolvarea problemelor

În cea de-a 13-a sarcină a nivelului de profil al UTILIZĂRII în matematică, este necesar să se rezolve ecuația, dar deja de un nivel crescut de complexitate, deoarece sarcinile fostului nivel C încep de la a 13-a sarcină, iar această sarcină poate fi numit C1. Să trecem la examinarea exemplelor de sarcini tipice.

Analiza opțiunilor tipice pentru sarcinile nr. 13 ale USE în matematică la nivelul profilului

Prima variantă a sarcinii (versiunea demo 2018)

a) Rezolvați ecuația cos2x = 1-cos (n / 2-x)

b) Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin intervalului [-5n / 2; -n].

Algoritmul soluției:

1. t
2. Facem schimbarea inversă și rezolvăm cele mai simple ecuații trigonometrice.

1. Construim o axă numerică.
2. Am pus rădăcini pe el.
3. Marcăm capetele segmentului.
4. Selectăm acele valori care se află în interval.
5. Scriem răspunsul.

Soluţie:

1. Transformăm partea dreaptă a egalității folosind formula de reducere cos ( π/ 2−X) = păcat X... Avem:

cos2x = 1 - sin X.

Transformă partea stângă a ecuației folosind argumentul dublu formula cosinusului folosind sinusul:

cos (2x) = 1−2sin 2x

Obținem următoarea ecuație: 1 - sin 2 X= 1− păcat X

Acum ecuația conține o singură funcție trigonometrică sin X.

2. Introducem un înlocuitor: t= păcat X... Rezolvăm ecuația pătratică rezultată:

1−2t 2 =1−t,

−2t 2 +t=0,

t(−2t+1)=0,

t = 0 sau -2t + 1 = 0,

t 1 = 0 t 2 = 1/2.

3. Facem înlocuirea inversă:

păcat X= 0 sau păcat X = ½

Rezolvăm aceste ecuații:

păcat X =0↔X=πn, nЄZ

păcat ( X)=1/2↔X= (-1) n ∙ ( π / 6)+πn, nЄZ.

Prin urmare, obținem două familii de soluții.

1. În secțiunea anterioară, s-au obținut două familii, fiecare dintre ele conținând infinit de multe soluții. Este necesar să aflăm care dintre ele se află în intervalul dat. Pentru a face acest lucru, construim o linie numerică.

2. Am pus pe el rădăcinile ambelor familii, marcându-le cu verde (primul) și albastru (al doilea).

3. Marcați capetele decalajului cu roșu.

4. În intervalul indicat există trei rădăcini care sunt trei rădăcini: −2 π ;−11π/ 6 și −7 π/ 6.

A) πn, nЄZ;(-1) n ∙ ( π / 6)+πn, nЄZ

b) −2 π ;−11π 6;−7π 6

A doua variantă a sarcinii (de la Iashchenko, nr. 1)

Algoritmul soluției:

1. Înlocuiți această funcție cu o variabilă tși rezolvați ecuația pătratică rezultată.
2. Facem substituția inversă și rezolvăm cele mai simple ecuații exponențiale, apoi trigonometrice.

1. Construim un plan de coordonate și un cerc de rază unitară pe el.
2. Marcăm punctele care sunt capetele segmentului.
3. Selectăm acele valori care se află în interiorul segmentului.
4. Scriem răspunsul.

Soluţie:

1. Introduceți înlocuitorul t = 4 cos x. atunci ecuația va lua forma:

Rezolvăm ecuația pătratică folosind formulele discriminante și rădăcină:

D = b 2 - c = 81 - 4 ∙ 4 ∙ 2 = 49,

t 1 = (9 - 7) / 8 = ¼, t 2 = (9 + 7) / 8 = 2.

3. Înapoi la variabila x:

1. Construiți pe el un plan de coordonate și un cerc de rază unitară.

2. Marcați punctele care sunt capetele segmentului.

3. Selectați valorile care se află în interiorul segmentului.

Acestea sunt rădăcinile. Sunt doi.

A)

b)

A treia variantă a sarcinii (din Iashchenko, nr. 6)

Algoritmul soluției:

1. Folosind formule trigonometrice, aducem ecuația la o formă care conține o singură funcție trigonometrică.
2. Înlocuiți această funcție cu o variabilă tși rezolvați ecuația pătratică rezultată.
3. Facem substituția inversă și rezolvăm cele mai simple exponențiale și apoi ecuații trigonometrice.

1. Rezolvăm inegalitățile pentru fiecare caz.
2. Scriem răspunsul.

Soluţie:

1. Conform formulelor de reducere .

2. Atunci această ecuație va lua forma:

3. Introducerea unui înlocuitor ... Primim:

Rezolvăm ecuația pătratică obișnuită folosind formulele discriminante și rădăcină:

Acasă

Cum se rezolvă problema examenului numărul 13 pe ecuații exponențiale și logaritmice | 1C: Tutor

Ce trebuie să știți despre ecuațiile exponențiale și logaritmice pentru rezolvarea problemelor examenului la matematică?

Pentru a putea rezolva ecuațiile exponențiale și logaritmice este foarte important pentru promovarea cu succes a examenului de stare unificată la matematică de la nivelul profilului. Important din două motive:

La început, sarcina nr. 13 a versiunii KIM USE, deși rareori, dar reprezintă uneori doar o astfel de ecuație care trebuie nu numai să fie rezolvată, ci și (similar sarcinii din trigonometrie) pentru a selecta rădăcinile ecuației care satisfac unele condiții.

Deci, una dintre opțiunile pentru 2017 a inclus următoarea sarcină:

a) Rezolvați ecuația 8 X – 7 . 4 X – 2 X +4 + 112 = 0.

b) Indicați rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului.

Răspuns: a) 2; log 2 7 și b) log 2 7.

Într-o altă versiune, a existat o astfel de sarcină:

a) Rezolvați ecuația 6log 8 2 X- 5log 8 X + 1 = 0

b) Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului.

Răspuns: a) 2 și 2√ 2 ; b) 2.

Au existat, de asemenea, următoarele:

a) Rezolvați ecuația 2log 3 2 (2cos X) - 5log 3 (2cos X) + 2 = 0.

b) Găsiți toate rădăcinile acestei ecuații care aparțin segmentului [π; 5π / 2].

Răspuns: A) (π / 6 + 2πk; -π / 6 + 2πk, k∊Z)și b) 11π / 6; 13π / 6.

În al doilea rând, studiul metodelor de rezolvare a ecuațiilor exponențiale și logaritmice este bun, deoarece metodele de bază pentru rezolvarea atât a ecuațiilor, cât și a inegalităților utilizează de fapt aceleași idei matematice.

Principalele metode pentru rezolvarea ecuațiilor exponențiale și logaritmice sunt ușor de reținut, există doar cinci dintre ele: reducerea la cea mai simplă ecuație, utilizarea tranzițiilor echivalente, introducerea de noi necunoscute, logaritmul și factorizarea. Metoda de utilizare a proprietăților funcțiilor exponențiale, logaritmice și a altor funcții în rezolvarea problemelor merită una separată: uneori cheia rezolvării unei ecuații este domeniul definiției, gama valorilor, non-negativitatea, limitarea, paritatea funcțiilor inclus în el.

De regulă, în problema nr. 13 există ecuații care necesită utilizarea celor cinci metode de bază de mai sus. Fiecare dintre aceste metode are propriile sale caracteristici pe care trebuie să le cunoașteți, deoarece ignoranța lor este cea care duce la erori în rezolvarea problemelor.

Care sunt greșelile tipice pe care le fac testatorii?

Adesea, atunci când rezolvă ecuații care conțin o funcție exponențială, școlarii uită să ia în considerare unul dintre cazurile de egalitate. După cum se știe, ecuațiile de acest tip sunt echivalente cu un set de două sisteme de condiții (a se vedea mai jos), vorbim despre cazul când A ( X) = 1

Această eroare se datorează faptului că la rezolvarea ecuației examinatul folosește în mod formal definiția funcției exponențiale (y = topor, a> 0, a ≠ 1): pentru A ≤ 0 funcția exponențială nu este definită cu adevărat,

Dar cu A = 1 este definit, dar nu indicativ, deoarece unitatea în orice grad real este identică egală cu ea însăși. Aceasta înseamnă că dacă în ecuația considerată la A(X) = 1 există o egalitate numerică corectă, atunci valorile corespunzătoare ale variabilei vor fi rădăcinile ecuației.

O altă greșeală este aplicarea proprietăților logaritmilor fără a lua în considerare gama de valori valide. De exemplu, proprietatea binecunoscută „logaritmul produsului este egală cu suma logaritmilor”, se pare, are o generalizare:
log a ( f(X)g(X)) = log a │ f(X) │ + log a │g ( X) │, pentru f(X)g(X) > 0, A > 0, A ≠ 1

Într-adevăr, pentru ca expresia din partea stângă a acestei egalități să fie definită, este suficient ca produsul funcțiilor f și g a fost pozitiv, dar funcțiile în sine pot fi simultan mai mari și simultan mai mici decât zero, prin urmare, atunci când se aplică această proprietate, este necesar să se utilizeze conceptul de modul.

Și există multe astfel de exemple. Prin urmare, pentru dezvoltarea eficientă a metodelor de rezolvare a ecuațiilor exponențiale și logaritmice, cel mai bine este să folosiți serviciile care vor putea spune despre astfel de „capcane” prin exemple de rezolvare a problemelor de examen corespunzătoare.

Exersați în mod regulat rezolvarea problemelor

Este suficient să începeți să exersați pe portalul 1C: Tutor.
Poti:

Toate cursurile constau dintr-o secvență corectă metodologic de teorie și practică necesară pentru rezolvarea cu succes a problemelor. Include teorie sub formă de texte, diapozitive și videoclipuri, probleme cu soluții, simulatoare interactive, modele și teste.

Mai aveți întrebări? Sunați-ne la 8 800 551-50-78 sau scrieți la conversație online.

Iată expresiile cheie pentru a ajuta motoarele de căutare să găsească sfaturile noastre:
Cum se rezolvă sarcina 13 în examenul USE, probleme pentru logaritmi, Kim USE 2017, pregătirea pentru matematicianul profilului USE, profilul matematicii, rezolvarea ecuațiilor și logaritmilor, rezolvarea problemelor pentru ecuațiile exponențiale ale USE, calcularea proprietăților logaritmilor, funcția exponențială , probleme la matematică la nivelul profilului, aplicarea proprietăților logaritmilor, rezolvarea problemelor pe rădăcini, problemele examenului 2017 conform ecuațiilor exponențiale, pregătirea examenului pentru absolvenții clasei a XI-a în 2018, intrarea la o universitate tehnică.